（计算数学专业论文）galois环gr（qm）上码的研究.pdf

g a l o i s 环g r ( 矿) 上码的研究 摘要 本文在纠错码和四元码理论的基础上，来研究g a l o i s 环g r ( 矿) 上的码 设q 一，其中声是素数，f 是正整数整数环z 模 形成一个剩余类环五设 ”是正整数，且( n ，p ) 一1 首先，定义一个从乙到乙的环的同态，并且证明多项式z ”一1 在z 。上能被 唯一分解成有限个一些两两互素的基本不可约多项式的乘积在此基础上，给出 了乙上的h e n s e l 引理和h e n s e l 提升 其次，定义了g r ( 矿) 的一个f r o b e n i u s 映射厂和迹映射，给出了g r ( q “) 中元素的唯一表示法和这些映射的性质，利用迹映射的定义及其线性性，证明了 迹映射的传递性 最后，给出了环g r ( ，) b ( z 4 1 ) 的理想是( 五( z ) ) ，( 户五( z ) ) ， ( p z 五( z ) ) ，( - 1 五( z ) ) 的和，其中 五( z ) 一( z ”一1 ) ( z )1 i r ， 以及g r ( 口“) 上循环码c 的迹表示，即 ，1n 一11 c 一 寺丁磐( p p z ，) p g 尺( q “) ，其中s p 7 o i 一1 关键词：g a l o i s 环，f r o b e n i u s 映射，循环码，理想，迹表示 t h es t u d yo fc o d i n go v e rg a l o i sr i n gg r ( g ”) a b s t r a c t i nt h i sc o r r e s p o n d e n c e ，w es t u d yc o d e s 。v e rg a l 西s “n gg 尺( 矿) o nt h eb a s e 耐 t h et h e o r yo fe r r o r c o r r e c t i n gc o d e sa n dq u a t e r n a r yc o d e s l e tq = = 户，w h e r e 户i sap r i m ei n t e g e ra n d i sap o s i t i v ei n t e g e r l e tni sap o s i t i v ei n t e g e ra n d ( n ，户) 一1 i n 。g e rr i n gzm o d 矗f o r m sar e s i d u er i n g 磊 a tf i r s t ，w ed e f i n ear i n gh o m o m o r p h i s mf r o m 乏t oz p ，a n dp r o v et h a tt h e p o l y n o m i a l 一一1o v e rz qc a nb eu n i q u e l yf a c t o r e di n t oap r o d u c to ff i n i t e l ym a n yp a i r w i s ec o p r i m eb a s i ci r r 甜u c i b l ep o l y n o m i a l s 。v e rz 口a n dt h e n ，w eg i v eh e n s e l s1 e m m aa n dh e n s e ll i f to v e rz 口 t h es e c o n d ，w ed e f i n eaf r o b e n i u sm a p ，o fg r ( 矿) a n dt h et r a c em a po v e r g 尺( 旷) ，s i m u l t a n e o u s l yg i v et h eu n i q u er e p r e s e n t a t i o no fa n ye l e m e n to fg r ( ，) a n ds o m ep r o p e r t i e so ft h e s em a p s u s i n gt h et r a c em a p sd e f i n i t i o na n dl i n e a r p r o p e r t y ，w ep r o v et h a tt h et r a c em a ph a st r a n s i t i v i t y i nt h ef m a l l y ，w eg i v ea n yi d e a lo fr i n gg r ( q “) z ( z “一1 ) t ob eas u mo f ( z ( z ) ) ，( 户上( z ) ) ，a n d ( 户卜1 上( z ) ) ，w h e r e 五( z ) 一( z ”一1 ) ( z ) ， 1 i r ，a n dt h et r a c er e p r e s e n t a t i o no fc y c l i cc o d e sco v e rg r ( 矿) ，i e ，n l c 一 吉t 磐( 矿) z 小黜( ) ， w h e r e 一p ，0 ，一1 k e yw o r d s ：g a l o i 8r i n g ，f r 。b e n i u sm a p ，c y c l i cc o d e ，i d e a l ，t r a c er e p r e s e n t a t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究r 作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得佥胆：【：些盘堂或其他教育机构的学位或证粥而使j _ j 过的材料。与我一同： 作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明井表示谢意。 学位论文作者签字南蔷碉亟签字日期：炒中年j 明侈日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒避工些叁堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权盒b 工些丕 堂一可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可毗采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 学位 签字 学位论文作者毕业厉去向 l 作单位： 通讯地址： 电话 邮编 冬 致谢 斗转星移，日月如梭，三年的研究生学习时光即将结束，此时此刻，我首先 向我的导师朱士信教授致以最崇高的敬意和衷心的感谢】感谢朱老师给予我学业 上的谆谆教导以及生活和工作上的关怀和帮助。同时，朱老师严谨的治学态度、严 以律己宽以待人的胸怀以及敏捷的思维都给我留下了深刻的印象，并将会成为我 以后学习和工作中的楷模。在此，我由衷地祝愿朱老师身体健康、万事如意! 其次，在我学习期间，还得到了苏化明教授、刘丽老师、程正杰老师、李声 闻老师以及师兄李平等很多老师对我学习上的指导、教诲以及给予我的关心和帮 助。在此，我也向各位老师表示深深的谢意，祝愿各位老师生活一帆风顺! 最后，我要感谢同学钱建发以及师弟们的无私的帮助和关心，要感谢父母、兄 弟姐妹以及先生郑兴国多年来给予我的大力支持和帮助。正是亲人的无私的奉献， 才使得我能坚持不懈地全身心投入到学业中去。 作者：钱开燕 2 0 0 4 年4 月1 2 日 第一章绪论 19 4 8 年s h a n n o n 在他的开创性论文“am a t h e m a t i c a lt h e o r yo f c o m m u n i c a t i o n ”中，首次阐明了在有扰信道中实现可靠通信的方法，提出了著名 的有扰信道编码定理，奠定了纠错码的基石自此以后，h a m m i n g ，s l e p i a n ，p r a n g e 等人在5 0 年代初，根据s h a n n o n 的思想，给出了一系列设计好码和有效译码的方 法以后，纠错码受到了越来越多的通信和数学工作者，特别是数学家的重视，使 纠错码无论在理论上还是在实际中都得到飞速发展 迄今，纠错码已有五十多年的历史，其发展过程大致分为以下几个阶段： 5 0 年代至6 0 年代初，主要研究各种有效的编、译码方法，奠定了线性分组码 的理论基础，提出了著名的b c h 码，同时也给出了纠错码的基本码限这是纠错 码从无到有得到迅速发展的年代 6 0 年代至7 0 年代初，这是纠错码发展过程中最为活跃的时期不仅提出了许 多有效的编译码方法，而且注意到了纠错码的实用化问题，讨论了与实用有关的 各种问题，所有这些问题的研究为纠错码的实用打下了坚实基础在此期间，以 代数方法特别以有限域理论为基础的线性分组码理论已趋成熟 7 0 年代至8 0 年代初，这是纠错码发展史中具有极其重要意义的时期在理论 上以g o p p a 为首的一批学者，构造了一类g o p p a 码，其中一类子码能达到s h a n n o n 在信道编码定理中所提出的s h a n n o n 码所能达到的性能，这是纠错码历史上具有 划时代意义在这期间大规模集合电路和微机的迅速发展，为纠错码的实用打下 了坚实的物质基础，因而与实用相关的各种技术及有关问题得到了极大关注，并 在实用中取得了巨大的成功 自8 0 年代初以来，g o p p a 等从几何观点讨论分析码，利用代数曲线构造了一 类代数几何码，在这些码中，某些码的性能达到了s h a n n o n 码所能达到的性能由 于代数几何码是一类范围非常广的码，在理论上已证明它具有优越性能，因而受 到了编码理论研究者，尤其是代数几何学家的重视，使代数几何码的研究得到迅 速发展，取得了许多成果自7 0 年代末以来，纠错码技术已开始渗透到很多领域 利用纠错码中的许多编、译码原理和方法，与通信系统中的其它有关技术相结合， 得到了一些令人惊喜的结果如：纠错码与调制技术相结合所产生的t c m 技术， 已作为国际通信中标准技术而推广使用；纠错码与密码结合，可以构造出一类既 1 能加密签名，又具有纠检错功能的密码系统；纠错码与信源编码相结合的结果，使 得通信系统更为有效与可靠不仅如此，纠错码中的许多译码思想和方法，与神 经元网络中的能量函数有密切关系，可以用来解决神经元网络中的一些问题因 此，可以预料，随着科学的进步和实际需要，纠错码理论必将进一步发展，它的 应用范围必将进一步扩大 1 2 本文的主要内容 随着纠错码理论的进一步发展，有限域上编码理论已发展的较为完备，因此 有很多从事这方面研究的研究者把研究兴趣转移到有限环上的编码理论的研究， 它现在是研究热点，比如：z 。一码以及g a l o i s 环g r ( 4 “) 上的码等等 本文在简单介绍了编码理论的一些背景，有限域上纠错码理论以及介绍z 。一 码中的一些相关内容后，主要研究下面几个方面： 第一，研究乙上的h e n s e l 引理和h e n s e l 提升，它是研究g a l o i s 环g r ( 矿) 的 基础，其中q 一，p 为素数，f 为正整数在这个过程中，本文定义了从z 。到乙 上的一个环的同态映射，一方面给出了乙上的h e n s e l 引理，另一方面，通过设n 是正整数且( n ，声) 一1 ，从而多项式z “一1 在z 。上有唯一的分解，给出了z 。上 的h e n s e l 提升 第二，在z 。上的h e n s e l 引理和h e n s e l 提升的基础上，研究g a l o i s 环g r ( q ) 在这个部分里，首先，给出了g o l o i s 环g r ( q “) 的定义；其次，给出了g a l o i s 环g r ( 口“) 的元素的唯一的表示法，最后，定义了g r ( r ) 的f r o b e n i u s 映射，以 及迹映射丁说明，是环自同构，r 是满射且具有线性性和传递性这对研究g 0 1 0 i s 环g r ( 口”) 上的码具有指导意义 第三，研究g a l o i s 环g r ( 矿) 上循环码的迹表示一方面，研究出 g r ( 旷) b ( z “一1 ) 的理想；另一方面，给出了g r ( q “) 上循环码的迹表示 2 能加密签名，叉具有纠检错功能的密码系统；纠错码与信源编码相结合的结果，使 得通信系统更为有效与可靠不仅如此，纠错码中的许多译码思想和方法，与神 经元网络中的能量函效有密切关系，可以用来解决神经元网络中的一些问题因 此，可以预料，随着科学的进步和实际需要，纠错码理论必将进一步发展，它的 应用范围必将进一步扩大 1 2 本文的主要内容 随着纠错码理论的进一步发展，有限域上编码理论已发展的较为完备，因此 有很多从事这方面研究的研究者把研究兴趣转移到有限环上的编码理论的研究， 它现在是研究热点，比如：z ；码以及g a ! o i s 环g r ( 4 ”) 上的码等等。 本文在简单介绍了编码理论的一些背景，有限域上纠错码理论以及介绍z 。一 码中的一些相关内容后，主要研究下面几个方面： 第一，研究z 。上的h e n s e l 引理和h e n s e l 提升，它是研究g a l o i s 习：g r ( q “) 的 基础，其中g 一，p 为素数，f 为正帮数在这个过程中，本文定义了从二到z 。 上的一个环的同态映射，一方面给出了乙上的h e n s e l 引理，另一方面，通过设n 是正整数且( n ，户) 一1 ，从而多项式z 1 1 在互上有唯一的分解，给出了五上 的h c n s c l 提升 第二，在互上的h e n s e l 引理和h e n s d 提升的基础上，研究g a i o i s 环g r ( q “) 在这个部分里，首先，给出了g o l o i s 环g r ( 鼋”) 的定义；其次，给出了g a l o i s 环g 矗( 矿) 的元素的唯一的表示法，最后，定义了g r ( 旷) 的f r o b e n i u s 映射，以 及迹映射丁说明，是环自同构，了 是满射且具有线性性和传递性这对研究g 。1 0 ，s 环g 尺( 口“) 上的码具有指导意义 第三，研究g a l o i s 环g 尺( 矿) 上循环码的迹表示+ 一方面，研究出 g r ( 矿) b ( 一一1 ) 的理想；另一方面，给出了g r ( q “) 上循环码的迹表示 g r ( 矿) b ( 一一1 ) 的理想；另一方面，给出丁g r ( q “) 上循环码的迹表示 2 一 2 1 有限域的基本理论 第二章纠错码1 1 设户为素数，整数集模户形成阶为声的域，记为g f ( p ) 或乙，即：乙 一 o ，1 ，户1 ，它按模户的四则运算来计算 命题2 1 设”o ) 是g f ( p ) 上m 次不可约多项式，那么所有次数。一1 ，系 数属于g f ( 户) 的多项式模”( z ) 后，形成阶为声的域，记为g f ( 矿) 命题2 2 ( 费马定理) 如果v 卢g f ( 矿) ，那么矿= p ，即9 是多项式。，一。 的根 上述定理说明，域g f ( 户2 ) 中必有一个元素口，其阶为矿一1 ，称口为g f ( p 一) 的 本原元 命题2 3 任何有限域都包含一个本原元 定义2 1 如果p g f ( 户“) ，“一卢且p 是一个最低次数( o ) 的首一多项式 m ( z ) g f ( 户) k 的根，那么称m ( z ) 为p 的极小多项式 定义2 2 称g f ( 矿) 的本原元的m 次极小多项式为本原多项式 定义2 3 在g f ( 少) 上，模矿一1 的分圆陪集为： e = s ，s 户，5 户”t 一1 ) ， 其中m ，是使s 户“t s ( m o d 户”一1 ) 的最小正整数 定义2 4称m “( z ) 为g f ( 矿) 的极小多项式，且有mc 4 ( z ) = m ( z ) 命题2 ，4 如果j c ，那么z ，一一l t 丁m ”( 。) 定义2 5 v a g f ( 矿) ，称t r ( a ) 一a + 矿+ + 1 为从g f ( 矿) 到g f ( p ) 的迹映射 定理2 5 迹映射t r ，具有下列性质： 1 ) t r ( d + 户) 一t r ( 口) + t r ( p ) ，v a ，卢g f ( 户”) 2 ) t r ( 五口) 一五t r ( 口) ，v 点g f ( p ) ，v 口g f ( 户4 ) 3 ) t r 是g f ( 矿) 到g f ( 户) 的满射 定义2 6g f ( 矿) 的f r o b e n i u s 映射厂z ： ，2 ：g f ( 声”) 一g f ( 户卅) 口 扩 定理2 6 g f ( 户”) 的f r o b e n i u s 映射 是域的自同构映射，它的固定元素是 一3 一 g f ( 户) 的元素且它的阶为m 2 2 线性分组码 分组码是把信源输出的信息序列，以 个码元划分一组，通过编码器把这段 个信息元按一定规则产生r 个校验元，输出长为”一 + r 的一个码组因此每一 码组的校验元仅与本组的信息元有关，而与别的组无关分组码用( n ， ) 表示，n 表 示码长， 表示信息位那么由 和r n 组成的长为”的序列( c 1 ，蝙一，) 称 为分组码的码字而称r e 向为码率，表示( n ， ) 分组码中，信息位在码字中所占 的比重，它是衡量分组码有效性的一个基本参数 定义2 7 两个”重码z ，y 之间，对应位取值不同的个数，称为它们之间的汉 明距离，记为d ( z ，v ) 定义2 8n 重码字z 中非零码元的个数，称为码字的汉明重量，简称重量，记 为w t ( z ) 显然d ( z ，y ) 一w t ( z y ) 定义2 9( n ， ) 分组码中，任意两个码之间距离的最小值，称为分组码的最 小汉明距离，记为d 即d m i n ( d ( z ，y ) i z ，y ( 订，壶) ) 最小汉明距离是分组码另一个重要参数，它表明了分组码抗干扰能力的大小 至于线性分组码，又称线性码，一般记为 n ， ，d 若每个码元的取值有g 种， 令g 一，户为素数，f 为正整数，则共有矿个码字，”长的码组共有矿个显然，q “个 n 维数组组成g f ( q ) 上的n 维线性空间g f ( g ) 4 ，矿个码字则组成一个 维线性子 空间，因此 n ，a ，d 线性分组码是g f ( q ) 上n 维线性空间的一个 维线性子空间 由于该线性空间在加法群运算下构成a b e l 群，所以线性分组码又称群码今 后若无特别说明，所指分组码均是线性分组码，还用( m m m 一。) 表示其一个码 字，其中o g f ( q ) ，i = o ，1 ，n 一1 因为 ”， ，d 分组码是一个群码，对托。，c ：， ，胡，都有c 。+ o n ， ，d ， 即c 。与f 。的和也是，6 ，d 的一个码字，所以两个码字cz 和印之间距离d ( m c z ) 等于r ；+ c ：的汉明重量下面我们有： 命题2 7 ， ，d 线性分组码的最小距离d 等于非零码字的最小重量 2 3 循环码 循环码是一类最重要的线性分组码，它具有循环的特性，又具有很好的代数结 构，从而编、译码电路，尤其是编码电路，简单且易于实现现今已发现大部分线性 码与循环码有密切联系，因此对它的研究比较深入和系统化 4 一 定义2 1 0 设c 是长为n 的g 元线性码，如果当( m ，“一1 ) c ，有 ( “一- ，f o ，c 。) c ，那么称c 为循环码 长为n 的q 元循环码c 是长为”的q 元线性码，现建立一个双射： g f ( q ) ”，g f ( 口) z ( z 4 1 ) ( 2 2 1 ) ( f 。，c 1 ，“1 ) o + c l z 十+ f 。一1 ，一1 + ( ，一1 ) 简单地，我们把印+ 以z + + 岛一l z 一1 + ( 矿一1 ) 写成c 。+ f l z + + 岛一。z 一1 ，因此 在映射( 2 2 1 ) 下，( 印，c l i ”，“一1 ) c 对应c o + f l z + + c z 一1 ，从而c 为q 元 循环码甘如果( mc 1 ，“一1 ) c ，那么z ( f 。+ f l z + + “l z ”1 ) c 定理2 8g f ( g ) 4 的非空子集是q 元循环码甘它在映射( 2 2 1 ) 下的像是剩 余类环g f ( q ) z ( z “一1 ) 的理想 设g ( z ) g f ( q ) z ，是次数最低( o ) 的首一多项式，g ( z ) j ( z ”一1 ) ，且码 c 一( g ( z ) ) 是由g ( z ) 生成的g f ( q ) z ( z ”一1 ) 的一个理想，那么称g ( z ) 为c 的 生成多项式没a ( z ) 一( z ”一1 ) 倌( z ) ，因为v c ( z ) c ，有f ( z ) ( z ) 一o ，称 ( z ) 为 c 的校验多项式，且称 ( z ) 一一时。 ( z - 1 ) 为 ( z ) 的互反多项式 显然循环码的每个码字所对应的多项式都是g ( z ) 的倍式，因此g ( z ) 的根亦 必是所有码字的多项式的根，从而我们可以从根定义循环码 设g ( z ) 一g 。+ g 。z + + z 7 ，毋g f ( q ) ，o i r 一1 ，因为有重根情况下生成 的码通常较差，所以这里我们只考虑g ( z ) 无重根情况，又g ( z ) i ( z “一1 ) ，因此要 求多项式z “1 无重根 命题2 9 在g f ( q ) 上多项式z ”一l 无重根错( n ，g ) 一1 显然，存在一个最小正整数m ，使得”l 矿一1 ，但n 十( 矿一1 ) ，o s m ，这样 ( z “一1 ) i ( z 。一1 ) ，但z “一1 十一。1 1 ，那么z “一1 的根都在g f ( 矿) 上又因为 ( z ”l ，”z 一) 一1 且( n ，o ) 一1 ，所以z “一1 有”个不同根，这里g f ( 矿) 称为z “一1 的分裂域，且z ”一1 一( z 1 ) ( z a ) ( z 一矿“) ，其中a g f ( q ”) 是z ”一l 的本原 单位根，i o ，1 ，n 一1 在g f ( q ) 上，模n 的分圆陪集为： g 一 s ，距，s p 一1 ， 其中m ；为使s 俨= s ( m o 如) 的最小正整数 显然， o ，1 ，n 一1 一u c ，因为g ( z ) 1 ( z 8 1 ) ，所以g ( z ) 一( z 一) ，其 5 l 中i k 4 口i ( m o 如) k 而k 一 o ，1 ，n 一1 ) ，即陪集的并集这n 个单位根 一1 i k 称为码的零元 定义2 1 1设c ( z ) g f ( q ) z ( z “一1 ) ，如果c ( z ) c 的充要条件是 c ( d ) 一o ，i k ，那么称码c 是q 元循环码 3 1z 。码的概念 第三章z 4 码1 2 设z 。是一个整数z 模4 的环，n 为一个正整数，z ；是z ；的m 重集合，即 蜀一 ( z l “涵，) i z ：z 。，i 一1 ，2 ，n ) 所有的“o ”重( o ，o ，o ) 和所有的“1 ”n 重( 1 ，1 ，1 ) ，被记为o “和1 ” z i 的任何非空子集c 称为四元码，或z 。一码，或在z 4 上的码，”为码的长度四 元码c 中的一个n 重向量称为c 的一个码字 对所有的( z ，z 。，z 。) ，( y 。此，弘) 墨定义分量和为： ( z 1 ，z 2 ，z 。) + ( j 1 ，2 ，一。) 一( z l + y l ，z 2 卜，2 ，z 。+ j ，n ) 那么z ：就可看成为阶为4 ”的一个加法a b e l i a n 群 定义3 1z i 的任何子群称为四元线性码，或简称z t 一线性码 定义3 2 对所有z = ( z 。，z 。，z 。) 和y 一( y 1 ，y 2 ，弘) 蜀定义内积为： z j 一( z 1 ，l ，z 2 y 2 ，z 。弘) 如果z y = o ，那么称z 与y 是正交的 3 2h e n s e l 引理和h e n s e l 提升 3 2 1h e n s e l 引理 在z 。一码的研究中，我们将研究g a l o i s 环g r ( 4 “) ，而h e n s e l 引理是研究 g a l o i s 环的重要工具 设z 。 z 是z ；上关于未知数z 的一个多项式环，我们有： 定义3 31 ) v 口z 4 ，若。i i ( m o d 2 ) ，则口( ) = i ，记i i 2 ) 设，( z ) 一d o + d l z + + 口。z ”z 4 z ，贝0 让，( z ) 一i 。+ ；，z + + ；。z ”， 记7 ( z ) 一五。+ 五1 z + + 五。z ”z z z 显然，a 既是z 。到z ：上的满射，又是z 。b 到z 。陆 上的满射，且a 也是一个 环的同态映射，核为( 2 ) 一z 。b 2 一 2 ，( z ) i ，( z ) z t z 对v ，( z ) z 。 z ，定义 ( 厂( z ) ) = = g ( z ) ，( z ) i g ( z ) z 。 z ) 设，( z ) ，2 ( z ) z 。 ，如果存在 。( z ) ，凡( z ) z t 瞳 ，使得 a l ( z ) ，l ( z ) + 2 ( z ) ，2 ( 。) 一1 ， 一6 一 那么称，l ( z ) 和，z ( z ) 在z 。上是互素的，记为( ，。( z ) ，厂2 ( z ) ) 一1 在z 。b 中也有 相似的定义。众所周知，如果在z ： 。 中的 ( z ) 和 ( z ) 是互素的充要条件是它 们没有次数大于或等于1 的公因式 引理3 1 设，( z ) ， ( z ) z t z ，它们在映射“一”下的像分别为7 ，( z ) 和 兀( z ) ，那么在互 z 中，( ，l ( z ) ，2 ( z ) ) 一1 在z 2 z 中，( 7 l o ) ，7 2 ( z ) ) 一1 引理3 2 ( h e n s e l 引理)设，( z ) z 。 z 是首一多项式，且7 ( z ) = 兀( z ) 兀( z ) ，其中7 l ( 。) ，7 。( z ) z z z ，( 7 t ( z ) ，7 2 ( z ) ) = 1 那么存在z 4 z 中 的首一多项式g 。( z ) ，g ：( z ) ，具有下列性质： 1 ) ( z ) 芝g l ( z ) 9 2 ( z ) 2 ) i l ( z ) 一7 l ( z ) ，孑2 ( z ) = 元( z ) 3 ) d e g g l ( z ) 一d e g 兀( z ) ，d e 9 9 2 ( z ) 一d e 9 7 2 ( z ) 4 ) 在z 4 z 中，( g l ( z ) ，9 2 ( z ) ) = 1 证明设厂，( z ) 和，2 ( z ) 分别是7 。( z ) 和7 2 ( z ) 在映射“一”下的原像，且可选 择厂- ( z ) 和，。( z ) 都是首一多项式，从而有： d e g ，1 ( z ) 一d e 9 7 1 ( z ) ，d e g ，z ( z ) = d e 9 7 2 ( z ) 由于7 ( z ) 一兀( 。) 7 ：( z ) ，所以有： ，( z ) 一，l ( z ) 厂2 ( z ) 一2 愚( z ) ， 这里月( z ) z + k ，d e 曲( z ) d e g ，( z ) ，因为在z ：b 中，( 7 。( z ) ，7 2 ( z ) ) = 1 ，根据 引理3 1 ，所以在五k 中，( ，1 z ) ， ( z ) ) 一l ，这样存在 。( z ) ，也( z ) 乙 ， 使得： a l ( z ) ，l ( z ) + 2 ( z ) ，2 ( z ) 一屉( z ) 又 ( z ) 一9 1 ( z ) r z ) + n ( z ) ，g 】( z ) ，r 】( z ) z z ，d e g r l ( z ) d e g ( z ) 且 a 2 ( z ) 一q 2 ( z ) ( z ) + n ( z ) ，q z ( z ) ，r 2 ( z ) z 4 z ，d e g 九( z ) d e g ( z ) 贝0 q 1 ( z ) ，2 ( z ) + r 1 ( z ) ，1 ( z ) + q 2 ( z ) ，l ( z ) 十n ( z ) ( z ) 一点( 七) 即 豳i ( z ) + q 2 ( z ) ，l ( z ) ，2 ( 2 ) 一尼( z ) 一r 1 ( z ) 厂1 ( z ) 一r 2 ( z ) ，2 ( z ) 因为上式右边的多项式的次数 d e g ，( z ) ，而上式左边的多项式的次数 d e g 厂( z ) ，要使两边相等，只有9 1 ( 。) + q 2 ( z ) 一o ，因此有： n ( z ) ，1 ( z ) + r 2 ( z ) ，2 ( z ) = = 屉( z ) 设9 1 ( z ) 一厂l ( z ) + z r z ( z ) ，9 2 ( z ) = ，2 ( z ) + 2 r l ( z ) 则g 。( z ) ，9 2 ( z ) z t b 是首一多项式，且 9 1 ( z ) 9 2 ( z ) 一，l ( z ) ，z ( z ) + 2 r l ( z ) ，1 ( z ) + r 2 ( z ) ，2 ( z ) = = ，l ( z ) ( z ) 十2 矗( z ) = = ，( z ) 且i l ( z ) 一7 l ( z ) ，蚕2 ( z ) 一7 2 ( z ) ，d e 9 9 1 ( z ) = d e g ，1 ( z ) 一d e 9 7 l ( z ) ， d e 9 9 2 ( z ) 一d e g 厂2 ( z ) 一d e 9 7 2 ( z ) 又( 7 l ( z ) ，7 2 ( z ) ) 一1 ，所以在磊 z 中， ( g l ( z ) ，9 2 ( z ) ) 一1 ，故得证 可以把引理3 2 推广如下： _ 引理3 3 ( h e n s e l 引理)设，( z ) z ； z 是首多项式，且7 ( 。) 一兀( z ) 兀( z ) 乃( z ) ，其中z ( 。) ，滓1 ，r 在z 。 z 中两两互素，那么存在首一 多项式毋( z ) z t b ，z _ 1 ，2 ，r ，具有下列性质： 1 ) ，。( z ) 一9 1 ( 2 ) 9 2 ( z ) g ，( z ) 2 ) 孑，( z ) 一7 i ( 。) ，i 一1 ，2 ，r 3 ) d 。g 函( z ) = d e g z ( z ) ，i 一1 ，2 ，r 4 ) g ，( z ) ，g r ( z ) 在z 。b 中两两互素 3 2 2 基本不可约多项式 定义3 4 设厂( z ) z 。b 是一个m 次的首一多项式，如果7 ( z ) z ： z 是 不可约的，那么称，( z ) 是z 。 中一个m 次基本不可约多项式如果7 ( z ) 在邑上 是本原的，那么称，( z ) 是z 。 z 中的基本本原多项式 命题3 4 对任意一个正整数m ，存在一个m 次的首一多项式，( z ) 五b ， 使得，( z ) i ( z 2 “一1 ) 且7 ( z ) 在z 。上是不可约的这样，对任何正整数m ，在 z 4 z 中就存在一个m 次基本不可约多项式 证明根据g a l 。i s 域的理论，对任何正整数m ，在z 。 中存在m 次不可约多 项式，每一个在z z k 中m 次不可约多项式都能整除z 2 ”。1 1 ，而z ”一1 在z ： 的任何扩域中都无重根设，2 ( z ) z ：b 是不可约多项式， d e g ( z ) 一m ，且9 2 ( z ) 一( z 2 1 一1 ) 厂2 ( z ) ， 那么在z 2 ( z ) 中，( 厂2 ( z ) ，9 2 ( z ) ) 一1 ，且，2 ( z ) 9 2 ( z ) 一z 2 一1 ，根据h e n s e l 引理， 存在首一多项式厂( z ) ，g ( z ) 乙 z ，使得 z 矿一1 1 = ，( z ) g ( z ) ， 且 7 ( z ) 一7 j ( z ) ，孑( z ) 一；2 ( z ) ，d e g 厂( z ) = d e g ，z ( z ) ，d e g g ( z ) 一d 。9 9 2 ( 。) ， 因此在z 。 z 中，( 厂( z ) ，g ( z ) ) 一1 这样，( z ) z 。 z 是m 次的首一多项式， 厂( z ) i ( z 2 ”。1 一1 ) 且7 ( z ) 一厂2 ( z ) 在z 。 z 中是不可约的故得证 推论3 5 对任何正整数m ，存在首一的m 次多项式，( z ) z 4 z ，使得 厂( z ) i ( z 2 “。1 1 ) ，且7 ( z ) 在z z z 中是m 次本原的这样，对任何正整数m ，在 z 。 z 中存在m 次的基本本原多项式 3 2 3z 。b 中首一多项式的分解 在z 。b 中，理想( 厂( z ) ) 是素理想，也是极大理论它是由基本不可约多项式 ，( z ) 生成的；e 为正整数，理想( ，( z ) 。) 是准素理想甘它是由基本不可约多项式 ，( z ) 的方幂生成的 又，( z ) z 。b 是单位元铮在z ： 中，7 b ) 一1 在z 。 z 中，( z ) 一1 + 2 占( z ) ，g ( z ) z 。 z 而，( z ) z 。k 是幂零元甘在z 。b 中，7 ( z ) = o 甘z t b 中，( z ) 是零或零因子 一r 一 定义3 1 中的环同态的核是( 2 ) ，( 2 ) 是素理想，也是极大理想，z 。 。 ( 2 ) = z z k 如果设尸是z 4 b 中素理想，那么在定义3 1 中的映射下，乒就是z 。 。 中的素理想 引理3 6 所有真包含( 2 ) 的素理想是极大理想 引理3 7 设q 是z t z 中一个真包含( 2 ) 的理想，那么q 是准素理想 甘q 是素理想 引理3 8 设，( z ) 是z a z 中一个多项式，7 ( z ) 一g ( z ) 8 ，这里e 为正整数， g ( z ) z z 是不可约的，那么( ，( z ) ) 是z t b 中准素理想，即，( z ) 是z ；b 中准 素多项式 证明 设( ，( z ) ) 是主理想，因为1 每( ，( z ) ) ( ，( z ) ) ，这样，( ，( z ) ) ( 1 ) = z t b 设n ( z ) ，6 ( z ) z 。b 且d ( z ) 6 ( z ) ( ，( z ) ) ，那么存在一个正整数 ，z ，使得( ( z ) 6 ( z ) ) 。( 厂( z ) ) ，从而( 五( z ) 5 ( z ) ) ”( 7 ( z ) ) = ( g ( z ) 。) ，根据z 2 中唯一分解定理，g ( z ) 五( z ) 或g ( z ) 5 ( z ) 如果g ( z ) | 五( z ) ，那么7 ( z ) l 五( z ) r 存 在c ( z ) ，d ( z ) z 4 z ，使得口( z ) 。一c ( z ) ，( z ) + 2 d ( z ) ，那么n ( 上) 知一c ( z ) 2 厂( z ) 2 ( ，( z ) ) ，因此口( z ) ( ，( z ) ) ，同理，或者有6 ( z ) ( 厂( z ) ) ，因此( ，( z ) ) 是 素理想，根据引理3 7 ，故得证 推论3 9z 。 z 中任何基本不可约多项式都是准素多项式 定理3 1 0 设厂( z ) z 。k 是次数不小于l 的首一多项式，那么： 1 ) 厂( z ) 一g 、( z ) g r ( z ) ，这里g t ( z ) ，毋( z ) 是两两互素的首一的准素多 项式 2 ) 设，( z ) 一g - ( z ) g r ( z ) = 。( z ) 氏( z ) 是厂( z ) 的两个两两互素的首一准 素多项式的分解，那么r s ，且经过重新编号后，有函( z ) 一a 。( z ) ，i = 1 ，2 ，r 从定理3 1 0 中，我们有： 命题3 1 1 设”为正的奇数，那么z “1 在z 。上能被分解成z 。上有限个两 两互素的基本不可约多项式的乘积，即z ”一1 = g 。( z ) g r ( z ) ，其中，如果不计在乘 积中次序，那么g x ( z ) ，g r ( z ) 是被唯一确定的 3 2 4h e n s e l 提升 命题3 1 2 设n 为正的奇数，2 ( z ) z 2 z 且，2 ( z ) l ( z ”一1 ) ，那么存在唯一 的首一多项式，( z ) z 。k ，( z ) i ( z ”一1 ) 且7 ( z ) 一，2 ( z ) 证明根据命题3 1 1 ，有z ”一1 = g 。( z ) g r ( z ) ，其中9 1 ( z ) ，9 2 ( z ) ，g r ( z ) 五 是两两互素的基本不可约多项式，那么在而 z 中，矿一1 一孑。( z ) 孑，( z ) ，其中；，( z ) z 。b ，持1 ，r 都是互不相同的不可约多项式根据z 。 中唯一分解定理，不计在乘积中次序，我们设 ( z ) = 孑。( z ) 否；( z ) ，1 s r ，又 设，b ) 一g ；( z ) 垂( z ) ，那么，( z ) z 。 z 是首一多项式，( z ) i ( z ”一1 ) 且 一日一 ( z ) 一，2 ( z ) 假设 ( z ) z 。b 是首一多项式， ( z ) i ( z “一1 ) ，且 ( 。) = ，2 ( z ) ，根据h e n s e l 引理，有两两互素基本不可约多项式 。( z ) ，几( z ) z 。b ，使得i 。( z ) 一孑。( z ) ，i 一1 ，2 ，s 且 ( z ) 一 1 ( z ) 也( z ) ， ( z ) l ( 一一1 ) 根据命题3 1 1 ， 1 ( z ) ，儿( z ) 在 g l ( z ) ，g ，( z ) 中出现，因为无；( z ) 一蚕( z ) ，滓l ，s ，且孑。( z ) ，i 一1 ，2 ，r 是互不相同的，因此几( z ) 一所( z ) ，净1 ，2 ，r ，因此 ( z ) 一，( z ) ，故得证 命题3 1 3设n 。，”：都是正的奇数，2 ( z ) z 。 z ， ( z ) i ( z “，一1 ) 且 ，2 ( z ) i ( z 一1 ) 又设，“( z ) ，”( z ) z 4 z 都是首一多项式，且，“( z ) l ( z ”t 一 1 ) ，吨( 工) l ( z ”z 一1 ) ，7 1 ( z ) 一7 姑( z ) 一，2 ( z ) ，那么，u ( z ) 一，幢( z ) 从命题3 1 3 中看出，( z ) 是独立于n 而选择的，因此 定义3 5称上述命题中的多项式，( z ) 是，。( z ) 的h e n s e l 提升 3 3g a l o i s 环g 尺( 4 m ) 3 3 1g a l o i s 环g r ( 4 ”) 设 ( z ) z 。 z 是m 次基本不可约多项式，i ( z ) z z b 是不可约的又设 口o + m z + + 口。一l z ”叫+ ( ( z ) ) z 4 z ( ( z ) ) ，d ，z 4 ，o i m 一1 因此 | z ； z ( ( z ) l 一4 “，称环z 。b ( ( z ) ) 为g a l o