（计算数学专业论文）两类矩阵逆问题和几类约束矩阵方程问题的理论和新算法.pdf

博士学位论文 摘要 矩阵逆问题是矩阵逆特征值问题的延伸，矩阵逆特征值问题就是根据给定的 谱数据构造矩阵的问题，它在控制设计，地球物理学，分子光谱学，粒子物理学， 结构分析等领域都有广泛的应用g ( 半) 正定和边界约束下的p r o c m s t e s 问题来源 于数理经济和数量统计约束矩阵方程问题则是在满足一定约束条件的矩阵集合 中求矩阵方程的解的问题，它是近年来数值代数领域中研究和讨论的重要课题之 一，在结构设计，系统识别，结构动力学，自动控制理论，振动理论等领域有着广 泛的应用本篇博士论文研究了两类特殊矩阵的逆特征值，系统研究了s ( 半) 正定 和边界约束下的p r o c n l s t e s 问题和几类约束矩阵方程问题，完成的主要工作和取得 的研究成果如下： 1 研究了两类新的对称矩阵- ( r ，s 肛) 对称及( r ，s 口，p ) 对称矩阵的逆问题，最 佳逼近问题，得到了逆问题有解的充要条件，给出了通解表达式和最佳逼近解的 表达式，并定量地讨论了对于最佳逼近问题的扰动性分析，给定出了扰动分析上界 具体表达式 2 利用d ) 幅i 衄s 交替投影算法，系统地解决了e ( 半) 正定和边界约束下的 p r o c m 咖s 问题数值例子验证了算法的可行性和高效性该问题用传统的矩阵分 解技巧或传统的c g 类迭代法难以求解，因为难以对边界约束给出具体解析表达 式，或构造c g 类迭代格式使更新矩阵满足边界条件 3 在交替投影算法理论的基础上，我们构造迭代算法系统地研究了线性矩阵 方程a x = b ，a x b = g ，a x a t = b ，a y + b y = g 等在线性子空间或闭凸集( 锥) 的求解及其最佳逼近问题丰富的数值实例表明，当系统维数较大时，该算法无 论从迭代时间还是迭代步都比传统的迭代算法，如c g ，c g l s 算法有明显的优势 且当维数成倍增加时，由该算法得到相同精度的解所需的迭代步只是个位数的增 长该算法具有全局收敛性，当初始矩阵取为零矩阵，该算法能得到矩阵方程的在 所给约束集合上的极小范数解若初始矩阵为所给定的初始估计矩阵，该算法能 得到相应的最佳逼近解 4 通过构造具有短递推格式的迭代方法，成功地解决了用迭代法求解主子阵 约束下的约束矩阵方程最小二乘问题及其最佳逼近问题在不考虑舍入误差的情 况下，对任意的初始矩阵该算法都可以在有限步计算出问题的解，若选取特殊的 初始矩阵，则可以得到相应的极小范数解讨论了算法的相关性质，得到相应的残 差序列的f f o b e n 缸范数是严格单调递减的结合数值算例本文还讨论了算法对于 最佳逼近问题的稳定性分析 此博士论文得到了国家自然科学基金的资助( 1 0 5 7 1 0 4 7 ) 和高等学校博士学科 两类矩阵逆问题和几类约束矩阵方程问题的理论和新算法 点专项科研基金( 2 0 0 6 0 5 3 2 0 1 4 ) 的资助 此博士论文用a 珏x 2 9 软件打印 关键词：逆特征值问题；p r o c m s t c s 问题；约束矩阵方程问题；交替投影算法；d y h 村s 交替投影算法；子矩阵约束问题；最佳逼近解 i 博士学位论文 a b s t r a c t m a t r i xi n v e r s ep r o b l e mi s 矩e x t 饥s i o no fi v e 幅ee i g 曲啪d u ep r 曲l e m a ni n ：、n o r s ee i g e n - l p r o b l 锄c o n c e r 璐t 1 1 e 他c o 枷c t i o no fa m a 拄i ) 【丘0 mp r e s c r i b e ds p e c 砌挑h e 瑙e e i g e 玎a l u ep r o b l 黜衄a r i s ei na 砖m a r k a b l ev a i r i e t ) ，o fa p p l i c a t i o 地t h el i s ti n c l u d 罄b u ti sn o t l i n l i t e dt oc o n 缸o ld e s i g n ，g e o p h y s i c s ，m o l e c u l 盯s p e c 仃o s c o p y ，p a n i c l ep h y s i c s ，s 们坩t l l 北a n a l y s i s 龃ds o0 n p r o c m s t e sp b l e m s 硫，0 l v i l 玛p o s i t i v ed e 血慨a n db o u n d e dc o n s 仃2 i i n e d 碰s e i nm a i h e m a ：c i c a le c o n o m i c sa n ds t a _ t i s 廿c s t h ec o n s t r a l i n e dm a t r i x 以i t l a 矗o np r o b l e mi st o 血l d t h es o h i t i o no fam a 臼奴e q m t i i nac 0 璐仃a i n e dm a 廿奴s e t t h es t l l d yo f i th 勰b e 姐ah o t 姊i c i n t h e 丘e l d o f 姗【m 耐c a la l g 曲m i n 化c e n t y e 躺删l y ，i t i sw i d c l y l l s e d i n m a n y 丘e l d s 龇c h 舔s t r u 删d e s i g n ，s y s t e mi d e n 恤c a t i o n s 仃删d y n a m i c s ，烈t o m a l i c sc o n 仃0 lt 1 1 v i _ b 翰在也c o r y t h i sd i s 栅i o nc o 珊i d e 璐t w o 蛐o f i n v e 裙ee i g 钮v l u ep r o b l e m sf o rm a t r i c e s 谢也s p e c t i a ls t r u c t i 鹏，d i s c 璐s e ss y s t c = m a t i c d y 也ep r o c n l j 滟sp r o b l e m s 砥，o m n gp o s i ：t i _ y c d e 缸i t e 如db o u n d e dc o 蛐e da n ds 扯c 0 邶衄i 1 1 e dm a t l 奴e q u a t i o np r o b l e 吣n e 删n 啊，( r 妇a n dr e s u l t so f t h i sd i s s e r 喇o na r ea sf - 0 n o w s 1 t h cr e s e a r c hd i c l l s s 懿也ei n v e 稻ep r o b l e ma n dm e i rc o n e s p o n d i n gq y t i 砌叩l p 】【i - m a t i o no f 锕ok i n d so fn e ws y m m e t r i cm a t r i x - ( 冗，只肛) s y m m 砸ca n d ( 冗，s ，口，p ) s y m m c ， d e r i y e sn e c e s s a r ) r 姐d 姐伍c i tc o n d i t i o 地f 0 rt 1 1 e l v a b i h 饥r 印r e s 即僦o no ft h eg 髓e f a l - m o 璐，c o r 他s p o n d i n go p 血n a la p p r 0 】【i m a t i o ns o l u t i o 衄，s t i l d i e sq l m n t 毗i t i 吣也ep e n u r b a t i o n a n a l y s i sf 0 rt 1 1 ea p 忧0 】【i l 训o np r o b l 锄a n d0 b t a i n st 1 1 es p e c 访cr 印托s e n t a t i o ft 1 1 ep e r t i l i b a _ t i o nb o u n d 2 b 勰c do n 也ed y b 缸a sa l t e m a t i n gp 叫e c t i o na l g o r i c h 皿也er c s e 玳hs t i l d i e st 1 1 ep r o - c n 塔t e sp r o b l e 盥缸，0 m n gp o s i t i v ed 印n i t ea n db o u n d e dc 0 妣e ds y s t 锄a t i c a l l y s o m e n 眦e r i c a lr c s 眦sc 0 h m 也ee 伍c i 姐c yo f 也ep 托s 即舱da l g o r 劬m t h e s ep r o b l e m sc 她n o tb e s l o v i 通b yc 0 心旧n t i o n a lm a 嗽d e c o m p o s i t i o nt e c h n i q u c la n do i 咱l r p ei t e r a t i o nm e 也o d ，蕾0 r 也e d i m c l l n yi sd i l et 0t h ef h c t 也a tt h ec o n d i t i o no f b o u n d e dc o n s t r a 恤dc 猢o tb ee x p r e s s e db y s p e c i 丘cr 印r e s 饿i o n 3 b 弱酣0 nt l l ea l t 咖a t i i 培p r o j e c t i o na l g o m h m ，t 1 1 er e s e 疵hc o n s 缸u c t si t 鲫呖v e 小 g o r i t h l n st 0s 1 0 、r ca l ec o n s i s t c n tm a r i 】【e q h a t i o d sa x = b ，a x b = c ，a x a 2 = b ， a y + b y = c 蛆d 位i rc o n e s p o n d i n go p t i m a la p p r 0 虹脚d o n0 v 盯l i n e a rg u b s p a c e so rc 1 0 s e d c o n v 既s e t ( c o n e ) m a n yn 衄耐c a le x 锄p l e ss h o w 也a tw h 明t h es y s t e md i m 髓s i o n i sl a 玛e ， t 1 1 e s ea l g o r i 也m sh a v ed b v i 0 1 l s “i v a n t a g e s 也a ns o m e 缸a d i t i o n a ii t e m t t v l ea l g o r i t h m s ，s u c h 弱 c g ，c g l sa l g o r i t h m ，w h e n l e r 舶mi t e r a t i o nt i m eo ri t e m t i o ns t c p w h c nt 1 1 ed i m 如s i o nn c r e a s e se x p o n e n t i “l y ，也ei t e r a t i o ns t e pi so n l yr e q u i r e df o rs i i l g l e d i g i t 孕d 帆h t h e s ea l g o - r i t h m sh a v eg l o b a lc o n v e 玛e n c e ，w h i c hc a n0 b t a i nt h eu n i q u es o h l t i o nw i 也m i n i m u mn o m b y 两类矩阵逆问题和几类约束矩阵方程问题的理论和新算法 c h o o s i i 培也ei n i t i a lm a t r i x 嬲z e r 0m ；珩i ) 【，锄dc 趾g c tt h ec 0 盯c s p o n d i n go p t i m a la p p r o x i m a t i o n s o l 嘶0 nb yc h o o s i n gt 1 1 ei n i t i a lm a 嗽勰也eg i v 髓i n i t i a le s t i m a ：t em a 仃i x 4 t h er e s e a r c hp r e s 伽峪狃i t e r a t i v em e t h o dw i t t ls h o r tr e c l 】- r r c e st os 1 0 、倡s o m e a l m a 蛹xe q 删o np r o b l e m su n d e rc e n 仃a lp r i n c i p a ls l | ：b m a t r i c e sc o n s 仃i a n t 越l d 也e i rc o r r c s p o n 小 i n go p t i m a la p p m ) 【i m a t i o np r o b l 锄f o r 锄yi n i t i a lm a ：i 墨al e a s t - s q w i r e ss o l u t i o no ft h e s e m a 劬【e q i l a t i o m0 、惯g i y m a 廿i ) 【s e ta n dg i v 锄c 如仃a lp 面i p a ls u b m 撕c e sc o 邶t r i a n tc a nb e d e 锄m i n e d 眦缸t e i t e m t i o ns t e p si nt l l ea b s c eo fr 0 1 m d o 霞e 盯燧t h ec o 玎e i s p o n d i n g 1 e 笛t _ s q u 讯ss o l u t i o nw 池m i 蛐n 0 衄c 她b ea l s o0 b t 血e db yc h 0 0 s 吨ak i n do fs p c c i a l i n i t i a lm 删c 嚣t h er e a f c hf m h e r 趾a l y 也et 1 1 f e t i c a lp i 0 l ，e r t i 船o f 衄si t e r a t i v em e 也o d a n dp r o v et h a t 也ef r o b e n i 璐n o mo f 也er e s i d u a ls 以l u 锄c ei s 鳓i c t l ym o n o t 0 的d e c r e 豁i n g t h er e s e 疵ha l s os h o wt t l a tt h ea l g o r i 也mi ss t a b l e 锄yc 弱e ，如dg i v e s u n so fm m l 耐c a l 懿p e d m e n l j s 也a t 跚【p l 哦t h i sc l a i m 1 【1 1 i sd i s se 3 r t a t i o ni s 羽聊o m db yt h el o n a l 卜阮t l 】r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i m ( 1 0 5 7 1 0 4 7 ) a n dd c 幻r a t ef o u n d 撕o no f t l l em i n i s 仃yo f e d u c a t i o no f c ! h i m ( 2 0 0 6 0 5 3 2 0 1 4 ) 1 1 1 i sd e s s e r t a t i o ni sb ，p e s c tb ys o f t 耽鹏l 码x 2 9 1 确rw b r 凼：i 叭聃e 西g e 删a l u ep m b l e m ；p m c m s t e sp m b l e m ；c o n s t r a i n e dm 柏血e q u a - 廿o np m b l e m ；舢t e m a t i j l gp r o j t i o nm e t h o d ；呐t i 鼍sa l t e n a 廿n gp r o j e c t i o nm e t h o d ； c e n t r 曩lp 枷c i p a ls u b m a t r i x ；o p 缸a la p p 珈函m a t i o np m b l e m v 博士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题的研究意义与发展概况 矩阵逆特征值问题( m p ) 就是根据给定的谱数据构造矩阵给定的谱数据可以 是全部或部分关于特征值或特征向量的信息逆特征值问题的目标就是要构造具 有给定的谱性质和某种特定结构的矩阵 矩阵逆特征值问题在许多领域都有着广泛的应用，如系统和控制理论、地球 物理学、分子光谱学、粒子物理学、结构分析等等下面举一个简单的例子：我们 知道，在古典振动理论中一个基本的问题就是确定振体的固有频率和简正模态 而其逆问题就是考虑构造某种给定模型，例如弹簧一质点系统、弦等，使之具有给 定的特征值和( 或) 特征向量，即具有给定的谱数据，这类问题在应用力学和结构设 计中有实际的应用价值1 1 5 1 对于矩阵逆特征值问题在其他学科领域的具体应用可 见【6 1 1 】 矩阵逆特征值问题由于所给的条件及应用背景的不同，有着不同的提法，文 【1 2 1 中总结了3 9 类矩阵逆特征值问题，文【1 3 】总结了2 1 类矩阵逆特征值问题而 现在人们关注最多的就是部分描述结构逆特征值问题( s m p ) ，即给定扎n 阶特定 结构矩阵集合s 和m 个，l 维向量z l ，( m n ) 以及数集 入1 ，a m ，求矩阵 a s 且使得 触= 九戤，i = 1 ，m 若令x = ( z l ，) ，a = l i a g ( 入l ，入仇) ，和b = x a ，则上式可记为觚= b 对 于上述描述的逆特征值问题的研究已经得到了一系列的研究成果本文仅列举一 些典型的，具有代表性的例子早在1 9 8 5 年，胡锡炎，张磊就讨论了三对角对称 正定，三对角s t i l j 豁矩阵的逆特征值问题【1 8 ，捌1 9 8 8 年，孙继广利用矩阵的奇异值 分解( s v d ) 解决了实对称矩阵的逆特征值问题及其最小二乘问题例1 9 9 0 年，戴 华讨论了对称三对角矩阵逆特征值问题【2 1 | ，并把国内这类逆特征值问题在1 9 9 1 年 之前的成果总结在他的专著 2 2 】中1 9 9 5 年，张磊解决了对称非负定矩阵的逆特 征值问题刚1 9 9 9 2 0 0 4 年间，谢冬秀刚、周富照陶、彭振赞【2 6 l 、孟纯军l 矧等利 用给定矩阵的结构特点，分别系统地研究了双对称矩阵类，中心对称矩阵类和对 称正交对称矩阵类，删t e 自反矩阵类，对称正交矩阵类和h 觚l i l t o n 矩阵类的逆 特征值问题2 0 0 4 年，t r e n c h 【匆“删讨论了( 冠s ) c 反) 对称，h 锄kr ( 反) 对称矩 阵的逆特征值问题关于更多特定矩阵，如t 0 e o l 娩矩阵，非负矩阵，h e s s 啪e 培矩 阵的逆特征值问题见参考文献 1 4 1 7 】， 3 5 3 7 】本文主要讨论了两类新的对称矩 阵一( 冗，只p ) 对称矩阵例及( 冗，s 口，p ) 对称矩阵删的逆特征值问题这两类矩阵是 两类矩阵逆问题和几类约束矩阵方程同题的理论和新算法 t r e n c h 在文 3 l ，3 2 】的基础上提出来的，它们是( 冗，s ) 对称矩阵【3 1 1 ，r 对称矩阵1 3 1 】和 循环矩阵【3 l j 在结构上的推广 约束矩阵方程的求解问题就是研究如何根据未知矩阵的有关信息( 特征值、特 征向量以及其它信息如实测数据和理论上的要求) ，确定一个矩阵集合倦个矩阵集 合可能是一个线性子空间，如对称矩阵集合，1 唧l i 乜矩阵类集合，也可能是一个 闭凸锥，如对称半正定矩阵集合，对称非负矩阵集铆，并要求研究矩阵方程在该矩 阵集合上有解的充要条件。解集合的性质以及给出该解集合元素的解析表达式 对于大规模的矩阵方程，虽不要求给出通解表达式，但要求设计出现实可行的数 值计算方法需要指出的是由于矩阵方程的系数矩阵通常来源于实际测量数据或 经验数据，因此它们并不一定满足有解的充要条件，即矩阵方程在给定矩阵集合 上是不相容的，从而需要进一步研究不相容矩阵方程的最小二乘问题 约束矩阵方程的求解问题及相应的最小二乘问题在结构设计、参数识别、生物 学、电学、分子光谱学、固体力学、自动控制理论的逆问题、振动理论的逆问题、 有限元、线性最优控制等领域都有重要应用由于实际背景不同，具有不同约束条 件或不同类型的线性矩阵方程，这都可以得到许多不同的线性矩阵方程求解问题 及相应的最小二乘问题，内容十分丰富另外，因为所确定的矩阵集合不同则矩阵 类的性质不同，从而相应的求解方法技巧和难度也不相同 对于线性约束矩阵方程来说，方程a x = b 求解及其最小二乘问题o 比时又称 p r o c n 塔t e s 问圆是其中最经典，研究得最多，相关结论也最丰富的一类1 9 8 7 年 d 通过矩阵的拉直算子研究了从= b 的对称解【3 9 l ，1 9 8 8 年i i i g h 啦讨论了该方 程的对称p r j o c ：唧毗s 问题1 9 8 9 年锄较为系统的用矩阵分解的方法得到了包括 a y = b 在内的几个矩阵方程的对称解蚓，1 9 9 0 年戴华同样通过矩阵奇异值分解 的方法得到了a x = 曰有对称解的充要条件，并提供了求解的数值算法嘲具有 半正定约束的不相容的矩阵方程求解问题是1 9 8 8 年a u 训g h t 在研究非线性规划问 题的算法时首次提出的，他用凸分析的方法研究了矩阵方程a x = b 的对称半正 定p r o c m s 钯s 问题，给出了解的存在性条件，但用这种方法要给出解的表达式较困 难【9 1 1 1 9 8 9 年，张磊用广义逆和矩阵分解给出了矩阵反问题a x = b 对称半正定 解存在的条件，解的表达式及其相应的最佳逼近解吲1 9 9 6 年呲咖仅在两种 特殊情况下给出了该问题的解的一般表达式蚓，而w i l l e i 利用秩分解的方法给出 了矩阵反问题a x = 日半正定解和正定解存在的条件及通解表达式陋一随后1 9 9 7 年a n d 懿s o n 考虑了该矩阵方程对称半正定n o c n 璐t c s 问题m ，2 0 0 0 年谢冬秀引入新 的内积，在新的内积中利用闭凸锥的逼近理论给出了该矩阵方程p r l o c n i s t e s 问题有 半正定解的充分必要条件及通解表达式酬更多关于方程a x = b 的( 半) 正定解 或最小二乘解的研究成果可以参见【4 9 - 5 l 】值得一提的是，若要求未知矩阵x 同 时满足( 半) 正定和边界以及某种特定线性结构约束条件，此类n o c n l s t e s 问题来 一2 一 博士学位论文 源于数理经济和数量统计典型的例子如，在动态的经济均衡模型中，需要估计 从对独立效用函数进行二阶分析得到总需求函数f 5 2 1 把该问题公式化其实质就是 找艿= a x 的最小二乘估计，其中4 ，口舻仇是给定的，拟合矩阵x 要求对称有 界，且其最小特征值要求大于一个特定的正数，因为在均衡点附近近似效用函数 是关于h e s s i 锄矩阵一x 的二次凸函数另外的例子如求一个与样本方差矩阵最逼 近的对称半正定模式矩阵【5 3 一然而对此类闭凸锥下的研究成果并不是很充分，困 难在于用传统的m o o f e - p e n r o s e 广义逆删或诸多矩阵分解法，如奇异值分解【7 4 】，广 义奇异值分解【5 如弱一，标准相关分解【5 9 ，7 5 l 等都难以对边界约束给出具体的解析 表达式到目前为止，只有h uh 【鼹】和l 乙e s c a l a n t e 和黜y d 粕1 6 1 ，6 2 j 对此类p r o c n 墙t e s 问题进行了研究h 1 1 h 首先把问题转化为与之等价的二次凸规划问题，然后再采 用常规的二次凸规划方法解决此问题但是这种方法却不能推广到当其它较复杂 的线性结构矩阵集合中，如双结构矩阵1 乙e s c a l 觚钯和砌y d a n 成功应用d y k s 仃a s 交替投影算法解决了对称半正定边界约束下p r o 明l s t c s 问题，但对其它线性结构矩 阵集合并未作深入研究 对于矩阵方程从b = d ，1 9 5 5 年p 锄s e 例利用广义逆得到了它有一般解的充 要条件和通解表达式；1 9 7 0 年l a n c 列c e f 删利用k m n k 盯乘积和拉直映射也得到了 它有一般解的条件和显式解；1 9 7 6 年c g 删，s 艮m i 舰【鸽l 研究了它有一般解及 非负定解的条件，并给出了这两类解的表达式；k e c h u 【4 1 j 和戴华蚓给出了该矩 阵方程有对称解的充要条件，并利用矩阵对的广义奇异值分解得到了对称解的通 解表达式；邓远北嗍和彭振费【2 6 】利用标准相关分解分别研究了该矩阵方程在反 对称矩阵，中心对称矩阵和广义反射矩阵集合上有解的充要条件以及有解时的通 解表达式；廖安平和白中治嘲还讨论了它在对称半正定矩阵集合中的最小二乘问 题对于产生于振动理论的矩阵方程x a = b ，戴华蚓利用矩阵的奇异值分解研 究了它存在对称解、对称半正定解、对称正定解的充要条件和解的表达式；廖安平 酬、和彭振赘【2 6 j 分别研究了该方程在双对称、中心对称、对称次反对称矩阵集合 上有解的条件和解的表达式廖安平和白中治吲利用标准相关分解进一步研究了 该矩阵方程在双对称矩阵集合中的最小二乘问题；谢冬秀【鸹l 还研究了它在半正定 矩阵集合上的最小二乘问题 当然，除了方程a x = b ，a x b = d 和方程f a x = b 以外，关于其它类型 的矩阵方程的求解也有很多研究成果例如1 9 7 7 年f l a d 懿和w 咖研究了方程 似一x b = g 和a x y b = p 的一般解的求解问题1 6 9 1 1 9 8 7 年c h u 利用奇异 值分解和广义奇异值分解的方法得到了方程a x b + 吖d = e ，似+ y d = e 和 a x b = e 的一般解【7 0 j 1 9 9 3 年c h a n g ) 【i a o w 髓和w 啦j i 嬲0 n g 研究了方程a x + y a = qa x a r + b y b t = c 和( a t x 4 ，b r y b ) = ( gd ) 的对称解【7 1 1 更多的成果可参见 文献 7 2 ，7 3 ，7 6 7 9 】 3 一 两类矩阵逆问题和几类约束矩阵方程问题的理论和新算法 迭代法虽然不能给出矩阵方程在给定矩阵集合上有解的充要条件，以及解的解 析表达式，但它对于求解大型的矩阵方程有着直接法所不能比拟的优势最近，利用 迭代法求解约束矩阵方程问题取得了突破性进展彭亚新m 运用共轭梯度法( c g ) 成功系统地解决了约束矩阵方程a x = b ，a x b = c 和月1 x 毋= g ，a 2 x 岛= 岛 在相容问题条件下的一般解、对称解、中心对称解、自反解、双对称解此迭 代算法能自动判断所给矩阵方程在给定约束集合上是否有解，在不考虑舍入误差 的情况下，能在有限步内求得方程的解随后，彭卓华【9 1 】推广深化了彭亚新的结 果，将共轭梯度算法推广到不相容问题中雷渊嗍结合共轭梯度法和共轭梯度极 小残差算法( c g l s ) ，成功地解决了几类特殊约束矩阵方程的最小二乘解或对称最 小二乘解，并通过构造一类特殊的矩阵函数刻画了该迭代方法的极小化性质，证明 了由该迭代法计算出来的逼近解，可使得该类矩阵函数在一个仿射子空间上达到 极小，而且所得到的残差序列的f r o b 饥i 瑚范数是严格单调递减的，并给出了该迭 代算法的一个粗略的误差估计上述几类经典的把共轭梯度思想应用到矩阵方程 上的算法可统称为c g 类迭代算法关于更多用c g 类迭代方法解决约束矩阵方程 的研究成果可参见f 8 6 8 9 】然而，值得注意的是。c g 类迭代方法解决矩阵方程 在约束集合上的解或最小二乘解，此约束集合仅限于线性子空间，对半正定或边界 等闭凸集( 钧约束却是无能为力原因在于c g 迭代格式能使更新迭代矩阵自动满 足线性子空间，如对称，双对称等约束条件，但却不能自动满足半正定，边界等闭 凸集( 锥) 约束条件因此对闭凸集( 锥) 约束下的矩阵方程求解还值得进一步研究 子矩阵约束下的矩阵方程求解问题就是给定矩阵x 的一个子矩阵，再求关 于x 的某个约束矩阵方程解的问题实际上，这仍然是一个约束矩阵方程问题， 只是其约束矩阵集合具有事先给定的子矩阵其实子矩阵约束下的矩阵方程问题 就是矩阵扩充问题随着科学技术的发展，有各种各样已有的系统洳结构设计系 统，参数识别系统韵需要改善或扩充也就是说，将现有系统扩充为一个更大的 系统，并使得原有系统为扩充后系统的一个子系统，这种问题就称为系统扩充问 题由于一个离散系统往往用一个n 阶矩阵来描述，离散子系统扩充问题就是指给 定矩阵x 的某个主子块，在一定约束条件下构造矩阵x 的问题因此，离散子系 统的扩充问题实际上就是矩阵的扩充问题可见，研究矩阵扩充问题不论从理论 发展还是实际应用方面都有重要的意义事实上，1 9 7 9 年眦t 础删提出了一类 j a c o b i 矩阵逆特征值问题。给定n 阶j a 0 0 b i 矩阵厶和满足条件入l 沁 入2 n 的实数 凡) 挚1 ，构造一个轨阶b 渤i 矩阵使得a 1 ，a 2 ，入2 n 是如的特征值，并且 厶的n 阶顺序主子阵恰好是厶这个问题实际上就是一个谱约束下的j a c o b i 矩阵 扩充问题此后，人们对各种矩阵扩充问题产生了浓厚的兴趣1 9 8 4 年，d e i f i 和 舳讨论了谱约束下三对角矩阵的扩充问题1 9 9 1 年，s i l v a 删提出由特征值和 已知的几个子块构造一个矩阵问题，1 9 9 8 年，c h u m 考虑了由奇异值和对角元来 一4 一 博士学位论文 构造一个矩阵问题2 0 0 4 年，彭振赞【2 6 9 8 】利用m 0 0 心- p 锄s e 广义逆和奇异值分解 系统地研究了矩阵方程似= b 在实矩阵，实对称矩阵，中心对称矩阵，双对称矩 阵，对称次反对称矩阵集合中的扩充问题2 0 0 6 年，龚丽莎【1 0 1 t 1 0 2 1 结合奇异值分 解和广义奇异值分解系统地研究了子矩阵约束下方程a x = b 的对称半正定解， ( 反) 对称最小二乘解，h e 删t e - h a m i n o n 类矩阵的等式解及最小二乘解，以及子矩 阵约束下方程x r 似= b 的实矩阵解及最小二乘解，皈) 对称矩阵解和最小二乘 解2 0 0 8 年，赵丽君【姒，1 咧利用双结构矩阵中中心主子阵与其母矩阵的关系，结合 m o o - p 印f o s e 广义逆和奇异值分解，提出并系统地解决了中心主子阵约束下方程 以x = b 的中心对称最小二乘解，双对称最小二乘解及对称次反对称最小二乘解 另外，2 0 0 7 年，廖安平和雷渊【1 删结合广义奇异值分解和标准相关分解研究了主 子阵约束下矩阵反问题a x = b 的双对称最小二乘解更多关于矩阵扩充问题的 研究成果还可参见【1 0 0 ，1 0 6 1 0 9 1 到目前为止，对于子矩阵约束下的矩阵方程扩 充问题已取得了丰硕的理论研究成果然而，值得注意的是，由于直接法中诸多矩 阵分解技巧在数值计算上的局限性，对于矩阵扩充问题的数值解法却一直没有得 到满意的结果因此寻求高效稳定的数值解法求解矩阵扩充问题是当今数值代数 领域较为活跃的课题之一 1 2 本文主要工作及创新点 本博士论文主要研究以下几个问题 1 t r e n c h 在文【3 3 ，3 4 】的基础上提出了两类新的对称矩阵一( 冗，最p ) 对称矩阵及 ( 兄，s q ，p ) 对称矩阵，研究了此两类矩阵的结构特征及其相关性质，但对其逆特征 值问题及其相应的最佳逼近问题没有作相关讨论t r c h 在文【2 粥2 】分别研究 了( r ，s ) 对称矩阵，r 对称矩阵的逆特征值问题，最佳逼近问题，得到了解的具 体表达式，但对最佳逼近问题的扰动分析没有得出理论结果本章在文【3 3 ，3 4 】对 ( 冗，s p ) 对称矩阵及( r ，s a ，p ) 对称矩阵结构讨论的基础上，研究了这两类新的对 称矩阵的逆问题及其相应的最佳逼近问题，得出了问题有解的充要条件及通解的 具体表达式，并定量地讨论了对最佳逼近问题的扰动分析，得出了扰动上界的具 体表达式，并通过数值实例验证了扰动分析理论结果的正确性 2 对于e ( 半) 正定和边界约束下的n o c n 塔t c s 问题，用传统的矩阵分解技巧或 传统的c g 类迭代法难以求解，因为难以对边界约束给出具体解析表达式，或构造 c g 类迭代格式使更新矩阵满足边界约束条件本文我们利用d y b n a s 交替投影算 法首次成功地，系统地解决了此类约束下的p r o c r u s t e s 问题数值实例验证了算法 的可行性和高效性本文提出并解决的闭凸集( 锥) 约束下的的p r o c r u s t e s 问题进一 步丰富和发展了约束矩阵方程最小二乘解问题研究的理论和方法事实上，从文 一5 一 两类矩阵逆问题和几类约柬矩阵方程问题的理论和新算法 中不难看出，交替投影类算法对所有的闭凸集( 锥) 约束下的p r o c n l s t 瞄问题都是适 用的 3 我们构造新的交替投影类算法系统地研究了线性矩阵方程a x = b ，a y b = c ，a x 印= b ，a x b + c x d = e ，a x + b y = c 等在约束矩阵集合上的解及其最 佳逼近问题该约束集合可能是一个线性子空间，如对称矩阵集合，t o c p l 沱矩阵 类集合等，也可能是一个闭凸锥，如对称半正定矩阵集合，对称非负矩阵集合等 通过大量的数值比较得知，当系统维数较大时，该算法无论从迭代时间还是迭代 步都比传统的c g 类算法有明显的优势且当维数成倍增加时，由该算法得到相同 精度的解所需的迭代步只是个位数的增长该算法具有全局收敛性，若初始矩阵 取为零矩阵，该算法能得到矩阵方程的在所给约束矩阵集合上的极小范数解；若 取为给定的初始估计，则能得到相应的最佳逼近解 4 对于子矩阵约束下的矩阵方程问解及其最佳逼近问题已取得了丰硕的理论 研究成果，但是由于直接法不可避免地用到m o o 他p m s e 广义逆或诸多较复杂的 矩阵分解技巧，如广义奇异值分解( g s v d ) ，标准相关分解( c c d ) 等，因此从数值上 解决此类问题在计算复杂性和计算精度上都存在明显的缺陷本文通过构造具有 短递推格式的迭代方法，首次成功地解决了用迭代法求解主子阵约束下的矩阵方 程及其最佳逼近问题在不考虑舍入误差的情况下，对任意的初始矩阵该算法都 可以在有限步计算出同题的解，若选取特殊的初始矩阵，则可以得到相应的极小 范数解结合数值算例，本文还首次讨论了算法对于最佳逼近问题的稳定性分析 1 3 本文所用的记号 册 伊 舻m 伊m s r n n 4 s r n n c s 尼x 住 b s 忍x n 跗r n s 忍n ( 日) 厶 蟹 4 1 4 + 全体n 维实向量组成的集合 全体扎维复向量组成的集合 全体n m 阶实矩阵组成的集合 全体n 仇阶复矩阵组成的集合 全体竹阶实对称矩阵组成的集合 全体竹阶实反对称矩阵组成的集合 全体扎阶实中心对称矩阵组成的集合【1 1 0 1 1 6 】 全体乱阶实双对称矩阵组成的集合【1 1 0 ，1 1 l ，1 1 3 l 全体n 阶实对称次反对称矩阵组成的集合【1 1 0 ，1 蚓 全体n 阶关于日的实对称自反对称矩阵组成的集合c 2 6 1 2 哪 佗阶单位矩阵 矩阵a 的转置 非奇异方阵4 的逆 矩阵a 的m 呲p 如r o s e 广义逆 一6 一 博士学位论文 i l a 0矩阵a 的f r o b 髓i u s 范数 忙| 1 2向量空间舻上的1 2 范数 r 肌七( a )矩阵a 的秩 打口c e ( a )矩阵a 的迹 ( z ，l ，)向量z ，! 的内积，实数域内为( z ，y ) = ! ， ( a ，b )矩阵a ，b 的内积，实数域内为似，b ) = 打( b t a ) a0b矩阵a ，b 的k r o c k c r 积 还有一些特殊的记号将在文中用到时再具体说明 一7 一 两类矩阵逆问题和几类约束矩阵方程问题的理论和新算法 第2 章( r ，sp ) 对称及( r ，s ，q ，肛) 对称矩阵逆问题和 最佳逼近问题及扰动分析 2 1 引言 t r c h 在文 3 3 ，3 4 】中提出了两类新的对称矩阵一( 兄，sp ) 对称矩阵及( 兄，墨口，p ) 对称矩阵，此类矩阵是( 兄，s ) 对称矩阵。兄对称矩阵和循环矩阵在结构上的推 广文 3 3 ，3 4 】分别研究此两类矩阵的结构特征，相关特征值问题，奇异值分解及 m 0 0 一p 锄s c 广义逆表达式，但对其逆问题，最佳逼近问题没有作相关讨论t r 朗c h 在文【2 2 】分别研究了( 冗，s ) 对称矩阵，r 对称矩阵的逆特征值问题，最佳逼近 问题，得到了解的具体表达式，但对最佳逼近问题的扰动分析没有得出理论结果 本章在上述成果的基础上，研究了( r ，鼠p ) 对称矩阵及( 冗，墨口，p ) 对称矩阵的逆问 题，最佳逼近问题，得出了解的表达式，并着重讨论了最佳逼近问题的扰动分析， 得出比较满意的理论结果，并通过数值实例验证了扰动分析理论结果的正确性 本章我们作如下约定。七2 为正整数；f = e 平= c d s 譬+ t s 饥警，即忌次单位 根常数口，p 瓦= o ，1 ，2 ，七一1 ) 若a 为b 的特征值，则记岛( a ) 为b 的关 于特征值入的特征子空间；即如( 入) = z i b z = 入名) 若u c ，夕) = 毗，则令 l = 0 p 雪) = 砚本节中所有的下标都理解为与七取模后所得的余数 定义2 1 1 若r g m m 的极小多项式为矿一l 传矽，则称兄为七次对合矩阵 若兄为七次对合矩阵，则有磁一1 = r ，且r 的特征值为1 ，2 ，p 本章我们考虑如下问题 问题2 1 他问则给定x c 从口和b 伊口令乡为具有某种特定约束结构的矩 阵集合刻画6 ( 置b ) 使得 6 ( x ，b ) 2 魈0 a x 一础 并求使上式成立的右端极小值问题的解集合，记为? ( x ，b ) ，即描绘 2 ( x ，b ) = a p i f i a x b 0 = 6 ( x ，b ) 问题2 2 限佳逼近问列给定沪黼，刻画6 ( x ，b ，) 使得 6 ( x ，b ，) 2a 昧b ) 悄一i i ， 一r 一 博士学位论文 并求使上式成立的右端最佳逼近问题的解集合，即描绘a 乡( x ，b ) 使得 i i a 一0 = 6 ( x ，b ，彬) 问题2 3 触动分榭给定系数矩阵xb 和初始估计矩阵的扰动，确定最佳逼近 解a 的相应扰动界 2 2 ( r ，s ) 对称矩阵逆问题和最佳逼近问题及扰动分析 2 2 1 ( r ，只p ) 对称矩阵 定义2 2 1 若冗伊仇和s 伊“均为七次对合矩阵，称4 伊n 为( 兄，墨p ) 对 称如果枞= f p 觚等价地，肌s 一1 = p a 引理2 2 1i 勰】若r 伊m 和s 伊n 均为七次对合矩阵，c | ，五分别为足s 的特 征子空间磊( f 。) 和毋( 5 ) 对应的维数，则有譬c i = 仇，e 蓦也= ，l ，且存在矩阵 只伊c ，识伊也使得 兄r = 。只，s q = p 吼，片只= 屯，9 ：钆= 屯，o s 七一1 ( 2 1 ) 定义 似) ：氨一科， ( u ) ：楠 ，( u ) = n ( u p ) ， ( u ) = 7 硒 0 = o ”“ 则有 ( r ) 只= 露。只， ( s ) q 。= 露。q 。，o r ，s 一1 从上式及( 2 1 ) 式可知，如果定义 辟= 五( 彤) b 及仑= 二( 矿) g ，o r 七一1 ， 则有 耳只= o 及饼亿= o 若r s ，而片只= 毛，q ：瓴= 玩o r ，ss 一l ， 因此如果令 p = 【r q = 【q o 只r 一1 】， q l 钒一t 】， 则有声= p ，西= q 一从上我们得知 反一。】， 众一。】， r = 尸d r 户其中d r = 苗专s 屯，s ：q d s 国其中d s ：留