（应用数学专业论文）拓扑空间强半正规绝对闭性与fuzzifying双拓扑空间的连通性.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 本论文由两篇相对独立的文章组成：一、是般拓扑学中第一可 数瓦强半正规绝对闭空间的等价条件；二、是模糊拓扑学中f u z z i f y i n g 双拓扑空间中的连通性现对两篇文章的内容简述如下： ( 一) 在一般拓扑学中，设p 表某种拓扑性质，一个尸一空间x 称为尸一 绝对闭的，如果x 嵌入到任何p 一空间y 时，x 都是l ，的闭子空间几位 拓扑学家在 1 、 2 、 3 、 4 、 5 中分别讨论了当p = 第一可数兀， 第_ 可数零维，第一可数完全正则，第一可数u r y s o h n ，第一可数弱正 则时，p 一绝对闭的等价性以及p 一绝对闭扩充的问题本文在前面这些工 作的基础上讨论了第一可数瓦强半正规绝对闭空间的等价性问题，得到 了若干好的结果 ( 二) 1 9 9 1 年我国学者应明生从多值逻辑的角度提出了f u z z i f ) n n g 拓 扑空间，随后许多学者对f u z z i f y i n g 拓扑进行了广泛而深入的研究，取得 了很多积极的成果本文在此基础上，提出了f u z z i f y i n g 双拓扑空间及 f u z z i f y i n g 双拓扑空间连通性概念，讨论了f u z z i b , i n g 双拓扑空间连通性的 等价条件及其性质 关键词：拓扑空间，强半正规绝对闭空间，f u z z i f y i n g 双拓扑空间，连通空 间 注本文第一篇论文第一可数五强半正规绝对闭空间的等价条件已 投大学数学杂志，审稿通过，待发表 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ep a p e ri sm a d eu po ft w or e l a t i v e l yi n d e p e n d e n te a s s a y e s ：o n ei s e q u i v a l e n c eo ft h ef i r s tc o u n t a b l es t r o n gs e m i n o r m a la b s o l u t e l yc l o s e d s p a c e si nc l a s s i c a lt o p o l o g i c a ls p a c e s a n o t h e ri sc o n n e c t i o ni nf u z z i f y i n g b i t o p o l o g i c a ls p a c e si nf u z z yt o p o l o g i c a ls p a c e s n o w , c o n t e n to fe a s s a y e si s s i m p l yr e l a t e da sf o l l o w s ： ( 一) i nc l a s s i c a lt o p o l o g i c a ls p a c e s ，l e t pb es o m e t o p o l o g i c a l n a t u r e ，a p - s p a c e xi sc a l l e d p - a b s o l u t e l yc l o s e d ，i f xi sc l o s e d s u b s p a c eo fy , w h e nxi si n s e r t e de v e r yp - s p a c ey s e v e r a lt o p o l o g i s t s h a dd i s c u s s e dp r o b l e m so f p a b s o l u t e l yc l o s e de q u i v a l e n c ea n dp c l o s e d e x t e n di nt h ep a p e r 【1 】、 2 】、【3 】、【4 】、 5 】，w h e npi st h ef i r s tc o u n t a b l e 孙 t h ef i r s tc o u n t a b l ez e r od i m e n s i o n ，t h ef i r s tc o u n t a b l ec o m p l e t er e g u l a r i t y ， t h ef i r s tc o u n t a b l eu r y s o h n 、t h ef i r s tc o u n t a b l ew e e k l yr e g u l a r i t y t h e p a p e r d i s s c u s s e s e q u i v a l e n tp r o b l e m s o ft h ef i r s tc o u n t a b l e s t r o n g s e m i n o r m a la b s o l u t e l yc l o s e ds p a c e s ，g e taf e wg o o dr e s u l t s ( 二) i n 19 91 ，s c h o l a r y i n gm i n gs h e n gb r i n g e du pf u z z i f y i n g t o p o l o g i c a ls p a c e sf o r mav a r i o u sl o g i ca n g l e a f t e r w a r d s ，l o t so fs c h o l a ra r e i np r o g r e s sw i d ea n dp r o f o u n ds t u d y , g e t 驴m ea c t i v ef r u i t t h ep a p e rp u t s f o r w a r df u z z if y i n gb i t o p o l o g i c a ls p a c e sa n dc o n n e c t e dc o n c e p ti n 内蒙古师范大学硕士学位论文 f u z z i f y i n gb i t o p o l o g i c a ls p a c e s ，d i s c u s s e s e q u i v a l e n t c o n d i t i o n sa n d c h a r a c t e ro fc o n n e c t i o ni nf u z z i f y i n gb i t o p o l o g i c a ls p a c e s k e yw o r d s ：t o p o l o g i c a ls p a c e ，s t r o n gs e m i - n o r m a la b s o l u t e l yc l o s e d s p a c e s ，f u z z if y i n gb i t o p o l o g i c a ls p a c e s ，c o n n e c t e ds p a c e s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书 而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：至蕉型 日期： 砌夕年多月- 罗日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学位 论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：己老坼军导师签名：剪1 7 2 黼 f ，r 、 日期：罗年臼月修日 第一章引言 第一章引言 二十世纪以来，拓扑学的研究方法已经渗透到现代数学的各个分支中，也逐 渐渗透到经济学、心理学、计算机学、化学、物理学等各个领域 随着模糊数学的产生，拓扑学的发展又进入到一个新的阶段1 9 6 5 年，美国 著名的控制理论专家l a z a d e h 教授提出了模糊集合的概念，从此以后模糊集合在 数学的各个分支得到了广泛的应用1 9 6 8 年，c l c h a n g 以z a d e h 的模糊集合论为 基础提出了模糊拓扑的概念，后经j ，a g o g u e n 将j - 【o ，1 】推广到具有逆序对合对应 的完全分配格，就是我们现在所谓的l f u z z y 拓扑空间在我国以刘应明教授和王 国俊教授为首的数学家们对于l f u z z y 拓扑空间理论的研究做出了巨大的贡献我 们知道点集拓扑研究的对象是分明集，拓扑是分明拓扑，而l f u z z y 研究的对象是 模糊集，拓扑仍是分明拓扑应明生教授于1 9 9 1 年利用连续值逻辑语义研究了不分 明化拓扑空间，即所谓f u z z i f y i n g 拓扑，它研究的对象为分明集，但拓扑是模糊的， 进而又定义了，一f u z z y 拓扑空间，即研究的对象为模糊集，而拓扑也是模糊的 最后，将，= 【o ，1 】推广到具有逆序对合对应的完全分配格上，就有所谓上的模 糊拓扑不过，这方面的工作还有待进一步研究，这不仅由于格的复杂性，还涉及 到格值逻辑的复杂性 本论文的第一篇文章是第一可数兀强半正规绝对闭空间的等价条件( 第二章) 在 一般拓扑学中，设尸表某种拓扑性质，一个尸一空间称为尸一绝对闭的，如果x 嵌 入到任何尸一空间j ，时，x 都是j ，的闭子空间从1 9 6 9 年，几位拓扑学家在 1 、 2 、 3 、 4 、 5 中分别讨论了当尸= 第一可数瓦，第一可数零维，第一可数完 全j 下则，第一可数u r y s o h n ，第一可数弱正则时，p 一绝对闭的等价性以及p 绝对 闭扩充的问题：r m s t e p h e n s o n j r 在 3 中还提出如下的问题：还有什么样的 拓扑性质尸，使得每一个p 一空问都存在一个p 一绝对闭扩充? 内蒙古师范大学硕士学位论文 本文讨论了强半正规空闯的等价粼赵，证明了第一可数砭强半正规绝对闭空 间、第一可数互强半正规极大空间、第一可数瓦强半正规极小空间、第一可数五强 半正规弱紧空间的等价性在这些等价性的证明中，由于强半正规的复杂性，我们 遇到的困难是巨大的，但我们克服了这些困难，所用方法有技巧、有特色、构思是 深刻的 我们的第二篇文章是f u z z i f y i n g 双拓扑空间中的连通性( 第三章) 1 9 9 1 年我国学者应明生从多值逻辑的角度提出了f u z z i f y i n g 拓扑空间，随后许多学者对 f u z z i f y i n g 拓扑进行了广泛而深入的研究，取得了很多积极的成果本文在此基础 上，提出了f u z z i f y i n e , 双拓扑空闻。在f u z z i f y i n g 双拓扑空阅中引入了弱配连通、配 连通与双连通概念，讨论了它们之问的关系与性质，并且给出了f u z z i f y i n g 双拓扑 空间弱配连通、配连通各自的等价条件 第二章第一可数兀强半正规绝对闭空间的等价条件 第二章第一可数e 强半正规绝对闭空间的等价条件 本章中所有空间均假定为满足五分离性的拓扑空间 2 1 预备知识 定义2 1 11 6 ) 拓扑空间x 称为弱紧的，如果x 中每个可数开滤子基都有聚 点空间x 的子集f 称为弱紧子集，如果f 作为子空间是弱紧的 定义2 1 2 1 7 1 设a ，b 是拓扑空间似，r ) 中的子集， ( 1 ) 若存在x 中开集0 ，使得0cacc l ( o ) ，则称a 为半开集。以s o ( x ) 表 示x 中所有半开集之族 ( 2 ) 若存在x 中闭集f ，使得i n t ( f ) cb cf ，则称b 为半闭集以s c ( x ) 表 示x 中所有半闭集之族 i n t ，( 彳) = u 尸lp s o ( x ) ，且pca ) 称为爿的半内部 c t , ( a ) = n q io s c ( x ) ，且爿co ) 称为a 的半闭包 定义2 1 3 t 7 1 设彳，b 是拓扑空间( x ，丁) 中的子集， ( 1 ) 若存在工中开集d ，使得0caci n t ( c l ( o ) ) ，则称a 为强半开集以s s o ( x ) 表示x 中所有强半开集之族 ( 2 ) 若存在彳中闭集f ，使得c l ( i n t ( f ) ) cb cf ，则称b 为强半闭集以s s c ( x ) 表示x 中所有强半闭集之族 i n t 。( 彳) = u 尸lp s s o ( x ) ，且尸ca ) 称为a 的强半内部 比( 爿) = n qjq s s c ( x ) ，且acq ) 称为a 的强半闭包 注 开集是强半开集，强半开集是半开集，但半开集不必是强半开集，强半 丌集不必是丌集 引理2 。1 11 8 1 设( x ，丁) 是拓扑空间，acx ， ( 1 ) 任意多个强半开集之并是强半开集；有限个强半开集的交是强半开集 ( 2 ) 任意多个强半闭集之交是强半闭集；有限个强半闭集的并是强半闭集 内蒙古师范大学硕士学位论文 ( 3 ) v ac x ，i m 。( 彳) 是强半开集；c 屯( 么) 是强半闭集 ( 4 ) 强半开集的补集是强半闭集；强半闭集的补集是强半开集 ( 5 ) 若ac b ，则i n t 。( 彳) ci n t 。( b ) ，c 乞( 彳) c 以( b ) ( 6 ) a 是强半开集a = i n t 。( 彳) aci n t ( c l ( i n t ( a ) ) ) ； a 是强半闭集a = c 乞( 彳) 铮b 3c l ( i n t ( c l ( b ) ) ) ( 7 ) 吒( i n t 。( 彳”= c ( i n t 。( 彳”= c l ( i n t ( a ) ) ：i n t ( c , , ( 彳”= i n t ( 订( 彳” ( 8 ) i n t ( a ) c i n t 。( 彳) cac 比( 爿) cd ( 么) ( 9 ) a ，bcx ，则c 乞( 爿u b ) = c 乞( 彳) u c 乞( b ) 引理2 l2 设y 是空间x 的一个局部有限子集族则d ( 譬彳) 2 魁“( 么) ， c l 。( 。o 彳) = u c 乞( 彳) 一e 妒 月e 证明前一个等式是熟知的，今证第二个等式因为对v a ，a cua ， a e 少 所以c 匕( 彳) cc 屯( ua )uc 屯( 彳) ( 7 - c 乞( ua ) 下证uc 乞( 么) 3 叱( ua ) 设石比( ua ) ，因为；f ，是局部有限的，所以存在x 的开邻域g ，及有限子族 v ocy 使得v a 缈，g d a = a ，则g n ( u 彳) = g ，所以x 芒c l ( u 彳) ，由 a e 纠oa e y x w o 弓! 理2 1 1 ( 8 ) ，x 诺c 乞( u 彳) 又因为x c 气( ua ) ，所以gn ( ua ) o ，v o 囝，而为有限的，所以 x 以( u 彳) = uc 0 ( 彳) cuc 0 ( 彳) ，从而uc 乞( 爿) c 0 ( ua ) ，证毕 引理2 1 3 。9 1 设( 】，7 ) 是拓扑空间，x 是】，的开子空间， ( 1 ) s s o ( x ) cs s o ( y ) ；s s c ( x ) cs s c ( y ) ( 2 ) a s s o ( y ) ，则彳n x s s o ( x ) ： a s s c ( y ) ，贝0anx s s c ( x ) ( 3 ) acy ，则c k ( 彳) = c l 甜( a ) f i x ( 这里f 0 ( 爿) 表示a 在x 中的强半闭包， 第二章第一可数互强半正规绝对闭空间的等价条件 吼，) 表示a 在】，中的强半闭包) ( 4 ) c 乙( 爿) 是包含a 的最小强半闭集 ( 5 ) acy ，贝0 x c 乞( 彳) 当且仅当v pcs s o ( x ) ，x p ，p na a 证明 ( 5 ) v x 叱( 彳) ，若有岛s s o ( x ) ，x b ，使rn 彳= o ，则 a c 彳一昂，其中x 一昂s s c ( x ) 又( 4 ) 知x 石一只，这与z e o 矛盾 反之，v p s s o ( x ) ，x p ，有e n a o 若石诺巩( 彳) ，由强半闭包的定 义必有q s s c ( x ) ，acq 但x 萑q 所以工x q ，其中x q s s o ( x ) ，于是 ( x q ) n a = g ，矛盾，得证 引理2 1 4 t 3 l 第一可数瓦空间中的弱紧子集是闭集 证明设x 为第一可数空间，a 为x 的弱紧子集若a 不是闭集，则存在点 工gc l ( a ) ，但工芒a 设 圪；t l n ) 是么中可数个开集又因为x 仨c l ( a ) ，所以 v n e n ，圪n a f 2 j ，则 v m ，胛n ，( 圪n 彳) n ( 圪n ) = ( 圪n ) n a3 圪n a ，七n 即 n 月：玎n ) 是a 中的可数开滤子基a 为x 的弱紧子集，则 kn 彳：玎n 在 a 中有一聚点p ，且石仨a ，贝t jx p 又空间x 是瓦的，所以对于x ，p 两点，存在 开集q ，0 2 ，使得x 0 l ，p 0 2 且d ln 0 2 = f 2 j 则了”n ，使圪n0 2 = o 但由于 p nc 1 4 ( n a ) cnc ，( 圪na ) cnc ，( 圪) h e nn e nh e n 其中以( n 彳) 表示圪n 彳在a 中的闭包x cv n n ，屹n0 2 o 产生矛盾，假设不 成立所以x a ，即a 为闭集 定义2 1 4 。加1 设( x ，丁) 是拓扑空间，若对x 中任意两个不相交的闭集5 、五， 存在u 、u 2 t ，使鼻cu ：、ecu 2 ，且unu 2 = o ，则称x 为正规空间 定义2 1 5 7 设( x ，丁) 是拓扑空问，若对x 中任意两个不相交的闭集e 、 内蒙古师范大学硕士学位论文 e ，存在u 、u 2 s o ( x ) ，使ecu 、ec ，且unu ：= 囝气则称x 为半 正规空间 定义2 1 6 7 1 设( x ，丁) 是拓扑空间，若对x 中任意两个不相交的闭集互、e ， 存在u 、u 2 s s o ( x ) ，使互cu l 、ec 7 u 2 ，ru inu 2 = o ，则称x 为强半正规 空间 引理2 1 5 n 0 1 设( x ，丁) 是拓扑空间，空间x 是正规空间，当且仅当对x 中的 任意闭集f 及任意开集d ，fc0 ，有u t ，使得fc 7 ucc i ( u ) c0 引理2 1 6 1 7 1 设( x ，r ) 是拓扑空间，空间x 是半正规空间，当且仅当对x 中 的任意闭集f 及任意开集o ，fco ，有u s o ( x ) ，使得fc u c 7 d s ( u ) c0 引理2 。1 7 i 7 l 空间x 是强半正规空间，当且仅当对x 中的任意闭集f 及任意 开集0 ，fc 7 0 ，有u s s o ( x ) ，使得fc u c 比( u ) c 7 0 注正规空间是强半正规空间，强半正规空间是半正规空间；但半正规空间不 必是强半正规空间，强半正规空间不必是正规空间 定义2 1 7 设x ，y 是两个拓扑空间， ( 1 ) 如果空间x 同胚于空间y 的一个子空间，则称x 可嵌入到】，中 ( 2 ) 如果空间x 同胚于空间y 的一个稠密子空间，则称】，是x 的一个扩 充；若空间) ，是空间x 的一个扩充，且y x ，则称】，是x 的真扩充 设p 一表示某种拓扑性质， ( 3 ) 一个p 一空间x 称为p 一极大的，如果不存在p 一空间y 是x 的真扩充 ( 4 ) 一个p 一空间( x ， 称为p 一极小的，如果不存在x 上严格弱于丁的尸一 拓扑 ( 5 ) 一个p 一空间x 称为尸一绝对闭的，如果x 嵌入到任何p 一空间y 时，x 都 是】，的闭子空间 引理2 1 8p 绝对闭的空间一定是p 极大的空间，且当p 是闭遗传的性质 时，p 极大空间也是p 绝对闭空间 证明由定义显然 6 第二章第一可数疋强半正规绝对闭空间的等价条件 2 2 第一可数疋强半正规绝对闭空间的等价条件 定理2 2 1 设x 是第一可数强半正规空间，则x 是第一可数强半正规极大空 间的充要条件是x 为弱紧空间 证明“必要性”设x 是第一可数强半正规空间反证，若x 不是弱紧空间， 则存在x 的可数开滤子基 4 ) 艇 ，无聚点，即nc ，( 4 ) = g 不失一般性，可设 月l l 以34 ，+ ( 否则以n 4 代替4 ) * = i v n n ，4 彩，任取而4 ，因为x 是瓦空间，故 矗) 为闭集由x 的强 半正规性，存在强半开集谚，使 矗或ce l ( 烈) c4 由引理2 1 1 ( 6 ) 、( 7 ) 残ci n t ( c l ( i n t ( q ：) ) ) ci n t ( c l ( q ：) ) = i n t ( c 乞( 残) ) c 叱( 或) 所以i n t ( c l ( q ：) ) c 吼( 残) c4 再由x 是强半正规空间，存在强半开集谚，使 研ci n t ( c l ( q ：) ) c 巩( 研) ci n t ( c l ( q ：) ) c4 如此继续下去，v n n ，可得一列强半开集 谚) 。，使 饼+ 1ci n t ( c l ( q k “) ) cc 乞( 饼+ 1 ) ci n t ( c l ( q ：) ) c 巩( 饼) c4 对v 七n ，令圪= ui n t ( c l ( q ：) ) ，则可数开集族 圪) 。具有如下性质： 1 ) 吒，+ l ， c 圪，从而圪o 2 ) v 后n ， i n t ( c l ( q k ) ) ) 。v 是局部有限族 ( 因为nc ，( 4 ) = a ，则v x x ，工仨nc i ( 4 ) ，所以3 m n ，使x 仨c l ( 厶) ， n 丌= _ 故了ui f ：n ( x ) ，使un 彳。= 囝，因为v k n ，i n t ( c ，( 或) ) ca 。，所以 u ni n t ( c l ( q ：) ) = o ，当以m 时，更有uni n t ( c l ( q k ) ) = g ，故u 至多与 i n t ( c f ( 饼) ) ) 。中有限个元相交，所以v k n ， i n t ( c l ( q ) ) ) 。是局部有限族) 从而由引理2 1 2 ，得到 内蒙古师范大学硕士学位论文 d ( 圪) 2u c l ( i n t ( c l ( q ：) ) ) ，c l ( v , + 1 ) = uc 乞( i n t ( c ，( 饼+ 1 ) ) ) 1 1 = 1 打= 膏+ i 注意到 饼) “ ，的构造及引理2 1 1 ( 3 ) 、( 6 ) 得到，v k n 乩( k + ) - u 。吒( i n t ( c ( q ：+ 1 ) ) ) cu 比( 吒( 饼) ) = u 吒( 饼“) cui n t ( c l ( q 2 ) ) 一l t + i疗= 膏+ i打；鼻+ l打= 七 ck 3 ) v k n ，因为圪c4 ，n c z ( 以) = a ，所以n c ，( 圪) = a 打= t l i 任取p 仨x ，令y = xu p ) ，构造】，上的拓扑f ：v x x ，取x 在x 中的可数 邻域基为邻域基；对点p ，取 p ) u k ：七n ) 为可数开邻域基( 容易验证它满足开 邻域基的条件) 由r 的定义易推出】，是第一可数的，且x 是】，的稠密开子空间以 下再证明： 一、f 是瓦空间 若x ，y x ，x y ，由x 的疋性，ju n ( x ) ，矿n ( y ) ，使u f l v = a ； 其次，比x 与p ，由q c ，( 圪) 2 0 ，存在x 在空间x 中的邻域u 及某个n ， 使n 2 f 2 j ，则u 也是工在空间y 中的邻域，a u i q ( p u v t , ) 。o ，这说明点x 与 点p 在空间】，中邻域分离 二、y 是强半正规空间 设a 闭于，u 为】，中仟意包含a 的开集，令a = a nx ，u = u 。nx ，则a 是x 中的闭集，u 是x 中的开集，且acu 以下分两种情况讨论： 1 ) 若p 萑a ，d ja = a ，且则存在n ，使( pu 圪。) ) l q 彳= o ，即n 爿= a ， 所以ac x ，又因为c 乞( + ) ck ，所以爿cx c 0 ( + ，) 令= x c 乞( + ) ， 由引理2 1 1 ( 4 ) ，比( k + 。) 是j 中的强半闭集，所以w 是x 中的强半开集，且 acw ，由引理2 1 1 ( 6 ) wci n t ( c l ( i n t ( w ) ) ) ci n t ( c l ( w ) ) 则i n t ( c l ( w ) ) 为中包含a 的丌集，由x 的强半正规性，存在x 中的强半开集 0 ，使 a = 彳c 7 0c 7 c l , 。( d ) ci n t ( c l ( w ) ) nu c u 。 第二章第一可数瓦强半正规绝对闭空间的等价条件 由引理2 1 3 知，0 也是j ，中的强半开集 下证c 屯( d ) = 儿，( o ) ( 这里比( d ) 表示0 在空间x 中的强半闭包；c 乞y ( o ) 表 示0 在空间】，中的强半闭包) 由之定义，知矿n + 。= g ，故矿n ( p ) u + 。) 。囝，从而p 萑e l y ( w ) ，因 为0ci n t ( c l ( w ) ) cc ，( ) cc l r ( w ) ，有c l r ( d ) cc l r ( w ) ，从而p 萑c l r ( 0 ) ，由引 理2 1 1 ( 8 ) ，知c 气y ( p ) cd r ( p ) ，所以p 叠畋，( 0 ) ，由引理2 1 3 ( 3 ) ， c 乞( d ) = c l r ( d ) nx = 叱y ( d ) 综上，存在】，中的强半开集d ，使a c0 cc 乞，( d ) cu 2 ) 若p a ，则彳= 么u p ) ，u = uu p ) ，且彳为x 中的闭集，u 为x 中包 含4 的开集，所以由x 的强半正规性，存在x 中的强半开集q ，使得 acqc 吼( q ) cu 由引理2 1 3 ( 3 ) ，巩( 0 i ) = c 气，( q ) n x ，故c 乞，( q ) cc f 诂( q ) u l p ) 所以a c0 lcc k ( 0 1 ) cc k ，( 0 1 ) cc 乞( 0 1 ) u l p cuu p = u 由引理2 - 1 3 ( 1 ) 知，q 为y 中的强半开集，使 acqc 叱y ( q ) cu ( 奎) 又由p u ，u 为y 中开集，所以了en ，使p 办u 圪。cu 因为 叽( + 。) ck ，所以p p u + 。c p ) u 比( + ，) c p ) u c u 由 p ) 是闭集，故为】，中的强半闭集，所以 p = c 乞， p ) ，又因为 以，( + ，) 2 c 气，( 吃+ 。) n x ，c l r ( k 一，) cc k ( 圪川) u p ) 所以c 气( + 。) cc k ，( + 。) cc k ( + 。) u m ，故吒，( + 。) u p ) - 吒( + 。) u 办 由此得到 p ( p ) u 吃j + 1 ) cc k ，( p ) u k i + 1 ) 5 c 乞y p ) uc t ，( 川) 2 p u c l , r ( + ) 2 p ) u c k ( 圪。+ 。) c p u 屹。cu ( 事幸) 综匕所述，由( ) 与( 幸) 式我们有 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 彳。= 彳u p ) cd iu ( p ) u + ，) cc 匕，( q ) uc 乞，( p ) u + ，) = 叱，( qu ( p ) u + ，) ) cu 令。qu ( p u + 。) ，作为y 中强半开集q 与y 中开集 p u + 。之并，是】，中 的强半开集，且彳cwc c l y ( 矽) cu 以上证明了j ，是第一可数瓦强半正规空间，确为x 的真扩充( y x ) ，从而x 不是第一可数强半正规极大空间，与假设矛盾 “充分性 若x 是弱紧空间，】，是第一可数瓦强半正规空间，且x 嵌入到y 中， 则由引理2 1 4 知x 是】，中的闭集，从而x 是第一可数强半正规绝对闭空间，所以 x 是第一可数强半正规极大空间 定理2 2 2 设( x ，丁) 是第一可数强半正规空间，则x 是第一可数强半正规极小 空间的充要条件是x 中有唯一聚点p 的可数开滤子基必收敛于p 证明“必要性 设( x ，丁) 是第一可数强半正规空间极小空间，又 4 ) 疗。是 ( x ，t ) d p 有唯一聚点p 的可数开滤子基，仍设43 4 + l ，且q d ( 4 ) 2 p ) 由x 是第一可数的强半正规空间，取p 点的一个单调下降的可数开邻域基为 u ) 。，对u ，由x 的强半正规性，j k s s o ( x ) ，使p kcc 乞( k ) cu ， p kci n t ( c l ( i n t ( k ) ) ) ci n t ( c l ( k ) ) = i n t ( c k ( k ) ) cc t ：a v , ) cu l 取c i = u i ，又p i n t ( c ，( k ) ) n ，再利用x 的强半正规性，j 屹s s o ( x ) ，使 p c i n t ( c l ( i n t ( ) ) ) c i n t ( c l ( v 2 ) ) = i n t ( c l , , ( k ) ) c 吃( k ) c i n t ( c l ( k ) ) n ，取 c 2 = i n t ( c ，( k ) ) n u 2 ，c ：cu 2 ，且c l ( c , ) = 儿( ( i n t ( d ( k ) ) n u 2 ) cc 乞( i n t ( c ，( k ) ) = c 乞( i n t ( 叱( k ) ) ) c 吒( c 0 ( k ) ) = c k ( k ) cu = c l ，又p i n t ( c l ( v 2 ) ) n 以，再利用x 的强半正规性， 3 k s s o ( x ) ，使p 嵋cc 乞( ) ci n t ( c l ( v 2 ) ) f ， 取 c 3 = i n t ( c l ( v 2 ) ) n u 3 ，同理，c jc u 3 ，p - c l ( g ) ( 2 2c 2 ，如此继续下去，得 到点p 的一个单调递减的可数丌集族 e ) 。，因为ecu ，所以 e ) 。也 1 0 第二章第一可数正强半正规绝对闭空间的等价条件 是点p 的邻域基，且c k ( q + 。) cq 若 4 | 。不收敛于p ，则有n ，使气不包含任何4 ，不妨设2 1 ，即q 不包含任何以，所以以g 非空，而以c lc4 c 0 ( c 2 ) ，故4 c 屯( c 2 ) o - f i 正i n t ( a , , c l , a c 2 ) ) 彩 若i n t ( a c 屯( c 2 ) ) = g ，则i n t ( c ( i n t ( a 。c l 。( c 2 ) ) ) ) = g ，因为4 c 乞( g ) 是强半 开集，所以以c 乞( g ) ci n t ( c ( i n t ( a c l ( c 2 ) ) ) ) ，从而4 c 乞( c 2 ) = g 与 4 ，叱( c 2 ) f 2 j 矛盾，所p a i n t ( a c 乞( c 2 ) ) 1 2 j 任取矗i n t ( a 。c 屯( c 2 ) ) c4 比( c 2 ) c 以c 2 ，由x 的强半正规性，同定理 2 2 1 证明中的作法一样，v n n 可构造可数强半开集族 饼 “j v ，使 毛i n t ( c t ( q ：“) ) c 以( 饼“) c 7 _ i n t ( c l ( q ：) ) c 以( 饼) ci n t ( a c 乞( c 2 ) ) c4 c 2 ，对 v k n ，令k2 脚ui n t ( c ，( 饼) ) ，与定理2 2 i 的证明一样，可知开集族 圪) h 具有 如下性质： 1 ) v k n ， 以，以+ l ，) c 圪，从而f 2 j 2 ) 吒( k + 。) ck c4 c 2 3 ) v n ，k n ，c 2 i l i n t ( c l ( q ：) ) = 乃，所以p 茌c l ( i n t ( c l ( q ：) ) ) ，p 正d ( v o ， p 仨nc t ( v , ) ，再由v k n ，吒c4 ，nc ，( 圪) cnc ，( 4 ) = p ) ，得n c ，( 圪) = 0 k e nk e nk e h l o w l y 构造x 上的另一拓扑f 如下： 当x p 时，取x 在原拓扑丁的一个可数开邻域基为邻域基；对点p ，以 圪u g ：七) 为丌邻域基( 不难验证 圪u g ：k ) 满足丌邻域基的条件) 易证f 是笫一可数的，下面证明： 一、f 是五分离的 1 ) v x ，y x ，x y ，由r 的互分离性，易证x ，y 在拓扑r 下是邻域分离的 1 1 内蒙古师范大学硕士学位论文 2 ) v x x ，x p ，因为n 。，d ( 圪) = 1 2 j ，所以3 u , 坼( 砷，3 n n 使un v , = o ， 一e ，v 又由t 的乏性，3 men ，3 r ( x ) ，使n q = a ，不妨设所行，q ) e ， n c = a 令u = un 坼( x ) ，u 当然也是拓扑f 下点x 的邻域， u n ( eu k ) 2 ( u n e ) u ( u n v dc ( u 2n q ) u ( un 圪) = 囝，且qu 圪( p ) ，即 点x 与点p 在拓扑r 下邻域分离 二、f 严格弱于丁 fct 显然； 1 丢13 0 x k ，x k 小) c 圪c4 c 2 ，故v 七n ，圪n g = o ，所以c 不能包含任 何gu 圪，所以在拓扑丁下p 的开邻域c 2 在拓扑f 下不是p 的邻域，即在拓扑丁下 的开集c 不是拓扑f 下的开集 三、f 是强半正规的 设彳是拓扑f 下的闭集，u 是拓扑r 下包含彳的开集，从而爿是拓扑丁下的闭 集，u 为拓扑丁下包含彳的开集 1 ) 若p 萑a ，a 是拓扑r 下的闭集，存在七n 使( 圪u q ) n 彳= o ，所以 acx ( 圪u c ) ，所以a c x ( 叱r ( 圪+ 。) u 巩，( g + 。) ) = x ( c t ，( 圪+ ，u ( 五+ ，” 令w = x ( 峨7 ( 圪+ u g + 。) ) ，则w 是丁下的强半开集，且么c w ，由引理2 1 1 ( 6 ) ， wci n t 7 ( 鸥( i n t7 _ ( ) ) ) ci n t 7 ( c ，( ) ) ，因i n t 7 ( 鸥，( ) ) nu 为丁的开集由r 的强半 正规性，存在7 的强半开集g ，使得 acg c 叽7 ( g ) 1 2 ：i n t7 ( c f ，( ) ) n ucu 因为( 圪+ 。u g + 。) ni n t ，( c 0 ( ) ) = o ，所以( 圪+ 。u q + 。) ng = o ，注意到g + 。是点p 在 拓扑t 下的邻域，圪+ u c , + 。是点p 在拓扑r 下的邻域，所以p 仨c l ，( g ) 且p 区c l r ( g ) ， c l , ( g ) = c ( g ) ，因为c 乞，( g ) cc l ，( g ) ，c l 丁( g ) c 坼( g ) ，从而 第二章第一可数疋强半正规绝对闭空间的等价条件 p 芒如( g ) ，p 萑比7 ( g ) 下证g 为f 下的强半开集 因为g 是丁的强半开集，故存在r 的开集0 ，使得 0cgcc l r ( i n t 7 ( 0 ) ) 因为( 圪+ 1u q + 。) ng = o ，所以( 圪+ u g + ) n0 = 0 ，于是p 仨坼( d ) ，p 叠c l , ( 0 ) ， d 也是f 下开集，且 d r ( o ) 2 c l ，( d ) ，i n t ，( c 0 ( d ) ) 2 i n t ，( c f r ( d ) ) ， 于是又有dc g c c , ( i n t ，( 0 ) ) ，说明g 是f 下的强半开集 再证吒，( g ) = 吃r ( g ) 令y = x p ) ，因为r 与f 都是疋拓扑，故l ，在拓扑r 与拓扑r 下都是开集，又根 据f 的构造，j ，作为( x ，丁) 的子空间与作为( x ，f ) 的子空间是相同的，即t i ，= f l ，上 面我们已经证明p 萑c k ( g ) ，p 正比7 ( g ) ，当然p 萑g ，gc y 由引理2 1 3 ( 3 ) 得到： 巩玎( g ) = 吒r ( g ) n y 2 以r ( g ) ， c 乞，( g ) = 吃，( g ) n y = f k ，( g ) ， 而c k 玎( g ) = c 乞y ，( g ) ，所以c k ( g ) = 比r ( g ) 综上，g 是r 的强半丌集，且acgcc 乙，( g ) cu 2 ) 若p a ，因为a 也为丁的闭集，由t 的强半正规性，存在丁的强半开集v ， 使得彳cvc 叱7 1 ( y ) cu ，令= y p ) ，则渺= 矿n ( x 、 p ) 作为强半开集与开集 的交是丁的强半开集，因为wcv ，所以 acv = w u p ) cc l 厂( ) u p ) cf 乞7 ( y ) cu ( 彳) 下证形也是f 的强半开集 在上段1 ) 中，y = x p ) ，我们已证y 作为( x ，f ) 的开子空间与作为( x ，丁) 的 开子空问是相同的因为wcy ，w 是x 中r 的强半丌集，由引理2 1 3 ( 2 ) ，w 是y 中7 1 的强半丌集，也是】，中r 的强半开集，再由引理2 1 3 ( 1 ) ，w 是x 内蒙古师范大学硕士学位论文 中r 的强半开集 再证叱r ( 形) u p ) = c 乞，( ) u p ) 由引理2 1 3 ( 3 ) ，c 乞盯( 形) = c k 7 ( w ) n y ，故比r ( 矽) c c l 丌( 矽) u 办 同理，c 0 ( ) cc k ，( ) u 办又因为呶玎( 形) = c k ，( ) ，所以 研( ) c 埘，( ) u p 2 c 匕玎( 矽) u p c 比，( w ) u p ) 同理，c 乞r ( 形) c 吒，( ) u p ) ， 从而c k ( ) u 办= c k ( 形) u p ) 其次，对点p ，u 是点p 在拓扑f 下的开邻域，所以了七n ，使p 圪u qc u ， 又因为以r ( 圪+ ，) c 圪，c k 丁( g + 。) cq ，所以 p 圪+ lug + lcc l , 7 ( 圪+ lu g + 1 ) c 圪u gc u 下证吒，( 圪钉u g + ，) cc k ，( 圪+ ，u g + ，) 因为v k n ，圪+ 。c4 c 2 ，则圪卅n c 2 = o ，所以p 芒坼( 圪+ ) ，当然也有 p 诺c l 盯7 ( 圪+ 1 ) ，p 诺圪