（应用数学专业论文）特殊的谱任意模式和惯量任意模式.pdf

中北大学学位论文 摘要 符号模式矩阵是组合数学中一个基础性的问题，也是一个十分重要的问题，其研究 和发展前景非常广泛。它在组合矩阵论、组合数论、生物、化学、经济等领域都有很广 泛的应用。本文首先对构造法和幂零一雅可比方法进行了比较分析，然后运用幂零一雅可 比方法找出了两类特殊的极小谱任意符号模式，最后刻划了一类不蕴含幂零的惯量任意 符号模式。 在第二章中，通过三类谱任意模式对幂零一雅可比方法和构造法进行比较分析。构 造法技巧性很强，只适用于少数符号模式。幂零一雅可比方法是证明一个符号模式谱任 意的最常用的方法，旨在从这个符号模式的定性矩阵类中找出一个幂零矩阵，然后求在 这个幂零点处的雅可比是否为零。在求幂零矩阵时，如果不易求出确切值，则只需证明 幂零矩阵的存在性即可。 在第三章中，运用幂零一雅可比方法找出了一类极小的谱任意符号模式。在找幂零 矩阵的时候由于不易求出确切的幂零矩阵，所以借助了中值定理只考虑了幂零矩阵的存 在性，进而求出在幂零点处雅可比非零。根据幂零一雅可比方法可知，此类符号模式谱 任意，又根据极小谱任意的定义证明了它极小谱任意。 在第四章中，运用了和第兰章同样的方法证明了另一类符号模式极小谱任意。 一个符号模式谱任意，则它一定惯量任意。反之则不成立。在第五章中运用归纳、 递归法找出了一类不蕴含幂零( 当然不是谱任意) 的惯量任意模式。 关键词：符号模式矩阵，谱，惯量，谱任意，惯量任意，蕴含幂零 l 中北大学学位论文 a bs t r a c t t h es i g np a t t e r nm a t r i xi sn o to n l yaf o u n d a t i o n a lp r o b l e mi nt h ed o m a i no fc o m b i n a t o r i a l m a t h e m a t i c s ，b u ta l s oa ni m p o r t a n tp r o b l e m t h er e s e a r c ha n df u t u r ed e v e l o p m e n to fs i g n p a t t e r na r ew i d e s p r e a d i ti su s e f u lt os o l u t et h ep r o b l e m sa b o u tc o m b i n a t i o nt h e o r yo f m a t r i c e s ，c o m b i n a t i o nt h e o r yo fn u m b e r s ，b i o l o g y ，c h e m i s t r y ，e c o n o m ya n ds oo n i nt h i s p a p e r , w ef i r s t l yc o m p a r e dt h es t r u c t u r em e t h o dw i t ht h en i l p o t e n t - j a c o b im e t h o d b o t ho f t h e mc a np r o v ew h e t h e ras i g np a t t e r nm a r xi ss p e c t r a l l ya r b i t r a r y t h e nw ed i s c o v e r e dt w o k i n d so f s p e c i a lm i n i m a l l ys p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e r n su s i n gt h em e t h o do f n i l p o t e n t j a c o b i f i n a l l y , w ep o r t r a y e do n ek i n do fi n e r t i a l l ya r b i t r a r yp a t t e r nb u tn o t s p e c t r a l l ya r b i t r a r yp a t t e r n i nc h a p t e r2 ，w ec o m p a r e dt h es t r u c t u r em e t h o dw i t ht h en i l p o t e n t - j a c o b im e t h o d t h r o u g hs e v e r a ls p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e r n sf r o mr e f e r e n c e s t h eu s eo fs t r u c t u r em e t h o d n e e d sg r e a ts k i l l ，s ot h i sm e t h o di so n l ys u i t a b l ef o rt h em i n o r i t yo fs i g np a t t e r n s t h em o s t c o m m o n l yu s e dm e t h o do fp r o v i n gw h e t h e ras i g np a t t e r ni ss p e c t r a l l ya r b i t r a r yi s t h e n i l p o t e n t - j a c o b im e t h o d t h ek e yo ft h i sm e t h o di st of m do u tan i l p o t e n tm a t r i xt h a tb e l o n g s t ot h eq u a l i t a t i v em a t r i xc l a s so ft h a tg i v e n s i g np a t t e r na n dt oc a l c u l a t ew h e t h e rt h ej a c o b io n t h en i l p o t e n tp o i n t si sz e r o w h e nl o o k i n gf o rs o m en i l p o t e n tm a t r i x ，w es o m e t i m e se a s i l y f i n do u tt h en i l p o t e n tm a t r i x b u ts o m e t i m e s ，i ti sn o te a s yt oe x t r a c tt h en i l p o t e n tm a t r i x ，a t t h i st i m e ，w eo n l yn e e dp r o v i n gt h e r ei ss o m en i l p o t e n tm a r xi nt h e q u a l i t a t i v em a t r i xc l a s s i nc h a p t e r3 ，w ef i n do u tam i n i m a l l ys p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e mm a i n l yu s i n gt h e n i l p o t e n t - j a c o b im e t h o d w h i l ei nt h ep r o c e s so fl o o k i n gf o r t h en i l p o t e d tm a t r i x ，b e c a u s ei t i sn o te a s yt oe x t r a c tt h ea c c u r a t en i l p o t e n tm a t r i x ，w ec a no n l yc o n s i d e rt h es i g n so ft h e s e u n k n o w nq u a n t i t i e sb yu s i n gt h ei n t e r m e d i a t ev a l u et h e o r e m t h e nw ep r o v et h ej a c o b ii s n o tz e r o a c c o r d i n gt ot h en i l p o t e n t - j a c o b im e t h o d ，w ek n o wt h es i g np a t t e r n a r b i t r a r y f u r t h e r m o r e ，w ep r o v e di ti sam i n i m a l l ys p e c t r a l l ya r b i t r a r ya c c o r d i n gt ot h e d e f i n i t i o no fm i n i m a l l ys p e c t r a l l ya r b i t r a r y i i 中北大学学位论文 i nc h a p t e r4 ，w es i m i l a r l yo b t a i na n o t h e rm i n i m a l l ys p e c t r a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e r n b y u s i n gt h en i l p o t e n t - j a c o b im e t h o da n dt h ei n t e r m e d i a t ev a l u et h e o r e mw h e nf i n d i n gt h e n i l p o t e n tm a t r i xf r o mt h eq u a l i t a t i v em a t r i xc l a s so ft h i ss i g np a t t e r n i fas i g np a t t e r nm a t r i xi ss p e c t r a l l ya r b i t r a r y ，t h e ni ti si n e r t i a l l ya r b i t r a r y o t h e r w i s e ，i t i sn o tt r u e i nc h a p t e r5 ，w ei n v e s t i v a t e da ni n e r t i a l l ya r b i t r a r ys i g np a t t e r nb u tn o tp o t e n t i a l l y n i l p o t e n t ( c e r t a i n l yn o ts p e c t r a l l ya r b i t r a r y ) u s i n gt h em e t h o d so fi n d u c t i o na n dt h er e c u r s i o n k e yw o r d s ：s i g np a t t e r n ，s p e c t r u m ，i n e r t i a ，s p e c t r a l l ya r b i t r a r y ，i n e r t i a l l y a r b i t r a r y ，p o t e n t i a l l yn i l p o t e n t i i i 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名： 堑匦霞堑亟重殳 确5 碜 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括： 学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可 以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学 位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位 论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内容( 保密学位论文在解密 后遵守此规定) 。 签 名：堑亘霞鍪亟亟 导师签名： 矽g 岁 e il t t l ：2 堕! 竺：! 竺 中北大学学位论文 第一章引言 1 1 符号模式矩阵的研究背景及意义 组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。在国外，组合数学早已 成了十分重要的学科，甚至可以说是计算机科学的基础，这已是不争的事实。组合数学 的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。组合数学不仅在基础数学研究 中具有极其重要的地位，在其他的学科中也有重要的应用，如在计算机科学、编码和密 码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工 业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。 组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理、交通规划、战争指挥、 金融分析等领域都有重要的应用。高层次的软件产品处处用到组合数学，更确切地说， 是组合算法。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业 管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科， 它的数学原理就是组合设计，用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国 已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法 研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。 在1 9 9 7 年1 1 月的南开大学组合数学研究中心成立大会上，吴文俊院士指出：每个 时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数 学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。最近，吴文俊院士又指出：信息技术很可 能会给数学本身带来一场根本性的变革，而组合数学则将显示出它的重要作用。杨乐院 士也指出组合数学无论在应用上和理论上都具有越来越重要的位置，它今后的发展是很 有生命力，很有前途的，中国应该倡导这个方面的研究工作。万哲先院士甚至举例说明 了华罗庚、许宝禄、吴文俊等中国老一辈的数学家不仅重视组合数学，同时还对组合数 学中的一些基本问题作出了重大贡献。迫于中国组合数学发展自身的需要，以及中国信 息产业发展的需要，在中国发展组合数学已经迫在眉睫，刻不容缓。 组合矩阵论是一个近2 0 余年来兴起并发展迅速的一个数学分支。它用矩阵论和线 性代数来证明组合性定理及对组合结构进行描述和分类。组合矩阵论不仅与众多的数学 】 中北大学学位论文 领域( 数论、线性代数、图论和概率论等) 有密切的联系，而且在信息科学、社会学、经 济数学和计算机科学等许多方面都有具体的应用背景1 1 l 。 符号矩阵理论是组合矩阵论的一个新兴研究分支。该理论主要研究矩阵的仅与其符 号模式有关的定性性质，其主要研究内容涉及线性动力系统的符号可解性问题，符号稳 定性以及具有特定性质的符号模式矩阵类的组合性质，它与组合矩阵论、图论、矩阵分 析、常微分方程、算法理论和经济学有密切联系。符号矩阵理论最早起源于经济学中对 某些问题的定性性质的研究。研究其符号可解性和符号稳定性，其开创性工作是由诺贝 尔奖获得者、经济学家p s a m u c l s o n 作出的。 1 2 基本概念 所谓符号模式矩阵，是指元素取自集合 + ，一，0 或仉一1 ，吣的矩阵。对于实矩阵 a = ( a u ) 来说，由a = ( a 可) 的符号s i g n a 驴为元素所组成的符号模式矩阵( s i 印a 牙) 称为a 的 符号模式( s i g np a t t e r n ) ，记为s g na 。符号模式a 的定性矩阵类( q u a l i t a t i v em a t r i xc l a s s ) 是指对任意a e 姨，所有与a 有相同符号模式的实矩阵组成的集合 a s g n a = a ，记 为q 似) ( 其中q 表示全体n 阶符号模式矩阵所组成的集合) 。若a 是一个m 万实矩阵， 则a 同样可以决定一个定性矩阵类q ( a ) = b ib 为m 尢阶矩阵，i e is g nb = s g n a 。 一个实矩阵的谱是它的特征值的集合，惯量是由特征值中具有正实部、负实部及零 实部的特征值的个数所组成的三维数组。相应的，对于一个符号模式来说，它的谱( 惯 量) 是它的定性矩阵类中所有实矩阵的谱( 惯量) 的集合。任意给定一个实多项式，扛) ， 都能在q ( a ) 中找到一个矩阵b 使得r b ) 一厂o ) ，则称符号模式a 谱任意。如果我们把 谱任意模式a 的任意一个非零元用零代替之后，所得的符号模式不是谱任意模式，则称 a 为极小谱任意。如果任意给定一个非负三维数组( 口，b ，c ) ，都能在q ( a ) 中找到一个矩 阵b 使得i ( b ) t ( f + ( b ) ，f 一( b ) ，f 。( b ”一0 ，b ，c ) ，则称符号模式a 惯量任意。显然，如果一个 符号模式谱任意，那么它一定惯量任意，但是，一个符号模式惯量任意并不一定说明它 2 中北大学学位论文 谱任意。如果在q ( a ) 中存在一个矩阵b ，且r b ( x ) = x 4 ，则称竹阶符号模式a 蕴含幂零。 一个谱任意模式一定蕴含幂零矩阵。对两个同阶的符号模式a = 【口。】和a = 【毛】来说， 如果当口 0 时，毛ma 玎，则称彳为彳的母模式；如果当一。时，瓦一o ，则称彳为彳 的子模式。显然，符号模式a 既是它本身的母模式又是它的子模式。如果一个符号模式 a 谱任意，但除了它本身外所有的子模式都非谱任意，则称a 是极小谱任意模式。 若a 是一个n 阶实矩阵，口，卢是扎2 ，厅 的子集合，a ( a ，) ，a a ，卢】分别代表 矩阵a 去掉或保留口中的行，声中的列后所得的子矩阵。当口一卢时，把a ( a ，卢) 简记为 彳( 口) ，把a a ，卢】简记为a a 】。如果a 是单元集 f ) ，分别用a ( 0 ，a q 表示彳( 鬈) ) ，彳i f ) 】。 若d 是一个对角矩阵，且对角线上每个元素都大于0 ，则称d 是正对角矩阵。 1 3 国内外研究现状及发展前景 许多国外知名数学家如r a b m a l d i ，vk l e e ，c r j o h n s o n ，j s m a y b e e ，c 八 e s c h e n b a c h ，c j e f f r i e s 等都界入了符号模式矩阵这一研究领域，新成果不断涌现。1 9 9 5 年，r a b m a l d i 与b l s h a d e r 出版了符号矩阵论方面的第一本专著：m a t r i c e so f s i g n s o l v a b l el i n e a rs y s t e m s ) ) 2 , 3 1 ，系统总结了到1 9 9 5 年为止符号模式矩阵这一领域中 所取得的研究成果，将本课题的研究推向一个新的层面。目前国内在这方面的研究尚处 于起步阶段，但部分工作已处于国际领先水平，特别是，同济大学邵嘉裕教授f 1 如，华 南师范大学柳柏濂教授 2 1 ，中北大学高玉斌和邵燕灵教授1 5 , 1 5 , 1 7 ，2 0 - 3 4 , 3 6 , 4 4 , 4 5 1 近_ _ 2 年来的工作 引起了国际同行的广泛关注。 对符号模式矩阵的谱的研究，现在知道的结果还很少，主要参考文献见 4 1 3 1 9 等。首先j h d r e w e t a l 在 6 中讨论了反对称三对角模式z ，当2g ns 7 时谱任意， 提出了证明符号模式谱任意最常用的幂零一雅可比方法，并提出了h 8 时，l 谱任意的 猜想。围绕这个猜想，j j m c d o n a l d 等在【4 】中提出了n 阶符号模式s ，且s 中p 列元素 3 中北大学学位论文 全为正，其余t 一p 列全为负，并用构造法证明了1 s ps 一1 时，符号模式s 谱任意。 接着，g a oy u n b i n ，s h a oy a n l i n g 在 s l o e 也运用构造法证明了当以为奇数且刀乏3 时，符号 模式a 。谱任意。le i s n e r 等在【7 】中证明了当8 s ，ls 1 6 时，l 谱任意。tb r i t z ，j j m c d o n a l d 等在【8 】中证明了符号模式，。j 和v 。础谱任意。m s c a v e r se ta 1 在 9 1 d p 找n - r 以阶谱任意符号模式d 。，在【1 9 】中运用中值定理和幂零雅可比方法找出了一类谱任意 符号模式k 。，。以上运用幂零雅可比方法的t 阶符号模式矩阵都含有2 厅个非零元。 b r y a nl s h a d e r 在【4 1 】中讨论了当符号模式的非零元的个数等于2 n 一1 时，不能运用幂零 雅可比方法证明其谱任意。 从以上对符号模式的谱的研究成果来看，还有以下几个问题急待解决： 1 、找出所有使得为谱任意模式的，l 的值。 2 、刻划忍阶不可约且含有2 ，1 个非零元的谱任意符号模式。 3 、寻找证明一个符号模式谱任意的其他方法。 国内外关于符号模式惯量的研究成果有很多，主要见参考文献【1 4 - 1 8 】【2 0 2 7 1 。一个 符号模式矩阵谱任意，那么它一定惯量任意，反之则不成立。文献b 8 找到了一类不蕴 含幂零的惯量任意符号模式。 对于符号模式矩阵，除了它的谱、惯量之外，可以研究的问题还有很多，比如符号 模式的正交性，蕴含问题【2 8 调，强迫问题【矧，最小秩问题，基指数问趔3 7 】等。这些研究 成果将符号模式矩阵的研究及应用又往前推进了一大步。 1 4 论文的结构及主要内容 本课题是国家基金资助项目“符号模式矩阵研究 的一部分，主要研究符号模式的 特性及其应用。符号模式矩阵理论的应用越来越广泛，本文在查阅了大量的相关文献基 础上，对符号模式的谱任意和惯量任意做了进一步的研究。首先对符号模式矩阵的研究 背景和意义进行回顾。其次，介绍了两种证明符号模式谱任意的方法，构造法和幂零一 雅可比方法，并对它们进行分析比较。在此基础上，运用幂零一雅可比方法和中值定理 找到了两类极小谱任意符号模式。另外，惯量任意而非谱任意的符号模式还很少，本文 4 中北大学学位论文 又通过归纳和递归法找到了一类不蕴含幂零( 当然不谱任意) 的惯量任意符号模式。最后 提出了有待解决的问题。 论文各章内容简介： 引言。介绍了符号模式矩阵的研究背景及意义，基本概念，国内外研究现状及发展 前景。 两种证明谱任意符号模式的方法。证明谱任意符号模式最常用的两种方法是构造法 和幂零一雅可比方法。分别给出三类矩阵，一类运用构造法，一类运用幂零一雅可比方法， 还有一类借助中值定理的幂零一雅可比方法。从中对两种方法进行分析比较，提出如果 不能运用构造法或不易求出确切的幂零矩阵时，可以借助其它方法，例如中值定理。 一类特殊的谱任意符号模式。这章给出一类符号模式矩阵，很难用构造法证明它 是谱任意模式，所以运用幂零一雅可比方法。由于这个幂零矩阵不容易求出，所以尝试 运用中值定理证明其存在性。 又一类特殊的极小谱任意模式。运用和上一章相同的方法证明此类模式谱任意，又 根据极小谱任意模式的定义证明了它极小谱任意。 一类不蕴含幂零的惯量任意符号模式。由于惯量任意而非谱任意的符号模式还很 少，所以尝试去找一类这样的符号模式。通过递归和归纳法，找到了一类不蕴含幂零的 惯量任意符号模式。 总结全文，给出文章所解决的问题及理论创新之处，最后提出尚未解决的问题为以 后进一步深入研究指明方向。 第二章两种证明谱任意模式的方法 证明一个符号模式矩阵谱任意常用的方法有两种，一种是构造法，另一种是幂零一 雅可比方法。在运用幂零一雅可比方法时，有时容易求出确切的幂零矩阵，有时则只需 要证明幂零矩阵的存在性即可。本章介绍了三类谱任意符号模式，分别运用了不同的方 法，并通过它们对这两种方法进行了分析比较，从中可以看出这两种证明谱任意的方法 的优缺点及适用性，以便更好地寻找谱任意符号模式。 5 中北大学学位论文 2 1 构造法 高玉斌，邵燕灵在文献 5 中运用构造方法证明了当n 为奇数时，下列符号模式谱 任意： 4 一 一+ 一+ 一一 + - 一 一 + + + + + 一 + 玎苫2 定理2 1 1 【5 l ：九，a 2 ，九是实数，那么必然存在实矩阵b e q ( ) 使得b 的特征值 d 陋) = ，如，九，九 。 证明过程中构造了实矩阵： b = 。1 _ 坠攀业+ 。 2 1 一坠挲些+ 五一九 2 1 一坠呈! 螋+ 1 + 九一厶 2 1 4 一2 + 一九 23 n - 1 2 + 五 3 n 一1 1 3 + 九。 ； ；一1。n 一1 1 ； 。n 一1 ) + 九一i ： ： 一1 j + 九一1 11 一1 其中b 的特征值盯陋) a ，如，九，九 ， i t b e q ) 。 以 摆 忍 n + 九 定理2 1 2 1 5 1 ： ，九，九是复数，如果 是实数，那么存在实矩阵b q ( 4 ) 使得b 的 特征值伍) = 协，如， ，九) 。 证明过程中构造了矩阵； 6 中北大学学位论文 b = 而 2 k k + 1k + 2 n 一1n x 22 + 五 k k + lk + 2 拧- 1露 五 一1 。 i ii i； ；i k + 丸 k + 1 k + 2 i； ；i 一1 七+ 1 + 口，七+ 2 + 工i! ； ；一1k4 - 2 + 口， ；i i； ji一1刀一11万： ：一刀一万 ； ；ji 。n l + a 。刀+ 笠 ： ：n 一。刀+ o 一1 二111 - 1 n + 口厢 其中上述b 的特征值仃陋) 一 凡，九，如，九) 且b q “。) 。 结合定理2 1 1 和定理2 1 2 ，可得定理2 1 3 ： 定理2 1 3 1 5 1 ：如果以是奇数且珂3 ，则彳。是谱任意模式。 从上述三个定理的证明过程可以看出，证明彳。为谱任意符号模式主要运用的方法是 构造法。另外文献 4 证明条形符号模式矩阵的谱任意性时也借助s o u l e s 矩阵来构造。 从上述证明过程可以看出用构造法证明符号模式谱任意需要很强的技巧性。 2 2 幂零一雅可比方法 证明符号模式谱任意最常用的方法就是著名的幂零雅可比方法，以下简称n - j 法。 所谓n - j 法就是： 引理2 2 1 【6 i a 是一个厅阶符号模式矩阵，若q o ) 中蕴含幂零矩阵j 5 i ，r b 中至少含有厅 个非零元气五，气厶，气l 若把b 中的这露个非零元用变量j 。，毛代替，代替后所得到 的矩阵记为x ，且b ) a r a 1 石+ c 1 2 x ”- 2 + ( - 1 ) ”1 口z + ( 一1 ) 1 口。如果当 一 ) i ( ， 厶) 时， 卜铡乩舢的每一个母模式都谱任意。 从上述引理易知，运用n - j 法证明一个符号模式谱任意的关键在于从它的定性矩阵 类中找出幂零矩阵，然后求在幂零点处的雅可比行列式。而在找幂零矩阵时，有时能够 求出确切的幂零矩阵，有时只需要证明幂零矩阵的存在性。下面就这两种情况进行举例 1 中北大学学位论文 分析。 2 2 1 求出确切的幂零矩阵 m s c a v e r s 等人运用n j 法，证明了下列模式谱任意【9 l ： d 。，一 一 + 一0 0 一o o o o0 +o 0+ 0 o一 其中第一列中含有，个负元素，2s rs 刀，y s2 r 。令 a 。，= o o 0 +o 0+ o+ e q ( d ，) 。 引理2 2 2 【9 】当珂墨2 r ，令口。一1 ，口一l 。0 ，则彳 的特征多项式为： 乏 ；嘞) , x n 44 - ( 沙- 口r - l h ”+ ，弘，( 荟口t ) - a i - - t - l ( k _ 砂“。 引理2 2 ：3 1 9 j 当疗s2 r 时，符号模式矩阵见，蕴含幂零。 证明：从引理2 2 1 可以看出石“的系数为：当1sis ，一1 时，五一q q i ；当f 一广时， 厂，一y 口f 一口，- l ：当，+ 1s fs ，l 时，正一a i _ r ( 罗口j ) 一口f ，一l ( 罗口t ) 。要求幂零矩阵，令 4lh,d，重哥七暑1 五l0 ( 1s is 甩) 。兰i 刀 2 r 时， 易知口l 车口2i t 口，一li 1 ， 口，暑口，“= ；口一量。 n 一，+ l 当刀2，时，容易得到口。口：。，口一，1，口，。口m一口脚，竿-r+xr2+4。口。， 8 0；0 0 1 1 0 1 0 o 一 0 o o 1 鸭 0 1 0 o 0 n 1 0 0 ；0 q q 吒吩；q 0 ；0 一 一 一 一 中北大学学位论文 口。d = 口。2 。因此引理结论成立。 定理2 2 4 【9 j 当刀g2 r 时，d 。，及它的每一个母模式都谱任意。 证明：根据n j 法，引理2 2 2 中已求出确切的幂零矩阵，现在只需要求出在幂零点处 的雅可比行列式。 兰in 0 ，z ，z 暑非 空，且m i n ( z g ) m i n ( z ，) ，则z 非空，m i n ( z ) m i n ( z g ) 。 引理2 2 6 1 1 9 1 ，l 3 时，存在幂零实现。 证明：若a e q ( x ，) ，当彳的特征多项式为石4 时，a 是幂零矩阵，又由于爿的特征多项 式的系数为： 口l 。a l - i ， 9 中北大学学位论文 口一a j a j l ，j t2 ，r - l ( r 乏3 ) ， 口j 。a 口，1 + 6 ，a ，一， 歹；r ，刀一l ( r 2 ) ， 口 。b , a ，一a h 一1 。 令q o ，( 1 s is 一) ，得a 。一；a ，4t 1 ，从上述方程组中不易求出其它未知量，也就是 说不容易找到确切的幂零矩阵，这个时候只需要考虑幂零矩阵的存在性即可，可以借助 中值定理来证明。 令以t f ，若厂 i n ，把口，口，口4 都写成关于f 的多项式，则 口，( f ) ta r _ l ( f ) 一t a o ( r ) ，1 - t ，a r 1 1 0 f ) - a r ( t ) - t a l ( f ) ，1 2 t ，a 2 r - i ( f ) = 1 一r f ， 口2 ，( f ) = n 2 ，一1 1 3 f ) - t a ，1 0 f ) ，a 2 r + l o ) 一a 2 r ( f ) - t a ，+ 1 ( f ) ，口。1 ( f ) 一a n - 2 ( t ) - t a n - 1 - r o ) ， 0a a q ( t ) - t a 。，( f ) 。令 o ) = a n _ l o ) - t a 。，( f ) ，易知当j f = ，+ 1 ，n 一1 时，a j ( 0 ) = 1 ， j i l ( 0 ) a1 。反复用推论2 2 4 m i n ( z ) r a i n ( z ；, 一。) m i n ( z 。) m i n ( z 口，) 。 若昙s ， 刀，i 。o 工，以一，一1 时，a r + i o ) 。1 一( f + 砂，则由推论2 2 4 可知： 二 m i n ( z ) m i n ( z 4 - 。) 0 ，所以- ， 0 。 由n - j 法可得下列定理： 定理2 2 8 【1 9 l 当2s 厂 0 ， ， ol o ；0 1 o 1 一 o 1 1 4 o o 1；“矗 0 o ；0 1 o ，j以o 0 o 0 1 “ _ i 1 o 以o；o气；o 0 厶 “ q吒； 钆q o ； ；0 1 o 0 一 一 ，j 0 0 o 0 1 “ o o 1以 o 0 1以0；0气 一 1以0；0“0；o 中北大学学位论文 证明r 。，谱任意时，主要运用的还是n - j 法，但是在求幂零矩阵时，不容易求出确 切的值，所以借助了中值定理来证明。 2 3 既可以用构造法又可用幂零一雅可比方法的符号模式 有些谱任意符号模式矩阵既可以用构造法又可以用n - j 方法来证明，例如对符号模 式矩阵： 彳2 【：= 】， 可以糙叫呻l + | 嚣貅m 小小州- 1 小“，卜瑚其谱剧翱，还可以 运用n d 方法证明其谱任意【8 1 。 又如条形符号模式矩阵，在证明其谱任意时，可以构造s o u l e s 矩阵来证明1 4 】，也可 以用n - j 方法证明形 ) 谱任意，又由于冬形符号模式矩阵是吃似) 的母模式，因此， 条形模式谱任意【明。 2 4 本章小结 从上述三节几种证明谱任意的方法中，可以看出构造法需要很强的技巧性，只适用 于少数符号模式；幂零一雅可比方法是证明符号模式谱任意最常用的方法，运用范围很 广，只需要求出幂零矩阵，然后算出在幂零点处的雅可比行列式是否为零即可。在求幂 零矩阵时，如果比较容易求出幂零矩阵，则直接运用n j 方法即可；如果不容易求出确 切的幂零矩阵，但是借助其它方法能够证明其存在性，则也可以运用n - j 方法证明。 第三章一类特殊的极小谱任意模式 在这一章中，运用n j 方法证明了下列特殊的符号模式极小谱任意，证明过程中借 助中值定理证明了幂零矩阵的存在性。 1 2 e 堋一 中北大学学位论文 一一0 +0一 一o 0 s g n ( - 1 ) ； s g n ( 一1 ) ”1 0 o0s g n ( 一1 ) ”1 其中最后一行的s g a ( 一1 ) “+ 1 】在第m 列( 2s m s 行- 1 ) 。 从上述符号模式的定性矩阵类中任意取出一个实矩阵，都相似于下列矩阵，所以只 需考虑下列实矩阵： a ； 其中上述s 垆( 口，) 一s 伊【( 一1 ) 】，s g n ( b ：) - s 印【( 一1 ) p 肿1 】。 要计算彳的特征多项式，先给出下列两个行列式： c d ，一 一口，+ 1 ： 一a 一1 由上述两个行列式可知下列引理成立： 引理3 12 s 历s 万一1 时，a 的特征多项式为： 1 3 ( 3 1 ) 一石。一z ”以+ ( 一1 ) “b 2 ， 0；0 0 一 + 0 一 o 0 0 o 一 0；0 o 1 o 0 o d 0；0 o 0 0；0 一 吼q；o 0 ；0 1一_1_lxiu4 0 ；o 1弘11d1一 z 0 x o 0 1 o 1 1 x 0 1工0；0 石o：o也川 中北大学学位论文 一二_ 一 x n - m + l _ _ x n - m 一( 一1 ) n - m + l b 2 】【z ”- 1 + 蓦( 一1 ) i a i x m - 4 - 1 】+ 一1 ) ( 茎( 一1 ) j a j x n - j - 1 ) 。 藿 要求幂零矩阵，先给出下列两个定义： 定义1 ：对实多项式厂o ) 来说，令z ，- a oi ，( 口) to 。如果z ，非空，则z ，的最小值 m i n 仁，) 表示。 定义2 ：对实多项式厂o ) 来说，令z ，= p - o l 厂( 口) = o 。如果z ，非空，则z ，的最小值 用m i n ( z ，) 表赢 ， 引理3 2 若，o ) 和g ( o 都为实多项式，且h q ) 一- g ( o - 矿( o 。若，( 0 ) g ( 0 ) 一0 ， s g n g ( o ) ，s g n ( 一1 ) 7 ，( 0 ) 】，z ，和z g 非空。如果o m i n ( z g ) m i n ( z ，) ，为奇数，则 z 非空，0 m i n ( z ，) ， ，为偶数，则z 非空， 0 m i n ( 乙p m i n ，( z 譬) 。 证明： 如果0 0 ，g ( 0 ) 0 ，那么j l l 心) = - f 。厂以) o ； ( 2 ) 若厂( 0 ) o ， i ( 0 ) o 。 根据中值定理可知，存在一个实数口，o a f j ，使得 ( 口) 。0 。因此，z 一非空， 0 m i i l ，( z ，) ，是偶数，令一t 1 m i n ( z g ) ，则： ( 1 ) 若，( 0 ) 0 ，则f ( - t g ) o ，h ( - t 掌) - t 暑，( 一t ；) 0 ，i l ( 0 ) = 一g ( o ) 0 ； ( 2 ) 若，( 0 ) 0 ，则，( 一0 ) 0 ，h ( - t 量) 一t g f ( - t 暑) 0 根据中值定理可知，存在一个实数口，一t 暑 r a i n7 ( z 暑) 。 为运用n - j 方法，下列我们考虑两个行列式： 14 中北大学学位论文 c 。， d 艚， j 0o 0 1oo 11o 011 o 如 0 b 2 01 ： a 1 01 0 o 口2 ： a m 一4 0 口_ 一3 1 a m 一2 1 口，一1 上述两个行列式中，当f = 1 ，2 ，肌一1 时，s g n ( a ；) = s g n ( 一1 ) 1 ，s g n ( d j ) 一+ ，s g n ( b ) = + ， s g n ( b ：) 一s 印【( 一1 ) 4 1 + 1 】。最后一行的b ，b 2 在第m 一，列。如果，m ，则q ，不含屯， d m ，中不含6 。 引理3 3 【1 9 l 如果1si t s 以，2s ， 0 。 弓i 理3 4 如果1s 所s 疗，2s ，n ，贝0c 二，乒0 。 证明：把d 。，的第行亍加到第f + 1 行( f - 1 , 2 , ，研- 1 ) ，然后把第所于的- b 倍分别加到第 歹行( 其中f = 1 ，2 ，肌- r ；，一f + ，o i p m ) 。把c 。，的第f 行的- 1 倍加到第i + 1 行 ( i 一1 ，2 ，朋- 1 ) ，然后把第f