公交车调度的数学模型

第 1 9卷 第 4期 2 0 0 3年 l 2月 北京建筑工程学院学报 J O UR NA L O F B E I J I NG I N S TI T L r r E O F V d 1 9No 4 De e 2 0 0 3 文章编号 ： 1 0 0 46 0 1 l ( 2 0 0 3 ) 0 40 0 6 70 5 公 交车调度的数学模型 李群 高 叶伟 王 维 邵晓丽 ( 基础部 北京1 0 0 0 4 4) 摘要： 通过对所给的一个典型工作 日的上行、 下行各站的乘客流量统计的分析， 从公交公司利益、 社会 需求两方面考虑， 制定了该线路的公交车全天调度方案。 关键词： 数学模型； 曲线拟合； 公交车调度 中图分类号 ： U4 9 2 2： 02 9 文献标识码： A 0 引言 公共交通是城市交通的重要部分 ， 也是市 民出 行的重要工具 。 作好公交车的调度 对于完善城市交 通环境 、 改善市 民出行状况、 提高公交公司的经济和 社会效益。 都具有重要的意义。 题 目给出了典型工作 日每小时乘客流量的统计 数值、 车站设置情况 ， 以及公交车 的一些基本情况。 要求在同时满足公 交公 司利 益 和社会 利益 的条件 下， 建立数学模型制定出该条公交线路的调度方案 及所需车辆数( 详细数据参见 2 0 0 1 年大学生数学建 模竞赛 B题) 。 1 基本假设 假设上、 下行车首发时刻均为 5点整， 即 0时 刻 ； 且上 、 下行末班车到达终点时刻均为 2 3点整 。 假设在各车站停车时间可以忽略。 假设每位乘客均按先来者先上车的规则上车。 假设所有运营的车辆全部为全线运营， 而非区 间车。 2 问题的分析 2 1 曲线拟合分析 题 目给出的统计数据仅精确Ni l , 时， 而最终发 收稿日期： 2 0 0 3 1 1 0 4 作者简介： 李群商( 1 9 5 5 年一) 女 理学硕士 副教授 数学教研室。 车时刻表必定精确到分钟， 所以我们至少应对每分 钟的客流量进行分析。 我们采用曲线拟合的方法， 利 用原始数据， 得到乘客需求量与时间的函数。 2 2模型实现分析 题 目最终需要的是一条公交线路全天的调度方 案。 而该调度方案受到公交车情况， 乘客需求随时间 分布等诸多因素的影响， 因此我们将利用曲线拟合 得到的数据以全天模拟运营的方法来安排发车时 间。 从而得到所需的调度方案。 3 符号说明 t( 小时) ： 5 t 2 3 r ( 人) ： 第 i 站上的第志时段内的负荷增量， 即第 i 站第志时段内上、 下车人数之差； ( 人) ： 第 i 站上的第志时段之前的累积负 荷增量。 拟合后表示第 i 站上的累积人数； N ( 人) ： 车进站时第 站上理论增加的人 数； L ( 人) ： 车出第 i 站时车上的人数； S ( 人) ： 车出站时第 站上剩余的人数； X( 小时) ： 车从第 i 一1 站到第 i 站之间所需 要的时间， 设 X。 =0 ； T ， ( 小时) ： 第 辆车与前一辆车发车的时 间间隔； 维普资讯 北京建筑工程学院学报 第 l 9卷 丁 J ( 小时) ： 第- 辆车的发车时间； x L ( 人) ： 汽车离开第 i 站台时车上增加的人 数。 除个别说明外 i表示车 站序 号， 表示车辆序 号。 其余符号在文中陆续引出。 4 模型建立 4 1 拟合函数 4 1 1 拟合假 定 我们将上、 下行首发车时刻 5 ： 0 0记为 0时刻。 由于实际中0 时刻在首发站上车的人数不多( 大约 十几人) ， 从简化问题的角度考虑， 设定 0 时刻首发 站需求量为 0 ， 将这十几个人放在下一站考虑。 4 1 2 确定拟合数据 问题给出的统计数据为每个小 时各站上车人数 和下车人数 ， 取一个小 时为一个 时间段 全天分为 1 8个时间段。 第 i站在 第 k个 时 间段的负荷 增量 上 ( ， z ) 为 上 车 人 数 减 去 下 车 人 数， N =h i ( = j =O 0 1 ， 1 8 ) 为第 k时段末负荷增量的总合， 称为乘 客需求量。 用时间和乘客需求量作为拟合数据。 4 1 3 拟合结果 记 Y i ( t ) 为第 i 站在 t 时刻乘客需求量， 利用 Ma t h e m a t i c a 软件对以上数据作曲线拟合， 得到每一 站的拟合函数。 ( 附录 1 ) 4 2 发车时刻表的获得 模型 1 模拟运营： 4 2 1 模 型假 设 运 营规则： 在车上的人 数不超 过 1 0 0人 的前提 下， 所有乘客都上车。 如果有剩余， 则记录每站剩余 的人数 。 假设上一辆车的 5 ( ) i 已知。 4 2 2 模型建立 车行驶过程中车上的人数 L是经过第i 站后每 站车上增加的人数 L i ( 可为负数) 的和。 i L = L _ m = 。 l 站上增加的人数为 ， = N f +S H。 当1 0 0一 I 时， L i= = + S 一 I L = L ； 反 之， L =1 0 0 。 埘 。 I S 。 的确定： 当 L 大于 1 0 0时， S =L 一1 0 0 。 4 2 3 模 型 细化 NI 的确定： 在没 有公交车开动的情况下 ， 随时间增加站上 的人 数不断积累。就第 辆车进第 i站而言， 假设第 辆车到达的时刻为t+Xi 上一辆车离开的时刻为 t 。 到 t 时刻为止第i 站的乘客数为t 时刻该站的累积 人数 一 。 。 同理到 t +X i 时刻为止该站上乘客数为 t+X。 时刻该站的累积负荷增量 Nl 。 在两辆车到达 的间隔时间段 X 中该站的乘客逐渐增加。 站上理论 增加 的人数应为 ： Nl= Ni N I N 可由拟合所得函数Y ( t ) 得出。 t 为到站时刻 ， 有 J i t =5 + + 所 以 N l =N NI I=Y ( t ) 一Y f - l ( t ) J i = Y ( 5 +Z X T + ) 一 Y H( 5 + 埘 =I 1 i I Z X T + x 一 。 ) L 的确定： 按假设运营规则， 车不一定带走所有乘客， 故要 考虑上一辆车的剩余乘客 S ( - I ) 。 所以 L = Ni+ 5( j - I ) i J i =Y ( 5 + Z X T +墨) 一 Y H( 5 + m = l I i I Z X T +X H) + S m L 的确定： 综上所述， 第 辆车离开第 i 站时， 该车上的人 数为 ： i L =( I ) + s ( i - I ) H曹 I i i = I s ( 5 + + 墨) 一 Y H( 5 H I 埘 I H I i I + T m +X H) + s ( H H 当 L 大于 1 0 0时， L i 限定为 1 0 0 。 特殊 L 的确定： 当丁 J 为0 时， 第 辆车与前一辆车同时开出， 所 以 L f= S ( i - I ) o 模型 2 测试运行， 求解发车时刻表： 维普资讯 第 4期 李群高 叶 伟等： 公交车词度的数学模型 6 9 第 辆车从 为 0开始模拟运营 ， 模拟运营 中一旦出现 L 大于 1 0 0的情 况， 这辆公 交 车即在 I 十 时刻发车； 反之， 加 1 ， 进 行下一次 模拟运营。 当 丁 ，= 1 0时 ， 为了保证公众 的利益 ， 即使 L 。 1 0 0 也要发出该辆汽车。 发车的同时计算 出该车经过各站后， 各站的剩余乘客数 S ， 从而可 定出每辆车与上一辆车的发车时刻的间隔 丁 。 模型 3 求解公交公 司的车辆数 定义完成上 、 下行运营所需的最大时 间为循环 时间段。 定义所需车辆数为在循环时间段 内在路上跑的 所有车的数 目。 在当一辆车从总站开出， 直至它到达终点站这 段时间内开出的所有的车都必定在一确定的线路上 运行而不可能到达终点 ， 所 以在这段时 间 内发 出的 所有的车辆总数的最大值将是公交公司完成运营任 务需要 的最小公交汽车数 。 我们的思路是 ， 对于上行路线 ， 以上行路线至少 需要的总时间4 3 分钟为跨度， 以 1 分钟为步进， 计 算在一个工作 日的运营时 间中， 首发车 时刻为起始 的各个跨度 中发 出的公 交 汽车总数 。 形 成列 表。 同 理 ， 对下行路线 以 4 4分钟 为跨度进行处 理 ， 得到另 一 个列表 。 因为 ， 我们在计 算公交车需要 的车数 时 ， 是使用一辆车走完全程所需要的时间划分的， 并且 上 、 下线路所花费的时 间只相差 1分钟。 所 以， 可 以 认为从上行方向的车全部驶出后下行的车都会到达 终点， 不会影响上行下一个班次的发车。 因此， 可以 将两个列表中相同时刻对应的时间段 中的公交汽车 数量相加， 形成新的列表， 在这个新列表 中， 记录着 各个时间段， 分别从上下行的发车站发 出的公交汽 车的总数， 其中最大的数值即为公交公司完成运营 任务需要的最少的公交汽车数。 最后得到公交公司 完成运营任务需要 7 4辆公交汽车。 5 模型的求解 我们使用 V is u a l C+利用上述的模型建立思 想分别对上行和下行的函数图形进行编程求解， 分 别得出上行和下行的发车时刻表。( 附录2 ) 6 模型评价 模 型应不仅考虑到公交公司的利益， 而且要考 虑到公众的利益。在前面我们已经从公众角度考虑 到乘客候车时间一般不要超过 1 0分钟 ， 同时从公 司 的角度考虑到车辆 的利 用率 ， 这个模型在保证候 车 时间不超过 1 0分钟的情况下， 尽可能多的利 用 1 0 0 人的标准载容量。 但是 ， 正是由于尽 可能多的利用 1 0 0人的标 准 载容量 ， 所 以有一些乘客可能会 因为载容量的限制 ， 而不能搭乘上他所 看到的第一辆公交 汽车 ， 必须等 待第二辆公交汽车的到来。为此 ， 我们设立 了一个 针对全天的指标作为一个模型评价标准 ： “ 每十分钟 的等待人次” ， 其单位为人 。这个指标表示了看 到了 第一辆车， 却要等待 1 0分钟后搭乘第二辆车的乘客 人次。经计算 这个模型的每十分钟的等待人次为 1 6 万 人次 。 7 模型推广 此模型在高峰时期的发车 间隔过短 ， 根据对原 始数据的分析， 我们认为， 如果在上行高峰期 ， 替换 一 部分全程车辆为 区间车 ， 并在车辆允许的情况下 加开少数上行区间车， 将可以降低运营成本， 同时保 证大多数乘 客的利益 。 事实上， 在实际情况中， 有很多因素影响着发车 时刻表的安排， 要设计一个更好的调度方案， 只依靠 一 天的乘客数量统 计是远远不够 的。因此 ， 我们认 为若要制定出较完善的调度方案， 需要在一天的时 间内， 调查的时间段要进一步细化， 例如： 1 )一周七个工作 日的乘客需求量 ； 2 )在大 尺度上 ， 需要 多周 的乘 客需求 量 的综 合； 3 )以车为对象， 对各个车辆在线路全程上的行 驶时间、 运营量、 交通状况的跟踪采样。这些因素对 于调度方案都会产生影响 参考文献： 1 叶其孝 大学生效学建模竞赛 M 长沙： 湖南教育出版社 1 9 9 8在 2 】 叶其孝 数学建模教育与国际数学建模竞赛 M】 长沙： 湖南 教育出版社 1 9 9 4年 3 】 叶其孝 大学生效学建模竞赛辅导教材 M】 长 沙： 湖南教育 出版社， 1 9 9 3 年 4 】 姜启源 数学模型( 第二版) M 北京： 高等教育出版社 1 9 9 1钽 维普资讯 7 0 北京建筑工程学院学报 第 l 9卷 5 【 6 j 杨风翔 截瑞彩 孙品 数缸分析 M 天津： 天津大学出版 杜 1 9 9 8年 严蔚敏 吴伟民 数据结构 M 北京 ： 清华大学 出版社 1 9 9 9证 李涛等 Ma d a b 工具箱应用指南 M： 北京： 电子工业出版社 2 0 0 0证 8 杨钜等 Ma t h e m a t i c a 应用指南 M 北京： 人民邮电出版 t 1 9 9 9年 9 张志涌等 精通Ma t l a b 5 3版 M 北京： 北京航空航天大学 出版 杜 2 0 0 0年 1 0 刘来柄 曾文艺 数学模型与数学建模 M 北京： 北求师范 大学 出版扯 1 9 9 9年 Th e M a t h e ma t i c a l M o d e l a b o u t Di s p a t c h i n g P u b l i c Tr a f f i c L i Qu n g a o Y e We i W a n g W e i S h a o Xi a o l i ( D e p t o f B e s i c S c i e n c e s B e ij i n g 1 0 0 0 4 4 ) Ab s t r a c t ：I n t h i s p a p e r ， b y a n a l g i n g t h e fl o w o f p a s s e n g e r i n a d a y 、c o n s i d e r i n g o n t h e b e n e f i t o f t r a f f i c c o mp a n y a n d s o c i a l d e ma n d s t h e d i s p a t c h s c h e me i s wo r k d e o u t Ke y wo r d s ：ma t h e ma t i c a l mo d e l ；t h e fl o w o f p a s s e n g e r ；d i s p a c h s c h e me 附录 1 上行拟合函数 A1 3 ： v：2 4 3 3 9 6 t +5 6 6 6 2 6 t 一2 5 6 4 1 4 t 3+3 5 2 9 3 h一2 1 4 5 9 6 t +0 0 5 5 8 4 9 5 t 一0 0 0 0 4 2 6 6 6 t A1 2： v ：3 3 9 0 1 1 3 t 一0 7 7 4 9 8 4 一1 1 8 5 4 5 t +1 5 0 8 2 4 t 一0 0 3 9 7 3 3 7 t 一0 0 0 2 3 2 2 5 2 t +0 0 0 0 0 9 9 1 5 8 3 t Al l ： v=3 2 1 7 2 5 t 一1 6 5 9 5 8 t ： 一5 2 2 5 3 t +0 7 5 5 1 4 t 一0 0 1 3 3 1 2 t 一0 0 0 1 9 1 5 7 4t +0 0 0 0 0 7 0 3 0 1 5 t A】 0 ： y=1 4 9 5 9 5 t +5 8 3 0 3 8 t 一9 7 3 5 4 2 t +1 8 2 6 0 6 t A9： y=5 3 5 5 8 6 t 一6 1 71 6 8 t 一2 5 31 6 2 t +1 0 61 6 2 t A 8 A 7 。 A 6， A 5， A 4 ， A 3 ， A 2 ， A1 ， A 0略。 一 0 1 4 8 1 7 4 t + 0 0 5 6 3 5 7 4 t 一 0 0 0 0 0 8 2 4 3 0 6 ( 一0 0 6 2 1 3 0 2 t +0 0 0 0 3 9 9 4 8 9 t +0 0 0 0 0 3 2 5 7 3 6 t 下行拟合函数 A0： y = 一3 7 5 9 1 1 t +1 6 6 9 7 4 t 一41 7 2 8 8 t +4 0 2 0 4 3 t 一1 2 9 2 6 t 一0 01 8 4 91 3t +0 0 0 1 2 6 6 4 5 t Al： y =5 5 1 5 5 4 t +2 2 2 2 4 6 t 3 7 8 0 1 7 d一 0 A2； y =9 2 2 8 0 2 t +1 6 3 3 3 h 一3 7 9 5 0 5 t +2 4 0 7 2 2 + 0 1 2 0 8 1 3 t 一0 0 0 8 2 4 4 7 5 t 6 + 0 0 0 0 1 7 9 5 9 ( 7 3 9 5 6 t +0 0 3 2 8 8 7 9 t 50 0 1 0 5 7 4 8 + 0 0 0 0 2 9 6 2 1 7 ( A3： v ： 2 5 4 5 6 3 t + 2 9 2 2 4 7 t 一8 1 5 8 2 2 t + 0 8 4 1 1 3 7 d一 0 0 3 3 8 4 7 8 t + 0 0 0 0 1 9 7 8 4 5 t + 0 0 0 0 1 1 7 1 5 5 ( A4： v ：1 4 1 4 2 1 t 一 2 6 0 9 4 4 t + 6 6 8 5 5 t 一7 2 4 7 2 5 t +0 3 5 3 9 5 2 t 5 0 0 0 6 4 4 7 7 9 d+ 0 0 0 0 0 0 1 3 2 4 7 3 ( A5： v ：1 3 1 8 2 2 t 一2 3 7 3 1 t + 5 5 3 6 1 8 t 一5 0 2 4 3 6 t +0 1 4 3 3 7 9 t + 0 0 0 3 2 3 2 9 8 t 一 0 0 0 0 1 7 1 0 5 9 ( A 6 A 7。 A 8， A 9 ， A1 0， AI l ， AI 2略。 维普资讯 第 1 期 李群高 叶 伟等： 公交车i I 耐 度的数学模型 7l 附录 2 发 车日 ,-t N 次 5： O 0 5 0 5： 1 0 5 l 5 ： 2 0 5 2 5： 3 0 5 3 5： 3 8 5 1 5： 4 3 5 5 5： 4 4 5 6 5： 4 4 5 7 5： 4 8 5 8 5 ： 5 2 5 9 5： 5 2 6 0 5 ： 5 5 6 l 5 ： 5 6 6 2 5： 5 9 6 3 6： 0l 6 4 6： 0l 6 5 6： 0 4 6 6 6： 0 7 6 7 6： 0 9 6 8 6： 0 9 6 9 6： 0 9 7 0 6： 1 2 7l 6： 1 4 7 2 6： l 6 7 3 6： 1 7 7 4 6： 1 7 7 5 6： 1 9 7 6 6： l 9 7 7 6： 2 1 7 8 6： 2 3 7 9 6： 2 5 8 0 6： 2 5 8 l 6： 2 5 8 2 6： 2 7 8 3 6： 2 9 8 4 6： 3l 8 5 6： 3 3 8 6 6： 3 3 8 7 6： 3 3 8 8 6： 3 4 8 9 6： 3 6 9 0 6： 3 6 9 l 6： 3 8 9 2 6： 3 9 9 3 6： 3 9 9 4 6： 41 9 5 6： 4 3 9 6 6： 4 3 9 7 6： 4 3 9 8 下行路段发车时刻表略。 上行路段发车时刻表 -t i = - t i = - t o - t i = - t o 发 车时刻 发 车时 刻 发车时刻 发 车时刻 发车时 刻 发车 -t 刻 6： 4 5 9 9 6： 4 7 1 0 0 6： 4 8 l 0l 6： 4 8 1 0 2 6： 4 8 1 0 3 5： 5 0 1 0 4 6： 5 2 1 0 5 6： 5 4 1 0 6 6： 5 4 1 0 7 6： 5 1 1 0 8 6： 5 4 1 0 9 6： 5 6 l 1 0 6： 5 8 l 1 l 6： 5 9 l 1 2 6： 5 9 l l 3 6： 5 9 l l 4 7： 0l l 1 5 7： 0 3 l 1 6 7： 0 3 l 1 7 7： 0 3 l l 8 7： 0 5 l l 9 7： 0 5 1 2 0 7： 0 7 1 2 l 7： 0 7 1 2 2 7： 0 8 1 2 3 7： 0 8 1 2 4 7： 1 0 1 2 5 7： 1 2 1 2 6 7： 1 3 1 2 7 7： 1 5 1 2 8 7： 1 5 1 2 9 7： l 5 l 3 0 7： 1 5 l 3 l 7： 1 7 l 3 2 7： 1 8 1 3 3 7： 1 8 1 3 4 7： 2 0 1 3 5 7： 2l 1 3 6 7： 2 l 1 3 7 7： 2 3 1 3 8 7： 2 3 1 3 9 7： 2 4 1 4 0 7： 2 4 1 41 7： 2 6 1 4 2 7： 2 7 1 4 3 7： 2 9 1 4 4 7： 3 0 1 4 5 7： 3 0 1 4 6 7： 3 0 1 4 7 7 ： 3 2 1 4 8 7 ： 3 4 1 4 9 7： 3 5 1 5 0 7： 3 5 l 5 l 7： 3 5 1 5 2 7： 3 7 1 5 3 7： 3 9 l 5 4 7 ： 3 9 1 5 5 7： 3 9 1 5 6 7： 4l 1 5 7 7： 4 3 1 5 8 7： 4 3 1 5 9 7： 4 3 1 6 0 7： 4 5 1 6 l 7： 4 6 1 6 2 7： 4 6 1 6 3 7： 4 8 1 6 4 7： 5 0 1 6 5 7： 5 0 1 6 6 7： 5 0 1 6 7 7： 5 2 1 6 8 7： 5 4 1 6 9 7： 5 4 1 7 0 7： 5 4 1 7l 7： 5 6 1 7 2 7： 5 8 1 7 3 8： O 0 1 7 4 8： O 0 1 7 5 8： 0 0 1 7 6 8： 0 2 1 7 7 8： 0 2 1 7 8 8 ： 0 4 l 7 9 8： 0 5 1 8 0 8： 0 5 1 8 1 8： 0 7 1 8 2 8： 0 9 1 8 3 8： 儿 1 8 4 8： l l 1 8 5 8： l l 1 8 6 8： 1 3 1 8 7 8： l 5 1 8 8 8： l 5 1 8 9 8： 1 6 1 9 0 8： l 8 l 91 8： l 8 1 9 2 8： 2 0 1 9 3 8： 2 2 1 9 4 8： 2 4 1 9 5 8 ： 2 4 1 9 6 8： 2 4 1 9 7 8： 2 6 1 9 8 8： 2 8 1 9 9 8： 3 0 2 0 0 8： 3 2 2 0 l 8： 3 4 2 0 2 8 ： 3 4 2 0 3 8 ： 3 4 2 0 4 8 ： 3 6 2 0 5 8： 3 8 2 0 6 8： 3 9 2 0 7 8： 3 9 2 0 8 8： 4 1 2 0 9 8： 4 3 21 0 8： 4 5 2 l 1 8： 4 7 2 1 2 8： 4 9 21 3 8： 5 l 2 l 4 8： 5 l 2 1 5 8： 5 2 2l 6 8： 5 4 2 l 7 8： 5 6 2 1 8 8 ： 5 8 2 1 9 8 ： 5 9 2 2 0 9 ： 0 2 2 2l 9 ： 0 4 2 2 2 9： 0 4 2 2 3 9 ： 0 7 2 2 4 9： 0 9 2 2 5 9 ： 1 2 2 2 6 9 ： 1 3 2 2 7 9 ： 1 3 2 2 8 9： 1 6 2 2 9 9 ： 1 9 2 3 0 9 ： 2 2 2 3l 9： 2 5 2 3 2 9： 2 8 2 3 3 9 ： 3 0 2 3 4 9： 3 0 2 3 5 9： 3 0 2 3 6 9： 3 3 2 3 7 9： 3 6 2 3 8 9： 3 9 2 3 9 9： 4 2 2 4 0 9： 4 5 2 41 9： 4 9 2 4 2 9： 5 3 2 4 3 9： 5 6 2 4 4 9： 5 6 2 4 5 9： 5 6 2 4 6 1 0： O 0 2 4 7 1 0： 0 4 2 4 8 1 0： 0 8 2 4 9 1 0： 1 2 2 5 0 1 0： 1 6 2 5l l 0： 2 l 2 5 2 l 0： 2 6 2 5 3 l 0： 3 l 2 5 4 l 0： 3 6 2 5 5 l 0： 41 2 5 6 1 0： 4 7 2 5 7 l 0： 5 3 2 5 8 1 0： 5 3 2 5 9 l 0： 5 3 2 6 0 l 0： 5 9 2 6l l l ： 0 6 2 6 2 l 1 ： 1 3 2 6 3 l l ： 2 0 2 6 4 l 1： 2 8 2 6 5 l l： 3 6 2 6 6 l l： 4 5 2 6 7 l 1 ： 5 4 2 6 8 1 2： O 0 2 6 9 1 2： O 0 2 7 0 1 2： 1 0 2 7l 1 2： 2 0 2 7 2 1 2： 3 0 2 7 3 1 2： 4 0 2 7 4 l 2： 5 0 2 7 5 1 3： O 0 2 7 6 l 3 ： 0 0 2 7 7 1 3： 1 0 2 7 8 l 3 ： 1 9 2 7 9 l 3： 2 0 2 8 0 1 3 ： 2 9 2 8l l 3： 3 7 2 8 2 1 3： 4 5 2 8 3 1 3： 5 2 2 8 4 l 3： 5 2 2 8 5 1 4： 0 0 2 8 6 1 4： 0 7 2 8 7 l 4： 1 4 2 8 8 l 4： 1 8 2 8 9 l 4： l 8 2 9 0 1 4： 2 5 2 9 l l 4： 3 1 2 9 2 l 4： 3 7 2 9 3 1 4： 4 3 2 9 4 1 4： 4 6 2 9 5 1 4： 4 6 2