（光学专业论文）若干非线性系统中孤子结构与传输特性的研究.pdf

华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 iv 摘 要 孤子概念是20世纪非线性科学的重要发现， 其起源可追溯到英国海军工程师scott russell在1834年对河面浅水波的观察。10年之后，scott russell在英国科学促进协会 年会上报道这一现象，从此揭开了人类对自然界中大量存在的非线性系统研究的序 幕。不过孤子及其相关非线性的系统性研究是在20世纪下半叶。在最近几十年，孤 子物理学发展迅猛，目前已经拓展到了许多领域，如非线性光学、半导体电子学、 光子学、等离子体、bose-einstein凝聚、生物学、热传导、液晶等。目前已在不同的 物理系统中发现了孤子现象，如浅水波、深水波、等离子体中的电荷密度波、bose- einstein凝聚中的物质波、dna链中的激发子等。但是，最能体现孤子多样性的领域 是光学。由于现代通信产业对高容量光传输、全光信息处理与全光控制等光学技术 的潜在需求，光孤子成为所有孤子研究领域中最前沿、最热门的研究课题。另一方 面，不同非线性领域中控制孤子传输和演化的动力学方程具有相同或相似的形式， 因此不同领域间还能相互启发、相互补充，共同推动非线性科学与技术的发展。 孤子物理学是关于孤子在非线性介质中的形成、传输演化与控制及其相互作用 的一门科学，涵盖了各种类型孤子的形成机理、稳定性分析、传输特性、相互作用 以及孤子通信与控制的应用等方面的研究。最近几年，孤子研究出现了一些新的动 向，如非局域非线性介质中的传输孤子、自旋孤子、偶极孤子及 laguerre 和 hermite 孤子簇等。所有这些极大地丰富了孤子物理学的研究内容，为实现全光控制和原子 干涉测量等，以及新型材料的研制提供了广阔的前景。显然，这些是我们选择非局 域孤子作为我们研究课题的主要原因。本论文的工作主要是围绕非局域孤子来展开 的，所取得的成果如下: 1考察了非局域性对平面波调制稳定性的影响，分析了非局域性对空间孤子稳 定性负面影响的物理机制 考察了非局域性对平面波调制稳定性的影响，分析了非局域性对空间孤子稳 定性负面影响的物理机制 首先简要回顾了空间孤子稳定性研究的基本情况，阐述了非局域性对抑制空间 孤子不稳定性的作用。接着导出了非局域非线性系统模型，在此基础上讨论了含 5 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 v 阶非线性的弱非局域非线性系统中连续波调制的稳定性质。结果表明，连续波的稳 定性取决于 3-5 阶非线性的符号、 非局域度以及光波的强度。 非竞争非线性光学介质 和 kerr 介质中，连续波具有相同的稳定特性。但竞争非线性将改变连续波的稳定特 性和调制不稳定性增益谱的结构与性质。 在考查存在非线性增益情况下弱非局域竞争型非线性系统时，我们发现，相对 强的非局域性会破坏孤子传播的稳定性。在对这一现象的物理机制分析后认为，非 局域性使非线性介质成为一个相互制约的整体，不仅制约整个介质的非线性行为和 光束衍射的行为，同时也使不同位置的微扰相互关联。因此孤子在传播时，要受到 介质整个区域的微扰影响，过大的非局域性必将导致孤子传播不稳定。这一新发现 的现象有助于我们更好地理解非局域性的本质。 2从理论上分析了矩形边界条件对强非局域孤子簇结构和对称性的影响从理论上分析了矩形边界条件对强非局域孤子簇结构和对称性的影响 介质的非局域性依赖于其边界条件和物理特性， 因此非局域性会通过边界条件对 孤子的结构和传输特性施加影响。在介绍由c. rotschild等人完成的有限非局域非线 性介质中相干椭圆孤子和涡流环形孤子观测的实验基础上，我们应用自相似方法完 成了所相应的数学模型的求解，从理论和数值模拟两个方面对空间孤子簇的结构与 对称性进行了系统分析，获得了一些结果。 首先，大范围矩形边界下非局域热铅玻璃中可存在和传输hermite-gaussian类型 的空间孤子，具有单孤子和多孤子两种结构，在初始条件和系统参数给定的情况下， 其结构由二个整数参数决定。 其次，不论是单孤子还是孤子簇，对于确定的介质，孤子呈现椭圆形，其对称性 不仅取决于介质的边界条件，而且还与入射光束的功率和对称性以及传播距离有关。 我们对理论和实验结果进行了比对分析，认为两者之间不完全一致的原因可能是实 验中样品的选择太少而造成的。 更有趣的是，孤子簇还呈现出一些独有的特征，如 hermite-gaussian 孤子构成一 个有确定行列的矩阵簇，簇中孤子的对称性与对应的单孤子相同，位于矩阵边的沿 孤子强度大于中央孤子的强度。这些特征为我们通过边界条件遥控孤子提供了可能。 3提出三维强非局域冷原子气体模型，考察二维和三维强非局域孤子的关联性提出三维强非局域冷原子气体模型，考察二维和三维强非局域孤子的关联性 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 vi 与差异性与差异性 凝聚状态下冷原子气体的非线性由局域非线性和非局域非线性两部分组成，其 中局域非线性可以通过feshbach共振技术调节。 在局域非线性调整到零的情况下， 局 域非线性效应可以忽略，但与长程相互作用关联的非局域性则占有支配地位。针对 这样一种特殊情况，我们提出了一个扩展的非局域非线性模型。研究表明，强非局 域下的三维物质波孤子属于一种新的类型hermite-laguerre-gaussian孤子簇，呈 现项链、涡流环、散斑形或矩阵结构，不同于二维hermite-gaussian孤子和 laguerre-gaussian孤子，具有更为复杂的结构和某些新的传输特性，在数学上是 hermite函数、laguerre函数和gaussian函数的乘积，在物理上表现为三个函数的相互 调制。对于孤子矩阵，其中央相邻孤子之间的间距依赖于角量子数。孤子簇在演化 过程中其宽度会发生变化，不同方向上的宽度变化取决于对应的谐振系数和原子密 度分布的初始宽度。 与此同时，我们对二维和三维强非局域孤子的特征进行了比较分析，找出了它 们之间的关联性与差异性，并从数学和物理机制上阐述了关联和差异存在的内在原 因。我们认为，无论是 hermite-gaussian 孤子、laguerre-gaussian 孤子，还是不同平 面上呈现的 hermite-laguerre-gaussian 孤子，以及其它类似的孤子（如线性孤子、自 旋轴承孤子）均属于一类孤子簇，可统一归口为 whittaker-gaussian 孤子簇。 4变参数法求解非线性变参数法求解非线性schrdinger方程方程 非线性schrdinger方程是自然界众多的非线性物理现象的数学描述，搜寻其解析 解是把握非线性物理现象的本质、揭示孤子特性的基础和关键。目前精确求解非线 性schrdinger方程的方法有很多，如反散射变换法、darboux-bcklun变换、painlve 展开法以及自相似技术等。这些方法各有千秋，在解非线性问题时各自发挥着不同 的作用。在现有解法的基础上寻找新的方法、技巧和技术仍是孤子领域的主要研究 内容之一。 所考查的nls方程含有3-5阶非线性和自陡项，不属于painlve类型方程，不能采 用反散射变换和darboux-bcklun变换求解。为此我们参考线性微分方程理论的变系 数法，特别引入一种所谓的“变参数法”的新方法，其主要思想是将标准非线性 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 vii schrdinger方程的形式解中的参数作为时间和空间的函数，然后将其代入到支配方 程，并设法确定这些待定参变量。变参数法不仅在考察超短脉冲孤子的特征方面具 有重要的意义，同时也为求解其它的nls方程提供了一个新的思路。 全文以搜寻非线性系统模型的解析解为基础， 以研究孤子解的结构和动力学特性 为目的， 具体考察了一维弱非局域非线性光学系统 （含 5 阶非线性或/和非线性增益） 、 矩形边界下二维强非局域热铅玻璃系统、三维强非局域冷原子气体以及广义非线性 schrdinger 系统等四类系统，取得了一些具体成果。 关键词: 非线性系统, 非局域孤子, 自相似方法, 变参数方法，扩展分离变量法。 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 viii abstract soliton is an important concept of nonlinear science created in the 20th century, and its origin can be traced back to the observations of the long, shallow, water waves by british naval engineer scott russell in 1834. after 10 years, scott russell reported this phenomenon in the meetings of the british association for the advancement of science. since then, a large number of nonlinear systems existing in natural world have been studied. however, until the second half of the 20th century, the soliton and related nonlinearity began to be studied systematically. in recent decades, the rapid development of the soliton physics has been extended to a number of areas, such as nonlinear optics, semiconductor electronics, photonics, plasma physics, bose-einstein condensation, biology, thermal conductivity, liquid crystal and so on. at present, the solitary phenomena are found in different physical systems, such as shallow-water wave, deep-water wave, plasma density wave, matter-wave in becs, dna chain etc. however, the area where the soliton can best embody the diversity is the nonlinear optics. due to the potential demand of the modern communication industry for the optical technology, such as high-capacity optical transmission, all-optical information processing and all-optical control, optical solitons become the most cutting-edge and popular subject in the soliton field. on the other hand, the governing equations controlling dynamics and evolution of solitons in different nonlinear fields have the same or similar form, so different nonlinear areas can inspire each other, complement each other and jointly promote the development of nonlinear science and technology. soliton physics is a branch of the nonlinear science on the formation, evolution, control and interaction of solitons in nonlinear medium, which covers the formation mechanism, stability analysis, and transmission characteristics of all types of solitons, as 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 ix well as communication and control applications. in recent years, there have been some new trends in soliton researchs, such as solitons in the nonlocal nonlinear media, spinning soliton, and laguerre and hermite soliton clusters, and so on. all these have greatly enriched the contents of the study on soliton and provide a broad prospect for achieving all-optical control and atomic interferometry, as well as the development of new materials. as such, we would like to choose nonlocal solitons as our research subject. this paper will mainly focus on the work of nonlocal solitons, and the work is summarized as follows: 1influnence of nonlocality on the modulational stable property of the plane wave and the propogation stability of the solitons to begin, we briefly review the status quo related to the studies of spatial soliton stability, and describled the suppressed effect of nonlocality on spatial soliton, and then derive nonlocal nonlinear models. based on this, the stable property of the continous wave (cw) modulation is discussed for the weakly nonlocal nonlinear system with the quintic nonlinearity. the results show that the stable property of cw modulation depends on the signs of the cubic-quintic nonlinearities, the degree of nonlocality and the light intensity. the stable properties of cw in noncompetiting nonlinear optical media are the same as those in kerr media. however, competiting nonlinearity changes the stable property of cw and the structure and character of gain spectrum for modulational instability. by considering the weakly nonlocal competiting nonlinear system with the nonlinear gain, we found that a relatively strong nonlocality reduces the stability of the soliton propagation under the certain condition. we carefully analyse the physical mechanism implied in this phenomenon, and show that the nonlocality not only restricts the nonlinearity of medium and the diffraction of beam, but also lead to the mutual association of perturations at the different positions in the medium. therefore, solitons are influenced by the perturbations in the whole region of the medium and the excessively strong nonlocality inevitably results in the instability of the soliton propagation. the newly discovered phenomenon will help us better understand the nature of nonlocality. 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 x 2. theory analysis of the impact of rectangular boundary conditions on the structure and symmetry of strongly nonlocal soliton cluster nonlocality relies on boundary conditions and physical properties of media, and then impacts the structure and propagation properties of solitons by the boundary conditions. after introducting the experiment on the observation of coherent elliptic solitons and of vortex-ring solitons carried out by c. rotschild et al, we solve the model which corresponds to the experimental system adopting the self-similarity technique, and theorelically and numerically analyse the structures of the symmetries of the spatial soliton clusters to obtain a number of the results. first of all, the hermite-gaussian soliton cluster, single-soliton or multisoliton, can exist and propagate in a thermal lead glass with the rectangular boundaries, and their structures are determined by two integer parameters in the given initial conditions and system parameter. secondly, for certain medium, the soliton, single-soliton or soliton cluster, is elliptic, and its symmetry depends not only on the boundary conditions of the mediun, but also on the power and symmetry of input beam as well as the propagation distance. by the parallel analysis, we predict that the difference between theoretical analysis and the experimental conclusion results from the choice of a limited number of samples in experiment. the particular interest lies in that the soliton cluster shows several unique features. for instance, the hermite-gaussian solitons form a rectangular matrix cluster with certain rows and columns where the symmetry of the solitons in the cluster is the same as the single-soliton. moreover, the intensities of the solitons in the edges of the rectangular cluster are bigger than those on the center, the most intense solitons occurring at four angles. these characteristics provide us the probability remotely controlling solitons by the boundary conditions. 3. three-dimensional strongly nonlocal cold atomic gas model and connection between two- and three-dimensional strongly nonlocal solitons 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 xi the nonlinearity in the system of bose-einstein condensates (bec) is composed of both local and nonlocal nonlinearities, where the local nonlinearity can be tuned by feshbach resonance technique. in the case that the local nonlinearity can be tuned to a very small value, the local nonlinear effect is negligible, but the nonlocal term is dominant, related to a long-range interaction such as the dipole-dipole interaction in a condensate. for such a special case, we have proposed and exactly solved an extended nonlocal nonlinear model. the results showed that for the strongly nonlocal case, the three- dimensional matter wave soliton, forming hermite-laguerre-gaussian soliton cluster, is a new type of solitons. the soliton cluster with comlex structures and new propagation properties displays the necklace, ring, speckle or rectangle in geometry, different from hermite-gaussian or laguerre-gaussian soliton family in two-dimension. such soliton solution is mathematically the product of hermite, laguerre and gassian functions and physically behaves as the modulations of three functions each other. moreover, the central spacing in the soliton matrix depends on the azimuthal quantum number. the width of soliton cluster in the evolution changes depending on the coefficient of resonance in the corresponding direction and the initial width of atomic density distribution. at the same time, we comparatively analyse features of the two- and three- dimensional strongly nonlocal soliton to find out the connection and difference between them and to interpret the internal reasons from mathematics and physics. we believe that the hermite-gaussian soliton, laguerre-gaussian soliton, hermite-laguerre-gaussian soliton existing on different planes, or other similar solitons (e.g., accessible soliton, bear-shaped spinning soliton) are a class of soliton clusters, being classified as the whittaker-gaussian soliton cluster. 4. variable parameter method for solving nonlinear schrdinger equation nonlinear schrdinger (nls) equation is a mathematical description of much nonlinear physical phenomena existing in nature. to search for analytical solution to nonlinear equations is a key to grasp the essence of physical phenomena and to reveal 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 xii characteristics of soliton. so far, there exist many methods for exactly solving nls equation, such as inverse scattering transform, darboux-bcklun transform, painlve expansion method and self-similarity technique etc. these methods play different roles in solving nonlinear problems. on the basis of the current method, to find new methods and skills as well as technique is still one of the main contents in the soliton field. the nls with the cubic-quintic nonlinearities as well as the self-steeping considered in chap.5 can not pass the painlve pde test and can not be solved by employing inverse scattering transform or darboux-bcklun transform transform. in this connection, we especially introduce a new method, so-called variable parameter method, referring to variable coefficient method in the theory of linear differential equations. the main idea follows as. first, we choice the soliton solution to the basic nls equation as a trial solution, where part parameters are the functions of the longitudinal and transverse coordinates. second, we substitute the trial solution into the equation considered and find these parametric functions. variable parameter method not only is of great significance in studying of the properties of solitons for ultra-short pulses, but also provides a new thinking of way for solving the other nls equations. in this article, for the purpose of studying the structures and dynamical behaviors of soliton solutions in nonlinear systems, on the basis of searching for the analytical solutions to the nonlinear models we altogether consider four kinds of models, this is, one- dimensional weakly nonlocal nonlinear optical systems with including quintic nonlinearity and / or nonlinear gain, two-dimensional strongly nonlocal thermal lead glass system with rectangular boundaries, three-dimensional strongly nonlocal cold atomic gase as well as the generalized nonlinear schrdinger model. keywords: nonlinear systems, nonlocal solitons, self-similar technique, variable parameter method, generalized variable separation method. 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 iii 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：张少武 日期： 2008 年 10 月 21 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名：张少武 指导教师签名：易 林 日期： 2008 年 10 月 21 日 日期： 2008 年 10 月 21 日 本论文属于 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 1 1 绪绪 论论 孤子（solitons）概念是20世纪非线性科学的重要发现，其起源可追溯到1834年英 国海军工程师scott russell观察到的河面隆起的水峰的保形运动。这种奇特的现象曾 令他惊叹不已，并写下一段优美的文字记载下来。10年之后（即1844年） ，russell在 英国科学促进协会年会上报道这一现象1， 从此揭开了人类对自然界中大量存在非线 性系统研究的序幕。不过孤子及其非线性的系统研究与应用是在20世纪下半叶。在 最近几十年，孤子物理学发展迅猛，目前已经拓展到了许多领域，如非线性光学2-7、 半导体电子学8,9、 光子学10、 等离子体11、 加速剂动力学12、 bose-einstein凝聚 （bec） 13、生物学14, 15、热传导16, 17、液晶18, 19等，目前已在不同的物理系统中发现了孤 子现象，如浅水波、深水波、等离子体中的电荷密度波、bec中的物质波、超引力 理论中的壁、 dna链中的激发子等16。 今天人们广泛谈论的光孤子 （optical solitons） ， 其概念产生于1973年，当时刚完成等离子体中孤子形电子回旋波研究的hasegawa进 入bell实验室研究光纤通信理论，在解决由光纤色散引起的光波通信的困难中，借助 非线性效应，认证了光纤中非线性包络波与电子回旋波间的相似性，建立了描述光 纤中包络波的非线性schrdinger（nls）方程，并与tappert一起从理论上证明，任 何无损光纤中光脉冲在传输过程中自己能形变为孤子后稳定传输。这一发现立即诱 发了一种遐想，将光孤子作为一种信息载体用于高速通信。应用是科学进步最强大 的推动力，光孤子在显示出其潜在的应用价值后，随即引起了人们研究的极大兴趣， 由此掀起了光孤子研究的热潮。 孤子物理学是关于孤子在非线性介质中的产生（形成） 、传输演化与控制及其相 互作用的一门科学，涵盖了各种类型孤子的形成机理、传输特性、相互作用以及孤 子通信与控制的应用等方面的研究。最近几年，孤子研究出现了一些新的动向，如 非局域非线性介质中的传输孤子20-26、自旋（涡流）孤子27-29、偶极孤子及 laguerre 和 hermite 30-36孤子簇等。所有这些极大地丰富了孤子物理学的研究内容，为孤子 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 2 的压缩与放大、基于孤子的通信路由与全光开关的实验研究和应用，以及新型材料 的研制提供了广阔的前景。 1.1 光孤子的概念与基本特征光孤子的概念与基本特征 光学中孤波现象的研究始于 1965 年，先后发现了自聚焦空间孤子在非线性介质 波导中的传输孤子。在光学中孤子这个词以描述光脉冲包络在非线性介质中传播时 的类似于粒子特性为特征，在一定条件下，这种包络孤波不仅不失真传播，而且象 粒子那样经受碰撞后仍能保持原形继续存在。数学上，一般把非线性波动方程的局 域行波解，称为孤波，所谓的“局域的”是指非线性微分方程的解在空间无穷远处 趋于零或有限值的情况。值得注意的是，数学所研究的孤波是非线性方程的完全可 积解，其在碰撞过程中也是完全弹性的。而孤子物理学所研究的非线性方程往往是 不可积的，进而所求得的孤波解也不一定是完全弹性的。因此在孤子物理学领域， 通常把孤子定义为非线性方程的一个有限能量的不弥散的解。光孤子是一类自捕获 的、局域的波包，其在色散（衍射）环境中传播时不展宽，它们的形成是试图使波 包展宽的色散（衍射）效应与试图使波包局域化的非线性效应两者之间准确平衡的 结果 光孤子是一类自捕获 的、局域的波包，其在色散（衍射）环境中传播时不展宽，它们的形成是试图使波 包展宽的色散（衍射）效应与试图使波包局域化的非线性效应两者之间准确平衡的 结果。所谓的自捕获（self-trapped）是指折射率非线性效应与脉冲色散或光束衍射效 应相互达到精确平衡时，脉冲或光束在传播时其形状将保持不变的一种特性。 光孤子一般分为时域光孤子和空间光孤子两大类，近年来已成为非线性光学中 理论与实验研究的主要课题之一。 1.1.1 时域光孤子时域光孤子 时域光孤子（temporal optical solitons）在光通讯领域的应用，将光孤子研究推 向了高潮。时域光孤子是指非线性介质中的光波包络（光脉冲波包）的局域描述， 最早由 hasegawa 和 tappert 在 1973 年从理论上预测它的存在37，并于 1980 年由 mollenauer 38 等人在普通光纤上首次得到实验验证，是早期发现的少数几个孤子现 象之一，如 figure 1.1 所示。在物理上，时域光孤子的产生是群速色散（gvd）和自 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 3 相位调制（spm）相互作用的结果，具有长时间形状、幅度和速度保持不变的传输 特性。我们知道，每一个短脉冲都是由一系列不同频率的谐波组成。而在任何介质 中，光的传播速度与频率有关（群速色散，gvd） ，因此脉冲频谱的不同成分其传播 速度是不相同的，从而导致脉冲展宽。另一方面，在非谐振介质中（主要的非线性 效应来源于 (3) ） ，脉冲的传播速度与其振幅有关（自相位调制，spm） ，从而在频率 上压缩脉冲。当两种效应准确平衡时，时域光孤子也就形成了3。 figure 1.1 first experimental observation of soliton formation in optical fibres by mollenauer et al 38. 图图 1.1 光纤孤子形成的首次实验观测. 对于非线性极化率为 (2) 的非谐振介质， 主要用作激光的频率转换， 如二次谐波 的产生。直到出现级联（cascading）技术39，即通过多光波的参数相互作用产生交 叉感应能移和相移（cross-induced energy- and phase-shifts） ，二阶极化率才被用于二 次孤子（quadratic solitons）的产生39-41。由于这些能移和相移能够平衡群速色散和 衍射所导致的增宽效应，因此二次孤子不仅能存在于时域，也可存在于空域，甚至 三维时空域上40。 在数学上， 上面所提到的 kerr 类孤子和二次孤子分别由非线性 schrdinger 方程 和参数匹配方程描述。除了非谐振介质能形成孤子外，谐振介质中自感应透明也可 以产生时域光孤子42,43， 这类孤子的传播特征一般用 maxwell-bloch 或 since-gordon 方程确定。 华 中 科 技 大 学 博 士 学 位 论 文 4 在通信领域，因为时域光孤子是理想的信息载体，完全摆脱光纤色散的限制， 具有高传输速率、高保真性和超大通信容量的特性，被认为是下一代最有发展前途 的通信方案之一。 1.1.2 空间光孤子空间光孤子 时域光孤子是介质色散和弱非线性共同作用的结果，而在无色散介质中，光脉 冲的群速