中学“数学建模”教学在贫困地区的实践与研究优秀毕业论文 可复制黏贴.pdf

贵州师范大学 硕士学位论文 中学“数学建模”教学在贫困地区的实践与研究 姓名：刘连广 申请学位级别：硕士 专业：数学教育 指导教师：林筑英 20080510 中学“数学建模 教学在贫困地区的实践与 研究 中文摘要 随着科学技术特别是信息技术的高速发展，数学的应用价值越来 越得到众人的重视。利用数学知识解决现实生活的具体问题了成为当 今数学界普遍关注的内容，利用建立数学模型解决实际问题的数学建 模活动也应运而生了。在素质教育中，开展数学建模活动具有十分重 大的意义，在国外，开展数学建模活动已经有了一定的规模，但在我 国，数学建模活动只在大学中开展，在中学数学教学中，数学建模活 动人们往往重视不够，甚至还没有什么开展。因此有必要对中学数学 建模及其教学活动进行较为系统的研究。 本文分五个部分对中学数学建模的活动进行系统的阐述：在问题 的提出部分中说明开展中学数学建模研究的必要性；第二部分阐述数 学模型和数学建模的相关概念；第三部分阐明数学建模的思路及其数 学建模实践；第四部分中对数学建模实践教学进行分析和评价，第五 部分总结数学建模的得失，一方面验证一下中学数学建模的成效，另 一方面为数学课程的改革提供一些参考，也为课堂教学的改革提供一 些借鉴。 关键词：中学数学，数学建模，教与学 a b s 廿a c t w i t ht h ef a s td e v e l o p m e n to fs c i e n t i f i cd e v e l o p m e n t 。 e s p e c i a l l yt h ed e v e l o p m e n to fi n f o r m a t i o nt e c h n 0 1 0 9 y ，t h e p r a c t i c a lv a l u eo fm a t h e m a t i c sh a sb e e nm o r ea n dm o r e e m p h a s i z e d t h ea c a d e m i cc i r c l e so fm a t h e m a t i c sb e g i nt o c o n c e r na b o u tt h eu s a g eo fm a t h e m a t i c a lk n o w l e d g ei ns 0 1 v i n g t h ec o n c r e t e p r o b l e m s i nr e a l1if e s ot h e o v e m e n to f m a t h e m a t i c sm o d e li n gi sc o m i n gt os e tu pt h em o d e l ， b yw h i c h t od e a lw i t ht h ep r a c t i c a lp r o b l e m s i m p l e m e n t i n gt h em o v e m e n t o fm o d e l i n gh a sg r e a tm e a n i n g si nq u a l i t ye d u c a t i o n t h i s a c t i v i t yh a sc o m et oal a r g es c a l ei nf o r e i g nc o u n t r i e s ，w h i1 e o u rc o u n t r yo n l yd e v e l o p e di ti nu n i v e r s i t i e s p e o p l eh a v e n t p a i d m u c ha t t e n ti o nt ot h em o d e li n gi nm i d d l es c h 0 0 1 m a t h e m a t i c st e a c h i n g s oi ti sn e c e s s a r yt oc a r r yo u t s y s t e m a t i cr e s e a r c ho nm i d d l es c h o o lm a t h e m a t i c sm o d e l i n ga n d i t st e a c h i n ga c t i v i t y t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of i v ep a r t st od e s c r i b et h e a c t i v i t yo fm i d d l es c h o o lm a t h e m a t i c sm o d e l i n gs y s t e m a t i c a l l y t h ef i r s tp a r te x p l a i n st h en e c e s s i t yo ft h er e s e a r c ho nm i d d l e s c h 0 0 1m o d e l i n g ，t h es e c o n dp a r td i s c u s s e sm a t h e m a t i c sm o d e l a n d t h er e l a t i v ec o n c e p t so fm a t h e m a t i c sm o d e l ，t h et h i r d d e s c r i b e st h et h o u g h t so fs u c hm o d e la n di t sp r a c t i c e ，a sw e l1 a st h eg r e a tm e a n i n gi nd e v e l o p i n gt h et e a c h i n ga c t i v i t i e so f m a t h e m a t i c sm o d e li n g ，t h ef o r t ho n ea n a l y z e sa n de v a l u a t e st h e p r a c t i c a lt e a c h i n go fs u c hm o d e l ， t h e1 a s to n es u m m a r i z e st h e g a i na n dl o s so fm a t h e m a t i c sm o d e li n g ，v e r i f y i n gt h ee f f i c i e n c y o fm a t h e m a t i c sm o d e l i n g ，o f f e r i n gs o m er e f e r e n c e st ot h er e f o r m o fm a t h e m a ti c sc u r r i c u l u ma n dc l a s st e a c h i n g k e yw o r d s ： m i d d l e s c h 0 0 1m a t h e m a t i c a l ，m a t h e m a t i c a l m o d e li n g ， t e a c h i n ga n dl e a r n i n g 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得 的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或 撰写过的科研成果。对本文的研究做出重要贡献的个人或集体，均己在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 刈妙 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州师范大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅：本人授权贵州 师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文和汇编学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 黼制力。嚣奢 第1 章问题的提出 2 0 世纪下半叶以来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一。随 着科学技术的发展，数学正在从幕后走向台前。数学和计算机技术的结合使得数 学能够在许多方面直接为社会创造价值。同时也为数学的发展开辟了广泛的应用 前景。数学的应用在很多情况下，都要借助于数学模型来解决。因此，在中学加 强数学应用的教学，培养学生良好的学数学、用数学的意识是学生适应社会需要 具备的基本素质之一。数学应用中的数学建模是培养学生学数学、用数学意识的 良好素材。通过数学建模的教学，可以有效地提高学生的数学素质和能力。 1 1 国内中学数学传统教学存在的弊端和学生对数学的误解 教学是人类一种特殊的认识活动，是以学生为主体的学和教师起主导作用 的教组成的双边统一活动。我国长期以来，中学数学的教学活动深受中考和高考 “指挥棒 的影响。把过多的精力放在运算求解、归纳抽象、符号变换、演绎证 明等方面，忽视了很多数学知识的来龙去脉。正是由于我国的考试是一种应试， 所以数学教学为了适应考试，数学教学的组织就自然围绕中考、高考来组织。这 必然会过多地强调数学基本知识的学习、基本技能的掌握，而忽视数学知识产生 背景的介绍和数学知识的基本应用。为了应试，教师往往重灌输轻引导、重结果 轻过程、重知识轻能力、重模仿轻创造、重题量轻质量。学生陷入“题海战 中， 这给学生一种不良感觉，学数学就是为了考试的错觉。既然学数学不能学以致用， 不能解决实际生活中的问题，那学数学干什么? 为什么还要学数学? 为了有效改 变学生对数学的错误认识，为了适应知识经济社会对创新型人才的要求，本人提 出了在中学开展数学建模教与学的研究与实践这一课题。本课题的开展，目的就 是要改变中学数学教学的这种困境，启发学生的思维，帮助学生提出问题，培养 学生的学数学、爱数学、用数学的良好习惯，真正让学生能把所学知识应用到社 会生活的实际中去。 1 2目前国内、外数学建模教学的现状 近几十年来，国际数学教育界对数学教育中加强数学知识的应用教育给予 了充分的关注。问题解决已成为一个热点。据了解，特别是自7 0 年代中期开始， 国外数学界特别强调了在中学教育中开展问题解决和数学建模教学。日本已把提 高问题解决的能力纳入1 9 9 4 年实施的中小学课程改善的方案。日本当前已把 问题解决作为数学教育的中心问题之一来研究。在美国的中学课程标准中，问题 解决已作为“一切数学活动的组成部分，应当成为数学课程的核心 ，并把问题 解决当作一种教学模式和教学的指导思想。美国教师联合会在1 9 9 1 年出版了由 f r a n ks w e t z 和j e f f e r s o ns h a r t a l e r 编的“中学课程中的数学建模一课堂练 习资料导引一一书。在该书的序言部分介绍了自1 9 7 5 年以来在美国的中学数学 教学中如何强调问题解决和数学建模，简要分析了问题解决和数学建模的关系， 指出了中学数学教学中开展数学建模的重要性和必要性。 1 9 9 0 年初，前苏联国家教委教育部属下的全苏中小学教育科研委员会数学 组就中小学数学教育改革提出了一份题为“关于发展中小学数学教育的若干观点 的报告 。该报告提出了要经常把所涉及的数学对象同自然、社会、艺术中的学 生喜闻乐见的事物联系起来，启发学生在生活中寻找数学。 英国国家课程将数学成绩目标分成几大项，并据此安排教学内容，打破了传 统的教学体系，明显的体现了注重应用的这一特点。它不仅将“运用和应用数学 单独列为一项成绩目标，而且贯穿于整个数学课程。“运用和应用数学 十分注 重解决实际问题和日常生活问题，而不是局限于书本上现成“问题”。在英国的 高年级的数学课中，重视问题的解决，特别是建立数学模型能力的培养，以升学 为目标的a 水平的数学不仅专门开设了“问题解决 作为必修单元，而且由于微 积分、概率统计、力学的引入拓宽了数学应用的范围。 在近几年的国际数学教育大会( i c m e ) 上数学建模与应用都有固定的专题分 组，1 9 9 6 年6 月在西班牙召开的第八届i c m e 大会上，不仅有欧美国家的数学建 模的专题报告和经验介绍，也有像巴西这样的发展中国家代表介绍巴西十年来的 数学建模的发展。我国的代表叶其孝教授在“数学建模与应用专业组的报告中， 也介绍了我国首创的中学数学知识应用竞赛的情况，受到了与会代表的欢迎，引 起了很大的反响。尽管上海市和北京市分别从1 9 9 1 年和1 9 9 4 年开始分别举行了 “金桥杯”和“方正杯”中学生数学知识应用竞赛。显然，与国际数学界对数学 教育中加强数学知识的应用教育给予了充分关注相比，明显的重视不够。特别在 贫困地区，数学建模的内容基本上都没有涉及。 1 3 数学课程标准对数学建模的重视 传统的数学教学过多的强调了数学基本知识的掌握和基本技能的形成，忽视 了数学知识产生的背景和数学知识的应用。在教材中也很少体现数学知识产生、 发展的来龙去脉，也很少涉及数学知识的应用。换句话说，我国的数学教材片面 强调知识的连续性和严谨性，在理论联系实际方面明显不够。近年，美国芝加哥 大学编的一本数学教材，在理论联系实际方面体现出新的水平，这对我们很有启 发。教材中出现了地震强度计算，古尸年代测定，微波炉的使用，大气压的变化， 人口的增长，血液酸化的级别鸡蛋质量的检验，无线电信号的功率，新旧车辆 价格换算等函数计算问题。他们还十分重视培养学生建立数学模型，要求通过实 验获得自由落体路程s 与时间t 的平方成正比例这个已知的物理规律；要求学生 调查所在地区爱滋病病人人数增长的情况，找到相关的函数；要求学生向考古学 家了解，他们是如何利用碳一1 4 来测定古尸及化石的年代等等。美国的这本教材 2 目的很明确，学习数学要努力联系实际，并力求把所学数学知识应用到实际生活 中去。我国借鉴国外的经验和总结自身存在的不足，在新课程标准中，强调数学 建模必须作为一个专题来学习，突出了数学建模在培养学生问题解决能力和创造 力方面的积极作用。正如标准中明确提出的要“切实培养学生解决实际问题的能 力 ，要求“增强用数学的意识，能初步运用数学模型解决实际问题，逐步学会 把实际问题归结为数学模型，然后运用数学方法进行探索、猜测、判断、证明、 运算、检验，使问题得到解决 。数学建模的思想应该渗透到教学的每一个环节， 切实提高学生学数学、用数学的意识。而本人提出在中学开展数学建模教学的实 践与研究的目的就是要通过数学建模的教学，培养学生学习数学的兴趣，明确学 习目的，了解数学的应用，增强学习的自觉性，提高学生的成绩，提升学生的素 质，让学生能用所学数学知识解决实际生活问题，为全面提升个人数学修养和数 学能力作努力。 1 4 中学课内外进行数学建模的意义 今天的社会是一个科技飞速发展为特征的知识经济社会，如何适应社会迅 速发展的要求，只有知识是远远不够的，更重要的是能力。知识到能力之间还有 很远的一段路要走。为了寻找一条把知识转化为能力的有效途径，在中学课内外 开展数学建模教学就是一种很好的途径。因为开展数学建模教学能使学生经历观 察、分析、抽象、建立模型、解答模型等解决问题的整个过程；开展数学建模教 学能让学生了解数学的“源”与“流 ，即学生认识数学的科学链：基本背景一 一基础知识一一基本技能一一基本应用；开展数学建模教学需要的不仅仅是数学 知识，还有物理、化学、生物等相关学科的知识，这样就有利于学生把各个学科 所学知识进行综合运用，从而提高自身综合运用知识的水平，形成自己的能力； 开展数学建模教学还能加强数学知识与现实生活之间的联系，学生通过利用数学 知识来解决实际问题，体会到学以致用的乐趣，从而自觉的学数学、爱数学、用 数学；开展数学建模教学可以激发学生学习数学的兴趣，可以提高学生成绩，可 以培养学生用数学的意识，可以让学生养成数学化思维的良好习惯，可以训练学 生的思维；开展数学建模教学，可以促进课堂教学的转变，由讲授到启发诱导、 学生参与的双边共同活动，可以促进学习方式的转变，由被动接受学习向自主探 究学习转变，由单独学习到多向学习的转变；开展数学建模教学还能有效的培养 学生的合作协调能力，这种能力是今后工作所必须的。以上这些也正是本人选择 中学数学建模教学的研究与实践所要达到的目的。 1 5 本文所做的工作 在中学开展数学建模教学的研究与实践，本人首先阐明了数学模型与数学 建模等的概念，然后围绕数学学科自身的特点和本着理论联系实际的原则，梳理 了在中学开展数学建模教学实践的思路，进行了数学建模教学的实践以及通过对 开展数学建模教学情况的分析，总结经验，为新课程标准中数学建模内容的教学 在贵州省全面实施之时提供一些参考和借鉴。 4 第2 章中学数学模型与数学建模 2 1 数学模型 数学模型是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻 画，以便于人类更深刻地认识所研究的对象。数学模型不是对现实系统的简单的 模拟，它是人类用以认识现实系统和解决实际问题的工具，数学模型是对现实对二 象的信息通过提炼、分析、归纳、翻译的结果，它使用数学语言精确地表达了对 象的内在特征，通过数学上的演绎推理和分析求解，使得我们能够深化对所研究 的实际问题的认识。数学模型主要是使用数学知识来解决实际问题，因此，数学 是人类掌握和使用数学模型这个工具的必要条件和重要的基础。没有广博的数学 知识，严格的数学逻辑思维的训练，是很难使用数学模型来解决实际问题的。应 用数学知识解决实际问题的第一步就是必须要面对实际问题中看起来杂乱无章 的现象，并从中抽象出恰当的数学关系，也就是组建这个问题的数学模型，这个 过程就是数学建模。 2 1 1 数学模型的特性 作为实际问题的数学模型，必须具有以下特性： ( 1 ) 抽象性。数学模型是为了实现某种目的，舍弃原型中的非本质属性，使 本质属性形式化，从而对原型作简化而本质的刻画，因此比原型更具抽象性。这 样的抽象也显示出概括性的特征，使同一个数学模型可以运用到不同的实际情景 中。对同一个实际问题，实现的目的不同，往往建立的模型也不相同。- ( 2 ) 准确性和演绎性。由于数学模型是用数学语言表述的数学结构，能够比 较准确地描述实际问题中的各种关系及问题解答结构，同时严密简捷的数学语言 为运用数学知识进行演绎推理提供了可能，数学演绎可以大大提高思维的容量和 效率，并体现思维的深刻性。 ( 3 ) 预测性。数学模型必须接受实践的检验，利用数学模型得到的研究结果 与实际结果相符或近似相符，或为实际问题的解决提供可行有效的方案，否则必 将被修正或放弃，因此数学模型具有预测性。 2 1 2 中学常见的数学模型 中学常见的数学模型归纳起来，主要有以下几类： ( 1 ) 函数、不等式模型 函数、不等式是高中数学知识中最重要的工具性知识，其涉及的内容十分广 泛。在生产、生活实际中，有大量的实际问题必须依赖函数与不等式模型加以解 决。不同的实际问题，所用的函数模型与不等式模型是不相同的。一般从实际生 活中观测得到的数据间存在线性关系时，用一次函数模型加以解决：二次函数往 往与二次不等式联系在一起，一般用料最省、造价最低、利润最大等问题，就用 5 该模型进行解决，有时也可以用来处理数据模拟；幂函数、指数函数、对数函数 模型常适用于处理非线性模拟问题，如商品定价问题、细胞分离与种群繁殖问题、 存款借贷问题以及非线性拟合和预测问题等；不等式模型经常被用于解决下料问 题、最佳方案设计、劳工分配、最大利润、最小费用、最短路程等涉及最值的 问题。 ( 2 ) 数列模型 数列问题涉及面广，运用数学知识解决问题必须要去了解、熟悉相关行业的 一些基本知识、专业用语，才能很好的建立数列模型解决实际问题。如银行的存 贷款、证券、期货、保险、企业的产值、成本：社会问题中的人口增长、人口质 量、土地及资源的利用及配置；环境问题中的水资源保护、空气污染、森林覆盖 等，都可以利用数列知识建立相应的模型解决。 ( 3 ) 三角模型 凡与周期性振动有关或类似的问题，如电流、水波、声波、爆炸物爆炸后引 起的振动等等，适宜建立三角函数模型。一些与角有关的问题，如视角、方位角、 以及与旋转有关的问题也可以通过建立三角函数模型来解决。 ( 4 ) 几何模型 要用几何模型来解决实际问题是比较有难度的，如设计与制作问题中的制作 一个体积一定的某中圆柱形的桶( 有盖) ，问不考虑卷边的宽度和原材料的损耗， 那么最好的圆桶应该怎样设计? 根据判断最好的圆桶的标准不同就可以有不同 的几何模型。根据最好的圆桶应当具有最小的表面积，即制作时所需的原料最少， 使得成本费最低，可以建立一种几何模型；根据最好的圆桶应当具有最短的接缝， 即接缝处需要卷边或压边，接缝长度减少会使得工时最低费用降低，可以建立一 种几何模型；有时桶底和桶壁材料费用不同，这时最好的圆桶应当使桶底和桶壁 的材料费用和最少，可以建立一种几何模型；根据最好的圆桶应当比较美观，可 以建立一种几何模型；根据最好的圆通桶壁不易弯曲变形，也可以建立一种几何 模型。总之，几何模型较复杂，选择的标准不同，建立的模型也不相同。 ( 5 ) 图论模型 图论是应用十分广泛而又十分有趣的一门学科。它对自然科学、工程技术、 经济管理和社会现象诸多问题能提供得力的数学模型加以解决，所以很受人们的 喜爱。该模型主要用于解决供水系统及选址问题、一笔画问题、最短邮路问题、 工作排序问题等。 2 2 数学建模 2 2 1 数学建模的含义 数学建模是将某一领域或部门的某一实际问题，经过抽象、简化、明确变 6 量和参数，并依据某种“规律”建立变量和参数间的一个明确数学关系( 即数学 模型) ，然后求解该数学问题，并对此结果进行解释和验证，若通过，则可投入 使用，否则重新对问题的假设进行改进。它或者能解释特定现象的现实状态、或 者能预测到对象的未来状况，或者能提供处理对象的最优决策或控制。也就是说， 数学建模一般应理解为问题解决的一个侧面、一个类型。它解决的是一些非常实 际的问题，要求学生能把实际问题归纳( 或抽象) 成数学模型( 诸如方程、不等式 等) 加以解决。从数学的角度出发，数学建模是对所需研究的问题作个模拟， 舍去无关因素，保留其数学关系以形成某种数学结构。从更广泛的意义上讲，建 模则是一种技术、一种方法、一种观念。数学建模就是这样一个多次循环执行的 过程：数学建模就是把实际问题通过抽象、概括，抓住主要因素，忽视影响不大 的次要因素，把实际问题转化为数学问题，然后把数学问题通过一种数学模型( 函 数、方程、不等式) 等表示出来，看是否适合原问题的实际情况，不适合，就再 进行抽象、校正，使得建立的模型与实际问题的情况相吻合的一个过程。 2 2 2 数学建模的流程 从上面对数学建模的定义可以知道，数学建模一般要经过对实际问题进行 分析，把实际问题转化为数学问题，再把数学问题数学化，才能建立相应的数学 模型，解答数学模型，验证数学模型的解是否与实际问题的解相吻合，不吻合就 修改数学模型，直到找到相吻合的数学模型为止。具体我们可以用一个框图来表 不： 数学建模的框图 2 2 3 数学建模的步骤 现实生活中的问题五花八门，千姿百态，其发展变化也是非常复杂，所以， 对其事物建模并没有一个固定的模式，但不管那种数学模型的建立一般都要经过 以下步骤： ( 1 ) 建模准备。首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种 信息，尽量弄清对象的特征，牢固掌握有关数学知识和方法。 ( 2 ) 简化假设。根据对象的特征和建模目的，抓住问题的主要矛盾的主要方面， 7 对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一 步。 ( 3 ) 建立模型。在假设分析对象的因果关系基础上，利用对象的内在规律和适 当的数学工具，构造各个量间的徒工关系或其它数学结构。 ( 4 ) 模型求解。可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等 各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术，对模型求数学解答。 ( 5 ) 模型分析。对模型解答进行数学上的分析，指出结果的实际含义和模型的 应用范围等。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同 ，因此，不论那种情况都需进 行误差分析，数据稳定性分析。 ( 6 ) 模型检验。将模型的结果运用到实际问题的解决中，运行模型，对模型结 果与实际问题相互比较，以便检验模型的可靠性和准确性。 ( 7 ) 实际应用。例如： 在讲解不等式鲁坐 导的证明时，可以利用生活的常识或者化学中的溶解 6 + ，竹d 度进行直观讲解，再证明，学生就容易接受，而且还能加深印象。对于这个不等 式的证明，可首先问学生把a 克的食盐配成b 克的盐水，然后再在该盐水中加入 m 克食盐，问加入m 克食盐后，盐水是一定比以前变咸了吗? 这样学生直观上知 道盐水变咸了，自然有不等式鲁坐 旱成立，再通过数学证明，检验直观判断。 第3 章数学建模思路与实践 针对中学数学教学时间紧、任务重的客观实际，本人在中学开展数学建模 教学时，主要考虑什么样的素材适合在中学开展数学建模教学，选取了素材之后， 哪些素材在先哪些素材在后，如何把这些素材进行有效组织，通过适当的途径和 方式教授给学生。 3 1 数学建模的思路 3 1 1 数学建模素材的选取 ( 1 ) 好的问题是关键 毫无疑问，数学建模是问题解决的一部分，“问题解决”的前提与载体是“问 题”。数学应用和数学建模也是如此，它的发展与成熟无一不和一批经典的数学 问题的解决相连。那么，什么样的问题对中学开展数学应用和数学建模是好的问 题呢? 作为好的问题的评价标准应不必计较它的完整、统一和权威。本人认为好的 问题至少应该有这样一些特点： 好的问题应适合中学生的数学知识水平，在数学建模过程中不需要补充大量 的知识就可以入手。不能因为开展数学建模教学，给学生补充大量知识，增加学 生负担。因此，好的问题应是学生容易读懂，利用所学知识能解决的问题。 好的问题应能努力表现出建模求解过程和特点。即能表现问题假设、抽象简 化、建模求解、检验修改( 循环迭代回去) 的过程。 好的问题最好有生产、生活的实际背景和较好的应用价值。如在洪水期间， 怎样调节水库泄流量可以避免或减少淹没损失；地震强度计算；古尸年代测定； 微波炉的使用；大气压的变化；人口的增长：血液酸化的级别：鸡蛋质量的检验； 无线电信号的功率；新旧车辆价格换算等函数计算问题。 好的问题最好有多种求解模型，可便于分析，比较他们的侧重和利弊。如设 计一个体积固定的圆柱形铁皮罐头筒，问：若不考虑卷边的宽度和原材料的损耗， 那么最好的圆柱形铁皮罐头筒应当怎样设计? 好的问题应该有较强的挑战性、探索性、可延展性和趣味性，最好还能发挥 计算机在求解中的作用。如小球与地面碰撞后竖直向上反弹，设每次碰撞时小球 1 的机械能损失，求小球从开始下落到最后停止运动的整个过程中所经过的路 3 程。 总之，数学建模活动的应用问题在选材上应具有这些特点：所给的材料具有 原始性，即材料的原始性能突出问题的时代背景和生活现实，具有很强的真实性 和实际应用性，能通过解决问题培养学生数学实际应用意识，为今后在社会上应 用数学打下基础；建模材料具有适度的隐蔽性，即在题目陈述材料中，条件应该 9 具有适度的隐蔽性，不能直接把数学模型建立起来，否则该题将无异于一道纯数 学问题，从而失去意义。条件的适度隐蔽，可以培养学生全面深入的思维能力和 实际操作能力；问题的解应具有一定的不确定性，即题目所给的材料在尽量保持 实际问题的原貌，对实际问题的叙述不能过于简洁明了，但在条件充分的基础上， 应保持其应有的复杂性和不确定性，即要有一定程度的“开放性 ，培养学生通 过分析问题提出解决问题的能力；建模思维过程应具有广阔性，就是说数学建模 应用问题的求解过程应能充分体现一个特点，即建模过程应与生产、生活或其它 学科紧密相关，使思维更具广阔性。比如与物理、化学结合的实际问题，这对于 培养学生的综合能力、训练学生思维的广阔性很有益处；建模过程应该符合“最 近发展区理论，即材料所涉及的建模能力要求充分考虑学生的认知水平，学生 已有的认知水平与建模活动所应具备的认知水平应有一定距离但距离又不能太 长。否则，要么让学生失去好奇心，要么让学生觉得“可望不可及 ，都会使学 生丧失学习兴趣。因此，在数学建模活动中，教师常常要为学生创设问题的情境， 让学生在解决问题的过程中学数学、用数学，从而提高学生的观察能力、创造能 力和良好的思维品质。问题环境的设计不单单是问题本身的设计，而且还包括问 题的引入方式、利用方式、预计解决方式以及连锁引发新问题的方式等。怎样设 计好问题环境是教师进行问题解决教学的难点和重点。 ( 2 ) 好的问题的来源 好的问题从哪儿来呢? 比较可寻的办法有以下几种： 从自己或周围人的生产、生活的实际中来。如购房按揭问题、银行的存款问 题等。 从大学“成品 建模中挖掘简化得到，通过简化后能利用初等数学解决。如 大学建模教材。 从国内外相关的数学应用教材刊物上整理、编译得来。如美国芝加哥大学编 的一本数学教材，教材中出现了地震强度计算，古尸年代测定，微波炉的使用， 大气压的变化，人口的增长等函数计算问题。 从教材的例题和习题中改造而成。如8 人参加某次会议，如果每两人握一次 手，那么共握手多少次? 就是一个很好的数学建模素材。 3 1 2 数学建模需考虑的因素 ( 1 ) 数学建模教学的内容应体现趣味性和实用性 学生的生活经验和知识背景越丰富，他们就会越多地关注周围的人和事，有 进一步了解现实世界、解决实际问题的欲望。因此，建模课程内容的选择要用学 生关注和感兴趣的实例作为认识的背景，如人口问题，按揭问题等。 ( 2 ) 难度的设计要注意开放性、渐进性和层次性 l o 中学数学建模课程需遵循开放性原则。开放性原则是指在建立数学模型时， 学生可以从不同的角度分析问题，相应得出不一致的结果，注重的是结果的合理 性，而不是结果的唯一性。数学建模重视整个建模过程中学生建模能力的形成， 不同于通常的解题。只有这样，才有利于培养学生良好的思维习惯和对同一问题 的不同见解。 ( 3 ) 要充分结合教材内容和信息技术，提高建模教学的实效性 数学建模课内容应该和数学课上学习的知识结合起来，使学生了解所学知识 在实际生活中的作用，引导学生在学中用，在用中学。尤其要充分利用信息技术 来支持数学建模教学，切实提高数学建模的实效性。 ( 4 ) 数学建模教学的内容应接近学生的最近发展区 数学建模的内容不能太易，也不能太难，易了不易于提高学生的数学能力， 难了学生解答不出，容易对数学失去信心。因此，数学建模内容的选择一定要考 虑学生的认知水平，问题的难度要接近学生的认识水平又适当高于学生的认识水 平，这样学生通过努力可以解决问题。同时培养了学生的数学兴趣，又提高了学 生解决问题的能力。 ( 5 ) 在数学教学中应实践数理结合 随着新课程改革的深入开展，在中学数学教学中渗透相关学科知识尤其是物 理知识，已经变得越来越重要。注重数学与物理的结合，沟通两者间知识和思想 方法的联系，对拓展学生思路、培养学生创新意识都有积极的作用，同时也符合 高考命题“综合化的趋势。本人认为要在数学教学中实践数理结合，不仅要利 用物理原理解决一些数学问题，而且要全面利用物理素材为数学教材服务。因此， 在数学教学中实践数理结合应成为数学建模教学的一个亮点，更应多关注。本人 就谈谈数理结合的几点做法： 利用物理素材作为数学问题的情境支持。由于数学知识的产生往往都有一定 的实际背景，而物理问题主要来源于现实生活和科学实验，具有浓厚的生活气息， 以物理素材作为数学问题的情境支撑，容易使学生对数学产生一种亲和力，从而 增强数学的效果，让学生亲生感受数学来源于生活，服务于生活。从而对数学产 生兴趣，因为“兴趣是最好的老师。例如在“无穷等比数列的求和公式”教学 过程中，可以把下面一个物理问题作为引入课题的情境。一个弹性小球从高1 2 m 处由静止开始作自由落体运动( 空气阻力忽略) 。小球与地面碰撞后竖直向上反 弹，设每次碰撞时小球的机械能损失三，求小球从开始下落到最后停止运动的整 3 个过程中所经过的路程。 分析小球从高h o = 1 2 m 处下落，开始机械能e o = m 9 h o ，第一次碰撞后机械能损 ， 失为e 。= 鲁e o ，故碰撞后弹起的高度h 。= 舻8 m ，同理可知，小球在从高h l = 8 m 处 33 ，l f 下落，着地后再弹起的高度h ：= h = 学l m ，依次类推，直至停止。在整个过程中， 小球弹起的高度8 ，萼，詈，构成一个无穷等比数列，且公比q 2 詈 1 。 求小球经过的路程，实际上就是求这个无穷等比数列的各项的和，于是无穷等比 数列的求和公式呼之欲出。 即路程s = h o + 兰生= 1 2 + 三婪= 6 0 m 1 一g 1 一兰 3 这个问题情境涉及自由落体运动、机械能的转化与守恒等物理知识，是比较 常见的物理问题。在讲解无穷等比数列的求和公式时，作为课题引入情境支持， 既整合了数学、物理知识，又为无穷等比数列的应用找到了相应的应用。 寻求物理模型作为数学问题的现实解释。数学发展史表明，很多数学问题来 源于人们对自然界的客观现象的研究，这其中有不少问题与物理现象密切相关。 因此，寻求与这些数学问题相对应的物理模型，利用物理现象佐证数学方法，可 以增强数学教学的趣味性，从而有效地改善教学效果。例如体积相等的正方形、 球、等边圆柱( 即底面直径与高相等的圆柱) 的表面积分别为s 。、s ：、s 。，则它 们的大小关系是s 2 s 。 s l 。 分析联想物理模型：落在荷叶上的水珠由于液体表面张力的作用，最终总 是接近于球形( 如果处于失重状态，将严格为球形) 。液体表面张力使液体表面 尽量收缩为最小的表面积，所以在等体积的正方体、球、等边圆柱中，球的表面 积s ：最小，而正方体接近于球的程度最差，表面积s 。最大，等边圆柱居中。于 是有s 2 导成立，再通过数学证明，检 d + ，靠d 验直观判断。 ( 2 ) 以数学应用和数学建模为主题的课外活动 以数学应用和数学建模为主题的课外活动，这主要以课题的形式向学生布 置。如住房按揭问题、交通红绿灯问题、饮料瓶为什么大多数设计成圆形等。把 这些题目交给学生，让学生自己去收集资料，调查研究，以论文的形式提交自己 的获得的结论。 ( 3 ) 数学建模课程 数学建模课程。就是利用整节课来进行数学建模教学。这种教学方式有利于 教师根据学生提出的问题对学生的思维特点进行分析、诊断，进行更有针对性的 教学；也有利于教师自身扩大自己的“问题源 ，用学生自己发现的问题把“问 题解决”引向深入。数学建模课程的开展一般都是以一类数学模型进行教学。如 1 3 不等式模型的专题课、函数模型的专题课等。 3 2 数学建模实践 沿着数学建模的思路开展数学建模教学实践，作为教师首先要考虑的一个 问题是依据什么样的原则来设计教学内容，才能够有效地渗透数学建模的思想方 法呢? 在渗透数学建模思想方法的过程中又会用到哪些常用的建模方法。然后利 用建模方法来进行建模案例的设计。 3 2 1 数学建模实践需遵循的原则 根据学生知识结构、身心发展的特点以及数学学科自身的性质，但数学自 身的性质再不是以前“抽象性、严谨性和应用的广泛性 的粗疏描摹，而是向更 加精细的方向前进。“仅仅说抽象是不够的，数学是一种模式，学习数学是 学习数学化的过程；仅仅说严谨也不够全面，数学是形式化的科学，数学教 学必须适度形式化，即形式化和非形式化的统一；只是说数学有广泛的应用 性，未免空泛。数学是一种模型，数学活动的方式是数学建模，数学呈现形式是 符号语言表达的数学问题。 1 数学教学研究的成果表明，数学学习是再创造的 过程，数学是“做”出来的，学生通过做题，找到知识之间的内在联系，整体地 看待数学，提炼其中的数学思想方法，形成数学思维品质，并服务于社会现实需 要。因此，在进行数学建模教学时，本人主要遵循以下一些原则： ( 1 ) 目的性原则：开展数学建模教学的目的在于提高学生数学意识、数学应 用能力和社会实践能力，为学生全面发展和提高素质服务。这不仅包括计算、推 理、空间想象，还包括辨明关系、形式转化、驾驭计算工具、查阅文献、能进行 口头和书面的分析和交流。 ( 2 ) 适应性原则：中学数学建模教学的内容方法适合学校和学生的具体实际， 不能超出他们的接受性。具体而言即因材施教，分为因地施教、因时施教、因人 施教，分别要求，分层次推进。因地施教即符合学校的教学资源、所用教材、当 地实际情况，因时施教即符合学生所处的不同年级的智力、年龄和心理特征，因 人施教即符合部分学生和教师的水平，让不同人的得到其的不同的发展，分别要 求，分层次推进。 ( 3 ) 主体性原则：在中学数学建模教学中，学生应该是活动的中心、认知行 为的主体，没有主体的参与，教学没有一点意义。结果是“我都讲了无数遍，学 生还是不会 。知识是无法传授的，传递的只是信息 ( 莱纳) 。教学中一定要 使学生主动地去学。学生是主体，教师是主导。因此，应强调学生的主动参与， 变被动学习为主动学习的过程，让学生体会分析问题、抽象问题、建立数学模型、 解决问题、还原问题等整个过程。在这一环节中，教师不只是讲演者，只演示正 1 张艳霞、龙开奋、张奠宙数学教学原则研究【j 】中学数学教与学，2 0 0 7 ，1 0 1 4 确的结论，还应向学生提供一些可参考的信息，提一些求解的建议，让学生充分 利用信息，展开联想做决断。对学生模糊的地方，还应帮助学生问原因、找漏洞， 督促学生弄清楚，搞明白。对学生建立的模型要评判，比较模型的优劣，积极鼓 励学生的有创造性的想法和做法。 ( 4 ) 启发性原则：根据“最近发展区”的理论，中学数学建模要坚持启发性 原则。问题要有启发性，给学生有一定的思维空间；教学要有启发性，调动学生 的积极性，启发学生独立思考，引导学生质疑、调查、探究，在实践中能动地富 有个性地解决问题。 ( 5 ) 教师意识先行原则：实际问题有时过难，有时过易，教科书中“现成” 的数学建模内容又很少，再加上我国数学建模研究起步较晚，数学建模的氛围在 中学尚不浓厚，尤其是在贫穷地区，教师自身的数学意识不强，知识结构跟不上， 对数学建模的内容硬是不愿意去涉及，因此更需要教师首先具有数学建模的自觉 意识去探索，在教学过程中用自己的数学建模意识去熏陶学生，去挖掘出训练数 学建模能力的内容，给学生更多数学建模的机会。 ( 6 ) 激励性及愉快原则：中学数学建模教学应自始至终贯彻激励性原则，激 励学生积极参与建模活动中，以表扬为主，尊重学生人格，培育学生荣誉感，提 高兴趣，积极参与，在学习中克服困难培养意志力，从成功中享受愉快，学习效 果更显著，学习会更投入；同时也调动教师的积极性，付出更多的精力去收集、 研究、设计、组织和指导。 ( 7 ) 问题驱动原则：“问题是数学的心脏”( 哈尔莫斯语) 。事实上，无论 自然科学和社会科学，都是由问题驱动的。所以中国古代把“研究一称为“做学 问 。问，是知识的源起。而数学主要以问题的方式呈现。我国古代的九章算 术就是这样的一本书籍。数学建模的进行都是从问题开始的，因此在数学建模 设计时，一定要遵循问题驱动原则。 ( 8 ) 数学化原则：数学化是弗赖登塔尔提出来的。他认为，数学作为人类的 一种活动，它的主要特征就是数学化，数学学习的过程就是数学化的过程。与其 说学习数学，不如说学习数学化。2 我理解，学习数学化就是学会用数学的观点 考察现实，运用数学的方法来解决问题。由于数学化与数学建模密切相关。本人 在教学中，强调数学情景的创设，数据的采集、选择和转换，数学模型的建立， 数学方法合理性分析，以及数学解答的检验等，都是符合数学化原则的。将现实 问题数学化，形成数学问题，获取数学知识的现实本源，是数学建模教学必须坚 持的原则之一。用数学解决实际问题，首先就是要将实际问题转化为用数学语言 描述或数学模型。 2 弗赖登塔尔作为教学任务的数学【m 】上海教育出版社，1 9 9 2 1 5 ( 9 ) 情境化和交互性原则：中学数学建模过程的情境化要求教学设置在真实 或拟人的背景中，使建模更有意义，更富有乐趣。在建模中充分体现群体的交互 性。师生、生生间因为复杂的背景问题，促使其共同探讨合作解决是不得不进行 的。 ( 1 0 ) 活动性原则：中学数学建模教学要更多地作为一种数学活动课程教学， 改变学生长期习惯于听教师讲课，独立完成作业的学习方式，大力提倡学生“自 主探索一“合作交流 “创新思考 ，改变学生拙于交流和表达自己的思想、疏 于与人交流的现象。 ( 1 1 ) 创造性原则：中学数学建模教学要坚持以提高学生创造性思维水平为原 则，要培养学生的创新意识、创造性思维和创新能力，也要求教师在教学中创造 性地进行教学设计，使建模教学更具有创造性。 ( 1 2 ) 科学性原则：数学建模非常有用，但我们还应强一调数学应用的科学性， “一好百好”的现象是应防止的。在数学教学中，也应向学生介绍“误用 或“滥 用”数学的事例，使他们能以批判的、慎重的态度对待数学的应用。 ( 1 3 ) 计算工具的使用原则。因为数学建模很多时候都要通过计算机这个工 具来帮助解决。这不仅指在计算过程中使用计算工具，而且是指在猜想、争辩、 探索、发现、模拟、证明、作图、检验中使用计算工具。 3 2 2 渗透数学建模的思想方法 普通高中新课程标准明确提出要把数学文化、数学建模的思想渗透到课 程的始终。因此，在进行数学建模实践教学时，本人认为教师应注意以下几方面： ( 1 ) 数学教师要有紧迫感，自觉完善自身知识结构，提高自身数学建模能力 由于数学建模涉及的知识较多，数学教师不一定对数学建模涉及的相关知识 都有所了解，因此，数学教师一定要有紧迫感，要不断的自觉完善自身知识结构， 不断的提高自身数学建模能力，为数学建模教学的顺利开展做好准备。 ( 2 ) 教师要以数学建模的观点处理有关应用性问题的教材内容 针对学生解决应用性问题比较困难的现实，数学教学在处理有关应用性问题 的教材内容时，一定要注意按照数学建模的程序进行处理，通过数学建模