（应用数学专业论文）两类生态学动力系统的周期解与持续生存性.pdf

t h ep e r i o d i c e c o l o g i c a ld y n a m i c a ls y s t e m s y ep i n g b s ( h u n a nn o r m a lu n i v e r s i t y ) 2 0 0 4 at h e s i ss u b m i t t e di np a r t i a ls a t i s f a c t i o no ft h e r e q u i r e m e n t sf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fs c i e n c e l n a p p l i e dm a t h e m a t i c s i nt h e g r a d u a t es c h o o l o f h u n a nu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p r o f e s s o rh u a n gl i h o n g n o v e m b e r ，2 0 1 0 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的成果。除了文中特另, j d i ：i 以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要 贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声 明的法律后果由本人承担。 名：冷落嗍b 、 年h 哆日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，奄 年解密后试用本授权书。 2 、不保密因j f ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名： 导师签名： 日期：功1 1 年 日眦1 年 1 月f 弓日 ( 月f 3 日 两类生态学动力系统的川期解与持续生存性 摘要 本论文主要利用重合度理论，常微分方程稳定性理论中的l y a p u n o v 函数法、 比较原理，泛函微分方程的基本理论及概周期函数的相关理论来探讨两类生态学 模型的动力学性质，包括系统的一致持续生存性、最终有界性、全局渐近稳定性、 正周期解及概周期解的存在性和唯一性论文由三章组成 第一章主要介绍了生态数学的历史背景、意义及进展情况，并简要概括了本 文的主要工作 第二章讨论了一类具有阶段结构的h o l l i n gi i i 型时滞食饵一捕食者系统，通 过使用重合度理论巾的延拓定理研究了u 一正周期解的存在性，并通过构造合适 的l y a p u n o v 函数得到了系统正周期解的唯一性和令局渐近稳定性的充分条件最 后通过实例以数值模拟的方式对我们的主要结论进行了简单的说明 第三章研究了一类具有反馈控制和扩散的非自治时滞竞争生态系统，通过使 用比较原理和泛函微分方程的基本理论得到了系统一致持续生存的充分条件，并 且当系统是概周期系统时，通过构造适当的l y a p u n o v 泛函及使用概周期函数的相 关理论证明了系统是全局吸引的而且在适当的条件下系统的概周期解是唯一的 在这一章中，我们也给出了一个数值例子来验证我们结论的有效性 关键词：周期解；重合度；阶段结构；持续生存性；h o l l i n gi i i 型功能性反应； 全局渐近稳定性 i i 硕士学化论文 a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l yd e a l sw i t hd y n a m i c so ft w oc l a s s e so fe c o l o g i c a ls y s t e m sb y u s i n gc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y , l y a p u n o v f u n c t i o nm e t h o da n dc o m p a r i s o nt h e o - r e i no fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nb a s i ct h e o r ya n d a l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n a lb a s i ct h e o r y t h e s ed y n a m i c sc o n t a i nu n i f o r m l yp e r - s i s t e n c e ，u l t i m a t eb o u n d ，g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y , e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s o fp o s i t i v ep e r i o d i co ra l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n s t h i sp a p e ri sc o m p o s e do ft h r e e c h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo ft h ep r o b l e m t ob es t u d i e da r ei n t r o d u c e d t h e n s o m ee x c e l l e n tw o r k si nm a t h e m a t i c a le c o l o g y a r es u m m a r i z e d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，ac l a s so fd e l a y e dp r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hs t a g e s t r u c t u r ef o rp r e ya n dh o l l i n gi i if u n c t i o n a lr e s p o n s ei sd i s c u s s e d b yu s i n gt h e c o n t i n u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r ya n db yc o n s t r u c t i n gs u i t a b l e l y a p u n o vf u n c t i o n a l s ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e dt og u a r a n t e et h e e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n dg l o b a ls t a b i l i t yo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n st ot h es y s - t e r n t h e n ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sp r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ev a l i d i t yo fo u rm a i n r e s u l t s i nt h et h i r dc h a p t e r ，an o n - a u t o n o m o u sd i s p e r s a lp r e y - c o m p e t i t i o ns y s t e m w i t ht i m ed e l a y sa n df e e d b a c kc o n t r o l si si n v e s t i g a t e d b yu s i n gt h et h e o r yo f c o m p a r i s o nt h e o r e ma n dd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nb a s i ct h e o r y ，as e to fe a s i l y v e r i f i a b l es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eu n i f o r mp e r s i s t e n c eo ft h es y s t e ma r eo 卜 t a i n e d b ym e a n so fs u i t a b l el y a p u n o vf u n c t i o n a l sa n db yu s i n ga l m o s tp e r i o d i c f u n c t i o n a lb a s i ct h e o r y , w ep r o v et h a tt h ep r e y - c o m p e t i t i o ns y s t e mi sg l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea n dt h ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o no ft h es y s t e mi su n i q u eu i 卜 d e rs o m ea p p r o p r i a t ec o n d i t i o n s 。腑a l s og i v ean u m e r i c a le x a m p l et os h o wt h e e f f e c t i v e n e s so fo u rr e s u l t si nt h i sc h a p t e r k e yw o r d s ：p e r i o d i cs o l u t i o n ；c o i n c i d e n c ed e g r e e ；s t a g es t r u c t u r e ； p e r s i s t e n c e ；h o l l i n gi i if u n c t i o n a lr e s p o n s e ；g l o b a l l ya s y m p t o t i c s t a b i l i t y i i i 两类生态学动力系统的周期解与持续生存性 目录 学位论文原创性声明和学位论文版权使用授权书i 摘要i i a b s t r a c t i 符号表v 第1 章绪论1 1 1问题研究的背景及意义1 1 2 模型的提出以及问题研究的进展4 1 3 本文的主要工作6 第2 章一类具阶段结构j f l h o l l i n gi i i 型的多时滞食饵一捕食系统正周期解的存 在性与全局渐近稳定性7 2 1 引言7 2 2 正周期解的存在性8 2 3 有界性1 4 2 4 唯一性和全局渐近稳定性1 7 2 5 例子和数值模拟2 2 第3 章一类具反馈控制和扩散的多时滞生态系统的持续生存性和概周期解2 4 3 1 引言2 4 3 2 持续牛存性2 5 3 3 全局吸引性3 0 3 4 概周期解的存在性和唯一性3 7 3 5 例子和数值模拟4 0 结论4 2 参考文献4 3 附录( 攻读硕士学位期间主要成果) 4 7 致谢4 8 硕士学位论文 r 冗一l 舻 z 兕 僻。 恻l c ( - - t ，o 】，珥) 会 0 q a q | v 厂1 d + v ( t ) d e t n d i m x d o m l k e r l i m l d e g f ，q ，p ) 符号表 实数集 非负实数集 礼维实数空间 歹0 向量( x l ，z 2 ，x n ) t 兄， = z = ( z 1 ，x 2 ，z 。) t 月，iz i 0 ，i = 1 ，2 ，n ) = z = ( 茁1 ，x 2 ，z n ) t r ：，lix i 0 ，i = 1 ，2 ，n ) = s u pl ( s ) l ，b ，其中b 表示b a n a c h 空间 8 r 从【- 7 - ，o 】到m 上的所有连续函数之集 右端是左端的定义 空集 拓扑空间中集合q 的闭包 开集q 的边界 存在 任给 函数厂的反函数 函数y ( 亡) 的右上导数 矩阵n 的行列式 线性赋范空问x 的维数 线性映射工的定义域 线性映射的零子空间 线性映射l 的像空间 有限维映射，的b r o u w e r 度，其中q 为x 中开集，p x ，( a q ) v 硕士学化论文 第1 章绪论 1 1 问题研究的背景及意义 随着人类文明的不断进步，自然科学得到了飞速的发展在数学领域，常微分 方程理论的研究成果已相当丰富并且日趋完善1 8 8 1 年一1 8 8 6 年，h p o i n c a r e 以“微 分方程所定义的积分曲线”为题发表了四篇论文，奠基了常微分方程定性理论 1 8 9 2 年，俄国数学家l y a p u n o v 发表了题为“运动稳定性的一般问题”的杰出论文， 由此开创了常微分方程稳定性理论，并且得到了工程师们的广泛赞赏，参见文献 1 】 随着常微分方程理论的发展和实际问题研究的需要，时滞被引进方程，但随着时 滞的引入，方程解的性态研究遇到了许多新的困难，但也因此发展了数学的另一个 新的分支一泛函微分方程，参见文献 2 】随着自然科学的不断发展，微分方程在 众多领域的应用也日益广泛，例如物理学、生态学、经济学、空间技术、工程力学、 神经网络学等等可以说，微分方程理论已经成为诸多科学和技术领域的强有力 2 0 世纪2 0 - 3 0 年代以来，随着微分方程理论逐渐向生态学领域应用的不断渗透， 人们建立了各种各样的生态数学模型来解释生命现象，对生命过程进行模拟，揭示 生态系统内在规律并且预测生态变化趋势等，使得生态数学飞速发展并且成为了一 门比较年轻的边缘学科在这一领域涌现了像a j l o t k a 和v v o l t e r r a 等生态数学 的先驱者，他们各自成功建立了能较好反映客观实际的生态数学模型，其中l o t k a - v o l t e r r a 模型的一般形式如下 而d x i = 婉( e + a i j x j ) ，江1 ，2 ，礼 ( 1 1 ) 其中z i ( 0 ) 0 ，系数e ，a i j 都是实常数此后许多学者对l o t k a - v o l t e r r a 模型进行了 推广研究，并得到了许多有价值的结果，参见文献 3 - 1 1 1 由于生态数学的迅速发 展，研究捕食者与食饵之间的诸多动力学性质已经成为生物学家和数学家共同关 注的一个重要课题而l o t k a - v o l t e r r a 模型主要描述的是相互影响着的生物种群的 种群密度随时问变化而不断变化的过程，而并没有考虑到环境冈素、生物种群内 部的协作及竞争等众多因素的影响，因而l o t k a - v o l t e r r a 模型难免有许多不合理之 处为了找到更切合实际的生物学模型，功能性反应函数随后被提了出来1 9 6 5 年， h o l l i n g 通过实验，对不同类型的捕食者提出了三种不同的功能性反应函数妒( z ) ： ( i ) h o l l i n gi 型 荆= - b x 0 o ，吼( p ) c ( 【一丁，o 】，兄+ ) ，i = l ，2 ， f 92 、 y ( o ) = ( 口) ，p - - 7 ，o l ，皿( p ) 0 ，皿( 口) c ( 【一丁，o 】，r + ) 其中z l ( t ) ，x 2 ( t ) 分别表示食饵种群的幼年和成年在时刻的种群密度，可( ) 表示捕 两类生态学动力系统的周期解与持续生存性 食者种群捕食种群z l ( t ) 时在时刻t 的种群密度，函数石再；表示捕食者对食饵幼 年种群的h o l l i n gi i i 型功能性反应函数 我们用b 表示见所有由非负连续函数组成的b a n a c h 空间，j e 7 上的范数用0 = s u pl ( s ) i ，咖b 表示设在初始值条件( 2 2 ) 下系统( 2 1 ) n 解的集合是b a n a e h 空 间b ，易知= ( 西l ( s ) ，圣2 ( s ) ，皿( s ) ) t b 且哦( o ) 0 ，i = 1 ，2 ，皿( o ) 0 ，则系 统( 2 1 ) 有唯一的解( z 1 ( ；t o ，西1 ) ，x 2 ( t ；t o ，垂2 ) ，秒( ；t o ，皿) ) t 在冗+ 上仍然是正的，我 们把系统( 2 1 ) 的所有这样的解称之为正解 在这一章中我们还得用到如下假设和记号 ( h 1 ) 为了讨论方便，对任意连续的正u 一周期函数夕( ) ，我们引入如下记号 雪全当z 。9 ( t ) 班, g la _ 。i n 。u ，f 叫 g ( ) , g ma _ 。s u 【o p ，叫 g ( t ) ) ( h 2 ) n ( t ) ，6 ( t ) ，c ( 亡) ，d ( t ) ，e ( 亡) ，( ) ，9 ( ) ，危( t ) ，p ( t ) 都是耳上连续的正u 一周期函数，且 满足条件 m i n a l ，b l ，d l ，e l ，f l , g 厶，h l , p l ) 0 ， m a x a m ，b m ，c m ，d m ，e m ，f m ，g m ，h m , p m ) 0 ( h 4 ) 根据生态学意义，我们总在下列区域中讨论问题 冗阜= ( z 1 ，x 2 ，矽) t r 3 i z l o ，z 2 o ，y o ) 2 2 正周期解的存在性 在本节中，我们将研究系统( 2 1 ) 的正周期解的存在性，为方便起见，讨论之前 先引用文【4 4 】中的概念和结论 设x 和z 为两个b a n a c h 空间，l ：d o m lcx _ z 是一个线性映射，n ：x _ z 为一个连续映射如果d i m k e r l = c od i mi m l 。 故艘是系统( 2 1 ) 的正向不变集引理得证 定理2 1 设系统( 2 1 ) 的系数函数满足下面条件 ( 日5 ) 矽h e 十x 。p 。 p 2 d 2 。1 ) 再 雪，其中d l = i n 等等喾，p = + d m 等等+ 矿e m 币( a m 阿) 2 t ! m e 3 ， 则系统( 2 1 ) 至少存在一个正的u 一周期解 证明我们先作如下变换 x d t ) = e x p u i ( t ) ( i = l ，2 ) ，秒( t ) = e x p v ( t ) ，( 2 3 ) 则系统( 2 1 ) 转化为 l 掣= b ( t ) 触m 心) - b ( t ) - d ( t ) e 虮( 虬翮e ( t ) e u l ( o 删， 幽d t = c ( t ) e u - ( t ) - 吲) 一m ) e 啡) ， ( 2 4 ) 【警= - 9 ( 0 + 辫端一g ( t ) e 啡一) 显然，如果系统( 2 4 ) 有一个u 一周期解( 钍：( t ) ，钍；( t ) ，u + ( t ) ) t ，那么 ( z ；( ) ，z ；( t ) ，y + ( ) ) t = ( e x p u ：( 亡) ) ，e x p u ；0 ) ) ，e x p v + ( ) ) t 两类生态学动力系统的周期解与持续生存性 是系统( 2 1 ) 的一个正的u 一周期解故我们只需证明系统( 2 4 ) 至少有一仙一周期 解设 x = z = 【( u 1 ( t ) ，乱2 ( t ) ， ( t ) ) t c ( r ，n z ) u i ( t + w ) = u i ( t ) ( i = 1 ，2 ) ，秒( + u ) = 钉( t ) ) ， i i ( 札( t ) ，u 2 ( t ) ， ( t ) ) t | i = 吾2 嚣为i u t ( ) l + 冒罚l 钉( t ) i ，则x 和z 在i i i r 卜成为b a b a c h 空 间令 l ：d o m l n x _ 舢( 喇，乱：，删t = ( 掣，百d u 2 ( t ) ，掣) t ， 其h h d o m l = ( 让1 ( t ) ，u 2 ( t ) ， ( t ) ) t c 1 ( r ，萨) ) ，且：x _ x ， u 1 i u 2 i i l n ( t ) e t 。( ) 一t - ( t ) 一6 ( ) 一d ( t ) e t t ( 幻一揣e ( 幻 c ( t ) e u l ( 。) 一u 。( 。) 一f ( t ) e u 2 ( ) - g ( t ) + 筹端一g ( t ) e 础。( t ) ) 分别定义映射p 和q 为 p ( u l ，u 2 ， ) t = q ( u 1 ，u 2 ，u ) t = ( 击厂吐啪t ，w 姒棚t ，并邢m ) t 小洲2 t x = 互 显然有 k e r l = ( 乱1 ，u 2 ，u ) t x l ( u l ，u 2 ， ) t = ( u 2 ，u 2 ，u o ) t r 3 ， n 1 ( t ) 2 ( t ) n 3 ( t ) i m l = ( u l , u 2 , v ) t z if l u , ( t ) d t = 0 ( i = 1 ，2 ) ，z u u ( t ) d t = 0 坼( 钍) = z 。吣) d s 一：1 ；o o 让( s ) d s d t ， o n 仳= ( ：1 o 。 h ( j ) d t ，专z u k ( t ) d t ，三z u b ( t ) d t ) 1 ， 后l ( s ) d s1f _ j 0 1r 。f t n l ( s ) d s d t k p ( i q ) n u = i 片n 2 ( s ) d s 卜l 刍n 2 ( s ) d s d tl 【f on 3 ( s ) d 8j1 言f on s ( s ) d s d tj 一。三一丢) i 片j n 帅1 ( s ) 冲d s1 1 0 硕士学位论文 由l e b e s g u e 控制收敛定理可知q 和k p ( j q ) 是连续的，利用a r z e l a - a s c o l i 定 理容易证明对任意的有界开子集qcx ，q n ( q ) t g l k p ( i q ) ( s2 ) 都是紧的，所 以在q 上是l 一紧的 下面我们来构造合适的开集q 对应于算子方程l u = a n u ，入( 0 ，1 ) ，我1 1 1 有 百d u l ( t ) = 洲，百d u 2 ( t ) = 删，百d u a ( t ) = 删 ( 2 5 ) 假设仳( ) cx 是系统( 2 4 ) 对于入( 0 ，1 ) 的任意解，对( 2 5 ) 在区间 o ，卅上积分得 z 0 ( t ) e 2 2 ( o - u l ( t ) - b ( t ) 一d ( z ) e u l ( o _ 器e 口。 d t = 。， ( 2 6 ) 小 ) e u l ( t ) - u 2 ( t ) _ 们) e u 2 ( t ) 肛。， ( 2 7 ) 卜，+ 貉刊呈v ( t - 5 ( t ) ) 卜。 仁8 ， 由( 2 6 ) ( 2 8 ) 可得 z ui 也( t ) l d t 2 o 。 6 ( t ) + d ( t ) e “l ( ，+ 器e ”。 d t ，( 2 9 ) z 。i 也2 ( t ) l d t 2 o 。，( ) e t 2 d ， ( 2 i 。) z ui 西( t ) | d t z 。；葛篇d t + o u ( g ( t ) + q ( t ) e v ( t - 5 ( t ) ) ) d t ( 2 1 1 ) 2 砒 因为( u 1 ( t ) ，u 2 ( ) ，秽( t ) ) t x ，所以存在& ，碾 o ，u 1 0 = 1 ，2 ，3 ) ，使得 蚓2 1 0 r a i n 驯u i ( t ) , u i ( r l i ) ：黝乱删2 ) ( 2 1 2 ) u ( 岛) 2 i o m i n 。jv ( 帅( 啦) 2 m a x 。】u ( 。) 由此及( 2 5 ) ，我们有 a(77。)et屹(町-)一tl-(竹)一6(?7。)一d(77)e”l(叼-)一；描 c ( 啦) ( 啦) 一u 2 ( 啦) 一，( 7 7 2 ) e u ：m ) = 0 ， h o ? 3 ) e 2 “l ( 7 3 7 旧) ) p ( 叩3 ) 十e 2 “l ( n s r ( 叩3 ) ) m ( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) ，我们有 e ”( 叩1 ) = 0 一9 ( 叩3 ) 一口( 伽) e ( ，) 3 6 ( 啦) ) = 0 b l e u l ( m b ( v 1 ) e “l ( ”l n ( 7 7 1 ) e l l 2 ( 叶1 ) a m e 坳( 7 2 ) ， 一1 1 一 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 两类生态学动力系统的周期解j 持续生存性 以及 经过计算可得 故由上式可得 ，l e 2 u 2 ( ，7 2 f ( r 1 2 ) e 2 u 2 ( 啦) = c ( 7 7 2 ) e u l ( 7 2 c m e u l ( 町 一饥，研( a m ) 2 c m , e u 2 ( n 2 ) 鬻 珏- ( t ) ”z ( 刀- ) l n 可( a m 酽) 2 c m ( 2 1 6 ) 全h i , 2 ( 亡) 钍2 ( ? 7 2 ) l n 两a m c m 全日2 ( 2 1 7 ) m ( 2 8 ) 和( 2 1 2 ) 可知 z uev(t-a(t),q(t)e d t u筹篙蔫dtj0 蛳 煮警蒜砒， j 0y o ，tc ” ”“ 从而有 ) i n = h 口 ( 2 1 8 ) 从( 2 1 0 ) 和( 2 1 8 ) 我们可得 吣) 啪) + 石0 u 阻l n 皂t + 2 b 全凰 ( 2 1 9 ) ， 另一方面，m ( 2 7 ) 及( 2 1 2 ) ，我们有 。(毒)et2(1)一u1(e1)一6(，)一d(，)et1(1)一；揣e”(f-)=。，(22。) c ( 已) e u - ( 妇) 一u 。( 如) 一，( 已) e u ：( 如) = 0 ， 尼( 釉e 2 u 1 ( f 3 一r ( 妇) ) p ( ) + e 2 u l ( 4 3 一下( f 3 ) 由( 2 1 6 ) ，( 2 1 9 ) ，( 2 2 0 ) 和( 2 2 1 ) 得到 a l e “2 ( f 2 n ( 1 ) e “2 ( 6 ) 一夕( 6 ) 一g ( 6 ) e ”( 4 3 6 ( 如) ) = 0 i n 孔1 h + e x e p x p 2 2 d 1 可 一雪) 一2 砒 由( 2 1 9 ) 和( 2 3 0 ) 可得 鼢i 1 1 n 争2 轧，il n 孔1 h + e x e x p p 2 d 2 , 面 一f gj i ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) + 2 砒，全忍 j ( 2 3 1 ) 3 显然( 2 2 8 ) 和( 2 3 1 ) 中的r 1 ，r 2 ，r 3 不依赖于入，令m = p m + r o ，取凰充分大使得 i - - - - 1 2 q ( 豇l ，豇2 ，o ) t = o 的每一个正解( 乱：，u ；， + ) t 满足条件i i ( 乱：，u ；，矿) t 0 = i u ；l + i = 1 i v + i 0 ，且圣z ( b o z 口) ，其中口为正常数，当t 0 r x ( o ) o n ，则有l h i m i 。n f x ( t ) ( ：) 壶 如果a 0 ，b 0 ，且圣x ( b a x n ) ，其中a 为正常数，当t 0 r z ( o ) o n ， 则有l i m s u p x ( t ) ( 吾b ) i 因为引理2 3 是文【4 5 】中引理2 2 的直接推论，在这里我们不再给出证明 引理2 4 ( 参见文 1 9 ，2 6 】) 系统 邮) = 。( 她( 。) 一u l ( 。) 一荆钍；， ( 2 3 3 ) 也2 ( t ) = c ( t ) u 1 ( t ) 一，( t ) u ；( t ) ， 、。 存在一个正的u 一周期解( 乱i ，u ；) t ，且在冗辜o = ( u 1 ，l t 2 ) tu 1 0 ，u 2 o ) 上是全 局渐近稳定的 定理2 2 设z = ( x l ( t ) ，z 2 ( 亡) ，( t ) ) t 是系统( 2 1 ) 在初始值条件( 2 2 ) t 的任意 一个正解，则存在正常数尬( i = 1 ，2 ) ，n 及t + 0 使得当t t + 时，有 0 o 使得当t 丑时，我们有戤( t ) 牡l ( t ) 尬0 = 1 ，2 ) 另一方面，对于秒( t ) ，由系统( 2 1 ) 可知 9 ( t ) y ( t ) h m ( 2 3 5 ) 在i t 一6 ( t ) ，t l _ f ：对( 2 3 5 ) 积分得 y ( t ) y ( t 一6 ( ) ) e x p h m 6 ( ) ， ( 2 3 6 ) ( 2 3 6 ) 等价于对v t 6 ( ) ，有可o 一6 ( t ) ) y ( t ) e x p - h m 6 ( t ) ，因此，当t 丁时，我 们有 9 ( t ) 可( t ) ( 九m q c y ( t j ( t ) ) ) 可( t ) ( 危m y ( t ) q le x p 一h m 6 ( t ) ，) ( 2 3 7 ) 可( ) ( m y ( t ) q le x p 一h m 7 - ) ) l 掣( ： n ，则存在正 数t + t 1 + 7 i ，使得当t t + 时，有可( ) n 故，当t t 时，我们有z i ( t ) = l ，2 ) ，可( t ) n 定理得证 定理2 3 若条件( h 1 ) 一( h 4 ) 都成立，易知存在正常数观 0 ，使得当t t 时，我们有甄( ) m i ( i = 1 ，2 ) ，若下列不等式 ( 日6 ) 茹镑舞 9 m 也成立， 则存在正常数几。 c 2 4 2 ， 因此，当t ”时，我们有忍( ) m ( z = 1 ，2 ) ，u ( t ) n 定理得证 订 舯 ， 一删州等 迎硪，一 域i 幻一1 - 9 蛳一 一 一p 一2 1 + 碍一肋 、j r 一_ l筮圳 9 砑 叫 硕士学位论文 2 4唯一性和全局渐近稳定性 在本节中，我们将通过构造适当的l y a p u n o v 函数来证明周期解的唯一性和全 局渐近稳定性 定理2 4 若条件( h 1 ) 一( h 6 ) 都成立，且满足 ( h 7 ) l ! m i m a i ( t ) 0 ，z = 1 ，2 ； + o 。 ( h 8 ) l i m i n fb ( t ) 0 ， 十o 。 其中 删刊一警一警刊e 一犏等 一揣1型p le 了 如灿，一于( 妒- 1 ( t ) ) 厶一- ( t ) 姒叫 a ：( t ) = m ) 一a ( t ) m r z 一_ 4 t ) 矿m 1 ， b ( t ) = q ( t ) 一e ( t ) f 一( 夕( 亡) + 九( t ) + q ( t ) n ) q ( s ) d s 一- 1 ( ) j t 一焉( 如，l 一6 ( 砂一1 ( ) ) ，妒一1 ( ) 1、7 e =p m n + 3 m n f ：p m m l + m 3 己) z 一 铲) 2 妒一1 ( ) 和妒一1 ( t ) 分别表示妒( t ) = t 一丁( t ) 和妒( t ) = t 一6 ( t ) 的反函数，则系统( 2 1 ) 有 唯一的一个全局渐近稳定的正u 一周期解z + ( t ) = ( z ；( t ) ，z ；( t ) ，矿( t ) ) t 证明根据定理2 1 ，系统( 2 1 ) 存在一个正的u 一周期解，令 z + ( 芒) = ( z ：( t ) ，。；( 亡) ，可+ ( t ) ) t 为系统( 2 1 ) 一个正的u 一周期解，z = ( x l ( t ) ，x 2 ( t ) ，剪( t ) ) t 是系统( 2 1 ) 任意一个正 解由定理2 3 和定理2 4 可知，存在正常数佗，n ，讹，坛( i = 1 ，2 ) 和t m a x t * , t “) ， 使得当t t 时，我们有 0 m t z ；( ) 舰，0 m i z t ( t ) 舰“= 1 ，2 ) ， 0 0 ( 2 5 8 ) 令a o = m i n a l ，o r 2 ，p ) ，由( 2 5 7 ) 和( 2 5 s ) , - - 篌t d w 川。( 喜k 瑚) i _ 妒叫圳) ( 2 5 9 ) + y ( t ) 咖i 瞰t ) 一甄( t ) i _ 瞰t ) 一y ( t ) j ) ( 2 5 9 ) 一1 对( 2 5 9 ) 的n 端在区间 t o ，】上积分可得 即m 。( 喜k ( s ) 咱( s ) h 以s h ( s ) i ) d 8 。， l i m i 。n f f ( 旷警一警) o ， l i m i n f q ( t ) 一e ( t ) f 一( 夕( ) + ( t ) + q ( t ) ) ：q ( s ) d s ，h 2 6 一n q ( t + 6 ) q ( s ) d s ) 0 则系统( 2 1 ) 有唯一的一个全局渐近稳定的正u 一周期解z + ( t ) = ( z ：( ) ，z ；( t ) ，旷( t ) ) t 2 5例子和数值模拟 在本币中，我1 门举出一个例子来说明我们的主要结论 例2 1 考察下面一个具有时滞和阶段结构的食饵一捕食者系统： 圣，( t ) = ( 3 + 0 0 1s i nt ) z z ) 一z 。 ) 一z ；( ) 一塑l 三暑乎掣秒( t ) ， x 2 ( t ) = ( 2 - i - 0 0 1c o st ) x 1 ( t ) 一z ；( ) ， 荆= y ( ) ( - 0 0 0 1 + ( 1 + 面0 0 啊1c o s 矿t ) x 矿2 l ( t - 0 0 2 ) 一( 3 + s i nt ) y ( t - 0 0 1 ) ) ， 一2 2 硕士学化论文 满足初始值条件 x l ( o ) = 2 1 ，z 2 ( o ) = 2 ，y ( o ) = 0 1 ( 2 6 5 ) 在例2 1 中，对应于系统( 2 1 ) ，系数表达式为 a ( t ) = 3 + 0 0 1s i n t ，b ( t ) = d ( t ) = y ( t ) = l ，c ( t ) = 2 + 0 0 1 c o s t ，p ( t ) = 1 0 ， e ( t ) = h ( t ) = 1 + o 0 1 c o s t ，g ( t ) = 0 0 0 1 ，q ( t ) = 3 + s i n t ，r ( ) = o 0 2 ，5 ( t ) = 0 0 1 ( a ) ( c ) ( b ) ( d ) 图2 1 ( o ) ，( 6 ) ，( c ) 表示系统( 2 6 4 ) 的数值解z l ( t ) ，z 2 ( z ) ，可( 亡) ，( d ) 表示系统( 2 6 4 ) 的相轨，初始值条件为z 1 ( o ) = 2 1 ，x 2 ( o ) = 2 ，y ( o ) = o 1 不难验证系统( 2 6 4 ) 满