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赋卢一范空间上算子的不动点定理硕士学位论文 摘要 本文研究了赋卢范空间上算子不动点的存在性与迭代逼近问题由于赋p 范 空间与赋范空间结构上的不同，特别是卢凸性与凸性的不同，因此采用了不同的研 究方法本文给出了赋卢一范空间上算子的b r o u w e r 型、k r a s n o s e l s k i i 型、k a t u t a n i 型等不动点定理，引入并研究了两个新的m a n n 型、i s h i k a w a 型迭代格式逼近算子的 不动点，并证明了它们的收敛性。 本文共分为以下四章： 作为全文的准备，第一章介绍了相关的背景、国内外的研究现状，列出了文中用 到的一些概念与结果 第二章研究了赋卢一范空间上算子的连续性、有界性等基本性质，建立了线性 算子连续与有界的等价性定理，讨论了泛函列的一致连续性 第三章构作了 维赋p 一范空间与n 维欧氏空间之间的同胚映射，并以此为基 础建立了n 维赋卢一范空间上算子的b r o u w e r 型、k r a s n o s e l s k i i 型、k a t u t a n i 型等不 动点定理 第四章通过构造m a n n 型、i s h i k a w a 型迭代格式，研究了赋卢一范空间上弱压缩 算子、z a m f i r e s c u 算子的不动点迭代逼近，得到了这些迭代格式的收敛性定理，给出 了它们的误差估计式，并对迭代格式的收敛速率进行了比较 关键词：赋卢- 范空间；同胚映射；不动点；m a n n 型迭代；误差估计 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r , t h ee x i s t e n c ea n dt h ei t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o no ff i x e dp o i n t so f o p e r a t o r sa r es t u d i e di n 卢一n o r m e ds p a c e s t h e r ea res o m ed i 妇融r e n c e sb e t w e e n - n o r m e ds p a c e sa n dn o r m e ds p a c e s ，e s p e c i a l l yb e t w e e n 卢- c o n v e xs e t sa n dc o n v e x s e t s ，s os o m ed i f f e r e n tm e t h o d sa r eu s e d t h ef i x e dp o i n tt h e o r e m so fo p e r a t o r so f b r o u w e rt y p e ，k r a s n o s e l s k i it y p ea n dk a k u t a n it y p ea r eg i v e ni n p n o r m e ds p a c e s i n a d d i t i o n ，y w on e wm a n nt y p ea n di s h i k a w at y p ei t e r a t i v ep r o c e s s e sa r ei n t l o d u c e da n d s t u d i e d ，a n dt h e nt h e i rc o n v e r g e n c ei sp r o v e d t h i sp a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，t h er e l a t e db a c k g r o u n d ，a sw e l la st h ep r e s e n ts i t u a t i o no nt h er e s e a r c h o f 卢。n o r m e ds p a c e si si n t r o d u c e d s o m ed e f i n i t i o n sa n dr e s u l t st h a ta r eu s e di nt l e p a p e ra le l i s t e d i nc h a p t e r2 ，t h ec o n t i n u i t ya n db o t m d e d n e s so f o p e r a t o r si n 卢n o r m e ds p a c e sa le d i s c u s s e d , a n dt h ee q u i v a l e n c et h e o r e mi se s t a b l i s h e db e t w e e nt h e m a l s o ，t h eu n i f o 册l v c o n t i n u i t yo ff u n c t i o n a ls e q u e n c e si sd i s c u s s e d i nc h a p t e r 3 ，h o m e o m o r p h i s mt h e o r e m sa r eo b t a i n e db e t w e e n ，z d i m e n s i o n 。n o r m e ds p a c e sa n d 肌d i m e n s i o ne u c l i ds p a c e s b a s i n go nt h ea b o v e r e s u l t , t h ef i x e d p o i n tt h e o r e m so fo p e r a t o r so fb r o u w e r e s t a b l i s h e di n - n o r m e d s p a c e s t y p e ，k r a s n o s e l s k i it y p ea n dk a k u t a n it y p ea r e i nc h a p t e r4 ，t h ei t e r a t i v ea p p r o x i m a t i o no ff i x e dp o i n t so f w e a k l yc o n t r a c t i v em a p s a n dz a m f i r e s c uo p e r a t o r sa r es t u d i e db ys o m ei t e r a t i o np r o c e s s e si n 卢n o r m e ds p a c e s t h ec o n v e r g e n c et h e o r e m so ft h e ma r eg i v e na n ds oa r et h e i re r r o re s t i m a t e s a tl a s t ，t h e c o n v e r g e n c er a t e so f s o m ei t e r a t i o n sa r ec o m p a r e d k e yw o r d s ：卢- n o r m e ds p a c e ；h o m e o m o r p h i cm a p p i n g ；f i x e dp o i n t ；m a n nt y p e i t e r a t i o n ；e r r o re s t i m a t e i i 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究成 果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已 经发表或撰写过的研究成果 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了 谢意 作者签名：丑盘鑫 日期： 垒2 ： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的 规定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论 文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并 允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数 据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位 论文在解密后适用本规定 作者签名： 曼5 l ：晶 日 期： ! i ： 赋卢一范空间上算子的不动点定理硕士学位论文 第一章引言与预备知识 1 1 引言 抽象化方法是泛函分析中广泛使用的方法线性代数中的线性方程组、常微分 方程、偏微分方程、积分方程等等，在泛函分析中，都抽象成了算子方程；在各种不 同条件下求极值的问题，在泛函分析中，全被概括成了“泛函极值”这也许失去了问 题的实际原型，但能使实际问题得到简化，从而为便捷地求解开辟了道路统一多 种方程的算子方程，形式简单至极，在抽象空间的框架下，更便于对它做出深刻的 分析 与算子方程的解密切相关的是算子的不动点不动点理论在各类算子方程解的 存在唯一性问题的讨论中起着重要的作用，现已迅速发展成为非线性泛函分析理论 的重要组成部分上世纪初，b r o u w e r 和b a n a c h 分别提出两个基本的不动点定理： b r o u w e r 不动点定理和b a n a c h 压缩映射原理b a n a c h 压缩映射原理是一个“度量型” 的不动点定理，利用这一定理，不仅可以判定不动点的存在唯一性，而且还可以构 造一个迭代程序，逼近不动点到任何精确程度b r o u w e r 不动点定理是一个“拓扑型” 的不动点定理以这两个基本定理为出发点，不动点理论从各个不同的角度发展起 来，其中一些结果己被成功地应用于研究b a n a c h 空间中非线性v o l t e r r a 积分方程、 非线性积分微分方程和非线性泛函微分方程解的存在唯一性等问题 作为泛函分析中基本的空间，赋范线性空间特别是b a n a c h 空间上算子的不动点 理论已日臻完善，而对于赋准范空问上算子的不动点理论成果则相对较少赋3 范 空间作为种线性距离空间或赋准范空间，是通常赋范线性空间的推广我们知道， 当p 1 时，口( 肛) 是重要的b a n a c h 空间而当0 p = 卢1 时，( “) 便是完备 的赋卢一范空间与b a n a c h 空间相类比，赋卢一范空间具有同等的重要性( 参见【1 】) 于是试图将b a n a c h 空间上算子泛函分析的基本概念推广到赋卢一范空间上，研究其 上的不动点的存在性及迭代逼近理论是自然的这正是本文的工作目的 文献【2 - 7 】对赋卢- 范空间的拓扑结构、几何性质、泛函和算子的性质进行了仔细 的研究s i m m o n s 8 等人在上世纪六十年代引入了局部卢凸的局部有界空问的概念， 将局部凸分析理论拓展到了赋卢一范空间上1 9 8 1 年，j a r e h o w 9 等人又将局部p 凸 的概念推广到了一般的拓扑线性空问上1 9 9 9 年，詹大鹏【1 0 讨论了赋p 范空间的 赋卢一范空间上算子的不动点定理硕士学位论文 一类子空间上的单位球面等距扩张问题，进步研究了赋卢范空间的结构2 0 0 2 年， 王见勇【1 1 引进了卢- 共轭锥氍的概念，建立了关于卢一凸集的k r e i n m i l m a n n 定理、 m i n k o w s k i i 定理及其他一些重要结果2 0 0 5 年，杨秀忠等 1 2 】得到了赋卢范空间等 距映射的线性延拓的一般结果，推广了文献 1 3 - 1 5 】中的结果2 0 0 6 年，王见勇 1 6 研 究了p 一次半范的h a h n b a n a c h 延拓问题，得n - j 连续卢次半范在局部卢凸空间中 的连续延拓定理及在赋卢范空间中的保范延拓定理等，进一步完善了赋卢范空间 的有关理论 作为这些工作的补充，本文在第二章研究了赋p 范空间上算子的连续性与有 界性在第三章着重研究了与p 凸集有关的几个不动点定理在不动点问题研究的 众多方向中，关于构造渐近不动点序列的迭代收敛问题已成为研究的热点，这方面 的研究在实际应用中起到至关重要的作用由于赋卢范空间与b a n a c h 空间结构上 的不同，因此b a n a c h 空间上算子的迭代格式并不适用于赋卢范空间本文在第四 章构造了适用于赋p 范空间的新的迭代格式，研究了m a n n 型迭代序列和i s h i k a w a 型迭代序列逼近某些算子不动点的若干收敛性质 1 2 定义与引理 本小节列出本文后面用到的一些定义与结果 定义1 1 1 2 , 1 7 设彳是数域k 上的线性空间若映射0i i 。：x 一【o ，+ ) 满足： 对任意的x ，y 彳，口k ，0 o ，v te ( 0 ，o 。) ；l | 【，( o ) = o ，l ，i m 。y ( f ) = 引理1 6 胆1 1 设( x ，d ) 是完备的度量空间，t 是弱压缩映射，则丁在x 中存在 唯一的不动点p 引理1 7 2 2 1 设 成) ， 仃。) 是两个非负数列，当门时，p 川p 。+ d 。若 o 。，则煅p 。存在 n = 0 引理1 8 2 3 1 设( x ，d ) 是完备度量空间，t ：x 寸x 是映射，若存在实数 1 b ，c ，o b ，c 去，使得对比，y ，下列至少有一式成立： ( z 1 ) d ( h ，矽) 6 d ( x ，t x ) + d ( y ，砂) ； ( z 2 ) d ( 戤，矽) 吐d ( z ，t y ) + d ( y ，豫) ， 则丁存在唯一不动点p ， 捌v x o x ，由x n “= 巩( 玎= o ，1 ，2 ，) 定义的p i c a r d 迭代序列 石。) 二。收敛到p 满足引理1 8 条件的映射歹称为z a m f i r e s c u 算子 4 赋卢一范空间上算子的不动点定理 硕士学位论文 定义1 7 设 口。) ：。和 吮) ：。是分别收敛到口和6 的两个实数列，假设存在z 满足，= 煅a n 一口l h 一6 1 ) 如果z = o ，那么称收敛于口的 q ) ：。比收敛于6 的 瓦 ：。收敛得快；如果o 1 0 ，使得当0 x - - x o1 8 0 ，使得对x 中的任意两个点x l ，x 2 ，当 i i x , 一x 2 1 l 卢 0 ， 6 赋卢一范空间上算子的不动点定理硕士学位论文 使得对任意的x 7 ，工”d ，当l i x r _ x ”忆 o ，当刀 时，有 ix n y o l l 卢 o ，使得对v x ，x ”ed ，当忙一x ”忆 时，有l l 一吒忆 6 ，此时有0 砜一巩忆 0 ，对任意的自然 数栉，存在吒彳阢虽然忖| | 口 三，但是一巩”卜因为 j d 紧，所以 吒) 存在收敛子列 ) ， 这样序列 l i 呻m 。k = 同理有l i _ m 。x n k ”= ， 一 月l tt件t弹 x h 。，x l ，2 ，2 ，x ， 7 赋卢一范空间上算子的不动点定理硕士学位论文 构成一收敛序列，它当然是c a u c h y 列，但是由i | 戤飞，一k ”虬s o 可知序列 砜，。，t x r 2 t 巩：”，砜，砥”， 不是c a u c h y 列矛盾 2 2 算子的有界性与连续性 使得对任意的xea ，都有恻l b 三，则称彳为有界集若r 将有界集映为有界集， 则称，是有界的当丁有界圳丁j l - 器卢，酬伽的范数若上 证明先证充分性若t 有界，不妨设i i r l l - o ，x ，对x x 且忙一j c o k 6 = 寺，有 错= m 苛n s 妒u p 。芦- l l 硎， 所以l l a 一砜忆- 0 ，存在6 0 ，使得对任意的，x 2 x ，当 怯一砭忆 0 ，使得对于任意的x 1 ，x 2 x 且 一艺儿 0 ，使得当玎 n 时，对一切z x 都有 z ( x ) 一厂( x ) i 0 ，存在n o 0 ，当，2 ，m n o 时，对一切x x ，有 z ( x ) 一厶( x ) i i z ( x ) 一饰) i + 1 1 ( x ) 一厶( x ) i 0 ，当 五，恐x 且0 _ 一恐儿 6 时，j 对k = l ，2 ，0 ，均有 i 以( 而) 一以( 屯) l 0 ， 当点五，x 2 x 且0 _ 一x 2 忆 6 时，对一切职有 l f ( x 1 ) 一五( 恐) f s ， 于是固定而，屯，令n 寸o o 有 f ( x 。) - f ( x ：) l s ， 由定义2 3 知厂是x 上的一致连续泛函 赋卢吨空间上算子的不动点定理 硕士学位论文 第三章赋卢一范空间上算子不动点的存在性 本章主要讨论赋卢一范空间上算子不动点的存在性首先，作为压缩映射原理 与方法的应用，讨论了球上压缩映射的不动点问题本章的重点是构作 维赋卢一 范空问与n 维赋范空问之间的同胚映射，并以此为基础建立了n 维赋卢一范空间上 算子的b r o u w e r 型、k r a s n o s e l s k i i 型、k a t u t a n i 型等不动点定理 3 1 球上的压缩 定理3 1 ( 开球上的压缩) 设t 为从完备赋卢一范空问x 到完备赋卢一范空间y 上的映射，若在开球u ( ，) = x l i j x x o 卢 o ) 内满足 峪一t e l l 卢- , zl l x y 忆 其中a 【o ，1 ) 又丁在u ( x o ，r ) 上连续，且i i x 0 一t x o 口a ( 1 一a ) ，则t 在 u ( x o ，r ) 中存在不动点 证明设x n = t x 一1 ，n = 1 ，2 ，因为 k x 。忆= l x o 一砜扎a ( 1 一a ) ，订， 所以x 1 u ( x o ，) 忱一吃”慨一巩k - - , x l l x 。一一 a 2 ( 1 - a ) r 0 ，使a 刀 n 时有 ， 恢一x 。l l 卢- l l x 。一x n 乩- k i l x n + 1 - - x n 乩+ + k 。一 a 肿1 ( 1 一仅) r + a 2 ( 1 一) r + + a 胂( 1 一a ) r ”+ 1 厂0 c 厂 s ， 故 x 。) ：，是c a u c h y 序列设吒 - - x n 一) 1 2 赋卢一范空间上算子的不动点定理硕士学位论文 x n - - x o l l 卢- - - i x 一x n 乩+ x n _ i - - x n 扎+ + 一忆 a ”( 1 一a ) ，+ a ”1 ( 1 一a ) 厂十+ 口( 1 一a ) ， = z a 。( 1 - a ) r r ， i = 1 即x 。是丁在u ( ，r ) 中的不动点 定理3 2 ( 闭球上的压缩) 设丁是从完备赋p 范空间( x ，0 忆) 到其自身的映 射，】，= z 肛一x o l 卢，一) 是彳中的一个闭球，若丁在j ，上满足 雌一r y l 卢- a l l x y l l 芦， 其中a 【o ，1 ) ，并且假设0 一t x oi 口 ( 1 一a ) r 成立，则丁在】，中存在唯一的不动 点 证明只须证明t 将y 映到】，上根据假设，对于，y 2 】，有 慨一现心a 慨一儿弘( o a 1 ) 又由l i 一t x o i 口 ( 1 一a ) ，一，对于v ye y ， 一r yl 卢恢一砜”i i 砜一酬卢 o ，即连续函 数厂在k ”的有界闭集s 上取得最小值朋2 ( 常数) 且聊2 0 x 协x ，x 日，令2 丽。因丁是线性的， 1 5 - o = 砜2 高，于是应 赋卢一范空间上算子的不动点定理硕士学位论文 有( 夏o ) = 1 1 4 卢聊z ，即忙f i 口聊：| i 旷当x = o 时此式也成立于是 可x x 。 。 卢 ( 3 3 ) 设jx ，由c 3 式得，l i a 。一致旷= 忙( 一x ) 旷去一x 忆由此得 巩专t x ，即t ：xj k ”是连续的 综上所述，t ：x 斗k ”是线性同胚映射，x 与k ”线性同胚证毕 注在上述证明中，若令m 1 ：土，m 2 ：一1 ，则由式( 3 1 ) 与式( 3 3 ) 也得 聊1 到了以下的不等式： m 口- o ，v x e e 取y ，。t x i 。，i = 1 ，k 。，作单值映射乙：e e 使 耻善翱 则瓦是连续的由定理3 6 ，存在e 使瓦= x 。因为e 是紧的，故 ) 有收 敛子序列，不妨仍设为 ) ，x 。寸x 0 e v s 0 ， 记u = 砜+ 岛( 8 ，s ) ，其中辟( 日，s ) 为x 中开球 ，x 2 ，m ，儿岛( 口，s ) ，则一+ 乃，屯+ y 2 阢，又因为和b ( p ，s ) 都是卢一凸集，所以a 似_ + ( 1 一a ) 咖x 2et x o ，x l l 卢m 十( 1 一九) 卯y 2 岛( p ，) ， 而 z x p ( x l + m ) + ( 1 - a ) 咿( 吃+ 少：) 1 8 赋卢一范空间上算子的不动点定理 坝士学位1 融又 _ - - _ - - - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - - _ _ _ - _ _ _ 。_ _ _ _ _ _ _ _ - 。_ ，- - _ _ _ _ - - - _ _ _ _ l _ _ _ - _ - 。_ _ - - ，- - _ - _ - - - i _ _ 。- _ _ _ - _ _ _ _ 。_ _ _ - _ - 一 ：五+ ( 1 一a ) 邶x 2 + 咒+ ( 1 一a ) v 卢咒 戤o + b _ 8 ( 8 ，) = u 。， 因此玑是卢一凸开集设 乞) c 砜，z n z ，由r 是闭图映射可知z t x o ，这表 明t x o 是闭集，于是 n 瓯= 瓦- - t x o ( 3 5 ) 因为t 是闭图映射，且e 是紧的，由引理1 3 ，丁是上半连续的，且t x oc 阢，故存 在6 0 使丁( 岛( x o ，6 ) ) c 也。r l - i 于x n j c o ，故存在n e z + , 2 t a ，使 v 刀 有吒易( ，a 2 ) ，注意到当( 矗) o 时有1 1 一忆 a n ，从而 l x i n x 0 0 卢l l x 抽一x 。i k + l l x , - x o l k o ， ( 4 3 ) 生成的序列 x 。，o 。o 。称为关于r 的m a n n 型迭代格式 卜( 1 一阮) v ，x n 包邯巩，腔0 ( 4 4 ) 【卅= ( 1 一) 邶x n + q 卯砜，玎o 一 定义的序列 x 。) 二。称为关于r 的i s h i k a w a 型迭代格式， 卜( h 。) v ：， + 7 , , v 1 9 t x o ， ( 4 5 ) h - - ( 1 飞) 卯x n + o t n l 卢s y n ， 生成的序列 露) 二。称为关于丁，s 的i s h i k a w a 型迭代格式 2 0 赋卢范空间上算子的不动点定理硕士学位论文 4 1 弱压缩映射的不动点迭代逼近 受文 2 1 i 的启发，本文在赋卢范空间上研究弱压缩映射的不动点迭代逼近问题， 建立了m a n n 型和i s h i k a w a 型迭代格式的收敛性定理，并给出了它们的误差估计式 由于赋卢范空间在结构上不同于b a n a c h 空间，本文采用的方法与文 2 1 1 是不同的 定理4 1 设x 是完备赋卢范空间，k 是x 的闭卢凸子集，r 是k 上的 弱压缩映射若m a n n 型迭代格式( 4 3 ) 满足q 。专1 胛专o o ) ， 则 矗) 收敛到丁的唯一不动点p ，其中乙= ( 1 一a 。) v 声+ a 。祁 证明由于k 作为度量空间是完备的，故由引理1 6 ，t 存在唯一不动点， 记为p 由( 1 2 ) 得 l l 矗+ ，- p l 卢l i + 。一乙p i i 卢+ 0 乙p p l p = 1 1 ( 1 卯毛- - a n l f l t x n 一 + 1 1 一乙) 卢i p 口 ( 1 - a 。) 恢一p l i 卢+ a 。慨一p l l p + ( 1 - t 。) 卢p ( 1 一a 。) 一p ”a 。e l l x 。一圳卢一y ( 恢一p l 卢) 1 + ( x - t ) pi l p l l 卢 = x , , - p l 卢+ ( 1 - 乙) 卢卢一a 。y ( 恢一p l 卢) ( 4 6 ) 恢一p l 卢+ ( 1 一f 。) 卢p ， 因为主( 1 一乙) 卢 o 。，由引理1 一。l i 。m 。x , , 一p l 卢存在由( 4 3 ) 得 n - - o a 。y ( 恢一p l 卢 _ x n - p l 卢一h p ”( 1 一乙) 卢i l p l l 芦， 两边同时取极限得舰y ( 0 一p l i 卢) = 0 ，由y 的定义知。l i r a 。l l x 一p 忆= 0 定理4 2 设x 是完备赋卢一范空间，kcx 是闭卢凸集，t 是k 上的弱 压缩映射，s 是k 上的非扩张映射，p 是s 和t 的公共不动点若i s h i k a w a 型 迭代格式( 4 5 ) 满足a 。nj 1 ( 甩一) ， ( 1 一乙) 户+ ( 1 一) 卢 ，则 2 l 芦 、l ， 乙 一 n = ， 。脚 璺竺二堕至旦圭墨三堕至垫塞壁墨婴圭竺堡笙兰 x n ) 收敛到p ，其中乙= ( 1 一及。) v 卢+ 仅， ，= ( 1 一y ，) v 卢+ 圯卯 证明由( 1 2 ) 得 忱一p 卜慨飞p ”慨p p 忆 ( 1 一n ) 0 一p 忆+ 儿j p k p 忆+ ( 1 一已) 卢i i p 牝 ( 1 一y 。) l l x 。一p l l 卢+ y 。 i i 矗一p o p t f ，( o _ 一p l 卢) + ( i s 。) 卢p l l 卢 _ 恢一p 卢+ ( 1 飞) 9p 卢1 i f ，( 恢一pa ( 4 7 ) 一p 蚣一f 。p ”p p 忆 ( 1 一a 。) i x 。一p ”a 。l | 观一p ”( 1 一乙) 卢口 ( 1 一) 慷一，”忱一p ”( 1 一乙) 卢声 ( 1 一a 。) 恢一p ”恢一p ”a 。( 1 一& ) 卢ip l l 卢 + ( 1 一乙) 卢l l p l i p a 以y ( 恢一p l l 卢) 怫一p ”e ( 1 一乙) 卢+ ( 1 一& ) 卢 l p l l - - r v ( 1 l x 一p l l 卢) ( 4 8 ) 恢一p 州( 1 一乙) 芦+ ( 1 飞) 卢i i p 卢， 因为i ( 1 - 乙) 卢+ ( 1 一) 卢i ，由引理1 7 知。l i - + m 。8 矗一p 忆存在利用与定 理4 1 相同的证明方法，由( 4 8 ) 得，。l i 4 r a 。0 矗一p 忆= o 定理4 3 设x 是完备赋j e j 范空间，kcx 是闭卢凸集，t ：x - - + x 是 弱压缩映射若m a n n 型迭代格式( 4 3 ) 满足定理4 1 的条件，则迭代序列 吒) 有误差估计 l | 吒+ ，一p k 。1l ( 忱一p 雌) 口。l + 以， 膏= 】 其中2 墙硝勘的反溅吃= 喜( 1 一p 证明记吃= 0 吒一p8 ，则由( 4 6 ) 得 赋3 一范空间上算子的不动点定理 硕士学位论文 色吃+ 以以一，一口( 吃) 令d o = 0 ，心= 既一吨- l ，则 p 肿l p 。一q 。y ( 。+ 吃一1 ) 因为 ( 心) 一( = ，丽d t 锗煮筠狐， 所以 ( p 。) 一( 肛州) 倪。， k = l斛。西一( ( 肛。) 一喜a 。 ， 即 包卅西一l ( 鸬) 一a 。i + 以 k = l 证毕 类似于定理4 3 的证明可知如下结论成立 定理4 4 设x 是完备赋卢一范空间，kcx 是闭卢凸集，丁是k 上的弱 压缩映射，s 是k 上的非扩张映射若i s h i k a w a 型迭代格式( 4 5 ) 满足定理4 2 的条件，则迭代序列 x n 有误差估计 l i x + - p 忆绀1 _ 川i i ) 一磐卜， 其中中2 褊珂1 是的反溅以= 扣剞+ ( 1 划m l 卢 4 2z a m f i r e s c u 算子的不动点迭代逼沂 引理设实数列 ) ， 巳) c o ，1 满足= 悯与巳 兰，于 是 2 3 赋卢一范空间上算子的不动点定理硕士学位论文 从而由条件c 。 棚得 n = o 兰晶色s 。( 既一玩卅) + 巳， 妻厶6 一6 + 妻巳 ， 厶n = n = n 与s 。= 栩矛盾，故必有6 = o ，即。l i m 。b 。= 0 n = o 定理4 5 设x 是完备赋卢范空问，k 是x 的闭卢凸子集，t ：k 专k 是 z a m f i r e s c u 算子 。0 0 。是由m 鲫n 型迭代格式( 4 3 ) 定义的序列如果a 。= 佃， n = o z ( 1 一乙) 卢 q - - ，那么 吒) ：。收敛于丁的不动点p ，其中f 。- - ( 1 一a 。) v 卢+ a 。卯 证明由于k 作为度量空间是完备的，故由z a m f i r e s c u 定理，丁存在唯一的不动 点p 任取x ，y k ，因为t 是z a r n f n e s c u 算子，所以t 至少满足条件( z 1 ) ，( z 2 ) 中之一若( z 1 ) 成立，则 l t x 一砂忆- b i x 一致忆+ 陟一砂忆 6 卸x 一取峙+ i i y x 虬+ 惟一戥忆+ o 戤一砂忆 ) 于是 ( 1 - b ) t x 一圳p - b l l x 一少岵+ 2 b l l z r f x 一驯i 卢击 y ”而2 b 卜戤 ( 4 9 ) 若( z 2 ) 成立，同理可得 陪t e l 卢亡卜y ”五2 c 拂 ( 4 1 0 ) 记6 = m a x 丁笔，r 三 于是。万 由c 4 9 ，c 4 z 。，得 0 戤一矽忆刚x y 卢+ 2 6x a 阽( 坛，y k ) 令x = p ，少= 而，得i j 巩- p l l 卢6 i i 一p l l 卢 2 4 璺竺二蔓竺望圭兰三堕至垫皇窒墨堡主兰垡望苎 现设 ) ：。是由m a n n 型迭代格式定义的序列，v x o k ，则? 0 x n + t p l 卢 x n + 1 - - l 。p l l 卢+ l i t 。p p l l 卢 = i ( 1 - a n ) 旷卢+ a n l 卢t x n 一乙p i l 8 + ( 1 一乙) 卢o p l l 卢 ( 卜a 。) 岐一p ”a 。慨一p ”( 1 一乙) 9 p ( 1 一a 。) 恢一p ”砸。恢一p ”( 1 一乙) 9 卢 = 1 一( 1 - 8 ) a 。 l x 。一p l l p + ( 1 - t 。) 口娜i p l ， ( 4 1 1 ) 由条件a 。= 惘，( 1 一乙) 卢 佃及本节引理得到。l i 。m 。i l x + 。一p l 卢= o ， 故 毛) ：。收敛于p 定理4 6 设x 是完备赋卢范空间，k 是彳的闭j e i 一凸集，t ：k 专k 是 z a m f i r