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第一章 行列式授课题目 1.1数环和数域授课时数：2课时教学目标：1.了解数学问题的讨论与涉及的数的范围有关，而且与所允许使用的运算有关2.掌握判定数环、数域的方法；3.能证明有关数环、数域的一些结论教学重点：数环和数域的定义，判定。教学难点：数环和数域的判定教学过程：一 数的范围与运算的封闭性 1数的范围 许多数学问题与涉及到的数的范围有关，如二次方程内有解，又如、内都有不同的结果。 2数的运算的封闭性 整数集，对加、减、乘三种运算是普遍可施行的，但对除法，运算结果不一定在其中，不能普遍施行。有理数集（、）对加、减、乘、除可普遍施行。因此数集可分成两类来加以研究。* 数的范围数集运算的封闭性分类 为了讨论方便，我们给出运算封闭的定义：在数集s中，任取两数作某种运算，若其结果仍在s中，则称数集s对于这种运算是封闭的。二 数环及例子 1数环 定义1.设s是复数集c的一个非空子集，如果s中任意两个数的和、差、积仍是s中的数，则称s是一个数环。定义复数集c的一个非空子集s作成数环当且仅当s对于数的加、减、乘三种运算封闭。由定义可得：1）零数环是最小数环；2）所有数环都包含零数环。2例子例1设n是某一整数，则 是一个数环.事实上， 特别地，例2两个数环的交是一个数环，两个数环的并一定是数环吗？证 设是两个数环，因为，所以，如果，那么，.又因为均是数环，所以两个数环的并，不一定是数环.如不是数环有限个数能否组成数环？（请同学思考回答）能，只有零环有多少个数环？ （请同学思考回答） 从例1或例2都可以看出有无限个数环。三、数域及性质1数域 定义2 设f是至少含有两个数的数环，对任意，有 ， 则称f是一个数域。为什么要求至少含两个数？保证除法切实可进行 便于研究（推导有关结论）排除0即是数环又是数域2例子 例如，、都是数域。n,z不是数域，例1、例2中的数环不是数域.例 3 证明证 显然f是显然一个数环，且，所以 成立。设否则在d=0的情形不将c=0, 又由于 所以 . 有限个数能否组成数域？有多少个数域？3性质定理1.1.1 任何数域都包含有理数域。证 设f是任意一数域，。证由于0，1均属于f，于是对任何正整数m有： 从而因此，f包含一切有理数，练习1证明两个数环的交还是数环。2设f是至少含两个不同数的集合。证明：如果f中任意两上数的差与商（除数不为0）仍属f，则f是数域。例4 下列数集中作成数环的有，作成数域的有。（1）； （2）；（3）
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