复变函数与积分变换讲稿 第六章 保角映射.doc

第六章 保角映射 1保角映射的概念一、 保角映射的基本问题 在实用上，往往是给出两个区域和，要求找出一个解析函数，它将区域保形地变换到区域。这就是保交映射的基本问题，比较一般的是归结为要找出一个解析函数，将区域保形地变换到单位圆内部区域的问题。另外，要求这种保形变换必须是一一对应的，因此，要求被变换的区域必须是单连域。黎曼定理：1 一个边界至少包含两点的单连域，存在一个解析函数，将区域保形地变换为单位圆。如果在内再任意指定一点，并令及是正实数，则保形变换函数是唯一存在的。这个定理从理论上指出保形变换函数的存在与唯一性。2 如果给出两个单连域和，它们的边界分别是多于两点的曲线和，若能找到在内是解析的，在闭区域上是连续的，且能作出将到双方正向的，一一对应的变换函数,则将保形变换到。3.边界对应原理：设单连域和的边界分别为和。若存在一个在内解析，在上连续的函数，它将平面上的边界一一对应地映射成平面上的边界。当原像点和像点在边界上的绕向一致时，则内的区域将映射成由边界所围成的区域；反之，则内的区域将映射成的外部区域。 1）当，有，绕向一致时，则有，则区域将映射成区域；2）当，有，绕向相反时，则区域将映射成的外部区域。二、解析函数导数的几何意义 设函数在区域内解析，是内的一点，它与平面上的一点对应，当在经过的某条曲线上移动时，则相应地在经过点的一条曲线移动。我们称为的像，为的原像。在上任取一点，则在上相应地有一点，令，根据导数的定义有 当点沿曲线时，则对应点沿曲线，若记过点处的切线的倾角为，而对应过点的切线的倾角为，则有 ，这就说明了幅角等于将曲线在处的切线转动到曲线在切线时所需要的转动角度。且这个角度只与有关，而与曲线的形状无关。我们称这个性质为转动角不变性。若考虑在平面过处的两条曲线和，通过解析函数的映射，变成为平面过点处的两条曲线和。若记和在处切线的倾角为和，其夹角为，而将和在处的切线的倾角记为和，其夹角为，有 ，因此有 ，这就说明了映射据有保持两曲线间夹角的大小与方向不变的性质。称这种性质为保角性。 又，所以 ，称为曲线经过变为曲线的伸缩率。显然伸缩率只与有关，而与经过的曲线的性状无关，称这种性质为伸缩率不变性。根据以上的讨论，导数几何意义是，在函数的映射下，导数， 导数的幅角 表示变换前后对应曲线的转动角；导数的模表示变换前后对应曲线的伸缩率。 三、保角映射的概念 1. 定义：凡具有保角性和伸缩率不变性的映射称为保角映射，或称为第一类保角映射。 定理 如果函数在处解析，且，那么映射在处是保角的，而且表示这个映射在的转动角，表示伸缩率。1 若映射仅保持角度的绝对值不变，而方向相反的映射，称为第二类保角映射。例。 2 分式线性映射 分式线性映射的一般形式为其中，均为常数。为了保证映射具有保角性，则分式线性映射可以分解成由整线性变换与倒径映射两部分。二、 整线性变换 相似变换1 平移变换 ，它可以看成是将向量沿向量的方向平行移动一段距离。 2旋转，伸缩变换 设，那么，见下图。 整线性变换 的特点是原图形的形状并没有改变，仅改变了大小和位置，故又称为相似变换。 例 求将平面上的等腰直角三角形顶点分别为映射成平面上的等腰直角三角形其对应点为的函数。 解 这是一个相似变换。设1） 平移 ；2)旋转； 3）。见下图： 二、反演变换（或称为倒径映射） 它又可以分成1）=关于圆周对称的映射；2）关于实轴对称的映射。因为=,而.而。若令 ，则原分式线性映射就变为。所以分式线性映射是由整线性变换与倒径变换合成的。 分式线性映射在除去原点外，在复平面上是处处保角的，且也是一一对应的。规定在扩充的复面上，映射将变为，而将=变为,所以在扩充的复面上，分式线性映射是处处保角的。 三、分式线性映射的性质： 1) 具有保角性； 2）具有保圆性。因为在平面上的圆的一般方程为通过映射后，则变为平面上的。分析 .当时，将圆周变为圆周； 当，则圆周变为直线； 当，则直线变为圆周； 当，则直线变为直线。 如果我们把直线看成为半径为无穷大的圆，则分式线性映射就具有保圆性。由保圆性，我们可以推知：在分式线性映射下， .若给定的二圆周上没有点映射成无穷远点时，则二圆周的弧映所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域； II. 若给定的二圆周上有一个点映射成无穷远点时，二圆周的弧映所围成的区域映射成一圆弧与一直线围成的区域； III. 若二圆周交点中的一个映射成为无穷远点时，则两圆弧所围区域将变成角形域。 3）保对称性 即若是关于关于圆周C的一对对称点，则在分式线性映射下，它们的象也是关于C的象对称。4）. 分式线性映射具有保交比性3 唯一决定分式线性映射的条件三对相异点可唯一决定分式线性映射。 分式线性映射，仅需要三点就可以确定一个分式线性映射，因此，有下面的定理 定理 在平面上任意给出三个相异点在平面上也任意给出三个相异点，那么必存在唯一的分式线性映射，将依次映射成，且有 。 三类典型的分式线性映射 1）.将上半平面映射成上半平面的分式线性映射 一般形式为只要均为实数，且即可。 因为这种映射是将实轴映射成实轴，在平面的实轴上任选择3点，（）将其映射成平面上的三点保持正实轴方向不变。旋转角因此有。 2） 将上半平面映射成单位圆内部的分式线性映射 一般形式为，其中，是上半平面内的某一点，为任意实数。由边界对应原理，平面的实轴对应平面上的单位圆周，而，则上半平面的区域将映射成单位圆内部的区域。 例1 在平面上给出中心在及1，半径为的两圆弧所围区域，经映射后，将变成为平面上的何种区域？ 解 分析两圆弧的交点是，它们的交点是和，显然，映射将，而，由保圆性中的III, 两圆弧所围区域将变成角形域。如何确定角形域.的位置？我们在曲线C上任取一点，例=代入，即 ，在第III象限，由边界对应原理，由平面上的三点的绕向（顺时针方向），对应在平面上的三点 ，已为直线，将该直线沿顺时针方向转动，则可得对应的角形域。 例2 求将上半平面映射成单位圆的分式线性映射。 解 法一 利用相异三对点决定一个分式线性映射。我们在平面上选择三点 1，0，1，使它们依次对应于上的三点1，-1，那么绕向相同，代入公式，则所求的分式线性映射为 。 法二 利用将上半平面映射成单位圆的公式 是上半平面的某一点，而是关于实轴为对称的点，为任意实数。 当取，则，如果取，则所求的分式线性映射为. 3) .将单位圆映射成单位圆的分式线性映射 一般形式为，其中是单位圆内的某一点，为实数。 设平面上单位圆内的某一点映射成平面上的单位圆的圆心。与点对称于单位圆周的点应被映射成平面上的无穷远点（即与对称点）。因此 当。满足这些条件的分式线性映射为如下形式 另外，由于当,而，当时，数是互为共轭的。所以，当时， 。另外在的条件下，故有为实数。所以，将单位圆映射成单位圆的分式线性映射为。 例3 试求一分式线性映射，它把单位圆内部映射成单位圆内部，把 映射成，并且满足。 解 设所求的映射为，由 ，为整数。于是所求的分式线性映射为 例4 求将点映射成的分式线性映射。试问单位圆的原象是什么区域？ 解 因分式线性映射可由三对相异点唯一决定，所以有，注意：在分式线性映射中，当分子（或分母）中的某一点被映射成无穷远点时，则分子（或分母）用常数1代换。所以有 经整理得 ，反解， ，当，显然，圆周直线。直线的位置由边界对应原理： 当沿的绕向，对应有的绕向。所以，而，即的原象为平面的左半平面。 习题六、1；3；5、1），3）；6、1），3），7；8、2）；9。 3 几个初等函数所构成的映射三、 幂函数与根式函数 1幂函数 。函数除去原点外，其导数不为零，由所构成的映射是处处保角的。令特别是单位圆周，射线，正实轴正实轴，角形域，将原来的张角扩大了倍。特别是当 。为全平面。例 ，令则经映射后，。 2根式函数 它是幂函数的反函数，当，将原来的张角缩小了倍。例5 求将角形域映射成单位圆的一个映射。解 方法：先将角形域映射成上半平面，再利用分式线性映射将上半平面映射成单位圆。为此，令,则原角形域映射成，即，再设=为所求的映射。 例6 求将平面内含有到的裂缝的全平面映射成上半平面的函数。解1）先令，则可将线段变为射线，因为。如何确定射线的位置？在线段上选取点代入，其象在负实半轴上，所以线段映射成为射线。2）令，变为正实半轴，3）设，将含有正实半轴的全平面压缩成上半平面。总之，要将角形域扩大时，常选用幂函数，要将角形域缩小时，常选根式函数。二、 指数函数与对数函数 1指数函数 =，设 ，那么有。 这种映射的特点是：平面上的直线常数，被映射成平面上的圆周常数；而直线常数被映射成