（应用数学专业论文）完全π正则半群的若干研究.pdf

西安建筑科技大学硕士学位论文 完全石正则半群的若干研究 专业： 硕士生： 指导教师： 摘 应用数学 宫春梅 任学明教授 要 完全正则半群和完全玎正则半群的研究是半群理论中的重要课题。最先c l i f f o r d 研究 了完全正则半群，并给出了一个关于半格分解的结构定型2 q 。这样，完全正则半群可表 示为完全单半群的半格。接着p e t r i c h 运用这一表示理论给出了完全正则半群的一个更完 美的结构【1 2 1 。后来，人们运用完全正则半群的最大半格分解，给出了完全正则半群上的 任意同余的刻画。另外，p e t r i c h 1 0 】曾对这类半群的理想扩张上的同余及同余格做了深入的 讨论，并借助这种半群上的允许三元组确定其上的任何同余。 近年来，完全z 一正则半群引起了许多学者的极大关注。例如，b 础。访c 口】，喻秉钧1 3 】 及郭聿琦、任学明和岑嘉评口7 3 3 1 分别研究了某种完全石正贝1 j 半群及其结构。接着任学明、 郭聿琦【4 j 又运用允许同余对的概念，对完全正则半群的诣零理想扩张( 或严格，r 正则半 群) 上的同余进行了刻画。 在上述研究的基础上，本文首先对严格石正则半群的同构问题进行了研究，给出了严 格万正则半群同构的充分必要条件。其次，对这类半群上的群同余、最小群同余、正则同 余、幂等分离同余做了进一步研究。 全文共分为三章： 第一章引言及若干准备。 第二章介绍了严格石一正则半群的构造，在此基础上通过引入一系列映射，建立起两 个严格万- 正则半群之间的同构，最后给出严格万正则半群同构的充要条件。 第三章对严格7 - 正则半群上的群同余、最小群同余、正则同余、幂等分离同余进行 了研究，并给出了这些同余的刻画。 关键词：完全正则半群；完全疗一正则； 严格万一正则半群：群同余；最小群同余 正则同余：幂等分离同余 西安建筑科技大学硕士学位论文 s o m es t u d i e sf o rc o m p l e t e l yz - r e g u l a rs e m i g r o u p s s p e c i a l t y ：a p p f i e dm a t h e m a t i c s n i n e ： o o n gc h a n m d i n s t r u c t o r ：r e nx u e m i n g t h es t u d yo i lc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p sa n dc o m p l e t e l y 刀- r e g u l a rs e i r f i g r o u p si sa n i m p o r t a n tt o p i ci n t h et h e o r yo f s e m i g r o u p s c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p sw e r ef i r s ts t u d i e db y a h c l i f f o r d , a n di t ss t r u c t u r eo nt h es e m i l a t t i c ed e o o m p o s i t i o nw a sg i v e ni n 2 6 】t h u s ， c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p sc a n b ee x p r e s s e da ss e m i l a t f i c eo f c o m p l e t e l ys i m p l es e m i g r o u p s a p e r f e c ts t r u c t u r eo fc o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u pw a sg i v e nb yp e t r i c hi n 1 0 ，b ) ，u s i n g c l i f f o r d sr e p r e s e n t a t i o no fac o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p c o n g r u e n c e so l lc o m p l e t e l yr e g u l a r s e m i g r o u p sw e r ea l s oc o n s i d e r e dl a t c r l y i np a r t i c u l a r , m p e t r i c hd e s c r i b e dt h ep r o p e r t i e so f c o n g r u e n c e sa n dc o n g r u e n c el a t t i c e so nt h es e m i g r o u p ssw h i c ha r ei d e a le x t e n s i o no fs o m e s e m i g r o u p s m o r e o v e r , h ep o i n t e do u tt h a ta n yc o n g r u e n c eo ns u c hs e m i g r o u p sc a nb e u n i q u e l yd e t e r m i n e db ya na d m i s s i b l e 缸i p l eo ns i nr e c e n t y e a r s , t h ec l a s s o f c o m p l e t e l yz - r e g u k t rs e m i g r o u p s w h i c ha r e n i l - e x t e n s i o n s o f a c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u ph a sa t t r a c t e dt h ea t t e n t i o no fan u m b e ro fa u t h o r s f o re x a m p l e ， b o g d a n o v i c 2 ，b j v u 3 】1 q ig u oa n dx u e m i n gr e n 7 h a v ei n v e s t i g a t e dt h es h - u c t u mo n n i l - e x t e n s i o n so f c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p so f v a r i o u sk i n d s t h e ny u q ig u oa n dx u e m i n g r e nd e s c r i b e dt h ep r o p e r t i e so f c o n g r u e n c eo nc o m p l e t e l y 丌- r e g u l a rs e m i g r o u p si n 4 】b yu s i n g t h ec o n c e p to f a d m i s s i b l ec o n g r u e n c ep a i r o nt h i sb a s e ，t h ei s o m o r p h i s mp r o b l e mo ns t r i c t l y z - r e g u l a rs e m i g r o u p sw h i c ha r e n i l - e x t e n s i o n so f c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p si ss t u d i e di nt h i st h e s i sf i r s t l y , a n dt h en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nu n d e rw h i c hs t r i c t l y 1 - r e g u l a rs e m i g r o u p sa r ei s o m o r p h i ci so b t a i n e d t h e ng r o u pc o n g r u e n c e s ，t h el e a s tg r o u pc o n g r u e n c e ，r e g u l a rc o n g r u e n c e ，a n di d e m p o t e n t - s e p c r a t i n gc o n g r u e n c eo ns u c hs e m i g r o u p sa r eo b t a i n e d t h e r ea r ct h r e ec h a p t e r si nt h i st h e s i s i nt h ef i r s tc h a p t e r , w eg i v es o m en o t a t i o n sa n dp r e p a r a t i o n s i n t h es e c o n d c h a p t e r , w e c o n s i d e r t h e i s o m o r p h i s m p r o b l e m b e t w e e n t w os t r i c t l y 石一r e g u l a r t l 西安建筑科技大学硕士学位论文 s e m i g r o u p sa n dg i v et h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nu n d e rw h i c hs 仃i c t l yg r - r e g u l a r s e m i g r o u p sa r ei s o m o r p h i cb yu s i n gt h es l r u e t u r eo f s t r i c t l y ，r - r e g u l a rs e m i g r o u p s l a s t l y , w es t u d ys o m ec o n g r u e n c e so i ls u c hs e m i g r o u p s ，n a m e l y , g r o u pc o n g r u e n c e s ，t h e l e a s tg r o u pc o n g r u e n c e ，r e g u l a rc o n g r u e n c e s ，i d e m p o t e n t - s e p e r a f i n gc o n g r u e n c e s ，a n dg i v et h e i r d e s c r i p t i o n sr e s p e c t i v e l y k c ，rw o r d s ：c o m p l e t e l yr e g u l a rs e m i g r o u p s ，c o m p l e t e l y 口- r e g u l a r s e m i g r o u p s , s t r i c t l y ，r r e g u l a rs e m i g r o u p s , g r o u pc o n g r u e n c e s ，t h el e a s tg r o u pc o n g r u e n c e ，r e g u l a r c o n g r u e n c e s , i d e m p o t e n t - s e p e r a f i n gc o n g r u e n c e s 1 1 1 声明 本人郑重声明我所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人或其他 人在其它单位已申请学位或为其它用途使用过的成果。与我一同工作的同 志对本研究所做的所有贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：倡夯磅日期：埘。岁f 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安建筑科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或者其它复制手段保存论文。 ( 保密的论文在论文解密后应遵守此规定) 论文作者签名：管务鸪 导师签名： 注：请将此页附在论文首页。 日期翘ifi ，、e 西安建筑科技大学硕士学位论文 1 1引言 第一章引言与预备知识 创立于上世纪初的半群理论，它的系统研究始于上世纪5 0 年代。a d w a l l a c e 和 a h c l i f f o r d 是当时的代表人物，他们建立了t u l a n e 学派。几乎同时，法国m r s c h u t z e n b e r g e r 和俄国l i a p i n 也分别形成了巴黎与s v e r d l o v s k 学派。7 0 年代初，a h c a f f o r d ，c d 3 p r e s t o n 及h o f f m a n n 等人创办了国际性专门刊物“半群论坛( s e m i g r o u p f o r u m ) ”。 回顾整个半群代数理论的历史，正则半群一直占主导地位。完全正则半群，作为一类 重要的正则半群，它的研究成为半群代数理论中的一个相当活跃的领域，在半群理论中占 据重要的位置。最先c l i f f o r d 研究了完全正则半群，并给出了一个关于半格分解的结构定 理刚。这样，完全正则半群则可表示为完全单半群的半格。接着p e l r i c h 运用这一结果给 出了完全正则半群的一个更完美的结构【1 2 】。后来，人们运用完全正则半群的最大半格分 解，给出了完全正则半群上的同余的刻画。另外，p e t r i c h t l 0 】曾对这类半群的理想扩张上的 同余及同余格做了深入的讨论，并借助这种半群上的允许三元组确定其上的任何同余。 近年来，完全万一正则半群弓l 起了许多学者的极大关注。例如，b o g d a n o v i c z l ，喻秉钧四 及郭聿琦、任学明和岑嘉评【5 a3 3 1 分别研究了某种完全石正则半群及其结构。接着任学 明、郭聿琦批又运用允许同余对的概念，对完全正则半群的诣零理想扩张( 或严格万一正 则半群) 上的同余进行了刻画。 在上述研究的基础上，本文首先对严格7 正则半群的同构问题进行了研究，给出了严 格石- 正则半群同构的充分必要条件。其次，对这类半群上的同余( 如群同余，最小群同余、 正则同余和幂等分离同余) 做了进一步研究。文中引入e 一逆e 一半群以及s 的满的、自 共轭子集的概念，利用s 上的满的、自共轭的子半群来刻画严格万一正则半群上的群同余与 最小群同余，继而又利用e 一逆e 一半群上正则同余的构造方法，通过s 的一个偏序关系， 给出了严格万一正则半群上的正则同余。接着，对严格“正则半群上的最大幂等分离同余 进行了研究，并利用格林关系给出了这类半群上最大幂等分离同余的一个刻画。 1 2 预备知识 1 2 1完全正则半群的基本概念和性质 完全正则半群作为一类特殊的正则半群，在半群理论中占据相当重要位置。 西安建筑科技大学硕士学位论文 首先，我们固 乙关于完全正则半群的若干基本概念及性质。 半群s 的元素a 称为正则的，若存在x s 使得a = a x a ； 半群s 称为正则的，若s 的所有元素均为正则的： 半群s 的元素6 t 称为完全正则的，若存在x s 使得6 t = a x a 且a x = x a ； 半群s 称为完全正则的，若s 的所有元素均为完全正则的。 令s 为任意一个半群。s 上的格林关系定义如下： 关于任意口，b s ，则 4 cb 曹c ( 口) = ( 6 ) ； a rb 甘婚) = ) ； a jb 铮j 0 ) = j 0 ) 关系h = nr ，o = l v r 也是s 上的格林关系。 下面给出有关格林关系的最常用的一些性质： 引理1 2 1 “：令口，b s ，g ，厂点岱) ，则 ( 1 ) 日lb 3 x , y s 1 使得a = x b ，b = y a ； ( 2 ) a rb 孤，y s 1 使得d = x b ，b = y a ； ( 3 ) e 工f 营e f = p ，乃= f ； ( 4 ) e r f 营e f = f ，f e = e ； ( 5 ) e of 铮3 c ，c s 使得e = c c ，f = c c 。，c = c ，c = c c c 我们再给出完全正则半群的一些性质。 引理1 2 2 ：令s 为一半群，a s ，则以下条件是等价的： ( 1 ) 口是完全正则的； ( 2 ) 存在唯一元素x l ，0 ) 使得瓜= x a ； 3 ) ，c 是s 的一个子群； ( 4 ) d a 2 s a 2 ； ( 5 ) a a 2 s n s a 2 引理1 2 3 ：令s 为一个完全正则半群。则 ( 1 ) 口工b 车a = a b o ，b = b a o ( 口，b s ) ； ( 2 ) 口霓b 亡，口= b o a ，b = a o b ( a ，b s ) ； ( 3 ) a hb 甘a o = b o 其中a o 表示元素t t l 所在舛类中的单位元。 完全单半群是一类重要且特殊的完全正则半群。下面给出这类半群的两个等价定义： 引理1 2 4 ：令s 为一半群，则以下条件是等价的： 西安建筑科技大学硕士学位论文 ( 1 ) s 是完全单半群； ( 2 ) s 是完全正则的，且对于任意t y s 有材= ( 刁) ( 珂) ( 3 ) s 是完全正则的，且s 是单的。 借助于完全单半群，下面我们来介绍关于完全正则半群的一个重要特征。 引理1 2 5 删：令s 为一半群，则以下条件是等价的： ( 1 ) s 是完全正则的； 2 ) s 的每个类是其子群； ( 3 ) s 是群的并； ( 4 ) 对于任意a s ，口a s a 2 ； ( 5 ) s 是完全单半群的半格。 推论：s 是完全正则半群，则，是s 上的最小群同余半格，是s 上的最大同余，且是s 上的唯一的半格同余。 由上面的定理知s 的每一个日类都是一个群，对所有的a s ，我们用口。来表示元素 口在h 。中的逆，扩表示h 。中的恒等元。容易看出对于任意c t ，b s ，有下面的结论成立： d m 口o ：b o 可以看出元素d 。在完全正则半群的研究中有着相当重要的意义( 以下引理参考文献 2 3 ) 引理1 2 6 ：令s 为一个完全正则半群。任取元素a s ，则d 。1 是唯一一个可以和a 交 换的a 的逆元。 证明：显然d _ 1 是a 的逆元目可以和口交换。下证其唯一性。 令x v ( a ) j | a x = x a 则 口= 口一1 口o = 口一1 口一日= a - 2 a x a x a = 口一2 口3 x 2 = a t , 2 = x c = x 下面的两个结论包含了在所有完全正则半群s 上成立的些重要的关系式。 引理1 2 7 ：令a ，b s 则： ( 1 ) 对任意整数女都有口o ( a b ) k = 缸6 y = ( 口6 y 6 0 ； ( 2 ) d o p 口) o ，0 6 ) o 口o e ) ； ( 3 ) 若曲e $ ) ，贝, t j b a e 圆) b i 理1 2 8 ：令d 1 ，口2 ，。s 则 q ，以尸= q ，) o - j ( 口。q 矗。) o - 口g 。4 。一：) 。瓜i 1 q ，艘。) o 特别地， a b 一= 0 6 ) o b 。( 6 口) o d 。0 6 ) o 3 西安建筑科技大学硕士学位论文 引理1 2 9 ：令s 为一个完全正则半群。t 为任意一个半群，若妒：s 哼t 是同态映射， 则 ( 1 ) s o p 是完全正则的。 ( 2 ) 对于任意口仨s ，口。1 妒= 0 妒) ，且口。伊= 0 妒) o 证明：( 1 ) 由于s 为完全正则半群，则s 的每个元素都在它的一个子群里。因为一个 群的同态象仍是群，所以s p 也有同样的性质，再由定理1 2 5 知s p 是完全正则的。 ( 2 ) 令a e s 则 ( 矗口碳口。1 妒k p ) = 0 a 。1 d b = 口尹 且类似地，有 g 1 尹k 伊如。1 p ) = 口伊 从而使得口1 p 矿o p ) ，且有 0 p 如。妒) = ( 口口。b = 0 。口b = 0 。1 b 0 妒) 再由引理1 2 5 可得 k 。1 伊) = a q 9 因此有 0 p ) 0 = 0 妒) ( j 妒) = 0 伊如。9 ) = 如4 弦= 口。妒_ 引理1 2 1 0 ：令p 为完全正则半群s 上的一个同余。若a p b , 贝l j a 。1 且口o p b o 引理1 2 1 1 ：令s 是完全正则半群。若t 为s 的一个子半群，则t 是s 的完全正则子 半群当且仅当对任意日e t 都有口* 1 t 下面我们来考虑关于完全i e g , , i 半群的正则子半群的完全正则性。 引理1 2 1 2 ：若s 为完全正则半群t 的一个, t n 子半群，n s 也是完全正则的。 证明：假定口s ，x 是a 2 在s 中的一个逆元，则容易证明积口e ( s 1 。 显然 绷a s n s a 另一方面， a = a - l a 2 = a - l a 2 x a 2 = 如k 且 n = a ( a x a ) 显然有 d c o ：a s n s a x a 这样就有 口5 f a x a 4 西安建筑科技大学硕士学位论文 从而使得s 中的每个中均含有一个幂等元。由 1 中引理i 7 9 以及上面引理1 2 1 知d 是完全正则元。所以s 是完全正则的。 类似于正则半群，我们把。限制到完全正则子半群上，将会得到下面的结论。 引理1 2 1 3 ：若s 为完全正则半群t 的一个正则子半群。则e d j ：o ，ls 证明：显然o j c d ，ls ，只须证明o ，iss 5 令厶赔和。为t 上的格林关系。若a ，b s ，且使得口0 6 则存在元素c t 使得 ac c 啪由引理1 2 5 知巩是群，因此由 1 中引理i 7 8 可得a b n c 6 由于 a b s ，则有 a 盹s 曲s6 因此a o jb 且o tis o j 引理1 2 1 4 ：令s 为一个完全正则半群。若8 ，e ) ，_ e p 是s 上同余，则p s ，s t ，e s f 和8 p 是s 上的完全正则子半群。 证明：显然e s y 是s 的子半群。若a e s f ， 则 a 一2 g a = e a a 2 阳一i 且 口= a - i ， 所以 a 一1 e s f 再由引理1 2 1 1 可知e s f 是s 的一个完全正贝4 子半群。类似地，可以证明岱和黟也是s 上的完全正则子半群。 因为p 2 = e ，所以0 p x 妒) e p ，从而使得印成为s 的个子半群。若口e p ，贝j j a p e ， 由引理1 2 1 0 知口p e 所e p 是s 的个完全正则予半群。 1 2 2 完全正则半群的结构 有了以上预备知识，这一节我们将给出完全正则半群的一个结构定理。 完全正则半群亦称为群的并，c l i f f o r d 2 4 删j 7 任何一个完全正则半群都可以用完全 单半群的半格来表示。接着l a l l e m e n t 3 1 利用c l i f f o r d 的这一结果，借助于半群的平移壳， 给出了完全正则半群的结构见 2 7 ，3 2 】。 与此同时，完全正则半群的某些特殊情况引起了人们的广泛关注，如：( 1 ) 纯正完全正 则半群( c l i f f o r d 2 6 ) ；( 2 ) 群的带( c l i f f o r d 2 5 ，l e e c h 3 0 ) ( 3 ) 带( k j m u r a 2 9 ) ；( 4 ) 群 的半格( c l i f f o r d 2 4 ) 。 西安建筑科技大学硕士学位论文 在这些工作的基础上，p e t r i c h 1 2 给出了完全正则半群的又一个结构定理。 一相关概念和性质 令s 为一个半群。关于任意五y s ，若a b ) = 协h ，则称a 为s 上的左平移；类 似地，设p 为s 上的右变换，若匆如= 如b ，则称函数尸为s 上的右平移：变换对以，p ) 称为双平移，如果x ( 勿) = ( x p ) y 用人 ) 表示s 上的所有左平移的集合，定义运算k = z x ) ，则a p ) 在这个运算 下构成一个半群。令q p ) 表示s 上的所有双平移，易知q p ) 是人 ) p p ) 的子半群。称 q $ ) 为s 上的平移壳。 左_ 平移a 称为内左平移，若存在口s 使得旯= 屯，这里屯定义如下： 对亍能工s ，五z = 甜 类似地，可以定义内右平移p a ，内双平移万。= 阮，p a ) 所有内双平移形成的集合 石$ ) 称为q $ ) 的内部。 引理1 2 1 5 ：令y 是一半格。对每一个口y ，都有一个完全单半群s 。与之对应， 假定口，s 。n s p = 巾对于每一个口，卢y ，口p ，映射丸，口：s 。_ q 8 口) 满足下 面条件： ( 1 ) 屯p ：日卜死( 口最) ； ( 2 ) 慨九，口牌办印) 8 邮) ； t 3 ) 若a j 8 y ，且o s 。，b sb t 则 眙九卸如办印妣椰。，= g 丸，如九，) 在s = u 最缸y ) 上定义乘法“ 气 甜+ b = 眙丸，筇x 6 办。中妣，审g s 。，b ) 则s 构成一个完全正则半群。反过来，每个完全正则半群都可以这样构造。 实际上，这个定理表明了每个完全正则半群都可以由完全单半群的半格来构造。 我们现在来构造带有夹心矩阵p 的群g 上的r e e s 矩阵半群上的平移壳，记为 刑( j ，g ，m ；p ) ，它中的元素用( i ，g ，) 来表示。用叮伍) ( 彳旺) ) 表示集合j 上的所有 记在自变量左边( 右边) 的平移构成的半群，g ”表示所有从m 到g 的映射，如果叮 。( m ) ，且0 3 ，彩。g ”，则p 是g 埘中的元素，满足： 关于任意m 有 b - 0 j ) = 国地脚) 若口e 彳伍) u 叮。伍) ，符号 表示：口是一个常值映射，它将集合工映射为x 6 西安建筑科技大学硕士学位论文 中的元素 j 上的恒等映射记为o 下面再给出r e e s 矩阵半群的平移壳的构造。 引理1 2 1 6 ：令s = m ( i ，g ，m ；p ) ，0 ) 表示f ( 1 ) x g ”彳( ) 中的所有元素 ，妒) 的集合( 其中啼) “玩，x 与f ( j ) 和( m ) 的选择无关) ，且具有下面乘法 运算： ( 1 ) 0 ，o j ，y 如，c o 。，矿。) = 移妒，y 卯，。) 定义函数z ： ( 2 ) z ：，6 0 ，i f ，) _ 以，户) ( ，y ) ，0 ) ) 这里 ( 3 ) ( f ，g ，) = 惦，c 矗) ( 胛蛾，g ，a ) ( ( f ，g ，) s ) ， ( 4 ) ( f ，g ，p ) p = ( f ，g 汹) ，弘妒)( ( f ，g ，u ) es ) ， 是r ) 到q p ) 上的同构，且对于任意( f ，g ，z ) s ，有 ( s ) z ：k i ，f 堰， ) 斗，r ( i ，g ，) 这里竹* = r p m ) 在前面两个定理的基础上，下面我们给出p c _ r i c h 1 2 的关于完全正则半群的一个构造 定理。 二完全正则半群的结构 引理1 2 1 7 ：令y 是一个半格。对每一个口y 对应着一个r e c s 矩阵半群s 。= 硝c ，g ，m ；p ) ，假定口声，n s p = o 对于这样口，卢】，假定甜2 ，定义映射 以口：s 。_ r 峪，) ， 口卜铭，= ( 醒，蛇，) 满足f 面条件： 列任意口，卢y ，口= ( f ，g ，) & ，b = 【，h ，v ) e s 口，有 ( 1 ) _ f ，a 。= r i g , _ ， ( 2 ) _ t ，虻印：- _ b ，印= ， = 善 ( 3 ) 若q 口 ，c = ( j j ，r ，f ) ，贝u 戎，群，= 9 0 c ，( o 。a ，”b 嘭，= 卵c ，：，；，= y 品。， 在s = u s 。 y ) 上定义乘法“术”： 7 西安建筑科技大学硕士学位论文 ( i ) ( f ，g ，) tc ，自，v ) = ，t ，善) 则s 是完全正则半群。反过来，每一个完全正则半群都可以这样构造。 ( i ) 中的乘法也可以明确表示成下列形式： ( i i ) 口+ 6 = ( ，p ：( o 仞：朋妒：，审嘭坤l ) 这里i = ，盯是m 掣中的任意一个元素。 在这个表示中可以得出： ( f ，g ，) o ( ， ，z ) 甜= 卢， ( j ，g ，) 列了，矗，) 铮口= ，i = j ， ( f ，g ，) 上o ， ，z ) 口= 卢，= y ， ( f ，g ，) 爿u ，h ，) 口= ，f = ，卢= y 有了完全正则半群的上述结构，下面我们来介绍它的一个特殊子类即纯正完全正则半 群的结构。 三纯正完全正则半群 完全正则半群s 称为纯正的，若它的幂等元集合e p ) 形成子半群。 引理i 2 1 8 “：在完全正则半群上，以下条件是等价的： ( i ) 埘。是常值映射。 ( 2 ) e 岱) 是s 的子半群。 ( 3 ) 对于任意的d ，x s ，由口= 缎口可得口= 删2 d 2 回忆以前学过的矩形群，我们知道它同构于直积三xg xr ，这里l ，r 分别是一个左 零半群和右零半群，g 是一个群。 注意到定理1 2 1 8 中的半群实际上是矩形群的半格，下面我们给出这类半群的结构。 引理1 2 1 9 ：令y 是一个半格。对每个口】，都对应着一个矩阵群s 。： 1 。x g 。肘。，假定着口，s 。n & = 中。对于每一个对口，y ，口， 矿。：s 。_ r 也) ，口：a i - - 旌，芦，邶：g 。专g 芦，妒卵：s 。_ r 。声) ，妒哪：口h y 0 是同态映射，且满足下面几个条件： 对任意口，】，口= ( f g ，) s 。，6 = ( ，而，v ) e ，有 ( 1 ) = f ，国：，。= i g = ， = ， ( 2 ) - 七，国：，帮”：妒；，印= f 向， - 善 ( 3 ) 若q 日 ，c = ( 七，r ，手) ，贝0 妒：，妒；，= 妒刍。，妒：，y ；，= y 品， 西安建筑科技大学硕士学位论文 若a y ，则 c o 口，m 口。，= 国口， 在s = u s 。0 】，) 上定义乘法“丰”： 口。6 = ( ，g 。脚如功，妒l ) 则s 是纯正完全正则半群。反过来，每一个纯正完全正则半群都可以这样构造。 1 2 3 完全i e 贝l i 半群上的同余 本节我们将对完全正则半群上的同余进行讨论。 一基本概念 令$ ，) 为任意一半群。s 上的关系r 称为左相容的( 关于s 上的运算) ，若对任意 s ，t ，口s ， 0 ，f ) e r = ( 骶，口f ) e r r 称为右相容的，若对任意s ，t ，a s ， g ，f ) r ；( $ t 7 , t a ) e 启 r 称为相容的，若对任意s ，t ，s ，t s ， ( 邮) r ，( f ，t ) r j ( 踱s 。，) r 个左( 右) 相容的等价关系称为左( 右) 同余。相容的等价关系称为同余。 引理1 2 2 0 。”：半群s 上的关系p 是一个同余当且仅当它既是左相容的又是右相容 的。 如果p 是半群s 上的一个同余，那末可以在商集s ip 上定义运算如下： b p x 6 p ) = 扣 容易证明此定义是有意义的，且运算满足结合律，因此( s p ，1 构成半群。从s 至i j s l p 的 映射p 。是一个自然同态。 正则半群上的同余的研究，常采用核一迹或同余对的方法。核即是和幂等元具有p 关 系的元素的集合，它的迹是p 在幂等元集e 岱) 上的限制。 在这一节中，若没有特别说明，s 代表一个完全正则半群。由于完全正则半群是群的 并，也是完全单半群的半格，可以记s = ( y ，s 。) 下面我们回忆一下p e m e h 关于完全正则半群上的同余的一些构造定理。 = 同余的核 令s 为任意一个正则半群。上 ) 为s 上的同余格，对于任意p l ) ，则p 的核为： k e r p = 叠s 1 3 e e 披得咄 9 西安建筑科技大学硕士学位论文 然而在完全正则半群中，容易看出它等价于下面简单的形式： k e r p = k s ia p a o 为了更加深入了解同余的核的特征，我们首先引入下面的概念。 s 的一个子集世称为正规的，若它满足下面的条件： ( 1 ) e ( s ) k ( 2 ) k k j 七一1 k ( 3 ) x y k j y x k ( x ，y s ) ( 4 ) x ，x o y k j 矽k g ，y s ) 我们用h ( s ) 表示s 上的所有正规子集形成的集合。正规子集足称为真的，若 k 仨 e p ) ，s ) 。 显然e p ) 满足( 1 ) ，( 2 ) 和f 4 ) ，容易证明它也满足条件( 3 ) ，因此五p ) 是s 的一个 正规子集。由于e 岱) 不一定构成半群，所以正规子集不一定是子半群。 为了方便讨论，我们引入以下几个关系。 对于s 上的任意等价关系0 ，定义关系0o 为： a o o b 当且仅当对所有的x ，y s 1 ，都有x a y & b y 对于s 上的任意一个子集置，令艮为s 上的等价关系，且它中的类是集合豫，s k ) 中 的非空元素，则万k = ( 靠。是s 上的由k 诱导出来的主同余( p r i n c i p a lc o n g r u e n c e ) ，明确 表示出来为： d 万r b 营【对任j 瓢，y s i 都有冽k x 砂芷) 再定义下面的关系： k = 肛，k 2 ) l 七k 关系霉定义如下：对于任意a ，b s ， 口fb a b 。e ( s ) 引理1 2 2 1 嘲：关于s 的个子集足，下面几个条件是等价的： ( 1 ) k 是正规的； ( 2 ) k = k e r z r ； ( 3 ) 存在p 工p ) 使得k = k e r p ； ( 4 ) k = k e r k 下面我们给出完全正则半群上的幂等纯同余和带同余的几个等价命题( 参看文献 2 3 ) 。 引理1 2 2 2 ：令p el 心) ，则下面几个条件等价： ( 1 ) p 是幂等纯的； 西安建筑科技大学硕士学位论文 ( 2 ) k e r p = e ( s ) ； ( 3 ) p 于； ( 4 ) p n 贮s 引理1 2 2 3 ：令p l ( s ) ，则下面几个条件等价： ( 1 ) p 是带同余： ( 2 ) p ； ( 3 ) k e r p = s 证明：令日，b s ( 1 ) j ( 2 ) ：口mj a o = b oj a p a o = b o 曲 因此有p ( 2 ) j ( 3 ) ：由于口玎以o ，见l j a p a o ，因此口k e r p ，这样就有s k e r p ( 3 ) j ( 1 ) ：由条件知对任意a s 都有a k e r p ，则 a p a o 且口p e e ( s p ) ，这样就证明了s p 是一个带。一 三同余的迹 为了讨论完全正则半群上的幂等分离同余，我们引入同余的迹，下面首先给出它的定 义。 设三0 ) 为s 上的同余格，p lp ) ，则p 的迹为： t r p 2 p k p ) 即户在e 岱) 上的限制。 为了更加深入了解同余的迹的一些抽象特征，我们首先引入下面的概念。 e p ) 上的等价关系f 称为正规的，若它满足下面的条件： 留) e 矿，x ，) ，s 1jg 纠) o r ( 咖) o e ) 上的正规等价关系r 称为真的，若f 叠，) ，用f p ) 表示e $ ) 上的所有正 规等价关系，且用包含关系定义序关系。 引理1 2 2 4 ：关于e 心) 上的等价关系f ，下面几个条件是等价的： ( 1 ) f 是正规的： ( 2 ) f = t r ( 玎f g ) o ： ( 3 ) 存在p l 心) 使得f = t rp ； ( 4 ) f = t rr + 有了上面的知识，下面来介绍一下幂等分离同余的一些特征。为了方便讨论，先引入 下面几个关系以及基本幂等分离同余的概念。 西安建筑科技大学硕士学位论文 在s 上定义关系o ， ，0 ，： 对于任意口，b e s ，有 a o b a o b = a b o 口0 ，b b o a = b a o b o ， 羽。b a b o = b o a o b 注意到，o ，互 ，且对任意p ，厂e p ) ，都有e q 厂 完全正则半群s 称为基本的，若s 上的恒等关系是它的幂等分离同余且是唯一的。s 上 的同余p 称为基本的，若s i p 是基本的。 引理1 2 2 5 ：关于p l ) ，下面几个条件是等价的： ( 1 ) p 是幂等分离的； 2 ) 护p = 占； ( 3 ) p 玎； ( 4 ) p n 0 = s 令凰表示完全正则半群s 上的最大幂等分离同余，下面我们给出它的一个明确表示。 引理1 2 2 6 ：对于任意口，b s ， a , u s b ，口o = 6 0 ，且对v p a o ，a 一1 e a = b - 1 e 6 证明：令母肋，n a o 加o ，由凡是幂等分离的可得 a o = b o ，令e 口。 则 口一1 曲一1j a - i e a s d o 一1 e b 因此由上面的引理1 2 2 5 知 a 一1 e g 玎b - 1 e b 由e s a o 可知 e e ( s 、 这样就有 a - $ e g ，b 。e b e p ) 所以a e a = b - l e 6 若a ，6 满足右边的条件，下证胁是完全正则半群s 上的最大幂等分离同余。 因为凰= o ，所以只须证明对任意的x ，y s 1 ，x a y 硝x b y 首先，由e a o ，可知a e a - 1 a 。使得： a p 日一1 = b o o e 日一1 b o = 6 6 1a e a - 1 b 6 1 1 西安建筑科技大学硕士学位论文 = b e b 一1 又因为对任意x ，) ，s 1 ，g 。y x a 。) 0s 口。， 则 z 掣= 妇y ) 2 ( x a y ) - 1 = 瑚0 。y x a 。) og 。y x a 。b ( 砷) 4 = x 口g o y x a 。) 0 d 4 缈妇疗 = x b ( b 。y x b 。f b 一1 缈( 冽) oex b y s 由对称性可得 x b y x a y s 因此有 x a y 撕 类似地，可以证明x a y l x b y 所以有x a y h x b y 一 推论：k e r u 。= a 苣s le 口。e a = 口e 引理1 2 2 7 ：同余风是。 ( 1 ) s 上的最小的基本同余 ( 2 ) s 上的唯一一个基本的幂等分离同余。 下面给出完全正贝4 半群s 上群同余的一些特征。记s 上的最小群同余为盯。 引理1 2 2 8 嘲：令p 为s 上的同余则p 是群同余当且仅当t r p = 珊因此是具有 t r p = 的最小同余。 1 2 4 完全万一正则半群 完全正则半群及若干特殊情形的结构由c l i f f o r d 2 6 并i lp e t r i c h 【1 2 等研究。t r o t t e r 【18 和p e t r i c h 【1 0 1 1 叉研究