（基础数学专业论文）一类拟线性椭圆型方程大解的性质研究.pdf

南京师范大学硕十学位论文 中文摘要 这篇文章主要对一类拟线性椭圆型方程大解的性质进行了 研究，主要包括大解的存在性，唯一性以及渐近行为等。 第一章主要回顾了拟线性椭圆型方程解的存在性及大解渐 近行为问题的背景和历史，并简要介绍了本文的主要结果。 第二章主要考虑了在有界域r n 中一类拟线性椭圆问题 一d i v ( i w i m - 2 v u ) = u ( z ) u 口一( 口( z ) ) 号，( 钆) 其边界a q 是c 2 的，孔k = + ，u l ( q ) ，0 q 1 并且a c q ( 豆) ，r + 对某些o l ( 0 ，1 ) 是非负的，其中r + = 0 ，) 。 在对a ，b 和厂合适的增长假设条件下，我们证明了精确的爆破 率和大解的唯一性我们的证明是基于上下解方法的。 关键词：大解；爆破率；唯一性；上下解 一i 卜一 南京师范大学硕 学位沦文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ei n v e s t i g a t es o m ec h a r a c t e r i s t i co fs o l u t i o n st oq u a s il i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n s ，i n c l u d i n ge x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n da s y m p t o t i cb e h a v i o r , e t c i nc h a p t e r1 ，w er e v i e wt h eb a c k g r o u n da n dh i s t o r i cf a c t so ft h ep r o b l e m f o rt h ee x i s t e n c ea n dt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro ft h es o l u t i o nt ot h eq u a s i l i n e a r e l l i p t i ce q u a t i o n s ，a n di n t r o d u c et h em a i nr e s u l t so f t h ep a p e r i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rac l a s so fq u a s i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m s d i v ( 1 v u m - 2 v 札) = u ( z ) u q 一( n ( z ) ) 等，( u ) i nab o u n d e dd o m a i no fr w i t hb o u n d a r ya qo fc l a s sc 2 ，u l o n = + 。o ，u l o 。( q ) ，0 3 ，0 f 2 是c 2 的条件下证得了唯一性。m a r c u s 和 v e r o n 11 】证明了在厂( 乱) = 一让口，a 1 ，a q 紧且是定义在( 一1 ) 维空 间上的连续函数的图的情况下也得到了唯一性。最近，d i a z 和l e t e l i e r 7 】证明了y ( u ) = - - u 口，a 1 ，a q 是c 2 的，且被p - l a p l a c i a n 算子替 代情况下的存在性和唯一性。 y i n gw a n g ，m i n g x i nw a n g 3 5 】考虑了如下形式的椭圆问题 1 ，a c n ( 豆，r + ) 对于某些q ( 0 ，1 ) 是非负的，r + = 【0 ，o o ) 。 令u m = 饥，口= 鬲1 ，厂( “) = 夕( u ) = 9 ( u 去) ，那么上式变成了如下形 南京师范大宁坝一卜等：何沦文 式 l 一u = u ( z ) 札q a ( x ) f ( u ) z q 1u i 勰= o o 当口= 1 ，u ( z ) = 入为常数，f ( u ) = u p ，p 1 时，上式的存在性问题得 到了解决，见 1 6 2 0 。当0 m 1 ，入r ，a c ( 【0 ，r 】，【0 ，0 0 ) ) 为正并且满足 高序s ) d s ec 1 ( n ( 7 ) 厶w 、叫 一 以殛 ，l i r a 、1 ，f n 口( s ) d s = 。 作者得到了任意正解u 满足 r l i m r 乱( r ) ( 正a ( s ) d s ) q = m r r f _ h ，一 南京师范大学硕十学位论文 这里 m = ( 型堕监业案尘型些螳声， q = 击删= 小s 灿 忙蚴踹1 文献 3 5 】将 2 2 的结果推广到一般域f z ，非线性项f 满足k e l l e r - o s s e r m a n 条件，权函数n ( z ) 在q 和a q 的某些区域上消失。 文献 3 5 】中作者运用上下解方法得到了精确解，并进一步证明了大 解的爆破率，研究了解的渐近行为。那么当p 2 时的一般拟线性椭圆 方程是否有新的结果呢? 文章的第二部分利用上下解方法研究了这个问 题。 在最近十几年里，对拟线性椭圆型边值问题 id i v ( 1 v u l p 一2 v u ) + 入9 ( z ，u ) = 0 z q i 乱( z ) = 0 z a q ( 1 4 ) 解的存在性和唯一性已经得到了广泛的研究，其中a 0 ，p 1 ，参见 文献【3 5 3 7 ，4 5 - 5 5 。 在文献 4 0 】中作者考虑了下面的问题： z q ( 1 5 ) p 1 ，qcr ，n 2 或者q = r ，m 是定义在q 上正的h 6 1 d e r 连 续函数，厂在( o ，+ o o ) 上是局部h 6 1 d e r 连续的，那么( 1 3 ) 的正的有界 叻 八 仕 i l 掰砧 v z旷 乳 i l 酬州 ，、【 南京师范大学硕 ：学位论文 爆破弱解w l 。, 。p n 砚c ( q ) 且u 满足 一y u r 2 v 饥v c d x = z m ( 彬( 嘞妞w 曙( q ) 在q 中，u 0 ，当d ( z ) _ 0 时，乱( z ) _ ，这里d ( x ) = d i s t ( x ，p q ) 。 h u i s h e n gy a n g ，z u o d o n gy a n g 4 4 】考虑了下面的问题 i - d i v ( v u i m - 2 v u ) + 击= a u q 在q 滢三襄 ( 1 6 ) q 0 ，口 0 ，入 0 ，qcr ( 1 ) 是有界域，边界足c 1 , 7 的，一y ( 0 ，1 ) 。 j i ez h o u ，z u o d o n gy a n g ，j i a n q i n gz h a o 41 考虑了下面的问题 作者在条件 ( 1 7 ) ( h 1 ) 厂( u ) 在( 0 ，) 上是局部l i p s c h i t z 连续的，存在g o 0 ，在 0 ，e o 】上满足，( u ) 0 ，f 7 0 。 ( 凰) 存在m ，m 0 满足 m 伊f ( u ) m u g ，u 0 ，g o 】 这里等 u 一，f ( u ) 0 仁 = 功以 划 棚 ， + 仉 叻= 叼功一“叫删唧 d h ，jl【 南京师范大学硕卜学1 市论文 ( 凰) 对于任意的6 0 ，在 o ，孙p n f ( u ) 一( 一p ) u f ( u ) 0 且 不恒等于0 ，f ( u ) = 后f ( s ) d s 下，给出了解u ( r ) 的范围，c l r 钎 u ( r ) c 2 r 一南，这里c l ，q 0 ，r 0 。 c h u n l i a nl i u ，z u o d o n gy a n g 在文献 4 2 】中，利用扰动方法和比较 引理，得到了拟线性椭圆问题 j d i v ( 1 v u 一2 v u ) - 4 - i v u ( x ) l q ( 一1 ) = b ( x ) e u ( z ) z q 1 钆i a q = + o o ( 1 8 ) 的精确的解的渐近行为，这里q 是c 2 的，边界光滑，m 1 ，q 0 ，b 是非负的，非平凡的且在边界可能会消失。 这篇论文将文献 3 5 】研究的椭圆型方程推广到 f d i v ( i v 让i m 一2 v 让) = 彬( z ) u g 一( n ( z ) ) 予，( 札) z q 、乱i a q = + 并得出在假设条件 ( 1 9 ) ( h 1 ) 开集合q + = z q ：a ( x ) o ) 是连通的，边界aq + 是c 2 的，开集q o = q 丽+ 满足_ 0cq 。 ( h 2 ) f c 1 ( 冗+ ，r + ) 满足f ( o ) = 0 ，对任意的8 0 有f ( s ) 0 ，8h8 - 1 f ( s ) 在( 0 ，+ o o ) 上非减。存在p 1 ，k o 0 使得 l i m 。+ o os - p f ( s ) = 硒 ( h 3 ) 存在一个正的非减的函数b c ( o ，绷) ，使得在q 6 中a ( x ) = 6 ( d ( z ) ) ，其中 q 6 = 。q ；d ( x ) = d i s t ( x ，a q ) 南京师范大学硕十学伊沦文 并且 6 丢d i s t ( q 舶q ) 另外，b ( r ) 满足 和 丽1 小s ) d s 击小s ) d s ec 1 ( 叩 ) 下，任一正解u 满足 1 i r a ，1 ，f o r6 ( s ) d s = 。 m l i m m 赫洲 这里边界条件是指当d ( x ) = d i s t ( x ，a q ) _ 0 时u ( z ) 一+ o 。，q 是 r ( 1 ) 上的有界域，它的边界是c 2 的，m 2 ，q ( 0 ，1 ) ，w l o o ( q ) 并且a c n ( 豆，r + ) 在某些q ( 0 ，1 ) 上式非负的，r + = 【0 ，) 。 m = ( 型堕监业案尘坐些业户， q = 击州= 小州s 忙姆糕1 厂满足k e l l e r - o s s e r m a n 条件，权函数a ( x ) 在q 和边界a q 的某些区 域可能会消失。 一8 一 南京师范大学硕 j 学何论文 更多的，如果u ( z ) 0 ，那么方程( 1 9 ) 有一唯一正解。 在证明主要定理的过程中，首先给出了一些证明主要定理会用到的 命题以及引理，然后通过上下解方法得出了两个辅助问题的精确解以及 渐近行为，最后给出了定理1 的证明。 - 9 一 南京师范大学硕十学位论文 第2 章一类拟线性椭圆型方程的大解 文献【3 5 考虑了如下形式的椭圆问题 j ，一u m = u ( z ) u 一( z ) ，( u ) z q 、u = o o 其中q 是r 中的有界域，边界a q 是c 2 的，叫l o 。( q ) ，m 1 ，f l , c 口( 孬，r + ) 对于某些q ( o ，1 ) 是非负的，r + = 【0 ，。) 。 令u m = u ，q = 磊1 ，s ( u ) = 9 ( u ) = g ( u - a ) ，那么上式变成了如下形 式 ，一札= u ( z ) 仳口一o ( z ) ，( u ) z q 1 札i a n = 0 0 作者运用上下解方法得到了精确解，并进一步证明了大解的爆破率，研 究了解的渐近行为。那么当p 2 时的一般拟线性椭圆方程是否有新的 结果呢? 在本章中，将文献 3 5 】研究的椭圆型方程推广到p 2 的情况并得 到了重要定理。首先给出了一些证明主要定理会用到的命题以及引理， 然后通过上下解方法得出了两个辅助问题的精确解以及渐近行为，最后 给出了定理1 的证明。 定理1 在假设条件 ( h 1 ) 开集合q + = z q ：o ( z ) 0 ) 足连通的，边界aq + 是c 2 南京师范大学硕十学位论文 的，开集q o = q 孬+ 满足- 0cq 。 ( h 2 ) f c 1 ( r + ，r + ) 满足f ( o ) = 0 ，对任意的s 0 有f ( s ) 0 ，8h8 - 1 f ( s ) 在( 0 ，+ 。o ) 上非减。存在p 1 ，k 0 0 使得 l i m 5 。+ o 。s - v f ( s ) = k o ( h 3 ) 存在一个正的非减的函数b c ( 【o ，卅) ，使得在q 6 中a ( x ) = 6 ( d ( z ) ) ，其中 并且 另外，f i ( ，。) 满足 和 下，方程 q d = z q ；d ( x ) = d i s t ( z ，0 f 1 ) 2 ，q ( 0 ，1 ) ，u l ( q ) 并且a c a ( 豆，r + ) 在某些a ( 0 ，1 ) 上式非负的，r + = 【0 ，o 。) 。 m = ( 竺二二：( 竺1 2 ( 竺二! ! ! 垒1 2 兰二! 竺二1 2 竺：二：( 垒1 2 三二：、杀q k o j q = 击州r ) = z l - 6 ( s ) d s a 。= r l i 。m 。蹀1 ( 2 3 ) 厂满足k e l l e r - o s s e r m a n 条件，权函数a ( x ) 在q 和边界a q 的某些区 域可能会消失。 更多的，如果u ( z ) 0 ，那么方程( 2 1 ) 有一唯一正解。 2 1 预备知识和一些引理 这一部分中收集了一些在后面会用到的有用的主要结果令 的) = z 7 6 ( s ) 氓州r ) = f o r a ( s ) d s ( 2 4 ) 砷) = 6 6 ( s ) 旭酬r ) = 6b ( s ) 以 ( 2 5 ) 下面我们给出两个命题 南京师范大学硕十学位论文 命题1对于任意小6 0 ，考虑下面的奇异值问题 l d i v ( 1 v u l m - 2 v u ) = u ( z ) u 口一口( z ) 罟厂( u ) ，在q 6 u = 0 0 ，在a q lu = 0 ，在a q 6 a q 假设笪，西满足 并且 一d i v ( i v u _ l m - 2 v u ) u ( z ) 望一o ( z ) 予厂( 笪) ，在q 占 一d i v ( v 西l m - 2 v 瓦) u ( z ) 铲一o ( z ) 予厂( 瓦) ，在q 6 l i m 乱= l i m 西= 0 3 1 i mt z 0 ， 方程 ， i d i v ( 1 v u m - 2 v u ) = a u q 一6 ( d ( z ) ) 等，( 让) ，在q 6 “= ，在a q ( 2 8 ) iu = 0 ，在o q 6 o f l 有正解西。满足 l 一l i n n d ( i z n ) 。f 。j i i 浠_ 0 ，存在一常数 a 。 0 使得对于a a 。，如果 b + = ( 1 + e ) ( 竺：兰j 望堕三二二丛兰昌善f = 。尘竺二土丝型) 击口， 那么 ：土 ( 2 9 ) 2 两 ) 瓦( z ) = a + b + ( a ( d ( z ) ) ) 是( 2 8 ) 的一个正的上解。 事实上，由于及 0 ，l i m a ( z ) 。o 砭( z ) = 。o 。那么，延( z ) 是( 2 8 ) 一1 5 一 南京师范大学硕十学位论文 的一个上解当且仅当 一( b + q ) m - 1 ( 一q 一1 ) ( m 一1 ) ( a + ( d ( z ) ) ) 一a m + q m ( a ( d ( z ) ) ) m i v d ( x ) l m 一( b + q ) m - 1 ( m 一1 ) ( a + ( d ( z ) ) ) ( - a - 1 ) ( m - 1 ) ( 4 ( d ( z ) ) ) m 一2 b ( d ( x ) ) l v d ( x ) ) l m 一( b + q ) m 一1 ( a + ( d ( z ) ) ) ( 一a 一1 ) ( m 一1 ) ( a ( d ( z ) ) ) m - 1 a m ( d ( z ) ) 冬一a ( a + b + ( a ( d ( z ) ) ) 一q ) g 一6 ( d ( z ) ) 型( a + b + ( a ( d ( z ) ) ) 一口 西2 。2 ) 警+ 竽一1( 2 1 0 ) 这样，两边同乘以 丝垫逆二：( 垒：巡业2 ：二： 6 ( d ( z ) ) 并且取i v d ( x ) i = 1 ，a + 1 一a p = 0 ，我们可以得到磊( z ) 是( 2 8 ) 的一 个上解当且仅当 一( j e 7 + q ) m 一1 ( - - o r - - 1 ) ( m 一1 ) 刁了编一( b + q ) m 一1 ( m 一1 ) 一( b + q ) m - l a 。l ( d i ( z x ，) j ) m ( d ( z ) )d l i z ，j 叫n 、“、“7 7 刚( 删圳h 刚锱) m _ 2 继跺萧竺 + 些m a_mp(巡掣)号一1(a(a+(d(z)q+(b+)等+孚一1)(211)a 。瓦2 2 。1 、 2 ( ( f ( z ) ) 7vu r r 川7 。、叶7叫 当d ( x ) = 0 时，由一a q + o t m 一叩+ 2 1 和引理1 ，不等式( 2 11 ) 变成 ( b + a ) m 一1 ( q + 1 ) ( m 一1 ) a o 一( m 1 ) ( b + q ) m 一1 南京师范大学硕十学佗论文 s ( 石1 ) t m 一1 ( b + ) 罟+ 半一1 当且仅当 ( 卵沪1 ) 孙泸。1 型吐坚哦坐型 由于我们对( 2 9 ) 的选择以及连续性，我们得到，对于某些盯= a ( e ) ( o ，6 ) 不等式( 2 1 0 ) 在q 口中是满足的。最后，选取一个充分大的 j ，因为p 1 g 并且6 ( r ) 在q d 中离开零点处是有界的，我们得到不 等式( 2 1 0 ) 在q 6 q 盯中是满足的。 接下来我们构造( 2 8 ) 的一个下解，这个下解要求和上解有相同的 爆破率。事实上，对于任意充分小的e 0 ，存在c 0 使得在q 盯中 ( 2 1 3 ) 式成立。显而易见，如果c 0 ，i c i 足够大，且在【o ，卅 中，( b 一( a + ( r ) - 口) + c ) 0 ，这里7 表示关于r 的导数，那么我们 很容易得到 1 1 翌b 一( a + ( r ) 一q ) + c = ，1 i m 。b 一( 4 ( r ) 一n ) + c 0 r - - + t j 巾一 这样，对于任意c 0 如果d ( x ) 0 ，z ( c ) ) 一1 8 一 南京师范大学硕f ：学侮论文 然后通过选取c 使得z ( c ) = 盯，那么垒( z ) 成为了( 2 8 ) 的一个下解。 根据命题1 我们知道存在( 2 8 ) 的一个解，记为m 。，它满足 1一d(zim)-,0蒜m ad ( z 【+ () ) ) _ d一 l i m i n m f 蒜 剑m m s u m p 器 0 ，问题 - d i v ( i v u m - - 2 v 。u ) = a u 口一6 ( d ( z ”予，( u ) ，在q 6 ( 2 1 4 ) lu = o 。，在a q 6 7 有一个正解。满足 1 一e _ 0 使得对于a a 。，如果 耻( 1 + e ) ( 型吐坚型笺尘坐型户 呼( 1 + e ) ( 丛坠坚型篙尘尘监户 并且 b + ( a + ( d ( z ) ) ) 一位一1 a ( d ( z ) ) 一q ( b + ( d ( z ) ) ) 一。一1 b ( d ( z ) ) 0 ( 2 1 5 ) 那么 面。x ) = a + b + ( a + ( d ( z ) ) ) 一口+ q ( b + ( d ( z ) ) ) 一“ 是( 2 1 4 ) 的一个正的上解。 事实上，由于q 0 时有l i m d ( 茁) ) o 甄( z ) = l i m d ( z ) ) 。6 瓦( z ) = o o 。 这样，亚是( 2 1 4 ) 的一个上解当且仅当 一o z m - 1 x m ( d ( z ) ) ( j e 7 + ( a + ( d ( z ) ) ) 一口一1 4 ( d ( z ) ) 一q ( b ( d ( z ) ) ) 一a 一1 b ( d ( z ) ) m 一1 一o z m - 1 ( 仇一1 ) ( b + ( a + ( d ( z ) ) ) 一。_ 1 a ( d ( z ) ) 一q ( b + ( d ( z ) ) ) - - a - - 1 b ( d ( z ) ) m 一2 ( 一q 一1 ) ( b + ( a + ( d ( z ) ) ) - , 1 - 2 a 2 ( d ( z ) ) + q ( b + ( d ( z ) ) ) - - 0 e - 2 8 2 ( d ( z ) ) i v d ( z ) ) i m o z m - 1 ( m 一1 ) ( b + ( a ( d ( z ) ) ) 一n 一1 a ( d ( z ) ) 一q ( b + ( d ( z ) ) ) 一n 一1 b ( d ( z ) ) ) m - 2 ( b + ( a + ( d ( z ) ) ) 一q 一1 + q ( b 8 ( c f ( z ) ) ) 一q 一1 6 ( d ( z ) ) ) i v d ( z ) ) i m 忙 南京师范大学硕+ 学何论文 - a ( a + b + ( a + ( d ( z ) ) ) 一q + q ( b + ( d ( z ) ) ) 一n ) 口 删训带( a 协( 删圳广+ q ( 州圳) _ q 户争1 ( 2 1 6 ) 上面不等式两边同乘以 ( a ( d ( z ) ) ) 2 - m ( a + ( d ( z ) ) ) 一( 一口一1 ) ( m - 1 ) 6 ( d ( z ) ) 并且取i v d i = 1 以及q + 1 一a p = 0 ，我们发现或( z ) 是( 2 1 4 ) 的一个 匕解当目仅当 硝。酬讹) ) 粼( 卧q ( 锱r 1 粼) m - 1 卅。 ( m - 1 ) ( - - ( 2 - - i 凇+ 一q ( 锱r 1 渊阳耳篇 删锱r 1 茹孺卅- 1 ( m - 1 胭+ 一q ( 粼r 1十l + i 百i 网j 五f 石啄西豇丽一ql 仃l l 八d + 一l + i 百可刁石两j 嬲r 2 ( 阱q ( 粼) a + 1 鲥( 删讹) ) ) q 协+ q ( 锱n 9 嬲 ( a 4 ( d ( z ) ) ) n m + m 一1 一。一q 9 ，( 皿。( z ) ) ，6 ( d ( z ) ) a 。( d ( z ) ) 、鲁一l 弋可丽丽r 十瓦丽酽o 再丽两一尸 ( a ( a ( d ( z ) ) ) q + b + + c + 石；彳磊黔 ( 2 1 7 ) 当d ( x 1 ：0 时由引碑1 冈为b f r l 和b ( r 、存r ：0 附沂有界不 南京师范大学硕十学何论文 等式( 2 1 7 ) 变为 o e m - i ( m 1 ) ( o z - i - 1 ) b ? 一1 a o o e m - 1m 一1 ) b ? 一1 硒( 去) 号。1 b 尹一 不等式( 2 1 6 ) 两边同乘以 ( b ( d ( z ) ) ) 2 - m ( b + ( d ( z ) ) ) 一( 一。一1 ) ( m 一1 ) 并且取i v d i = 1 和q + 1 一q p = 0 ，我们发现瓦( z ) 是( 2 1 4 ) 的一个上 解当目仅当 计。1 m ( m ) ) 渊( b + ( 嬲r 1 粼一 。坩以 ( m 1 ) ( 川删渊r 1 锱一 - 2 ( 耳编 (勰r1+q蒜孺)_gin-l(a bm _ 1 ) ( 蹦粼a ) q + 1 、 + ( d ( z ) ) 7 。+ + ( d ( z ) ) 6 ( d ( z ) ) “。 7 、“十、 + ( d ( z ) ) 7 粼一 _ 2 ( 刚嬲广1 + q ) - a ( 郴v 炉+ b + ( 渊) q + 刚( b ( d 丽( x ) ) 丽) a m + m 两- 1 - 一a - a q 湍+ 器( 鬻b 严1 ( 例m ) ) ) q + 6 ( d ( z ) ) 。( 皿。( z ) ) 等+ 等一1 、 2 ( d ( z ) ) 7 vu “、”、“川7 刚粼+ 卵碍一 ( 2 1 8 ) 南京师范大学硕十学位论文 当d ( x ) = 6 时，选取合适的o ，m ，b o 满足 q m 一1 ( 仇一1 ) ( 一1 ) m - 2 ( o l + 1 ) b o 1 由引理2 ，因为a + ( r ) 和a ( r ) 在r = 6 附近有界，( 2 1 8 ) 变为 c e m - 1 ( m 一1 ) ( q + 1 ) ( 一1 ) m - 2 ( q ) m - 1 b o q m 一1 ( m 一1 ) ( 一1 ) m - 2 ( q ) m 一1 娲( q ) 罟+ 竽一1 ( 击) 詈一1 综上，由( 2 1 5 ) 式的选取和连续性，我们知道如果对于某些仃= 仃( e ) 0 ，f z ( z ) 0 ，u ( 6 一仃，卅不等式( 2 1 6 ) 是成立的。最后，通过 选取a 充分大，因为p q 并且6 ( r ) 不在零点处是有界的，很明显不等 式在q 6 上式成立的。 接下来我们构造和上解有着相同爆破率的下解。事实上，对于任意 充分小e 0 ，存在c 0( 2 1 9 ) 那么函数 里。( z ) = m a x 0 ，c + b 一( a 4 ( d ( z ) ) ) 一口+ c 一( b + ( d ( z ) ) ) 一a ) 南京师范大学硕十学伊论文 是( 2 1 4 ) 的一个非负下解。 实际上，如果在区域 c + b 一( a + ( d ( z ) ) ) 一a + q ( b ( d ( z ) ) ) 一口0 f 面的不等式成立 一o r m - 1 m ( d ( z ) ) ( b 一( a + ( d ( z ) ) 一口一1 4 ( d ( z ) ) 一c 一( b 4 ( d ( z ) ) ) 一口一1 b ( d ( x ) ) m 一1 一a m 一1 ( m 一1 ) ( b 一( ( a + ( d ( z ) ) ) 一n 一1 a ( d ( z ) ) 一c 一( b + ( d ( z ) ) ) 一口一1 b ( d ( z ) ) m - 2 ( 一a 一1 ) ( b 一( a + ( d ( z ) ) ) 一q 一2 a 2 ( d ( z ) ) + c 一( b 8 ( d ( z ) ) ) 一q 一2 b 2 ( d ( z ) ) i v d ( z ) ) i 仇一0 1 m - 1m 1 ) ( b ( 4 + ( d ( z ) ) ) 一n 一1 a ( d ( z ) ) 一c 一( b 。 ( d ( z ) ) 一q 一1 b ( d ( z ) ) ) m - 2 ( b 一( a + ( d ( z ) ) ) 一口一1 + c 一( b 。( d ( 茁) ) ) - a - 1 6 ( d ( z ) ) l v d ( z ) ) i m c 一( b + ( d ( z ) ) ) 一。一1 ( b ( d ( z ) ) m 一1 芝- a ( c + b 一( 4 4 ( d ( z ) ) ) 一n + c 一( b + ( d ( z ) ) ) 一a ) 口+ 6 ( d ( z ) ) 篇器( c 也( 删训广+ 以( 州圳广炉坪_ 1 ( 2 2 0 ) 那么我们容易得到业( z ) 是一个下解。 类似的，当d ( x ) = 0 时，不等式( 2 2 0 ) 等价于 o t t o - 1 ( 仇一1 ) ( q + 1 ) b ! 一1 a o o ! m - 1 ( m 1 ) b ! 一1 ( 去) 即b 梦碍 南京师范大学硕十学仲论文 当d ( x ) = 6 时，不等式( 2 2 0 ) 等价于 o ! m - 1m 一1 ) ( 口+ 1 ) ( 一1 ) m - 2 ( c m - i b o o ! m - 1 ( m 一1 ) ( 一1 ) m - 2 ( c 一) m 一1 g o ( c 一) 秘 1 ( 壶) 争1 这样，存在盯= 口( e ) 0 ，如果d ( x ) 【0 ，盯) u ( 占一盯，5 】，那么( 2 2 0 ) 是 成立的 从定理2 的证明中我们可以看到对于任意的c 0 然后选取c 0 满足z ( c ) = 口，这样业( z ) 是( 2 1 4 ) 的一个下解。 根据命题2 ，存在( 2 1 4 ) 的一个解，我们用皿。( z ) 表示，它满足 1 一e = d l i ，m 。瓦赫l i m d 扛i n ，。f 。五赫 t n nd 。s z u ，p 。j i 赫 l i m d 。s z u ，p 。j i 器= = 1 + e ， l e = d 。l z i ，r a 6 瓦赫l i m d 。i z n ，。f 。丙赫 南京师范大学硕 = 学伊沦文 i m d s u ，。p 。瓦赫l i m d 知s u ，。p 。瓦赫= 1 + e 综上，定理就得到了证明。 2 3 主要定理的证明 定理1 的证明令u 是( 2 1 ) 的任一正解。既然q 是属于c 2 的， 那么存在0 p o 耋，对于任意p ( o ，肋) 满足 q 6 ，弘= ( z q ；肛 0 以及p ( 0 ，肛o ) ，考虑由 0 ( z ) = e ( z p 赢) ，z q 跏，p 定义的函数0 其中胃( z ) 代表在x 0 = b d i s t ( z ，o n ( x ) na q 处的向内的单 位法向量。 我们知道对于任意充分小p 0 ，乳提供给我们在q ；+ p ，p 中( 2 1 ) 的一个大的上解，所以，( 2 2 2 ) 式暗含着下面的式子 对于每一个z q + p ，p ，肛( 0 ，伽) 让( z ) 。( z 一肛充) 南京师范大学硕十学1 市沦文 令“一0 ，我们得到 乱。在q 耍中， 通过( 2 2 3 ) 我们得到 1 i m 训 t - - - s u p 。而糕驴g + e ( 2 2 4 ) n m 训。丽而两庐g 机 ( 乙粥 为了完成定理1 的证明，我们必须先证明 1 i m 鼬i n m f 而糕驴1 一 ( 2 2 5 ) 对任意充分小的p ( 0 ，6 ) ，设 以及 令 c k = zgf l ；d i s t ( x ，a q ) 0 ，( 2 8 ) 有一个正解垂。满足 1 i m 讹i n 舢f 而糍孵1 一e ( 2 2 6 ) 一2 8 南京师范大学硕十学位论文 其中m ，q 如( 2 3 ) 中定义的。对于任一充分小p 0 ，设 缸( z ) = 西。( z + 肛礼- - - z 4 ) ，z d 6 一肛，肛 n z , 乳是下面式子的正的大解 - d i v ( i v u i m - 2 v u ) = 入仳口一b ( d ( x ) + p ) 号，( u ) ，在d 6 一p ，p u = ，在o c o a ( 2 2 7 ) 让= 0 ，在0 f 2 6 一o f f 其中 由于唯一性，乳i q 6 一肛是唯一的，并且是( 2 1 ) 在q 6 一p 中的一个正的下解， 我们可以得到 西。( z + p 育z ) = 缸( z ) 一p ( z ) = u l a 。一且对任意z q 6 一肛 令弘_ 0 ，我们得到 并且，由( 2 2 7 ) 我们得到 西。s 乱在q 6 1 一e 和( 2 2 4 ) 式联合起来并且令e 一0 ，我们得到 现在我们来证明唯一性。假定u l 和 i z 2 是( 2 1 ) 的两个正解。那么u l 和 uf n q l = ， 0 ，存在盯= c r ( e ) ( 0 ，巧) 使得 ( 1 一e ) 札1 u 2 ( 1 + e ) 礼l 在q 盯 现在，考虑下面的问题 “i 吼i 二_ 2 吼2 刮扛m 口- 烈“， 在妒硼佩， ( 2 2 8 ) iu = u 2 ，在o f f 盯 、 。 由唯一性定理，因为u ( z ) 0 ，( 2 2 8 ) 有一个唯一的正解。很容易我们 知道( 1 一e ) u l ，( 1 + e ) u x 是( 2 2 8 ) 的一对有序上下解。所以， 也就是， ( 1 一e ) u a u 2 ( 1 + e ) u l 在q 仃中 ( 1 一e ) 缸1 z t 2 ( 1 + e ) u x 在q 中 因为任一e 0 是成立的，我们得到了u 1 = u 2 。定理1 得证。 南京师范大学硕十学位论文 ! 詈! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 苎! ! 鼍詈! 苎! 苎苎! 皇! ! ! 皇! | i ；i i 二i i ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 詈! ! ! 皇! ! ! ! ! 皇! 皇! ! ! ! 苎皇 参考文献 【1 】g a s t r i t a ，g m a r r u c c i p r i n c i p l e so f n o n - n e w t o n i a nf l u i dm e c h a n i c s m c g r a w - h i l l ，19 7 4 2 】l k m a r t i n s o n ，k b p a v l o v u n s t e a d ys h e a rf l o w so fa c o n d u c t - n g 触i dw i t har h e o l o g i c a lp o w e rl a w m a g n i t n a y ag i d r o d i n a m i k a2 ( 1 9 7 1 ) ，5 0 5 8 3 j r e s t e b a n ，j l v a z q u e z o nt h ee q u a t i o no f t u r b u l e n t f i t e r a t i o n 加 o n e d i m e n t i o n a l p o r o u sm e d i a n o n l i n e a ra n a l 1 0 ( 1 9 8 2 ) ，1 3 0 3 1 3 2 5 【4 】a s k a l a s h n i k o v o na n o n l i n e a re q u a t i o na p p e a r i n g 拥t h et h e o r yo f n o n - s t a t i o n a r y f i l t r a t i o n t r u d s e m i g p e t r o v s k i ，19 7 8 ( i nr u s s i a ) 5 va n u r a d h a ，c b r o w n ，r s h i v a j i e x p l o s i v en o n n e g a t i v es o l u t i o n st o t w op o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s n o n l i n e a ra n a l 2 6 ( 19 9 6 ) ，6 13 - 6 3 0 6 s h w a n g e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo f b o u n d a r yb l o w u pn o n n e g a t i v es o l u t i o n st ot w op o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s n o n l i n e a ra n a l 4 2 ( 2 0 0 0 ) ，1 3 9 - 1 6 2 7 g d i a z ，r l e t e l i e r e x p l o s i v es o l u t i o n so fq u a s i l i n e a re l l i p t i ce q u a - t i o n s ：e x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s s n o n l i n e a ra n a l 2 0 ( 19 9 3 ) ，9 7 - 12 5 8 】a c l a z e r , p j m c k e n n a o nap r o b l e mo