（应用数学专业论文）非扩张映像与伪压缩映像的迭代方法研究.pdf

华北电力大学硕士学位论文摘要 摘要 非线性泛函分析与近代数学的许多分支有着紧密的联系，特别是在建立 各类微分方程、积分方程以及算子方程解的存在唯一性和解的迭代逼近问题 中起着重要的作用。非线性算子不动点理论是非线性泛函分析的重要组成部 分，为了构造b a n a c h 空间中抽象算子方程的零点，历史上曾出现过多种迭代 格式：p i c a r d 迭代法，m a n n 迭代格式，i s h i k a w a 迭代格式，h a l p e r n 迭代格 式，粘滞迭代，最速下降迭代法，正则化迭代法等多种形式，迭代格式的收 敛性构成了非线性算子不动点理论研究中的重要问题。 本文利用b a n a c h 空间几何理论及非线性算子基础理论，从两方面对非扩 张映像，伪压缩映像及增生算子的不动点理论作了进一步研究：一方面是深 入讨论算子的性质，另一方面是建立更有效的迭代格式以逼近算子的不动点， 改进或推广了现有的收敛结果。 关键词：非扩张映像，伪压缩映像，增生算子，迭代算法，不动点 a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sh a sd e e pc o n n e c t i o nw i t hm a n yb r a n c h e si n m o d e mm a t h s ，e s p e c i a l l yi ns t u d yo ft h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n st o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，i n t e g r a le q u a t i o n s ，o p e r a t o re q u a t i o n sa n da p p r o x i m a t i o no f i m r a t i o np r o c e s s e s f i x e dp o i n tt h e o r i e so fn o n l i n e a ro p e r a t o r sa 1 ：et h ek e r n e l so f n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s i no r d e rt oc o n s t r u c tz e r o sf o ra b s t r a c to p e r a t o r si n b a n a c hs p a c e s ，t h e r eh a v eb e e nal o to fi t e r a t i o np r o c e s s e s t h ec o n v e r g e n c eo f i t e r a t i o ns c h e m e si so f i m p o r t a n c ei nf i x e dp o i n tt h e o r i e so f n o n l i n e a ro p e r a t o r s u s i n gg e o m e t r i ct h e o r i e so fb a u a c hs p a c ea n dn o n l i n e a ro p e r a t o rt h e o r i e s ， w ew o r ko nf i x e dp o i n tp r o p e r t i e so f n o n l i n e a ro p e r a t o r so nt w of i e l d s ：o nt h eo n e h a n d ，t oe x p l o r ee x t e n s i v e l yt h eo p e r a t o rp r o p e r t i e s ；o nt h eo t h e rh a n d ，t oc o n s t r u c t e f f e c t i v ei t e r a t i v es c h e m e st o a p p r o x i m a t et u t h ef i x e d p o i n t s o m en e w c o n v e r g e n c er e s u l t sf o rn o n e x p a n s i v e ，p s e u d o c o n t r a c t i v em a p p i n g sa n da c c r e t i v e o p e r a t o r sh a v eb e e ne s t a b l i s h e do rg e n e r a l i z e d ，w h i c hi m p r o v et h ep r e v i o u s k n o w nr e s u l t s y a nl i x i a ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f z h o uh a i y u n k e yw o r d s ：n o n e x p a n s i v e m a p p i n g s ，p s e u d o c o n t r a t i v em a p p i n g s ， a c c r e t i v eo p e r a t o r s ，h e r a t i o nm e t h o d s ，f i x e dp o i n t s 声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文非扩张映像与伪压缩映像的迭 代方法研究，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期闻，在导师指导下进行的研 究工作和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大 学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：鳓右日期： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩 印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅； 学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同 方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：红童一 日期：五蚪 导师签名： 日期： 避 孕 华北电力大学硕士学健论文 1 1 课题背景 第一章绪论 泛函分析作为一神抽象的数学理论，具有高度的抽象性，系统性和普遍性，因 此成为各个学科解决实际问题的重要工具。实践中的大量问题多是非线性的，要解 决它们必须回答其解是否存在( 即不动点存在问题) 及如何构造这个不动点，这两个 问题的研究具有重要的意义。 不动点理论和非线性算子理论是非线性泛函分析的重要组成部分i 关于不动点 理论，自2 0 世纪初著名的b a n a e h 压缩映像原理问世以来，特别是最近的二三十年 来，由于实际需要的推动和学者们的不断努力，这一领域的理论和应用的研究取得 重要的进展。与之密切相关的非线性算子理论的研究也取得十分丰富的成果，多种 迭代格式的收敛性构成了非线性算子理论及非线性算子方程构造可解理论及应用 研究中的重要问题。对于非线性算子的不动点迭代逼近问题，主要从两方面作进一步 研究：一方面是算子的性质，另一方面是建立更有效的迭代格式以逼近算子的不动点。 非扩张映像是b a n a c h 压缩映像的最重要的扩展，它在近代许多数学分支都有应 用，特别是在非线性半群，遍历定理和单调算子理论方面有重要的应用。简单的例子 表明非扩张映像可能没有不动点，如t x = x + l ，工e r l 。非扩张映像的不动点可能 有无穷多个，如恒等映像。非扩张映像不像b a n a c h 压缩映像那样简单，因此，寻求 非扩张映像不动点的存在条件和寻求异于p i c a r d 迭代的其他形式的迭代算法收敛于非 扩张映像的不动点，就成为非扩张映像不动点理论的中心问题。伪压缩映像是非扩张映 像的推广，更具一般意义。基于此，在对现有结果综合分析和改进的基础上，本文 对于这两类重要映像，在更一般的空间中建立新的迭代格式逼近算子的不动点，推 广和改进了一些现有的结果 1 2 国内外研究动态 假设e 为b a n a c h 空间，其范数表示为1 i ，为e 的对偶空间，( ， 是e 与e + 之间的广义内积，c 为e 的非空子集，r ：c _ e 为非线性映像，f ( d = 扫c ，劢= p 表示不动点集，- 表示强收敛，_ 表示弱收敛 p i c a r d 迭代格式： c，而“=txn，n0(picard) 最初用于逼近常微分方程初值问题，后用来寻找非线性映像的不动点，典型例子是 b a n a c h 压缩映照原理正是用p i c a r d 迭代格式证明的 1 9 5 3 年，m a n n 4 引入正规m a n n 迭代格式： 华北电力大学硕士学位论文 善o c 矗+ l = ( 1 一口。) x n + 口。t x ，n 0 ，( m a n n ) 其中口。e ( o ，1 ) ，：二口，( 1 一口。) - - - - c o k r a s n o s e l s k i i 5 ，s c h a e f e r 6 于1 9 5 5 年，1 9 5 7 年先后证明了非扩张映像的 不动点的m a n n 迭代格式的收敛结果 1 9 6 7 年，i s h i k a w a 7 去掉了对空间凸性的假设，在任意的b a n a e h 空间中证明 了非扩张映像的收敛定理 1 9 7 4 年，s e n t o r 和d o t s o n 8 在一致凸b a n a c h 空间证明了拟非扩张映像若满 足条件) ，正规m a n n 迭代格式序列收敛于映像的不动点 1 9 7 9 年，r e i c h 9 证明了如下结果： t h r 设e 为一致凸b a n a c h 空间，e 的范数f r e c h e t 可微，c 为e 非空闭凸子集， t ：c 专c 为非扩张映像，f ( 乃， c ( o ，1 ) ，a ( 1 - a ) = 0 0 ， c ，工“= ( i - 5 。) 靠+ 口。t x 。，疗l ，则矗寸p f 1 9 9 3 年，t a n 和x u 1 0 将上述结果扩展到i s h i k a w a 迭代格式： 而c ， 矗+ l = 口。2 k + ( 1 一t t l n ) x n ， 以= 尾巩+ ( 1 一尾) 矗，n 0 ，( 1 s h i k a w a ) 。a ( 1 - a 。) = 0 0 ，。a o - a ) c o ，l i m s u p 。尾 1 2 0 0 0 年，邓磊和李胜宏 1 1 在不假定c 有界以及l i m s u p 。孱 o ， 在h i l b e r t 空间中，将r e i c h 9 m a n n 迭代格式对于非扩张映像的收敛结果推广到严 格伪压缩映像的情形 用m a n n 迭代格式和i s h i k a w a 迭代格式逼近非扩张映像的不动点已有广泛的研 究 4 - 1 1 ，并提出更一般的迭代格式，如带误差的m a n n 迭代格式等然而在无限维 h i l b e r t 空间中，m a n n 迭代格式仅能得到弱收敛结果( 反例见 1 2 3 ) ，为了得到强收 敛结果还借助投影的概念建立混合算法( c q 算法) ，对于多类映像和多种迭代格式得 到了强收敛结果 n a k a j o 和t a k a h a s h i 1 3 首先引入新的迭代格式： x o c ， 儿= + ( 1 一) 乃巳， q = 仁c ：l l y 。- z l i - o ) ， m a r t i n e z - y a n e s 和x u 1 7 在h i l b e r t 空间中，运用混合算法对i s h i k a w a 迭代格式 进行修改，参数满足，成( o ，1 ) ，6 口，a ( o ，1 】，成哼l 的条件下，证明了序列 矗) 强 收敛于非扩张映像r 的不动点 x o c ， 以= 矗+ ( 1 一a ) t z 。， ：。= 尾矗+ ( 1 一尾) 巩， g = v e c ：睢y 。一叫1 2 i k 一1 ，| | 2 + ( 1 一) q i z 。4 2 一l h 0 2 + ) ， 3 华北电力大学硕士学位论文 q = v c ： 0 ， x n + l2 p c 他x o 最近，m a r i n o 和x u 1 8 运用混合算法把n a k a j o 和t a k a h a s h i 1 3 的结果由非扩张 映像推广为严格伪压缩映像，参数的限制条件进一步放宽，并且限制条件与严格伪 压缩映像的系数是独立的 x oe c ， ) 0 = c + 0 一a 。) z k ， g = z e c ：i k z 0 2 j l 一, 1 1 2 + ( 1 一口。) ( 七一) 0 工。一t x 。0 2 ， 幺= 弘e c ： 矗一z ，x o 一) o ) ， + i = p c n 见 运用混合算法得到是强收敛结果，但多是在h i l b e r t 框架下，算法也较为复杂，难于 控制 为证明正规m a n n 迭代序列或l s h i k a w a 迭代序列强收敛于非扩张映像韵某个不 动点，往往要求映像的定义域或映像本身具有某种紧性紧性的假设是很强的条件， 能否找一种新的迭代格式在没有紧性的假设下，仅依赖于非扩张映像本身的性质收 敛于映像的不动点呢? 回答是肯定的 为书写简便，参数条件简记如下： ( c 1 ) 口。一o ( 栉寸叫 ，( c 2 ) 二= ( c 3 ) 矗。一：g n ：* _ l - - 广2 n = o 够4 ) 二1 。一t z n c o “ 。 ( c 5 ) 二k 一盯i 0 ， x + 12e c n o , x o 设e 为b a n a c h 空间，c 为e 的非空闭凸子集，t ：c _ c 非扩张映像，f ( d ， ，：c 专c 为压缩映像，v t ( 0 ，1 ) ，定义压缩映像互：c c 如下： r , x = 矿( x ) + ( 1 - o t x ，应用b a n a c h 压缩映像原理，存在唯一的x te c ，使得= 毛， 即五= 矿 ) + ( 1 一，) r x , o 4 ) 对应的迭代序列： 毛“= 6 + 以毛) + ( 1 6 “) 瓦+ l 毛，n 0 ，乙暑瓦皿耐月，( 1 5 ) 特别地，x n 1 = + 一+ ( 1 一“) 瓦+ 而，肛2 0 粘滞迭代格式的提出涵盖了迭代格式( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 当n = 1 时， 1 9 - 2 2 ，2 7 ，2 4 ，3 3 证明了迭代序列收敛于单个映像的不动点 当 1 时， 2 6 ，3 4 ，3 5 ，3 2 ，4 6 证明了迭代序列收敛于有限多个映像的公共不动点 当n = 1 时，m o u d a f i 3 6 引入粘滞迭代方法逼近给定非扩张映像的特定不动点 6 华北电力大学硕士学位论文 x u 3 7 将 3 6 的结果推广到b a n a c h 空间，同时在i f f i l b e r t 空间和一致光滑b a n a c h 空 间中研究迭代格式( 1 4 ) 的收敛性，得到当t _ 0 时， t 收敛于r 的不动点p 。p 为 变分不等式( ( ，一f ) u ，j ( u p ) s 0 ，矽f 叮) 的唯一解，并且证明了迭代序列强收敛 于r 的不动点 2 0 0 6 年，s h a h z a d 和u d o m e n e 3 8 将 3 7 的结果推广到渐近非扩张映像 2 0 0 6 年，s o n g 和c h e n 4 0 3 将 3 7 的结果推广到非扩张非自映像： 在具有弱序列连续对偶映像的自反的b a n a c h 空间，t ：c 专e 为满足弱内向条件的 非扩张非自映像，f ( d 妒，厂：c 寸c 为压缩映像v t ( 0 ，1 ) ， t = p ( 矿( ) + ( 1 一f ) z t ) ( 1 6 ) x n + l = p ( 口。，( ) + ( 1 一口。) z k ) ，( 1 7 ) p ：e _ c 为向阳的非扩张收缩映像，分别证明了“ 收敛于r 的不动点和 ) 收敛 于r 的不动点 最近，s o n g 和c h e n 3 9 将迭代格式0 4 ) 推广到连续伪压缩自映像 z e g e y e ，s h a h z a d 和m e k o n e n 4 1 统一了粘滞迭代格式( 1 4 ) 并将 3 7 ，3 6 的结果 推广到连续伪压缩非自映像和更一般的b a n a c h 空间，而且在r 为l i p s c h i t z i a n 伪压缩 映像时，构造显式粘滞迭代格式，证明了强收敛结果，推广了现有的结果。 j u n g 4 2 用粘滞迭代格式( 1 5 ) 逼近有限多个非扩张映像的公共不动点在自反 的b a n a c h 空间，具有一致g a t e a u x 可微范数和弱序列连续正规对偶映像，参数满足 条件( c 8 ) ，将 3 6 ，3 7 的结果推广到n l 的情形，改进并统一 2 6 ，3 4 ，3 5 ，3 2 的结 果、 s o n g 和c h e n 4 3 在自反的具有弱序列连续正规对偶映像的b a n a c h 空间，参数 满足条件( c a ) ( c 2 ) ，：c c 为一致渐近正则的非扩张映像，用粘滞迭代格式( 1 5 ) 逼近有限多个非扩张映像的公共不动点，得到序列 矗 强收敛于某一变分不等式的 解 s o n g 和c h e n 4 4 分别在严格凸的，自反的，具有一致g a 把a u x 可微范数的 b a n a c h 空间和在自反的，具有弱连续正规对偶映像的b a n a c h 空间并且 矗) 为渐近 正则迭代序列时，运用粘滞迭代格式( 1 5 ) ，得到有限多个非扩张映像的公共不动点 秭“= 厂) + 尾x n + 以x n ，疗0 ( 1 8 ) y a o 和n o o r 4 5 引入新的迭代格式( 1 8 ) ，在自反空间中将结果推广到可交换非 扩张映像族 g a r i n o 和x u 4 8 结合最小值问题和粘滞迭代方法，引入新的迭代格式： x n + i = ( ，一口。a ) t x + c k 矿( 矗) ，n 0 证明了当参数满足一定的条件时，序列强收敛于某变分不等式的解，该变分不等式 u 1 1 ：最4 、值问题m i n 去 一 ) 的最优条件，其中矗+ ( 力= 矿0 ) 7 华北电力大学硕士学位论文 以上问题及结果是从空间满足性质不断放宽及迭代参数限制条件减少的方面 考虑推广而得到的，涉及的映像是单个映像或单参数映像，但是两个或有限多个非 扩张映像公共不动点的迭代逼近问题较单个映像不动点的研究更重要也更复杂，更 具一般意义 为了研究有限多个映像公共不动点的问题，2 0 0 1 年，x u 和o r i 4 9 引入隐迭代 格式： 而= 口l 知+ 0 一q ) 互而， 而= 口2 毛+ 0 一a ，2 ) 瓦善2 ， ； x n2 a n x n + 0 一a n n x n ， x n n = a n o c 七堪一位n 漕n “ ； 该格式可写为：毛= 毛一i + 【1 一) l 矗，栉1 ，0 9 ) 这里瓦= 瓦酬_ ，并在h i l b e r t 空间中证明了当( o ，1 ) 满足条件( c a ) 时，迭代序列 弱收敛于菲扩张映像编，二的公共不动点 2 0 0 3 年，s u n 6 0 在一致凸b a n a e h 空间中i 改进了隐迭代格式： 毛= 矗_ l + ( 1 一口) 互矗，履= ( i 一1 ) + i , i i ( 1 1 0 ) 若其中一个欧像是半紧，得到渐近拟非扩张映像的强收敛定理 2 0 0 4 年，o s i l i k e 5 1 在h i l b e r t 空间中将 4 9 结果推广到b r o w d e r - p e t r y s h y n 意义下的严格伪压缩映像，并得到迭代格式强收敛于定义在b a n a c h 空间非空闭凸子 集上的有限多个严格伪压缩映像的公共不动点 ， 2 0 0 5 年，c h i d u m e 和s h a h z a d 5 2 在一致凸b a n a c h 空间中，当非扩张映像族 互：f ， 满足条件( b ) ，或其中一个映像是半紧的，a n 眵，1 一刃，占e ( o ，1 ) ，得到序 列 矗) 强收敛于非扩张映像族的公共不动点 2 0 0 6 年，c h a n g ，t a n ，l e e ，e ta 1 【5 3 建立带有误差的隐迭代格式o 1 d ： = - l + ( 1 一a 、t k 。( n ，x n + t l n ，v n l n = ( k - 1 ) n + i , i = f ( 哟a ，2 ，) ，k = 七( 功 2 0 0 6 年，s o n g 和c h e n 5 4 在任意的b a n a c h 空间中，得到连续伪压缩映像隐迭 代格式强收敛的充要条件，同时将 5 1 中的b r o w d e r p e t r y s h y n 意义下的严格伪 压缩映像推广到有限个连续伪压缩映像，并由h i l b e r t 空间中推广到q 一一致光滑的 和一致凸b a n a c h 空间 2 0 0 6 年，c e n g 和y a o 5 5 改进隐迭代格式推广到带扰动映像的格式， x n = a 。j ；，1 + ( 1 一口。) 瓦矗一以y f ( t 。x 。) 】，n 1 ，0 1 2 ) 得到非扩张映像隐迭代格式强收敛于公共不动点的充要条件 8 华北电力大学硕士学位论文 最近，s o n g 和c h e n 3 9 构造修改了的隐迭代格式： 矗= a y 。+ 0 一口。) t x 。， y 。= p 。f 缸。0 4 - q p 。x n ，0 1 3 1 在自反严格凸具有一致g a t e a g x 可微范数的b a n a c h 空间，参数满足一定的条件，得 到强收敛定理 7 s u 和q i n 5 6 3 构造复合隐迭代格式： = - l + ( 1 一) 瓦， ；十一l + 瓦x 。十_ 瓦毛- l 其中+ j 。+ r 丹+ = l ， ) ，以) ，d 。 ，蛾 。 c ( o ，1 ) ，瓦= 已“ ( 1 1 4 ) 统一了现有的结果 为了研究两个或多个映像的公共不动点，学者们不断地构造新的迭代格式，改 进已有的迭代格式： 1 9 9 7 年，s h i m i z u 和t a k a h a s h i 5 7 最早引入两个非扩张映像的公共不动点的 迭代格式，得到： t h s t 设嚣为h i l b e r t 空间，c 为目的非空闭凸子集，s 。t ：c - - - h c 的非扩张映像， s t = t s ，f = f ( s ) f l f ( t ) 妒，a n 【0 ，1 ) 满足条件( c l x c 2 ) ， 善。 定义为 川( 1 一) 南：似们k ，删， 则 蠢 强收敛于s 和r 的公共不动点戥，p ：h 斗f ( $ n f ( t ) 为距离投影 1 9 9 8 年，t a k a h a s h i 和t a m u r a 5 8 研究两个非扩张映像的公共不动点，得到如 下结果： t h t t 设e 为一致凸b a n a c h 空间，c 为暑的非空闭凸子集，s 。t ：c 专c 的非扩张映 像，f = f ( s ) n f ( t ) 妒，尾【o , 1 ) ， x n 定义如下： 而c ， 毛“= ( 1 一c k ) 矗+ 观， 以= ( 1 一尼) 矗+ 芦：l ：，刀l 则x n _ p e f 若c 为紧集或r 全连续，则x n - h p f 2 0 0 5 年，k h a n 和f u k h a r u d d i n 5 9 将以上迭代格式推广到带误差的形式： 毛c ， x n + l = 口。矗+ 成s y + y u 。， 只= x n + 成巩+ 以， n 1 ， 其中口。，屏，托 o ，1 ) ，以，孱，以【o ，1 ) ，0 艿s 口。，以s 1 - j l ， + 尾+ 矗= 菇+ 孱+ 无= 1 ，扣。 ， ) c c 为有界序列 在不同的条件下分别得到了强收敛和弱收敛定理 9 华北电力大学硕士学位论文 最近，f u k h a r u d d i n 和k h a n 6 0 又将 5 9 结果推广到渐近非扩张映像 毛c ， x m = 口。x n + p 。s “y 。+ y 。一。， 咒= f t g n x n + 厦p 而+ 以， 撑1 2 0 0 2 年，s u z u k i 6 1 去掉了一致凸的假设，得到两个可交换非扩张映像公共不 动点的收敛结果： t h s l 设e 为b a n a c h 空间，c 为e 的非空闭凸子集。r ，u ：c 哼c 非扩张映像， t u = u t ，f = f ( t ) n f ( u ) ， c c 【o ，1 】o l i m i i i f ：口。l i m s u p 。 1 ， 矗) 定义如下： 而= x e c ， 矗“= 矗+ ( 1 - ) 砉：r u 7 矗，一2 0 ，则矗- - p e f 2 0 0 4 年，s u z u k i 和t a k a h a s h i 6 2 运用迭代格式： 毛+ l = 口n x n + ( 1 一) r m ) 矗，万e ， 其中缸。) c 【o ，1 】，0 峨l i m s u p 。吒 1 ，递增序列以) c ( o 叫，l i r a 。一= ， 1 i m l = 1 ，在一般b a n a c h 空间中证明了单参数非扩张半群的强收敛定理 1 “ 2 0 0 4 年，s u z u k i 6 3 证明了两个非扩张映像的公共不动点收敛结果： t h s 2 设e 为b a n a c h 空间满足印剃条件，c 为e 的非空弱紧凸子集，s ，r ：c c 的 非扩张映像，f = ，( 回n ，( d 妒，定义非扩张映像u 如下： 沈= w e a k l i m ，e dm ( ，z ) ，其中为似的一个子网 g ( n , z ) = 砉巴巴。刚t ：， ) 定义为： x 1e c ， “= a u x + ( 1 一口) 矗，行l ，口( o ，1 ) ，贝0 哼p e f 在此基础上，2 0 0 5 年a t s u s h i b a 和t a k a h a s h i 6 4 得到了可交换非扩张半群的 强收敛结果： t h a t 设s 为有恒等映像的可交换半群，c 为b a n a c h 空间e 的非空弱紧凸子集，令 t = t ( t ) ：f s 为c 上的非扩张半群霸曰岱) 的子集，并且1 置协s 为一不变 量函数t 一( t ( t ) x , x ) 在x 中，h e c ，罩e 令饥) 为s 上的有限均值且有 l i r a 。一0 以一u 。忙o ，s ，l i r a 。一l k 一0 = o ，纯 定义如下： = x c ， l o 华北电力大学硕士学位论文 “= c l n x n + ( 1 一) 毛，v n n ， 其中如k ) c 【o ，1 】，0 l i m i n f 口。l i m s u p 。口。 l ，则矗_ p f l a u ，m i y a k e 和t a k a h a s h i 6 8 3 证明了； x 0 2 工c 毛+ l = o t x + ( 1 一) 气矗，矗2 x + ( 1 一) x n ，v n n ， 靠n 鸭( 1 飞) 砉：墨s 州t 和x nf f i o t n x n l - 0 喝) 砉墨洲t 和 = 口。二+ 0 一) r r o ) 西，= z + ( 1 一) 丢r r ( s ) 矗凼， 参数满足条件( c d ( c 2 ) ，序列强收敛于映像的公共不动点 最近，y a o 和c h e n 6 9 去掉 5 7 中可交换的条件，对于均值映像建立新的迭代 格式得到强收敛结果 非线性映像的定义域和值域不一定在同一空间，非自映像更具一般的意义，因 此，对自映像的不动点研究拓展为研究非自映像的不动点对于逼近非扩张非自映 像的不动点，主要引用隐迭代格式： 簦e c ， 薯= ( 1 - t ) u + t p t x , ( 1 1 5 ) 薯= p ( ( 1 - t ) u + f t x , ) o 1 6 ) 这里p ：e 寸c 为非扩张收缩映像 t a k a h a s h i 和k i m 7 0 证明了如下结果： t h t k 7 0 设冒为自反的b a n a c h 空间，范数一致g a t e a u x 可微，c 为e 的非空闭凸子 集，向阳的非扩张收缩核，具有正规结构，t ：c _ e 为满足弱内向条件的非扩张映 像给定的“e c ，v t ( o ，1 ) x ，c 是墨并= ( 1 一f ) “+ t p t x 的唯一不动点，p ：e 专c 为向 阳的非扩张收缩映像，则r 有不动点的充要条件是当t _ 1 时，“) 保持有界这时， 专p f ( 乃 t h t k 7 0 设e 为白反的b a n a c h 空间，范数一致g a t e a u x 可微，c 为占的非空闭凸子 集，向阳的非扩张收缩核。具有正规结构，t ：c e 为满足弱内向条件的非扩张映 像给定的c ，v t ( o ，1 ) ，只e c 是u , x = p ( o t ) u + t t x ) 的唯一不动点，p ：e 专c 为 向阳的非扩张收缩映像，则r 有不动点的充要条件是当t 哼1 时， 儿) 保持有界这 时，只专p 罗 0 在一定的条件下得 到强收敛于公共不动点的定理 c h i d u m e 和a l i 7 4 将结果推广到有限多个渐近非扩张非自映像： 设e 为一致凸的b a n a c h 空间，c 为e 的非空闭凸子集且为向阳的非扩张收缩 核，五，瓦，l ：c _ e 为渐近非扩张非自映像，n f 仍) 妒，其中 吒 乙l ， 伽m ，i - l 2 ，拼) ，二( k 一1 ) m ，缸。) ：c 够l 一艿) ，8 e ( 0 3 ) ，f = 1 2 ，m ， 而c ， x n + l = p 【( 1 一c r y ) x , + 五( p 五) ”1 以+ ，一2 】， 以+ 。_ 2 = 尸【( 1 一口2 。) x n + a e ( p 疋) “只。4 】， ； 咒= p 【( 1 一a k ) 矗+ a l 妒l ) “】，刀i 在一定的条件下得到强收敛于公共不动点的定理 伪压缩陕像受到广泛关注一方面源于它是非扩张映像的重要推广，另一方面是 它与增生算子之间存在密切的关系增生算予的概念首先由b r o w d e r 及k a t o 于1 9 6 7 年独立引入的，b r o w d e r 用这一理论说明如果r 在e 上是局部l i p s c h i t z i a n 的且是增生 的，初值问题： _ d u f ( t ) 1 - t u c t ) = 0 ，( o ) = 华北电力大学硕士学位论文 是可解的 关于含有增生型算子方程解的迭代法的讨论，从上个世纪8 0 年代一直是增生型算 子理论的重要研究课题之一，这一类映像的引入与研究b a n a c h 空间的非线性方程的 存在性问题密切相关由于它在解的存在性和解的逼近理论的重要性，增生算子受到 广泛的关注 1 3 研究内容及意义 非扩张映像是压缩映像的重要推广，随着非扩张映像不动点理论的发展，出现 更多的映像如：渐近非扩张映像，拟渐近非扩张映像，相对非扩张映像，伪压缩映 像等不动点理论中各种迭代格式的收敛性构成了菲线性算子理论及非线性算子方 程构造可解理论及应用研究中的重要问题本文主要对于非扩张映像和伪压缩映像和 增生算子的不动点迭代问题作进一步研究，在更一般的空间中建立新的迭代格式逼近算 子的不动点，推广和改进了一些现有的结果， 首先，对r e i c h 9 中的结果做了改进，将结果中的自映像推广为非自映像，改 进了原来的结果 其次，对于非扩张映像的迭代收敛作进一步的研究，在文献 3 0 3 的基础上建立 新的迭代算法，推广为更一般的形式，同时相对于 1 4 中的结果，参数限制条件减 弱，得到一个新的收敛结果 文献 5 2 研究了隐迭代格式对于有限个非扩张映像公共不动点的强收敛性，但 亿 仍为一致凸b a n a c h 空闻中非空闭凸子集c 上的自映像为逼近非扩张非自映像 公共不动点我们建立了一种新的迭代格式，证明了隐迭代格式逼近有限个非扩张非 自映像公共不动点的强收敛结果，从而将文献 5 2 的自映像推广到更一般的非自 映像的情形 假设e 为一致凸b a n a c h 空间，c 为e 的非空闭凸子集和e 的非扩张收缩核， p ：e 寸c 为非扩张收缩映像，佤：扛l ，2 ， ：c 一五为n 个非扩张映