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中山大学博士学位论文 中文摘要 拟共形映射的几何性质及磷e m a n n 流形上的最优化问题 专业：基础数学 博士生：李淑龙 导师：胡建勋教授 摘要 在本文中，我们研究了拟共形映射的几何性质及恕e m a n l l 流形上的最优化 问题，同时，也给出了拟共形映射在t e i c h i l m l l e r 空间的一些应用。本文分五 章： 在第一章中，我们从拟共形映射理论、t e i c h i 】帕l l e f 空间理论以及优化理论 的历史发展及应用出发，阐述本文研究课题的背景、意义。在这一章中，我们 也讲述了我们的主要研究内容。 在第二章中，我们研究了单位圆盘之间同胚映射的s c b w a r z 型定理。我 们推广了全纯映射的s c h w a r z 引理，得到了拟共形映射在一定面积偏差条 件下的s c h w a r z 型定理，以及保向同胚映射在一定模条件及原点规范条件下 的s c h w a r z 型定理。 在第三章中，我们研究了单位圆周之间的同胚映射到单位圆盘的自然共 形扩张。我们首先由两个已知的扩张r ，毋构造了一族带参数的共形自然扩 张协，讨论了这族扩张的性质，还给出了它是全局同胚的充分条件。其次我们 由d o u a d y e a r l e 扩张定义了一个逆扩张，得到了跟d o u a d y e a r l e 扩张类似的一 些好的性质，但逆扩张与d 0 u a d y e 砌e 扩张并不总是一样的。 在第四章中，我们利用第三章定义的第二个扩张一逆扩张给出渐进b e r s 映射 是渐近t e i c h m i i l l e r 空间到渐近全纯二次微分空间的嵌入映射的另一证明。 第1 页 e $ 十，i 目，m m s 优n m * q 。# x t “锄a * 一十女* t # ，* te j m 目目# ” # ，镕m t * # 自$ 一* # ， 目r t 一# t * * # 自 n 。 * ；m # * * h ，新l t n l i _ l ! - n 】a d v e e r # m 自 # ，m n h 口r 女a t 中山大学博士学位论文 英文摘要 r 1 lj jo 1- ln eg e o m e t r l cp r o p e r t i e so fq u a s l c o n t o r m a im a p p i n 2 sa n dt h e o p t i m i z a t i o np r o b l e mo nr i e m a n n i a nm a n i f o l d s m a j o r ：p l 鹏m a t h 锄撕c s n a m e ：s h u l o n gl i s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rj i 删h u a b s t r a c t i nt h i sp 印e r ，w es t u d yt h eg e o m e t r i cp r 叩e i t i e so fq u a s i c o n f o 姗a lm 印p i n g sa n d t h eo p t i m i z a t i o np r o b l e mo n 硒锄a n n i a nm a n i f o l d s a t 协es a m et i m e ，w ea l s o 咖d ya n 印p i i c a t i o n so fm eq u 捌c o n f o 珊a lm a p p i n g so nt e i c h n m l l e rs p a c e 1 h ep a p e rc o n s i s t s o f6 v ec h a p t e r s ： i nc h a p 七e rl ，b a s e do n 也eh i s t o 巧a n da p p l i c a t i o no fq u a s i c o n f o 珊a lm 印p i n g t h e o t e i c h m i i l l e rs p a c et h e o r y 觚dt h eo p t i m i z a t i o nt h e o w es t a t em eb a c k g r 0 1 m d a l l ds i g i l 讯c a n c eo fo u rr e s e a r c ht o p i c hc h a p t e r2 ，w es t u d y 也es c h w a r zt y p et h e o r e m so ft h eh o m e o m o 甲h i s m sb e t 、7 l ，e e nu n i tc i r c l e s w bg e n e r a l i z et h es c h w a r zl e 砌m ao fh o l o m o 啦i cm a p p i n g s ，a n d o b t a i nm es c h w a 亿咖et h e o r e m so fq u a s i c o n f 0 彻a lm a p p i n g su n d e r 也ea r e ad i s t o r - t i o nc o n d i t i o i l s ，粕dt h es c h w a r z t y p e 也e o r e m so f t l l eh o m e o m o 呻i s m sn o m a l i z e do n o r i 西nu n d e rs o m ec o n f o 姗a im o d u l u sc o n d i t i o n s i nc h 印t e r3 ，w es t l l d yt h e c o n f o m l a l l yn a n 珊le x t e n s i o nt ol l n i td i s ko f 也eh o m e o m o 叩h i s mb e 附e e nu n i tc i r c l e s f i r s t l y ，w ec o n 仇l c taf 锄 1 i l yo fc o n f o m a l l yn a t u r a l ， p a m m e t r i z e de x t e n s i o n 岛舶m 撕ok n o w ne x t e n s i o n s 日，岛，强ds 砌yi t sp r o p e r - t i e s a tt l l es a m et i m e ，w eg i v eas u m c i e n tc o n d i t i o nt oi l l s u r et l l a ti ti saf 锄1 i l yo f g l o b 甜h o m e o m o r p i l i s m s s e c o n d l y ，w ed e f i n ea 1 1i n v e r s ee ) ( t e n s i o n 丘o mt l l ed o u a d y e a d ee x t e n s i o n ，毅l do b t a i ns o m eg o o dp m p e r t i e sw h i c hi ss i m i l a rt ot h ed o l l a d y e a d e 第1 i i 页 e x t e n s i o n b u tt h ei n v e r s ee x t s i 蚰i sn o ta l w a y st h es 锄et ot 1 1 ed o u a d y - e a r l ee x t e n - s i o n i nc h a p t e r4 ，w eg i v e 舭o t h e rp r o o fo f 也a t 廿1 ea s y l t o t i cb e r sm 叩p i n gi sa ne i n - b e d d i n g 矗m 也ea s y m t o t i ct e i c h i n _ c i l l e rs p a c e t ot 1 1 e 嬲y m t o 吐ch o l o m o 叩h i cq u a d r a t i c d i 丘- e r e n t i a l ss p a c eb yt h ei n ：、，e r s ee x t e n s i o nd e 丘n e di i lc l l a p t e r3 i nc h a p t e r5 ，w es t u d ym eo p t i m i z a t i o np r o b l 锄眦硒锄a n n i a nm 锄i f o l d s w b d 曲n eav 撕a t i o n a li n e q u a l 时p r o b l 锄锄f i 血e - d i i i l e i l s i o n a lc o m p l e t em e m 枷a l l m 阻i f o l d ，a n do b t a i n 也ee q u i v a l e n c er e l 撕0 nw 油t h e0 p t i m i z a t i o np r o b l e m w bg i v c 也ec o n d i t i sw h i c h 龋m t e et h ee x i s t e t i c e 孤d1 l n i q u e n e s so fs o l u t i o nt o 也i sp r o b l 锄 f i n a l l y w e 咖d yt l l ep m p e n i e so fs o l u t i o n sa n ds 0 1 u t i o n s s e t k e yw b r d s ：q u a s i c o n f 0 咖a lm a p p i n g ，a s y m t o t i ct e i c h m i i l l e rs p a c e ，d o u a d y e a r l ee x t e n s i o n ，c o n f o 咖a 1 1 yn a t i l m l ，0 p t i m i z a t i o np r o b l e m ，m a 廿o n a li n e q u a l i 哆 第页 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究 工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完金意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：蛮箍更茹 日期：) 腻8 年l ，月6 日 ， 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查 阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其 他方法保存学位论文。 学雠文储始毒荆导师鲐嘲鼋知 日期：溯睥移月钐日日期：) - b 2 年6 月6 日 中山大学博士学位论文第一章综述 第一章综述 在本文中，我们研究了如下四个问题： ( 1 ) 同胚映射的s c h w a r z 型定理； ( 2 ) 单位圆周之间的同胚映射到单位圆盘的共形自然扩张； ( 3 ) 扩张在渐近t e i c b m n l l e r 空间的应用； ( 4 ) 硒锄枷流形上的最优化问题。 在这一章中，我们将阐述这些问题的背景、现状、研究方法及我们的主要 结果。 1 1 这四个问题中，前两个主要涉及拟共形映射的研究，也涉及了调和映射的 研究。拟共形映射理论自从建立以来，通过许多数学家的工作，它的理论已十 分丰富，并且广泛渗入到数学的其它分支。它与砌e m a n l l 面论，e i n 群理论， 低维拓扑，复解析动力系统乃至理论物理中的弦理论都有着紧密的联系。它在 别的数学分支中也有重要应用，例如s u l l i v 孤【6 3 ，6 4 】利用拟共形映射解决了复 动力系统中著名游荡域猜测，n u r s t o n 【7 0 ，7 1 】结合拟共形映射工具在三维双曲 流形的分类中作出了重要工作，等等。 1 9 2 8 年，咖t z s c h 【2 6 】引入了二维的拟共形映射的概 念，1 9 3 8 年，l a w e 而e v 【3 l 】研究了高维的拟共形映射。后来，t e i c 蛔瓶l l e f 6 6 ，6 7 】、a h l 矗w s 【1 ，2 】深入地研究了拟共形映射，而g e “n g 、v 萏i s 蕴l 萏 2 3 ，2 4 ，7 3 】 则开始系统地研究舒上的拟共形映射理论。共形映射是c 卸c h v 一砌e m 锄方程的 经典同胚解，而平面上的拟共形映射是比c a u c h v m e m 锄方程更广的b e l t r a 胁i 方程的广义同胚解。从某种意义上讲，共形映射是拟共形映射的特例。拟共形 映射作为共形映射的自然推广，我们可以讨论其相应的拟不变性，比如共形 模、极值长度、双曲长度等。这就使得我们有更深更广的研究领域。此外，由 于砌e m 籼面( 一维的复流形) 具有共形结构，而拟共形映射具有相似性，这 使得我们我们可以在鼬e 麟i n n 面上及砒e m 锄n 面间定义拟共形映射。从而拟共 第l 页 中山大学博士学位论文 第一章综述 形映射的研究就可以推广到砌e m 锄面上，而且拟共形映射理论在黜锄猢面 论中有着重要的应用。不仅如此，我们还可以在任意的度量空间上研究拟共形 映射。在拟共形映射研究历史上，人们先是集中于研究拟共形映射理论本身， 后来发展到其在砧e m a n n 面理论及其他领域的应用。 拟共形映射理论研究过程中，有四个经典的问题： ( 一) 存在性问题，即具有给定复特征的拟共形映射的存在性问题。这是 拟共形映射理论中的基本问题，主要讨论给定复特征的b e l m 衄i 方程的同胚解的 存在性问题。对于复平面上给定一个可测函数p ( 名) ，i i o o 1 ，存在全平面上 的拟共形映射以弘为其复特征，并保持0 ，1 ，不动。并且这样的拟共形映射是唯 一的( 见【3 3 】) 。 ( 二) 极值问题，即双连通区域的极值问题。对于给定的两个集合，考虑 这样的双连通区域，使得双连通区域在扩充复平面中的补集的两个分支包含给 定的这两个集合，在所有的这些双连通区域中寻找模最大的区域。这里有三个 著名的极值问题，即g r 6 t z s c h 极值问题，t e i c h i 们l l e r 极值问题，以及m 耐极值 问题，它们的解分别是g r 6 t z s c h 区域，t e i c h r 曲l l e r 区域，以及m o r i 区域。极值 问题在拟共形映射的偏差问题中起着很关键的作用( 见【3 3 】) 。 ( 三) 偏差问题。我们已有单位圆盘之间的拟共形映射的偏差问题和全 平面之间的拟共形映射的偏差问题，以及全平面的任意一个圆周在全平面 之间的拟共形映射作用下的畸变状况( 见【3 3 】) 。后来，人们研究了拟共形 映射的其他偏差问题。1 9 6 6 年，g 嘶n g 【2 4 研究了拟共形映射的面积偏差问 题；1 9 9 4 年，a s t a i a 【3 】利用全纯运动研究了拟共形映射的面积偏差问题，得到 下列结果：设，是单位圆到自身的k 拟共形映射，( o ) = 0 ，那么对于任意 的b o r e l 可测集ec ，成立：办e o ( ，( e ) ) m a r e o ( e ) 壶，m 是与k 有关 的一个常数。相关的极值映射可由厂( z ) = z l z l 壶_ 1 得到。1 9 9 8 年，s 仃e b e l 【6 2 】 研究了具有渐近行为的极值t e i c h l 埔l l e r 映射；1 9 9 9 年，朱华成等【8 0 】研究 了协c h 问题的域内特征：对于区域内的拟共形映射自同胚，在区域内附加某 种就范条件，这个映射本质上就退化为一仿射变换。具体来说就是下列关于拟 共形映射的s c b w a r z 型定理：对于单位圆上的k 一拟共形映射自同胚，( 名) ，满足 就范条件厂( o ) = o ，1 1 哩掣= 1 ，则，( z ) 必为仿射映射，( z ) = a z i z l 专，= 1 。2 0 0 3 年，陈志国【l l 】则考虑保向同胚映射在一定条件下的s c b w a r z 型定理； 并提出了公开问题：对于满足模条件m o 够a k m 砌a 的单位圆到自身的保向 第2 页 中山大学博士学位论文第一章综述 同胚映射如果满足规范条件1 1 碑掣= 1 ，那么是否有，( z ) = a z i z i k ，= 1 7 在复分析中，我们有经典的s c h w a r z 引理：设，是单位圆内的解析函数， 且，( ) c ，( o ) = o ，则l ，( o ) l 1 且i ，( 名) l l z l ，比。若i ，。( o ) i = 1 ，或 对一点约 o ) 有i ，( 缅) i = l 细l ，则，( z ) = e 徊z ，其中p r 是常数。 p i c k 对s c h w a r z 引理作了重要的观察和新的解释，得到：设，是单位圆内 的解析函数，且，( ) c 。又设d ( ，) 表示内两点之间的p o i n c a r 6 距离，则 有d ( 厂( z 1 ) ，厂( 勿) ) d ( 魂，勿) ，比1 ，勿，这里等号对任意两个不同点御，勿成 立之充要条件为。厂a 心亡( ) 。 在p o i n c a 砖度量推广到一般区域后，s c h w a 花引理便有了更一般的形式： 广义s c h w a r z 引理：设区域d 与g 均具有单位圆到它们的全纯覆盖映射， 其p o i n c a 话度量分别为d s l = 盯1 ( z ) i 如l ，z d ；d s 2 = c r 2 ) i d 名i ，g 。又设， 是全纯映射，则g r 2 ( ，( z ) ) i 厂7 ( z ) i 盯1 ( z ) ，z d ，其中等号在一点成立的充要条 件是，是d 到g 的覆盖映射。 特别地，如果dcg ，则有盯2 ( 名) 盯1 ( 名) ，比d ，其中等号在任一点成 立当且仅当d = g 时。 这也告诉我们：区域变大相应的p o i n c a 托度量变小。广义s c h w a r z 引理有很 多应用，沟通了解析函数与双曲几何之间的联系，利用它可证明p i c a r d 小定 理，m o n t e l 正规定则，l a l l d a u 定理，p i c a r d 大定理以及s c h o t t k y 定理等等，在 现代复分析理论中有重要价值( 见 3 3 】) 。经典的s c h w a r z 引理告诉我们如果单 位圆盘之间的解析映射满足f ，( o ) i = l 或者存在一点在此解析映射作用下只是 旋转了一个角度，那么此解析映射退化为旋转变换。从这方面来看，我们也想 知道单位圆盘之间的同胚映射的情况：是否在满足一定条件下也退化为旋转映 射或其他映射? 在本文第二章中，我们研究了单位圆盘之间同胚映射的s c h w a r z 型定理。 我们推广了全纯映射的s c h w a r z 引理，得到了单位圆盘之间的拟共形映射在一 定面积偏差条件下的s c h w a r z 型定理，以及单位圆盘之间的保向同胚映射在一 定模条件和原点规范条件下的s c h w a r z 型定理。我们主要是基于共形模以及极 值长度的知识来讨论我们的结果，所以在2 1 中，我们先介绍了共形模及极值 长度的一些重要估计。 在2 2 中，首先我们研究了单位圆盘之间的拟共形映射在面积偏差条件下 的s c l l w a r z 型定理，得到了下面三个主要结果： 第3 页 中山大学博士学位论文第一章综述 定理1 1假设，：_ 是肝拟共形映射且，( ) = ，厂( o ) = o 。如果对于 任意r ，r = z i r ) c ，有 掣掣掣汀一， a r e o ( r ) 玄 那么当z 时，厂( z ) = a z i z i 击，这里a 是常数且= 1 。 定理1 2假设，：_ 是k 一拟共形映射且，( ) = ，( o ) = 0 。设对于任 意0 丌一 n _ o oa r e o ( ) 壶一 那么，( z ) = 入z 吲去，z ，这里入是常数且= 1 。 在2 3 中，我们研究单位圆盘之间的保向同胚映射在满足一定共形模条件 及原点规范条件下的s c h w a r z 型定理，得到： 定理1 4设k 1 ，是单位圆盘到自身的保向同胚满射，且，( o ) = 0 。如 果 m o d a k m d d ，( a ) ，= a ( r 1 ，r 2 ) c ， ( 1 1 ) 那么i ，( 名) i = i z l 壶，比。 慨。镏“， 第4 页 ( 1 2 ) 中山大学博士学位论文第一章综述 定理1 5设k l ，是单位圆盘到自身的保向同胚满射，且，( o ) = o 。如 果 m d d a m o d ，( a ) ，= a ( r l ，仡) c ， ( 1 3 ) 玩。帮“， m d d ，( a ) 去m 以a ，w = 以( r 1 ，您；p 1 ，如) c ， ( 1 4 ) 那么，( z ) = 地i z l 壶，z ，这里入是一常数且= 1 。 我们对陈志国在【1 2 】中提出的公开问题展开研究，不过至今未得到完全解 决，但取得了一点进展： 定理1 6设k 1 ，( z ) 是d 1 = z 卜l z i 1 ) 到d 2 = z p k 吲1 ) 的 保向同胚满射。如果 m d d ，( a ) k m o d a ，v a = a ( r 1 ，r 2 ；p 1 ，如) cd 1 ， 那么厂( z ) = 入z 例k ，z d 1 ，这里a 是一常数且= 1 。 我们还得到了复平面到复平面的保向同胚映射在几乎所有的径向上都是绝 对连续的。 定理1 7设厂( z ) 是复平面c 到自身的一个保向同胚映射。如果，满足对于任 意a = a ( n ，r 2 ) cd 1 ，或者a = a ( r l ，仡；巩，如) cd 1 ，有 m d d ，( a ) k m o da ， 其中k 是正常数，那么对于几乎所有的p 【o ，2 7 r 】及任意的口 o ，在 z = r e 徊： r n 绝对连续。 ( 四) 边界值问题，这主要来源于对拟圆周的分析和几何性质的研究。 拟圆周在拟f u c h s i a n 群、万有t e i c h m n l l e r 空间及函数单叶性的研究中都有着重 要的应用。拟圆周是单位圆周( 实轴) 在全平面之间的拟共形映射下的像。 第5 页 中山大学博士学位论文第一章综述 我们知道j o r d 锄曲线不一定是拟圆周，但j o r d 孤曲线可以自然地在实轴上诱 导一个同胚。事实上，j o r d 锄曲线是拟圆周的充要条件是其诱导的实轴同胚 是上半平面到自身的某个拟共形映射的边界值。我们知道上半平面到自身的 拟共形映射的边界值函数是拟对称函数。自然地，我们问：拟对称函数是否 一定是上半平面到自身的某个拟共形映射的边界值? 对于这个问题，b e l l r l i n g 与a h l f o r s 4 】构造性地给出了肯定的回答。由此我们得到了实轴同胚是上半 平面到自身的某个拟共形映射的边界值的充要条件，即该实轴同胚是拟对称 函数。我们称b e w l i n g a h l f o r s 的构造为b e u r l i n g a h l f o r s 扩张。b e w l i n g a h l f o 娼 扩张吸引了很多数学家的研究兴趣，其中不乏中国数学家。边界同胚映射的 扩张问题也变成了一个活跃而重要的研究问题。1 9 8 6 年，d o u a d y 和e a r l e 【1 4 】 构造了任意维数下的共形自然扩张，也就是著名的d o u a d y e a r l e 扩张。s c h o e n 在1 9 9 0 年【6 0 】提出的猜想：每个单位圆周到自身的拟对称映射都有一个到圆盘 内部的p o i n c a r 6 意义下的拟共形调和扩张。上个世纪9 0 年代，t o myh w 撕，p “，l f 协n 以及李忠等人的工作【3 5 ，3 6 ，6 5 ，7 7 ，7 8 】在一个局部意义上证明了这 一猜想，离完全解决还有距离。1 9 9 7 年，h 融和w o l f 【2 7 】证明了具有拟共形调 和扩张f ：日n - 日n 的拟共形( 拟对称，如果佗= 2 ) 映射，：伊- 1 _ 伊_ 1 所构 成的集合是所有铲- 1 之间拟共形( 拟对称，如果佗= 2 ) 自映射所构成集合的 开集。2 0 0 2 年，m 棚i c 【4 0 】证明了任意的对称映射都存在唯一的调和扩张。 如果d 0 u a d y e a d e 扩张是调和的，那么调和扩张与d 0 u a d y e a r l e 扩张是一致的。 具体地，1 9 9 6 年，m c m u l l e n 【4 2 证明了d o u a d y 。e a r l e 扩张的变分是调和的，刘 立新【3 7 】对此给出了另一个证明。刘立新在【3 7 】中还证明了d o u a d y e 砌e 扩张 并不总是调和的，得到了d 0 u a d y e a r l e 扩张不调和的s 1 之间的同胚映射所构成 的集合在所有s t 之间的同胚映射所构成的集合中是开的且稠密的。我们知道对 于同胚映射厂：s 1 _ s 1 ，可以找到很多不同的共形自然扩张。究竟有多少扩张 呢? 这是我们感兴趣的。 在本文的第三章中，我们主要研究单位圆周间的同胚映射的扩张问题。 在3 2 中，我们通过给定的两个不同的共形自然扩张，构造一族带参数 的共形自然扩张。给定，是s 1 到自身的同胚，片( z ) 与易( z ) 是，的两个不同 的共形自然同胚扩张。假设他是经过毋( z ) 、马( z ) 的p o i n c a r 6 测地线。我们 首先定义了参数o 入 1 的扩张b ，满足b ( z ) 讫且d ( f 1 ( z ) ，毋( ，) ( z ) ) = m ( r ( z ) ，岛( z ) ) 。接着我们把参数推广到一 o ，瓦是局部凸的。假设向量 场y 在a 上是连续且强单调的。那么变分不等式问题( 1 5 ) 有且只有一个解虿。 最后我们研究此变分不等式问题解及解集的性质。 第1 2 页 中山大学博士学位论文第二章同胚映射的s c h 、a r z 型定理 第二章同胚映射的s c h w a r z 型定理 本章主要研究了单位圆盘之间的同胚映射的s c h w a r z 型定理。我们推广了 全纯映射的s c h w a r z 弓l 理，得到了单位圆盘之间的拟共形映射在一定面积偏差条 件下的s c h w a r z 型定理，以及单位圆盘之间的保向同胚映射在一定模条件和原 点规范条件下的s c h w a f z 型定理。 2 1 共形模及极值长度的一些重要估计 扩充复平面恧= cu o o ) 上任意一条j o r d a n 闭曲线所围的区域称 为j o r d a n 区域。我们约定一个j o r d a n 区域的边界的正向是使得区域局部地 落在其左侧的方向。设q 为一个j o r d a l l 区域，并在边界上按照正向依次选 定四点刁，沈，施，魂，则q 连同这四点一起构成一个拓扑四边形( 或简称 四边形) ，记为q ( z 1 ，勿，勿，铂) 。两个四边形q ( 魂，勿，勿，施) 与q ( 臼，已，岛，白) 称 为共形等价的，如果存在一个共形映射妒，将q 1 映射为q 2 ，且有顶点对 应妒( ) = 白，歹= 1 ，2 ，3 ，4 。 今后我们用r ( 铆，勿，施，魂) 表示以z 1 ，勿，勿，魂为顶点的矩形四边形。对于任 意给定的四边形q ( z 1 ，勿，幻，魂) 都存在实数n o 与6 o ，使得q ( z 1 ，沈，勿，魂) 共 形等价于矩形r ( o ，n ，口+ 跣，跣) ，而且比例o 6 由四边形q ( z 1 ，勿，勿，翅) 唯一决定。 我们称o 6 为q ( z 1 ，勿，勿，盈) 的共形模( c o n f o m a lm o d u l u s ) ，记为m o dq 。拓扑四 边形的共形模是一个共形不变量。 己知扩充复平面上的二连通区域b 等价于下面三种典型区域之一： ( 1 ) c o ) ，即 z ：o h ) ； ( 2 ) o ) ，即 z ：o 1 ) ； ( 3 ) b ，= z ：1 1 名i r ) 。 由此我们定义二连通区域的共形模，若b 共形等价于 名：1 r ) ，则 定义b 的共形模为m 甜b = 去z 佗7 ；若b 共形等价于c o ) 或 o ) ，则定义它 的模为o o 。它也是共形不变量。 第1 3 页 中山大学博士学位论文第二章同胚映射的s c h w a r z 型定理 极值长度的概念最早是由b e 硼i n g 提出来的，经过a j l l l f o r s 的系统研究，有了 广泛的应用。它与共形模有着深刻的联系。 设d 是扩充复平面疋中的区域，r = ：a a ) 是d 上的一个曲线族， 其中每条曲线是d 中局部可求长的曲线。我们定义曲线族r 的极值长度，记 为a ( r ) 。记d 上全体非负b o r e l 可测函数集为p 。对于任意的p p ，我们可以将 其视作一个度量密度。在该度量下，d 的j 9 面积为 而每条曲线7 f 的p 长度是 畎矾= f j d 矿诋 撕) = 厶训 考虑p 的一个子集 = p p ：o - ( d ) j 【一上j 二 a ( r ) 。a ( r 1 ) a ( r 2 ) ( 2 ) 若r 中的每条曲线，y 都包含r 1 中一条曲线饥及r 2 中的一条曲线镌，则有 记 a ( r ) 入( r 1 ) + a ( r 2 ) a ( r l ，r 2 ) = z i r l i z i 仡) ；4 ( r 1 ，您；p 1 ，如) = z l r l i z l 您；秽1 o r 9 z 如) 那么 m o d a ( r t ，您) = 去2 叼筹；m 砌a ( r ，仡；p ，如) = 瓦兰酉。叼署 如果i 、是由所有连接 z i i z l = r 1 ) 与 z 1 1 名l = 您) ，并且落在a ( r 1 ，您) 上的局部 可求长曲线所构成的曲线族，则 m o d a ( r 1 ，r 2 ) = 入( r ) 如果r 是由所有连接 z i i z i = r 1 ) 与 z 忪i = r 2 ) ，并且落在a ( r ，您；p ，如) 上的局 第1 5 页 中山大学博士学位论文 第二章同胚映射的s c h w a 亿型定理 部可求长曲线所构成的曲线族，则 m o d a ( r 1 ，亿；口1 ，如) = a ( r ) 引理2 4 【l ，1 9 】设d 1 ，d 2ca ( r 1 ，仡；p 1 ，如) ，且d 1n 见= r 1 ，r 2 分别是 落在d 1 ，d 2 上的局部可求长曲线构成的曲线族，而r 是由所有连接 z 忙i = r 1 ) 与 z 1 1 名i = 仡) ，并且落在a ( r 1 ，您；p 1 ，锡) 上的局部可求长曲线所构成的曲线 族。 ( 1 ) 若r 1 中的每条曲线饥与r 2 中的每条曲线仇都包含r 中的一条曲线，y ，那 么等式 11l 一j a ( r )a ( r 1 ) 。a ( r 2 ) 成立， 当且仅当d 1 = 4 ( r 1 ，您；目1 ，秒) ，晚= 4 ( r 1 ，您；p ，p 2 ) ，这里p 1 口 如。( 2 ) 若r 中的每条曲线7 都包含f 1 中一条曲线，y 1 及r 2 中的一条曲线能， 那么等式 a ( r ) = a ( r 1 ) + a ( r 2 ) 成立，当且仅当d l = a ( r 1 ，r ；6 1 1 ，p 2 ) ，d 2 = a ( r ，他；口1 ，口2 ) ，这里r 1 r 7 2 。 下面是二连通区域的共形模与面积的关系： 引理2 5 2 3 】假设r 是由两互不相交的闭曲线玩，b 1 所界定的环域。那么 对任意由同心圆周瑞，研界定的同心圆环形，如果玩，岛所包围的面积分别 与瑞，b ；所包围的面积相等，则 m o d r m d d 彤 我们也可以用共形模来定义拟共形映射，即拟共形映射的几何定义： 设，：d _ g 是c 中的区域d 到g 的一个保向同胚。若存在一个常数k 1 ，使得d 中的每一个拓扑四边形q ( z l ，勿，勿，魂) ，旬cd ，都有 m d d ，( q ) k m o d q ， 第1 6 页 中山大学博主兰垡垒奎 篁三主旦墅堕塾竺兰业磐型塞垄 - _ - _ _ - _ - - - _ _ - _ _ - - _ - _ - _ l - _ _ _ - _ _ 一 则称，是一个k 拟共形映射( k q u a s i c o 椭a 1m a p ) ，简记为k 1 - c 映射。不难验 证，：d _ g 是k q c 映射的充要条件是 去m 。d q m 。d ，( q ) k m 以q ， ( 2 1 ) 只要国cd 。此不等式被称为共形模在拟共形映射下的拟不变性。对于d 中任 意一个二连通域b ，雪cd ，( 2 1 ) 也成立。另外，如果，是保向同胚的映射，那 么逆命题也成立( 见l e h t 0 与r t a n e n 的著作【3 2 】) 。 2 2 拟共形映射的s c h w a r z 型定理 本节主要研究满足某种面积偏差条件下的单位圆盘上的k 一拟共形映射的一 些s c h w a r z 型定理。 首先我们先来看一些引理：记 耳= 俐r h 1 ) 引理2 6假设，： 名l r 1 ) _ 扣1 7 l 壶 l 叫l 1 ) i 是k 一拟共形同胚映射， 那么当名毋时，( z ) = 池i z f 壶一，这里入是常数且= 1 。 证明对于任意r ，r r 1 ，令以= z p 吲 r ) ，b = z l r l z l 1 ) 那么 去去z d 夕吾：去( m 础a + 仇以b ) m d d ，( a ) + m d d ，( b ) 仇。d q 壶= 妻去z d 9 吾 从而m d d ，( a ) + 舢d ( ，( b ) ) = m d d 只击= 去去f d 9 ； 由引理2 4 可知，( a ) ，( b ) 必是同心圆环，即i ，( r ) i = 硝，o p 2 7 r 我们断言r ，：冗壶。事实上，若膏 r 刍，则 删朋，：如善 冗去，则 m 甜，c b ，= 去忉专 去z 叼去= 去脚d b 这都与，是k 一拟共形映射矛盾。 我们得到，对于任意z 尼，i ，( z ) l = h 嘉。 对于任意秽，o 口 2 7 r ，令a 1 = a ( 冗，1 ；o ，目) ，a 2 = a ( r ，1 ；p ，2 7 r ) ，其中r 冗 1 。根据引理2 3 有 1 111 1 鬲两鬲五巧可万万+ 鬲五f 玎才万灭丽丽+ 灭丽孤 11 一而丽面一而 从向 l1 1 一一一上一 删只击仇o d ( ，( a 1 ) ) m o d ( ，( a 2 ) ) 由引理2 4 可知厂( a 1 ) = a ( 冗壶，1 ；o ，秒) ，厂( a 2 ) = a ( 冗击，1 ；9 ，2 7 r ) 。这意味 着，( z ) = a z h 去，这里a 是常数且= l 。 引理2 7假设，： 名p h 1 ) _ 训 i 刮 1 ) 是肛拟共形同胚映射 那么当名辟= z l r h 1 ) 时，厂( z ) = 比h k ，这里a 是常数且= 1 。 证明设9 = ，一1 是厂的逆映射，则9 ： z 卜k i z i 1 ) _ 伽卜 l 硼i 1 ) 是k 一拟 共形同胚映射，由引理2 6 可知本引理成立。 因为皿是圆环，所以如果，是同胚映射，则厂( 毋) 是二连通区域。由此可知 存在共形映射啡：_ 满足啡( o ) = o ，啡( 1 ) = 1 ，使得 令9 ，= 釜rof o 啡o ，( 毋) = 矧砂( r ) 1 ) 第1 8 页 中山大学博士学位论文第二章同胚映射的s c h w a r z 型定理 引理2 8 假设，：_ 是保向同胚映射且，( ) = ，( o ) = o 满足 m o da k m o d ，( a ) ，v a = a ( r 1 ，仡) 则警是( o ，1 】上的递增函数，并且掣1 。 证明令o r 1 您1 ，a = z i r l l z l r 2 ) ，b = z l r 2 i z l 1 ) 。 = ，( a ) ，b = ，( b ) ，a + b = aub ，a + b = a uj e 7 根据引理2 4 ， m o da 7 + m o db m d d ( a + b ) 由于模是共形不变的，所以 m d d b 7 = m 砌，( b ) = m 。d 肼。( b ) = 去f 叼顽b ， m 。d ( 彳+ b 7 ) = m 蒯，( a + b ) = m 谢鳙。( 4 + b ) = 去z 凹顽b 由假设可知， m d d a k m o d a ， 因此 从而 去切筹k m 洲跏州“) 一m 砌鳓= 嘉2 凹糕 忉筹鲫叼糕， 7 l 妒【nj 第1 9 页 主生大学博士学位论文第二章同胚映射的s c h w a r z 型定理 _ - _ - _ _ - - - - - _ _ - _ _ _ _ - _ _ - - - i - - _ _ l 一一- 一 即 这意味着掣是( o ，1 】上的递增函数。令吃= 1 ，可得掣1 - r 下面是本节的主要定理，在证明主要定理之前，我们先来证明下面的命 题，它在我们的主要定理证明中将多次用到。 命题2 9 假设，：_ 是保向同胚映射且，( ) = ，( 0 ) = 0 满足 且 m o d a k m o d ，( a ) ，v a = a ( r 1 ，r 2 ) ， 1 咖( 铂) = 曙，o 伯 1 那么当z 时，厂( z ) = 娩l z i 壶，这里入是常数且：1 。 证明由引理2 8 可以知道：当r o r 1 时， ( r ) = r 壶 对于任意7 1 ，您，r 0 n r 2 1 。令 则 a = z p l i z l 您) ，b = z l 您 i z l l ， a = ，( a ) ，b = ，( b ) ，a ”= 鼽( a ) ，b ”= 缈，( b ) 啪以岫，) 一咖( 舢耻删舭岫) 一删岫，) _ 扣毒， 第2 0 页 啤哆 一 绰呼 中山大学博士学位论文 第二章同胚映射的s c h w a r z 型定理 舢d = m 砌鳙，( b ) = m o d ，( b ) = m o d 夕r 2 ( b ) = 去细毒 我们知道模是共形不变的，所以 m d d ，( a ) = m o d 彳= m o d a ”， 由已知条件，有去m 砌a m 砌a 。 又由模的次可加性，我们有m d da 7 + 仇d db m 以( ub ，) 从而 嘉云z 。9 署= 去m 以a m d d 彳m 砌( 彳u b ) 一m d d b ，= 嘉- - z 叼筹， 因此，