（应用数学专业论文）常微分方程积分边值条件解的存在性.pdf

曲阜师范大学硕：匕学位论文 常微分方程积分边值条件解的存在性 摘要 近年来，各种各样的非线性问题已日益引起人们的广泛关注非线性分析 的地位日益霞要，非线性分析已成为现代数学中的藿要研究方向之一常用的 研究非线性问题的方法大都要求问题本身具有连续性和紧性很多情况下，要 得到问题的正解，还必须对非线性项进行非负的限制但足，目前在应用中出 现的大量非线性问题是缺乏紧性或连续性，并且非线性项很多情况下不能满足 非负的要求 本文利用锥理论，不动点指数等方法讨论了一类带有积分边界条件的微分 方程解的存在性得到了一些新的结果伞文共分三章 第一章足本文的绪论部分，简要介绍了非线性泛函分析的发展及问题提出 的实际背景 第二章中，主要考虑一类二阶奇异常微分方程积分边值问题，在与对应的 线性算子的第一特征值有关的某些条件下非平凡解的存在性特别地，不必 要求是非负的利用拓扑度理论给出了非：平凡解的存在性，并给出了例子作为 主要结果的应用 第三章我们主要利用l e r a r y s c h a u d e r 型非线性二择一定理及锥中的k r 弘 n o s e l s k 不动点定理讨论带有积分边值条件的二阶脉冲微分方程非负解的存 在性并给出了几个推论和例子 本文有别于其他文献之处，主要体现在以下两个方面：首先，形如 ，l厂l 缸( o ) = “( 1 ) = q ”t ( s ) u ( s ) d s 口 r 凡( s ) t 1 7 ( s ) ( f s ，0，0 的比较一般的边值条件还没有人讨论过究其原因，丰要足将微分方程转化为 积分方程的过程中存在困难本文正是受文献【1 l 的启发，克服了这一困难 其次，对于形如 ，1 1，l 。 u ( o ) = q ( s ) u ( s ) d s ， t 上( 1 ) ：= 9 ( s ) u ( s ) d s i ，o ，0 的带有两个积分边界条件的脉冲微分方程还很少见 曲阜师范大学硕士学位论文 关键词： 积分边值问题；拓扑度；脉冲微分方程；不动点定理 曲阜师范大学硕：t 学位论文 a b s t r a c t n o n l i n e a rf i l n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o r d ( 、r l la n a l y s i sn l a t h c h l a t i c s ，m o r ca n dm o r cm a t h c h l a t i c i a n sa r cd c v o t i n gt h c i rt i l ct oi t w h i c hc a nc x p l a i nm a n yk i i l d so fn a t u r a lp h c n o m c l l a a m o n gt h c m ，t l l cp o s i - t i v ef i x e dp o i n tt h e o r yf b ri l o n l i n e a ro p e r a t o r sp l a y sav e r yi m p o r t a l l tr o l ci n n o l l l i n e a ri i l t e g r a la l l dd i f r b r e n t i a le q u a t i 0 1 l s ，e s p e c i a u yi nt h cs t u d yo fp o s i t i v c s o l u t i o n so fn o n l i n e a ri n t c g r a le q u a t i o n si nn u c l c a rp h y s i c s ， i l lt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h ee x i s t e i l c co ft l l ed i 珏色r e u t i a lc q u a t i o n sw i 乞hi n t c g r a lb o u n d a r yv a l u cp r o b l c l su s i n gm c t l l o d so fc o n ct h c o r ya n dt o p ( j l ( ) g i c a l d ( 、g r c c a n dw eg c tt h cn c wr c s u l t s t h ct h ( ! s i si s ( 1 i v i d c di 1 1 t 【) t h r c cs c c t i ( ) b a c c o r d i n gt oc o n t c n t s c h a p t c r1i st h ci n t r o d u c t i o no ft h i sp a p c r ，w h i c hi n t r o d u ( ：e sd 【j v c l o i ) l n c l ：t o fn o n i i n c a rf h n c t i o n a la n a l y s i sa n dg i v cs o m ci n s t r u c t i o no fo u l p i o b l c l n s i nc h a p t e r2 ，r cc o n s i d c rt h cs i n g i l l a rs c c o n d o r d c ri n t c g r a lb o u l l d a r y 、a h l cp r o b l p i n su l l d c rs o i n pc o l l d ni o n sc o l l c c r l l i i l g1 h jf i r s l ，c i g c l l v a h i c s 毛jt 1 1 【、 1 c l c v a n tl i l l c a r ( ) p c r a t o l s i np a r t i c u l a r ，厂i s1 1 0 t1 1 c c c s s a l yt ob cl l o n n c g r t i v c t h cc x i s t c i l c cr c s u l t so fn o n 乞i 。i v i a ls o h i t i o i l sa r cg i v c nb yn l c a n so ft h c t o p o l o g i c a ld c g r c ct h c o r y t h cr c s u l t sa r ci l l u s t r a t c dw i t ha nc x a m p l c i nc h a p t c r3 ，r cs t u d yt h ee x i s t c n c eo fn o n n c g a t i v es o l u t i o n so fi n t ( ! 一 g r a 1b o u n d a r yv a l u cp r o b l c m sf b rs c c o n d o r d c rh n p u l s i v c ( 1 i 王乙l c i l t i a lc q u a t i u i 埚 0 u ra n a l y s i sr c l i c so nc o 1 b i l l i n gai l o l l l i n c a l a l t ( ：l i l a t i v co fl 【! l h l y s ( ：h a u ( 1 ( ! 1 t y p ew i t l li o ，o ，m l 1 o ，1 】，m ( ) o 对n e o ，1 】，n ：( o ，1 ) 一f o ，o g ) 是连续函数， o ( ) 在点= o 和= 1 ，：【0 ，1 1 ( 一。o ，+ ) _ ( 一o o ，十o 。) 是连续函数 该论文的改进之处主要体现在两个方面：首先，不要求厂是非负的；其 次，形如u ( o ) = u ( 1 ) = q 肘m ( s ) 札( s ) d s 一掰m ( s ) u ( s ) d s 的边值条件还没 有人讨论过 本文将用到以下假设： ( h 1 ) o ：( o ，1 ) _ 【o ，) 是连续的，在( o ，1 ) 的任一子区间“( ) o 并且 詹n ( ) 蹴 + 弧 ( 皿) 厝m ( ) 班( o ，砉) 且7 7 z ( ) 在【o ，1 】上是非减的 ( 风) ，：【o ，1 1 ( 一。，+ o 。) _ ( 一x ，+ o 。) 是连续的 定义b a n a c h 空间c o ，1 】中的范数为i i n l | = j l l a x o t lm t ) i 定义 尸= “c o ，1 】：札( ) o ，v f o ，1 】) 2 曲阜师范大学硕士学位论文 显然， p 是c 【o ，1 】中的锥记研= u c 【o ，1 】：i l 让 o ) 为半径 为r 的开球并用口表示b a n a c h 空间c 【o ，l 】中的零元 引理2 1 1 假设6 = 詹m ( ) 矾丢，则v9 叫o ，1 】，问题 均 ) ：叭，涎【0 1 】， ( 2 1 2 ) 【u ( o ) = u ( 1 ) = q 片m ( s ) u ( s ) d s 一詹m ( s ) u ( s ) d s 有唯一解 u ( ) = h ( ，s ) 夕( s ) d s ， 其中 h ( s ) = g ( 以s ) + r z 1m ( ) g ( f 5 ) 必一r 纭z 1 m ( ) 嚷( ，s ) 武； ( 2 1 3 ) g ( t ，s ) ： “1 一s ) ， o 。s 1 ( 2 1 4 ) is ( 1 一) ， o s 1 ； 证明我们知道，边值问题 r u ，( t ) + 9 ( ) = o ， t 【o ，l 】， i u ( o ) = t 正( 1 ) = o 有唯一解 ，1 叫( ) = g ( t ，s ) 夕( s ) d s ， 则加( o ) = 叫( 1 ) = o 设札( t ) 是问题( 2 1 2 ) 的解，则 u ( ) = 叫( ) + c l + 岛， 其中g ，q 为待定常数 由u ( ) 的表达式及边值条件( 2 1 2 ) ，我们可得 u ( 。) = 叫f 。) + 岛= 岛= 口z 1m ( s ) u ( s ) d s 一z 1m ( s ) 让7 ( s ) d s ， 3 第二章二阶奇异常微分方程积分边值问题的非平凡解 让( 1 ) = 加( 1 ) + c - + q = q = 口z 1 m ( s ) 让( s ) d s p z 1 m ( s ) u ，( s ) d s 从而c - = o ，q = q 露m ( s ) u ( s ) d s 一詹m ( s ) u ( s ) d s ，则 u ( )= 叫( ) 十q z 1 m ( s ) u ( s ) d s p z 1 仇( s ) u ( s ) d s 由( 2 1 5 ) ，可得 其中 u 咏) = 川牡z 1 g 以 s ) 拍d s g f ( ，s ) =p l s ， 0 s 1 ， o s h 关于t 乏【0 l 卜致； l i ms u p 丛冬尘 o s 2 一一 由此，我们可得9 ( s ) 在( o ，l 】上是非减的，从而9 ( s ) g ( 1 ) = 6 ，即片m ( ) 埏 s 6 则 ，1 m ( ) g f ( ，s ) d o ，0 由于g ( ，s ) o ，从而g ( t ，s ) + 南片m ( ) g ( ，s ) d 专o 故h ( ，s ) o 由该结论，我们易得由( 2 2 4 ) 定义的丁：p _ 尸是一个全连续算子利 用和【1 0 】中相似的方法，可得r ( 丁) o 且丁有一个第一特征值a l = r ( 丁) - 1 所对应的正的特征函数 下面我们定义 ，1 ( a u ) ( ) = 日( t ，s ) o ( s ) ，( s ，u ) d s ， 【o ，1 】，( 2 2 5 ) - ，o 则a ：p _ g f o ，1 】是一个全连续算子 事实上，若( 日1 ) 一( 风) 成立，v 让p ( a u ) ( ) e ，从而a ：p _ e 当 n 2 ，我们定义函数0 n 如下 ) ) ， o t 去， 熹 0 【0 1 】， 从而a ( 研。) cp 对任意的u d 研。np ，由( 2 2 6 ) 得 ( 删a z 1 即，s ) n ( s ) u ( s ) d s = 州丁u m ) ，【0 1 】 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 我们不妨设月在a 耳，上没有不动点( 否则，该定理得证) 令u + 是a l 所对应的丁的正的特征函数，则让= a 1 丁u + 下面我们说明 且 令 u a u “t 上+ ， vu a 研，n 尸0 ( 2 2 9 ) 否则，必存在札l a b ，。np 及0 使得u l a u l = 7 b u + 因此罚 0 札l = 以札1 + 丁o u + 功u 7 = s u p 丁i 札l 7 t 正) 易得7 丁o 0 且u l 7 - 札+ 7 ( 2 2 1 0 ) 第二章二阶奇异常微分方程积分边优问题的非甲凡解 又由于丁( p ) cp ，从而 因此由( 2 2 8 ) ， a l 丁让l 丁入1 丁u = 7 - u u 1 = a u l + 丁0 u 入l 丁，u l + 伯札+ 7 - + ，“+ 丁0 “， 这与7 - + 的定义矛盾，故( 2 2 9 ) 成立由于a ( 瓦。) cp ，由不动点指数的基本 性质及引理1 2 得 ( f c 9 ( ，一a ，b ，) = i ( a ，日，npj p ) = 0 ， ( 2 2 1 1 ) 其中d e 9 表拓扑度 定义a ( t ) = 6 詹( t ，5 ) o ( s ) d s ，显然，面尸由( 2 2 1 ) 易得a ：c f o ，1 】一 p 一面 定义a 札= a ( u 一豇) + 五，乱c o ，1 】，则a ：c o ，1 】_ p 由( 2 2 3 ) ，存 在r 2 7 l + 0 缸l i 及0 盯 1 使得 厂( t ，u ) 盯，l u ， vu 7 2 ( 2 2 1 2 ) 令正u = 盯a 1 丁u ，u c 【o ，l 】，则乃：c f o ，l 】一e 是一个有界线性算子 且乃( p ) cp 令 m = 2 m a x 器，z 1 即n u 川s 川i ) 2 删 显然，m r 2 ， 8 曲阜师范大学硕士学位论文 当u ( ) 一矗 0 ，u ( ) = 让( ) 一面珏( ) 一， 2 一7 2 ，因此j id ( ) i l r 2 。又由于 札w 及( 2 2 1 2 ) ，我们可得 t 正( ) = l 上( a ) ( t ) 日( ，s ) n ( s ) ( s ，札百) d 5 + 疵( ) = u ) ( ，s ) a ( s ) ，( s ，札一面) 如+ 厶t l j 咖) h ( ，s ) n ( s ) ，( s ，u 一矗) 幽+ d ( ) 口a ，z 1 日( ，s ) 。( s ) u ( s ) d s + z 1 ( ，s ) 。( s ) ，( s ，舀( s ) ) 出+ 2 证( ) 盯入l ，( ，s ) n ( s ) 2 z ( s ) d s + j 7 l 彳 ( 正札) ( ) + m ， 其中m 由( 2 2 1 3 ) 定义从而( ( ，一兀) 扎) ( z ) a ，t o ，l 】 由于a 1 是丁的第一特征值及0 m a x 7 2 ，s l l p 诈7 + l l 五，则a 在p 聩。上没有不动点事实上， 若存在“l a 膦。使得a u l = 牡l ，则“l 彤及i lu 1l i = n s u i ) 彤，矛盾 从而由同伦不变性及不动点指数的基本性质，我们有 d e g ( ，一a ，历。，) =i ( 4 ，b 。n 尸 p ) = i ( ，口r 3n 只p ) = 1 ( 2 2 1 g ) 取令连续同伦，( f 札) = a ( u t 矗) + t 矗，( ，“) 【o 1 】西若存在( 2 ) 【o ，l 】a b ，。使得h ( t o ，u 2 ) = 一u 2 ，从而a ( “2 t o 矗) = u 2 一t o 舀及a ( 1 上2 一t o 矗+ 矗) = u 2 一o 五十豇，贝0t 上2 一t o 五十霞i y 且 “2 一o 五十面| i l i “2l | 一( 1 o ) i l 面f i r 3 i i 霞l | s u p 彬 9 第二章二阶奇异常微分方程积分边值问题的非平凡解 矛盾由同伦不变性及( 2 2 1 6 ) 我们有 ( f c 9 ( j 一a ，辟。，6 ) = d r 夕( ，一( o ，“) ，口n ，) = d e 9 ( ，一9 让) 风秽( 2 2 1 7 ) = d e 9 ( ，一a ，研。，6 i ) = 1 从而，由( 2 2 1 1 ) 及( 2 2 1 7 ) 我们得到 d e 9 ( ，一a ，研。b ，。，6 ) = d e 9 ( ，一a ，j e 7 ，。6 i ) 一d e 9 ( j f a ，b ，。，) = l ， 从而a 在b 哟百n 内至少有一个不动点因此，问题( 2 1 1 ) 至少有一个非 零解 注2 2 1 在定理2 7 中，要求，有负的下界，并没要求其非负 下面我们给出正解和负解的存在性定理 定理2 2 2 设( ，1 ) 一( j r j r 3 ) 成立，且满足条件f 2 2 圳和f 2 2 圳若 u ，( ，让) o ，v ( ，u ) 【o ，1 1 ( 一，+ o 。) ， ( 2 2 1 8 ) 则问题俾_ f j ) 至少有一个正解和一个负解 证明由( 2 2 1 8 ) 可得a ( j p ) c 尸，其中a 由( 3 2 5 ) 定义利用和t 1 1 c o r c m 2 1 相似的方法( 取6 = 0 ) ，则由引理1 2 和引理1 3 ，存在0 r 1 r 2 使得 i ( a ，b 。n 尸 秽) = i ，i ( a ，辟：np6 ) = 0 ( 2 2 1 9 ) 则 j ( a ，( b 心n p ) ( b ，n p ) p ) = i ( a ，b 吨np ) 一i ( a ，b n ，j 1 5 i ) = 一1 ( 2 2 2 0 ) 则a 在( b 他np ) ( 研。n 尸) 内至少有一个不动点，从而问题( 2 1 1 ) 至少有 一个正解 定义厂( t ，札) = 一厂( ，一u ) ，讹( 一o 。，+ ) 并且定义 ( a 2 u ) ( ) ：“h ( ，s ) n ( s ) 氕s ，札( s ) ) 如， f o ，l 】 ( 2 2 2 1j ，0 l o 睦阜师范大学硕士学位论文 则_ 2 ( ，) ) cp ，且a 2 有一个不动点鑫p ，即a 2 五= 五。 由于厂( s ，鑫( ) ) = 一，( ，一霞( ) ) ，v f o ，1 】，我仃1 得 ，i 一鑫( t ) = 日( ，s ) 8 ( s ) ，( s ，一鑫( t ) ) d s = ( a ( 一蠢) ) ( ) ， 【o ，1 】( 2 2 2 2 ) ，0 由该等式可知，一鑫是问题( 2 1 1 ) 的一个负解 注2 2 2 在定理2 2 中，没要求，有下界 2 3 推论和例子 在这部分，我们将给出定理2 1 的一个简单的推论，并给出一个例子作为 定理2 1 的应用 推论2 3 1 假设定理2 f 的条件满足，则边值问题 ：二：；竺：0 i 篡：，札。s ，三f 。，1 ) ， u ( ) = 凰( ，s 小| s 川( s ) ) 旭 其中 凰s ) = g s ) + 高z 1 州( 和) 张， g ( ，s ) 由俾j 彳，定义 例2 3 1 考虑边值问题 幻“毛八戈“曲) _ o 涎( o ，1 ) 协3 1 ) 【钍( o ) = 札( 1 ) = 詹( ) 班一詹 乱) 班， 、 。 其中 邢川) = 舸高 第二章二阶奇异常微分方程积分边值问题的非平凡解 注意到o ( t ) = 一 ，m ( ) = t ；，a = p = 1 显然o ( ) 在点= 0 奇异计 算可得启。( ) 出 a l ，v ， 1 一ol u l ” l 骢掣：o a l ，v 【0 1 】 t + o 。 u 从而问题( 2 3 1 ) 满足定理2 1 的条件，故问题( 2 3 1 ) 至少有一个非零解 1 2 第三章二阶脉；中微分方程积分边值条件的非负解 在本章中，主要利用l e r a r y - s c h a u d c r 型非线性二择一定理及锥中的k r 蹦一 n o s c l s k i i s 不动点定理讨论带有积分边值条件的二阶脉冲微分方程非负解的存 在性并给出例子作为主要结果的应用 3 1序言及预备知识 近年来，对脉冲微分方程和积分边值问题的研究已非常广泛和深刻，见f 2 8 1 在参考文献【9 1 中，作者利用上下解方法对脉冲微分方程进行了研究在文 献 1 0 】中，作者利用l ( ! r a - y s c h a u d c r 型非线性二择一定理及锥拉仲一压缩不 动点定理，得到了脉冲微分方程多个非负解的存在性在文献f 1 】中，作者给 出了一类二阶微分方程三点边值问题的g r c c n 函数的具体的表达式 鉴于以上文献，我们主要讨论带积分边界条件的脉冲微分方程 h ( ) + ，( 瓦u ) = o ，k 舭 ) i 矧- 乩( u o ) 忙1 2 ，川， ( 3 1 1 ) i u 心) b 。= 以( u ( k ) ) ，七= 1 ，2 ，川， 【u ( o ) = i ，：? c t ( s ) u ( s ) ( f s ， “( 1 ) = i ，：( s ) u ( s ) ( z s ， 其中j f c 【j r ，瓞】，c ￥，p l 1 【o ，1 】，为给定的函数，且对任意的? ； o ，1 】， 有o r 上( ) ，( ) ，= o ，1 】，o l 2 七 。 o ) ， 在( 3 1 1 ) 以及下文中，1 z m k ) 可理解为? z 2 ( t 七) 在，) ( ? 1 ( j 1 】中，我f f j 定义范 数 l l t l l p e ，= m a x _ ( 1 l t l l p c ，i i u ，i i p c ；) ，1 1 3 第三章一类混合单调算予的不动点定理及其应用 其中 u l l 尸c = s u pl 札( ) l ，l l u | | p c t = s l l pi “( ) j ， 显然， ，c 1 【o ，1 1 在上述范数下足一个b a n a c h 空阀记，) c 1 o ，l i = ：扣： z 映l ，到r ，u ( ) 在t t 奄处连续可微，且u ( 毒) 存在， 七= 1 ：2 ，饥) ： 则在下述范数下 u i i p c =s u p t j l u ( ) p c l 【o ，1 】也足一个b a n a c h 空间令l ，= j 1 ，2 ，。】映射u p c l 【o ，1 j n c 2 ( j ) 称为问题( 3 1 1 ) 的解，若其满足方程( 3 1 1 ) 在我仃j 的主要结果中，将用到以下引理： 引理3 1 1 如果u p c i o ，1 1nc 2 ( j 7 ) 满足 其，l 及 ( ) + ，( ，u ) = 0 “m ) = “，( 0 ) 一z m ，扎) 如+ ( 七= 1 ，2 ，一，几) ，( 3 1 2 ) 毒) 刈心矶以( 3 1 3 ) o 七 u ( f ) 刮。) “( 。) 一z ( - s ) m ，u ( s ) ) 幽+- ，0 毒) 一扎( 知) 】 0 + m 毒) 一( 七) 】( 一z 膏) ， t j 0 “ 对于该引理的证明，读者可参阅【20 】 为书写方便，我们引入下列记号令 = 小t ，( 伽小删s ) 出 + q ( ) 【厶( ( t _ i ：) ) + ( 一k ) 以( “( 训出 0 0 k t n ( t ) 陬( 扎( ) ) + ( 1 - 七) 。 ( “( 七) ) 皿 0 七 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 其中9 ：r r 是已知函数， 谗，u ) = “( ) ) + ( 一k ) 以( u ( 七) ) h t 。( t ：) ) + ( 1 一k ) 以k ) ) 1 o “ s j ， ( 3 1 6 ) m + ( 1 7 0 ) 慨】+ ) m 舰“+ ( 1 7 f j ) ，小 证明首先，我们假设u p c i 【0 ，1 】nc 2 ( j ，) 是问题b v p ( 3 1 1 ) 的饵令 u ( f ) = “( ) 一。( t ) ，其中。( ，) = ( 1 一) 卫( ) + z 1 则u p c l f o ，1 】nc ? 2 ( l ，7 ) 且 从而，由引理3 1 1 ，有 = 以。) 一z m ，小) + 牡( s ) ) d s + 刮( 。) 一z 。m ，u ( 圳如+ 瞰t j ) 一札七) 】 o k 1 5 ， ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 一 一 幺 互 b 扎 ， = | | t ，h v 、l， 、，执0j ，rj钆坼以 “ 一 = 。 ) k “ 砘k k 川加 籼绯卜 & n | | i l 。 斗0 = h 圳 = 吣以 以 第三章一类混合单调算子的不动点定理及其应用 且 ， u ( ) = ( o ) + u 7 ( o ) 一( 一s ) ，( s ，扎( 5 ) ) ( f s + 一一 o ( 3 1 9 ) 眦u ( 七) ) + ( 一k ) 以( u ( “) ) 】，z 、 o k 在( 3 。1 8 ) 和( 3 1 9 ) 中，取= 1 ，有 u ，( 1 ，( 0 卜1m 州s ) ) 喜脚陬) ) _ ( 3 - 1 1 。) 且 u ( 1 ) = u ( 。) + u ( 。) 一1 ( 1 一s ) ，( s ，“( s ) ) d s + u ( ) ) + ( 1 一k ) 以( “( k ) ) ， 利用上式，可得 以。) = m ) 一们) + 1 ( 1 叫m ，“( s ) ) 以s 把( 3 1 1 1 ) 代入( 3 1 9 ) ，可得 t ， ( 3 1 1 1 ) 小) - z ( 1 叫( s 江( s 胂s 一苫“) ) + ( 1 _ 靠m 刚】 一! ( 一s ) m ，“( s ) ) d s + 【厶( “( 七) ) + ( 一k ) 几( “( 训 j o o 三i 2 zg ( 铀( s 一( s ”如+ 。三。 。) + 。“砖嘶 跏】 1 6 十 】 0 以 “ 、i 爿州。蹦 j 一 九 如 10 “ 卜 ， d 盯 曲 u k 1 。 2 3 川 u 以“ 一+ o u k 姒 一 曲阜师范大学硕士学位论文 则 “( ，) = 。( t ) + u ( f ) = 【( 1 叫“( 。) + 州1 ) 】+ 1g s ) m ，u ) d s + = f ( 1 + 【厶( “( ) ) + ( t 一知) 以( u ( 七) ) 】 厶( 札( 七) ) + ( 1 一七) 以( u ( ) ) 】 ) z 1c t ( s ) “( s ) c f s + 1 ( s ) u ( s ) c f s 】+ z 1 g ( ，s ) ，( s ，“( s ) ) r z t + ( 一七) 以( “( ) ) 】 【 ( u ( t k ) ) + ( 1 一t k ) 。几( f t ( f 七) ) 1 叫z 。+ 】+ 1 m ，s + 州f ， 在该式两端同乘以q ( ) ，并对从0 到1 积分，便得 c t ( ) u ( ) d = 1 ( 1 一) 。( ) ( f 1c t ( s ) 儿( s ) ( f s + 1 f ( 3 1 1 3 ) 融( f ) 出1 以咖小) 如 + 小t ，( 小铀川s 州圳如) 班 + 小t ，( 。裂小心瑚邶“，珈卜 1q t ( 。乏。川，吨川泖枷】卜 1 7 ( 3 1 1 4 ) 吣 吣 0 o 一 第三章 一类混合单调算子的不动点定理及其应用 同样，在( 3 。1 1 3 ) 两端同乘以( z ) ，并对从0 到1 积分，我们有 z 1 ( ) “( ) d = z 1 ( 1 一t ) p ( ) d tz 1 q ( s ) “( s ) d s + 小出肛s m s + 和z ，( 伽如小舭油) 砒 + z 1 卯) ( 0 三。阶肿c 川胁c u 他川卜 一z 1 聊c 乏。州埘，吨川圳，】卜 ( 3 1 1 5 ) 从而，由( 3 1 1 4 ) 和( 3 1 1 5 ) ，可得 小咖拈锄 ： 不巧可壬 汇百f 劬地1 + ( 1 7 n ) 慨】+ 地，。、 ， = 一 f v ，f w j + i i 一，vi ，v ，廿- l + ，w 一 1 一i ( 1 一一，) ( 1 一) 一m ，j 。p 0 。rm ”“。d j ( 3 1 1 6 ) z 1 雕m 伽- ， 一7 ， 2 矿百丽毛f 丽尥t + ( 1 一) t t 】- 把( 3 1 1 6 ) 和( 3 1 1 7 ) 代入( 3 1 1 3 ) ，既得 ，i u ( t ) = 【( 1 一) z o 十z 1 】+ g ( ，s ) ，( s ，u ( s ) ) d s + 彬( ，札) ， ，0 即u ( ) 是方程( 3 1 5 ) 的解 另一方面，我们设札p 【o ，1 】是方程( 3 1 5 ) 的解显然， u ( ) i 拄“= 厶( u ( 七j ) ，( 七= 1 ，2 ，n ) ， 印) = 小s m s 川) = 跏s 炳d s 曲阜师范大学硕士学位论文 对直接求导可得， 且 “7 ( ) = 一z 。+ z ，一z s ，( s ，t z ( s ) ) d s + 一( 1 一一) 厂( s ，“( 一) ) 以一 十以( u ( ) ) 一 ( u ( 七) ) + ( 1 一七) 以( “( 良) ) 】， z 0 k o 使得i 再磊再丽 1 定理3 2 1 若( h 1 ) 一( 玩) 成立，则问题p i f j ) 有一个解让p c i 【o ，1 】n c 2 ( j ，) ，且有忆i l p c ，。， ( 3 2 2 ) 设a 由( 3 1 6 ) 定义，容易证得a ：尸c 【o ，l 】_ p c 【o ，1 】是全连续的定义 u = u p c f o ，1 1 i l ? 州，c r ) 由引理3 1 3 可得，4 在可中有一个不动点事实上，我们只需说明在引理 3 1 3 中，a 2 不可能成立首先，若( 3 2 1 ) 无解，则显然，引理3 1 3 中a 2 不成立另外，设u p c i 【o ，1 】n c 2 ( j 7 ) 是( 3 2 1 ) 的任意一个解，由( 日1 ) 及 ( ) ，可得，u ( ) of o ra l l j 再由( 3 ) 和( 阢) ( 注意到( r ( ) 口( ) 对 v f o ，1 】) ，我们有 ，1 i 札( ) l ( 1 一) z o + z 1 + g ( ，s ) ，( s ，仳( s ) ) d s + w 7 ( ，札) z l + 妒( 1 l “l l p c ) s u p g ( s ) d s + ( 1 l 儿l i p g ) z l + 言妒( 1 l u l l p c ) + m ( i i u l i | f e ) ， ， 因此， 再蒜面而丽n ( 3 2 3 ) z 1 十；妒( 1 i u l i pc t ) + 也( i l f l i p c ) 一一 一叫 由( 凰) 及( 3 2 3 ) 知，l u i l 尸c 7 1 ，这说明引理3 1 3 中，a 2 不成立从而可 得( 3 1 1 ) 有一个解让尸c 1 【o ，l lnc 2 ( l ，7 ) 且忆l l p c r ，由相似的方法，我 们可推导出l l u i i p c r ，故可得o | i u l i 尸c o 使得( ，u ) u ：( ) 叫( 札) ，对v ( ，扎) 【蛳，6 】i o ，+ o 。】，其中似= 学 氏= 半，而。= o ，k + l = l i 2 1 第三章一类混合单调算子的不动点定理及其应用 ( 所) 对每个七 o ，1 ，凡 ，存在厶o l r ，使得 z o + 叫( 半兄) s u p - ，它g ( ，s ) ( s ) 如 1 ， l ， 其中。詹和6 七与( 玩) 中相同 则问题p j j ，有两个解“l ，u 2 p c l 【o ，1 】nc 2 ( 7 ) 且l | | 址l l l p c 7 i f u 2 f l p c r ，对v ， 证明令e = ( p c 【o ，1 】，p c ) 及 k = u p c f 0 1 】：u ( ) o 对f 0 1 】，且 。瓢1u ( 蛇导蚓戮l m r 南乩1 ， 显然，k 是e 中的一个锥设a 由( 3 1 6 ) 定义，则a ：k _ 尸c o ，l 】是全 连续的下面证明a ：k _ k 设缸a ，则由( h 1 ) 及( 也) 可得，a u ( ) ( ) 对t j 对固定的惫 0 ，1 ，n ) ，由引理3 1 5 可得 。黜。，喇竽吲 从而，a ：k _ k 记 i “( t ) i q l = u 尸c 【o ，l 】：l l 扎0 p e l ) ， q r = u p c 【o ，1 1 ：l i u | l 尸c 7 ) ， q r = 札p c 【o ，1 】i i u l i p c 。誊墨。 z 。+ ，g c t ，s ，c s ，u c s ，d s ) 独+ 酬cm 州啪胂s ) 独刈半，酬cg s 川幽) l = l l u i i 尸c ( 3 2 5 ) 故得i i a u 0 j p c ；i u l i p c ，对任意的u kn0 q l 下面说明l i a 训p e i i t i i p c ，对任意的让k n a g 为此，取u k n a 皿， 则l l 札i l p c = r 由( 上如) ，( 上，4 ) 及( 风) ，可得 ，1 4 u ( t ) = ( 1 一) 跏十z 1 】+ g ( ，s ) ，( s ，钆( s ) ) d s + ( t ，u ) ，0 1 z l + 考妒( 1 l “i l ，) c ) + m ( 1 l 乱l l f j f ) r = l l 钍i i j p c 对任意的 o ，l 】则有i f a 训l p c i i “0 尸e ，对任意的“kn 试2 ， 另有( 利用( 风) ，同上述方法相同) | l a 扎i i p c l i j d e ，