高中解析几何问题解决的思维策略训练的实验研究——西南师大附中数学教学微型实验.pdf

a n e x p e r i m e n t a ls t u d y o f t h et h i n k i n g s t r a t e g yt r a i n i n g o f a n a l y t i c a lg e o m e t r y p r o b l e m s s o l v i n gb y s e n i o rh i g hs c h o o ls t u d e n t s m a j o r b a s i cm a t h e m a t i c s t u t o r p r o f e s s o rs o n g n a i q i n g p r o f e s s o rl ip i n g s p e c i a l t y m a t h e m a t i c se d u c a t i o n a u t h o r z h o ux i a n f e n g a b s t r a c t t os o l v em a t h sp r o b l e m si st h em a i nw a yo fi m p r o v i n gt h ea b i l i t yo ft h em a t h s t h i n k i n gs t r a t e g yf o rt h es t u d e n t so fs e n i o rh i g hs c h 0 0 1 m e a n w h i l e m a s t e r i n gt h e t h i n k i n gs t r a t e g yi st h ek e y t ol e a r nh o wt os o l v em a t h s p r o b l e m sf o rt h es t u d e n t so f s e n i o rh i g hs c h 0 0 1 b a s e do nt h e p r e v i o u s d a t aa n dt h e e x p e r i m e n t a lr e s e a r c h t h i sp a p e r d e m o n s t r a t e st h e n e c e s s i t y a n d p o s s i b i l i t y o ft h e t h i n k i n gs t r a t e g yt r a i n i n g o f a n a l y t i c a lg e o m e t r yp r o b l e m ss o l v i n gf o rt h es t u d e n t so fs e n i o rh i g hs c h o o l a n d f u r t h e re x p l o r e si t sa p p r o a c h e sa n dm e c h a n i c s 1 1 1 i s p a p e r i so f g r e a tv a l u e i np r o b i n g i n t ot h ei n n o v a t i o no fm a t h e m a t i c st e a c h i n ga th i g hs c h o o la n db r i n g i n gf o r w a r d sa t e a c h i n gp a t t e r nf o rp r o m o t i n g t h eo v e r a l lq u a l i t ye d u c a t i o na th i g hs c h 0 0 1 t h i sp a p e r a d o p t st h et e x t b o o ko f a n a l y t i c a lg e o m e t r yf o r s e n i o r h i g hs c h o o la n d a n8 h o u rt h i n k i n gs t r a t e g yt r a i n i n gp r o j e c ti sc o n d u c t e do nt h es t u d e n t sf r o mg r a d e2 o ft h ea t t a c h e dm i d d l es c h o o lo fs o u t h w e s tc h i n an o r m a lu n i v e r s i t yw i t h 1 1 1 e r e s u l t sa r ea sf o l l o w s t h e s u b j e c t sa r eo v e o o y e d a tt h ea c h i e v e m e n t s o f s o l v i n gt h ep r o b l e m s a n dt h i s i nt u me n h a n c e st h e i ri n t e r e s ti na n a l y t i c a lg e o m e t r y t h e r ei s a p p a r e n te f f e c to ft h i n k i n gt r a i n i n g n l et r a i n i n ge n a b l e st h es u b j e c t s p r o p e rs t r a t e g i e s f o rs o l v i n gp r o b l e m sa n ds i g n i f i c a n t l yi m p r o v e st h e i r a b i l i t y i n d e a l i n g w i t h p r o b l e m s t h e s u b j e c t sm a k e r e m a r k a b l ep r o g r e s sw i t ht h e i ra c a d e m i c s t u d y t h e s u b j e c t sh a v eah i g ha s s e s s m e n to ft h i n k i n gs t r a t e g yt r a i n i n g a n db e l i e v et h a t i ti sv e r y h e l p f u lf o rt h e i rt h i n k i n g k e y w o r d s s e n i o r h i g hs c h o o ls t u d e n t sa n a l y t i c a lg e o m e t r y p r o b l e m ss o l v i n g t h i n k i n gs t r a t e g yt r a i n i n g 匕 高中解析几何问题解决的 思维策略训练的实验研究 西南师范大学附中数学教学微型实验 一 问题的提出 多年以来 我国中学数学教学为国家培养了一大批具有创造力的数学人 才 也为其他学科人材培养作出了重大贡献 自新的教学大纲实施以来 各地 在教学观念 方法 模式上都发生了积极的转变 但目前 中学数学教学仍存 在许多问题 中学生在数学学习上费时很多却收效甚微 实际上 中学生对数 学学习最感到困难的不是数学基本知识 基本概念等方面 而是常常对解决数 学问题感到束手无策 他们不能从解决数学问题中获得成功体验 相反常在解 题过程中遭受失败 造成学生过重的学习负担及精神压力 使得厌学情绪大 增 不少学生因此而逃避数学 视数学为畏途 失去对数学学习的兴趣 因此 也缺乏分析问题和解决问题的能力培养 发展片面 缺乏适应能力 创新意识 和实践探究能力 学生也因此而缺乏必要的数学思维品质 影响了学生的全面 发展 造成这种状况的原因主要在于教学中忽略了学生对数学思想和数学方法 的掌握 只是千方百计通过不断增加解题数量去让学生熟悉题型 加大难度 加人训练量 而不注意对解决问题的方法 解决问题的思维策略加以总结和归 纳 不注重解题规律的探究 忽视解决问题思维能力的培养和提高 其结果 是 师生沉湎于补课 题海战术 补课的恶性循环中等等 目前中学数学 教学中解题教学的失误主要体现在 1 重视解题但缺乏归纳总结 忽略解题思维策略的教学 忽略解题基本 规律的探究 2 数学教科书只包含解决问题所需的数学知识 概念和规律性知识 没 有涉及解题策略知识 3 未将解题思维策略的学习交给学生 学生只能从隐藏着策略知识的例 题和练习中自发得到 教师在教学过程中往往为了节约时间 压缩解题途径的 探索过程 致使相当多的学生缺乏解题策略 4 即使教师作了一些解题思维策略的探讨和教学 但学生并未真正理解 和掌握 对策略知识生搬硬套 缺乏灵活 系统学习的指导 5 学生解题时对大脑已储存的策略的搜索以及搜索是否恰当 也存在很 大问题 针对这些问题 我们提出 在教学过程中 加强数学问题解决的思维策略 的训练 实际上 数学问题解决的质量是学生数学思维素质的主要表现 我国 高中数学教学大纲明确指出要培养学生运算能力 逻辑思维能力 空间想象能 力 其中数学思维能力是核心 解决问题的能力是数学思维能力的综合体现 学生通过数学学习和数学问题的解决 使自己的思维能力得到不断的提高 所 以有人称 数学是思维的体操 而问题是数学的心脏 数学的真正组成部分 是问题和问题的解决 因此数学学习的核心是培养解决数学问题的能力 正如 波利亚指出的 中学数学教学的首要任务就是加强解题训练 掌握数学 就意味着善于解题 本世纪7 0 年代 美国数学指导委员会也曾提出 学习 数学的主要目的在于解题 然而这里所说的解题并不是传统意义上的找出问 题的答案 数学教学必须适应信息社会的时代要求 注重传授知识与能力培养 并重 强调以学生为主体 克服以教师为中心的传统倾向 既要注意学生的外 部操作活动 又要分析学生内部的思维活动 教师应创设问题情景 以探索性 的语言代替结论式的陈述 去揭示知识间的内在联系 即数学思维过程的启迪 与引导是具有重要意义的 让学生掌握思维策略是学生学会解决数学问题的关键 数学问题的解决是 一个复杂的心理过程 其中最关键的活动是思维 整个数学思维活动中也充满 了数学问题的角翠决 数学的特点之一就是数学的许多问题的解答是有法则的 这些解决问题的法则也就是解决问题的策略 数学教育教学过程中 离不开数 学问题的提出和解决 同时又通过数学问题的解答练习 巩固所学的数学知 识 提高数学能力 著名教育心理学家奥苏泊尔更是认为使学生掌握思维策略 是教学的关键任务 数学思想和数学方法是数学的灵魂 它是评估数学教学质 一2 一 量的深层标准 在数学教材中 也处处渗透了数学的思想和方法 如几何教材 中渗透了公理化和演绎推理的思想方法 在推理论证中 介绍了分析法 综合 法 反证法以及化归思想 在代数教学中 字母代替数的思想方法 等价变形 和同解变形的思想方法 数形结合 图形变换等思想方法 这一切都为发展学 生思想能力提供了丰富的手段 然而 这些数学思想方法大多都以隐藏的形 式 渗透在学习新知识和应用知识解决问题的过程中 这就要靠我们在教学过 程中充分挖掘并显现出来 使学生领悟并逐步运用这些思想方法去解决问题 掌握问题解决思维策略可以减轻学生负担 提高学习质量 问题解决能力 的高低在很大程度上取决于解决问题的策略的掌握 教师要引导学生进行问题 解决思维策略的分析 使练习起到以少胜多的作用 学生只要通过完成一定数 量和难度的练习 就可以达到不仅巩固了知识 也提高思维能力的目的 学生 的问题解决能力也随着一系列策略的运用而发展提高 因此 在数学教学中注 重学生问题解决思维策略的培养和训练 可以减轻学生负担 提高学生数学能 力 虽然国内外有不少专家从心理学角度对问题解决和问题解决的思维策略进 行了研究 如杜威的反省思维模式 暗示一一问题一一假设一一推理一一验 证 华莱士的四阶段模式 准备一一孕育一一明朗一一验证 林崇德的 中小学心理能力发展与培养实验 等 但是 这些研究主要注重应用的一般 性 重点在科学理论研究上 所以很少具体落实到学科研究中 本课题旨在 使研究内容具体到数学学科 使研究对象具体到高中学生 研究目的在于提高 思维能力 鉴于此 本研究者尝试改变传统的教学生做题的方式 而以高中解析几何 为实验内容 训练学生的思维策略以替代传统的解题教学 二 高中解析几何问一解决的思簟策略及其相关研究 一 高中学生的认知特点 根据对当代发展心理学最有影响的皮亚杰的心理发展观 认为儿童思维发 展基本上分为四个阶段 1 感知运动阶段 o 一2 岁 2 前运算思维阶 一3 一 段 2 7 岁 3 具体思维阶段 7 一1 2 岁 4 形式运算阶段 1 2 一1 5 岁 信息加工论者认为儿童的认知能力的发展之所以与成人不同是由于知识 和经验的储存不够 或者说儿童心理与成人心理有本质的不同 儿童是不成熟 的 儿章没有足够的信息储存 儿童的决策能力差 中国系统研究儿章心理学 的专家朱智贤 用辩证唯物主义的观点探讨了儿童心理发展中关于先天与后天 的关系 教育与发展的关系 年龄特征与个别特点的关系等一系列重大问题 在教育与发展的关系中 他提出了一种表达方式 教育一一领会 掌握 知 识 经验 发展 高中学生经过婴幼儿 小学 初中等阶段的连续发展 在生理发育上已达 到成熟 在智力发展上已接近成人水平 在个性及其他心理品质上表现出更加 丰富和稳定的特征 这里我们重点谈谈高中学生的智力发展情况 高中生的智力发展 一方面是表现在其观察能力 记忆能力 想象能力等 方面的发展变化和完善上 但更主要的是体现在其思维能力的提高上 在初中 阶段 虽然抽象逻辑思维在个体的智力发展中占优势 但在很大程度上还需要 经验的支持 而高中阶段 学生的抽象逻辑思维则属于理论型 高中生已能在 头脑中进行完全属于抽象符号的推导 能以理论作指导去分析 解决各种问 题 其思维特点 1 高中学生在思维中运用假设的能力不断增强 能够按提出问题 明确 问题 提出假设 检验假设的途径 经一系列抽象逻辑的过程 达到解决问题 的目的 在解决问题之前能事先打算 计划 方案及其策略等 思维具有预见 性 同时 学生思维活动的自我意识或监控能力更加明显 能够意识到自己的 智力活动的过程 并在一定程度上加以控制 使问题解决的思路更加清晰 判 断更加明确 也就是说 高中生的逻辑思维发展已具有充分的假设性 预见性 及内省性 2 高中生的形式逻辑思维已获得较为完善的发展 在其思维活动中占主 导地位 同时辩证思维也获得迅速发展 其思维过程包括从特殊到一般的归纳 过程和一般到特殊的演绎过程 能够从具体上升到理论 又用理论指导去获得 具体知识 逐步认识到一般和特殊 归纳和演绎 理论和实践的对立统一关 一五 系 能够从全面的 运动变化的统一的观点认识问题 分析问题和解决问题 也就是说 高中生的形式逻辑思维处于优势 辩证逻辑思维迅速发展 3 从初二年级开始 学生的抽象逻辑思维开始由经验型水平向理论型水 平转化 到高二年级 这种转化初步完成 各种思维成分基本趋于稳定状态 个体的思维差异已基本趋于定性 也就是说 逻辑思维的发展在高中阶段进入 成熟期 高中学生的年龄一般是在1 4 岁到1 8 岁 这个阶段在儿童心理学上通常称为 青年初期 它是一个人独立走向社会生活的准备时期 也是一个人开始严肃考 虑自己未来生活道路的时期 这一时期是人的一生最宝贵最有特色的黄金时 代 我们必须重视他们的学习 生活和工作 发展他们的智力和能力 促使他 们良好个性品质的形成 培养他们成为社会的栋梁 由此看来 高中学生正处于思维能力迅速发展的阶段 教学必须以提高思维 能力为目的 采用相应的思维训练方式 本实验希望通过高中解析几何问题解决 的思维策略训练的教学实验 能够探索出一个有效的方法去提高他们的数学思维 素质 从而提高他们的数学能力 与智力发展相呼应 高中生的各种个性品质趋 于稳定和成熟 而且随着认知水平的提高及生活经验的积累 其自我意识高度发 展 价值观确立并且有独立自主的需求 因此 教师也要有的放矢地进行教育 二 有关问一解决及相关研究 问题解决是8 0 年代由美国兴起 逐步风靡全世界的一种数学教育模式和学 习活动 是指当人们遇到一个用已有知识和经验不能直接解决 又没有现成的 对策 答案或解法的问题时 所引起的寻求处理这个问题的复杂心理活动 最早对问题解决给予专论的是威廉 詹姆斯 他将解决问题描述成通向结局 的手段没有发现时的一种探索 随后 问蹶解决研究得到了发展 二十世纪以 来 关于问题解决的研究增多 近年来有关学科问题解决的研究取得了长足进 展 主要流派有 1 分阶段的问题解决观 该派最有影响的代表是波利亚 牡威 华莱士 他们把问题解决描述成循 一5 一 序渐进的分阶段的程序 如波利亚设计了一个4 步骤的程序 弄清问题 拟定计划 实现计划 回顾 并设计了 怎样解题表 第一 你必须弄清问题 第二 找出已知数 与未知数之间的联系 如果找不出直接的联系 要考虑辅助问题 最终得出一 个求解的计划 第三 实现计划 检验每一步 第四 验算所得到的解 有否 其他解法 本解法或结果能否用于其他问题 这四步组成了一个完善的解题系 统 它集解题思想 解题过程 解题思路 解题方法等于一体 融理论和实践 于一体 通过它 学生可以学会解题 学会思考 从而成为培养学生独立探索 能力的一条主要而有效的途径 杜威认为问题解决由产生困难 困难的界定 借助已有知识找到解决问题 的方法 检验假设 产生迁移五个步骤组成 与此类似 华莱士把问题解决描 述为 准备 包括界定和研究问题 酝酿 解决问题前的相对静止状态 顿情 想到不能的解决办法 证实 检验解决办法 四个程序 这种观点强 调问题解决是一个循序渐进的过程 2 联想主义的问题解决观 该观点将问题解决过程看作一种联想的过程 在此过程中 适宜的联系得 以建立并通过强化而巩固 问题得以解决 而不适宜的联系则逐渐消退 问题 就无法解决 3 格式塔理论的问题解决观 格式塔心理学提出了与联想主义完全不同的观点 认为问题解决并不是观 念的简单联结 而是对问题情景的整体理解 是用结构的豁然改组或新结构的 豁然形成 强调问题解决的 顿悟 性质 该理论对直觉 灵感的研究 对复 杂问题解决的研究有一定的启发作用 4 信息加工理论的问题解决观 认知理论心理学从信息加工观点出发 将人看成主动的信息加工者 将问 题解决看作是多问题空间的搜索 既使问题的当前状态发生各种变化以逐步缩 小问题空间 最后和目标状态相匹配的过程 以纽威尔和西蒙为代表的认知心 6 理学家研制了模拟人解决问题的计算机程序 该程序适用于从定理证明到河内 塔以及传教士和野人过河等多种不同性质的问题解决 该观点不仅推动了人类 问题解决内部机制的研究 而且对探讨问题解决的行为操作模式也有一定的帮 助 虽然对 问题解决 有不同的解释 从传统意义上讲 解题就是 解决问 题 即求出问题的答案 它注重结果 注重答案 现代兴起的 问题解决 比传统意义上的解题有了很大的发展 综合以上几个方面对问题解决的观点 我们可以看出 现代兴起的 问题解决 更注重解决问题的过程 策略以及思 维方法 总之 问题解决 是一种心理活动 是指人们在日常生活和社会实践 巾 面临新情境 新课题 发现它与主客观需要的矛盾而自己却没有现成的对 策时 所引起的寻求处理办法的一种心理活动 问题解决 是 个过程 即 将先前已获得的知识用于新的不熟悉的情境的过程 问题解决 是一个目 的 问题解决 是一种能力等等 各种看法其本质是共同的 即在教学中为 学生提供一个发现 创新的环境和机会 为教师提供一条培养学生解题能力 自控能力和应用数学知识能力的有效途径 影响问题解决的因素有客观因素和主观因素 其中 主观因素是影响问题 解决的根本因素 主要包括四个方面 相关知识 解决问题必须要求解决者具备一定的背景知识 因为解决问题 必须辨明问题 对问题进行适当表征 这必然涉及相关知识 包括有关的概念 和法则等 只有依据有关的知识 才能为问题的解决确定方向 选择途径和方 法 相关知识包括基本知识 专业知识 经验知识以及知识经过组织而形成的 知识结构 良好的知识结构的形成对问题解决尤其重要 它可以提高知识提取 的速度和准确度 智慧水平 它是影响问题解决特别是创造性问题解决的重要因素 智力中 的推理能力 理解力 记忆力 分析能力和信息加工能力等都影响问题的解 决 一 一 解题策略 问题解决过程中 需要有监控调节成份的参与 负责这方面成 份的就是解题策略 解决者采用的途径和方法以及在问题解决过程中的不断纠 错 舱控的能力是影响解决者采用最优途径解决问题的重要因素 态度闪素 态度因素包括情感和意志两方面 它们在问题解决中起着不可 缺少的重要作用 此可见 相关知识是解决问题的基础 智慧水平是解决问题的条件 解 题策略是解决问题的关键 态度因素是解决问题的准备状态 显然 解题策略 的研究剥问题解决有重要意义 三 有关思堆策略及相关研究 策略 意即战略 计谋 战略学 策略即指个体在信息加工活动中 根 据一定要求和情况而采用的一些解决问题的方式 方法 一系列的问题解决研 究发现 策略是影响思维过程的最直接和最重要的因素 某种特定的策略与特 定的思维加工过程以及思维张效直接相关 七十年代 加涅在他的学习结果分类中 将认知策略作为一种特殊能力从 一般智慧技能中划分出来 他认为 认知策略是学习者用以支配自己的心智加 工过程的内部组织起来的技能 认为智慧技能是运用符号办事的能力 是处理 外部世界的能力 而认知策略是处理内部世界的能力 是自我控制的能力 认 知策略包括认知过程的策略 如注意 信息的编码和提取等 也包括思维过 程的策略 如概念形成 问题解决中的策略和元认知技能 澳苏泊尔把解题 策略定义为选择 组合 改变或者操作背景命题的一系列规则 策略的功能在 于减少尝试于错误的任意性 减少解决问题所需时间 提高解决问题的效率 7 0 年代中后期以来随着现存的教育体系和教学方法培养出来的学生 与社 会发展要求极不适应的矛盾的尖锐化 开发智力 发展思维的研究就越来越成 为研究的热点 其研究最为显著的发展集中表现在问题解决的思维策略训练的 崛起和发展上 思维策略训练的中心内容就是教会学生学会思考 学会解决问 题的策略 对于思维策略 国内外已有不少著名的研究 心理学家们编制了种种专门 训练思维策略的教程 通过独立开设思维课的途径 去增进和改善人的智力 美国 1 本 委内瑞拉 以色列等国已在各级学生中广泛开展了此类实验与训 练 取得了令人瞩目的成果 从目前研究结果来看 思维策略的训练分为两大 类 1 通用思维策略训练 这类训练不涉及任何具体知识 单独开设思维训练课 训练思维的一般方 法和技能 如弗尔斯坦的工具强化教程 1 9 7 9 1 9 8 0 它由1 5 套系列强化 工具组成 如按要求把零乱的点勾画成一组几何图形 并执行一系列指令和逻 辑推理 德波诺的学思维教程 1 9 7 6 1 9 8 5 通过大量的日常生活的问题情 景 训练学生探讨想法的正反两方面 考虑事情的各种因素 分清主次 寻求 更多的可能性等多种思维方法 利普曼的儿童哲学训练方案 该方案通过学习 者阅读一系列文章 而参与其所刻意安排的思路 训练的思维技能有提出因果 关系 进行演绎推理 鉴别一致和矛盾 归类 用类比进行思考等3 0 多种 布鲁姆的授予新手专家思维策略的训练方案 布鲁纳曾在芝加哥大学给大学生 进行解决问题的训练 通过训练之前的相关综合考察 将学生分榜样组和补教 组 两组学生的学习动机 努力程度和智力方面相同 但榜样组学生在综合测 验中表现更出色 训练方法是让两组学生都大声说出自己解决问题的过程 经 过十到十二次训练 他们比同等能力和背景 但未接受训练的学生相比提高了 0 5 到o 7 个等级点 并表现得更自信 波利亚的专门培养数学思路的启发式教 程 用图表法或曲线图把待解决的问题呈现出来 或是把复杂的问题用另一种 方式组织 使之简单化 熟悉化 2 学科思维策略训练 此类思维训练是根据学科内容编制的直接传授学科思维的方法和技能 如波利亚的数学思维启发式教程 此教程体现出来的方法有 用图表法把 待解决的问题呈现出来 使问题变得直观易于理解 把一个复杂的问题用另 一种方式组织 使它以简单明了的方式表达 从而复杂的问题就可以简单化 一9 一 把一个复杂的问题分解成一些简单的组成部分 而各组成部分易于解决 最 终复杂问题也得到解决 问题的类比 当遇到一个难题 百思不得其解时 应该转而思考自己所熟悉的相似性问题 通过类比 使难题得到解决 西南师范大学刘电芝教授的应用题解题策略训练教程 主要训练六种策 略 简化法 即删除影响思考的枝节与修饰 突出问题和条件 把错综复杂 的文字描述写成算式 使条件和问题的关系一目了然 图象法 以线段草图 把待解决的问题模型化和直观化 结构训练法 通过题组变化 使学生理解 应用题的由易到难和由难到易的变化 联想法 联想已解决的相同或类似问 题 以解决当前问题 假设法 把复杂关系单一化 使问题容易得到解决 对应法 找出对应条件和对应分率 从而找到解题思路 该教程曾经过实验 班和对照班的对比实验 结果表明 实验班学生经过2 0 课时的训练 解题的平 均成绩高于对照班1 7 8 7 分 西南师范大学张庆林 刘电芝等的几何思维策略训练教程 在对优等生和 中等生对比研究的基础上 总结出五种相互联系的思维策略 直接判断问题 的类型 以便与学过的定理或题型相联系 充分利用已知条件 使已知和 未知取得联系 不仅要善于运用已知条件作顺向推理 还应考虑如何将已知与 未知条件取得联系 在双向推理的基础上作辅助线进行解题 解题的反 思 解题后总结思路 供以后在类似的情境中运用 该教程曾在五所不同水平 学校进行训练 结果表明 训练效果较为明显 此外 卢正勇的 数学解题思路 一书中提出了2 0 种解题思考的一般方 法 过伯祥 杨象富在 中学数学综合题的解法发现 一书中 给出了不断变 换问题的思维策略的四个纲 分解与叠加 等价与映射 试探与猜想 逐步逼 近 蔡上鹤 郭思乐 让学生通过自己的思维学习数学 论数学教学中的思 维教育 一文中把思维策略分为五个格 即升格 降格 缩格 更格 分格 曾晓新在 中学数学的思维与解题方法 一书中提出了解题过程中的思维活 动 常用的思维方法 证明方法和解题方法等等 这些研究不论是从思维的一 般性规律去研究 还是结合学科教学进行思维策略训练研究 都对数学教学具 一1 0 一 有重要的指导意义 各种思维策略训练教程 由于内容不同 其培养的思维要素也不同 因此 必须根据训练的目的进行恰当的选择 才能收到预期的效果 从以上相关研究结果综合来看 解题思维策略应具备四条基本特征 i 普遍的适应性 就是说 它的层次较高 适用面较广 并以全局性的 指导意义而区别于具体的解题技巧 2 直接的可用性 就是说 它是解题思想转化为解题操作的桥梁 完全 可以用来求解具体的问题 并以其直接的可用性而区别于抽象的解题思想 3 方法的二重性 解题策略介于具体的解题技巧与抽象的解题思想之 问 作为方法 一方面是被用来具体解题的方法 另一方面又是运用解题方法 的方法 寻找解题方法的方法 创造解题方法的方法 4 选择的最优化 如果把解题策略理解为选择与组合的一系列规则 这 些规则应该具有迅速找到较优解题操作的基本功能 能够减少尝试的失败次 数 节省探索的时间和缩短解题的长度 体现选择的机智和组合的艺术 解题策略的选择是一种有目的的思维活动 它通常是依据知识经验和审美 判断 对解决数学习题的途径和方法做出总体的决策 常用的数学问题解题策 略有 模式识别 映射化归 差异分析 分合并用 进退互化 正反相辅 动 静转换 数形结合 有效增设 以美启真等等 四 高中解析几何内宴的主蔓教学思想 解析几何是高中数学的重要内容之一 是在采用坐标法的基础上 运用代 数方法研究几何对象的一个数学分支 今天的解析几何学科 已经远远不局限 于运用直角坐标系 还使用极坐标等各种不同的坐标系 作为解析几何的基 础 也不局限于建立点与有序实数对的对应 而拓展到建立向量等基本几何对 象与相应序对的对应关系 至于代数方面 矩阵 群等也成了解析几何的重要 工具 目前 中学解析几何除充实极坐标与参数方程等近代内容以外 还进行 了一些革新的尝试 如加强极坐标使之成为基本坐标系 以向量为基本对象 充实仿射变换等内容 解析几何的主要数学思想 数形结合的思想 用代数观点研究几何问题 建立坐标系 进而建立点与 有序实数对的对应关系 从而实现了点与平面的 算术化 建立起图形与方 程的对应关系 联系和对应的思想 解析几何还涉及到了近代数学的一些基本思想 处处 j h 到联系 对应以及运动变化的思想 点与数对的联系和对应 图形和方程的 联系和对应 直线和斜率的联系和对应 以及各种二次曲线与相应的参数的联 系和对应等等 运动和变化的思想 解析几何把曲线看作动点的轨迹 把方程中的未知量 看作变数 方程就是两个变数之问的函数关系 恩格斯高度评价解析几何的产 生 他说 笛卡尔的变数是数学的转折点 因此 运动和辩证法就进入了数 学 类比和比较的思想 在充分突出解析几何自身在内容和方法上的优越性的 同时 注意综合运用不同学科的方法 可见 运动 变化 对应 联系等基本数学思想和方法在解析几何中起着 决定作用 解析几何以坐标系的研究为基础 以代数方程研究为前提 以圆锥 曲线的定性研究为依据 强调内容和方法的综合运用 重视研究图形的形成过 程 而不满足于定性的结论 对解析几何来说 其体现的思想比内容更重要 事实上 解析几何的思想方法已渗透到中学数学的各部分内容中 初一代数一 丌始就引入了一维坐标 数轴 解方程时又涉及到图像法 对函数的研究 三角分支的展开也离不开坐标系和图像 初等几何与解析几何也产生着越来越 紧密的联系 据此 解析几何教学中应让学生在学习的过程中 养成运用联 系 运动 变化的观点思考问题的习惯 并正确地使用类比和比较的方法 在 充分突出解析几何自身在内容和方法上的优越性的同时 注意综合运用不同学 科的方法 因此 对解析几何问题的思维策略研究更具重要性 另外 解析几何不仅包含丰富的数学思想 方法 而且是整个高中数学的 综合 在多年的高考试题中 常作为大题版块出现 解析几何问题在近年高考试卷中的考察情况 年份 1 9 9 31 9 9 41 9 9 51 9 9 61 9 9 71 9 9 81 9 9 9 2 0 0 0 解析r d i l 问题在 试卷中的题号 2 72 42 62 42 52 42 2 2 2 试卷最末题题号 2 82 52 62 52 52 52 32 2 压轴题 从表中我们可以看出 解析几何问题在高考这种选拔性考试中 不仅每年都 出现 而且常常以大题的形式出现 并且在整套试卷中属中偏难的问题 对圆锥 曲线内容的考查较 考试说明 的要求略有延伸 这也从另外一个角度说明了解 析几何问题对学生数学思维能力的反映是非常充分的 这类题目要在紧张的两小 时之内解决好 如果没有解决问题的好的策略方法 显然是很困难的 然而 高中解析几何教材中只包含了有关概念 定理等规律知识 未涉及 策略知识 解题策略知识不是作为课堂教学的内容明确教给学生 学生的解题 策略往往只能从隐含着策略思想的例题教学中和练习中自发得到 教师在作习 题教学时也未能给学生足够的思维训练 忽略了探求解题途径的思维过程 使 学生缺乏解题策略而不能正确解题 导致学生企图通过做大量练习来达到熟练 解题 增加了学生的学习负担 也制约了学生的思维能力的发展 五 思维簟略对解决解析几何问一的影响 我们在今年暑期的七月下旬做过一个实验 用出声思维法观察优生和中等 生解决解析几何问题的思维策略方面的差异 1 实验目的 了解学生在学完解析几何全部内容后 解决问题思维策略 的掌握对学生解题的准确性 速度等的影响 2 被试 根据高二年级第二学期期末考试成绩和任课教师的综合考察 从中选出四位成绩位于年级前四名的同学作为优生 成绩位于中等名次的学生 中随机选出四位同学作为中等生 3 材料 从近几年高考试题中选出五个不同难度的解析几何问题 附录二 一1 3 一 4 步骤 主试将五个问题逐个呈示给每个被试 要求被试与主试面对面 解题 f 说出正在想什么 怎么做 主试可以作一些事先规定好范围的对话 全过程被记录下来 5 结论与分析 通过出声思维法考察结束后 我们剔除了实验组和对比组 都解答得比较好和比较差的两道题 对两组的解答差异显著的三个题的解答过程 的录音记录进行整理 得出实验组和对照组寻找解题途径的情况比较如下表 直接找到解题走弯路但解出经提示仍不能 组别平均解题时间 途经问题解题 优生组6 分5 0 秒2 人2 人0 中等组1 1 分1 2 秒1 人2 人1 人 第一题解题情况 此题主要考查利用双曲线定义解题的能力 恰当运用定义求解 可以使问 题化繁为简 若解题策略不当 而采用设动圆圆心坐标为 五j 由两圆外切 列出方程解之 则会花费大量时间 而用定义解题 显得快捷 少做多余的功 直接找到解题 组别平均解题时间途径并解答正 走弯路但解出问经提示仍不能 题解题 确 优生组7 分4 0 秒3 人1 人0 中等组1 2 分4 0 秒1 人2 人1 人 第二题解题情况 此题要求熟练掌握直线和圆的基本知识的基础上 准确将已知条件等价转 化 才能迅速解题 直接找出解 组别平均解题时间题途经并借 走弯路但解出经提示仍不能 答案解出答案 答正确 优生组6 分3 0 秒3 人1 人0 中等组1 4 分4 5 秒o4 人0 第三题解题情况 一1 4 一 本题是一个非常典型的数形结合的问题 只需将条件转化为图象 就极易 求出答案 若设出抛物线方程 再用准线与圆相切处理 会导致过程复杂化 陷入解题策略失误引起的困境中 从实验中发现 优等生和中等生解决解析几何问题最大的区别在于动笔前 的思考 优生常常是通过作图仔细分析 找出恰当的解题途经再动笔 如第一 题 此题主要考查利用双曲线定义解题的能力 恰当运用定义求解 可以使问 题化繁为简 若思维策略不当 而采用设动圆圆心坐标为 x y 由两圆外切 列出方程解之 则会花费大量时间 而优生用定义解题 显得快捷 少做多余 的功 第二题要求熟练掌握直线和圆的基本知识的基础上 准确将已知条件等 价转化 才能迅速解题 第三题是一个非常典型的数形结合的问题 只需将条 件转化为图象 就极易求出答案 若设出抛物线方程 再用准线与圆相切处 理 会导致过程复杂化 陷入解题策略失误引起的困境中 可以看出 解析几 何问题的解决若没有恰当的思维策略 就会导致走弯路现象多 解题花费时间 长 解题表达也很长 计算过程复杂致使频繁出错 策略恰当 解题就快捷而 日 运算量小 运算准确 基于以上因素 本人结合有关文献资料 以及高中教学十六年的经验和教 训 在高中解析几何的教学中对学生进行问题解决的思维策略的探索和训练 寻求一条可行的途径 提高学生解决数学问题的能力 三 高中解析几何问一解决的思维策略的构t 根据以上相关理论研究 实验结论和解析几何内容特征 结合一些专业书 刊 吸收了许多优秀教师有关解析几何教学经验 优秀学生的学习方法和技巧 的基础上 本人总结了解析几何问题解决的常用思维策略 有助于提高学生解 决问题的准确度和速度 并构建出以下策略进行训练 1 数形结合策略 由于曲线被看作具有某些共同性质的点的坐标之间关 系的反映 于是 本来是互相对应的几何中的形与代数中的数就可加以统一 为 就数论形 与 依形论数 的相互转换开辟了途径 利用函数图象 几何 图形 方程曲线等几何性质解题 其思路直观 方法简捷 同样 几何问题借 助代数性质求解 其思路自然 方法流畅 数形结合 作为一种数学思想方法 其实质是将抽象的数学语言与直观的 图形结合起来 使抽象思维和形象思维结合 通过对图形的认识 数形的转 化 可以培养思维的灵活性 形象性 使问题化难为易 化抽象为具体 这种 策略大致可以分为两种情形 即借助于数的精确性来阐明形的某种属性 或者 借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系 对于前者 数是手段 形为 目的 而后者形是手段 把数作为目的 把数作为手段的数形结合主要体现在 解析几何巾 2 动静转换策略 动和静是事物状态表现的两个侧面 它们相比较而存 在 依情况而转化 动中有静 静中寓动 在数学解题过程中用动的观点来处 理静的数量和形态 将常数看作是变数的取值 将静止状态看成运动过程的瞬 问 表现为以动求静 也可以反过来用一个字母代替无限的 变动的取值 用 一条方程表示动点的轨迹 用一个函数表达或反映客观事物的相依关系 用一 些不等式描述变量无穷变化的趋势等 都是用静的方法来处理动的事物 表现 为以静制动 解析几何中的基本元素 点 直线 圆 椭圆 双曲线 抛物线 等都可以看作坐标平面上点按一定规律运动变化形成的 如轨迹相交等 体现 了动静转换的策略 3 善用平面几何知识的策略 解析几何中涉及到圆和直线的问题 如能 结合图形特征 恰当的运用平几性质 可简化计算 提高运算速度 体现了一 种逆向回归的思想 4 等价转化策略 等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内 可解的问题的一种重要的数学思想方法 转化包括等价转化和非等价转化 等 价转化要求转化过程中前因后果应是充分必要的 这样的转化能保证转化后的 结果仍为原问题所需要的结果 非等价转化其过程则是充分的或必要的 这样 1 6 的转化能给人带来思维的闪光点 找到解决问题的突破点 是分析问题中思维 过程的主要组成部分 等价转化的实质是把待解决或难解决通过某种转化归结 为定义 已解决或较容易解决的问题 最终求得原问题的结论 对于一个数学 命题 关键的一步是根据解决问题的需要进行相互的转化 使问题简明化 符 号化 图形化及数学化 等价转化包括等与不等的转化 有限和无限的转化 隐与显的转化 实际问题和数学问题的转化 数学语言之间的转化 顺向思维 和逆向思维的转化 平面和空间的转化等等 加强这方面的训练 有利于培养 学生思维品质的严密性和敏捷性 5 增设参数的策略 对所面l 临的问题 好像还缺少点什么 一旦给题目 添上点 己知假设 题型会变得正规 求解会变得顺利 但是 这个添设的 假设 一方面不能改变原题意 另一方面又不能与解题毫不相干 也就是 说 它必须是有效的 那么 怎样使用这种艺术才能产生 有效 呢 这是众 多方法 技巧的共同功能 因而已上升到策略的层次 辅助参数的引进可以分 解复杂的结构 增加参与运算的关系或数式 同时产生一个动态过程 为运动 观点 参数方法的运用创造了机会 这一技术在解析几何中有广泛的应用 因 此 在不改变题意的前提下 增加一定条件使得问题更容易求解 其参数思想 是解析几何的重要思想方法 灵活掌握设参 用参 消参的技巧 能优化解题 思路 6 注意运用复数思想的策略 复数问题常通过实数化或几何化而获解 反之 又要善于利用复数工具来解决几何问题 用复数知识沟通与解析几何之 间的联系 拓宽复数的应用空间 独辟蹊径 可获得解析几何问题的明快 简 洁的复数解法 7 充分利用极坐标思想的策略 处理 往往思路简洁 耳目 新 解析几何综合性问题若用极坐标思想来 8 善于应用定义的策略 圆锥曲线的统一定义是数学美强有力的体现 三种圆锥曲线从本质上讲是一致的 因而它们有统一定义 在圆锥曲线问题的 一1 7 一 解决过程中若能利用圆锥曲线的定义 往往能抓住主要矛盾 产生巧妙联想 达到优化解题过程 减少运算量 提高 f 确度 四 实验研究方法 一 高中解析几何问置解决的思维策略训练的实验研究 目的 探讨解析几何问题解决的思维策略及其训练的有效性 被试 重庆市直属重点中学 西师附中高二年级三 四两个班 通过数 学知识和数学兴趣 附录一 的测查 在两个原班的基础上 按成绩将两个班 学生均衡配成4 5 对 未配上对的学生仍参加原班的学习 但不作为实验被试 随机选取一个班为实验组 另一个为对比组 这两个组各方面情况大致相同 材料 数学知识测查 以高二年级教学大纲及教材为依据 编制测验试 题 该测验包括两份同质测验试卷 每份试卷中应含难度大 小的两类试题 这两份试题分别用于后测和延迟测验 数学兴趣量表 编制数学兴趣量表 一式两份 以考察学生的数学学习兴趣 实验设计 主要控制变量 组别实验因子 实验组和对比组 教学时间相同 进行解析儿何问题解决的思维策 教学内容一样 实验组 略的专门训练 并渗透在日常教 测试时间与要求一致 学中 教学起点一致 两组被试数学知识和 数学兴趣的前测结果无显著差异 任课教师均为主试无年龄 教龄 学 对比组采用常规方法教学 历 能力的差异 2 实验设计 本设计采用平衡组实验设计 纲别前测实验过程后测延时测验 对比组o l0 30 5 实验组0 2 xo 0 6 一1 8 一 实验步骤 实验在高二年级第一学期前8 周进行 1 前测 数学知识测查 以高一年级第二学期期末考试成绩为依据 数学兴趣测查 在实验之前 在参考前人有关调查表的基础上 自编数学兴趣 量表 目的 通过两项测查结果 对被试均衡配对 确定实验组和对比组 使 实验组和对比组在数学知识与数学兴趣上大致相同 在此基础上进行实验 2 实验过程 实验组每周用一节课进行专门的思维策略的训练 并在日 常教学巾加以渗透 并配以相应的练习 对比组按传统教法授课 并配以相应 练习 每周同样用一节课练习及讲评作业 但不作专门思维训练 3 后测 数学知识测查 采用专门编写的解析几何测试题 在实验结 束时对实验组和对比组进行测试 数学学习兴趣测查 用前测时的兴趣调查 量表 目的 趣的影响 4 延时 通过两项测查结果 考察实验对学生数学知识的掌握和数学兴 测验 通过实验结束后 周以及半期的检测 考察实验对学生掌 握数学知识的保持程度的影响 二 用出声思雄方法探讨谈实验对学生灌确寻找解决问曩思维 蘸略的影响 时间 在后测结束后的第二天 目的 采用出声思维的心理实验法 分析实验组和对比组学生的解决问题思 维策略的区别 实验 对提高学生掌握解题正确度 缩短正确解题的时间的 影响 被试 从实验组和对比组中各随机抽出1 5 人作为被试 主试作一些事先统 一规定好范围的提示 材料 从近几年高考试题中选出五个不同难度的解析几何问题 步骤 主试将五个问题逐个呈示给每个被试 要求被试与主试面对面解 题 并说出正在想什么 怎么做 主试可以作一些事先规定好范围的对话 全 过程被记录下来 五 实验结果 一 实验蛆和对比组的前测成绩差异正着性检验 表1 t 实验组和对比姐前测整体成绩差异比较 编别人数平均分标准差tp 实验组4 57 8 9 81 8 3 9 9 0 5 3 9 o 5 对比组4 57 9 4 81 6 7 7 4 此表表明实验组和对比组对照比较 前测成绩差异不明显 分层组别人数 平均分标准差t p 实验组l l 9 9 3 68 4