（应用数学专业论文）几类平面微分系统的广义中心、等时中心与极限环分枝.pdf

摘要 本篇博士论文以计算机代数系统为工具对几类平面微分系统的 极限环分枝、中心与广义中心问题、等时中心问题进行了一些研究， 同时将已有理论应用到生态系统中去研究一些生态模型的定性性质 全文共分七章 第一章对平面多项式微分系统的极限环分枝、中心与等时中心 以及定性与分枝理论在生态系统中的应用等问题的历史背景和研究 现状进行了综述，并归纳了本文的特色工作 第二章给出了一种寻找z n 等变系统的简便方法，并对z n 等变 向量场中的微分系统的一些性质做了一些归纳总结同时，以一类 z 8 一等变对称的七次系统为研究示例，在个人计算机上推导出八个拓 扑结构相同的焦点中其中一个的前5 个奇点量，进而得出其前5 阶焦 点量，并得出由八个拓扑结构相同的焦点共可在一定条件下分支出 4 0 个极限环的好的实例，同时找出了它的分枝条件及极限环稳定性 的判断条件 第三章主要是关于三次系统等变对称结构的分析和几类具有等 变对称性的三次系统的极限环分支的研究，一种寻找等变对称系统 的方法被给出并对未曾研究过的具有不同等变对称结构的三次系 统( 即z 。等变对称的三次系统、z ，等变对称的三次系统、z 。等变对 称的三次系统) 的定性与分支行为进行了一一的研究本章的工作 是现有研究结论的有益的补充( 这一结论已经提交给湘潭大学学 报) 第四章主要研究了一类广义对称的平面九次微分自治系统的中 心焦点问题与极限环分枝行为通过作b e n d i x s o n 倒径变换与时间 变换，以及广义焦点量的仔细计算，我们得出了该系统的无穷远点 与三个初等奇点能够同时成为广义中心的条件，并进行了严格的证 明同时我们得出在一定条件下，这四个广义焦点能够分枝出2 0 个 极限环的结果，其中包括5 个大振幅极限环和1 5 个小振幅极限环 这种结论到目前为止是新的 第五章研究一类广义等变对称的九次系统，通过周期常数( 或称 为等时常数) 的计算与分析，找出了无穷远点与三个初等奇点同时成 为等时中心( 或称为可线性化中心) 的必要条件，进一步证明了这些 必要条件也是充分条件无穷远点与几个初等奇点同时成为等时中 心的结论是第一次给出，在以往的文献中未有发现，我们的结论有 一定意义 第六章研究一类拟对称七次系统的广义中心、等时中心与极限 环分枝问题，得出了该系统的无穷远点与初等奇点同时成为广义中 心与等时中心的条件并进行了严格的证明，进一步给出该系统可以 由无穷远点分枝出5 个赤道环的同时还可以由初等奇点分枝出5 个 小振幅极限环这种结论是罕见的，本章的结论是新的 第七章利用微分方程定性与分支理论研究了一类食饵具有常投 放的稀疏效应捕食系统，得到了存在唯一极限环和不存在极限环及 系统全局渐近稳定的充要条件此外，还研究了一类三次k o l m o g o r o v 捕食系统，算出了其正平衡点( 1 ，1 ) 的前五阶焦点量，同时找到了5 个极限环( 或少于5 个极限环) 的分枝条件与这些极限环的相对位 置特别地，文中还显示该系统可以有3 个稳定的极限环，就三次 k o l m o g o r o v 系统的稳定环的数目而言，这一结论是最好的 关键词：平面多项式系统，极限环分枝，焦点量，奇点量， 穷远点，广义中心，等时中心 a bs t r a c t t h i sp h d t h e s i si sd e v o t e dt os t u d yt h eb i f u r c a t i o n so fl i m i tc y c l e a n dt h ep r o b l e mo fc e n t e ra n di s c h o r o n o u sc e n t e rf o rs e v e r a lc l a s s e so f p l a n a rd if f e r e n t i a ls y s t e m sw i t ht h eh e l po fc o m p u t e r sa l g e b r as y s t e m ， a tt h es a m et i m e ，t h eq u a l i t a t i v et h e o r ya n db i f u r c a t i o nt h e o r ya r e a p p l i e dt oi n v e s t i g a t et h eq u a l i t a t i v en a t u r eo ft w oc l a s so fe c o l o g i c a l s y s t e m so re c o l o g i c a lm o d e l s i ti sc o m p o s e do f s e v e nc h a p t e r s i nc h a p t e rl ，w ei n t r o d u c et h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n da n dt h ep r e s e n t p r o g r e s s o fp r o b l e m sw h i c ha r ec o n c e m e dw i t hc e n t e r s ，i s o c h r o n o u s c e n t e r s ，a n db i f u r c a t i o n so fl i m i tc y c l e sf o rp l a n a rp o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a l s y s t e m s a n dt h eq u a l i t a t i v en a t u r eo fe c o l o g i c a lm o d e li s c o n s i d e r e d t h em a i nw o r k so f t h i sp a p e ra r ec o n c l u d e da sw e l l i n c h a p t e r2 ，ak i n d o fs i m p l em e t h o dt o f i n dz n e q u i v a r i a n t s y s t e m si sg i v e n ，t h eq u a l i t yo fd if f e r e n t i a ls y s t e m si n 乙一e q u i v a r i a n t v e c t o rf i e l di ss u m m a r i z e d a tt h es a m et i m e ，a sa ne x a m p l e ，ac l a s so f s e v e n t hd e g r e ez s - e q u i v a r i a n ts y s t e m si si n v e s t i g a t e d ，a n dt h ef i r s tf i v e f o c a lv a l u e sa r eg i v e n m o r e o v e r , i ti ss h o w nt h a t4 0l i m i tc y c l e sc a n b i f u r c a t ef r o mt h i sc l a s so fs y s t e m t h ec o n d i t i o n so fb i f u r c a t i o na n d s t a b i l i t ya r eo b t a i n e d i n c h a p t e r3 ，o u rw o r ki sc o n c e m e dw i t ht h ea n a l y s i s o fc u b i c s y s t e m se q u i v a r i a n ts y m m e t r i cs t r u c t u r ea n dt h ei n v e s t i g a t i o no fl i m i t c y c l e sb i f u r c a t i o nf o rs e v e r a lc l a s s e so fe q u i v a r i a n tc u b i cs y s t e m s ak i n d o fm e t h o dt of i n de q u i v a r i a n ts y m m e t r i cs y s t e m si s g i v e n ，w h i c h i s s i g n i f i c a t i v ef o rr e s e a r c h i n gt h eb i f u r c a t i o nb e h a v e 咄o tzn e q u i v a r i a n t s y s t e m s i nt e r m so fe q u i v a r i a n ts y m m e t r i cc u b i cs y s t e m ，w ei n v e s t i g a t e o t h e rt h r e ec a s e s ( i e ，z 。- e q u i v a r i a n tc a s e ，z 3 一e q u i v a r i a n tc a s ea n d z 4 一e q u i v a r i a n tc a s e ) e x c e p ts t u d i e dz 2 一e q u i v a r i a n t c a s ea n do b t a i n c e n t e rc o n d i t i o na n db i f u r c a t i o nr e s u l t so fe a c hc a s e t h e s er e s u l t sa r e s u p p l e m e n t sf o rs o m es t u d i e dr e f e r e n c e sa b o u tc u b i cs y s t e m i nc h a p t e r4 ，o u rr e s e a r c h e sa r ec o n c e m e dw i t ht h ec e n t e r - f o c u s p r o b l e ma n dt h el i m i tc y c l eb i f u r c a t i o np r o b l e mf o rac l a s so fp l a n a r g e n e r a le q u i v a r i a n ts y s t e mo fn i n ed e g r e e s b ym a k i n gb e n d i x s o n i i i t r a n s f o r m a t i o na n dt i m et r a n s f o r m a t i o no fs y s t e ma n dc a l c u l a t i n gg e n e r a l f o c a lv a l u e sc a r e f u l l y , w eo b t a i nt h ec o n d i t i o n st h a tt h ei n f i n i t ya n dt h r e e e l e m e n t a r yf o c u s e sb e c o m ef o u rg e n e r a lc e n t e r sa tt h es a m et i m e m o r e - o v e r 2 0l i m i tc y c l e si n c l u d i n g15s m a l ll i m i tc y c l e sf r o mt h r e ee l e m e n t a r yf o c ia n d5l a r g el i m i tc y c l e sf r o mt h ei n f i n i t yc a no c c u ru n d e ra c e r t a i nc o n d i t i o n w h a ti sw o r t hm e n t i o n i n gi st h a ts i m i l a rc o n c l u s i o n s a r eh a r d l ys e e ni n p u b l i s h e dp a p e r su pt i l l n o wa n do u rw o r ki s c o m p l e t e l yn e w i nc h a p t e r5 ，ac l a s so fg e n e r a le q u i v a f i a n ts y s t e mo fn i n ed e g r e e si s i n v e s t i g a t e d t h r o u g ht h e c a l c u l a t i o na n dt h e a n a l y s i s o fp e r i o d i c c o n s t a n t s ( o rc a l l e di s c h o r o n o u sc o n s t a n t s ) ，w eo b t a i nt h ec o n d i t i o n st h a t t h ei n f i n i t ya n dt h r e ee l e m e n t a r ys i n g u l a r p o i n t sb e c o m ei s o c h r o n o u s c e n t e r sa tt h es a m et i m e ，a n dt h e s ec o n d i t i o n sa r ea l s o p r o v e dt ob e s u 伍c i e n tc o n d i t i o n so fi s o c h r o n i c i t y i ti s h a r d l ys e e ni np u b l i s h e d a r t i c l e sf o rt h er e s u l tt h a tt h et h ei n f i n i t ya n de l e m e n t a r ys i n g u l a rp o i n t s b e c o m ei s o c h r o n o u sc e n t e r sa tt h es a m et i m e ，o u rw o r ki ss i g n i f i c a n t i nc h a p t e r6 ，g e n e r a lc e n t e ra n di s o c h r o n o u sc e n t e r sa n dl i m i tc y c l e s b i f u r c a t i o nf o rac l a s so fq u a s i s y m m e t r i cs e v e n t hd e g r e e s y s t e ma r e c o n s i d e r e d w eo b t a i nt h ec o n d i t i o n st h a tt h ei n f i n i t ya n dt h ee l e m e n t a r y s i n g u l a rp o i n tb e c o m ei s o c h r o n o u sc e n t e r sa tt h es a m et i m e ，a n dp r o v e t h e ms t r i c t l y m o r e o v e r w eg i v et h ec o n c l u s i o n st h a tt h ei n f i n i t yc a n b i f u r c a t e5l a r g el i m i tc y c l e s a n dt h ee l e m e n t a r yf o c u sc a nb i f u r c a t e5 s m a l l l i m i tc y c l e su n d e rt h es a m ec o n d i t i o n t h i sk i n do fw o r ki sn e w i nc h a p t e r7 ，f i r s t l y ，ac l a s so fp r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hs c a n t y e f f e c to fw h i c ht h ep r e ys p e c i e sp o s s e s s e sac o n s t a n ti n v e s ti ss t u d i e db y m a k i n gu s eo fq u a l i t a t i v ea n db i f u r c a t i o nt h e o r y , a n dw eo b t a i n s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f l i m i tc y c l es u r r o u n d i n gt h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mp o i n ta n df o rt h eg l o b a l s t a b i l i t yo ft h es y s t e m s e c o n d l y , ac l a s so fc u b i ck o l m o g o r o vs y s t e m a r ec o n s i d e r e da n dw eo b t a i n5f o c a lv a l u e so ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u m p o i n t ( 1 ，1 ) ，a tt h es a m et i m et h ec o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo f5l i m i t c y c l e so rl e s ss u r r o u n d i n gt h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mp o i n t ( 1 ，1 ) a n dt h e l o c a l i t yo f5l i m i tc y c l e si sg i v e n e s p e c i a l l y , 3s t a b l el i m i tc y c l e sa r e s h o w ni nt h i sp a p e r w h i c hi st h eb e s tr e s u l ti nt e r m so ft h en u m b e ro f i v s t a b l el i m i tc y c l e sf o rc u b i ck o l m o g o r o vs y s t e m k e yw o r d s ：p l a n a rp o l y n o m i a ld i f f e r e n t i a ls y s t e m ，l i m i tc y c l e b i f u r c a t i o n ，f o c a lv a l u e ，s i n g u l a r p o i n tv a l u e ，i n f i n i t y ，g e n e r a lc e n t e r ， i s o c h r o n o u sc e n t e r v 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均己在在论文中作了明确的说 明。 作者签名： 日期：毕年上月竺日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：垄盔丝匿导师签名：迳l 二! ! 日期：二堡i 年上月盘日 f膏 中南大学博士学位论文第一章绪论 第一章绪论弗一早殖比 微分方程在很多领域内有着重要而又广泛的应用，如在自动控制、天体物 理学、机械、化工、生物、电讯以及经济与社会科学等领域的应用中扮演着重 要的角色1 9 世纪以来，微分方程的理论得到了迅速的发展，一系列具有重大 意义的研究成果涌现出来了1 8 8 1 年至1 8 8 6 年，法国数学家h p o i n c a r 6 发表了 关于由微分方程确定的曲线的报告的四篇论文，开创了微分方程实域定性 理论天文学、物理学、工程技术等领域内的微分方程有时不必求出其精确解， 只要知道解的某些性质即可，这正是定性理论的研究范畴h i l b e r t 第十六问题的 提出与研究对定性理论的发展起了推波助澜的作用近三十年来，随着计算机 代数系统的出现与不断发展，不少数学工作者开始借助于新兴的计算软件如 m a t h e m a t i c a 、m a p l e 、m a t l a b 等开展理论与应用的研究与机器证明工作，将微 分方程定性理论的研究工作又推上了一个新的台阶本文也将以计算机代数系 统为工具对常微分方程定性理论中极限环分枝、中心与广义中心问题、等时中 心问题进行一些研究，同时将已有理论应用到生态系统中去研究一些生态模型 的定性性质在此有必要先介绍一下本文研究的相关背景与全文所做的工作 1 1h i l b e r t 第十六问题与极限环分枝问题 1 9 0 0 年，h i l b e a 【1 】在巴黎举办的第二届国际数学家大会上提出了2 3 个数 学问题，其中第十六问题的第二部分是：对于右端不高于n 次的实平面微分自 治系统 车= 只( w ) ，譬= 姨( ) ， ( 1 1 ) a ta l 它最多可以分枝出多少个极限环，当极限环个数达到最大时它们的相对位置又 如何? 具体说来，h i l b e r t 第十六问题( 后半部分) 可分解为下列两个问题： 问题1 ：平面多项式系统( 1 1 ) 是否只有有限个极限环? 问题2 ：系统( 1 1 ) 的极限环的个数是否有仅依赖于其次数1 3 的上界? 通常将这 种上界记为日( 刀) ，被称为h i l b e a 数 在对h i l b e r t 数的研究过程中，常常衍生出如下问题： 问题3 - h ( n ) ? ，h ( n ) ? 日( 力) = ? h i l b e r t 第十六问题一直吸引着众多数学工作者的关注，其困难也一直困扰 着人们s s m a l e ( 见 2 ，3 】) 称它是2 l 世纪面临的1 8 个具有挑战性的数学问题之 中南大学博士学位论文第一章绪论 一当然，为了解决这一难题，已经出现了大量的研究论文，伴随着产生了大 量的研究方法与优秀的研究成果，一些综述文章( 见【4 6 】) 对此进行了概述 1 9 2 3 年，d u l a c 7 首次宣称解决了问题1 1 9 5 5 年，p e t r o v s k i i 和l a n d i s 8 ，9 】 声称进一步解决了问题2 ，并给出了h ( n ) 的一个上界，特别是获得了h ( 2 ) 3 但在1 9 6 0 年前后，n o v i k o v 与i l y a s h e n k o 发现文【8 ，9 】的证明有错误1 9 7 9 年， 陈兰荪与王明淑 1 0 】及1 9 8 0 年史松龄 1 1 】又给出了存在4 个极限环的二次系统， 即证明了h ( 2 ) 4 1 9 8 1 年，i l y a s h e n k o 1 2 ，1 3 1 指出d u l a c 的证明存在很多缺陷， 进而在1 9 9 1 年i l y a s h e n k o 1 4 和1 9 9 2 年e c a l l e 1 5 各自独立地证明了有限性定 理，即：平面多项式系统只有有限个极限环，从而最终解决了问题1 但对于问 题2 和问题3 的研究，即使是最简单的二次系统，目前也没有获得解决虽然 如此，但还是涌现出了大量的关于“h ( n ) ? ”的好的结论具体说来，目前已 经发表的具有代表性的结论如下： 李继彬，h z o a d e k 等人在文 1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，5 8 得到了h ( 3 ) 1 l ，后来e y u 和 刘一戎等在文 2 0 1 - 【2 2 】得到了h ( 3 ) 1 2 ，最近刘一戎又得到h ( 3 ) 1 3 ，结论等 待发表：文 1 9 1 还得到h ( 4 ) 1 5 ，最近文【2 3 ，2 4 改进了文 1 9 】的结论，得到 h ( 4 ) 1 6 ：文 2 5 ，2 6 】证明了( 5 ) 2 4 ；2 0 0 5 年，w a n g 和y u 在文 2 7 】中证明 了h ( 6 ) 3 5 ；李继彬等在文 2 8 】中得到了h ( 7 ) 4 9 ；2 0 0 6 年，w a n g 和y u 在 文 2 9 ，3 0 】中证明了日( 9 ) 8 0 ，h ( 11 ) 1 2 1 对于一般的n 的h i l b e a 数的问题的研究，也有一些结论1 9 9 5 年，c h r i s t o p h e r 与l l o y d 3 l 】证明了 h ( 2 k _ 1 ) 汁4 1 ( 2 k 一3 一； 2 0 0 3 年，李继彬 3 2 】改进了他们的结果，证明了当刀= 2 一l 时， h ( 刀) ( 一+ 1 ) 2 【1 4 4 2 6 9 5 l n ( n + 1 ) 一 + 刀+ 三 2 0 0 0 年，i i t e n b e r g 与e s h u s t i n 3 3 还证明了 h ( n ) ，1 2l o g ：+ d ( 力) ， ”3 在围绕h i l b e r t 第十六问题开展研究的好的结论出现的同时，一些好的研究 方法也相伴出现，各种分枝出极限环方法孕育而生其中，将具细焦点的系统经 过适当扰动，使这个细焦点的稳定性发生变化，从而产生小振幅极限环，就是 著名的h o p f 分枝它的原理( 见 3 4 】) 是取一具有高阶细焦点的方程，将方程的系 数做微小变化，使得这个焦点的稳定性逐次变化，从而跳出极限环，最后得到 同一个焦点的一串极限环，这种方法的可行性首见于f r o m m e r 的工作，并由 b a u t i n ( 见【3 5 】) 加以发展，秦元勋等人首次予以实现，由这个原理衍生出许多具 体的研究方法，w w f a r r 、李承治等( 见【3 6 】) 指出，至少有六种方法可以用于研 2 中南大学博士学位论文第一章绪论 究高阶h o p f 分枝，其中最常用的是h p o i n c a r 6 后继函数法，l i a p u n o v 常数法与 正规型方法，这几个方法的基础牵涉到焦点量或l i a p u n o v 常数的计算 小振幅极限环的研究中心焦点判断是密切相关的，通过焦点量或l i a p u n o v 常数的计算可解决中心焦点的判断。而定出系统细焦点的最高阶数后，通过构 造极限环可以给出极限环的最大个数，焦点量的经典算法是p o i n c a r 台后继函数 法，l i a p u n o v 常数的计算方法与p o i n c a r 6 - l i a p u n o v 形式级数法1 9 7 9 年，g o b b e r 等人( 见 3 7 1 ) 证明了焦点量与l i a p u n o v 常数的等价性并给出了第_ 个不为零的 焦点量与第一个不为零的l i a p u n o v 常数之间的关系，1 9 8 0 年史松龄 3 8 通过研 究l i a p u n o v 常数的计算而得到了一个关于极限环存在性的易用定理，随后他又 在【3 9 中证明了常数是基中元素个数的唯一性用经典算去计算焦点量或 l i a p u n o v 常数，牵涉到大量的积分和解方程组，不易实现，因此焦点量或 l i a p u n o v 常数的算法及计算机实现等问题近年来吸引了众多的学者的关注 j c h a v r r i g a 4 0 给出了一个求焦点量的极坐标方法，杜乃林与曾宪武在文【4 l 】中 也给出了一种求焦点量的极坐标递推方法，j g i n 6 在 4 2 中也给出了一个求 l i a p u n o v 常数的直接递推方法，n g l l o y d 等人在 4 3 1 中则给出了一个专门计算 焦点量的程序，研究焦点量或l i a p u n o v 常数计算的文献还有 4 4 ，4 5 ，4 6 1 ，此外李 承治在 4 7 中给出了一个二次系统焦点量的易用公式值得一提的是，1 9 8 9 年 刘一戎、李继彬在文 4 8 ，4 9 】中对复自治微分系统引入了奇点量的概念和计算奇 点量的两种算法，把焦点量、鞍点量的计算统一起来：当系统的系数满足共轭 条件时，则可通过关系导出其共轭实系统的焦点量：当系统的系数是相互独立 的实数时，则奇点量即为鞍点量；两种算法均可用待定系数的方式在计算机上予 以轻松地实现进一步，2 0 0 2 年刘一戎、陈海波在文 5 0 】中给出了这种方法的递 推算法，使得奇点量的计算比较容易在计算机上实现在求奇点量时只需以系 统右端系数为符号进行有限次加、减、乘、除和四则运算，避免了通常计算焦 点量所需的复杂的积分与解方程运算，在本文中对原点的焦点量的计算均采用 这种方法用复系统的形式研究焦点量的计算还有 4 3 ，5 1 ，5 2 1 由细焦点扰动出极限环的个数问题，b a u t i n 3 5 1 已经解决了二次系统的情 形，虽l j - - 次系统最多能从焦点扰动出3 个极限环但是对于三次系统，这个问题 还是一个悬而未决的难题，纵然如此，亦出现了许多研究成果1 9 6 5 年，s i b i r s k i i n s 【5 3 给出了不含二次项的三次系统细焦点的阶数至多为5 ，在原点的邻域可 以有五个极限环；1 9 8 8 年n g l l o y d 等人 5 4 1 i i e 明了上述系统可由多个焦点产生 7 个极限环；后来e m j a m e s 与n g l l o y d 又在f 5 5 1 中给出了8 个小环的实例；m a s h i l o n g 和n i n gs h u c h e n g 5 6 ，5 7 等人得到了两例三次系统有8 个小振幅极限环 的结果；而h z o l a d e k 5 8 在1 9 9 5 年得到了单个奇点外围能分枝出1 1 个小振幅 中南大学博士学位论文第一章绪论 极限环的结果，从而引出了“三次系统的焦点量的最高阶数是1 1 ”的猜想 5 9 此 外，1 0 个小振幅极限环的结果还可见 6 0 1 最近，e y u 与韩茂安 2 0 ，2 1 ，刘一戎 与黄文韬【2 3 】分别得到了三次系统1 2 个极限环的结果，就极限环的个数来说， 这个结果是迄今为止三次系统极限环分支的( 也包含全局分支) 研究中最好的， 这是一重要的成果，从1 9 8 7 年李继彬 1 6 1 9 1 等人得到三次系统1 1 个极限环的 结果以来到现在已经跨越了1 7 年在 2 0 ，2 1 】中，作者考虑一类缺二次项的三次 系统，该系统关于原点对称且具有两个对称的焦点( o ，1 ) 和( 0 ，1 ) ，用正规型理论 结合符号计算与数值计算，证明了在同步扰动下每个对称的细焦点可以分支出 六个极限环，但是其第五、第六个焦点量表达式非常长，以至不方便在文中表出， 而且其最高阶细焦点的条件也比较复杂，极限环存在性的证明需近似计算：而 在文 2 3 】中，也研究了关于原点对称的两个焦点( o ，1 ) 和( 0 ，1 ) 的分枝行为而得到 了同样的结果，但是焦点量的表达式相对简单，极限环的存在性的证明过程也 避免了近似计算在第二章中，我们对z n 等变对称系统的分枝问题进行了概述， 并找出了一种构造z n 等变对称系统的简单可行的方法同时以z 8 等变对称七 次系统为例来说明在z n 等变向量场中研究由多个细焦点扰动出小振幅极限环 的一类可行的研究方法我们给出，z 8 等变七次系统由8 个关于原点对称的细 焦点能够分枝出4 0 个小振幅极限环，这种结果是好的利用第二章的寻找与研 究z n 等变对称系统的方法，我们在第三章对等变对称的三次微分系统进行了分 类，并对各种具有等变对称结构的三次系统进行了定性分析，对极限环分枝问 题展开了一一研究 另外一种产生极限环的经典方法是具有一系列闭轨( o n 中心外围的情形) 的 系统经过适当扰动之后，这些闭轨大部分破裂，而在某一些闭轨领域内产生极 限环，就是著名的p o i n c a r 6 分枝从中心分支出极限环，大致有三种众所周知的 方法：p o i n c a r 6 后继函数( 见 6 1 ，6 2 】) ；p o i n c a r & m e l n i k o v 积分法或a b e l 积分法 ( 参见 6 2 ，6 3 ，6 4 】) ；逆积分因子法( 参见 6 5 ，6 6 】) 这些方法被许多作者用来研究哈 密顿系统或通过变量替换可化为哈密顿系统的p o i n c a r 6 分枝，但这些方法用于 研究非哈密顿可积系统的p o i n c a r 香分枝却非常困难( 见 6 2 1 ， 6 7 7 3 】) 此外，还 有一种方法是将此问题化为一维微分系统 6 7 ，6 8 对于二次系统的p o i n c a r 6 分 枝，已有许多工作，如【6 9 】- 7 3 1 研究超过3 次的系统的p o i n c a r 6 分枝的结论有 【7 4 ，7 5 ，7 6 ，7 7 1 等要彻底解决平面多项式系统的最大极限环个数问题，由无究远 点分枝出的大振幅极限环问题也是非常值得研究的关于这一方面的成果在二 十世纪很少，主要原因是问题本身较复杂，而且研究方法很有限1 9 9 3 年， t r b l o w s ( 7 8 ) 率先研究了一类三次系统的大振幅极限环问题( 又称为赤道极限 环或赤道环问题) 同年，韩茂安 7 9 】研究了几类三次系统的赤道环的的稳定性 4 中南大学博士学位论文第一章绪论 以及赤道环个数等问题，同时给出了一切正向有界的判据t r b l o w s 7 8 的做法 是：对赤道上无实奇点，原点为中心焦点型奇点的奇次多项式系统经过广义极 坐标变换化为系统的原点，然后用p o i n c a r 6 后继函数定义各阶焦点量，并用积 分计算出各阶焦点量以得到无穷远点分枝出极限环的条件与此同时，他还研究 了由原点产生的小振幅极限环，在得到无穷远点的前五阶焦点量的同时还得到 了该类三次系统原点的前四个焦点量以及几组可积性条件进一步，b l o w s 得出 了该三次系统的小振幅极限环与大振幅极限环同时出现的各种 k ，k 2 ) 型极限 环分布的实例，其中k ，表示小振幅极限环的个数，k ，表示大振幅极限环的个数 2 0 0 1 年，刘一戎在文 8 0 中将文【4 9 】中复平面多项式系统的原点的奇点量概念推 广到复平面多项式系统的高次奇点与无穷远点的奇点量，给出了求奇点量的几 个方法以及便于计算机实现的代数递推公式由此，实平面多项式系统无穷点的 焦点量可由对应的复平面多项式伴随系统的奇点量求出通过引入无穷远点分 枝函数给出了几个判断极限环存在的易用的定理并且，还把 4 9 所定义的l i e 不变量概念推广到这类多项式系统，并用l i e 不变量研究奇点量的代数结构，从 而可非常方便地化简奇点量和得出可积性条件( 即中心条件) 同时，在文 4 9 】中 还给出了一类三次系统从无穷远点产生四个极限环的实例记i ( n ) 为n 次系统从 无穷远点分支出的极限环的最大个数，则b l o w s 得到了i ( 3 ) 5 ；2 0 0 2 年，刘一 戎、陈海波等在文 8 2 得到了i ( 3 ) 6 ；【8 3 ，8 4 】得到了i ( 3 ) 7 ；【8 5 给出了i ( 5 ) 4 ；而【8 6 】得到了i ( 5 ) 6 ；【8 7 给出i ( 5 ) 8 ；【8 8 给出i ( 5 ) 9 ；【8 9 得到了i ( 5 ) 1 l ；【9 0 1 得到了i ( 7 ) 3 ；【9 1 得到了i ( 7 ) 7 ；【9 2 得到了i ( 7 ) 9 ；【9 3 得 到了i ( 7 ) 1 3 以上研究赤道环的文献中，有不少还同时研究了小振幅极限环 的分枝问题，也就是说给出了 k 。，k ，) 型极限环分布的实例，! t e l 8 6 9 3 但是，对 于无穷远点领域与初等焦点领域内具有相似分支行为的结论却很少有研究文献 我们在文 9 4 ，9 5 】首次给出了这种实例，在 9 4 中我们给出一类七次系统的无穷 远点分枝出6 个大极限环且同时初等焦点也分枝出6 个极限环，在文 9 5 中我们 给出一类九次系统的无穷远点分枝出5 个大极限环且同时三个初等焦点也各自 分枝出5 个小极限环，这些结论是有趣的在第四章与第六章我们将介绍这些 结论 1 2 中心问题与等时中心问题 中心问题与可积性问题具有等价的意义，早在常微分方程定性理论开创性 论文中，h p o i n c a r 6 就定义了平面实向量场中心的概念( 即被一族闭积分曲线围 绕的孤立奇点) ，并在文 9 6 】中证明了多项式向量场中具有纯虚根特征的奇点为 中心的充分必要条件是无限个以向量场系数构成的多项式( 即后来称之为焦点 中南大学博士学位论文第一章绪论 量) 全部为零通常情况下，我们只能求出前面有限个焦点量根据h i l b e r t 有限 基原理，一定存在前面有限个焦点量能把所有的焦点量表达出来，这有限个焦点 量我们称之为焦点基系统的焦点量全部为零的条件就是此奇点成为中心的必 要条件，但充分条件仍需使用其它方法予以证明，如求系统的首次积分或积分 因子等焦点量的经典算法有h p o i n c a r 6 后继函数法，h p o i n c a r 6 - l i a p u n o v 形 式级数法这些经典算法在计算二次多项式系统，部分简单的缺项的三次多项 式系统的焦点量计算上起了很大的作用二次系统的焦点基，中心条件由 h d u l a c ，w k a p t e y n ，n b a u t i n 等人一系列工作( 3 5 】，【4 7 】， 9 6 1 0 4 ) 己彻底解决 对于二次系统的中心焦点问题，其中心条件最早给出较简洁形式的要属 w k a p t e y n 和n b a u t i n 但是对于三次系统以及高于三次以上的多项式系统，只 有在极特殊的情况下解决了中心问题对于一般的三次系统，即使是焦点基的 多项式个数仍是一个未知数，其主要原因是焦点基公式随着阶数的增高迅速增 长关于缺二次项的三次系统，m a l k i n 1 0 3 1 给出了此系统原点是中心的充分必 要条件l l m k e v i c h 和s i b i r s k y 证明了在满足这些条件下系统可积他们使用的 是s i b i r s k y 代数不变理论 1 0 5 c r o u s s e a u 和d s c h l o m i u k 1 0 6 使用d a r b o u x 方 法重新证明了此系统的可积性刘一戎等在文 1 0 7 】中给出了该类系统所有的中 心条件，并一一找到了通积分或积分因子另一有名的三次系统是k u k l e s 系统 k u k l e s 1 0 8 给出了其原点为中心的充分必要条件，此后，金小凡和王东明【1 0 9 】 通过研究g r o b n e r 基和特征集发现k u k l e s 中心条件不完整这一点不久被 c c h r i s t o p h e r 11 0 1 和n l l o y d 111 1 证明了 除上述关于中心问题的研究结论外，还有一些参考文献研究过其他系统的 中心焦点问题，如g i n 6 在文 4 2 】中进一步研究了四次和五次多项式k u k l e s 系统的 中心条件从目前研究方法上来看，平面微分方程的中心问题的研究与极限环 分枝问题一样均离不开焦点量的计算焦点量计算一直以来不仅是非常重要的 研究课题，而且也是个极其困难的在此，需要特别介绍文 4 9 1 的工作1 9 8 9 年 刘一戎与李继彬对复自治多项式系统引入了奇点量的概念，把实系统中的焦点 量与鞍点量的计算统一起来为奇点量的形式级数法与积分因子法两种计算方 法，且定义了l i e 不变量概念，并由此得到奇点量结构定理和广义对称原理利 用此奇点量结构定理可