（计算机软件与理论专业论文）抽象空间方程的若干问题.pdf

摘要 论文分三部分在第一部分中，利用单调迭代序列的方法来 研究c ，e 1 中非线性算子方程解的存在性、惟一性，并且给出解 的迭代序列以及迭代序列的收敛性在第二部分中，利用积一微分 不等式的理论和单调迭代方法在较弱的条件下研究了b a n a c h 空 间中二阶积一微分方程两点边值问题( b v p ) 解的存在性和惟一性， 并且给出收敛迭代序列的误差估计，值缛指出的是来使用任何的 紧性条件在第三部分中，利用半序方法和新的比较定理，研究了 b a n a c h 空间二阶积一微分方程初值问题( 胛) 最大解、最小解、 解的存在性以及相应解的迭代逼近利用半序理论与单调迭代方 法研究各类方程的解时，一般假设所研究的方程具有某种类型的 上解和下解，而本文只使用了一个上解或下解，并且在较弱的条件 下得到了较好的结果 关键词：算子方程，正规锥，积一微分方程，单调迭代方法，比较定 理 s e v e r a lp r o b l e m so fe q u a t i o n si na b s t r a c ts p a c e s p a ix i n y i n g ( c o m p m e rs o f t w a r ea n dt h e o r y ) d i r e c t e db yp r o f e s s o rs o n gg u a n g x i n g a b s t r a c t t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n s i ns e c t i o n1 ，w e i n v e s t i g a t e t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n sf o ro p e r a t o re q u a t i o n si n c i ，e 】b ym e a n so f m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e t h eu n i q u e n e s s o f s o l u t i o na n dt h ec o n v e r g e n c er a t eo f t h ei t e r a t i v es e q u e n c ea r ea l s o s t u d i e d i ns e c t i o n2 ，w i t ht h ed i f f e r e n t i a la n di n t e g r a lt h e o r ya n d m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h e s o l u t i o n sf o rt h et w o p o i m b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m o f i n t e g r o d i f f e n e r t i a le q u a t i o 璐o fm i x e dt y p ei nb a n a c hs p a c e sa r e s t u d i e d ，a n dt h ee r r o r e s t i n m t i o n sf o rt h ec o n v e r g e n ti t e r a t i v e s e q u e n c ea r ea l s og i v e n m o r e o v e r ，i ts h o u l db ep o i n t e do u tt h a td o n o tu s ea n yc o n d i t i o n so fc o m p a c t n e s s i ns e c t i o n3 ，b yu s i n gt h e p a r t i a lo r d e rm e t h o da n ds o m en e wc o m p a r i s o nr e s u l t s ，t h em a x i m a l o rm i n i m a ls o l u t i o n s ，t h eu n i q u es o l u t i o n so f t h ei n i t i a lv a l u ep r o b l e m f o rn o n l i n e a rs e c o n do r d e ri n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c h s p a c e sa r ei n v e s t i g a t e d w er e q u i r eo n l yal o w e rs o l u t i o no r a l lu p p e r s o l u t i o na n ds o m ew e a k e rc o n d i t i o n sp r e s e n t e dh e r e ，a n dw ee x t e n d a n di m p r o v es o m er e c e n tr e s u l t s k e yw o r d s ：o p e r a t o re q u a t i o n ，n o r m a lc o n e ，i n t e g r a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n ，m o n o t o n ei t e r a t i v et e c h n i q u e ，c o m p a r i s o nr e s u l t 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外。论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。也不 包含为获得中国石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论 文中作了明确的说明并表示了谢意 签名：塾l 弱勉工砷年岁月3 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅：学 校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名： 塑l 憝趣1 伽6 年5 - 月3 日 导师签名：- j 器j 虹夕卸占年广月多日 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章引论 第l 章引论 1 1 课题来源、提出背景及其研究意义 本课题来源于石油大学基础研究资助项目 抽象空间中的各类方程是许多数学分支及其它自然科学中具 体问题提取的数学模型的高度概括和统一，不但它对数学的基础理 论有着推动作用，而且有着非常深刻而广泛的应用背景和极为丰富 的源泉 例如，核物理、天体力学、量子力学等等；研究抽象空间的各 类方程的方法和手段也十分丰富，例如，研究解的存在性的某些方法 有：变分原理，单调算子理论，不动点理论，拓扑度理论，以及上、下解方 法特别，许多微分方程、积分方程、积微分方程的各类问题都可以 经过适当的转换化为抽象空间中的算子方程进行讨论，从而利用泛 函分析的工具、方法和手段去处理、解决 本课题正是在上述情况下提出的，并且希望能够找到使相应的 方程的解存在并且比较容易验证或检验的条件：同时努力构造逼近 解的迭代序列，以及给出相应的误差估计 1 2 国内外研究现状分析 近年来，国i 勾# l - 有很多数学家利用泛函分析工具研究抽象空间 中的方程，取得了丰硕成果，其中上、下解方法，单调迭代方法以及拓 扑度方法是研究热点；但是利用上、下解方法，单调迭代方法对方程 要求条件较高，而拓扑度方法只能给出解的存在性，一般不能给出逼 近解的迭代序列因此，在利用上、下解方法与单调迭代方法时，尽可 能减弱有关条件是世界上许多数学工作者非常感兴趣的研究问题 之一本课题指导教师宋光兴教授以及国内外一些数学家在这方 - i 中国石油大学( 华东) 硕士论文第l 章引论 面做出了许多具有一定开创性工作，这些工作中的基本思想对本课 题的研究有着重要的启发作用 1 3 主要研究方法、内容和目标 本课题主要是充分利用上、下解和单调迭代方法研究非线性抽象 空间算子方程、微分方程、积分方程、积一微分方程的解存在性、惟 一性和构造逼近解的迭代序列以及相应误差估计 首先，利用泛函分析工具研究抽象算子不动点理论： 然后，将各类抽象方程转化为某类抽象空间的算子方程，从而利 用上述算子的不动点理论解决各类抽象方程 主要研究的方程有以下几种： 算予方程 一元非线性算子方程：t u = u ； 二元非线性算子方程：t ( u , u ) - - - u ； 抽象微分方程 一阶微分方程的初值问题： f ，= 厂( ，x ) ， b ( r o ) = 二阶微分方程的初值问题： p = ，( 舢，x ) ， 【x ( f o ) = ，( f o ) = 而 抽象积分方程 妒( 工) = 七( 马y ) f ( x ，妒( y ) ) 砂， 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章引论 ( 垒) 抽象积分- 微分万程 一阶非线性积微分方程初值问题： = 厂( ，死) ， 卜( o ) = 二阶非线性积- 微分方程初值问题： f u 。= f ( t 幽“，死) ， - ( o ) = 粕，( o ) = 葺 一阶非线性积微分方程周期边值问题： f “= 厂( 埘，死) ， 【u ( o ) = u ( 2 r c ) 二阶非线性积微分方程周期边值问题： f 矿= 厂( r ，“，“，砌) ， - ( o ) - - u ( 2 , 0 ，“( o ) = ( 2 万) 二阶非线性积微分方程边值问题： f u w = 厂( f ，甜，“，死) ， l 口“( o ) 一w ( o ) = ，纠( 1 ) + 砌( 1 ) = 砘 混合型一阶非线性积一微分方程初值问题： f u i = 厂( r ，t u ，觑) ， 卜( o ) = 粕 等等其中死( f ) = r 七( ) “( s ) 出，鼬( f ) = ：矗( ) “( s p 1 4 基本记号 e 表示实b a n a c h 空间 p 表示e 中的锥 r 表示( 一，佃) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章引论 r + 表示【o ，佃) ，或j 表示区间【以b 】( a o ，使当l i x , 1 1 = l l x 2 1 i = l ，而p ，屯p 时，恒有 l i x , + x ：l l - - a ，则称锥，是正规的 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章抽象函数空间算子方程解的存在! 里 n 是锥p 的正规常数，即对任意的x ，y e ，当 护s x ，有i i x l i o ) ，令 c i ，e - - , - , - - ) e i x ( f ) 在，上连续 ，易知c i i ，e 】在范数 1 1 4 - - 学1 1 工( f ) 0 下是一个b a n a c h 空间c i ，】中半序“s ”，即 x y 曹v x ，y c 1 ，e 】，x ( t ) s y ( ，) ，v t ， 有关锥理论的定义以及性质的详细内容，可参考文献【1 ，2 ，3 2 3 ：主要结果 定理2 1 设p 是实b a n a e h 空间e 中正规锥，若存在c 【，】，满足 下列条件： ( i ) a ：d c c 【，e 卜 c 【，e 】是单调递增的，即 v x ，y d ，若x 弦有出砂，其中d = x c 【j ，e 】卜) ( i i ) 存在必 o ，aa o ，i ) 满足： 4 甜( ，) 一彳v ( r ) s 等f “( s ) 一v ( s ) 西，v d ，“巩r ( o ，6 】 ( i i i ) u o a u o 则算子方程a u = u 在d 中有惟一解u ，对v d ，有迭代序列 毛= a x - l 胛= l ，2 ，3 收敛于，另外，有如下误差估计 1 y g n - - u i l 等p i i a u o - u o x o 一配 ， 其中= n m b l 。( 1 一口) 一 ! 望至塑奎堂! 兰奎! 堡丝塞 笙! 童垫墨里墼至塑蔓王查堡坚堕堡垄塞里 证明由条件( i ) 和条件( i i i ) ，有 u os a u o a 2 “o a n u o 即 u 0 “2 茎2 ( 2 1 ) 其中= u o ，n = l ，2 ，3 ，由条件( i i ) 和( 2 1 ) 式，有 口“：( f ) 一“。( f ) = 爿q ( f ) 一a u o ( f ) 刍m ，。由。1 , ( s ) 一u o ( s ) 凼，r ( o ，卅 由p 的正规性有 1 1 2 ( r ) 一m ( 小等肌( s ) 一u o ( s ) 忪 s n m m 一配西 = n m t “l l a n o - u o l l c ，t e ( o , b 】 由归纳知 li。(r)一(f霹二否iii三兰一肚，r(。，a】 甩z 1 ，2 ，3 ， 因此 i l b l n + l - - l g n b 两啬池刊| c ( 1 - a ) ( 2 - 坐2 c t ) ( 型3 - 3 a 二) ( 一n - n a ) - u o ”i i c ( 2 2 ) o ，有 7 哩目石油大学( 华东) 硕士论文第2 章抽象函数空间算子方程解的存在定理 0 一+ 。配 v ，e ( o ，6 】 ( i i i ) 4 v os 则算予方程a u = 球在s 中有惟一解v ，对s ，有迭代序列 = a y - l n = l ，2 ，3 ，收敛于v + ，另外，有如下误差估计 慨- - v * 峪等m “一v o 一乩 其中= 脚1 1 ( 1 一口) 一 证明类似定理2 1 的证明 定理2 3 设p 是实b a n a c h 空间e 中正规锥，a ：c i ，e 】专c 【，e 是- - 算子若下列条件成立： 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章抽象函数空间算子方程解的存在定理 ( i ) a 是单调递减的，即 垤，y c 【，】，x y ，有彳x 4 y ( i i ) 存在m o ，口 o ，1 ) 满足： a “( f ) 一4 v ( r ) 一等f “( s ) 一v ( s ) 协，v c 【，e , u - v , t ( o ，6 】 ( i i i ) “c 【，e 】卜4 “，“a 2 u u v c 1 ，e 】l 爿v v ，a 2 v v 。 则算子方程彳甜= “在c 【，e 】中有至少有一解，且不可能有两个可以比 较的解 证明不失一般性，假设j c 【，】，使得 s a u o ，a 2 由条件( i ) ，有 l d 0s a u o ， a 2 u os a 3 u o ， a u o2 a 2 u o ； 彳3 g o a 4 u o ； a 2 ”u o 彳2 ”。1 n o a 2 n + l t g o a 2 ”+ 2 u o ； 并且 u o a ”o s a “os ；a u o a u o a 2 ”州u 0 2 由条件( i i ) ，有 p 4 2 1 1 0 ( f ) _ 爿( f ) 一警f 4 ( s ) 一n o ( s ) 凼，f ( o ，6 】， 即 护爿u o ( f ) - a 2 u o ( f ) 奎m 一句。u 。( s ) - a u o ( s ) 出，f ( o ，6 】， 由p 的正规性有 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章抽象函数空间算子方程解的存在定理 u a u o ( r ) 卅( 小等m ( s ) 一a u o ( s ) 枷 n m t 40 4 一l i c ， f ( o ，b l ， 由归纳法可得 i i a , u o ( r ) 卅( 小f 顼瓦( n m 矸t l - 。网) ”= 1 ，2 ，3 ， l i a u o 一k ， f ( o ，b 1 a * l u o - a u o b 耳秽牝一b 胛= l ，2 ，3 ， 类似定理2 1 的证明，a “u o 收敛到算子方程彳”= “在c 【，e 】中的解， 即a u = 甜在c 【j ，e 】中至少有一个解 下证彳“= “在c 【，e 】中不可能有两个可以比较的解 实际上，若彳“= “宅e c i ，e 】中g n + n u ，v 且满足“s v ，由a 是单调 递减的，有 口v ( r ) 一“( ，) = 彳v ( f ) 一a u ( t ) o ，a a o ，1 1 满足下式； l i e u ( r ) 础( 悱等胍s ) 一删i 出 ( 2 6 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章抽象函数空间算子方程解的存在定理 其中v u ，v e c 1 ，e 】，f ( o ，b 】，则算子方程a u = “在c ，e 】中有惟一 解 证明v u ，v c ，e 】，由( 2 6 ) 式 类似的 i i a ( ，) 一彳v ( r ) 0 - m i l l “( s ) 一v ( s ) 8 出 ( 2 7 ) o ，口【o ，1 ) 满足： 爿“( ，) 一4 v ( r ) 一等f ( ”( s ) 一v ( s ) ) 凼， v u ，v e c 1 ，e l ，材v ，t e ( o ，b 】 其中l ：c ，e 卜争c 【，e 】是有界线性算子，则定理2 3 的结论仍然成立 2 4 例子 例e 是实b a n a c h 空间，尸是e 中的正规锥，考虑e 中的奇异积分方程： 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章抽象函数空间算子方捍解的存在定理 “( ，) = f 掣几，( s ) ) 凼吡( ，) ， ( 2 9 ) 其中口【o ，1 ) ，j - - o ，1 】，厂：，e _ e k u e c 1 ，e 】，有下列条件成立： ( a ) v t l , f ( t ，“) 关于“是单调递增的，r 3 m o ，使得 f ( t ，) - i o ，v ) 肘( “一v ) ，v u ，v e ，甜1 ， 其中“”是p 中的半序关系； ( b ) ，( ，口) 占； ( c ) k ( t ，s ) o ，v o s _ t i r k = m “a xk ( 、t ，s ) - e ( r ，) ，并且垤c 【，】，x ( f ) 口，( t e l ) ，迭代序列 4 ”x ) 收 敛到甜，另外，有如下估计式： 0 4 ”石( f ) 一甜( ，) i l a _ 疗l ! 。f e 90 爿口( ，) l i e + i i x i l ， 其中p = m k u 0 一a ) 一；o ( o - - - e ，o ，) ，州l c 是c 【，e 】中的范数 1 5 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章b a n a c h 空闻中二阶积一微 分方程边值问题 第3 章b a n a c h 空间中二阶积一微分方程边值问题 3 1 引言 关于混合单调算子，1 9 8 7 年由郭大钧教授与p r o f e s s o r v l a k s h m i k a n t h a m 【7 】首次提出，并给出了耦合不动点的存在性，后来郭 大钧【8 ，9 1 ，孙经先和刘立山【1 0 ，1 1 ，以及文献 1 2 - 1 4 等等都对混合单调 算子进行了研究 本文在未使用任何紧性条件的前提下，利用积一微分不等式理论和 单调迭代方法研究b a n a c h 空间二阶积一微分方程两点边值问题的解的 存在性和惟一性，并且给出收敛迭代序列的误差估计 设昱是实b a n a c h 空间，考虑b a n a c h 空间中非线性二阶积一微分 方程的两点边值问题： “：二巾，u , t ，、u , s u ) ，旭7 饵1 ) i ”( o ) ；，”( 1 ) = q “ 其e p ，= 【o ，1 1 孔( f ) = f 七( 柚) “( s ) 凼。勋( f ) = f ( ) “( s ) 西， 七( ) c d ，r + ， ( ) c ，i ，r + ，岛= n 瞰 后( 抽) ：( ) d ) ， 玩= m a x 矗( ) ：( ，s ) e i x i j 。 d = ( f s ) r 2 o _ s x t l j 。 r + = o ，佃) 3 2 预备知识和引理 设e 是实b a n a c h 空间，j p 是e 中的一个锥，p 在e 中定义半序“s ”。 即：x ，y e e ，工 o ，l o ，2 2 0 ，并且满足 l + 2 h o ，则p ( r ) 只v t ， 证明假设结论不成立j 伊，使用( f ) = 妒p ( r ) ) ，f j ，有 f 一( t ) - n m ( 1 ) + n i t r o ( t ) + n 2 s m ( t ) k ( o ) o , m ( 1 ) 0 同时，3 ，o 仨( o ，1 ) ，使所“) = r n 耐i n 用( ，) - - m 。“) 一 切纯) + mf 七“，s ) 掰( s ) 丞+ 2 f 矗“，s ) 掰o ) 凼 2 一n m ( t o ) + ir 七( f o ，s ) m ( t o ) d s + 2f ( r o ，s ) 肌“) 出 = 一埘瓴) 一ir 奇( r o ，s ) 由一镌f 矗( f d ，s ) 西 2 一删“) 一i r 西一2 f 西 _ - m ( t o ) n - n & - n a o 矛盾假设错误，故p ( f ) 2 0 ， v t ， ( 3 3 ) 引理3 2( 见文 1 6 ) x ( t ) c i ，e 】且工( ，) 在，上单增，对v 五，有 f x q ) d t s 2 x ( o a t 为了方便，列出下列假设： ( 甄)j 常数n o ，m 。2 2 0 满足下式； 1 8 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章b a n a c h 空间中二阶积一微 分方程边值问题 ( i )0 2 ( f ，u o ，k ，s v o ) + n , t ( v o l 岛) + 2 s ( v o 一) ， u o ( 0 ) s 而1 o ( 1 ) 而， v o - - - f ( t ，u o ，t v o ，s v o ) 一n i t ( v o 一“o ) 一2 s ( v o u o ) ， v 0 ( o ) 2 x o ，v o ( 1 ) 而 ( i i ) f ( t ，“2 ，z - v 2 ，s v 2 ) 一f ( t ，u 1 ，巩，s v i ) n ( u 2 一u 1 ) + l t ( v t v 2 ) + 2 s ( h 一屹) v 虬，ve u o ，v o ( i = l ，2 ) ，r u 2 嵋，v l v 2 ( 马) 3 q o ，i = 0 ，1 ，2 使 f ( t ，“，t v ，s v ) 一f ( t ，v ，t u ，s u ) a o ( u 一+ a i t ( u v ) + 口2 s ( u v ) 其中u o 墨v u v 0 ，t i ( 凰) ( i ) 口= 4 v + n , k o + 4 2 1 2 ( i i ) p = 4 ( a o + ) + ( 嘶+ 2 n , ) k o + 6 ( a 2 + 2 n 2 ) h o n , k o + 2 引理3 3 u o ，v oe c 2 【，e 】，l 吏- u o ( t ) v o ( t ) ，对于绣【4 0 ，v o 】( i = l ，2 ) ，考 虑线性两点边值问题 “：二巾m 确，) + ( 甜一吼) 一i r ( “一班) 一2 s ( “一玑) ， ( 3 4 ) i 甜( o ) = 而，u 0 ) = 毛 “ 满足q 和h 3 ( i ) ，则( 3 4 ) 有惟一解“，v o 】 证明 显然，“( f ) k ，v o 】是( 3 4 ) 的解当且仅当是如下积分方程的解 - 1 9 - 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章b a n a e h 空间中二阶积一微 分方程边值问题 “( f ) ；而+ ，( 一x o ) 一fj ：办r ( 只确，丁砚，s t 2 ) d s 一 r fj ：毋r 一r h ) d s + l f r 办r 西r 七( 只r ) ( “一r 1 2 ) d r + 2 fj ：西r 凼j = o ，r ) 一，7 2 ) d f + 咖r 厂o ，仇，t r l 2 ，s 刁2 ) d s + i ，i 似一? 出一lr 毋r 西r t ( 岛f ) 一珑) 出 ( 3 5 ) 一2r 卉r 蠡r 矗( j ，r ) 一砚) 卉e f u ( t ) 显然f ：c i ，e - c f ，e 】，并且“o ) 是( 3 4 ) 的解当且仅当“( r ) 是 f 的不动点，即f u = 甜 利用归纳法可验证 h ( ，) n ( r ) 1 1 ( + ；l + 2 训卺) ”一i i ( 3 6 ) t ，l = 1 23 对v “，v c s ，】 疗= 1 时，有 f u ( t ) 一f v ( t ) = ，j ：毋r ( v - u ) d s + ：咖r 一v ) a s + l f j ：毋r 凼c j ( s ，r ) 一v ) d r + lr 西r 西j ：| o ，r ) ( v 一) 如 + 2 r j ：毋r 凼j ：厅( 只r ) 一v ) d r + mr 咖j ：凼： ( s ，r ) ( v 一“) 如 有 2 0 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章b a n a e h 空间中二阶积一微 分方程边值问题 i l 凡( r ) 一f v ( t ) l l _ _ u o ：类似可得“sv o 撤( 3 4 ) 式 有惟一解甜 u o ，1 o 】 证完 定义算子a ：h ，v o x u o ，v o 卜【，】，对聃， u o ，v o 】， 托- 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章b a n a c h 空间中二阶积一微 分方程边值问题 a ( r l , ，仇) = “( r ) 是( 3 4 ) 的惟一解，即 “( f ) = + t ( x t x o ) 一t s 2 d r l ；f ( 只r l l ，t j ? 2 ，s r h ) d s 一，j ：毋r 一矾) d s + l fj ：咖r 西r t ( s ，r ) 一叮：) 咖 + 2 ，j ：西r 西j ：矗( s ，f ) 一仉) 出+ 【咖r ，( s ，仇，t r h ，s r ：) d s + r 西i 一r l , ) d s 一l 咖r 凼c t ( s ，f ) - 叩2 ) d r 一2 【d r 凼r ( 以f ) 似一，7 ：) d fs 彳( 仇，仉) 显然，玎( r ) 是( 3 1 ) 的解营玎( ，) 是一的不动点，e p u = a ( u , i - ) 3 3 主要结果 定理3 1 设，v oe c 2 【，e 】，v t ，有( f ) v o ( r ) ，假设( 日) ，( 吼) ， ( 坞) 都成立，则两点边值问题( 3 1 ) 在【，v 0 】有惟一解玎( f ) 【“。，v o 】，并 且存在单调序列 ) ， 使得 。l i m ( r ) = 舰( r ) = 盯( ，) ， 月4 同时有如下误差估计式： 卜( 让拟铴+ ) + ( + 2 n 。) k o + 3 ( a 2 + 2 ) 其中 ( 盯i i i i 。，n = 1 , 2 , 3 , - - u n = 4 ( 小一i ) ，= 爿( k l ，“叫) ， n = 1 ，2 ， ( 3 9 ) 证明 先证a ：k ，v 0 】【，v o 】_ k ，v 0 】是混合单调算子， - 2 3 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章b a n a c h 空间中二阶积一微 分方程边值问题 m ，e u o ，v o ，i = l ，2 并且s “2 ，v 2 v l ，令“= a ( u 2 ，v 2 ) ，v = a ( u l ，h ) 由( 3 4 ) 式和条件目( i i ) 有 - p 。= - ( u - v f = v 。一矿 = 厂( r ，q ，t v i ，s q ) + ( v m ) 一l r ( v h ) 一n ：f f - v , ) - f ( t ，u 2 ，z 、，s 屹) 一( “一z 如) + r ( “一吩) + 2 s ( ”一v 2 ) 一n ( u 2 - - d 1 ) - - l r ( v i v 2 ) 一2 s ( v i v 2 ) + ( v 一屿) 一i r ( v v 1 ) 一2 s ( v h ) 一n ( u 一屹) + r ( “一吃) + 2 s ( u - v ：) = 一( “一v ) + i r ( 甜一v ) + 2 s ( “一v ) = 一 + m 劢+ 2 s p p ( o ) = ( 一v ) ( o ) = 一而= 幺 p ( 1 ) = ( “一v ) ( 1 ) = 五- ：q = 争 由引理3 1 ，“一v 曰，即4 “，v i ) 爿( 啦，吃) ，因此一是【，v o 】中的混合单 调算子。由数学归纳法和a 是混合单调算子可得 h 0 s s h ( 3 1 0 ) 由( 3 1 0 ) 式和条件( 4 ) 以及引理3 2 可得 口s k - - i d n = a ( v n _ ，u n - ，) ( f ) 一4 ( 一。，一) ( ，) = ，j ：毋r l 厂( 5 ，- i ，n 钿，s v 一。) 一厂( s ，- p 乃- i ，s u 。) 】凼 + 咖r 【厂( s ，巩+ 瓯。) 一，( s ，巩，砜一。) p 枷j ：毋r ( 一u 。) d s + n t ：e r j o ( v , - l _ ) a s + i ，r 咖r 西r 七( s ，r ) ( 屹一“。) 打 一l fj ：西r 凼r 七( 以f ) ( 一i 一一。) d r 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章b a n a e h 空间中二阶积一微 分方程边值问题 + m f j ：咖r 西j ： ( j ，f ) ( 一v f 一2 fj ：办r 西j ： ( j ，f ) ( 一一一，f + r 咖r ( 一u ) a s + nj ：d r s o ( u 。一一。) a s 一lj ：办r 凼r 七( j ，f ) ( 一u d d f 一lr 办r 豳r 七( s ，r ) ( 一一一- ) 如 一2r 咖r 击： ( 岛f ) ( 屹一) 咖 一2j ：毋r 出f ：_ l l ( s ，f ) ( 。一一) d r ( + ) ，j ：咖r ( 一一。) a s + ( q + 2 1 ) 七o rj ：毋r 凼：( 心- 一一。矽r ( 3 1 1 ) + ( + 2 2 ) 缸j ：毋r 出r ( 。一。矽r l h ( ，) 一( f ) 1 1 吉 3 曼| ：二+ 嘶+ 2 m + 3 锡+ ( 3 1 2 ) ( 盯i i 懈“川胪l 2 ，3 ， 卜 当胛= 1 对，由( 3 1 1 ) 式 口h ( t ) - u l ( t ) ( + ) f r 毋r ( v o u o ) a s + ( + 2 n , ) k o rj ：咖r 西c ( v o u o ) d r + ( 6 2 + 2 n ：) h o f ：办r 西：( 一r 由p 的正规性 2 5 - 中国石油大学( 华东) 硕士论文第3 章b a n a c h 空间中二阶积一微 分方程边值问题 忆( f ) - u j ( f ) 0 【( + r ) j ：咖r 凼+ ( 喁+ 2 1 ) 岛j ：西r 西r 出 + ( + 2 n ：) h o i a ri a si a r lv o - - u o l l f f = 吉 3 ( + ) + ( q + 2 i ) + 3 ( 口：+ 2 ) + i v o - 1 4 0 i i c t r f 设，l = 时，( 3 1 2 ) 式成立