（基础数学专业论文）一些关于无截断假设的空间齐次boltzmann方程解的正则性研究.pdf

摘要 摘要 b o l t z m a n n 方程解的正则性研究在数学物理学科中是一个即有趣而又特别重 要的课题，近年来不断吸引着大量的科研工作者。研究的目的在于揭示单原子 气体中微粒分布函数的光滑性质。在这一领域中，人们发现，粒子之间通过弹 性碰撞而产生的摩擦效应会导致许多的数学分析方面的困难。为了避免这些困 难，b o l t z m a n n 方程早期的大部分研究工作都是基于g r a d 截断假设的基础上进行 的。然而，有研究表明，在g r a d 截断假设条件成立的情况下，在某些加权p 空 间中方程的解最多只能保持着与初值相同的正则性质。另一方面，有一个事实 是众所周知的，就是考虑客观的情形，如果没有附j j l l g r a d 截断这一假设条件， 那么b o l t z m a n n 算子类似于一个分数形式的l a p l a c e 算子。因此在这个时候，人 们有望通过运用各种数学工具和方法技巧，证明出b o l t z m a n n 方程解的光滑性效 应。 在研究无截断b o l t z m a n n 方程解的s o b o l e v 正则性方面，目前为止已经有了 不少先进的科研成果，使得这一课题在空间齐次的情况下较为满意地得到了证 实。我们将会在本论文的第2 章中介绍我们在这一方面所做的工作，即考虑一个 带有d e b y e y u k a w a 位势且t m a x w e l l i a n 类的模型，我们证明了齐次b o l t z m a n n 方 程的弱解如果对于速度变量是l i p s c h i t z 连续的，那么这一弱解将属于s o b o l e v 空 间联，( 酞3 ) 。 更进一步，为了得到更高的正则性，第3 章将致力于研究逆幂律位势下空 间齐次b o l t z m a n n 方程解的g e v r e y 类光滑性质。在第3 章的第一节中，我们针对 这一问题作一个简单的介绍，并列举出近年来b o l t z m a n n 以及其他相关方程在这 方面的一些成果。紧接着，在第二节中我们考虑了相应的非m a x w e l l i a n 类情况 下的线性化c a u c h y f 司题。值得一提的是，m a x w e l l i a n 类的情况已经在文章【2 5 】中 得到了解决。在这里我们将使用另外一种新的方法来得到解在局部空间中 的g e v r e y 正则性，并且不要求任何关于初值的g e v r e y 正则性假设。与 2 5 1 中的 方法相比，这一方法最大的特点是基于数学归纳，不仅仅要利用到抽象的拟 微分算子，还有许多其他前沿的数学分析技巧，比如c a u c h y 积分定理等等。更 重要的在于它能解决更复杂的诸如非m a x w e l l i a n 类的情况，这是 2 5 】中的方法 i 摘要 所不能解决的。在第三节中我们同样利用这一方法，进一步在m a x w e l l i a n 类和 非m a ) 【w e l l i a n 类这两种情况下，讨论相应的非线性c a u c h y i h - j 。加上一些合理 的假设条件，我们同样成功地得到了关于解的g e v r e y j e 贝l j 性的肯定的答案。 最后，第4 章作为全文的总结，主要总结本论文中的成果，存在的不足，以 及以后的研究方向。 关键词：c a u c h y 积分定理，d e b y e y u k a w a 位势，g e v r e y j e 贝t 性，逆幂律位势， ：l l z m a x w e l l i a n 类，无截断，拟微分算子。 i i a b s t r a c t a b s t r a c t a so n eo ft h em o s ti n t e r e s t i n ga n di m p o r t a n tp r o b l e m sf o rp h y s i c i s t sa n dm a t h e m a t i c i a n s ，t h er e g u l a r i t yr e s e a r c hf o rt h es o l u t i o no ft h eb o l t z m a n ne q u a t i o nh a sa t t r a c t e dm a n yp e o p l ei nr e c e n ty e a r s ，i t sp h y s i c a ls i g n i f i c a n c ei st os h o wt h es m o o t h n e s s p r o p e r t yo f t h eo n e - p a r t i c l ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o nf o rt h es i m p l em o n a t o m i cg a s i nt h e e a r l ys t u d yo ft h i sa r e a ，t oa v o i dt h em a t h e m a t i c a ld i f f i c u l t yf r o mt h eg r a z i n ge f f e c t si n e l a s t i cc o l l i s i o n sb e t w e e np a r t i c l e s ，m o s to ft h ew o r k so nt h eb o l t z m a n ne q u a t i o na r e b a s e do ng r a d sc u t o f fa s s u m p t i o n ，t h es t u d yw h i c hu n d e rt h ea s s u m p t i o ns h o w st h a ti n w e i g h t e dus p a c e 。t h es o l u t i o np r e s e r v e st h es a m er e g u l a r i t ya st h ei n i t i a ld a t a o nt h e o t h e rh a n d ，i ti sw e l lk n o wt h a tw h e ng r a d sa n g u l a rc u t o f fi sn o ta s s u m e d ，t h eb o l t z - m a n nc o l l i s i o no p e r a t o rb e h a v e sl i k eaf r a c t i o n a ll a p l a c i a na n dh e n c et h eb o l t z m a n n e q u a t i o nh a sb e e ne x p e c t e dt oe x h i b i tt h es m o o t h i n g e f f e c t so nt h es o l u t i o n s t ot h es o b o l e vc l a s sr e g u l a r i t yo ft h es o l u t i o no ft h eb o l t z m a n ne q u a t i o nw i t h o u t a n g u l a rc u t o f f , s of a rt h e r eh a v em a n ya d v a n c e dr e s e a r c hr e s u l t so nt h i st o p i ch e n c e i th a sb e e nj u s t i f i e ds a t i s f a c t o r i l yf o rt h es p a t i a l l yh o m o g e n e o u s c a s e a m o n gt h e m ， w ew i l li n t r o d u c eo u rw o r ki nc h a p t e r2o ft h i st h e s i s ，t h a ti s ，f o rt h en o n m a x w e l l i a n m o l e c u l e sc a s ew i t ht h ed e b y e y u k a w ap o t e n t i a l ，u n d e rt h ec o n d i t i o no fl i p s c h i t zc o n t i n u i t yi nt h ev e l o c i t yv a r i a b l e ，t h ep o s i t i v ew e a ks o l u t i o no ft h es p a t i a l l yh o m o g e n e o u s b o l t z m a n ne q u a t i o nl i e si nt h es o b o l e vs p a c e 珥# ( r 3 ) f u r t h e r m o r e ，i no r d e rt og a i nt h eh i g h e ro r d e rr e g u l a r i t y , c h a p t e r3i sd e v o t e d t os t u d yt h eg e v r e ys m o o t h i n gp r o p e r t yf o rt h es o l u t i o no ft h es p a t i a l l yh o m o g e n e o u s b o l t z m a n ne q u a t i o nw i t ht h ei n v e r s ep o w e rl a wp o t e n t i a lm o d e l i nt h ef i r s ts e c t i o n ，w e d oas i m p l ei n t r o d u c t i o no nt h i si s s u ea n dl i s ts o m er e s u l t sf o rt h eb o l t z m a n ne q u a t i o n a n do t h e rr e l a t e de q u a t i o n si nr e c e n ty e a r s a n dt h e ni nt h es e c o n ds e c t i o n ，w ec o n - s i d e rt h ec o r r e s p o n d i n gl i n e a r i z e dc a u c h yp r o b l e mi nt h en o n m a x w e l l i a nm o l e c u l e s c a s e ，i ti sw o r t ht om e n t i o nt h a tt h em a x w e l l i a nm o l e c u l e sc a s eh a sb e e ns o l v e di n 【2 5 w ew i l lg i v ean e wm e t h o dt og e tt h eg e v r e yr e g u l a r i t yo ft h es o l u t i o n si nt h e l o c a ls p a c e ，a n ds t i l lw i t h o u ta n yg e v r e yr e g u l a r i t ya s s u m p t i o nf o rt h ei n i t i a ld a t a t i i a b s t r a c t c o m p a r ew i t ht h em e t h o di n 【2 5 ，t h em e t h o di sb a s eo nm a t h e m a t i c a li n d u c t i o n ，i n c l u d i n gn o to n l yt h ea b s t r a c tp s e u d o d i f f e r e n t i a lc a l c u l u s ，b u ta l s om a n y o t h e rc a r e f u l a n da d v a n c e dm a t h e m a t i c a la n a l y s i st e c h n i q u e ss u c ha st h ec a u c h yi n t e g r a lt h e o r e m ， e t c m o r ei m p o r t a n t l y ，i ti ss u i t a b l ef o rt h em o r ec o m p l e xs i t u a t i o ns u c ha st h en o n m a x w e l l i a nm o l e c u l e sc a s e ，w h i c ht h em e t h o do f 【2 5 】c a nn o tb eu s e di n i nt h et l l i r d s e c t i o n ，b yu s i n gt h i sm e t h o d ，w et h e nf u r t h e rc o n s i d e rt h ec o r r e s p o n d i n gn o n l i n e a r c a u c h yp r o b l e mi nb o t ho ft h em a x w e l l i a na n dn o n m a x w e l l i a nm o l e c u l e s c a s e s u n d e rs o m es u i t a b l ea s s u m p t i o n s ，w ea l s og i v eap o s i t i v ea n s w e rs u c c e s s f u l l yf o rt h e g e v r e yr e g u l a r i t yo ft h es o l u t i o n s f i n a l l y , c h a p t e r4i sas u m m a r yo ft h et h e s i s ，m a i n l ys u m m a r i z et h er e s u l t s ，t h e d e f i c i e n c i e se x i s t i n ga n dt h ef u r t h e rr e s e a r c hd i r e c t i o n k e y w o r d s ：c a u c h yi n t e g r a lt h e o r e m ；d e b y e y u k a w ap o t e n t i a l ；g e v r e yc l a s sr e g u - l a r i t y ；i n v e r s ep o w e rl a wp o t e n t i a l ；n o n m a x w e l l i a nm o l e c u l e s ；n o n - c u t o f f ；p s e u d o - d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s i v 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除己特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名：羔型 签字日期： 2 0 l o 年只2 b 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 囹公开口保密( 年) 作者签名：鏊造堕导师签名： 签字日期：兰! ! ! ! 里! 呈 第1 章背景 第1 章背景 为了很好的描述单原子气体的颗粒分布状态随着时间和空间的变化， b o l t z m a n n 方程早在1 8 7 2 年就已经被l b o l t z m a n n 提出。直至今日，作为动力学 理论最著名的模型之一，它仍吸引着越来越多的研究人员。 在没有任何外力的情况下，b o l t z m a n n 方程可以写为如下的形式： + u v z f = q ( f ，f ) 在这里，= f ( t ，z ，u ) 是一个未知的标量函数，它象征性地描述了速度接 近口r 3 的粒子在时间t 0 ，空间位置z r 3 附近的概率密度。b o l t z m a n n 方程 ( 1 1 ) 表示的就是一种关于这个标量函数的平衡关系。方程( 1 1 ) 等号左边的 部分描述的是由于气体颗粒的移动导致的，的变化率。而在等号右边，q 通常被 称之为b o l t z m a n n 碰撞算子，它是一个双线性的函数，代表着通过弹性二体碰撞 而产生的粒子分布的变化率，依赖于 ，有如下的表达式： rc q ( g ，厂) ) = b 一仉，盯) 9 ( ：) ，( u 7 ) 一9 ( 仉) f ( v ) d a d v 。 ( 1 2 ) j r 3j s 2 其中盯s 2 ( r 3 上的单位球) ，并且 批半+ 半：= 半一半口 ( 1 3 ) 这里，u ，仉表示的是两个气体颗粒在弹性碰撞前的速度，而口7 ，u ：则表示它们 在碰撞后的速度( 参见图i ) 。 图1 ( 弹性碰撞) ： 根据上述的表达式，我们因此得到如下从物理学的角度来看，被分别称之为动 量守恒和能量守恒的两个恒等式： t ，+ 口。= t ，+ t ，：，l t ，1 2 + i 仉1 2 = i t ，7 1 2 + i 以1 2 ( 1 4 ) l 第1 章背景 b o l t z m a n n 碰撞截面b ( 1 z i ，盯) 是一个仅仅依赖于变量h 和内积 的一个非 负函数，它是由两个粒子在碰撞中产生的相互作用位势所决定的。尽管在一般 情况下它不能特别明确的表示出，但为了能够得到它的一系列主要性质，我们 通常设定 b ( i v 一仇i ，盯) = 西( i 一饥i ) b ( c o s o ) ，c o s 0 = ，0 【o ，号】 ( 1 5 ) i ”。_ i 一 现在我们列举下面两个经典的例子：第一个是内部分子势能满足逆幂律位 势v ( p ) = 去的情况，这里s 1 并且p 表示两个碰撞粒子间的距离，那么它就有 了( 1 5 ) 这样的表达形式，其中对应的动力学因子是： 西( i u 一仉i ) i v 一仇1 1 一；4 以及 b ( c o sp ) 嘉，p - o 对于某一常数k o 和o = ； 2 成立。1 0 ( 1 6 ) 这是一个著名的模型，从某种意义而言，它介于c o u l o m b 位势( 对应地，8 = 0 ) 和逆幂律位势之间。对应的b o l t z m a n n 碰撞截面引司样有着( 1 5 ) 的表达形式， 即 b ( i ，一仉i ，盯) k l v 一仉1 0 - 2 ( 1 0 9 0 - z ) 詈，当0 _ o 时， ( 1 7 ) 其中k 是一个正常数( 参阅 2 5 】) 。 在数学和物理当中，有许多未解决的问题导致b o l t z m a n n 方程的研究成 为了最重要且最富有挑战性的课题之一。其中的一个问题就涉及到了相 应c a u c h y i h - j 题解的正则性。为了避免碰撞截面角度奇点所造成的不可积问题， 以前的许多结果都是在g r a d 截断假设的基础上得到的。所谓g r a d 截断假设，即 是b ( c o s p ) 在9 = 0 附近恒等于零( 参阅 8 ，1 6 ，1 8 ，2 7 】) 。其中，【1 6 】揭示出了这 么一个事实，一旦加上g r a d 截断假设，则对于在全局m a x w e l l i a n 附近的解而言， 如果初值在某一加权l p 空间附近，那么它的奇异性质将会无任何阻碍地传播出 2 第1 章背景 去，因此在这个时候解不具有比初值更光滑的性质。另一方面，对于无截断假 设的逆幂律位势的情况，目前已经很好的估计出，b o l t z m a n n 碰撞算子类似于一 个奇异积分算子或拟微分算子，其主要项具有算子( 一) p 2 的特征，换句话说 就是， 9 ( f ，) = 一q ( 一) p 2 厂+ 其它一些正则项 ( 1 8 ) 其中c ，是一个正常数，它依赖于一些被某种方式控制住的量。这一结果由p a o 【2 9 和 u k a i 【3 1 1 指出，并且由l i o n s 【2 3 1 根据一些 2 2 】中的碰撞产生项的正则性质 而明确地建立起来。最佳i 拘s o b o l e v 指数u 2 由v i l l a n i 【3 3 证明得出。因此，在没 有g r a d 角度截断假设的情况下，b o l t z m a n n 方程被认为是具有正则性效应的。在 本篇论文中，我们将集中讨论的内容是如何得到空间齐次b o l t z m a n n 方程的相 应c a u c h y i h - j 题解的光滑性质。 3 第2 章s o b o l e v 空间正则性 第2 章s o b o l e v 空间正则性 2 1简介 在这一章，我们学习如下关于齐次b o l t z m a n n 方程的c a u c h y l b 题解的s o b o l e v 空 间光滑性效应： 甓划( ，) 呱r 3 0 ； ( 2 1 ) i 仆：o = y o 其中q ( ，厂) 是一个有着( 1 2 ) 表达方式的b o l t z m a n n 碰撞算子，而粒子分布函 数，则是一个依赖于两个变量t 0 ( 时间) 和u r 3 ( 速度) 的非负函数，也 就是说，在【o ，o o ) 嘲上，= f ( t ，u ) 0 。初值，0 被设定为是一个自然满足质 量，能量和熵有界的正数， f 0 0 ， f o ( v ) ( 1 + i v l 2 + i o g ( 1 - i - f o ( v ) ) ) d v 十o 。 ( 2 2 ) j r 3 值得一提的是，无角度截断的前提下，c a u c h y l h 题( 2 1 ) 弱解的存在性 已经在非常一般的情况下得到了证明，其中包括硬位势的情况。我们提 到l l a n i 在【3 2 】中的工作，他构造出了一种满足条件( 2 2 ) ，被称之为熵解的弱 解。而具有光滑性质的弱解的存在性是e h d e s v i l l e t t e s 和w e n n b e r g 在 1 7 q b 得到 的。因此，在本论文中，我们的讨论不再涉及解的存在性，而是仅仅集中在解 的一系列光滑性质中。 回顾以前关于无截断假设方面的成果，解的s o b o l e v 空间正则性的研究可以 追溯至1 j 1 9 9 0 年中期d e s v i l l e t t e s 的工作，在 i o ，li 】中，对于一些简单的模型，他 努力证明得出了空间齐次问题解的正则性，此外还可以参阅 1 2 1 4 】。后来，到 了二十一世纪，人们通过利用合适的拟微分算子，以及一些调和分析方面的工 具，得到了越来越多令人满意的结果。在这里我们特别提至l j a l e x a n d r e ，h u o ， m o r i m o t o ，s a f a d i ，u k a i ，x u 和y a n g 等人的工作，参阅【3 - 7 ，1 9 ，2 5 。他们的工 作均考虑了m a x w e l l i a n 的情形( 即在( 1 5 ) 中，圣兰1 ) 和修正了的非m a x w e l l i a n 的 情形( 即对于某个o 一y l ，圣( z ) = ( 1 + 2 ) 三) 圣( z ) = ( 1 - t - l z l 2 ) 吾f o rs o m e 0 ，y 1 ) 。尽管如此，就目前我们所了解的内容来看，我们发现，目前对于 s 第2 章s o b o l e v 空间正则性 未修正的非m a x w e l l i a n 情形( 即对于某个0 7 1 ，西( z ) = h 7 ) 的研究还是非 常少。这就是我们在本章中将要尝试讨论的课题。 首先我们介绍以下的函数空间： 瑶( r 3 ) = 厂；，在r 3 中可测，并且i l 川职 o 和o 0 和，( q ) 0 因为，满f f z l i p s c h i t z l - 垒续，所以对于任意e 0 ，存在q 。cq ，使得 蝎i n f 。妒( u ) 2 护0 ，蚓i n f kf ( ) 锄 o 以及厶。m 2 妒f 咖 0 ，我们有下面的结果， & = 上。乞( i 口一叫7 1 ) 6 ，( 叭u ) ，( 】妒聊妒，( u ，) 如咖咖 ( 2 9 ) o ( 1 ) i i m 6 妒f l l 2 l ：+ e c j 。 引理2 2 1 的证明情形1 是显然的，我们只需考虑情形2 。利用弱解，的l i p s c h i t z 连 续性性质，我们有 s = 上。乞( 卜叫1 叫叭叭旷m ，) 】妒 l 氛b f ( 删u + 咖 c z 。小u 咄卜1 ) 6 肌) 卜秒磁w ( t ，7 ) d a d v , d v 以上。二( 豁+ 1 ) 6 ，( h l 碡s i n o 删2m ，) d 础。如 7 ! ，( 1 + f 可7 f 1 + 7 ) ( 1 + i v 1 1 + ) ( b s i n 导) ，( 砜) 妒磁妒厂( 口7 ) d a d v ，d v ffq j 磷j s 2 二 这里我们用到了这么一个等价关系 ( 1 + i u 7 一u 。1 7 ) = 0 ( 1 ) ( 1 + i v 7 一仉i ) 1 利用( 2 8 ) 和下列的事实： 以及 8 5 聊( 妒) cq 。，妒。，f o i ”b s i n 罢s t n 口硼 + o 。 上。( 1 + h | 1 + 7 ) ，( 讥) 咖 + o 。，f 券f5 研4 c 0 8 c ，r 3 。u 。 i舌j 箜! 章 s o b o l e v 空间正则性 = 二二二= 二二= = = = 一一 我们能够得出 品g = c 里厂 r l 1 2 c c f r l q 。 0 ，我们有如下的结论， m 2 妒f ( v ) d v m 2 c f ( v ) d v 2 上。p 蝴洲口卜删孵删肌砌 ( 2 1 0 ) o ( 1 ) 1 1 妒川兰。+ e 。 引理2 2 2 的证明类似于引理2 2 1 的证明过程，由( 2 8 ) ，我们有 上。m ) 增妒m ) 如2l f ( 口) 孵州出u 2 ：、，( z ，) 露矽厂( 秽) 小，+ i 厂(t，)聊矽厂)如j，哦 a a 一、7 去z 。妒，( ) 聊妒，( u ) 咖+ z m 。，( u ) 懈妒，( u ) 咖 去上。矽，( u ) 聊妒，( u ) 咖+ c z 1 2 。懈妒，( u ) 咖 1 l 。矽厂( ) 懈砂，( 勘) 如+ c e = 0 ( 1 ) i i 坛移厂i | 2 ：+ g e 弱解，的l i p s c h i t z 连续性可以减弱为： i ，是一个局部l i p s c h 娩连续的函数； 2 存在两个正常数g ，岛，满足，( t ，) 0 ，使得对任意 ( 0 ，t o 】， i i ( m o 移f ) ( ) | i 羔。剑吲啪刚i 。+ q ，z 。i i ( m 6 妒f ) ( 丁川至。打托。 固定o ( o ，) 以及一个常数a ，使得它们满足q ，n a t o e 。，于是我们有 以下的估计式 ( i i ( 慨砂，) ( f ) i i 羔。+ a ) ( 1 l 慨( o ) 妒如l l i 。+ a ) + q ，i i ( m 6 妒f ) ( t ) 1 1 2 l 。d r p ； i ，0 + e 。 ( i i 慨( o ) 妒南1 1 2 。+ a ) + q ，2 ( ( 慨矽，) ( 丁) i l 羔。+ a ) 打 f l ：l g r o n w a l l 不等式得出 ( 如妒，) ( ) i i 乏。+ a e c f t 。( 1 l 慨( o ) 妒如l i 羔。+ a ) e c l ，。( c o l l f o l l 羔，+ a ) 即 i i ( 1 6 ) - n o 妒，( t ) i i 刍。一。( r s ) e c s n t ( c o l l f o l l 至。+ 4 ) 因此，对于任意一个给定的t 0 ，因为可以任意大，令6 - 0 ，我们得到了定 理2 1 2 的结论，i j c f ( t ) h + ( r 3 ) 。 通过定理2 1 2 的证明过程和结论，并且注意到具有紧支集的光滑函数砂的 性质，我们因此有了以下的几个附注： 注2 3 1 令f 是_ c a u c h y 问题( 2 j ) 的一个弱解。并且对于任意给定的时间t ( o ，死) ，f ( t ，) 是一个l i p s c h i t z l 垒续的函数，那么f ( t ，) 是一个弱无穷可微的函 数。 注2 3 2 在引j e 2 2 2 的证明过程中可以发现，f c 约l i p s c h i t z 连续性假设可以减弱 为条件j 和条件2 。实际上，根据函数砂的紧支，陛质，我们可以仅仅利用它们来 证明引理2 2 几 1 4 第2 章s o b o l e v 空间正则性 得到 更加清楚地说明，由条件j ，对于任意固定的u 2 q 1 = s u 卯( 妒) ，我们能够 f ( v x ) 一，( 2 ) i c 3 1 x u 2 l ，对于每个口1 u ；d i s t ( v ，q 1 ) 1 】 ( 2 1 6 ) 再由条件2 ，我们有 i ，( 妙1 ) 一，( 2 ) i c 4 i 1 一觇i ，对于每个幻1 ；d i s t ( v ，q 1 ) 1 ) ( 2 1 7 ) 令g = m a x c 3 ，c 4 ，我们得到以下的推论 厂( ) 一，( u 2 ) i 0 ； ( 3 2 ) l 几：o = 如 其中初值y o 0 ，并且满足( 2 2 ) ，q ( g ，) 是具有形式( 1 2 ) 的b o l t z m a n n - 次 算子，而p 被称为标准化的m a x w e l l i a n 分布，注意到q ( p ，p ) 三0 。除此之外，我 们将集中讨论修正后的硬位势的情况，即 西( i v - - 1 ) , f ) = ( 1 + 卜一仉1 2 ) 毛o 7 l ( 3 3 ) lb ( c o s0 ) 茄，0 - 0 ，0 i ， 2 我们定义，如果这里出现的奇性满足0 0 满足e 0 1 7 5 u l 2 ( 酞3 ) 。 注意到g 1 ( 豫3 ) 即是通常定义下的解析函数空间。当0 0 ，使得e 而 2 f l ( 【o ，t 】；h o o ( r 3 ) ) ) 。 对于线性的情形而言，目前最好的结果；是m o r i m o t o ，u k a i ，x u 和y a n g 在 2 5 1 的工作，他们证明了除了仅要求初值具有一般性有界性条件( 2 2 ) ，不加任 何额外的假设，弱解仍然具有g e v r e y 类的正则性质。这里我们想要指出的是 在 1 5 1 和 2 5 1 禾u 用的重要的证明工具是如下的指数形式加权的拟微分算子： 1 g 6 ( 加”) 2 再南，0 3 使得对于任意k n ， s u pll d 知，( ，) f f l 2 ( c ，) e k + l ( 七! ) 5 t a t o ，刀 特别地。如果 s u pi i f ( t ，) i i l 2 ( r a ) o 满足 l i m s u pl i d 南托，训嚣c ， 此外，如果我们加上如下的条件，即对于任意r 3 和任意口s 2 ，存在常 数c 0 ，7 0 【0 ，1 】和k ，使得 i 上。垂( 1 钞一 i ) ，( 秒) ，( u ) e 一伊+ 一t ，亭一d u d l c i k 厂( 加，) 型7 ) 其中士= 丝笋。那么对于任意( o ，丁】，存在一个依赖于它的常数s = s ( t ) ， 满足，( ，) g 3 ( u ) 。 3 2 线性化c a u c h y 问题 3 2 - 1主要结果证明中所需要的估计 为了得到前一章节中所列出的主要结果，在本章小节中，我们需要证明以 下的几个引理： 引理3 21 设西( 1 ，) = 1 = ( 1 + i t ，1 2 ) 吾，其中7 ( 0 ，1 ) ，钉r n l _ , x 7 l n n 。 那么圣的k 次导数满足 l 圣( 知) ) i 4 k 艮! 西 ) 一七 引理3 2 1 的证明不失一般性，我们只需考虑n = 1 的情况，其他情况类 似。通过直接的运算，我们有 圣( 2 m ( 口) = c ：f ，2 m 7 ( ，y 一2 ) ( 7 2 i 一2 m + 2 ) ( 1 + v 2 ) i 牛m 秽2 i = 0 2 0 第3 章g e v r e y 类正则性 和 圣2