（计算数学专业论文）奇异伪辛群作用下子空间轨道生成的格.pdf

中国民航大学硕 ：学位论文 中文摘要 典型群作为群论的一个重要分支，在近代数学的发展中扮演着很重要的角色； 典型群与很多数学分支( 比如k - 理论、复分析、有限几何和编码理论等) 有着很密 切的联系9 0 年代起，万哲先和霍元极以及导师高有等人对有限域典型群作用下子 空间轨道生成的格的几何性及其特征多项式进行了大量的研究并得到了一系列的成 果；本文主要利用矩阵的方法把霍元极与万哲先以及高有等人关于有限域上典型群 作用下子空间轨道生成的格的研究结果推广到特征为2 的有限域上奇异伪辛群作用 下子空间轨道生成的格上 设是特征为2 的有限域，嘭“o 是有限域吒上的( 劾+ 6 + z ) 一维行向量空间， p + 。+ ，知+ 。( e ) 是e 上( 劬+ 6 + ，) 级奇异伪辛群，2 “的所有( m ，2 s + z ，岛s ，七) 型 子空间所成的集合为肘伽，五+ f ，s ，f ，k ；2 v + 6 + ，2 v + 1 ) 若m 仰，2 s + i t ，岛e ，七；幻+ d + z ，知+ f ) 非空，那么它在两：。山+ 。( f 口) 作用下构 成一子空间轨道 ” 用l ( m ，厶+ f ，j ，k ；2 x , + 6 + z ，2 v + 1 ) 表示m 伽，2 s + f ，s ，e ，k ；2 v + 6 + f ，2 v + 1 ) 中 子空间交的集合并约定零个子空间的交为砸：2 ”“；按子空间之间的包含或反包含关 系来规定l ( m ，2 s + f ，以，k ；2 v + 6 + ，2 v + f ) 的偏序，相应地我们就得到两种不同的 格：k 伽，知+ f ，s ，s ，k ；2 v + 6 + ，扫+ 6 ) 和k ，知+ f ，j ，f ，| | ；勋+ d + ，幼+ 6 ) ( 6 - 1 或孙本文就2 v + 1 + f 级奇异伪辛群作用下子空间轨道生成的格主要研究以下四个 问题： ( 1 ) k 伽，厶+ f ，j ，k ；2 v + l + l ，知+ 1 ) 包含k ( ，2 s l + 毛，墨，q ，墨；知+ 1 + z ，劬+ 1 ) ( 或者厶，妇+ f ，以，k ；2 v + l + l ，2 v + i ) 包含厶( ，1 1 ，毡+ q ，墨，毛，k l ；2 v + l + l ，知+ 1 ) ) 的充分必要条件； ( 2 ) 刻画给定的子空间轨道m 生成的格k 咖，知+ f ，s ，k ；2 v + l + l ，2 v + 1 ) ( 或者 工d ( 小，知+ f ，s ，f ，k ；2 v + 1 + ，2 v + 1 ) ) 中所含元素的特征； ( 3 ) 利用偏序集上的m 6 b i u s 反演公式计算格k 伽，知+ f ，岛，k ；2 v + l + l ，2 v + 1 ) 的 特征多项式； ( 4 ) 讨论格岛仰，压+ f ，s ，k ；2 v + 1 + j ，2 v + 1 ) 和k 仰，2 s + f ，s ，f ，k ；2 v + l + l ，2 v + 1 ) 中国民航大学硕l 学位论文 的几何性 关键词：几何格；奇异伪辛群；子空间轨道；特征多项式 中国民航大学硕士学位论文 a b s t r a c t a sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fg r o u pt h e o r y , c l a s s i c a lg r o u p sp l a yak e yr o l ei nt h e d e v e l o p m e n to fm o d e r nm a t h e m a t i c s i th a sc l o s ec o n n e c t i o nw i t hm a n yb r a n c h e so f m a t h e m a t i c ss u c ha sf i n i t eg e o m e t r ya n dc o d i n gt h e o r ya n ds oo n i nt h i sp a p e r , w e s t u d yt h el a t t i c e sg e n e r a t e db y t h eo r b i t so fs u b s p a c e su n d e rf i n i t e s i n g u l a r p s e u d o - s y m p l c c f i cg r o u p s l e te “川b et h e ( 2 v + 6 + 小d i m e n s i o n a lv e c t o rs p a c eo v e rt h ef i n i t ef i e l d e ( i nt h i sp a p e rw ea s s u m et h a t 墨i saf i n i t e f i e l do fc h a r a c t e r i s t i c2 ) ，a n d p s 2 。+ j “+ j ( f , ) t h es i n g u l a r p s e u d o - s y m p l e c t i c g r o u p s o f d e g r e e ( 2 0 + 6 + f ) o v e r 砖 l e t m ( 坍，2 s + f ，j ，s ，k ；2 0 + 6 + ，2 0 + f ) b e a n y o r b i to f s u b s p a c e s u n d e r p s 2 v m 恤+ d ( ) ，d e n o t e db yl ( m ，2 s + z ，跗，k ；2 0 + 6 + f ，2 0 + 1 ) t h e s e to f s u b s p a c e w h i c h a r e i n t e r s e c t i o n o f s u b s p a c e s i nm ( ，蚪，2 s + l r ，s ，e ，k ；2 0 + 6 + f ，2 v + 1 ) a n dt h ei n t e r s e c t i o no ft h ee m p t ys e to fs u b s p a c c so f 砸：2 ”“i sa s s u m e dt o b e “ b y o r d e r i n gl ( m ，2 s + f ，s ，f ，k ；2 0 + 6 + f ，2 v + 1 ) b yo r d i n a r y o rr e v e r s e i n c l u s i o n , t w ol a t t i c e sa r eo b t a i n c d ： 上d 伽，知+ f ，k ；2 0 + 6 + f ，2 v + 6 ) a n dk 沏，2 s + r ，s ，k ；2 v + 6 + ，2 v + 6 ) r e s p e c t i v e l y ；i nt h i sp a p e r ，w ew i l ls t u d yt h el a t t i c ew h i c h t h ec a s e6 - 1f r o mt h e f o l l o w i n gf o u ra s p e c t s ： ( 1 ) t h e i n c l u s i o nr e l a t i o n sb e t w e e n t h e l a t t i c e s k 伽，2 s + f ，j ，k ；2 v + l + l ，知+ 1 ) a n d k 帆，勰+ 毛，毛，o 。t ，k t ；2 0 + l + l ，2 0 + 1 ) ( o r l o ( 小，2 s + f ，s ，k ；2 v + l + l ，2 0 + 1 ) a n d l o ( m x ，2 s 1 + 毛，毛，o u l ，q ；2 0 + 1 + ，2 0 + 1 ) ) g e n e r a t e db y o r b i t so fd i f f e r e n t s u b s p a c e s , ( 2 ) t h ec h a r a c t e r i z a t i o no fs u b s p a c e sc o n t a i n e di nag i v e nl a t t i c e k ( m ，2 ，+ f ，s ，k ；2 0 + l + l ，2 0 + 1 ) ( o rl c ( 优，2 s + f ，s ，s ，k ；2 0 + 1 + f ，2 ”+ 1 ) ) ， i 中国民航大学硕十学位论文 ( 3 ) t h ec o m p u t a t i o no ft h ec h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l s x ( l ，2 s + f ，s ，k ；2 v + 6 + ，2 v + f ) ，t ) o fl k ( 脚，2 s + f ，5 ，f ，k ；2 v + l + l ，2 v + 1 ) b yt h ef u n c t i o no fm 6 b i u s ， ( 4 ) t h eg e o m e t r i t yo f l a t t i c e sl o 伽，2 s + r ，s ，k ；2 v + l + l ，2 v + 1 ) a n dk ( ，行，2 s + 1 5 ，s ，k ；2 v + 1 + z ，2 v + 1 ) k e yw o r d ：g e o m e t r i cl a t t i c e ；s i n g u l a rp s e u d o - s y m p l e c t i cg r o u p s ；o r b i t so f s u b s p a c c s ：c h a r a c t e r i s t i cp o l y n o m i a l s i v 中国民航大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所 知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得中国民航大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 至聋绉 日期：丝巫兰堑 中国民航大学学位论文使用授权声明 中国民航大学，中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件 和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内 容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全 部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权中国民航大学研究生部办理。 研究生签名：至生堑鱼导师签名：物日期：2 1 瘟! 墨：丝 中国民航大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 课题背景与发展概况 典型群作为群论的一个重要分支，在近代数学的发展中扮演着很重要的角色；典 型群与很多数学分支( 比如复分析和编码理论等) 有着很密切的联系我国典型群的 研究，是华罗庚教授在2 0 世纪4 0 年代开创的，其特点是在几何背景的指导下，用矩 阵方法研究典型群，此方法在典型群的结构和自同构的研究中很有成效，并在2 0 世 纪中叶取得了丰硕的成果，受到国际同行们的重视而且他们把以华罗庚为代表的典 型群研究群体誉为典型群的“中国学派” 后来，典型群的研究领域逐步扩大，万哲先与他的学生以及合作者们对有限域 上典型群几何学的理论和应用作了深入的研究有限域上典型群的几何学主要研究 了有限域上各种典型群作用下的向量空间的记数定理、子空间存在的条件及可迁性 等内容，这些成果汇集在万哲先的专著【1 2 】中典型群的几何学的应用所涉及的内 容有：结合方案和区组设计、认证码、射影码和子空间轨道生成的格等特别是近 年来，人们利用有限域上的各种典型群作用下的几何空间及有限域上的一些特殊矩 阵构造了许多带仲裁和不带仲裁认证码，参见文献【3 8 】 自上世纪9 0 年代起，人们对有限域典型群作用下子空间轨道生成的格的几何性 及其特征多项式进行了大量的研究，并得到了一系列的成果m a i g n e r 在文献 9 中利用口元有限域e 上向量空间的全体子空间构成的几何格，并计算了它的特征多项 式；p o r l i k 与l s o l o m o n 在文献 x o i 和 1 1 1 r p 利用有限域上的酉几何，特征不为 2 的有限域上的正交几何中的全体非迷向超平面生成的几何格，并计算了它的特征多 项式；万哲先和陈冬生在文献1 1 2 1 利用有限域上辛几何中一类非迷向子空间生成的 几何格，并计算了它的特征多项式，在文献1 1 3 q a 利用特征为2 的有限域上伪辛几何 中的全体非迷向超平面生成几何格，并计算了它的特征多项式；高有和游宏在文献1 1 4 】 中利用特征为2 的有限域上伪辛几何中的全体非迷向超平面生成的几何格，并计算了 它的特征多项式；同一时期，霍元极、刘迎胜和万哲先等人又利用有限域上各种非奇 异典型群作用下的子空间轨道生成的格及其特征多项式进行了研究，主要有：文献 【1 5 1 8 1 利用一般线性群、辛群、酉群、正交群、伪辛群作用下的子空问轨道中元 素的交生成的格；文献0 9 和1 2 0 1 利用有限域上非奇异正交群、伪辛群作用下的具有 相同维数和秩的子空间的交生成的格及其特征多项式进行了研究2 0 0 1 年，霍元极 与万哲先在文献【2 1 】中又讨论了有限域上一般线性群、辛群、酉群及特征不为2 的有 限域上正交群作用下的子空间轨道生成的格的几何性，之后霍元极与万哲先在专著 f z 2 1 * 又讨论了特征为2 的有限域上正交群、伪辛群作用下子空间轨道生成的格的几 何性 以上研究成果都汇集在万哲先和霍元极的专著【2 2 】中 中国民航大学硕士学位论文 2 0 0 3 年，高有在文献1 2 3 对有限域上奇异酉群作用下的子空间轨道生成的格 的几何性及其特征多项式进行了研究，同年，高有和游宏又在文献1 2 4 讨论了有限 域上奇异辛群作用下的子空间轨道生成的格的几何性及其特征多项式 针对有限域上典型群作用下的子空问轨道生成的格，他们主要研究了以下四个方 面的问题： ( 1 ) 不同轨道生成的格之间的包含关系； ( 2 ) 给定轨道生成的格中所含子空间的特征； ( 3 ) 各种子空间轨道生成的格的特征多项式； ( 4 ) 各种子空间轨道生成的格的几何性 本文旨在把以上研究内容扩展到特征为2 的有限域上2 v + 1 + f 级奇异伪辛群作 用下子空间轨道生成的格上 1 2 本文主要研究的内容与结构 本文共分三章第一章阐述了课题背景和发展概况第二章为预备知识，着重介 绍了后面各章节中要用到的一些符号、概念和基本结论第三章主要研究了特征为2 的有限域上知+ 1 + f 级奇异伪辛群愚。l 。( c ) 作用下子空间轨道生成的格 第3 1 节讨论了由不同的子空间轨道生成的格 厶细，压+ f ，j ，七；知+ 1 + ，2 v + 1 ) 与k o 吼，勰+ f 1 ，毛，s 1 ，k l ；2 v + l + l ，2 v + 1 ) 之 间的包含关系； 第3 2 节刻划了给定的格k ，压+ f ，j ，k ；2 v + l + l ，2 v + 1 ) 中所含子空间的特 征； 第3 3 节给出了奇异伪辛空间，夕+ “中子空间包含关系的一个定理； 第3 , 4 节给出格k ，妇+ f ，s ，s ，k ；2 v + l + l ，2 v + 1 ) 和格 k 伽，2 s + t ，s ，k ；2 v + l + l ，2 v + 1 ) 的秩函数； 第3 5 节计算了格k ，勉+ f ，j ，k ；2 v + l + l ，2 v + 1 ) 的特征多项式； 第3 6 节讨论了格厶 ，知+ f ，s ，f ，七；知+ 1 + f ，2 v + 1 ) 与 k 沏，知+ f ，s ，e ，k ；2 v + 1 + f ，2 v + 1 ) 的几何性 2 中国民航大学硕十学位论文 第二章预备知识 2 1 偏序集和格的一些基本概念和性质 本节将给出有关偏序集和格的一些基本概念和性质( 参见文献【2 2 】) 设p 是一个非空集，乏是定义在p 上的一个二元关系，如果它满足自反性、对称 性和传递性，则p 就叫做一个偏序集，叫做p 上的偏序，简称序；如果口土b ( 或者口6 ) 而口- b 就记a b ( 或者4 b ) 对于m e p ，如果不存在a e p 使得a c m ( 或a ，m ) ，则称m 是p 的极小元( 或极大 元) 若p 有唯一的极小元( 或极大元) ，则记这个极小元( 或极大元) 为o ( 或1 ) ，并称偏序 集p 有最小元0 ( 或最大元1 ) 设r 是偏序集p 的一个子集，“p ，若对所有的x e t 都 有“石( 或hs x ) ，则称“为z 的一个上界( 或下界) 若u 是r 的一个上界，而对于r 的 任意上界v ，都有v h ，那么u 就叫做r 的上确界如果r 有上确界则必唯一，并记作 s u p t ，同样地，可以定义丁的下确界，并记作i n f f 定义2 1 设p 是一个偏序集，口，b e p 我们说b 覆盖a ，如果口6 ，而且不存 在c e p 使得口c ( b 记为4 毋 定义2 2 设p 是一个偏序集，口，b e p ，a 6 ，如果存在4 l a o ，吒，a 。- 6 使得 4 蕾a o 口l a 。暑6( 2 1 ) 我们就把链2 1 叫做以口为起点b 为终点的链，n 叫做它的长，如果有q c a i + 。则链2 1 叫做a 、b 极大链 定义2 3 偏序集尸说成是满足j o r d a n d e d e k i n d 条件，简称j d 条件：如果对任 意的口，b e p ，口 6 ，以a 为起点b 为终点的所有极大链有相同的有限长 定义2 4 设p 是一个偏序集，如果对于任意的a ，6 p ，口t 6 ，区间如，b 】都是有 限集，则p 就叫做局部有限偏序集如果p 是有限集，则p 就叫有限偏序集 定义2 5 设p 是一个局部有限偏序集，r 是有单位元的交换环设u ( x ，y ) 是定义 在p 上而在r 中取值的二元函数假定“，y ) 满足以下三个条件： ( i ) 对于任意的x e p ，总有u ( x ，石) 1 1 ； ( i i ) 对于x ，y e p ，如果x y ，则o ，y ) = 0 ； ( i i i ) 对于x ，y p ，如果x ( y ，则 ，z ) = 0 ， 中国民航丈学硕士学位论j 就把p o ，y ) 叫做p 上的m 6 b i u s 函数 命题2 6 局部有限偏序集上一定有m 6 b i u s 函数，而且是唯一的 命题2 7 设p 是有最小元0 的局部有限偏序集，r 是有单位元的交换环，再设 u ( x ，_ ) ，) 是定义在p 上而在尺中取值的m 6 b i u s 函数，i ( x ) 是定义在p 上而在r 中取值的 函数，对于任意的x e p ，令 g o ) 一厂( ) ，) ( 2 2 ) 那么 ( x ) - 芝g ( ) ，) ( ) ，x ) ( 2 3 ) 反之，设g ( 力是定义在p 上而在r 中取值的函数，对于任意的z p ，按式2 3 来定义 f ( x ) ，则式2 2 成立 平行的又有 命题2 8 设p 是有最大元1 的局部有限偏序集，r 是有单位元的交换环，再设 ( 毛y ) 是定义在p 上而在r 中取值越j m 6 b i u s 函数，i ( x ) 是定义在p 上而在r 中取值的 函数，对于任意的x p ，令 g o ) t ，( ) ，) ( 2 4 ) 那么 ，o ) 一g ( ) ，m o ，y ) ( 2 5 ) 反之，设9 0 ) 是定义在p 上而在r 中取值的函数，对于任意的x e p ，按式2 5 来定义 ，o ) ，则式2 4 成立 定义2 9 设鼋是素数幂，n 是非负整数，并且工是未定元多项式 f 1如黝1 0 啪卜协) 椭订 称为g a u s s 多项式 定义2 1 0 设尸是有最小元0 的偏序集，对于a e p ，如果以0 为起点，a 为终点 的所有极大链有相同的长度，那么这个公共的长度叫做a 的秩，记作r ( a ) 如果对任意 i 拭j a e p ，都规定了秩r 0 ) ，就说尸有秩函数：r ：p n 。其中n 。是全体非负整数组成 4 中国民航人学顾j 二学位论文 的集合 命题2 1 l 设p 是含有最小元0 的偏序集如果p 满足j d 条件，则p 上存在秩 函数，：p n o ，并且 ( f ) r ( o ) 一0 ， ) 如果at 毋，那么r ( b ) r ( 口) + 1 反之，如果存在p 上而n 。在中取值的函数r 且满足o ) 和( i i ) ，则p 满足j d 条件 并且r 为p 的秩函数 ” 定义2 1 2 如果偏序集中任意两个元素都有上确界和下确界，则l 称为格；把l 中两个元素a 和b 的上确界和下确界分别记为av b 和a b ，相应地分别读作a 并b 和a 交b 当含有有限个元素时，就称它为有限格 定义2 1 3 设l 是一个有极小元0 的偏序集，a e l ，如果0 c 位则称a 为l 的 原子；如果对于每一个口工 0 ，口都是一些原子的上确界，即a = s u p b e l l o t 古口 则称为原子格 命题2 1 4 设工是含有极小元0 的有限格，则是原子格的充要条件是对于每一 个工、 o 的元素都是一些原子的并 定义2 1 5 设是含有极小元0 的格，如果满足： g l 对每一个a e l o ) ，有口- s u p b i b e l ，0 西主4 ； g 2 工具有秩函数r 且对所有的毛y e l ，都有 ，o y ) + ，o v y ) s ，o ) + ，( ) ，)( 2 6 ) ； g 3 不含无限链 则是几何格 命题2 1 6 设是含有极小元0 的有限格，l 是几何格当且仅当满足： g l 每一个口l 、 0 都是一些原子的并； g 2 工具有秩函数r 且对所有的工，y e l ，都有式2 6 成立 定义2 1 7 设和c 是两个格，它们的运算分别是v 、 和v ， ，而舻是到r 的双射如果 伊0v 6 ) 一妒0 ) v 妒p ) ，妒( 口 b ) 一妒似) 妒p ) 中国民航大学硕l 学位论文 z ( p ，工) 4 0 , a ) x 1 一。 吾 设暖表示g 元有限域，其中g 是一素数幂，巧表示墨上的非零元构成的乘法群本 节总用( 哆) 表示上的，级一般线性群，用m 。( 哆) 表示巧上的所有一f 矩阵的集 对于n 一2 v ，e 上的n + f 级奇异辛群定义如下： 盼t 酬掣喁蜀。( 如。) 氐书0 0 ) ) 若艺的特征为2 ，对于 一知+ 6 - 1 , 2 ) ，e 上的厅+ ，级奇异伪辛群定义如下： n“。：，。c，-a“。a-，露，r-咒，最，-(如讲，)，a-。：，s-，皇名。】，是-(7：等：】 设蟛2 “是上知+ z 维行向量空间，虢。，( ) 在砸： “川上的作用定义如下： 嘭2 州印：吼。( ) 一： 2 “ ( ( 黾，屯，恐。) ，丁) h ( 五，x 2 ，吒。) 丁 ( 2 7 ) 2 u + l 维向量空间蟛“连同奇异辛群虢。，( ) 在它上面的作用一起称为e 上的 2 v + f 维奇异辛空间设q ，e 2 v ，。，e 2 w 是砸：”州的一组基，e 一( e 2 。，气+ 2 ，+ i ) 中国民航大学硕士学位论文 c 。踊p 合同于肼沏力。( ， ! 名扩。， ( i i ) d i m ( p - 1 e ) 一k 记嘭2 “的所有伽，s ，七) 型子空间所成的集合为m ( m ，s k ；2 v + l ，u ) ，由文献嘲可知 m ( m ，s ，k ；2 v + l ， ) 非空当且仅当 0 k s l , 2 s 肌一k s t ，+ 占 ( 2 8 ) 或 m a x o ，m - u - s s 七s m i n l ，m 一勉( 2 9 ) 成立若m ( 肌，5 ，k ；2 v + l ，t ，) 非空，那么它在印。咖( e ) 作用下构成以子空间轨道用 l ( m k ；2 v + l ，t ，) 表示肼( 肌，s ，k ；2 v + l ，) 中子空间的交组成的集合，并约定嘭2 “是 m ( i ，s ，k ；2 v + l ，t ，) 中零个子空间的交，那么嘭“o l ( 册，j ，k ；2 v + l ，t ，) ，按子空间的包 含或反包含关系定义l ( m ，s ，k ；2 v + l ，1 的偏序，得到两个偏序集，分别记作 k ( m ，咒七；幼+ ，v ) 和l s 伽，j ，k ；2 v + l ，1 , 5 ) 易知对任意两个元素p ，q e l o ( m ，j ，k ；2 v + l ， ) ，有 p q p n q ，尸v q r 忸厶( 坍，s ，k ；2 v + l ，v ) l r 2 ( p ，q ) 其中( p ，q ) 表示子空间p 与q 的和，因此k 沏，s ，k ；2 v + l ， ) 是一个有限格 类似地，对任意两个元素p ，q k ( i n ，j ，k ；2 v + l ，t ，) ，有 p q r 1 r 厶l ，j ，k ；2 v + l ，v ) l g ( p ，q ) ，p v q - p n q 因此k 劬，s ，k ；2 v + l ， ) 也是一个有限格称k 沏，s ，k ；2 v + l ，”) 和k 仰，j ，k ；2 v + l ，t ，) 是由 j l j 道m ( m ，是k ；2 v + f ，u ) 生成的格 类似于式2 7 可以定义知+ 6 + ，维群两：。螂。( 哆) 在知+ 6 + ，维行向量空间 ：2 ”“o 上的作用，从而得到上的幻+ 6 + ，维奇异伪辛空间蟛2 ”“o 上的一个m 维 7 ! 堕垦堕盔兰堡兰竺笙塞 子空间p 说成是沏，厶+ f ，矗e ) 型子空间，其中f - 0 ，域2 ，一0 或1 若雕。p r 合同于 m 伽，2 s + f ，5 ) 且如下形式的向量 l ( oo ，0 ，l o ，工2 。d ，而。+ 2 “) 6 2 不属于p 或属于p 分别对应于。0 或1 ，而m 伽，2 s + l j ) 对应于f - o 域2 分别为如下三 f 似，红s ，一( o 。， 和 肼( m ，厶+ 1 s ) 一 m ( 胍，压+ 2 ，5 ) a oi u ) j o ，0 0i o ) i u ) 0 1 o 一一“一1 01 1 l 设岛，气。，e 2 , 。，e 2 。+ ，为知+ 6 + z 维奇异伪辛空间e 2 ”“的一组基， e 一( m l ，一，b 2 l r “) ，则d i m e - 1 2 ”“o 上的一个的子空间p 称为沏，2 s + v ，岛，七) 型子空间，若它满足： ( 唾p 是( 槐，勉+ r ，s ，f ) 型子空间， ( i i ) d i m ( p n e ) - k 记e 2 川的所有沏，2 s + r ，j ，e ，七) 型子空间所成的集合为 m ( m ，幻+ f ，5 ，s ，k ；2 v + j + ，2 v + ) ，由文献2 1 可知m ( m ，知+ _ r ，5 ，七；知+ 6 + f ，加+ f ) 非 空当且仅当 8 中国民航大学硕i 学位论文 脚嬲器器曷亿d 象署 七f 且 2 5 + m a x g ，e ) s 所一k s ”+ s + ( f + 6 1 ) 2 1 + s 同时成立，或者 且 ”嬲船器高2 , 0 。乙9 豢茹 ( 2 1 0 ) m a x o , m 一”- - $ - - 【卜+ 6 1 ) 2 1 一) 董t ：m i n 1 ，m 一2 s m a 】【忆s ) ( 2 1 1 ) 同时成立 若m 沏，2 s + v ，s ，k ；2 v + 6 + l ，知+ ，) 非空，那么它在n ：。，。+ 。( 呸) 作用下构成一 子空间轨道，类似于奇异辛群的情形，可得：由m ，幻+ f ，s ，k ；2 v + c 5 + f ，2 v + 1 ) 中子 空间的交按其包含或反包含关系规定它的偏序生成两个有限格，分别记作 k ( i ，l ，2 s + l 以，k ；2 v + 6 + ，知+ f ) 和k ，2 s + v ，s ，k ；2 v + 6 + ，2 v + 1 ) 9 中国民航大学硕：l 学位论文 第三章奇异伪辛群作用下子空间轨道生成的格 本章始终假设e 是特征为2 的有限域2 ”“。为次数为( 知+ 6 + f ) 奇异伪辛群空 间，m ( m ，知+ l s ，七；知+ 6 + z ，勃+ ，) 是风：。+ f 。+ 。( b ) 作用“o 下的子空间轨道， k ，五+ f ，是，七；知+ 6 + z ，知+ j ) 和k 伽，五+ 毛j ，t 扫+ 6 + f ，知+ j ) 是m 仰，幻+ f ，s ，七；知+ 6 + f ，知+ f ) 按包含和反包含关系生成的两个有限格在本论文 中我们只讨论6 1 的情形 ， 3 1 格g ( m ，知+ f ，j ，七；知+ 1 + ，知+ 1 ) 之间的包含关系 首先看一个同构引理 引理3 l 1 若倾，幻+ f ，s ，f ) 满足式2 1 0 和式2 1 1 ，则有 k ，厶+ f ，s ，s ，l ；2 v + “z ，2 v + o k 仰- 1 ，妇+ f ，j ，；劫+ 1 ) 而k 伽一f ，墨+ f ，s ，s ；知+ 1 ) 的情形文献已经讨论过。所以本节以及以后各节里面我 们只考虑0 s k 1 的情形 定理3 1 2 设厶墨m ks u + s ，0 蔓k 0 ，只要证明 f ( ，打一1 ，扫+ f ，s ，o , k ；2 v + 1 + f ，2 v + 1 ) c k ( ，行，2 s + f ，s ，o , k ；2 v + 1 + f ，2 v + 1 ) ( 3 2 ) 即可 如果厶+ f m 一1 - k ，那么 m ( ，栉一1 ，幻+ f ，s ，0 ，k ；2 v + 1 + ，2 v + 1 ) _ 驴， 从而 g ( m - l , 2 s + r ，s ，0 ，k ；2 v + l + ，2 v + 1 ) = 2 ”1 “ c k ( ，雄，2 s + f ，s ，0 ，k ；2 v + 1 + f ，2 v + 1 ) 即式( 3 2 ) 成立 1 1 中国民航人学硕十学位论文 现在假设幻+ f 蔓m 一1 - k ，那么 m ( ，行一1 , 2 s + _ r ，s ，0 ，k ；2 v + 1 + f ，2 v + 1 ) - 对于任意 p e m ( 坍一t , 2 s + f ，s ，o , k ；2 v + 1 + f ，2 v + 1 ) ， 可设p 有如下形式的表示矩阵 即阻一2 薯， q 。 必舻“躞蒿蠕三 这里黾一( ，o ，艺) 因而q m 一1 一七，s + 【蚓；知) ，即q 是知维辛空间嘭d p o o j ( m 一1 一k ，s + 【】) 型 伊 是知维辛空间蟛“中的一对( 历一k ，j “d 型子空间 又因为 1 七 小 吃，书叭 p 中国民航人学硕士学位论文 q l 0 v1 q 2 0 屹0 q 1 0 v1 q 2 0 屹0 都是知+ 1 维的伪辛空间嘭2 ”1 中的沏一七，厶+ f ，j ，0 ) 型子空间，且 令 q 1 0 v1 q 2 0 吒0 n q l 0 p1 q 2 0 v 2 0 = 弓。 ?。【c毒；，量0竹一11一七i-l20 k 日- j ( h ，o )l i易j 则只m 伽，2 s + l r ，s ，o , k ；2 v + l + l ，矽+ i x i - 1 , 2 ) ，p f f i n 昱，d i m ( p j n e ) = k 从而p 厶m ，2 s + r ，s ，0 ，k ；2 v + l + l ，2 v + 1 ) 所以式3 2 成立 引理3 1 4 设2 v + 1 + l 所1 ，j 1 ，0 s k ，f 一0 , 1 , 2 并且沏，知+ f ，以0 ，k ) 满足式 3 1 ，那么 km - 1 , 2 ( s 1 ) + f ，s - l o , k ；2 v + 1 + z ，2 v + 1 ) c k ( m ，2 ，+ f ，s ，0 , k ；2 v + 1 + z ，2 v + 1 ) 证明我们分f o 和f 0 两种情况 ( i ) 若f - 0 ，由定理3 1 2 知， k 伽，2 s ，s ，o , k ；2 v + l + l ，2 v + 1 ) l s ，s ，k ；2 v + l ，”) k ( ，珂一1 , 2 ( s 一1 ) ，s - 1 , o , k ；2 v + 1 + z ，2 v + 1 ) 一l s ( 聃- 1 , s - l k ；2 v + f ，u ) 根据文献卅引理3 3 知k 伽一l s 一1 , k ；2 v + l ，u ) c l , ( m ，s ，k ；2 v + l ， ) 从而可得 k ( ，行一l 2 ( s 一1 ) + l 5 1 , o ，k ；2 v + 1 + ，2 v + 1 ) c k ( 柳，厶+ f ，s ，0 ，七；2 v + l + f ，2 v + 1 ) ( i i ) 若f 0 ，由式3 1 可得 2 ( s - 1 ) + s m k - l 肌皇1 0 s 七 所乏1 o 七z ，且伽，2 s + 2 ，s ，o ，七) 满足式3 1 ，则 厶( 肼一1 冬，s ，o , k ；2 v + l + l ，2 v + 1 ) c k ，压+ 2 , s ，0 ，k ；2 v + 1 + f ，2 v + 1 ) 引理3 1 7 设2 v + l + l 研= - 1 , 0 七 历苫l ，1 s 七，且西，知+ f ，s ，s ，k ) 满足 加+ m a x 和，f s n - k u + s + 【么】+ k ( ，珂一1 , 2 s + f ，j ，o , k 一1 ；2 v + 1 + f ，2 v + 1 ) c k ( m ，2 s + f ，s ，o , k ；2 v + 1 + z ，2 v + 1 ) f 一0 ，1 2 k ( ， 一1 2 s + 1 ，s ，1 , k - 1 ；2 v + 1 + ，2 v + 1 ) c l r ( m ，2 s + 1 ，j ，1 , k ；2 v + 1 + ，2 v + 1 ) 证明只证第一个式子，类似地可以证明第二个式子 如果f 一1 ，贝l j m ( m - l 2 s + f ，s ，0 ，k 一1 ；2 口+ 1 + ，2 v + 1 ) 一 嘭”“) 1 6 中国民航大学硕l 学位论文 显然有 嘭w l + l c k ( 小，盈+ f ，s ，0 ，k ；2 v + l + l ，2 v + 1 ) ： 现在假设，2 ，只要证明 f ( ，斗一1 ，幻+ f ，s ，0 ，k 一1 ；2 v + 1 + f ，2 v + 1 ) c k ( ，行，2 j + r ，s ，o , k ；2 v + 1 + ，2 v + 1 ) 对于任意的p m ( 爪一l 2 s + f ，5 ，o , k 一1 ；2 v + 1 + f ，2 v + 1 ) ，可设p 有如下形式的表示 矩阵 p 。信0 才。1 k 竺1 棚 i& j 一 2 v 4 - 1f 其中丑l e m 伽- k ，妇+ f ，s0 ；知+ 1 ) 秩易t 七一1 又设v “。+ ，。为( o 吃) 的岱一1 ) 个行向量，由于d i m ( p ；n e ) - k - 1 于是存 在1 一( 七一1 ) z 2 个向量叱。+ i ，屹。使得 e - ( v 2 l ，+ 2 ，v 2 p 订，v 却砖，v 扫娃+ l ，v 知+ l 。) 令 e , - ( 如0e 。( 剖 则 卑j ! l f ( 坍，2 s + r ，s ，o , k ；2 v + l + l ，2 v + 1 ) 且p 一只n e l sm ，2 s + f ，s ，o , k ；2 v + l + l ，2 v + 1 ) 从而结论正确 引理3 1 9 设知+ 1 + b 册苫1 ，0 七 z ，s 苫1 ，伽，2 s + 1 ，s ，1 ，七) 满足 知+ 1 墨m k + s + 1 则 k 伽- l 2 ( s - 1 ) + l s - l l k ；2 v + “，2 v + 1 ) c k 沏，2 s + l s ，1 , k ；2 v + 1 + f ，2 v + 1 ) 证明分u s 和t ，一s 两种情形讨论 ( a ) ”t s 时，由于( 坍一l 2 ( s 一1 ) + 1 s 一1 1 ，七) 也满足条件， 所以 m ( 珊一l ，2 ( s - 1 ) + l s - l l k ；2 v + 1 + f ，2 v + 1 ) - 妒 对于任意的p e m 伽一1 , 2 ( s 一1 ) + l s 一1 , l k ；2 v + 1 + f ，2 v + 1 ) ，可以假定p 有如下形式 的表示矩阵 1 7 中国民航人学硕t 学位论文 p ；一乏) m 2 v + 1f 其中层。墨只jm 村( m 一1 - 七，2 d - 1 ) + l , s 一1 ) ，秩( 乞) 一七由于- 1 ，所以可假定弓。具有 如下形式 叫告 2 l ， 其中q l 是秩为m 一2 - 七的一2 一七) 知矩阵，则有 q i k 。科- m 似- 2 - k ，2 ( s 一1 ) ，s - 1 ) 即q 1 是知维辛空间砸：”中的伽- 2 - k ，s - 1 ) 型子空间，于是存在一2 一| ) x 知矩阵x 和2 扣+ s 一埘+ 七+ z ) x 2 v 矩阵y ，使得 矽- q 1 x y 是非奇异的，并且 阡召龟。矸一_ 【 r ( 2 ，q ，k 2 i 用一t 缸) ，恐( 州，+ t + 1 ) 】 若m k 一幻2 ，设和黾分别是x 的第1 行和第2 行，那么令 号一毒lo)主07雄一11一七，i。l20 k 号一l “，o )l ，。 i易j 则置，p 2 e m ，2 s + l s ，1 , k ；2 v + l + l ，2 v + 1 ) ，且 p 1 只n 最厶( 研一1 ，2 ( s - 1 ) + l s - l l k ；2 v + 1 + ，2 v + 1 ) 若坍一七一2 s 一1 ，由于s 0 ，设y 是y 的第1 行，那么令 ，最。吃 丑- i ( x ，o ) o 【o 易 ，打一l 一七 1 七 1 8 豇一2