（概率论与数理统计专业论文）威布尔分布参数估计的研究.pdf

中文摘要 中文摘要 威布尔分布是可靠性系统与分析的重要分布之一，在可靠性系统与分析中 有着重要的地位。但由于威布尔分布的分布函数和密度函数形式的复杂性，因 此参数估计比较困难，也影响了威布尔分布的实际应用。本文从传统的统计出 发，根据威布尔分布的分布函数和密度函数形式的特殊性，以及威布尔分布与 极值分布的关系等，给出了威布尔分布参数的点估计和区间估计一些方法。在 研究过程中对威布尔分布的有关性质进行详细的讨论并给出严格推导证明，对 于点估计和区间估计力求方法直观、突出实用、简单易掌握，提高其应用价值。 本论文的主要成果：( 1 ) 给出了威布尔分布参数的最d - 乘估计和极大似 然估计。( 2 ) 讨论了三种区间估计，特别是第二、三种方法简便实用、易掌握。 关健词：威布尔分布截尾型极值分布点估计区间估计。 a b s t r a c t a b s t r a c t w e i b u l ld i s t r i b u t i o ni so n eo ft h ei m p o r t a n td i s t r i b u t i o n si nr e l i a b i l i t ys y s t e ma n d i t sa n a l y s i s i tp l a y sas i g n i f i c a n tr o l ei nr e l i a b i l i t yt h e o r y b a c a u s eo ft h ec o m p l e x i t y o fw e i b u l ld e n s i t yf u n c t i o n , e s t i m a t i n gt h ep a r a m e t e r so ft h i sd i s t r i b u t i o ni sv e r y d i f f i c u l t ，s ot h a ti t sa p p l i c a t i o nb a c o m e sl i m i t e d i nt h i sp a p e r , b a s e do nt h em e t h o d s o ft r a d i t i o n a ls t a t i s t i c s ，w eg i v es o m em a t h o d sf o re s t i m a t i n gt h ep a r a m e t e r sa n d c o n f i d e n ti n t e r v a l so ft h ed i s t r i b u t i o n t h ee s t i m a t i o nt a k e sa c c o u n to ft h es p e c i f i c p r o p e r t i e so fi t sd e n s i t yf u n c t i o na n da c c u m u l a t i v ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o n , a n dt h e p r o p e r t i e so fw e i b u l ld i s t r i b u t i o na r ed i s c u s s e da n dt h em i m e dp r o o f sa l eg i v e n 嬲 w e l l a l s o ，t h em e t h o do fe s t i m a t i o ni sm o r ei n t u i t i v ea n da p p l i c a b l e t h em a i nr e s u l t so ft h i sr e s e a r c ha l e ：( 1 ) t h el sa n dm le s t i m a t e st ow e i b u l l d i s t r i b u t i o n sp a r a m e t e r sa r eg i v e n ；( 2 ) t h r e ei n t e r v a le s t i m a t e so fp a r a m e t e r st ot h e d i s t r i b u t i o na r ei n v e s t i g a t e d ，a m o n gt h e mt h es e c o n da n dt h et m r dm e t h o d sa r em o r e s i m p l ea n de a s i l ye x e r c i s a b l et h a nt h ee x i s t i n go n e s k e yw o r d s ：w e i b u ud i s t r i b u t i o n , t r u n c a t i o nt y p e ， e x t r e m ev a l u ed i s t r i b u t i o n , p o i n te s t i m a t i o n , i n t e r v a le s t i m a t e i i 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的e j ) 吊i j 本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：冬呈也 研年f f 月；。e l 瑶蒲导骊丽惹f 。- 本孚僦嫣- _ y 葆希在 年解密后适用本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：冬呈赴 川年f 1 月；。日 第一章引言 第一章引言 威布尔分布是在1 9 3 9 年由瑞典物理学家威布尔( w w r e i b u l l ) 为描述材料的 疲劳强度而提出的。此后威布分布在可靠性分析中有着广泛的应用，许多类型 的产品在涉及寿命问题时都提倡用威布尔分布给出模型的一系列实际描述和应 用。如电子管、继电器、机械性能等失效的时间，再比如患某种疾病人员的有 效存活时间等，用威布尔分布都能很好地描述。 第一节问题的提出 威布分布是可靠性分析中的重要分布之一。在可靠性分析中除威布尔分布 外还有指数分布、正态分布和对数正态分布，这些分布参数的估计和检验问题 都有很好的解决方法。威布尔分布由于分布函数和密度函数表达式的特殊性， 并且参数不存在充分统计量，因此威布尔分布参数的估计、检验等问题至今没 有很好的方法，目前所做的参数估计都是近似的，并且方法较繁琐，这也限制 了威布尔分布的实际应用。本文希望通过对威布尔分布参数性能的研究给出其 参数点估计和区间估计的一些方法，这些方法力求简单实用，容易掌握，提高 威布尔分布的应用价值。 第二节国内外研究的状况 关于威布尔参数的点估计和区间估计国内外研究的文章不少，比如文献1 1 给出了用概率纸的方法也称为图参数估计法对威布尔分布参数进行点估计，方 法虽然简单、直观易懂、使用方便，但这种估计方法依赖于对数据曲线的视觉 审查，精确性较差。文献 3 】用次序统计量给出了三参数威布尔分布3 个参数的 联合置信域，文献 1 5 币l j 用极值分布的样本均值和样本方差，构造极值分布尺度 参数仃的渐近正态估计量，进而得到威布尔分布形状参数m 的渐近置信区间， 这些方法的构造过程比较繁琐，不易掌握。 第一章引言 第三节研究方法 本文重点对威布尔分布的参数进行估计，主要包括点估计和区间估计。点 估计采用：( 1 ) 最小二乘估计法；( 2 ) 极大似然估计法；( 3 ) 最好线性无偏估 计法；( 4 ) 简单线性无偏估计。区间估计主要采用：( 1 ) 利用极大似然估计和 f i s t h e r 信息矩阵求威布尔分布参数的区间估计；( 2 ) 用极值分布求威布尔分布 的形状参数优的区间估计；( 3 ) 当威布尔分布形状参数m 已知时用指数分布求 威布尔分布刻度参数7 7 的区间估计。 第四节结构安排 本文安排5 章内容，第1 章引言；第2 章威布尔分布的定义和性质，特别 是对性质本文给出了较详细地证明；第3 章给出了威布尔分布参数点估计的4 种方法，并对每种方法进行归纳总结；第4 章给出了威布尔分布参数区间估计 的3 种方法；第5 章结束语。 2 第二章威布尔分布的定义和性质 第二章威布尔分布的定义和性质 威布尔分布是可靠性系统常用的分布之一，它主要应用于电子元件、器件、 - 设备、系统等使用寿命问题，以及金属材料的疲劳寿命和生命科学，因此，人 们越来越多地对威布尔分布及其参数等进行研究。本章首先给出威布尔分布的 定义并讨论其常用的性质，为后面研究其参数估计做一些准备工作。 第一节威布尔分布的定义 2 1 1 威布尔分布的定义 定义1 i l l 1 2 l ：如果随机变量丁的分布函数f ( t ) 为： 耶) ： 坯o ( 2 1 ) f ( r ) 2 1 】一e 审t 0 一 ( 2 j ) i1 一 彳 则称随机变量r 服从威布尔分布，其中朋 0 ，刁 0 ，m 叫形状参数，r 叫 刻度参数。这是两参数的威布尔分布，常记丁一w ( m ，7 7 ) 。 定义1 给出的是两参数威布尔分布的分布函数定义，其形式类似指数分布 形式，但比指数分布要复杂的多。本文主要以定义1 为基础展开讨论两参数威 布尔分布参数估计问题。 定义1 1 2 | i1 3 1 ：如果随机变量r 的分布函数f ( f ) 为： f ( t ) ：j 竺嘶 “r ( 2 2 ) ) = 一( 竺) - ( 2 ) 【1 一e 叩t r 则称随机变量丁服从威布尔分布，其中聊 0 ，r 0 ，m 叫形状参数，r 叫刻 度参数，叫位置参数。这是三参数的威布尔分布。 定义1 是三参数威布尔分布的分布函数定义，近些年来对三参威布尔分布 研究的文章很多，如文献 3 】等。而本文只研究两参数威布尔参数估计，所以对 于三参数威布尔分布不作讨论。 由威布尔分布定义1 知两参数威布尔分布的密度函数为： 第二章威布尔分布的定义和性质 儿，= t 0 下面重点分析威布尔分布两个参数与密度函数图象的关系。 ( 1 ) 形状参数所 在威布尔分布中形状参数m 是最重要的参数，它的值决定了密度函数曲线 的形状，当m = l 时威布尔分布就是指数分布，当0 1 的增 大，峰值越高，图象越窄( 见图2 1 ) 。 ( 2 ) 刻度参数巧 对于刻度参数7 如果固定朋，例如m = 2 ，随着刻度参数7 7 的增大，图象的 峰值降低，图象变的偏平。图2 2 是不同的，7 值密度函数图象的形状。 4 第二章威布尔分布的定义和性质 2 1 2 威布尔分布t 的期望( 平均寿命) 和万爰 先看t 的七阶矩，由密度函数( 2 3 ) 式知： e ( t k ) = j c o 产厂( d 国= j c o 号( 号) ”1 产p 1 寺r 旃 作变量替换：甜：( 与脚，：删去，西：里“ 1 幽于是 t l m 一 w ) _ - r k p 1 幽= 矿r ( 去+ 1 ) ( 2 4 ) 其中r ( 口) 是r 函数。r ( 口) = j c o x a - l e - x d o c ( 口 o ) ( 2 4 ) 式说明了服从威布尔分布的随机变量r 的七阶矩与r 函数的直接关系， 因此可以用r 函数研究威布尔分布的性质。那么，威布尔分布的数学期望： e ( t ) = j 7 f p + 1 ) ( 2 5 ) 方差： d ( r ) ：刀2 r ( - 2 + 1 ) 一f 2 ( ! + 1 ) 】 ( 2 6 ) ，”m l t 的中位数= r ( 1 n 2 ) 脚 ( 2 7 ) 第二章威布尔分布的定义和性质 2 1 3 威布尔分布的可靠度函数 定义2 1 1 卜1 2 l ：产品在规定的条件下和规定的时间内完成规定功能的概率叫 做产品的可靠度函数，简称可靠度，记作r ( t ) 或者s ( t ) 。 r ( f ) = p ( t f ) = l p ( t f ) = 1 一f ( f ) 。 产品的可靠度与时间因素有关，因而与产品的寿命有关，当然，产品的寿 命也是相对于一定的使用条件而言的，是指在一定的使用条件下产品具有规定 功能的“持续时间 。 2 1 4 威布尔分布的失效率函数( 危险率) 定义3 t 1 1 i1 2 1 ：已工作到时刻，的产品，在时刻f 后单位时间内发生失效的概 率称为该产品在时刻，的失效率函数，简称失效率，记为兄p ) 。 根据定义3 知 删2 删l i m + 址尸( 丁h 出i 丁 ) 由条件概率和微分知 ) = 高1 = 尚1 = 需2 r l ( 妒r l 。) ( 2 8 )、7 一f ( f )一，( f )r ( r ) 、7、7 由失效率函数表达式( 2 8 ) 式可看出当坍 1 时2 ( 0 是r 的增函数；当0 m 1 时 兄( f ) 是r 的减函数；当m = 1 时2 ( t ) = r 是指数分布的失效率函数且为常数r 一。 图2 3 为r = 1 时朋= 去， 1 ，2 ，4 的几条失效率曲线。 6 第二章威布尔分布的定义和性质 2 1 5 极值分布 定义4 1 1j 1 2 1 ：若随机变量x 的分布函数为： 三! ，( x ) = 1 一e x p 一e4 】x ( 0 ，佃) ( 2 9 ) 则称随机变量x 服从极值分布，这里参数( - - - 0 0 ，佃) ，盯( 0 , + o o ) 。常记 x e 矿( ，仃) ( 2 9 ) 式作量替换 y ：型 ( 2 1 0 ) 1 ，= 二( 1 ) 盯 则】，的分布函数为： 】，e ( j ，) = 1 一e x p ( 一e ，) 一o o 0 ) 则r r v ( a ，) 。 证明： x w ( 1 ，1 )即f ( x ) = 1 一e 。是指数分布( 当m = 1 时威布尔分 布是指数分布) ，因此对任何t 0 有 fo)=f)=三f)一(古)口】=1一p-tlp(t e ( p x - - rp x ，尸 f o ) =f ) =4 f ) 一( ) 口】= 1 一p ， 即丁r v ( a ，夕) 证毕。 定理1 说明任何威布尔分布可以通过指数分布的变换得到。 定理2 设正，疋，瓦是相互独立且同分布的，共同分布是w ( m ，r i ) ， 一! f = m i n t l ，疋，瓦 ，则f w ( m ，7 用”) 。 证明：对任何f 0 有 一( 三) 啊 一( 三r 疗弋专r r p ( f f ) = 【尸( 互 r ) 】”= 叩】”2 p 彳 = p 疗。= e x p - ( 二1 - ) ”】 r 刀” 即 ，( f ) = l p ( f f ) = 1 一e x p - ( - 二t ) ”】 ( 2 1 3 ) r m 肘 这说明f 服从威布尔分布，形状参数是m ，刻度参数是1 7 疗m 。 定理2 是可靠性理论中的有名的夭折试验。 定理3 设丁w ( m ，叩) ，则x = l n t 服从极值分布，其中参数 = l n r ， 盯= 二。 ( 2 1 4 ) 证明：对任何f 0 ，有 一r ! ，p p ( x x ) = e ( r p 。) = 1 一p 、吁= 1 一e x p 一口r a ( x - l n 叮】 证毕。 定理3 说明：( 2 9 ) 式的极值分布是在威布尔分布( 1 1 ) 式中当仃= 二、 = l n r 得出，这也是威布尔分布与极值分布参数间的关系，为用极值分布研究 威布尔分布打下良好的基础，特别是对威布尔分布的参数估计等问题利用极值 分布取得了良好的效果。 8 第二章威布尔分布的定义和性质 定理4 设r 缈( 肌，刁) ，令l ，：r ，则】，形( 历，1 ) 。 j l | 证明：对任何f 0 ，有 毋( t ) = p ( y f ) = p ( l t ) = p ( r f 刁) = 1 一p 、_ = l e - ( t r ) 1 证毕。 _，、_ i l 定理4 说明研究威布尔分布参数估计重点应放在对形状参数历的研究上。 定理5 1 4 l 设t 矿沏，7 7 ) ， 】，：一t ，对任意七：l ，2 ，则 e ( 1 n 2n = r ( 1 ) m 。 其中i ( ) 是g a m m a 函数，r ( ) 是r ( ) 的k 阶导数。 证明：由数学期望定义和定理4 知 m e ( 1 n 2y ) = 【( 1 n y ) 2 d 1 - e x p ( - y ”) 】 令z = y ”则有 ( i n l ，) = r i ) d 1 一 】= 互。( 圭p 2 = 一c d ( ) e - z e ( 1 n ( 1 n z e x p ( - z )! l n z ) d zml n z ) ed z2 功= l”) 一 】_ 【(2 p 2 = 咄【( 根据g a m m a 函数r ( a ) 在域口 0 内有各阶连续导数并且可在积分号下求导的 性质5 i 有 r ) = f z - e - d z = f ( 1 n z ) k z a q e - z d g 当口= 1 时可得 e o n 铆= 一”i ( 2 1 5 ) 结论成立。 用少( z ) ( z o ) i 已d i g a m m a 函数【6 i ，其定义为： 杪( z ) ：导 1 n r ( z ) 】 帅，= 知删= 普= ! 鳃m 刀一塞击) 7 一薹去一而1 ， 9 第二章威布尔分布的定义和性质 7 是欧拉常数。 参】( 妒薹万斋嗍( 删，2 ，3 ，) 由上式以及杪( z ) 与r ( z ) 之间的关系可求出r ( z ) r 7 ( 1 ) = r ( 1 ) y ( 1 ) = - y r ( 1 ) = 磁+ 厂2 r ( 1 ) = 一2 f ( 3 ) 一厂嘭一y 3 ( 2 1 6 ) 、r ( 1 ) = 6 f ( 4 ) + 8 f ( 3 ) 厂+ + 2 厂2 + 7 4 其中f ( z ) = n = l 砉是朋幻函数h 1 。 定理6设丁( 历，7 7 ) ，】，：一t ，则 刁 。( 1 ) e i n y ：一上， m ( 2 ) e 1 n t ：l n r 一上 m 。 i n j l = 嘉； ( 2 1 7 ) 啦卟嘉。 ( 2 1 8 ) 证明：( 1 ) 由定理5 、( 1 1 5 ) 式及( 2 1 6 ) 式知 研l n 明= r ( = r ( 1 ) y ( = 一么 叩n 小班州驰琊= 一2 ) ( ：一导 ：一1 2 2 + 一：生 6 m 2 。所2加26 朋2 ( 2 ) 由数学期望和方差的性质知 t = r y ，l n t = l n q + l n y ，那么 l o 第二章威布尔分布的定义和性质 e 1 n t = e 1 n q + i n y = i n7 + e 1 n y = l n r 一上 m d 1 n 丁】_ d 【l n r + l n y 】_ d 1 n y l = 嘉 证毕。 定理7 设t 形，7 7 ) ，则有 ( 1 ) c 。v 1 n 驰2 牛历- 3 肖( 3 ) 一j 1 2 + 三朋( 1 n 咖2 】 ( 2 1 9 ) ( 2 ) d ( i n 2t ) = 聊- 4 t 而1 1 万4 + 8 邢) 7 + 詈，r 2 p 2 - 4 ( 1 n 咖阱( 3 ) + ；1 舻2 】 + 2 ( 1 l l7 7 ) 2 聊2 嘭) ( 2 2 0 ) 证明：( 1 ) 令】，：三，由定理5 、( 2 1 5 ) 及( 2 1 6 ) 式知 7 7 e o v 1 n y ，i n 2 明= e i n 3y 】一e h ， e 1 n 2y 丁 = 朋一3 r ( 3 ( 1 ) _ m - 1 f ，( 1 ) m - 2 f ( 2 ( 1 ) = m - 3 卜2 f ( 3 ) 一i 1 2 】 ( 2 2 1 ) ) c o v i n t ，i n 2t 】_ c o v i n y + l n r ，i n 2y + 2 1 n r l l ny + h a 2r 】 = e 1 n y + h 1 7 7 】【l n 2y + 2 1 n q l n y + i n 2 ，7 】) 一e 1 n y + b y e h 2y + 2 1 n r l n y + i n 2r 】 = e 1 n 3y 】+ 3 1 n 袒 i n 2y 丁+ 3 1 n 2r e 1 n y + i n 3r 一e i n y 】e 1 n 2y 】 - 2 1 n 穆e 2 1 n y 一3 i n 2r e 1 n y 一i n7 7 e 1 n 2y 卜i n 3 ，7 = e 1 n 3y 一e i n y e 1 n 2y + 2 i n r e 1 n 2j ，】一2 1 n 袒2 m r 】 = c o v 1 n y ，i n 2y 】+ 2 i n 归 i n 明 = ，z 一3 卜2 f ( 3 ) 一i 1 肛2 + 昙聊1 n ，7 万2 】 )j 上式是由( 1 2 1 ) 式及定理6 得到的。 ( 2 ) 由定理5 和( 1 1 6 ) 式知 第二章威布尔分布的定义和性质 d 1 n 2y 1 = e 1 n 4 明一e 2 i n 2y 】= m f 4 ( 1 ) 一【，”2 f 2 ( 1 ) 】2 = 所1 而i i 刀4 + 8 ) 7 + ；卉2 】 ! 上式最后一个等式使用了f ( 4 ) 5 斋，因此 d 1 n 2t 】= d ( 1 n y + i n l ) 2 】 = d 1 n 2y 】+ 4 1 n r c o v 1 n 2y ，i n y + 4 ( 1 n q ) 2d 1 n y 由定理6 、( 2 2 1 ) 、( 2 2 2 ) 和上式知( 2 2 0 ) 式成立，证毕。 1 2 ( 2 2 2 ) 第三章威布分布参数的点估计 第三章威布尔分布参数的点估计 - 由于威布尔分布的分布函数和密度函数形式比较复杂，这对参数估计带来很 大麻烦，也影响了威布尔分布的实际应用，目前常用点估计方法是概率纸的方 法，也称为图估计法( 见文献 1 】) ，该方法简单、直观易懂、使用方便，但缺点 是它依赖于对数据曲线的视觉审查，精确度差，效果太粗。本章讨论几种威布 尔分布参数的点估计方法，这些方法构造简单、使用方便、精度较高。 第一节威布尔分布参数的最小二乘 $ i ：- i - ( l s e ) 最4 , - 乘估计法是参数估计常用的方法，它主要是用来估计线性函数中的未 知参数。而威布尔分布的参数是非线性的，需要经过变换把参数化成线性的， 本文采取的方法是对分布函数进行二次取对数作变量替换，把复杂的参数线性 化，利用通常最4 , - 乘法对其参数进行估计。 假设对某产品拧只进行寿命试验，其寿命数据( 失效数) 为f 。s t 2 t 。 ( 完全样本试验) ，如果这批产品的寿命丁w ( m ，7 7 ) ，那么总体r 的分布函数为： 一( 三) _ ，( f ) = 1 一p 4 t 0 ( 3 1 ) 样本p ， ( f _ 1 , 2 ，拧) 是来r , e 体r 的样本，把数据鼠，f ) o = 1 ，2 ，刀) 代入 ( 3 1 ) 并连续二次取对数得： 1 1 n i n 丁：j 万】= m l n l 一，行1 n r ( = 1 ，2 ，刀) ( 3 2 ) 令 胪l n i n 丢丽】 一= i n t 。( 3 3 ) 口= 一m l n r b = m 则( 3 2 ) 式可变成下式： y ，= a + b x t ( f = l ，2 ，1 ) ( 3 4 ) 第三章威布分布参数的点估计 ( t ，y ，) o = 1 , 2 ，r ) 具有线性关系，通过最小二乘法求出回归系数a ，b 的估计 ( _ 一i ) ( 弘一刃 b = 上l 一 ( 3 5 ) n ( 毛一i ) 2 i = l 其中 a = 歹一b _ i = 去喜_，歹= 去喜m ( 3 6 ) 二个变量扛，y i 线性相关程度用相关系数，表示为： ( t - x - - ) ( y 。一刃 ，- = _ = 尘兰= = = = = ：( 3 7 ) h 月 1 i x ( x , 一习2 ( 乃一夕) 2 如果r w ( m ，1 1 ) 越好，相关系数，越趋近于1 ，因此，根据相关系数，趋近 1 的程度可以判别t i 服从威布尔分布的好坏。 由( 3 6 ) 式可得威布尔分布的参数点估计 j ，拈至 ( 3 8 ) = e 赢 但这里存在一个问题，在求幺占时需要计算y 一= h i 1 n f ；丽】，而f ( ，) 未知，那 么f ( t ，) 无法求出，这样就需要先估计f ( ) ，再求y ，然后才能求a ，占。 下面介绍两种方法来确定f ( t ) 估计 ( 1 ) 用频率作为f ( t 。) 的估计 f ( t 。) = p ( t t ) 设胛( ) 表示到时产品失效的个数，珂是试验产品总数，那么 ，( f ，) ：p ( 丁，) 丛尘作为f ( ，。) 的估计，这样求出y ，后求出a ，占，最后求出而，毋 1 4 第三章威布分布参数的点估计 即确定威布尔分布的参数。 ( 2 ) 用中位秩1 1 l 作为f ( t ，) 的估计 m r ( t , ) 为时刻的中位秩，贝l j m r ( t , ) = j 煞，f ( 啪脚( f ) ，然后按上 述的方法确定a ，b 最后求出，；i ，矛即可。 用最小二乘估计法对威布尔分布参数进行点估计的步骤 第一步：用频率或中位秩做f ( f ，) 的点估计，记为声( ) ； 第二步：把样本 t if ( t 。) ， = 1 , 2 ，门) 代入( 2 1 ) 式中并连续二次取对 数得( 3 2 ) 式； 第三步：用( 3 3 ) 式作变量替换得线性模型( 3 4 ) 式； 第四步：利用最小二乘法得线性模型( 3 4 ) 式的参数估计a ，占； 第五步：把a ，6 代入( 3 8 ) 式后得威布尔分布的参数估计r h ，力。 综上所述，用最小二乘法求威布尔分布的参数估计，方法直观、运算简单、 使用方便、容易掌握，但估计的精度稍差。因为在做参数估计时需要求f ( t 。) 的 估计，用户( i ) 作为f ( t ，) 的估计也就是用户( r ，) 近似代替f ( ，) ，再确定参数m ，1 1 的估计时就降低了其精确度。 第二节威布尔分布参数的极大似然估计( m l e ) 极大似然估计是统计中常用的点估计之一，该方法往往是在总体的分布类型 已知时，由样本的密度函数或分布函数构造似然函数，未知参数估计值的选取 应是该未知参数所有估计中出现概率最大者为极大似然估计。下面分两种情况 讨论威布尔分布参数的极大似然估计。 3 1 1 完全样本下威布尔分布参数的极大似然估计 设丁一w ( m ，r 1 ) ，其分布函数和密度函数分别为： ， f ( f ) = l e x p - ( - ) ”】 f o( 3 9 ) 厂( f ) ：删7 一t 胂- 1e x p 一( 三) m 】 f 0( 3 1 0 ) 刁 第三章威布分布参数的点估计 对产品进行玎次寿命试验，其寿命数为t l f 2 ，。( 完全样本试验) ， 样本纯 是来自总体r 的样本。 把样本瓴 ( f = 1 , 2 ，刀) 代入( 3 1 0 ) 式，对密度函数取对数求和得似然函数 三( 聊，7 7 ) 一m n l n r l + n l n m + ( m 一1 ) i n t f 一砉f 7 i = 1 l li = 1 对似然函数求关于参数舰，刁偏导数得似然方程 篆一h 刁+ 罟嘻h ”害耖一嘉扣毗= 。 丝：一竺+ 柳占争，l ! i ，：0 o r i卵r 肿1 智 上似然方程可变为： 上+ ! 争l 毗：型一t 7 i n t , m 丹智 争f ；，l ( 3 1 1 ) 小去c 和 上方程组( 3 1 1 ) 式中第一式中只含参数所不含刁，因此，从方程组( 3 1 1 ) 式 第一式中解出m 得疡，把历代入方程组( 3 1 1 ) 第二式即得刁的估计毋，这就得 出了威布尔分布两个参数的极大似然估计，；l ，厅。 3 2 2 截尾型威布尔分布参数的极大似然估计 当试验数据具有截尾型，如何对威布尔分布的参数进行极大似然估计，对于 定数截尾和定时截尾方法基本相同，因此本文研究定时截尾型的威布尔分布参 数的极大似然估计。文献 2 】讨论了截尾型寿命数据如何构造似然函数的方法， 所以在下面的讨论过程中本文引用文献 2 的公式。 假设对产品进行r t 次寿命试验，到r ，时试验结束，其寿命数 f 。t ，f 川= = t 。，产品寿命服从威布尔分布，对其参数进行极大似然估 计，先构造似然函数 ，月 l ( m ，7 ) = h f ( t ，；所，7 7 ) 兀 1 一，( t ；朋，r t ) 】 把样本点代入密度函数，分布函数后两边取对数得似然函数 1 6 第三章威布分布参数的点估计 l ( m ，刁) 一m r i n r + r i n m + ( m - 1 ) - , i n t ，一专f ， ( 3 1 2 ) i = 1i li = l 对( 3 1 2 ) 式按照上面3 2 1 的方法求m ，刁的偏导数可得似然方程 11 ， f ，i n t f + ( n - r ) t mi n t 。 二+ 三y i n t ：旦一 所，智 圭，j ! ，+ ( 聆一，) ，? ( 3 1 3 ) 刁4 = 吾 喜，j ：i ，+ ( 万一，) 】 同3 2 1 方法解出超越方程( 3 1 3 ) 式得，；i ，厅为截尾型威布尔分布参数的极大似 然估计。 威布尔分布参数的极大似然估计在求未知参数解中，方程组( 3 1 1 ) ，( 3 1 3 ) 式是超越方程，用初等方法是无法求解，借助计算机可以求得近似解。用计算 机求近似解时，一般可以用n e w t o n r a p h s o n 迭代法1 7 1 或b r e n t 迭代法1 7 l ，在迭代 过程中初始值可以用威布尔分布参数图估计法【i i 或用本文第二章第一节的最小 二乘估计给出。因此威布尔分布参数的极大似然估计在应用中有一定的局限性， 这是威布尔分布应用的缺陷。 极大似然估计法求威布尔分布参数点估计的步骤 第一步：把样本点 ，。 ( f = 1 , 2 ，胛) 代入威布尔分布的分布函数或密度函 数，并取对数求和得似然函数： 第二步：对似然函数求关于参数m ，叩的偏导数得似然方程； 第三步：解似然方程得( 3 1 1 ) 、( 3 1 3 ) 式； 第四步：以图估计法或最小二乘法的估计值作为m ，r 的初始值，用近似迭代 法得m ，叩的极大似然估计历，矛。 第三节威布尔分布的最佳( 好) 线性无偏估计( b l u e ) 最佳线性无偏估计要求：线性无偏估计量中方差最小者称为最佳线性无偏 估计1 8 1 1 9 1 。最佳线性无偏估计对于高斯一马尔可夫( g a u s s m a r k o v ) 模型讨论 比较方便，下面讨论过程是在高斯一马尔可夫模型下进行，并给出高斯一马尔 可夫定理。 1 7 第三章威布分布参数的点估计 定理8 高斯一马尔可夫( g a u s s - - - - m a r k o v ) 定理 设门维随机变量】，满足 e ( n = x o d ( 】，) = 盯2 v 则目的最佳线性无偏估计为 痧= ( x 矿一1 x ) 一1x 矿一1 】， 其方差为 d ( 痧) = ( x 矿一1 x ) 一1 盯2 其中 y = k e ： 匕 x = 1 a l 1 a 2 ： 1 口。 目： t p j ，l l y - - i i l l ，一l吲 这里矿是随机变量k ，k ，匕的方差一协方差矩阵。 定理的证明见文献 1 】，这是两参数线性模型的高斯一马尔可夫定理。下面利用 威布尔分布与极值的关系( 第二章第二节定理3 ) 和高斯一马尔可夫定理讨论威 布尔分布参数的最佳线性无偏估计。 设某产品的寿命丁服从威布尔分布，其分布函数为： 一( 三) 肿 f ( t ) = l p 4 f 0 由第二章威布尔分布与极值分布的关系式知 x = l n tj 艮从极值分布即x 毋( ，仃) ，其中 = l n r ， 仃= 二 ( 3 1 4 ) 历 再作线性变换】厂：坐，那么y 。e v ( 0 ，1 ) 是标准极值分布。 盯 假如有疗个产品投入寿命试验，考虑定时截尾到f 结束( 当，= n 是完全样 本) ，即，1 ，2 r ，t ，+ l = = 乙的前，个次序统计量f l f 2 ， 设 x t = i n t t ，五：x k - 1 盯 1 8 ( 3 1 5 ) 第三章威布分布参数的点估计 由对数函数、线性函数的单调性可分别得出来自足( x ) ，毋( y ) 样本 气苎2 刍s 参， ( 3 1 6 ) k e e “ 由标准极值分布可得次序统计量i ，艺，一，r 的数学期望、方差和协方差，记为： ie ( 圪) = a k d ( y k ) = ，肚 【c o y ( y , ，影) = 由于这些数值在可靠性系统中经常要用，人们把这些值的计算结果专门造了 表，但因计算工具的限制，目前只能对疗2 5 造出了表，这些数值将在导出a 和 仃的b l u e 过程中使用到。 由( 3 1 5 ) 、( 3 1 7 ) 式也可求得诸x t 的数学期望、方差和协方差 i x k2 l t + o y r l d ( x k ) = 盯2 1 ，船 【, c o v ( x k ，五) = 盯2 1 ，材 x = 酗，删 j ，= 1 , 2 ， ( 3 1 8 ) 耻仃仁吲 m = ： ， 口= ( ：) ， y = i ： 1 9 ( 3 1 9 ) 第三章威布分布参数的点估计 参= 防似m ) - 伽4 x ( 3 2 。， 其中v 一1 是y 的逆矩阵， 记y = ( v 时) ，矿是y 转置矩阵，痧的方差一协方差矩 阵为： d ( 参) = 0 2 矿一1 m ) - 1 ( 3 2 1 ) 把m 、v 。1 和x 的表达式代入( 3 1 9 ) 和( 3 2 0 ) 就可获得和盯的 b l u e 。 应和彦的表达式及方差和协方差的表达式，利用矩阵的乘法运算，容易求得 记 m 矿一1 m ： v 村 l = l k = i 叩h 叩材 ，= lk = l 即，v 材 =(喜喜v时(喜主吼v盯)一f，主1=1壹k=lk k = l= l 吼v “) 2 = i v 时i 口。v 盯i l 口。v “i 、，= l = l - l 一， ( m v q 竹1 = ( 乏k r n ) 其中 4 唧2 去q v 麒毋一= 一去吼v 盯w = 土ayi=lk=!l=l k = li = lk = l v 材 u凸 这些a m 、b m 和，m 都是诸吼，v 盯的函数，所以对给定的样本容量刀和截尾数 ，就可求得它们，根据( 3 2 1 ) 可得和盯的b l u e ) 和彦的方差和协方差 d ( 詹) = 仃2 彳m d ( 彦) = 盯2 ，m ( 3 2 2 ) c o v ( f i ，毋) = 盯2 b 。 由此可见，b l u e 盘和彦的方差与协方差是不依赖于寿命数，而只依赖于样本容 量以和截尾数，的，对刀1 2 在文献 1 附表8 给出了4 。和，。的值，对1 3 刀2 5 它们的值可在文献【1 0 】中查出。 类似地可写出 第三章威布分布参数的点估计 即 于是 m 矿一1 x ： v 盯以 ，= l ，= i 叫盯也 痧= ( 耋 = ( m 矿。m ) - 1 m 矿。1 z = ( ： 彳。v 射五十b 。a ，v h 以 1 = 1 = 1，= lk z l ， 耳盯五+ i r 洲av “五 ，= i 七= l，= l 七；l 口= d ( n ，k ) x x 七皇l 6 - = c ( n 小j j ) 五 k = l d ( n ，k ) x 茁 l = 1 c ( n ，七) 也 1 = 1 ( 3 2 3 ) 称为最佳线性无偏估计参数，它们不依赖于样本的观察值，对于给定的即， 和k 就可按上述的公式算得这些参数，对刀1 2 ，在文献i 1 1 附表7 给出了 c ( n ，| i ) 、d ( n ，后) 数值，对1 3 刀2 5 这些数值可在文献 1 0 o o 查出。1 主t ( 3 2 3 ) 式可以求出a 和盯的b l u e 丘和彦后通过变换( 3 1 4 ) 可得叩与朋的b l u e 估计 刁，朋 即 = e x p ( 叠r e x p ( a ) 、 = 1 柳2 _ 仃 威布尔分布参数的最佳线性无偏估计是根据威布尔分布与极值分布的关系 知：要确定威布尔分布参数的点估计，只需确定极值分布参数的点估计。在确 定极值分布参数的最佳线性无偏估计时先建立高斯一马尔可夫模型，对模型利 用高斯一马尔可夫定理即得极值分布参数的最佳线性无偏估计，为了避免大量 矩阵运算文献【l 】、 1 0 】给出了可供查表数据，这大大简化确定参数的复杂运算， 提高威布尔分布解决实际问题的作用。 2 l r 以 曲 n 麓麓 厂in00月1l 耳l 第三章威布分布参数的点估计 最佳线性无偏估计求威布尔参数点估计的步骤 第一步：由威布尔分布的样本f l f 2 f ，5f ，+ l = = ，。和公式( 3 1 5 ) 式得极值分布e 矿( ，盯) ，标准极值分布b ( 0 ，1 ) 样本 五x 2 x ， k e 第二步：根据实验数据确定样本容量刀和截尾数，； 第三步：由刀，七，( 七= 1 , 2 ，) 在文献 1 】、【1 0 】查表得有关数据c ( n ，k ) 、 d ( n y 七) ； 第四步：由公式( 3 2 3 ) 得极值分布e 矿( a ，盯) 的参数估计p ，子； 第五步：由r = e x p ( a )m = 二得威布尔分布的参数最佳线性无偏估计疡，毋。 第四节威布尔分布的简单线性无偏估计( g l u e ) 简单线性无偏估计是解决当样本容量刀 2 5 时不便用上节的方法求最佳线性 无偏估计，其基本思想是任意两个样本的差的绝对值，即i z ，一x 。i 提供有方差的 信息，这样就可以构造一个统计量作为极值分布方差仃的估计量，然后由变换 yj ， k = 兰卫确定a 的估计量，最后根据威布尔和极值分布的关系得到威布尔分 盯 布两参数点估计。在确定极值分布参数简单线性无偏估计时有些量需要查文献 1 提供的表。 设某产品的寿命r 服从参数为7 和m 的威布尔分布w ( m ，r 1 ) ，其中a = l n r i ， 盯：土。而】，：业服从参数：0 ，仃：l 的标准极值分布。现从一批产品中随 ，刀盯 机抽取疗个产品进行截尾寿命试验，设截尾数为，前，个产品失效时间为 ，i ，2 ，。利用对数变换x k = i n t t ，可得x l x 2 sx ，是来自极值分 布e v ( ，盯) 的前，个次序统计量( 容量为，z ) 。再通过变换圪：x k - 可得 仃 i 砭是来自标准极值分布e 矿( 0 ，1 ) 的前，个次序统计量( 容量为，1 ) 。 第三章威布分布参数的点估计 下面利用x l ，一，x ，构造仃的简单线性无偏估计。因为仃 0 是极值分布 e v ( 1 ，矿) 中的尺度参数，因此任意二个