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运用有限差分法研究光纤光栅中布拉格孤子的传输 致谢 本文的研究工作是在导师杨性愉教授的精心指导下完成的。三年来，杨老师给予我学 习上的精心指导、生活中无微不至的帮助和关怀都将使我永远难忘；杨老师严谨的治学态 度、无私的奉献精神和坦荡的胸怀时时在影响着我；杨老师在做人、做事和做学问上对我 的谆谆教导将使我终生受益。在此，向杨老师表示衷心的感谢和诚挚的敬意。 同时感谢周培勤教授和贾维国副教授在学习上和生活中对我的鼓励和支持。 感谢张俊萍、赵春梅、史培明、雷永强、葛廷武、李文才等师姐、师兄弟们的督促和 帮助。 感谢资料室刘老师和实验室宋老师的热心帮助。 感谢我的家人对我学习上的鞭策和生活上的悉心关怀。 感谢所有关心和帮助我的老师、亲戚、同学和朋友，你们将永远在我心中。 1 1 内蒙古大学硕士学位论文 运用有限差分法研究光纤光栅中布拉格孤子的传输 王春雨 ( 指导教师：杨性愉教授) ( 内蒙古大学理工学院物理系，呼和浩特，0 1 0 0 2 1 ) 摘要 在光纤光栅中，当入射光脉冲的波长在禁带外并接近其边缘时，光栅的结 构色散是最主要的，材料色散和波导色散等可忽略，在色散曲线的上部分，光 脉冲在自相位调f f i i j ( s p m ) 、交叉相位调错i j ( x p m ) 和反常群速度色散( g v d ) i 约共 同作用下形成布拉格孤子。本文着眼于这一机制，运用有限差分法对光纤光栅 中布拉格孤子的传输进行数值模拟，进而研究光栅色散渐减和损耗对布拉格孤 子传输的影响。本文第一部分运用耦合模理论推导了在光纤光栅中传播的光的 基本传输方程以及给出各个参数的物理意义。第二部分着重分析了光栅的线性 和非线性色散曲线以及布拉格孤子的形成机制。第三部分对均匀光纤光栅中布 拉格孤子的形成和相互作用进行了数值模拟。结果表明，在一定输入峰值功率 下可形成稳定的布拉格孤子传输，同时发现随着布拉格孤子间隔的变化，布拉 格孤子之间会相互吸引和相互排斥。第四部分研究了光栅损耗和色散渐减对布 拉格孤子传输的影响。结果表明，光栅损耗和光栅色散渐减相互补偿，实现了 布拉格孤子在光纤光栅中稳定地传输。第五部分总结了本文，给出结论。 关键词： 有限差分法，光纤光栅，布拉格孤子，光栅损耗，光栅色散渐减 i i i 垩旦宣里差坌兰堡塞垄堑堂塑! 塑垫堡翌王塑堡塑 s t u d yo nt r a n s m i s s l 0 n0 fb r a g gs o l i t o n s w i t ht h ef i n i t e - d i f f e r e n c es c h e m e i nf i b e rb r a g gg r a t i n g s g r a d u a t ec a n d i d a t e ：、 n gc h u n y u s u p e r v i s o r ：p r o ry a n g n g y u d e p a r t m e n to fp h y s i c s ，c o l l e g eo fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y , h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 ，c h i n a a b s t r a c t s t r u c t u r ed i s p e r s i o ni sp r i m a r ya n dm a t e r i a ld i s p e r s i o na n dw a v e - g u i d ed i s p e r s i o nc a l lb e n e g l e c t e d ，w h e nw a v eo fi n p u to p t i c a lp u l s ei sc l o s et ov e r g eo u t s i d et h es t o p 。b a n di nf i b e rb r a g g g r a t i n g s ，a tt h eu p s i d ep a r to fd i s p e r s i o nc u r v e ，o p t i c a lp u l s ec a l lc o m ei n t ob e i n gb r a g gs o l i t o n s b yac a r e f u lc o n t r o lo fs p m 、x p ma n dg v d i nt h i sp a p e r , e f f e c t so fd i s p e r s i o nd e c r e a s i n ga n dl o s so i lt r a n s m i s s i o no fb r a g gs o l i t o n sa r e a n a l y z e db ys i m u l a t i n gt r a n s m i s s i o no fb r a g gs o l i t o n sw i t ht h ef i n i t e d i f f e r e n c es c h e m e f i r s t l y , b a s i ct r a n s m i s s i o ne q u a t i o no ft r a n s m i t t e dl i g h ti sg i v e nu s i n gc o u p l e d m o d et h e o r yi nf i b e r b r a g gg r a t i n g sa n dp h y s i c sm e a n i n go fe v e r yp a r a m e t e r i sg i v e n s e c o n d l y , l i n e a ra n dn o n l i n e a r d i s p e r s i o nc u r s e so ff i b e rb r a g gg r a t i n g sa r es t u d i e da n dw ea n a l y z ef o r m a t i v em e c h a n i s mo f b r a g gs o l i t o n s t h i r d l y , f o r m a t i o na n di n t e r a c t i o no fb r a g gs o l i t o n si nu n i f o r mf i b e rb r a g g g r a t i n g sa r es i m u l a t e dw i t l lt h ef i n i t e - d i f f e r e n c es c h e m e a c c o r d i n gt o t h en u m e r i c a lr e s u l t s b r a g gs o l i t o n sc a nb ef o r m e do nac e r t a i np e a kp o w e r , i i lt h i ss e c t i o n w ea l s o c a nf i n dt h a t i n t e r a c t i o no fb r a g gs o l i t o n si sr e p u l s i v eo ra t t r a c t i v e ，w h e nt h ei n t e r v a li n c r e a s e s i nt h ef o u r t h s e c t i o n ，t h r o u g hc o m p u t e rs i m u l a t i o n ，e f f e c t so fd i s p e r s i o nd e c r e a s i n ga n dl o s so nt r a n s m i s s i o no f b r a g gs o l i t o n sa r ea n a l y z e dq u a l i m t i v e l y t h er e s u l t ss h o wt h a td i s p e r s i o nd e c r e a s i n ga n dl o s so f f i b e rb r a g gs o l i t o n st a k ec o n 仃a r ya c t i o no nt h et r a n s m i s s i o no fb r a g gs o l i t o n sa n dt h e ym a k e b r a g gs o l i t o n st r a n s m i t t i n gs t a b l yi nf i b e rb r a g gg r a t i n g s l a s t l y , t h ew o r k sd o n eb ya u t h o rw e r e c o n c l u d e d k e yw o r d s ：f i n i t e - d i f f e r e n c es c h e m e ，f i b e rb r a g gg r a t i n g s ，b r a g gs o l i t o n s ，l o s so f f i b e rb r a g g g r a t i n g s ，d i s p e r s i o nd e c r e a s i n g i v 内蒙古大学硕士学位论文 引言 光纤光栅是近几年发展最快的光纤无源器件之一。在光纤光栅技术的发展过程中，加 拿大渥太华通信研究中心的k o h i l l 等人首先在1 9 7 8 年发现了掺锗石英光纤的紫外光敏 效应，并采用驻波写入法制成世界上第一只光纤光栅【i 】。由于制作技术上的困难，很难重复 制作相同的光纤光栅。直到1 9 8 9 年，美国联合技术研究中心gm e l t z 等人实现了光纤b r a g g 光栅( f b g ) 的u v 激光侧面写入技术 2 ，才推动了光纤光栅技术的进一步发展，随后又发展 了相位掩膜制作技术 3 】以及在光纤拉制过程中的在线光纤光栅的制作方法【4 1 ，从而使得这种 器件具有了可重复性和规模制作的实用性。随着光纤光栅制造技术的不断完善，其应用的 成果日益增多，从光纤通信、光纤传感到光计算和光信息处理的整个领域都将由于光纤光 栅的实用化而发生革命性的变化，光纤光栅技术是光纤技术中继掺铒光纤放大器( e d f a ) 技 术之后的又一重大技术突破。 光纤光栅具有体积小、成本低、与光纤系统兼容性好、插入损耗低及光学性能优异等 优点，成为光通信系统不可缺少的组成部分。作为反射式带通或带阻滤波器，光纤光栅可 用来做激光器谐振腔【5 】、波分复用系统复用解复用器m 1 和色散补偿器眇】等许多器件，这些 都是光纤光栅的线性特性。当强光注入光纤光栅后，由于介质的有效折射率将与光强有关， 因而它的特性不但不同于普通光纤，也与一般意义上的光纤光栅( 指其线性特性) 有着显著的 差异。近年来，国外已有一些文章研究了光纤光栅的非线性特性【l0 】，其反射特性与非线性 共同作用，会导致光学双稳态。16 ；其色散特性与非线性共同作用，会产生光纤光栅孤子【1 7 】： 如果一束强的抽运光脉冲与一束弱的探测脉冲同时注入光纤光栅，则会造成光学推扫现象 f o p t i c a lp u s hb r o o m ) 导致脉冲压缩 1 8 ，1 9 1 。 在光纤光栅孤子研究方面，1 9 8 9 年，a b a c e v e s 和s w a b n i t z 通过对m a s s i v et h i l t i n 2 模式支持的孤子的适当改变，获得了形状保持不变的孤子波【2 0 ，通过寻找非线性耦合模方 程的形状保持孤子，在禁带内和禁带外，这样的孤子波【2 1 1 都存在。由于布拉格孤子的形成 需要很高的功率田。2 ”，大部分布拉格孤子的研究都基于数值模拟和理论分析，直到1 9 9 6 年， b j e g g l e t o n 等人才首次在实验中用工作在1 0 5 3 n m 的调q 锁模n d ：y l f 激光器获得的8 0 p s 脉冲，在7 5 e m 长的切趾光纤光栅中观测到了光纤光栅中布拉格孤子的形成【2 6 】。从此以后， 人们做了更细致的实验工作和理论工作，得到了布拉格孤子的许多特性 2 7 _ ”】。在国内这方 面的研究很少，而且是基于理论分析、数值模拟和低能量下非线性耦合模方程可化为非线 性薛定谔方程的情况口4 。38 1 。在以上的研究中，都未涉及光栅损耗和光栅色散渐减对布拉格 运用有限差分法研究光纤光栅中布拉格孤子的传输 孤子传输的影响。 布拉格孤子是基于光栅色散和非线性的平衡，脉冲在光纤光栅中传播经历极强的色散， 约为普通光纤的1 0 5 1 0 6 倍；需要强非线性才能平衡强的色散形成孤子，要求入射脉冲有非 常高的功率；强的色散与非线性使形成孤子所需光纤光栅长度很小，只需几厘米，因此， 在极短的距离内可以实现光孤子及脉冲压缩，在未来应用中可以大大减小器件的尺寸，易 于实现器件微型化与集成化；脉冲在光纤光栅带隙外群速度低于光纤中，理论上通过调节 信号脉冲波长与b r a g g 波长之差可以得到任意速度的脉冲。利用这一特性，可以实现光复 用的延时，而且可以动态地调节延时时隙；在利用光栅带外色散进行色散补偿、色散模拟 时，由于脉冲速度低于光纤中，会产生延时效应，因此在系统设计时，必须考虑光栅的延 时作用，在高速情况下尤为重要；用于波分复用( w d m ) 系统时，由于不同波长脉冲拥有不 同的速度，会引起不同信道间脉冲信号的时间抖动。光纤光栅的布拉格波长随温度、压力 的变化而变化，这样，通过调节温度和压力可以调节布拉格波长，从而实现光纤光栅色散 的可调谐性。这样，对于波长确定的脉冲，通过调节布拉格波长来获得所需的色散，从而 改变色散与非线性的相互作用，可以得到不同的输出特性。在单信道中，利用非线性与色 散的相互作用可以动态地调节脉冲的脉宽、强度。同样，通过调节布拉格波长，单个光纤 光栅可以在密集波分复用( d w d m ) 系统中支持多信道孤子脉冲的传输和调节口9 “】。 基于国内外对布拉格孤子的研究，作者运用有限差分法通过数值求解非线性耦合模方 程进一步研究了在光纤光栅中布拉格孤子的形成及布拉格孤子间的相互作用，结果表明， 在一定输入峰值功率下可形成稳定的布拉格孤子传输，同时发现随着布拉格孤子间隔的变 化，布拉格孤子之间会相互吸引和相互排斥：光栅损耗和光栅色散渐减对布拉格孤子传输 的影响及它们共同作用的影响。 内蒙古大学硕士学位论文 第一部分基本传输方程与数值方法 1 1 光纤光栅中的基本传输方程 有两种方法来研究布拉格光栅是如何影响波在光纤中的传播的。一种方法是布洛赫理论 ( b l o c hf o r m a l i s m ) ，通常用于描述半导体中电子的运动【4 2 】：另种方法是分别处理前向和后 向传播的光。布拉格光栅提供二者之间的耦合，这种就是所谓的耦合模理论 4 3 - 4 5 1 ，已经在不 同的领域取得了一定的成功，在这一部分给出详细的非线性耦合模方程的推导，从中我们可 以对一些概念有比较清楚的理解，下面分三步来得到非线性耦合模方程。 1 ，1 1 布拉格衍射条件 布拉格光栅是折射率周期性变化的光学介质，当光通过它时将产生相位的周期性变 化，由衍射理论知，以角o ( 相对于折射率为常数的位面) 入射的光线将以角0 ，衍射，如图1 - 1 所示，当它们满足布拉格条件时，能确保同向弱反射光想干加强。 守7 图1 1 在光栅中的衍射图 f i g i 1d i f f r a c t i o nf i g u r ei nf i b e rb r a g gg r a t i n g s 在图1 1 中，角度正负的规定满足两个条件。 ( 1 ) 从光线到介质平面转动。 ( 2 ) 顺时针为负，逆时针为正。( 如图1 - 1 ：0 。为正，0 ，为负) 衍射条件，即光程差为波长的整数倍，其中h 表示真空中的波长，九表示介质中的波长，i 是光栅的平均折射率，人是光栅的周期，m 是布拉格衍射级数。 百a s i n ( o , ) 一a s i n 旺) = m 如( 1 1 ) 运用有限差分法研究光纤光栅中布拉格孤子的传输 在( ) 式两边同乘条，可得 由于鲁= 万，( 1 2 ) 式可变为 署s i n ( 0 3 一百2 m 5s i n ) = m 等 ( 1 z ) 加 、 等s i n ( 0 3 一等血 ) = m 詈丘a a 对于单模光纤，有舅= 衫2 并b = 一州2 ，考虑一级衍射m = 1 ，由( 1 1 ) 式可得 2 k a = 九 应用( 1 4 ) 式可得布拉格波数为 岛= 等2 署= 蒹= 云 布拉格频率为 2 x2 7 0 5 2 h ec 7 2 了2 百2 丽2 示 1 1 2 从麦克斯韦方程组到亥姆霍兹方程 ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) 当光在介质中传播时，满足麦克斯韦方程组和物质方程，我们采用国际单位制( s i ) ，则 麦克斯韦方程组为 v 岳一詈 ( 1 7 a ) 物质方程为 v 旃= | 7 + 百0 1 ) ( 1 ，7 b ) 、d = 0 f v b = 0 d = s n e + p ( 1 7 c ) f 1 7 d ) ( 1 8 a ) 内蒙古大学硕士学位论文 b = u o h + m j = o - e ( 1 8 b ) ( 1 8 c ) 式中，雷、雷分别为电场强度矢量和磁场强度矢量；j 弓、五分别为电位移矢量和磁感应矢 量；j 、p 、盯分别为电流密度矢量、电荷密度和电导率：和胁分别为真空中的介电常 数和磁导率；卢和厨分别为感应电极化强度和磁极化强度，由于光纤是无自由电荷的介质 和无磁性介质，故有7 = 0 ，p ，= o ，a 2 = o ，麦克斯韦方程组变为 v 丘：一j o b( 1 9 a ) o t v x 疗：+ 塑 西 v d = 0 ( 1 9 b ) ( 1 9 c ) v b = 0 ( 1 9 d ) 物质方程为 西= e o 五+ pr 1 1 0 a ) 云= 。疗( 1 1 0 b ) 对( 1 9 a ) 两边取旋度，并利用( 1 9 b ) ，( 1 1 0 a ) 和( 1 1 0 b ) ，可得 v 概豆一等= - u o v x - 胴- 磊- - 叫。旦幽o t = 叫。字= - u 0 5 0 丝o t 2 确警( 1 1 1 ) 利用公式 v v 丘= v ( v 丘) 一v 2 丘 ( 1 1 2 ) 在慢变包络近似下，非线性折射率变化很小，可作为微扰情况下，可得在频域上亥姆霍兹方 程 v 2 茁p ，0 9 - - 0 9 。) + s ( 。沁；营p ，一国。) = 0 ( 1 1 3 ) 其中 2 。2 了 ( 1 1 4 ) 运用有限差分法研究光纤光栅中布拉格孤子的传输 制= 魄( z ) 帆吲+ 引2 ( 1 1 5 ) 万) 是光栅的平均折射率，渤。0 ) 表征了光栅内折射率的周期性交化，”：吲是非线性折射 率变化，薏表征光栅的损耗a 1 1 3 从亥姆霍兹方程到非线性耦合模方程 令盯2 疗：阎2 + 盖带入( 1 1 5 ) 式，忽略二阶小量，则有 和) 2 ( 贰咖曲。( 卅聍z 蚵+ 景) 2 = ( ( ) + 岛g ( z ) + 幽) 2 佩) + 岛g ( z ) ) 2 + 2 以 ) + f i n g ( = ) )( 1 ，1 6 ) “可回2 + 2 取) 斑g ( z ) + 2 五( 国) 幽+ 2 f i n g ( z ) a n 五( ) 2 + 2 i _ ( ) 面。z ) + 2 五( c o ) a n 由于魄g ) 表征了光栅内折射率的周期性变化，把痢。g ) 作傅立叶级数展开 对于一级光栅锄，= 锄 翻b ( z ) = 锄。e x p ( 2 , w n i ( z a ) ) ( 1 1 7 ) 抽g ( z ) = 踟l ( e x p ( 一2 r e ( z a ) ) + e x p ( + 2 船 ( z a ) ) )( 1 1 8 ) 因为方程中应包含前向和后向传播的光，所以方程( 1 1 3 ) 中的营有如下形式 e ( ，c o ) = f ( 工，y ) 日( z ，c o ) e x p ( i , g z ) + 元( z ，o ) e x p ( 一识z ) ( 1 1 9 ) 式中，岛= 三a 是一级光栅的布拉格波数，通过布拉格条件五。= 2 再a 与布拉格波长关联，j ， 和4 分别为沿z 方向的缓变振幅，在单模光纤中，相反方向传播的两束光的横向变化模式 分布由f ( x ，y ) 决定。 把式( 1 1 6 ) 和( 1 1 9 ) 代入( 1 1 3 ) 式中，得 内蒙古大学硕士学位论文 c 管移 唧c 珊徊邓捌m 等c 摘舭辅删，： + 等( 砥) 2 + 2 五( o ) 3 n 。( z ) + 2 可国) ”) f ( a re x p ( i f l 。z ) + 互e x p ( 一i f l 。z ) ) = o 把式( 1 1 8 ) 代八( 1 2 0 ) 式甲，展升( 1 2 0 ) 式的各i 贝则甭 ( 窘+ j c 3 芦2 f ) 乃e x p ( f 几z ) 十，乏多e x p ( f 岛：) + f t ；i j ( i f l e ) 。e x p ( i j 3 。z ) + 2 f o a - f ( i f l b ) e x p ( i f l 。z ) + 筹( 可+ 2 百( c o ) , s n ) f , 4 ie x r g i f l , , 卅箸2 - ( ) 翻。反唧( i f l 栩 + 晤0 2 f + 秽0 2 f 小x p ( 嘶m 譬e 孵荆 o _ 2 u 十厦。( 一i f l n ) 2e x p g i f t , , = ) + 2 f 孕( 一i f l 。) e x p ( 一i f l 。z ) + o ：) f z ( i - ( 国) 2 + 2 i _ ( 出) 以) 丘己e x p ( 一f 芦8 ：) + 0 ：) 丁22 一( 国) a n ，葫fe x p ( 一i f l 。z ) + 筹2 - ( m ) 勘，回e x p ( i 3 几z ) + 了0 5 , 22 _ ( ) a n 。或“p ( i 3 风z ) = o 假设j r 和互沿z 方向的缓变振幅一直保持近似相位匹配条件，把指数项e x p ( 班。z ) 和 e x p ( - i f l b z ) 分开得 c 警+ 等，丑唧c 幌卅鳓瞩) 2 e 吲瞩卅z f 警c 瞩皿鹏“ m ：小 + 7 ( o2 ( n ( + 2 酗) 曲) f 彳fe x p 眠加等2 ) 嘲矾“p ( 幌加。 ( 警+ 等蜘x p ( 一瞩咖璃( 一慨) 2 e 孵祝卅z f 警( 一瞩) e x p ( 鹚“ ( 1 2 2 b 、 + 7 0 ) 2 + 2 矾妫幽) 匾e x p ( - 幌小等2 一( ) 矾厨，e x p ( - 瞩加。 简化( 1 ，2 2 a ) 和( 1 2 2 b ) 式n 古c 警+ 等卜所删风毒警+ 等2 + z 酬加+ ：酬面。争= 。z s 曲 古c 警+ 等卜压一z 慨毒豢+ 等c 耐+ z 酗，曲+ z m 砌i a f ，= 。z s e ， 运用有限差分法研究光纤光栅中布拉格孤子的传输 謦+ 等州2 + 2 五( c o ) a n + 2 酬嘲芦a b 节”。 ( 1 2 4 a ) ( 警+ 矿a 2 f ) + 瑶( 酬2 + z 酬蚺z 酬面，争节肛。 ( 1 z 。u ) + 了oa2iflb+ ( 万z 一所) 乃：0+ _ + ( 2 一所) 4 ，= 。 一2 慨挚+ ( 万z 一所) 夏：o o z 在( 1 2 5 a ) 和( 1 2 5 b ) 式，由于万和几相近，则( 声2 一朋) 近似为 ( 万2 一所) z2 岛( 声一f i b ) 把( 1 2 6 ) 式代入( 1 2 5 a ) 和( 1 2 5 b ) 式得 ( 1 2 5 a ) ( 1 ，2 7 a ) ( 1 2 7 b ) 采用量子力学的本征函数的微扰理论来化简( 1 2 4 a ) 、( 1 2 4 b ) 和( 1 2 7 a ) 、( 1 2 7 b ) 式，我们 只解决前向波问题，对于后向波问题同理，设哈密顿量为 的本征值为2 ，本征函数为f ，即 当哈密顿量有一个微扰 疗= 等等+ 爵酬2 ( 1 z s ) 自f = 8 2 f ( 1 2 9 ) h = 瑶( 2 - ( 脚) 门+ 2 联脚) 锄争 ( 1 3 。) 以 的本征值为万2 ，本征函数为f7 ，即 采用微扰理论，设 国+ 龋) fr = 西2 f 西2 = 8 l + 8 t 十跫8 ：+ 3 p 、r + 8 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) 一 4 尾 几 一 一 卢玎 “ | i = 西i 盟昆 内蒙古大学硕士学位论文 f t = f + 疆i 七凳f ；七婚i 七 ( 1 3 3 ) 其中z 是一个小量，把( 1 3 2 ) 和( 1 3 3 ) 式4 x ( 1 3 1 ) 式得 ( 日+ 枷) ( ，+ 犯+ 巧+ 埘+ “) f 1 3 4 1 = 8 1 七x 母t + 譬p ：+ 尤p j + t f + 矩i + f ；+ 姬i + _ 把丑相同幂次的分开，有零次幂关系式( 1 2 9 ) 和一次关系式 五+ h f = 卢2 e + 纠f ( 1 3 5 ) 把( 1 - 3 5 ) 式移项后两边同乘，对光纤光栅的横截面积分，考虑到哈密顿量的厄米性，同时应 用式( 1 2 9 ) 得 胪( f l ：f 一胛姗= 胪( 宜一p 2 ) f , u x a y = 们i 疗一2 ) f d x d y = 0 ( 1 3 6 ) 由此得 骢f 戳f 搬d y = l l f h f d ) c d y q3 n 假设 万= + 筇( 1 3 8 ) 则由 万2 = ( + 筇) 2 = 2 + 2 , s a i l + ( a p ) 2( 1 _ 3 9 ) 可知 = 2 f l a , b ( 1 4 0 ) 把式( 1 4 0 ) 和( 1 3 0 ) 代入式( 1 3 7 ) 得 2 胚盯阡砂= 咖= 鹏( 2 - ( 国) ”+ 2 _ ( ) 渤，争嘞 ( 1 4 1 ) 利用 8坠塑：万( 。) c ( 1 4 2 ) 肛；( 2 _ ( ) 如+ 2 - ( 印) 斑争) f 陆方肌”+ 渤。争) f 附叻 印= 1 而瓦产= 两卜( 1 。， = k 0 7 i i i a 面n f f d c d y + 互a , ! 旦1 1 5 i 燮f f d x d y = 卢+ 每a 茁弧f f c b c d y 一 。峥? “f “ 9 运用有限差分法研究光纤光栅中布拉格孤子的传输 r ：x o 下f ；f 6 n f f d x d y i j f f d x d y 由蛳的关系式可知声包含非线性项和损耗项，且为 ( 1 4 4 ) 筇：两xof；nffdxdy：警 嘲 把式( 1 3 8 ) 和( 1 4 3 ) 代入( 1 2 7 a ) ，得 同理对于后向波有 姿：e 一翰i f ：邶+ 够一p 8 ) 瓦 = i t p p b ) a f = t p + ；b 1 一p 8 ) a ， 以 铒$ 坶+ 每x 氓嚆，咄p 氓+ 嘶函h 娑：，( 万一岛) 乏：i ( p + 一凡) 夏 一， ：i t p + p + 毒k p 8 、a b = t t p 一$ 8 七a 7 ) a h 七i r a f ab 。 其中，对于后向波a p 和定义为 ( 1 4 6 ) ( 1 4 7 ) j k ( 2 - ( ) h + 2 可国) 翻。睾) 闩7 级咖肌血+ 翻。亨) f 附r 咖 拶= 可而面生一= 1 焉卜( 】4 。) = t r o 阿盯a n f f d x d y + 鲁兰! 鬻= 卢+ 季r 筇：訾；喾 剑幽纠2 翼剑2 幽4 丝+ ，堡 ( 朋f 2 蚴) 2 “2 定义布拉格光栅的失谐量 占( ) = 兰( 一。) = p ( 珊) 一玩 c 1 0 ( 1 4 9 ) ( 1 5 0 ) 一 掣 出啊 胍一 内蒙古大学硕士学位论文 由式( 1 4 6 ) 、( 1 4 7 ) 和( 1 5 0 ) 得频域的耦合模方程为 把( 1 5 l a ) 和( 1 5 1 b ) 写为 i ( 8 ( c o ) 十瓦+ i 函j 娑：咿( 国) + 印) 互+ f 店， o z ( 1 5 1 a ) ( 1 5 1 b ) 0 , 4 ， 。 + _ 王l = i ( p ( c o ) 一风+ + 风一玩) 爿r + i x , ( 1 5 2 a ) 。 孥：i ( f l ( 呐一j q + 邵+ 氏一j 8 滔h + a f ( 1 5 2 b ) 。 式中风是脉冲频谱的甲心频翠o ) o 对应的毅教，于巴( 国) 征c o o 附近泰勒级数展开为 ( 珊) = 风+ ( ( o - - o y o ) 届+ 1 ( o ) - a o o ) 2 反+ 丢( 一啪镌+ ( 1 5 3 ) 把式( 1 5 3 ) 4 2 a ( 1 5 2 a ) 和( 1 5 2 b ) 中，作傅立叶变换到时域，即用微分操作符学替换国一， 保留二阶级数，同时应用( 1 4 5 ) n ( 1 4 9 ) ，得到时域上的耦合模方程 十娑+ 届丝o t 迎2 尝o t + 里2 爿，训，蒯( m 讹阳，( 1 5 4 a )出 。7 o 。、i ，i l 。l7 ， 一警媚訾+ 等等+ 导以= ，点a b + i d ，州l 以f 2 + 2 m ( 1 5 4 b ) 其中f l , = 导= 与群速度成反比；厦决定群速度色散( g 阳) ：口是损耗系数；j 为在由： c v 。 “ 时的失谐量，即j ：风一风：亘( 。一。) ：( 一) 土；r 是耦合系数，且为 c v * 盯= 1 x o i l 6 丽n , f f 矿d x d y 排靴参数，钆满足，= 等c a ，是有效躺面积，定义为 i i 胁咖 ，” ”。 铲业i 1 f 4 d x d y 。 1 2 数值模型及解法 运用有限差分法研究光纤光栅中布拉格孤子的传输 传输方程( 1 j 5 4 a ) 和( 1 5 4 b ) 是非线性倔微分万程组，在一般情况f 不适于解析求解，除非 是在能使用逆散射方法的某些特殊的情况下才有可能。因而为阐明光纤光栅中的非线性效 应，通常需数值处理。为达到这一目的，可以采用许多数值方法。已广泛地应用解非线性光 栅色散介质中脉冲传输问题的一种方法是有限差分、法【4 6 - 4 7 。本节简单介绍有限差分法，并把 它改进成适合于光纤光栅中的脉冲传输问题。 由于在光纤光栅中光栅引起的结构色散是主要的，材料色散和波导色散可忽略，即在 ( 1 5 4 a ) _ 手1 1 ( 1 5 4 b ) h u 台 f 1 2 的项可去掉，同时为了数值模拟的方便，采用功率密度，在( 1 5 4 a ) 和( 1 5 4 b ) 两边同除爿得 + f 譬+ f 亘里o + 占( z ) e + r ( z ) e + 1 1 ( 1 以1 2 + 2 ) t + f 等e + ：oa)t2 1 e _ l ( 1 5 5 此c2 一f 婴+ f 要睾+ 占( z ) e + r ( 力t + r 0 ej 2 + 2 1 e + 1 2 ) e 一+ f 要e 一：o ( 1 5 5 b ) o zco t2 舯t 2 寿一2 寿啡靴参数r _ 2 n 2 。o ) 0 曲瑚方程能应月诽均匀光 栅，可设失谐量和耦合系数为z 的函数，即占g ) 2 屁一以g ) ，其中布拉格波数风2 南， 耦合系数r 仁1 。 e ( 0 ，)笔堕) ul 图卜2 光纤光栅的结构示意图，l 是光纤光 栅长度，t ( o ，f ) 和e 一( 三，f ) 是边界条件。 f i g 1 - 2 s c h e m a t i cd i a g r a mo ft h es t r u c t u r e o ff b g , li s l e n g t h ，e + ( 0 ，) a n d e 一( 工，t ) a r e t h eb o u n d a r yc o n d i t i o n s 我们考虑一个长度为l 的光纤光栅，如图l 一2 所示，光栅中的总场可以写为两个反向传 播波的和 e ( z ，f ) = e + ( z ，t ) e x p ( i f l n z ) + e ( z ，t ) e x p ( 一慨z ) e x p ( 一i o ) o t ) ( 1 5 6 ) 内蒙古大学硕士学位论文 对于方程( 1 5 5 a ) 年n o 5 5 b ) ，通过坐标变换 丁：旦f f i - z = 2 z = f f t = f + f 得到非线性耦合模方程的形式为 等= f ( 蛳成诋r ) e + f i 引2 e + + 2 r l e _ 1 2 e + ) 一 冬：f ( j ( f ，f ) e + r ( f ，r ) e + + r i e 1 2 e 一+ 2 r l e + 1 2 e ) 一等e d 丁z 在如图1 3 所示的新坐标系f 和r 中，根 据( 1 5 7 c ) 式f f = c ，c 取不同值分别对应 光栅的不同位置z = z = c ，如：c = 0 是光 栅的前端，c = l 是光栅的后端。由式 ( 1 5 7 d ) f + r = c ，c 取不同值分别对应不同 时刻f _ t n _ ：c n _ ，如：c ：0 是初始时刻， cc c = l n 是，= ( l n ) n 时刻。对于给定点 c ( 厶，) 的振幅函数e + ( 厶，) 和e 一( 氏，f 0 ) ， 由( 1 5 8 a ) 可得e + ( 厶+ 彤，r 。) ，由( 1 5 8 b ) 可得 e 一( 磊，r 。+ 所) ，从而，由初始条件e + ( z ，o ) 、 e 一( z ，0 ) 和边界条件e + ( 0 ，f ) 、丘( 三，r ) 可得任 意时刻、不同位置的e + ( z ，f ) 和e ( z ，f ) 。 我们选取适当的，可以很好模拟脉冲 在光纤光栅中的传输。 ( 1 5 7 a ) ( 1 5 7 b ) ( 1 5 7 c ) ( 1 5 7 d ) ( 1 5 8 a ) ( 1 5 8 b ) z = lt = 0 ， 图卜3 在和7 坐标系申的积分域。点线表 示相同的时间的点。划线表示相同的位置。在 有限差分法中，积分沿着点划线。 f i g 1 - 3i n t e g r a t i o nd o m a i ni nt h ec o o r d i n a t e s fa i l df t h e d o n e dl i n e si n d i c a t e i n t s 。f e q u a lt i m e t h ed a s h e dp i n e si n d i c a t ep o i n t so t e q u a lp l a c e i naf i n i t e d i f f e r e n c es c h e m et h e i n t e g r a t i o nt a k e sp l a c ea l o n gt h ed o t t e d - d a s h e d 运用有限差分法研究光纤光栅中布拉格孤子的传输 第二部分光栅色散和非线性导致布拉格孤子 2 1 光栅色散曲线 2 1 _ 1 线性色散曲线 若忽略非线性效应，利用方程( 1 5 1 a ) 和( 1 5 1 b ) 歌n ，频域上的耦合模方程包含各级g v d 令非线性效应的贡献为零口，可得 其中c s ( c o ) = p ( c o ) - 玩，是布拉格光栅的失谐量，由( 2 1 ) 和( 2 2 ) 式可得 a 舻2 a f ：( 盯：一占z ) 互 出2 2 ( 盯2 - 占2 ) 4 争咄2 ) 互 方程( 2 3 ) 和( 2 4 ) 的通解y , j a ，( z ) = a le x p ( i q z ) + a 2e x p ( 一i q z ) 2 a z ) = b le x p ( i q z ) + b 2e x p ( 一i q z ) 其中q 的表达式为色散关系式，即 q ：西f 7 把( 2 5 ) 和( 2 6 ) 代入( 2 1 ) 得 ( q 一巧) 彳l = + 码 把( 2 5 ) 和( 2 6 ) 代入( 2 2 ) 得 ( q + 巧) 且= 一w a l 把( 2 8 ) 和( 2 9 ) 代入( 2 5 ) 和( 2 6 ) 中，可得 1 4 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( q + 占) 爿2 = 一翘2( 2 8 ) ( q j ) b 2 = + j 叫2 ( 2 9 ) 商 弓 碱 畸 的 瓯 画 喊 巧i 亟昆 内蒙古大学硕士学位论文 爿r ( z ) = a le x p ( + i q z ) + r ( q ) b 2e x p ( 一i q z ) 互( z ) = b 2e x p ( 一i q z ) + r ( q ) a le x p ( + i q z ) 其中有效反射系数为 ，( g ) ：型：一上 k g 十0 由色散关系式( 2 7 ) 可知当h 茁时，日是纯虚数，即 日= f r 2 一占2 其有效反射率为 叫咖嘞，= 半竿= 华= 半= t 在此情况下，光纤光栅不允许光通过，大部分入射光被反射，令 q = i q = i 4 r 2 一j 2 由( 2 1 5 ) 可得 当俐盯时，由( 2 7 ) 可得 作( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 式的图 2 1 ，由图可知布拉格光栅呈现很 重要的色散特性，如果入射光的 频率失谐量的范围为 一r 女，光脉冲不受光 栅的影响，传播的群速度与无光栅情况相同：当蚓接近t 时，群速度不断减小，在禁带边 缘俐= 女时，群速度为零。 光栅的二阶、三阶色散特性分别由群和掰决定。由式( 2 1 9 ) 和色散关系式( 2 7 ) ， 这两个参数可写为 内蒙古大学硕士学位睑文 d ( ( 1 一等) 一i ) 尉：盟d f l , gd c ，：一1 生! 1 1 2 d ( )，12 3 = 古( 1 一争) 暑+ 专( 一吉) ( 1 一事) ( 一一( 固矿 ( 2 2 2 ) z 扣炒2 彳，一；c 舶3 2 扣， 古r 2 8 - ss g n ( 5 ) = 一篱 掰= 警a 芸警= 确氛2 5 丝22 3 f 2 1 2 = 上二年( ) ( 占：一j r z ) i 光栅引起的g v d 由掰决定，依赖于失谐量占的符号。对于图2 一l 所示色散曲线的上分 支，5 为正且载频超过布拉格频率，此时g v d ( f l 笋 o ) ，占为负且载频小于布拉格频率。由式( 2 2 3 ) 可知，三阶 色散对于色散曲线的两个分支都是正值。当占( 出) = 茁时，q = 0 ，f l o ( 珊) = 岛这时在禁带的 边缘，由 占( ) ：f l ( 国) 一岛：型( - - b ) ：型4 一_ 1 ( 2 - 2 4 ) ccl 。 可知劈以布拉格波长九为中心的禁带的两侧改变符号。 2 1 2 非线性色散曲线 在大部分事实情况f ，方程( 1 5 4 a ) 和( 1 5 4 b ) 种的参数卢：可以忽略，对于典型的光栅长 度损耗可忽略，即损耗系数a = 0 ，此时非线性耦合模方程有如下的形式 + i 誓+ 毒等蚺嘲州f 爿，2 + 2 i 刮2 m ，= 。 z s ) r 訾专导+ 鹳嘲圳卅讹阻= 。 弦z e ， 运用有限差分法研究光纤光栅中布拉格孤子的传输 v 。是远离光栅禁带的群速度，失谐量占= 风一风，r 是耦合系数。为了解连续波条件下的 解，忽略时问的导数项方程( 2 2 5 ) 和( 2 2 6 ) 变为 + f 娑+ 6 1 r + r a 。+ 。，12 + 2 1 a 。：0 ( 227)6 y ( i a 2 1 a a0 + f i l +r + + ，1 + l ) ，= ( 2 0 2 。 假设有如下形式的解 一f 警城+ 剃i + 7 ( 1 42 + 2 川2 地= 。 ( 2 2 8 ) a r = “，e x p ( i q z ) a = e x p ( i q z