（应用数学专业论文）几类捕食模型平衡态模式的定性分析.pdf

几类捕食模型平衡态模式的定性分析 研究生，彭锐 导师t 王明新教授 东南大学数学系，南京，中国，2 1 0 0 1 8 关键词；捕食模型，反应扩散方程，模式生成，平衡解，先验估计，存在性，唯性， 稳定性，分支 摘要：模式生成( p a t t e r nf o r m a t i o n ) 问题是现代科学技术中一个具有重要理论意义和 实际应用背景的研究课题它描述了自然界诸如生态学化学反应，基因生成等问题中 几种物质相互作用时的结构变化 本文讨论来自于生态学中的几类反应扩散和交错扩散捕食模型的模式生成问题对 于齐次n e u m a n n 边界条件，重点是研究一般扩散和交错扩散对模式生成( 即非常数正平 衡解) 的影响；对于齐次d i r i c h l e t 边界条件，重点是分析正平衡解的确切个数和稳定性， 并确定解的渐近行为 我们首先考察了一个具有扩散和交错扩散的h o l l i n g - l “a a n e r 捕食模型，建立了正平 衡解上下界精确的先验估计，得到了非常数正平衡解的存在性和不存在性所得结果表 明，在一定条件下扩散和交错扩散都能导致模式生成 在分析该模型非常数正平衡解的不存在性时，我们使用了所谓的。隐函数定理。方 法该方法在证明非常数正平衡解的不存在性时是相当有效的同时。它也能应用于诸如 著名的b r u s s e l a t o r 模型，b e l o u s o v - z h a b o t i m k i i 反应的n o y e s - f i e l d 模型以及一类具有比 例依赖响应函数( r a t i o - d e p e n d e n tf u n c t i o n a lr e s p o n s e ) 的捕食模型等平衡态问题的研究，从 而极大地改进了这些模型非常数正平衡解不存在性的已有结果 另外，对于b r u s s e l a t o r 模型，同b r o w n - d a v i d s o n 及e m e u x - r e i s s 等人的研究工作相 比较，我们获得了一些更精细的先验估计，从而利用拓扑度方法改进了他们得到的关于 非常数正平衡解的存在性结果，减弱了分支存在的条件对于b e l o u s o v - z h a b o t i n s k i i 反应 的n o y e s - f i e l d 模型的正平衡解，我们获得了最优的先验估计结果，细致地分析了模式生 成问题，从而补充和完善了y a m a d a 的工作对于g r a y - s c o t t 模型，我们极大地改进和 补充了p e a r s o n m c g o u g h 以及k i l e y 等人的工作，获得了更好的先验估计和判断模式 i 生成的条件我们也研究了具有比例依赖响应函数的一个捕食模型和一个食物链模型 一方面，讨论了这两个反应扩散模型解的逗留性质和常数正平衡解的全局稳定性，改进 了p a n g - w a n g 的结果及部分地回答了i - i s u 等提出的一些问题另一方面，非常数正平衡 解的存在性和不存在性结果表明t 各种扩散系数在模式生成中所起的作用很不相同；增 加一个与原系统某物种具有类似性质的物种会造成原系统生态结构发生质的变化；对于 具有不同响应函数的生态模型，同一物种的扩散系数在模式生成中所起的作用也很不一 样 随后，我们考虑一个带有齐次d i r i c h l e t 边界条件的捕食模型，主要关心当某个参数 充分大时正平衡解的存在性、个数和稳定性众所周知，这些问题的研究是很有趣但通 常是非常困难和具有挑战性的采用d u 和l o u 研究工作的思想和数学技巧，通过细致 地分析解的渐近性态，借助于经典的正则和奇异扰动理论，我们完全确定了该模型正平 衡解的个数和稳定性 最后，我们讨论一个捕食模型在空间退化环境中的平衡态模式，获得了正平衡解存 在的充要条件，分析了当猎物的捕食能力趋于零时正平衡解的渐近行为，从而发现了一个 非常有趣的带有尖点的空间模式( s h a r ps p a t i a lp a t t e r n ) 本质上，该模式不同于由d a n c e r 和d u 以及d u 、h s u 和w a n g 等由另外两个捕食模型所发现的带有尖点的模式 q u a l i t a t i v ea n a l y s i so fs t e a d y - s t a t ep a t t e r n so f s o m ep r e y - p r e d a t o rm o d e l s c a n d i d a t ef o rp h d ：p e gr u i s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rw a n gm m g x i n d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，s o u t h e a s tu n i v e r s i t y , n a n j i n g ，p r c h i n a k e y w o r d s ：p r e y - p r e d a t o rm o d e l ，r e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n ，p a t t e r nf o r m a t i o n ，s t e a d y - s t a t es o l u t i o n ，p o s i t i v es o l u t i o n ，ap r i o r ie s t i n m t e s ，e y j s t e n c e ，u n i q u e n e s s ，s t a b i l i t y , b i f u r c a t i o n a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a t ，d u et ot h ec r u c i a ls i g n i f i c a n c ei nt h e o r ya n de x t e n s i v e a p p l i c a t i o n si nr e a l i t y , p a t t e r nf o r m a t i o nn o wb e c o m e sa ni m p o r t a n tr e s e a r c ha s p e c to fm o d e r n s c i e n c ea n dt e c h n o l o g y i tc a nb eu s e dt od e s c r i b et h es t r u c t u r ec h a n g e so fi n t e r a c t i n gs p e c i e s o rr e a c t a n t so fe c o l o g y , c h e m i c a lr e a c t i o na n dg e n ef o r m a t i o ni nn a t u r e i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ep a t t e r nf o r m a t i o no fs o m ep r e y - p r e d a t o r m o d e l sw i t hr e a c t i o na n dd i f f u s i o nf r o mb i o l o g y f o rt h ep r o b l e mo fn e u m a n nb o u n d a r yc o i l - d i t i o n ，w em a i n l ys t u d yt h ee f f e c t so fd i f f u s i o na n dc r o s s - d i f f u s i o no nt h ep a t t e r nf o r m a t i o n ( n a m e l y , p o s i t i v en o n - c o n s t a n ts t e a d y - s t a t es o l u t i o n s ) w h e nt h eb o u n d a r yc o n d i t i o ni so f d i r i c h l e tt y p e ，w em i n l yi n v e s t i g a t et h ee x a c tm u l t i p l i c i t ya n ds t a b i l i t yo fp o s i t i v es t e a d y - s t a t e s o l u t i o n s ( p s s ) ，a n dd e t e r m i n et h ea s y m p t o t i cb e h a v i o ro f p s s m o r ep r e c i s e l ys p e a k i n g ，w ef i r s tc o n s i d e rt h eh o l l i n g - t a n n e rp r e y - p r e d a t o rm o d e lw i t h d i f f u s i o na n dc r o s s - d i f f u s i o n , e s t a b l i s ht h ef i n eu p p e ra n dl o w e rb o u n d so fp s sa n dt h e ns t u d y t h ee x i s t e n c ea n dn o n - e x i s t e n c eo fn o n - c o n s t a n tp s s a sac o n s e q u e n c e ，o u rr e s u l t ss h o wt h a t ， u n d e rs o m ec a s e s b o t hd i f f u s i o na n dc r o s s - d i f f u s i o nc 觚c r e a t ep a t t e r nf o r m a t i o n i nt h ea n a l y s i so ft h en o n - e x i s t e n c eo fn o n - c o n s t a n tp s so ft h ea b o v em o d e l ，w ea d o p ta8 0 - c a l l e di m p l i c i tf u n c t i o nt h e o r e mm e t h o d ，w h i c hi sq u i t ee f f i c i e n ti no b t a i n i n gt h en o n - e x i s t e n c e o fp a t t e r n m o r e o v e r ，w ea l s oa p p l yt h i sm e t h o dt om a n yb i o l o g i c a la n dc h e m i c a ls y s t e m s ，s u c h a st h ew e l l - k n o w nb r u s s e l a t o rm o d e l ，t h en o y e s - f i e l dm o d e lo fb e l o u e o v - z h a b o t i n s k i ir e a c t i o n a n ds o m ep r e y p r e d a t o rm o d e l sw i t hr a t i o - d e p e n d e n tf u n c t i o n a lr e s p o n s e ，a n dg r e a t l yi m p r o v e t h ep r e v i o u sr e s u l t so fn o n - e x i s t e n c eo fp a t t e r n i na d d i t i o n ，f o rt h eb r u s s e l a t o rm o d e l ，w eo b t a i ns o m em o r ep r e c i s ea p r i o r ie s t i m a t e s t h a nt h a tb yb r o w n - d a v i d s o na n de r n e u x - r e i s se ta 1 t h e n ，b a s e do nt h i s ，w eu s et h et o p o l o g y i i i t h e o r yt og e tt h ee x i s t e n c eo fn o n - c o n s t a n tp s s a n da n a l y z et h eb i f u r c a t i o n ，w h i c ha l s oi m p r o v e s t h ep r e v i o u sc o n c l u s i o n sa n dw e a k e n st h ec o n d i t i o no fb i f u r c a t i o n a sf o rt h ef a m o u sn o y e s - f i e l dm o d e lo fb e l o u s o v - z h a b o t i n s k i ir e a c t i o n ，w ed e r i v et h eo p t i m a le s t i m a t e so fu p p e r - l o w e r b o u n d s ，a n dt h e ne x p l o i ti nd e t a i l st h ep a t t e r nf o r m a t i o n ，a n do u rr e s u l t sc o m p l e m e n tt h ew o r k o fy a m a d ao nt h i sm o d e l t h e n ，w es t u d yt h eg r a y - s c o t tm o d e l ，a n do u rr e s u l t so fap r i o r i e s t i m a t e sa n dt h ec o n d i t i o n so fp a t t e r nf o r m a t i o ng r e a t l yi m p r o v ea n dc o m p l e t et h ew o r k so f p e a r s o na n dm c g o u g h - k i l e y , e ta 1 w ea l s od e a lw i t ha p r e y - p r e d a t o rm o d e la n da f o o dc h a i n m o d e li n c o r p o r a t e dw i t hr a t i o - d e p e n d e n tf u n c t i o n a lr e s p o n s e o nt h eo n eh a n d ，w ed i s c u s 8t h e p e r s i s t e n c ep r o p e r t yo fs o l u t i o n sa n dg l o b a ls t a b i u t yo ft h eu n i q u ec o n s t a n tp s so ft h et w o m o d e l s ，a n dt h u si m p r o v es o m er e s u l t so fp a n g - w a n ga n dp a r t i a l l ya n s w e rs o m eo p e np r o b l e m s p r o p o s e db yh 8 ue ta 1 o nt h eo t h e rh a n d o u rr e s u l t so fe x i s t e n c ea n dn o n - e x i s t e n c eo fp s s d e m o n s t r a t et h e s ef a c t s ：d i f f e r e n td i f f u s i o nc o e f f i c i e n t sc mp l a yv e r yd i f f e r e n tr o l e si np a t t e r n f o r m a t i o n ；t h ei n t r o d u c t i o no fan e ws p e c i e sw h i c hp o s s e s s e st h eb i o l o g i c a lp r o p e r t ys i m i l a rt o ac e r t a i ns p e c i e sw i l ll e a dt ot h eq u a l i t a t i v ec h a n g eo fp a t t e r nf o r m a t i o no ft h eo r i g i n a ls y s t e m ； f o rt h eb i o l o g i c a ls y s t e m sw i t hd i f f e r e n tf u n c t i o n a lr e s p o n s e s ，t h ed i f f u s i o no ft h es a j 0 f l t es p e c i e s a l s oh a sv e r yd i f f e r e n te f f e c t so np a t t e r nf o r m a t i o n t h e n ，w ec o n s i d e rap r e y - p r e d a t o rm o d e l w i t hd i r i c h i e tb o u n d a r yc o n d i t i o n ，a n da r em a i n l y c o n c e r n e da b o u tt h ee x i s t e n c e ，m u l t i p l i c i t ya n ds t a b i l i t yo fp s sa sac e r t a i np a r a m e t e ri sl a r g e e n o u g h a si ti sk n o w n ，s u c hp r o b l e m sa r ev e r yi n t e r e s t i n gi nb o t hm a t h e m a t i c sa n da p p l i c a t i o n ， a l t h o u g ht h e ya r eu s u a l l yq u i t ed i f f i c u l ta n d f u uo fc h a l l e n g e s u s i n gt h ei d e aa n dm a t h e m a t i c a l t e c h n i q u e so ft h ew o r kb yd u - l o ua n dm e t i c u l o u s l ya n a l y z i n gt h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r so f s o l u t i o n s ，w ec o m p l e t e l yd e t e r m i n et h ee x a c tm u l t i p l i c i t ya n ds t a b i l i t yo fp s s o ft h i sm o d e lb y t h ec l a s s i c a lr e g u l a ra n ds i n g u l a rp e r t u r b a t i o nt h e o r y f i n a l l y , w ed i s c u s st h es t e a d y - s t a t ep a t t e r no fap r e y - p r e d a t o rm o d e li nt h es p a t i a ld e - g e n e r a t ee n v i r o n m e n t w eo b t a i nan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o no fp s sa n da n a l y z et h e a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs u c hs o l u t i o n sw h e nt h ep a r a m e t e ro ft h ep r e yc a p a c i t yo ft h ep r e d a t o r c o n v e r g e st oz e r o ，a n dc o n s e q u e n t l yav e r yi n t e r e s t i n gs h a r ps p a t i a lp a t t e r ni se x p l o i t e d w e w o u l dl i k et op o i n to u tt h a t ，t h i ss h a r pp a t t e r ni se s s e n t i a l l yd i f f e r e n tf r o mt h o s eo b s e r v e db y d a n c e r - d ua n dd u h s u - w a n gi no t h e rt w op r e y - p r e d a t o rm o d e l s ，r e s p e c t i v e l y 扩 w ”护( n ) i m 一 日“( n ) 叮一( q ) 日孑( q ) g ( n ) c ”( q ) c ”( n ) 记号 维实欧式空间，r = r 1 全体非负实数组成的空间 嵌入 r 中带有光滑边界的有界区域 n 的边界 a q 的单位外法向量 = 磊 q 上可测且使得m i p 可积的函数空间( i p 0i i u ( 删sc 在q 上几乎处处成立， 其中u 工”( n ) ) ：丽，q - - - - ( ，口) ，| a l ：壹啦 2 瓦i 万丽 忸1 丹川i 圳2 备啦 = “ld a u l p ( u ) ，i a i m ) = 眺。p = w ”二( n ) 由在n 内有紧支集且任意光滑的实值函数构成的 空间在范数i 。一下的完备化 = w 严( q ) 在q 上连续的实值函数构成的空间 在q 上具有m 次连续可微的实值函数构成的空间 在q 上具有m 次连续可微的实值函数构成的空间 ， 畔q c：弛。岛郫p 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别如以标注和致谢的地方外。论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 研究生签名；牡 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学，中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究 生院办理 研究生签名t导师签名；丝 第一章前言 现代科技的发展在很大程度上依赖于物理学、化学和生物学等学科的成就和进展， 而这些学科自身的精确化又是它们取得进展的重要保证学科的精确化往往是通过建立 数学模型来实现的，而大量的数学模型可归纳为反应扩散方程( 组) 利用反应扩散方程 ( 组) 来研究生物化学模型，已成为偏微分方程研究领域中的一个重要研究方向然而， 考察反应扩散方程( 组) 的长时间行为是十分具有挑战性的数学问题鉴于反应扩散方程 ( 组) 解的长时间行为与其相应的平衡态问题密切相关，因此，确定反应扩散方程( 组) 平 衡解的定性性质有十分重要的现实意义同时，对平衡态问题的深入探讨也必将有力地 推动椭圆型方程( 组) 的研究进展 本文讨论来自于生态学中的几类反应扩散和交错扩散捕食模型的模式生成问题对 于齐次n e u m a n n 边界条件，研究了一般扩散和交错扩散对模式生成( 即非常数正平衡解) 的影响；对于齐次d i r i c h l e t 边界条件，分析了正平衡解的确切个数和稳定性；同时还考 察了一个捕食模型在空间退化环境下带有尖点的平衡态模式 1 1 研究工作的背景和发展概况 正如前面所言，模式生成( p a t t e r nf o r m a t i o n ) 问题是现代科学技术中的一个具有重 要理论意义和实际应用背景的研究课题它描述了自然界诸如生态学、化学反应、基因 生成等问题中几种物质相互作用时物质的结构变化1 9 5 2 年t u r i n g 发现当两个扩散系 数之比很大时( 或者说一个系数很大，另一个系数很小时) ，常数平衡态的稳定性会发生 改变【1 2 8 ：由稳定( 对常微分方程组而匐变为不稳定( 对相应的反应扩散方程组而言) 人们就把这种现象称为t u r i n g 不稳定性，并把由这种不稳定性得到的非常数正解称为 t u r i n g 模式或者叫做。扩散导致的模式”这一发现引起了人们的极大关注随后，例如 著名的基因生成g i e r e r o m e i n h a r d 模型【5 l ，6 8 ，1 3 4 ，1 3 6 】三分子化学反应g r a y - s c o t t 模型 【5 5 ，5 6 ，9 2 ，9 4 ，1 3 5 】，s e l k o v 模型【2 6 ，1 3 0 】和b r u s s e l a t o r 模型【4 7 ，9 7 ，1 1 9 】，趋化现象扩 散模型【8 1 】，以及众多的生态学模型【1 3 ，2 0 ，7 0 ，7 l ，7 2 8 5 ，8 6 ，1 0 1 ，1 0 3 ，1 0 4 ，1 0 5 ，1 3 0 ，1 3 2 ， 都能够观察到。扩散导致模式”这一现象关于模式生成的相关研究工作进展，也可以 参见【1 4 】 实际问题中有多种模式( 周期解、行波解、平衡态等) ，一类重要的模式是平衡态模式 ， 2 东南大学博士学位论文 ( s t a t i o n a r yp a t t e r n s ) ，即非常数的正平衡解在。扩散导致平衡态模式”问题的研究中， 人们常常用到的重要的反应扩散方程组有两类：竞争结构模型和捕食结构模型捕食结 构模型在化学反应动力学和分子生物学中又称为催化一抑制模型 现在，我们用数学语言来解释扩散导致的平衡态模式以两物质为例，考察下面带 有齐次n e u m a n n 边界条件的反应扩散方程组 f 豢“l 舭= m ，( 州) 锄( 0 ，o o ) ， 1 窑一d 2 a ”咖，毗( 引) 印x ( 0 ，o o ) ， ( 1 工” 【岛t = 岛u = 0 ， ( ，t ) a q ( 0 ，) 所对应的平衡态问题 f d l a u = ，( t ， ) ， z f l ；岛u = 0 ，锄， f 1 1 2 ) l 一如a v = 9 ( u ，口) ，n ；a 町口= 0 ，茹砌 、。 的正解，其中q 是a n 上的单位外法向量，磊= 岛这里的齐次n e u m a n n 边界条件表示 环境是封闭的，物种在边界上的流量为零假定( 1 1 1 ) 有常数正平衡解，且该平衡解对 ( 1 1 1 ) 所对应的常微分系统来讲是稳定的如果在d l ，d 2 的某个范围内，问题( 1 1 2 ) 有 非常数的正解，我们就称扩散能够导致平衡态模式 如果一般扩散不能够导致平衡态模式。那么这种扩散的作用还不够好，模型还不够 精确，需要研究更为精确的模型一带有交错扩散的模型，探讨交错扩散能否导致模式生 成关于交错扩散导致模式生成的含义请见下面的具体例子 平衡态模式已经成为椭圆型方程组( 生态学模型、化学反应动力学模型等) 齐次n e u o n l a n n 边值问题的重要研究内容通常，所研究的椭圆型方程组不具有变分结构，不能利 用经典的变分方法我们主要利用分支理论和拓扑度理论等分析工具关于竞争模型， 已有较多的研究工作，仅列举文献【3 0 ，7 0 ，7 8 ，8 5 ，8 6 ，8 7 ，8 8 ，1 3 3 ，1 4 0 捕食模型的t u r i n g 模式的相关工作可以参见【8 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，4 6 ，7 1 ，7 2 ，7 6 ，8 9 ，9 3 ，9 6 ，1 0 0 ，1 0 3 ，1 0 4 ，1 0 5 ，1 3 0 ，1 3 1 ， 1 3 2 ，1 3 5 ，1 3 6 关于经典的l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型平衡态模式的研究，l o u 和n i 等已 有许多好结果由于经典的l o t k a - v o l t e r r a 模型中的响应函数具有单调性和无界性，在精 确地描述现实生态现象时有其缺陷，在此，我们需要提到p a n g 和w a n g 所考察的两个模 型 在文献【1 0 4 】中，p a n g 和w a n g 研究了带有非单调响应函数的二种群捕食模型的齐 第一章前言 次n e u m a n n 边值问题 f d l u = u1 一；) 一南，。咄即- o z 锄， i 瑚( 品一t ) ，；驴帅哦 1 工3 讨论了常数正解的稳定性非常数正解的存在性和不存在性 3 另外，p a n g 和w a n g 在文献【1 0 5 中建立了如下的比例依赖响应函数的三种群捕食 等一也蛳= u - ( 小羔) ， 等一如地= 也( 一一”卢u 1 u 3 缸，t ) n ( 0 ，o o ) ， ( x , t ) e f lx ( 0 0 。) ， ( 1 1 4 ) 警一南啦= 坳( r 一坳一等等) 冲叫。， 岛t i = 岛u 2 = 岛3 = 0 ，忙，t ) a q ( 0 ) 他们证明；对于任意的扩散系数d l ，如，d 3 ，唯一的正常数解对于反应扩散方程组( 1 1 4 ) 而 言是全局渐近稳定的，从而没有非常数正平衡解这表明，对于该捕食模型，一般扩散 不能导致平衡态模式为了能够观察到交错扩散导致的平衡态模式，他们提出了下述具 有生物学意义的强耦合模型： 一d t u t + 篇) 铷( 小最) ，x e f l , 一如坳= 地( 一叶瓮) ， z 以 一如u s = t 船( r t 船一紫) ， 岛u l = 岛t 2 = 岛坳= 0 ， n z 加 他们证明，在k 和的适当范围内，该问题存在非常数正解，即表明只有交错扩散才能 导致平衡态模式 研究椭圆型方程组的齐次d i r i c h l e t 边值问题正解存在性的主要方法是上下解方法， 锥上的拓扑度理论以及分支理论详细论述上下解方法的文献可以参见【1 0 6 ，1 2 6 ，1 4 1 有 关锥上的拓扑度理论的较早期文献有【4 ，2 3 之后，文献【3 ，7 ，1 2 ，2 4 ，2 8 ，2 9 ，3 5 ，4 1 ，5 2 ，6 4 ， 7 4 ，7 5 ，7 7 ，7 9 ，1 1 8 ，1 2 3 ，1 2 4 ，1 2 6 ，1 2 9 ，1 3 8 ，1 3 9 】等都对该理论作了改进或者给出了一些具体 应用的例子 4东南大学博士学位论文 椭圆型方程组的齐次d i r i c h l e t 边值问题正懈的唯一性和多解性也是一个重要而又困 难的工作对于一维区域上具有某种特殊结构的捕食方程组，i a p e z - g 6 m e z 和p a r d o 【8 3 】 首次给出了一个唯性结果之后，文献【1 2 】又对这种方法作了改进并将其系统化文献 【8 4 】通过研究线性方程组的特征值，给出了唯性的较一般结论( 空间变量仍是一维的) g u i 和l o u 在文献【5 3 】中研究了高维区域上竞争模型的边值问题 f a u = u ( a i t , 一6 t ，) ，z f l ；u = 0 ，z 舶， 【一a v = ( n c u 一可) ， f l ； = 0 ，0 f l 正解的存在性、唯一性和多解性 另外，研究正解的稳定性也是一个有重要意义但相当困难的问题据我们所知，这 方面最完美的工作当属d u 和l o u 3 9 ，4 0 l 对下面具有h o l l i n g - i i 型响应函数捕食模型的研 究： f 一t = t a - i - r 而b u ) ，e f l ；u = o ，z 锄， 【- = ”d 一”+ 志) ，e f l ；。- - - 0 ，善加 特别地，当饱和系数m 很大时，他们在【3 9 】中获得了正解确切的个数和稳定性在文【4 l 】 中，他们也讨论了该问题在齐次n e u m a n n 边界条件下且饱和系数m 很大时非常数正解 的存在性和重数，但结果并不很完美，且对非常数正解的稳定性没有得到任何结果由此 可见，通常情形下，分析齐次n e u m a n n 问题的非常数正解的个数及其稳定性更为困难 在上述谈到的模型中，所有的参数都被假定为正常数从生物学的意义上讲，这意 味着此时的空间环境是均匀的现实中，我们自然应当认为这些参数是依赖于空间变量 的，即物种的生活环境在空间上是非均匀的特别地，当环境退化时，d a n c e r 和d u 等详 细地研究了l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型和捕食模型的平衡态模式，获得了许多有趣的结果。 并且观察到这些模式与均匀环境下的模式有本质的区别( 2 5 ，3 2 ，3 3 ，3 4 ，3 5 】) 另外，d u 和h s uf 3 6 ) 考察了下面的捕食模型 f a u = t 上一口( $ ) u 2 一卢“f ， f t ；岛u = 0 ，z 锄， i 山：p t ；- - v 2 “) ，z 即_ 0 $ 觚 ( l l 5 ) 其中连续函数o ( z ) 在有界区域q 的某个真子集上为零而在n 的其余部分上为正，这意 味着环境退化对于( 1 1 5 ) ，他们也得到了非常有趣的模式文【4 4 】还讨论了文献【3 6 】中 得到的模式关于各种参数的渐近性质，进而发现只有一种情形才能观察到带有尖点的平 衡态模式关于这方面最近的研究工作，有兴趣的读者也可以进一步参见文献【2 ，9 ，1 0 ， 6 5 ，6 6 ，6 7 ，7 8 ，8 2 1 第一章前言 5 1 2 本文的主要工作 在第二和第三章，我们讨论下述具有扩散和交错扩散的h o l l i n g - t a n n e r 捕食模型， f “t = 卅一旦m - b u ，善 舢- o $ 舶， 1 一如【( 1 + d 3 “) 。】：6 l ，一鲁，岳。；岛。：。，a n ， 1 2 1 其中各参数的生物学意义见第二和第三章 第二章只考虑一般扩散的情形，即d 3 = 0 利用最大值原理和积分估计，首先建立了 ( 1 2 1 ) 的正解精确的上下界的先验估计然后，得到了非常数正解的不存在性和存在性 结果非常数正解存在性结论意味着平衡态模式存在 第三章考察交错扩散对于平衡态模式的影响，进而证明在一定参数范围内交错扩散 能导致模式生成此外，还讨论了南= 0 所对应的反应扩散系统 害_ u = 一一铲一旦f f 。- - 1 - u ， 象一如”曲一笔， 岛u = a 町 = 0 ， t ( z ，0 ) = t 0 0 ) 0 ，v ( x ，0 ) = 如( o ) 0 ， ( $ ，t ) n ( 0 ，o o ) ， ( ，t ) nx ( 0 ，o o ) ， 忙，t ) a qx ( o ，o 。) ， $ 0 解的一些性态在一定参数范围内，我们得到的唯一的正常数平衡态解的全局稳定性结 果改进了文【6 l 】中定理3 2 当d 3 = 0 时。我们在获得问题( 1 2 1 ) 非常数正解的不存在性时采用了所谓的。隐函 数定理”方法。隐函数定理。方法研究非常数正解不存在性的思想是- 首先建立精确的 先验估计结果，并利用标准的椭圆型方程的正则性理论和嵌入定理建立正解关于参数的 渐近行为然后，根据所选参数将所讨论的椭圆型方程组进行分解，利用隐函数定理以 及有限覆盖论述，证明非常数正解的不存在结果 据我们所知，这里的“隐函数定理。方法是我们首次提出和使用的同时它也能有 效地应用于诸如著名的b r u s s e l a t o r 模型，b e l o u s o v - z h a b o t i n s k i i 反应的n o y e s - f i e l d 模型 以及一类具有比例依赖响应函数的捕食模型等平衡态问题的研究。从而改进了这些模型 非常数正平衡解不存在性的已有结果( 见第四章) 第四章包括以下内容在第一节，我们讨论p a n g 和w a n g 在文献【1 0 3 1 中所考察的 6 东南大学博士学位论文 比例依赖响应函数的捕食模型 饥- d l “=