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浙江工业大学硕士学位论文 基于小波变换的数字水印和高动态范围图像压缩 摘要 小波分析( w a v e l e t a n a l y s i s ) 是当前应用数学和工程学科中一个迅速发 展的新领域，与傅立叶分析( f o u r i e r a n a l y s i s ) 相比，小波分析是空间( 时 间) 和频率的局部分析，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移 等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了傅立叶分析不 能解决的许多困难问题。小波分析在信号分析、语音合成、图像识别、计 算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得 了有科学意义和应用价值的成果。本文主要研究了小波分析在数字图像处 理中两方面的应用，第一方面是小波变换在数字图像水印中的应用，第二 方面是小波变换在高动态范围图像压缩中的应用。 随着i n t e m e t 用户的急剧增多和多媒体技术的飞速发展，数字化产品越 来越普及。由于数字化产品的传播、复制、篡改和窃取都比较容易，所以 如何有效地保护数字产品的版权和防止数字产品的盗版就变得越来越紧 迫。自从1 9 9 3 年，数字水印技术作为版权保护的技术推出以来，引起了人 们极大的关注。当前的数字水印还很不成熟，主要面临的问题是抵抗各种 攻击的鲁棒性不足，数字水印往往对某几种攻击具有较强的鲁棒性，而对 另外几种攻击束手无策。针对这种情况，结合小波多尺度、多分辨率分析 的特点，本文提出了双水印嵌入算法，将水印嵌入具有不同特征的小波系 数，让嵌入不同小波系数的水印具有互补的特点，从而使得水印能够抵抗 多种攻击。此外本算法是一种盲水印算法，也就意味着本文在提取水印的 浙江工业大学硕士学位论文 时候不需要使用未嵌入水印的原始宿主图像的信息，具有较广泛的应用范 围及更高的安全性。实验结果验证了基于整数小波变换的双水印算法的有 效性。 高动态范围图像( h d r ) 是一组全新的数字图像技术，其最显著的特点 在于高动态范围图像力求获取和存储原始场景的所有色彩和亮度信息。随 着c m o s 和c c d 光学传感器生产技术的提升，显示器性能的提升，存储 设各价格降低，高性能计算的普及，毫无疑问除了传统图像格式，人们需 要高动态范围图像。但是由于高动态范围图像本身的信息量大，其占用的 存储空间非常大，目前还不存在高效的高动态范围图像压缩算法，严重的 阻碍了高动态范围图像的广泛应用。 基于小波分析的j p e g 2 0 0 0 图像压缩标准向人们展示了小波分析在图像 压缩中的优势，本文设计了基于小波分析的高动态范围图像压缩算法，使 得压缩后的图像在视觉差异很小的情况下体积大大减小( 大约为原始图像 十分之一) 。 关键词：小波变换，数字水印，高动态范围图像压缩 浙江工业大学硕士学位论文 w a v e l e tb a s e dd i g i t a lw a t e r m a r k i n g a n dh i g hd y n 删cr a n g ei m a g ec o m p r e s s i o n a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si so n eo ft h eh o ts p o t si na p p l i e dm a t h e m a t i c s ，c o m p a r e d w i t hf o u r i e ra n a l y s i s ，w a v e l e ta n a l y s i si sal o c a la n a l y s i st e c h n i q u eo nb o t h s p a t i a la n df r e q u e n c yd o m a i n ，a n d t h u si tc a nb eu s e df o ri n f o r m a t i o ne x t r a c t i o n t h r o u g hs c a l i n ga n ds h i f t i n g ，w a v e l e ta n a l y s i sc a n b e u s e dt oa n a l y z es i g n a lo n m u l t i s c a l e ，w h i c hc a nn o t b ea c h i e v e dw i t hf o u r i e ra n y a l y s i s w a v e l e ta n a l y s i s h a sb e e na p p l i e dt os i g n a lp r o c e s s i n g ，s p e e c hs y n t h e s i s ，p a t t e r nr e c o g n i t i o n ， c o m p u t e rv i s i o n ，d a t ac o m p r e s s i o n ，e a r t h q u a k ee x p l o r a t i o ne t c i nt h i sp a p e r ， t o wt o p i c sa r es t u d i e d t h ef i r s to n ei sw a v e l e tb a s e di m a g ew a t e r m a r k i n g ；t h e s e c o n do n ei sw a v e l e tb a s e dh i g hd y n a m i cr a n g ei m a g ec o m p r e s s i o n w i t ht h er a p i di n c r e a s eo fi n t e r n e tu s e r sa n dt h ef a s td e v e l o p m e n to f t h e m u l t i m e d i at e c h n o l o g y , d i g i t a lm u l t i m e d i ah a sb e e nm o r ea n dm o r ep o p u l a r i t b e c o m e su r g e n tt of i n daw a yt op r o t e c tt h ec o p y r i g h t so fd i g i t a lp r o d u c to w n e r s a n dp r e v e n tt h ep i r a c yo fd i g i t a lp r o d u c t sb e c a u s ei ti sm u c he a s i e rt ot r a n s m i t ， c o p y , t a m p e ra n dp i r a t ed i g i t a lp r o d u c t s a sd i g i t a lw a t e r m a r k i n g t e c h n o l o g yi s a l le f f e c t i v et o o lo fc o p y r i g h tp r o t e c t i o n ，i th a sg a i n e dm o r ea n dm o r ec o n c e r n s s i n c ei ta p p e a r e di n19 9 3 s of a r , w a t e r m a r k i n gt e c h n i q u ei sn o tm a t u r e ，s i n c e g e n e r nw a t e r m a r k i n gt e c h n i q u ei so n l y r o b u s tt os o m ek i n d so fa t t a c k s ，b u tn o t 浙江工业大学硕士学位论文 r o b u s to t h e rk i n d so fa t t a c k s t a k i n gt h ea d v a n t a g eo ft h em u l t i s c a l ea n a l y s i s p r o p e r t yo fw a v e l e ta n a l y s i s ，w ep u tf o r w a r dam u l t i p l ew a t e r m a r k i n gt e c h n i q u e ， i nw h i c h ，w a t e r m a r k sa r ee m b e d d i n gi n t od e f f e r e n tw a v e l e tc o e f f i c i e n t st om a k e t h e ma r ec o m p l e m e n t a r yt oe a c ho t h e rt ob o o s tt h er o b u s t n e s s b e s i d e s ，t h e w a t e r m a r k i n gt e c h n i q u ei sab l i n dw a t e r m a r k i n gt e c h n i q u e ，w h i c hm e a n st h e e x t r a c t i o no fw a t e r m a r k i n gc a nb ed o n ew i t h o u te x p o s i n gt h eo r i g i n a lh o s t i m a g e ，a n dt h u sp r o v i d e sh i g h e rs e c u r i t y f r o mt h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t si tc a n b eo b s e r v e dt h a tp r o p o s e dm e t h o di sr o b u s tt oaw i d ev a r i e t yo fa t t a c k s c o m p a r i s o nw i t ht h ee x i s t i n gm e t h o d ss h o w st h es u p e r i o r i t yo ft h ep r o p o s e d m e t h o d h i g hd y n a m i cr a n g ei m a g i n g ( h d 酣) i sas e to fb r a n dn e wd i g i t a li m a g i n g t e c h n i q u e s ，w h i c ha i m s t oa c c u r a t e l yr e p r e s e n tt h ec o l o ra n di l l u m i n a t i o n i n f o r m a t i o no ft h eo r i g i n a ls c e n a r y b e c a u s eo ft h eh u g ei n f o r m a t i o ns t o r a g e r e q u i r e m e n t ，p e o p l ed e f i n i t e l yn e e da ne f f i c i e n th i 幽d y n a m i cr a n g ei m a g e c o m p r e s s i o na l g o r i t h m t h es t a n d a r d i z a t i o no fj p e g 2 0 0 0s h o wu st h ep o w e ro fw a v e l e tb a s e d 。 c o m r , w h i c h s t i l c o l o r b e ! - e s s e dt o11lmagec o m p r e s s i o nm w h m has t i l lc o l o rt m a g ec a nd ec o m p r e s s e a 10 0o i 。 u u i t so r i g i n a ls i z ew i t ha c c e p t a b l ev i s u a lq u a l i t y i nt h i sp a p e r , w ep u tf o r w a r da w a v e l e tb a s e dh i i 曲d y n a m i cr a n g ei m a g ec o m p r e s s i o na l g o r i t h mw h i c hi s c a p a b l eo fc o m p r e s s i n gah i g hd y n a m i cr a n g ei m a g e t o1 10o fi t so r i g i n a ls i z e w i t ha c c e p t a b l ev i s u a lq u a l i t y k e yw o r d s ：d i g i t a lw a t e r m a r k i n g ，w a v e l e tt r a n s f o r m ，h i g hd y n a m i cr a n g e i m a g ec o m p r e s s i o n v 浙江工业大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导卞，独立进行研究工 作所取得的研究成果。除文中已经加以标注引用的内容外，本论文不包含其他个 人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不舍为获得浙江工业大学或其它教育 机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均 已在文幸以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 名：棠踞、日期姗年5 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权浙江工业大学可以将本学位论文的全部或部分内容编人有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 保密口，在年解密后适用本授权书。 2 ，不保密 ( 请在以上相应方框内打“舻) 作者签名：害 导师签名 刁鼋、 斗 八 日期：厶簖 日期： 年 6 月2 乏日 月露 浙江工业大学硕士学位论文 第一章绪论 小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近1 0 年的探 索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与f o u r i e r 分析相比， 小波分析是空f b q ( 时间) 和频率的局部分析，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩 和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了f o u r i e r 分析不能解 决的许多困难问题。小波分析联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、 图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析是一个新的数学分支，它是泛 函分析、f o u r i e r 分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为， 小波分析是时间一尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图 像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了 有科学意义和应用价值的成果。 小波分析用于信号与图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是压缩比 高，压缩速度快，压缩后能保持信号与图像的特征不变，且在传递中可以抗干扰。基于 小波分析的压缩方法很多，比较成功的有小波包最好基方法，小波域纹理模型方法，小 波变换零树压缩，小波变换向量压缩等。 小波分析在信号分析中的应用也十分广泛。它可以用于边界的处理与滤波、时频分 析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。 小波分析在工程技术等方面的应用。包括计算机视觉、计算机图形学、曲线设计、 湍流、远程宇宙的研究与生物医学方面。 事实上小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析、 图像处理；量子力学、理论物理；军事电子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别； 音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断：地震勘探数据处理：大型机械的故障诊断等 方面：例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微 分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在图像处理 方面的图像压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的b 超、c t 、核磁共 振成像的时间，提高分辨率等。 本文主要研究了小波分析在数字图像处理中两方面的应用，第一方面是小波变换在 浙江工业大学硕士学位论文 数字图像水印中的应用，第二方面是小波变换在高动态范围图像压缩中的应用。 随着i n t e r n e t 用户的急剧增多和多媒体技术的飞速发展，数字化产品越来越普及。 由于数字化产品的传播、复制、篡改和窃取都比较容易，所以如何有效地保护数字产品 的版权和防止数字产品的盗版就变得越来越紧迫。自从1 9 9 3 年，数字水印技术作为版 权保护的技术推出以来，引起了人们极大的关注。当前的数字水印还很不成熟，主要面 临的问题是抵抗各种攻击的鲁棒性不足，数字水印往往对某几种攻击具有较强的鲁棒 性，而对另外几种攻击束手无策。针对这种情况，结合小波多尺度、多分辨率分析的特 点，本文提出了双水印嵌入算法，将水印嵌入具有不同特征的小波系数，让嵌入不同小 波系数的水印具有互补的特点，从而使得水印能够抵抗多种攻击。此外本算法是一种盲 水印算法，也就意味着本文在提取水印的时候不需要使用未嵌入水印的原始宿主图像的 信息，具有较广泛的应用范围及更高的安全性。实验结果验证了基于整数小波变换的双 水印算法的有效性。 高动态范围图像( h d r ) 是一组全新的数字图像技术，其最显著的特点在于高动态 范围图像力求获取和存储原始场景的所有色彩和亮度信息。随着c m o s 和c c d 光学传感 器生产技术的提升，显示器性能的提升，存储设备价格降低，高性能计算的普及，毫无 疑问除了传统图像格式，人们需要高动态范围图像。但是由于高动态范围图像本身的信 息量大，其占用的存储空间非常大，目前还不存在高效的高动态范围图像压缩算法，严 重的阻碍了高动态范围图像的广泛应用。 基于小波分析的j p e g 2 0 0 0 图像压缩标准向人们展示了小波分析在图像压缩中的优 势，本文设计了基于小波分析的高动态范围图像压缩算法，使得压缩后的图像在视觉差 异很小的情况下体积大大减小( 大约为原始图像十分之一) 。 8 浙江工业大学硕士学位论文 第二章小波分析理论 2 1 小波分析的发展历史 把函数分解成一系列简单基函数的表示，无论是在理论上，还是实际应用中都有重 要意义。 1 8 2 2 年法国数学家傅里叶( j f o u r i e r1 7 6 8 1 8 3 0 ) 发表的研究热传导理论的“热的力学 分析”，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数理论的基 础。傅里叶级数理论研究的是把函数在三角函数系下的展开，使得对信号和系统的研究 归结为对简单的三角函数的研究。傅里叶级数与傅里叶变换共同组成了平常所说的傅里 叶分析。傅里叶级数用于分析周期性的函数或分布，理论分析时经常假定周期是2 s t ， 定义如式( 2 1 ) f ( 工) = q p 妇 可( x ) - ( o ，2 玎) 卜去m 垆 ( 2 - 1 ) 然而，被分析函数的性质并不能完整地由傅里叶系数来刻划，这里有一个例子来说 明：从任一个平方可和的函数厂( x ) 出发，为了得到一个连续函数g ( x ) ，只需或者增大 s ( x ) 的傅里叶系数的模，或者保持它不变并适当地改变系数的位相。因此，不可能仅 根据傅里叶系数大小的阶就预知函数的性质( 如大小、正则性) 。 傅里叶变换的定义如式( 2 2 ) ，l f ( 彩) = ( 工户皿d x 一 = 去即垆如 ( 2 - 2 ) 通过引入广义函数或分布的概念，可获得奇异函数( 如冲击函数) 的傅里叶变换 的存在。对于时域的常量函数，在频域将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局部化 性质。由式( 2 2 ) 可知，为了得到f ( 彩) ，必须有关于厂( x ) 的过去和未来的所有知识，而 且厂( x ) 在时域局部值的变化会扩散到整个频域，也就是f ( 缈) 的任意有限区域的信息都 不足以确定任意小区域的s ( x ) 。在时域，哈尔( h a 神基是一组具有最好的时域分辨能力 9 浙江工业大学硕士学位论文 的正交基，它在时域上是完全局部化的，但在频域的局部化却很不好，这是由于哈尔系 的两个缺点：缺乏正则性与缺乏振动性。研究者们希望寻找关于空间变量( 或时间变量) 与频域变量都同时好的希尔伯特( h i l b e r t ) 基，r ，b a l i a n 认为：“在通讯理论中，人们对于 在完全给定的时间内，把一个振动信号表示成由其中每一个都拥有足够确定的位置与有 一个频率的小波的叠加这件事感兴趣。事实上，有用的信息常常同时被发射信号的频率 与信号的时间结构( 如音乐) 所传递。当把一个信号表达成时间的函数时，其中的频谱 表现并不好；相反地，信号的傅里分析却显示不了信号每一分量发射信号的瞬时与持续 时间。一个适当的表示应结合这两者互补描述的优点，并用一个离散的刻划来表示，以 适应通讯理论。” 为此，人们提出了短时傅里叶变换的概念，若w r ( r ) 选择得使w 与它的傅里叶 变换矽满足： f 形o ) r 他) 矿白) r 忙) ( 2 3 ) 那么使用w 作为窗函数，在式( 2 4 ) 中引入的窗口傅里叶变换称为“短时傅里叶变 换”( s t f t ) ： 慨厂) = 厂o ) 脚 ) 当窗函数选择为高斯( g a u s s i a n ) i 函数时，则为g a b o r 变换。 s t f t 的缺点是分析窗的大小和形状是恒定的。因为频率与周期成反比，所以反映 信号的高频成份需要窄的时间窗，而反映信号的低频成份需要宽的时间窗，s t f t 无法 满足要求，此外，s t f t 的冗余很大，增加了不必要的计算量。 小波变换作为能随频率的变化自动调整分析窗大小的分析工具，自八十处代中期以 来得到了迅猛的发展，并在信号处理、计算机视觉、图像处理、语音分析与合成等众多 的领域得到应用。 小波分析方法的出现可以追溯到1 9 1 0 年h a a r 提出h a a r 规范正交基，以及1 9 3 8 年 l i t t l e w o o d p a l e y 对傅里叶级数建立的l p 理论。为克服传统傅里叶分析的不足，在八 十年代初，便有科学家使用“小波”的概念来进行数据处理，比较著名的是1 9 8 4 年法国 地球物理学家m o r l e t 引入小波的概念对石油勘探中的地震信号进行存贮和表示。在数 学方面所做的探索主要是r c o i f m a n 和gw e i s s 创立的“原子”和“分子”学说，这些“原 子”和“分子”构成了不同函数空间的基的组成部分。l c a r l e r o n 使用了非常象“小波”的函 数构造了s t e i n 和w e i s s 的空间日1 的无条件基。直到1 9 8 6 年，法国数学家m e y e r 成功 浙江工业大学硕士学位论文 地构造出了具有一定衰减性的光滑函数沙，它的二进伸缩与平移构成规范正交基。 l e m a r i e 和b a t t l e 继m e y e r 之后也分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1 9 8 7 年，m a l l a t t l l 利用多分辨分析的概念，统一了这之前的各种具体小波的构造，并提出了 现今广泛应用的m a l l a t 快速小波分解和重构算法。1 9 8 8 年d a u b e c h i e s 2 1 构造了具有紧支 集的正交小波基。c o i f m a n , m e y e r 等人在1 9 8 9 年引入了小波包的概念。基于样条函数 的单正交小波基由崔锦泰和王建忠在1 9 9 0 年构造出来。1 9 9 2 年a c o h e n ，i d a u b e c h h i e s 等人【3 ，4 】构造出了紧支撑双正交小波基。同一时期，有关小波变换与滤波器组之间的关 系也得到了深入研究。小波分析的理论基础基本建立起来。 近年来，一种简明有效的构造小波基的方法一提升方案( l i r i n gs c h e m e ) t 5 ，6 1 得到很大 的发展和重视。利用提升方案可把现存的所有紧支撑小波分解成更为基本的步骤，另外， 它还为构造非线性小波提供了一种有力的手段，所以，利用提升方案构造的小波被认为 是第二代小波。小波理论及其应用仍然处在发展中，其未来将在非线性多尺度方法、非 规则集上的小波构造以及非平稳、非均匀、时变信号处理等方面等到更深入的研究。 2 2 小波变换及其性质 2 2 1 连续小波变换 f ( t ) 的连续小波变换p 嘲( 有时也称为积分小波变换) 定义为： 眄) 书触( 等户，口列 ( 2 - 5 ) 或用内积形式： 啊0 ，6 ) = ( 厂，虬，a ) ( 2 - 6 ) 式中础) _ l 矿1 坨攻等) 要使逆变换存在，y ( f ) 要满足允许性条件： 铲肾知 p 7 ， 式中汐( 国) 是y ( f ) 的傅里叶变换。 这时，逆变换为 聊冱工业大字坝士字位论文 朋叫脲儿蚂婿 ( 2 - 8 ) c 0 这个常数限制了能作为“基小波( 或母小波) ”的属于r ( r ) 的函数矿的类，尤其是若 还要求y 是一个窗函数，那么y 还必须属于( r ) ，故痧( ) 是r 中的一个连续函数。 由式( 2 2 3 ) 可得汐在原点必定为零，即 痧( 0 ) = 缈咖 ( 2 9 ) 连续小波变换具有如下性质： 性质1 ( 线性) ：i 发f ( t ) = ( z g ( t ) + f l h ( t ) ，则 0 - ，6 ) = 口暇0 ，6 ) + 矾0 ，6 ) ( 2 1 0 ) 性质2 ( 平移不变性) ：若( f ) h 啊( 口，b ) ，则f ( t - r ) 付啊a ，b - r ) 。平移不 变性是一个很能好的性质，在实际应用中，尽管离散小波变换要用得广泛一些，但在需 要有平移不变性的情况下，离散小波变换是不能直接使用的。 性质3 伸缩共变性：若厂( f ) h 啊( 吼6 ) ，则厂( c f ) h 去吗( c 口，c 6 ) ，其中c o 。 性质4 ( 冗余性) ：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。其表现是由连续小波变 换恢复原信号的重构公式不是唯一的，小波变换的核函数虬。( ，) 存在许多可能的选择。 尽管冗余的存在可以提高信号重建时计算的稳定性，但增加了分析和解释小波变换的结 果的困难。 2 2 2 离散小波变换 一 由于连续小波变换存在冗余，因而有必要搞清楚，为了重构信号，需针对变换域的 变量钆b 进行何种离散化，以消除变换中的冗余，在实际中，常取 2 广2b 广一k = 二，口= ：，z 儿o ) = 5 f ，。o ) = 2 ，门沙( 2 f 一后) 2 j 2 j ( 2 1 1 ) 为了能重构信号厂( f ) ，要求 乒 珏。：是r ( r ) 的r i e s z 基。 一个函数沙p ( r ) 称为一个r 函数，如果 吩 似。z 在下述意义上是一个r i s e z 基： 乒，k z 的线性张成在r ( r ) 中是稠密的，并且存在正常数a 与b ，0 a b c o ， 新江1 业大字坝士字位论又 使 她船嚏奎砒。h l ： 对所有二重双无限平方可和序列 勺。 成立。 假定y 是一个r 函数，那么存在r ( 只) 的一个唯一的r i e s z 基 蚧t ) 肚。z ，它在意义 上与 吩，。) 对偶。这时，每个厂( f ) 三2 ( 灭) 有如式( 2 2 6 ) 的唯一级数表示： 砸) = 2 ( z ，妙站) y o ) 特别地，若 ，t ) 站。z 构成上2 ( 只) 的规范正交基时，有 = 妙肚 重构公式为： 厂g ) = 1 2 ( ，渺， o ) 2 3 多分辨分析与m al la t 算法 2 3 1 多分辨分析 m a l l a t 使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现 今广泛使用的m a l l a t 快速小波分解和重构算法，它在小波分析中的地位与快速傅罩叶变 换在傅里叶分析中的地位相当。 空间r ( r ) 的多分辨分析是指构造该空间内一个子空间列 巧) 愆，使其具有以下性 质： 单调性( 包容性) ac 砭c k c c 圪lc1 _ 2c 人 ii c l o s p y 巧 = r ) ，i 巧= o 逼近性： l ，。1jj 一 伸缩性：矽) 巧矽伍) 巧。 平移不变性：痧o ) 巧矽g 一2 川露) 巧，v 七z r i e s z 基存在性：存在痧( f ) ，使得 痧( 2 7 一克) ) 眦构成巧的r i e s z 基。 令 巧 越是r ( r ) 空间的一个多分辨分析，则存在一个唯一的函数( f ) r ( 尺) 使得 浙江工业大学硕士学位论文 “= 2 l j ，2 矽( 2 一j 卜七l 七z 必定是巧内的一个标准正交基，其中( f ) 称为尺度函数。 ( 2 1 4 ) 若矽( f ) 生成一个多分辨分析，那么也属于矿。，并且因为 以耻：七z 是丝，的 一个r i e s z 基，所以存在唯一的，2 序列 乃( 尼) ) ，它描述尺度函数矽的两尺度关系： 胁应一z h ( k i ( 2 f 一引 ( 2 1 5 ) 由性质( 1 ) 可知巧+ ，巧，杉z ，所以 巧= 巧+ - o 反复应用式( 2 一1 6 ) ，得 r 亿) = o z ( 2 - 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) 同样，象( f ) 生成一样，存在一个函数y ( f ) 生成闭子空间，且有与式( 2 - 1 7 ) 类似的双尺度方程 g ) = 压g 弦协一危) k = - - ( 2 1 8 ) 式( 2 1 8 ) 称为小波函数x 2 ) 2 度方程。由式( 2 1 5 ) 、( 2 - 1 8 ) 司知，尺度函数与小波函数 的 构 造归结为系数 办( 七) ) ， g ( 足) ) 的设计，若令 荆2 k 艺= - - - 。警p 一廊) 2 耋警。破例把尺度函数褂波函数的设嗣v 烟d , 结为 二 = - 田v 二 删秽尺借闲毅刺小渭的毅匝l 饭计口l归兰占刀 滤波器日( 国) g ( 国) 的设计。构造正交小波时滤波器片( 缈) 与g ( ) 必须满足以下三个条 件： 1 日如) 1 2 + 1 日如+ 万) 1 2 = l ( 2 - 1 9 ) l g 如) | 2 + l g 0 + 万) 1 2 = 1 ( 2 - 2 0 ) 日0 ) g ) + 日0 ) g 白+ 万) = 0 f 2 2 1 ) 联合求解式( 2 2 0 ) 和( 2 12 ) 可得 g ( c o ) = e 巾h + 白+ 万) r 2 2 2 ) 1 4 浙江工业大学硕士学位论文 由式( 2 - 2 2 ) 立刻可得 g ( k ) = ( - l y 。h ( 1 一j ) ，七z ( 2 2 3 ) 所以，要设计正交小波，只需要设计滤波器h ( c 0 1 。 2 3 2 正交小波变换 上文说明由一个函数的平移和伸缩所构成的正交基在对信号进行分解和重构方面 是十分有用的。问题是这样的单个小波母函数是否存在呢? 若存在是什么样的呢? 这样的小波母函数是存在的，节3 3 1 的多分辨分析给出了具体的构造方法，下面 先给出几个具有解析表达式的例子。 h a a r 小波母函数： s h a n n o n 小波母函数： h ( t ) - - 1 o r 1 2 1 1 f 1 2 0 ，o t h e r ( 2 - 2 4 ) 删= 掣笋 ( 2 2 5 ) s h a n n o n 小波母函数是无限次可导的，这比存在不连续点的h a a r 小波母函数要优越， 可是h a a r 系函数的支集是紧的。故当用s h a n n o n 系对函数进行分解时，分解系数不能 很好地反映信号的局部特征。 h a a r 小波的缺点是不连续，利用卷积的方法可以将它变得光滑起来，通过正交化方 法，这就构成了由b 样条函数所生成的正交小波函数。崔锦泰详细研究了用基数一b 样 条函数构造小波的方法。下面式( 2 2 6 ) 给出一个用b 样条构造的正交小波母函数的例子， 是用频域表示的，理论上其时域表示可通过傅里叶反变换获得，不过实际中只能通过数 值运算获得其时域的函数图形。 一i m _ 洳) = 等& n 4 詈彩。斗 d a u b e c h i e s 构造了目前实际应用中大量使用的具有有限支集的正交小波基， ( 2 2 6 ) 其对应 i 5 浙江工业大学硕士学位论文 的滤波器是有限长的。不过无论是频域还是时域，它们都没有显式的表达式，而且，除 h a a r 基外所有其他正交紧支的小波函数、尺度函数关于实轴上的任何点都不具有对称 或反对称性，因而所对应的滤波器都不具有线性相位。 2 3 3 双正交小波变换 在图像处理中经常希望所用滤波器具有线性相位，c o h e n 、d a u b e c h i e s 等人放弃了 小波、尺度函数的正交性，给出了构造具有对称性的双正交基的方法，这时对应的滤波 器具有线性相位。 取代小波函数、尺度函数的正交性的是所谓的双正交条件： ( 矽， ，无，) 2 万( 七一丹) ( 2 2 7 ) ( 吩妒衙一) = 万o 一朋声 一捍) f 2 2 8 ) 此时相应的多分辨分析子空间的嵌套序列分为两种： akckc c e 眨lc 矿2a 人ckcz oc s 矿lce 2 人 ( 2 2 9 ) 在双正交的条件下，子空间k 与形不是正交补空间，但是若令 彰= c l o s e 痧 ：_ ，k z 则有以下正交补的关系： 巧上，上 ( 2 3 0 ) 相应的双尺度方程为： g ) ：压2 n - i 五 弘( 2 f 一尼) ，歹o ) ：压2 n - i i 劳( 2 r 一七) t ；0 女= 0 ( 2 - 3 1 ) y o ) ：芝艺g q ( 2 f 一尼) ，痧) ：芝2 n - i 季坼弦( 2 f 一七) k = 0 脚 ( 2 3 2 ) 依据上式得 g誊,(k)：=(_(-11y)kih(22n-一k+l；k=0,1,a,2n-1k+l ( 2 3 3 ) l g ) = ( _ l y i ( 2 一 ) r ，3 1 、 所以，在设计双正交小波滤波器时，实际上只要设计两个尺度滤波器。有关双正交 小波滤波器的例子请参见附录。 2 3 4 小波包变换 短时傅里叶变换是一种等分析窗的分析方法，小波变换相当于等q 滤波器组，语音、 1 6 浙江工业大学硕士掌位论文 图像比较适合用小波变换进行分析，但并非所有信号的特性都与小波变换相适应。以雷 达为例，复杂目标的回波，其包络的起伏决定于目标的姿态变化，而多谱勒频率则取决 于目标的径向速度，二者并无必然的联系，所以在雷达里也经常使用短时傅里叶变换。 当对某类信号，等宽和等q 滤波器都不一定适用时，有必要按信号特性选用相应组合 的滤波器，这就引出了小波包的概念。c o i f m a n 及w i c k e r h a u s e r 在多分辨分析的基础上 提出了小波包的概念，可以实现对信号任意频段的聚焦。 小波包的基本思想是对多分辨分析中的小波子空间也进行分解，具体做法是： 令 筒崭膨 p 3 4 ， 定义子空间叼是函数( f ) 的闭包空间，而叼“是函数。( r ) 的闭包空间，并令 满足如下双尺度方程： w 2 n o ) = 压办 n ( 2 t - k ) w 2 川o ) = 压g 伍以( 2 t k ) 式中g ( 七) = ( 一1 ) 2 矗( 1 一忌) 即两系数也具有正交关系。其等价表示是： u a 。q 2 4 。叼舯1 ，z , n e z+(2-37) 定义( 小波包) ：由式( 2 - 3 6 ) 、( 2 - 3 7 ) 构造的序列 ) 腕称为由基函数( f ) = ( r ) 确 定的小波包。 形空间分解的子空间列可以写成、，u j ，- l t + 胂，历= 0 , 1 ，人，2 2 1 ；，= 1 ，2 ，人，j ；j = 1 ，2 一。若 n 是一个倍频程细划分的参数，即令n = 2 1 + 聊，则有小波包的简略记号 一( f ) ：2 - j 1 2 i ，l l 。2 - i t _ 七) ，其中o ) = 2 1 1 2 ，+ 埘( 27 f ) 。与小波，。( f ) 相比较可知，小 波包除了离散尺度和离散平移之外，还增加了一个频率参数n ，正是由于这个频率参数 的作用，使得小波包克服了小波时间分辨率高时频率分辨率差的缺点。1 1 表示虬( ) 的 零交叉个数，也就是其波形的振荡次数。 2 4 利用提升方案( l jf tin gs c h e m e ) 构造小波 2 4 1 提升方案的基本原理 1 7 浙江工业大学硕士学位论文 小波函数，。( f ) 通常定义为一个属于r ( r ) 空间的母小波的二进伸缩( d i l a t e s ) 和平 移( t r a n s l a t e ) ： n j , k ( t ) = 2 m y ( 2 f 七) ( 2 - 3 8 ) 这样的小波称为第一代小波。然而，在更一般的情况下，小波并不必须是彼此的伸 缩与平移，但仍然具有第一代小波的特点，这样的小波称为第二代小波，利用提升方案 可以构造它们。 考虑信号x = 黾故r ) 埘，把x 分成二个不相交的集合：偶下标采样t = 而。 。z 和奇下标采样k = + ，) 。z ，通常情况下这两个集合是紧密相关的，因而从一个集合 能很好地建立另一个集合的预测p d - - x 。- p g 。) ( 2 - 3 9 ) 知道了d 和奇采样值，可立即恢复信号 t 2 d + 尸g 。) ( 2 - 4 0 ) 若p 性能好，则矗将是一个稀疏集，换言之，期望dn - - n n d 、手的。 企厶，=x2k厶，2膏+l=x2+，k2k x 2 k1 z 今， 2 ，2 膏+ l 2 x 2 + ，么 取 丸l 乒2 九2 i ，七z ( 2 4 1 ) 利用相邻两偶采样对奇采样进行预测，记下差值 厂一乒2 厶，z t + t 。互1 、2 一t ，t 1 p2 - 1 , t + t ) ( 2 ，4 2 ) 若信号是相关的，则大多数小波系数丘，j 将很小。在理论上，可以继续通过对 允耻) 七。z 施加以上操作，然而，上述简单的操作性能并不好，为此引入另一个条件，即 希望乃。系数的平均值在每一次分解时保持一致，或者说使。友。乒：丢。矗，。此前所进 行的下采样很显然不具有这种特点，可通过借助于凡，j 对丸。j 进行提升来实现这点： t t 2 ：r 一。t - 去p 一，t t - 7 一，t ) ( 2 4 3 ) 现在，每一级小波变换由两步构成：首先计n , j , n 系数，其次提升下采样系数。逆 新江工业大学硕士学位论文 变换可立即得到：只需把式( 2 - 4 3 ) 中的加号换成减号，再把式( 2 4 2 ) 1 均等式中的项作一下 移动即可。 给定双正交滤波器算子的初始集合 矽，彤埘，掣，掣) ，那么可通过如下方法获得 一个新的双正交滤波器算子集 矽，矽，鲈，掣 h j = h 蠢j = 嚣字七sj 己岁 g j = g 字一s ：h 包= 掣 ( 2 4 4 ) 式中量是一个从z 2 ( m ( ) ) 到z 2 ( k ( ) ) 的算子。 2 4 2 把小波变换分解成基本的提升步骤 已经证明所有f i r 小波滤波器都有能分解成基本的提升步骤。用矩阵表示时，一个 提升步骤对应一个单元( e l e m e n t a r y ) 矩阵。分解的基本理论依据是矩阵代数，根据矩阵代 数，任何具有多项式元素项且行列式为1 的矩阵都可以分解成一系列的单元矩阵。 首先把求自然数的最大公约数的e u c l i d e a n 算法推广到求两个多项式的最大公因子。 两个多项式的公因子取决子因子z p 而且与自然数不同的是，在多项式的情形下，解并 不是唯一的。 多项式的e u c l i d e a n 算法如下：设有两个多项式口( z ) 和6 ( z ) o ，而且l 口( z ) l p ( z ) | 。 令( z ) = 口( z ) ，b o ( z ) = 口( z ) ，从i = o 开始循环执行以下步骤 a i + l ( z ) = b t ( z ) 6 ( z ) = a i ( z ) 6 ，( z ) ( 2 - 4 5 ) 那么( z ) = g c d ( n ( z ) ，6 ( z ) ) ，如果n 是使得( z ) = o 的最小数。 幻 定理中l 口( z ) l 定义为：若口(