（应用数学专业论文）退化半导体漂移扩散模型解的存在性和唯一性.pdf

本文研究一类退化半导体方程 摘要 - v ( v 妒) = p 一竹+ a m v 厶= r ( n ，p ) ( 1 一+ g ，厶= v 妒( n ) 一# 1 r i v e a + v 易= r 唧，p ) ( 1 一嘲+ g ，一而= v v ( p ) + m p v 妒 带有如下初边值条件： ( 妒，n ，p ) = ( 幻，n d ，p d ) ，( z ，t ) e o 三f d ( 0 ，t ) ( 筹，鬻，嵩) _ ( 0 ，o o ) ，) e e n = f n x ( 0 刃 ( n ，p ) = ( n o ，p o ) ，霉n ，t = 0 的弱解存在性和唯一性 这里竹，p 分别表示电子和空穴的浓度，妒表示静电场的位势， 子和空穴所引起的电流密度并且本文也研究了带有热效应的模型 - v ( 矿( 让) v 妒) = p n + c ( z ) 竹t v 厶= r ( n ，p ) ( 1 一h 力+ g ，厶= ( v 妒( n ) 一m n a ( u ) v 妒) a + v 易= r ( n ，p ) ( 1 一n p ) + g ，一易= ( v 妒( p ) + 舰p 矿( 让) v 妒) t “一v ( k ( u ) v u ) = d ( 口( 妒) 厶+ 6 ( 妒) j ；) ( 0 1 ) ( 0 2 ) ( 0 3 ) ( 0 4 ) ( 0 5 ) ( 0 6 ) 厶，易分别为电 ( o ” ( 0 8 ) ( 0 9 ) ( o 1 0 ) 本文证明了稳态解和瞬时解的存在性，并给出瞬时解的唯一性文章主要分 为两个部分z 在第一部分中讨论稳态的情形，首先利用截断的方法将原问题正则 化，得到一个关于正则化问题的解映射，证明了解映射是紧连续映射，然后通过 s c h a u d e r 不动点定理得到正则化问题的解，最后对正则化问题的解作估计( 这里的 估计过程与具体的截断无关) ，从而证明了正则化问题的解就是原问题的解在第 二部分中讨论瞬时的情形，仍然用截断的方法将问题正则化，然后用m o s e r 迭代的 方法得到了正则化问题的解的俨估计，接着通过取极限的方法证明了解的存在 性最后，给出了解的唯一性第三部分中，用类似的方法我们得到了带有热效应 模型的瞬时解存在性 关键词：稳态；退化；s c h a u d e r 不动点定理；l 。估计；s o b o l e v 嵌入定理； m o s e r 迭代 中圉分类号：0 1 7 5 2 6 a b s t r a c t a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e rw es t u d yt h ef o l l o w i n gp r o b l e m v ( v 妒) = p n + g m v 厶= r ( n ，p ) ( 1 一n p ) + g ，五= v i p ( 竹) 一m n v 妒 p t + v 而= r ( n ，p ) ( 1 一n p ) + g j ；= v 妒+ z 2 p v 妒 w i t ht h ei n i t i a la n db o u n d a r yc o n d i t o n s ( 妒，n ，p ) = ( 幻，n d ，p d ) ，( z ，t ) e d 兰r dx ( o ，t ) ( 筹，筹，鬻) = ( 0 1 0 0 ) ，( 引) e e n - - - - r ( 。 ( n ，p ) = ( 伽，舶) ，霉n ，t = 0 ( 0 1 1 ) ( o 1 2 ) ( o 1 3 ) ( o 1 4 ) ( o 1 5 ) ( o 1 6 ) w h e r et h eu n k n o w n s 妒，na n dpd e n o t et h ee l e c t r o s t a t i cp o t e n t i a l ，t h ee l e c t r o nd e n s i t ya n dt h e h o l ed e n s i t yr e s p e c t i v e l y , 厶缸d 占r e p r e s e n tt h ec u r r e n td e n s i t yo ft h ec o n c e n t r a t i o n s a n dt h e f o u o w i n gm o d e lw i t ht e m p e r a t u r ee f f e c ti sa l s os t u d i e di nt h i sp a p e r - v ( 口( u ) v 妒) = p 一竹+ o ( x ) m v 厶= r ( n ，p ) ( 1 一n p ) + g ，厶= ( v 妒( n ) 一m n a ( u ) v 妒) p t + v j _ = r ( n ，p ) ( 1 一n p ) + g ，一五= ( v 妒0 ) + p 靠盱( t ) v 妒) 饥一v ( k ( u ) v u ) = d i v ( 口( 妒) 厶+ 6 ( 妒) 矗) ( o 1 7 ) ( 0 1 8 ) ( 0 1 9 ) ( 0 2 0 ) w ei n v e s t i g a t et h es t e a d y - s t a t ea n dt i m e - d e p e n d e n tc a s e 8o ft h ep r o b l e m ，r e s p e c t i v e l y w e p r o v et h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n so fs t e a d y - s t a t ea n dt i m e d t e p e n d e n t ，a n dw ep r e s e n ta l s o t h eu n i q u e n e s so ft i m e - d e p e n d e n ts o l u t i o n t h ep a p e ri so r g a n i z e di nt h ef o l l o w i n gw a y ：i n c h a p t e r1 w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo ft h es t e a d y - s t a t es o l u t i o n w jm a k ear e g a l a r i z a t i o no f t h ep r o b l e mb yac u b - o f fm e t h o df i r s t ，a n dp r o v et h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o no ft h er e g u l a r i z e d p r o b l e mw i t ht h ef i x e dp o i n tt h e o r e m t h e nw ep r o v et h es o l u t i o no ft h er e g u l a r i z e dp r o b l e m i sa l s ot h es o l u t i o no ft h eo r i g i n a lp r o b l e ma f t e ra ne s t i m a t e i nc h a p t e r2t h et i m e - d e p e n d e n t m o d e lf o rs e m i c o n d u c t o rd e v i c e si ss t u d i e d w es t i l lr e g u l a r i z et h ep r o b l e mb ya p p l y i n gc u t - o f f m e t h o d t h e nb ym o s e r 8i t e r a t i o nt e c h n i q u ew eo b t a i nt h e 工o 。e s t i m a t e so ft h es o l u t i o n so f t h er e g u l a r i z e dp r o b l e ma n dp r o v et h a tt h el i m i to ft h es o l u t i o n so ft h er e g u l a r i z e dp r o b l e mi s as o l u t i o no ft h eo r i g i n a lp r o b l e m i nt h ee n dw es h o wt h et i m e - d e p e n d e n ts o l u t i o ni 8u n i q u e u n d e ra n = r d c 1 ，f i n a l l y , t h ee x i s t e n c eo fw e a ks o l u t i o n st ot h em o d e lw i t ht e m p e r a t u r e e f f e c ti so b t a l n e db yt h es i m i l a rm e t h o d si nc h a p t e r3 k e y w o r d s ：s t e a d y - s t a t e ；d e g e n e r a t e ；s h a u d e r sf i x e dp o i n tt h e o r e m ；工”e s t i m a t e ； s o b o l e ve m b e d d i n gt h e o r e m ；m e s e r si t e r a t i o nt e c h n i q u e 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意 二，关于学位论文使用授权的说明 签名 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印，缩印或其他复制手段保存论文本人电 子文档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊 登) 授权东南大学研究生院办理 第一章稳态解的存在性 1 1 引言 本章研究一类稳态退化半导体方程， - v ( v 妒) = p n + c v 厶= r ( n ，p ) ( 1 一，啦) + 9 ，厶= v 妒( 仲) 一t t l n v 妒 v 易= r ，p ) ( 1 一嘲+ g ，一昂= v 妒( p ) + # 2 p v 妒 带有混合边界条件， ( 妒，n ，纠i r d = ( c d ，n d ，p d ) ，( v 妒仍v n 仇v p r ) l r = ( 0 ，0 ，0 ) 以及带有热效应的稳态情形 一v ( v 妒) = p n + c v 厶= r ( n ，p ) ( 1 一t 巾) + g ，厶= v 妒( 仲) 一m n a ( u ) v 妒 v j l = r ( 竹，p ) ( 1 一n p ) + g ，一占= v i p p ) + u 2 p a ( u ) v 妒 一v ( k ( u ) v u ) = d i v ( 口( 妒) 厶+ 6 ( 妒) j _ ) 带有边界条件： ( 妒，n ，p ，u ) l r = ( c d ，n d ，p d ，t d ) ，( v 妒町，v n r ，1 守曹竹，v u 7 ) r = ( 0 ，0 ，0 ，0 )( 1 9 ) 这里矾m p 和包分别表示静电场位势、电子浓度，空穴浓度和温度，一( n ) 和k ( u ) 是电子和热传导率，厶和厶代表电子和空穴所引起的电流密度，妒是压力函数， c = c ( z ) 用来描述被电离的施主浓度和受主浓度之差，g 是激光浓度o ( 妒) 和6 ( 妒) 分别是。导带”和。禁带。的能量，r ( p ) = r ( n ，p ) ( 1 一n p ) 表示净复合产生率，n 是半导体晶体的区域 这个方程组是描述半导体中漂移一扩散模型的稳态情形【18 】，相应于线性函数 妒的漂移一扩散模型称为经典的漂移一扩散模型文献【1 】表明当大规模掺杂时扩散 项不再是线性的妒的一个常用形式是i p ( s ) = 8 a 其中a = 2 在这样的压力函数之 下，方程组( 1 1 ) 一( 1 4 ) 变成退化的情形，这时弱解的存在性无法由经典的偏微分方 程的理论得出 对于非退化的稳态模型在文献( 【1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 1 ) 中得到广泛的研究，弱解的存在 性和唯一性在一些结构性条件下得到证明 j i l d e f o n s o 【5 】通过正则化的方法研究 了带有非线性漂移率时的漂移扩散模型的瞬时情形最近f a n 4 】在妒( s ) = s 时研究 了考虑热效应时非退化的漂移扩散模型半导体方程组( 1 5 ) 一( 1 9 ) 的稳态解，他利用 1 1 2 3 4 5 6 7 8 0 q q 0 o q 0 0 东南大学硕士学位论文第一章穗态解的存在性 2 截断的技巧、正则化的方法以及s c h a u d e r 不动点定理证明了弱解存在然而，目前 当方程组退化时关于稳态解的存在性的结果不多 在文中我们需要如下假设， ( h 1 ) ncr n ( n = 1 ，2 ，3 ) 是有界区域且砌c o ，其单位外法线方向为町，a n = y d u f l y ，y d n f = d ，m e a s n l ( r d ) 0 ； ( h 2 ) 妒c 1 ( r ) ，i p ( o ) = ( 0 ) = 0 ，( 8 ) 2c o , ”1 对所有5 以及常数c o 0 ，口 1 都 成立； ( h 3 ) c ( z ) ，g ( x ) 工”( q ) 且9 ( 卫) 0 对8 e z n 成立； ( h 4 a ) r t d ，p d ，c d ，u d h 1 ( n ) n 工o o ( 0 ) ，且n d ，p d m 0 对a e z n 成立； ( h 4 b ) n d ，p d ，妒d ，l s d h 1 ( n ) n 工( n ) ，n d ，p d 0 对a e 霉n 成立； ( h 5 a ) r ( n ，p ) 是关于( n ，p ) 的局部l i p 连续函数，且0 r ( mp ) f 0 0 ； ( h 5 b ) r ( n ，力是关于( n ，力的l i p 函数且0 sr ( 吼力s f c o ； ( h 6 ) 口( t ) 和k ( 缸) 关于u 连续且0 0 有 x ( ) 肘( s ) p s ) 一，x ( s ) 1 + 卢( 2 1 ) 其中c 1 = 2 c o 1 + 2 ( 1 + 2 p ) 伊喇1 + 所脚x ) ( 1 + 口) 一 以及m ( 5 ) 是非降函数且对任意5 c o ，c l 】满足 0 s - t m ( s ) m o 8 我们有 x ( ) m ( 2 m c o ) ( 一s ) 一1 x ( 8 ) l + f l 根据文献【8 】中引理2 2 ，如果 m c 0 + 【m c 2 m c o ) 1 n 2 ( 1 + a ) l a x ( m c o ) a y 2 m c o 成立，对于区间h c 0 ，2 m c o 】上的函数x ( 8 ) ，我们得到x ( c 1 ) = 0 也就是说，我们需要 ( 2 m o o ) 一 y m ( 2 m c o ) x ( m c o ) 4 2 1 ( 1 + 2 所胪 ( 2 3 ) 成立在( 2 1 ) 中令= m c o 和8 = c o ，有 x ( m c o ) sm ( c o ) ( m 一1 ) 一石7 x ( c o ) 1 + ， 肘i ( m 一1 ) 一7 x ( c 0 ) 1 + 4 2 7 ( 1 + 筇) 俨朋i 1 伊 这里我们利用了在s = c o 点关于m ( 8 ) 的条件( 2 2 ) 结合( 2 m c o ) 一 r m ( 2 m c o ) ，通 过简单的计算可得( 2 3 ) 是满足的因此引理得证 i l 引理2 2 设条件( h i ) ，( h 2 ) ，( h 4 b ) 成立，e ( 工2 ( q ) ) ，e ，7 = 0 且在弱的意义下满足 d i v e = j 工。( n ) ，那么对于任意的满足h20 e z q 和h l o o ( f 1 ) 的函数h 以及常 数a 1 1 j il l 一( n ) 和充分大的k ，下面的椭圆方程至少存在一个弱解t - v ( ( 辄) v 仃) 一t i e ) + a n = h ， z n 慨= 幻倒( n m 嘲筹卜。 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 这里( 8 ) = 妒( s ) + 5 ，n = r a i n ( m a x ( 0 ，n ) ，七) 另外，存在常数c ( ) 0 以及不依赖于 ，k 的常数c 满足 , t l l n ，( n ) c ( e ) ( u n o l l h - ( n ) + | i n d l l l ( n ) 0 e 8 l 2 ( n ) + i i h l l h 一1 ( t - xj | r ) ) ( 2 6 ) 东南大学硕士学位论文第一章稳态解的存在性 4 以及 i i n l l l 一( a ) c ( 2 7 ) 证明由文献1 4 引理2 1 易知n 日1 ( n ) 的存在性和唯一性以及( 2 6 ) 式是成立的， 我们只要证明i p ( n ) c ，其中c 是不依赖于毛的常数令 n ，= z l l ；几 掌) ，( s ) = m e a s f l 5 ， 8 c o = i i n d i i n c n ) + i 显然，u 是在 c o ，c l 】上有定义的非增非负函数，这里c 1 满足 c l 2 c o i + 2 ( 1 + 2 卢) 卢2 捌1 + 卢脚“，( 匈) ( 1 + 卢) n 】 共甲1 + p = 2 2 ，1 = 2 ，m o 是待足的常数 用一8 ) + 作为( 2 4 ) 的试验函数，通过分部积分我们有 点眭( 讯) v 一s ) 叩+ 入上一s ) + 2 j n j n = 一z a s ( n s ) + 一；上j ( n s ) + 2 + fe v ( 一矿s + 上m s ) + ( 1 l h l l p ( a ) + s l l j l l l - ( n ) ) l l ( n 一8 ) + i i 二r ( n ) 。( s ) 1 2 + 警上( ) + 2 这里2 + = 箍 2 。= 确2 n ( 不失一般性，我们假定n = 3 ，n 2 的情形更为简单) 根据条件( h 2 ) ，以及嵌入定理，有 v ( n 一8 ) + i t l ：( n ) ( 1 l h l l n ( n ) + s 1 1 c l l n ( n ) ) w ( s ) 1 2 注意到 i i v ( n s ) + i k 。( n ) c l l ( n 一5 ) + f i n 2 ( n ) c u ( ) 1 2 ( 一5 ) 因此 u ( ) sm ( 5 ) ( 一8 ) 一2 。u ( s ) 2 2 ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 其中m o = 等c ( 1 l h l l 刍 n ) + l l j l l 刍( n ) ) ，m ( s ) = c ( 脾( n ) + 8 伊( n ) ) 2 满足0s , 6 - - 2 * m ( 8 ) 0a e i n n 为满足相容性条件，粕h 1 ( n ) nl o o ( n ) 假定是问题 - v ( v 1 加) = p o t 1 0 + e ( z ) ， z n 带有边界条件( 1 4 ) 一( i 5 ) 的解 另外，在唯一性结果的证明中我们需要严格正的边界条件： ( h s b ) 边值虿，瓦，哥满足硒，瓦，p h 1 ( n ) n 工。o ( n ) 且瓦，多k o 0a e _ i n n 我们的主要结果如下， 定理1 1 设条件( h 1 ) 一( h 3 ) ，( h 5 b ) ，( h 8 8 ) 和( h 9 ) 成立，那么问题( 1 1 ) 一( l 6 ) 至少存在一 个弱解，且存在正常数c = c ( t ) 使得 i i 妒i i l 一( q ，) ，i f n i l l m ( 口，) ，0 p l l 一( o ，) sc ( 1 1 0 ) 定理1 2 设条件( h 1 ) ( h 3 ) ，( r o b ) ，( i j s b ) 和( h 9 ) 成立，且a n = f d c 1 ，- ，那么问题 ( 1 1 ) - ( 1 6 ) 的弱解是唯一的 2 2 存在性 为简单起见，我们假定p 1 = 舰= 1 以利用文献 9 】关于非退化问题的结果 - v ( v 妒) = p n + c ( 。) 我们首先正则化问题( 1 1 ) 一( 1 6 ) ，以便我们可 为此，我们考虑下列 n t v ( 以( n k ) v n n 审妒) = r ( - ，p ) ( 1 一，l _ p ) + g p t v ( 眭( 巩) v v + p v t p ) = r ( n ，p ) ( 1 一n p ) + g ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 带有边界条件和初始条件( 1 4 ) 一( 1 6 ) 的非退化问题，其中以( n ) 和珐魄) 与姐2 相 同，是待定的充分大的常数由文献【9 】，我们得到问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) ，( 1 4 ) 一( 1 6 ) 的唯一弱 解( 怯，p c ) l 2 ( o ，t ；h 1 ( n ) 3 ) n h l ( o ，r ；y o * ) 且满足他( t ，功，船( ，g ) 0 a e i n ( o ，t 】n 首先我们证明弱解( 以，p c ) 有关于k 和e 的一致l 。( q t ) 估计，然后证明( 以，纯) 的极限就是问题( 11 ) 一( 1 6 ) 的一个弱解 引理2 1 设定理1 1 中条件成立，那么存在只依赖于已知数据而不依赖于岛k 的常 数c = c ( t ) 使得问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) ，( 1 4 ) 一( 1 6 ) 的任一弱解都满足 i i 妒i f l * ( 口，) ，l r t l l l * ( q t ) ，i i p l i l a o ( q ，) sc ( 2 4 ) 证明首先我们证明p e v 2 ( q r ) ，其中v 2 ( q r ) 表示l 2 ( q t ) 中满足 圹。剖坼，t ) 忆钢，+ ( o r 1 w i z ) v 2 o 。啪圹。茹m ，吡2 ( n ) +2 ，) 。 的函数 组成的b a n a c h 空间我们只要证明，纯l 。( 0 ，正l 2 ( n ) ) 用一f i , p e 一乒 作为( 2 2 ) 和( 2 3 ) 的试验函数并利用傲所满足的方程，得 未上c 一元) 2 + 魄一刃2 】+ s 厶l v 沁一酬2 + i v 魄一回闩 旌( ( t l 。) k ) v 元v ( n e 一元) + 疋( ( p 。) k ) v p v ( 纯一刃】+ n 。v 以v ( n e 一元) 一纯v 以v 魄一刃+ 【r ( 啦，终) ( 1 一n 。如) + 鲥【( 他一元) + ( m 一动】 ；上啊一刮2 + i v 魄一p ) 1 2 】+ ；上魄一) ( 程一定) + c 忙，七) 【l + ( ( n 。一元) 2 + ( n 一回2 ) 】( 2 5 ) 注意到慨一他) ( n ；一定) 是非正的，所以由g r o n w a u 不等式得到啦，纯l * ( o ，t ；工2 ( n ) ) 用( n s ) + 和p s ) + 分别作为( 2 2 ) 和( 2 3 ) 的试验函数，分部积分并利用相关 的方程，得 石1 k o ) 一s ) + 2 + ( 纯( t ) 一s ) + 2 】 +厂绷删v(叫邶i+厂(e(胛慨叫枷ij0jj 0jnn = z 上v 妒v 一矿一r 上乳v 妒v 魄一矿 + f r ( n e ，纯) ( 1 一竹d k ) + 引【( 一8 ) + + ( 如一8 ) + 】 一 8 1 1 5 瀚 ( 2 8 ) 和 屯c ( 删南i i 喇岫一矿+ 缸一删：丑铲( 口。) ( 2 9 ) 这里i | 表示测度，k 5 ，n 8 】= ( z ，t ) l n , ( z ，t ) 8 ，挑( z ，t ) s 婆取t o 0 满足c ( 如i oj ) 奔训c ( 圳j p ( n ) ，结合( 2 6 ) 一( 2 8 ) 以及v 2 ( q t ) 一 l 掣( q r ) ，有 一矿+ 魄一矿i i l 学( ( - + jj 9j j 二( n ) + s o c ( 动i l 三( n ) ) j q 幻n 【t l ， s , p e 司j 两砧可 ( 2 1 0 ) ，+ 4 另一方面，我们有 一5 ) + + 魄一s ) + i i l 牮( q t o ) c ( 一5 ) i q o n k 自融 钏尚 对所有c 0 s ；c 1 都成立 定义x ( 5 ) = i q kn k 毛乳 8 1 1 从( 2 1 0 ) 一( 2 1 1 ) ，我们得到 x ( ) 肘( s ) ( 一圹! 铲x ( 8 ) 爷 其中m ( s ) = c ( + i l a l i 俨( n ) + s i t c ( ：r ) l l p ( n ) ) ! 嗡喧 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 壅查奎兰堡主兰篁垒塞 苎三塞! 堕堡竺童童竺垫堡三堡 1 6 现在令7 = 型冬产，1 + 卢= 尘铲，c 1 = 2 c o 1 + 2 ( 1 + 柳俨碰1 + 4 脚x 佃) ( 1 + 卢) ，1 1 ，这里 知 是满足0 5 1 m ( 8 ) m o 0 待定，那么( ，p ) 满足 m + 卢一e - o t v ( v 妒( e o t n ) 一e p t n v 妒) = e 一肛鱼 r + 卢p e - f l t v ( v 妒( e a t p ) + e a p v 妒) = e 一肛孟 ( e 肛