（应用数学专业论文）随机时滞网络控制系统的h∞输出跟踪控制.pdf

摘要 本文讨论的是带有随机时滞的一类网络控制系统的z k 输出跟踪控制问题在连续 时间网络控制系统的厶k 输出跟踪控制问题中，不仅考虑了传感器到控制器之间的网络 产生的随机时滞，而且考虑了控制器到执行器之间的网络产生的随机时滞，利用马尔可夫 过程模拟网络产生的随机时滞，通过一个模态依赖的状态反馈控制器使闭环网络控制系 统的输出在三k 意义下跟踪给定的参考模型的输出；在离散时间网络控制系统的日。输 出跟踪控制问题中，通过引入一个指示函数，使原来的带有概率网络时滞的系统转换成了 一个基于随机系统参数的带有指示函数的多重时滞系统，通过一个状态反馈控制器，使得 闭环网络控制系统的输出在，k 意义下跟踪给定的参考模型的输出 关键词：网络控制系统，输出跟踪，网络产生的时滞 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h ep r o l e mo fh o u t p u tt r a c k i n gc o n t r o lf o rac l a s s o fn e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m sw i t hr a n d o mt i m ed e l a y s b o t hs e n s o r - t o - c o n t r o l l e ra n d c o n t r o l l e r - t o - a c t u a t o rr a n d o m - n e t w o r k - i n d u c e dd e l a y sa r ec o n s i d e r e di nt h ep r o b l e mo f h o u t p u tt r a c k i n gf o rn e t w o r k e d c o n t r o ls y s t e m sw i t hc o n t i n u o u st i m ef r a m e w o r k m a r k o v p r o c e s s e sa r eu s e dt om o d e lt h e s er a n d o m - n e t w o r k - i n d u c e dd e l a y s b yam o d e - d e p e n d e n t s t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r ，w eg u a r a n t e et h eo u t p u to ft h ec l o s e d - l o o pn e t w o r k e dc o n t r o l s y s t e mt r a c k st h eo u t p u to fag i v e nr e f e r e n c em o d e lw e l li nt h eh s e n s e b yi n t r o d u c i n g i n d i c a t o rf u n c t i o n si nt h ep r o b l e m eo fh o u t p u tt r a c k i n gc o n t r o lf o rn e t w o r k e dc o n t r o l s y s t e m sw i t hd i s c e r t et i m ef r a m e w o r k ，t h eo r i g i n a ls y s t e mw i t hp r o b a b i l i s t i cn e t w o r ki n - c u d e dd e l a y si st r a n s f o r m e di n t oa n o t h e rm u l t i p l ed e l a ys y s t e mw i t hi n d i c a t o rf u n c t i o n b a s e ds t o c h a s t i cs y s t e mp a r a m e t e r s b yaf e e d b a c kc o n t r o l l e r ，w eg u a r a n t e et h eo u t p u to f t h ec l o s e d - l o o pn e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e mt r a c k st h eo u t p u to fag i v e nr e f e r e n c em o d e lw e l l i nt h e 日。os e n s e k e yw o r d s ：n e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m s ，o u t p u tt r a c k i n g ，n e t w o r k - i n d u c e dd e l a y s 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究所取得的 成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表或撰写过的 科研成果对本人的研究作出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的 法律责任由本人承担 学位论文作者：王华阁 日期：一年妇日 学位论文使用授权声明 本人在导师指导下完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属郑州大学根据郑州 大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文 的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权郑州大学可以将本学位论文的全部 或部分编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或者其他复制手段保存论文和汇编 本学位论文本人离校后发表、使用学位论文或与该学位论文直接相关的学术论文或成果 时，第一署名单位仍然为郑州大学保密论文在解密后应遵守此规定 学位论文作者：王阁 啉吁舅日 第一章：引言 随着计算机信息技术和网络技术的迅猛发展，信息、网络和通信等先进技术对于自动 控制领域的发展产生了巨大影响，传统的直接数字控制系统、分布式控制系统和现场总线 控制系统已经不能满足社会飞速发展的需要在科研和工程领域中，很多情况下，信息需 要被系统的不同部分分享利用，但是系统的各个元件在地理位置上却分布的很远在许多 现实的系统中，原始装置，控制器，传感器和执行器很难固定在在同一个地方，因此，就 要求信号从个地方传递到另外一个地方在现代工业系统中，这些装置经常通过网络媒 介联系起来，就产生了所谓的网络控制系统( n e t w o r k e dc o n t r o ls y s t e m s ，n c s ) 网络 媒介的引入有许多优势，例如，降低了成本，减少了对重量和功率的要求，使得系统的安 装和维护更简单，可靠性提高，网络管理灵活，并且可以远程操作与控制，进行资源共享 等。因此，网络控制系统在近几年受到越来越多的关注，并且在实际应用中也变得越来越 广泛 早在2 0 世纪8 0 年代后期，y h a l e v i 和a r a y 等人就开始了对网络控制系统的分 析和控制器的设计方法的研究【1 】 2 3 】进入2 0 世纪9 0 年代，网络控制系统受到越来 越多的学者的关注对网络控制系统的研究涉及到控制和网络通信两个方面，对同一个网 络控制问题，不但可以从控制的角度去研究，还可以从信息调度的角度去研究，或者将控 制和信息调度这两方面结合起来进行研究在网络通信领域里，研究者的研究任务主要是 设计更好的网络协议，减少由于网络时延所产生的数据包丢失等事件的发生，从而提高网 络控制系统的性能；而在控制领域里，研究者的主要研究任务是首先对网络控制系统建立 更加合理的数学模型，然后在这个基础上对网络控制系统的稳定性进行分析，研究设计出 网络控制系统的控制器近年来，网络控制系统的研究成为学术界研究的一个热点由于 1 网络的引入，系统中的数据采样及控制信号要通过网络进行传输，所以就不可避免的会出 现网络时延、数据包丢失、多包传输以及错序等各种不确定性问题考虑到网络的各种非 理想状况，研究者们分别基于连续模型、离散模型或混杂模型等方法，研究了网络控制系 统的稳定性分析以及一些综合问题在闭环系统中由于引入时延环节，使得系统的性能降 低，并且还会引起系统的不稳定，所以在对网络控制系统分析时，一定要考虑网络时延对 系统的影响由于采用的网络传输类型及网络协议的不同，在对网络控制系统的建模和分 析的过程中，网络时延可能是定常的或时变的或者是随机的到目前为止，网络控制系统 的研究已经取得了一系列的研究成果，关于网络控制系统的稳定性问题在文献【4 】【7 】中 有了很好的研究，文献 8 】研究了带有噪声干扰的网络控制系统另外，文献 9 卜 1 6 】研 究了带马尔可夫跳的线性系统，这类系统通常用来模拟从一个模态到另外一个模态转换 的随机系统文献【1 3 】一【1 6 】的一些结果被应用到带有模态依赖时滞的马尔可夫跳的线性 系统文献 1 6 研究了离散时间的从传感器到控制器和从控制器到执行器都带有随机时 滞的网络控制系统的镇定问题文献【17 】研究了一种新的时滞准则的网络控制系统的镇 定问题，通过引入一个示性函数，使原来的带有随机网络时滞的系统转换成了一个基于 随机系统参数的带有示性函数的多重时滞系统文献【1 8 】研究了连续时间的不确定网络 控制系统的镇定问题，其中传感器和执行器通过两个交流网络和控制器连接起来对于网 络控制系统的三k 控制问题，现存的文献中也有许多有用的结果，例如文献 1 9 】【2 0 【2 l 】 目前对于网络控制系统跟踪问题的研究还比较少，但跟踪问题具有实际意义，是网络 控制系统发展的方向之一文献中有神经网络的跟踪研究以及分布式网络的信息跟踪问 题的研究，文献【2 2 研究了一类非线性系统神经网络的自适应跟踪问题，提出一个输出 跟踪问题，利用神经网络在线学习不确定性的界而不是不确定性，但是没有考虑外部扰动 的影响文献 2 3 】考虑了外部扰动的影响，解决了一类非仿射非线性系统的鲁棒自适应 跟踪控制问题但是这类文章都是基于神经网络的跟踪问题的研究文献 2 4 】对网络控 制系统的跟踪问题进行了研究，将时变时延转化为固定时延，并进行一个等价变换；对等 价变换后的网络控制系统，设计最优跟踪控制率文献 2 5 】研究了基于网络的矾。输出 跟踪控制问题，这里的被控装置是连续时间的而控制器是离散时间的，这是一个典型的基 于计算机的控制框架的网络控制系统考虑了传感器到控制器和控制器到执行器的网络 2 产生的时滞和数据包的丢失，这里的时滞假设有上界和下界，减少了结果的保守性，并且 文中的控制器的设计方法可以推广到物理装置的参数是不确定的情况 本文讨论了一类带有随机时滞的网络控制系统的凰。输出跟踪控制问题对于连续 时间不确定网络控制系统的z k 输出跟踪控制问题，通过连续时域的两个交流网络，把 传感器和执行器与控制器联系起来利用两个马尔可夫过程去模拟在这两个网络之间随 机产生的时滞，给出了系统达到三k 输出跟踪性能的条件对于离散时间的网络控制系 统的日输出跟踪控制问题，通过引入一个指示函数，原来的带有概率网络时滞的系统 转换成了一个基于随机系统参数的带有指示函数的多重时滞系统，给出了闭环网络控制 系统的输出在f k 意义下跟踪给定的参考模型的输出的条件 以下为本文的主要结构：第二章为预备知识和数学基础，给出了文中出现的定义，一 些符号表示。引用的定理等；第三章介绍了一个连续时间随机时滞的不确定网络控制系统 的，k 输出跟踪控制问题，给出了系统达到跟踪性能的条件；第四章中。介绍了一个离散 时间概率时滞的网络控制系统的比输出跟踪控制问题，给出了系统达到跟踪性能的条 件 3 第二章：定义及引用定理 本章主要介绍文中所出现的一些定义，符号，同时还给出了引用的定理等首先给出 了马尔可夫过程的定义，介绍了文中所出现的一些符号表示，然后给出了文中所用到的三 个主要定理 2 1基本定义和符号表示 一随机过程，若已知现在的状态托，那么将来状态x u ( 礼 t ) 取值( 或取某些状态) 的概率与过去状态托( s t ) 取值无关，或更简单地说，已知现在，将来与过去无关( 条 件独立) ，则称此性质为马尔可夫性( 无后效性或简称马氏性) 具有这种马尔可夫性的过 程称为马尔可夫过程精确定义为： 定义2 1 冈 随机过程x = 五，t 丁) ，若对于任意t l t 2 t 。 t ，耽， 1 i n ，及acr ，总有 p ( 五alx t ，= x l ，托。= x 2 ，x t 。= z 。) = 尸( x t al 五。= z 。) 则称此过程为马尔可夫过程( m a r k o vp r o c e s s ) ，简称马氏过程 称p ( s ，z ；t ，a ) = p ( 托ax s = z ) ( s 0 ( 0 ) 表示p 是个实对称正定( 半正定) 矩阵；在对称块矩阵或者复杂的矩 阵表示中，我们用星号( 车) 表示对称矩阵中的对称项；用l 2 0 ，) 表示【0 ，o 。) 上平方 可积的向量函数空间；把对角矩阵表示为d i a g ( 】；e 为期望算子；k 。i n ( ) 表示矩阵 的最小特征值，a 一( ) 表示矩阵的最大特征值 2 2重要引理 矩阵的s c h u r 补性质：【2 7 考虑一个矩阵s r 似n ，并将s 进行分块： s = 鞋$ 1 2 其中的s n 是7 r 维的假定$ 1 1 是非奇异的，则一岛1 1 s 1 2 称为s 1 l 在s 中的 s c h u r 补以下引理给出了矩阵的s c h u r 补性质 引理2 1 m 对给定的矩阵s = p s 2 1 1 兰 ，其中s - - 是r r 维的以下三个条 件是等价的： s 0 ： s l l 0 ，s 2 2 一s 五品1 $ 1 2 o ； 0 ，s 1 1 一s 1 2 s 著s 五 0 对线性矩阵不等式f ( z ) o ，其中f ( z ) ：i f l l ) i f 2 1 ( x ) 应用矩阵的s c h u r 补性质可以得到： f ( x ) 0 当且仅当 r 2 p i ，一。( z ) 是方阵则 忍2 ( z ) l r l ( x ) 0 ，k ( z ) 一，磊( z ) f 5 1 ( z ) n 2 ( z ) 0 5 ( 2 1 ) 或 如( z ) 0 f l l ( ：r ) 一毋2 ( z ) f 易1 ( z ) f 琶( z ) 0 是给定的适当维数的常数矩阵，p 是对称矩阵变量， 则应用引理2 1 ，可以将矩阵不等式( 2 3 ) 的可行性问题转化成一个等价的矩阵不等式 r t p + b t p 尸a + q 二习 0 和标量 0 ，有 2 a t b - c a t p 一1 口+ g b r p b 引理2 3 【1 5 】 对常数矩阵h 和e 及标量5 0 ，下面不等式成立： 其中，f 满足f t f i ( 2 5 ) h f e + e t f t 日t h t + e 一1 e 丁e ( 2 6 ) 6 第三章：连续时间不确定网络控制系统的比输出跟踪控制 在这一章中，我们介绍了个连续时间的带有随机时滞的不确定网络控制系统的上k 输出跟踪控制问题关于带有随机时滞的不确定网络控制系统的状态反馈问题在文献【1 8 】 中有了解决本文在其基础上介绍了带有随机时滞的不确定网络控制系统的上k 输出跟 踪控制问题首先给出了文中所用到的数学模型，确立了文中所要解决的主要问题，然后 给出了与问题相关的定理及证明 3 1问题的确立与分析 这一节，我们考虑一个典型的网络控制系统，如图1 中所示 假设其中的物理装置( p h y s i c a lp l a n t ) 由下面的线性系统给出： 宕( t ) = ( a + 4 ) z ( 。) + ( b + b ) t 正( ) + e w ( t ) ( 3 1 ) y ( t ) = c x ( t ) + d u ( t ) 其中，x ( t ) r 扎，是状态向量；u ( ) r p ，是控制输入；y ( t ) r q ，是输出；u ( ) r 2 ， 是扰动输入，且u ( ) l 2 0 ，o 。】；a ，b 一，c 一，d 一，e 一是合适维数的系统矩阵矩阵a 和雪 显示了系统的不确定性，并且满足下面假设： 假设3 1 a 后 = h f ( t ) e 。e 2 其中，何，e l ，易是已知的合适维数的实常数矩阵，f ( t ) 是含有l e b e s g u e 可测元素的未 知矩阵函数，并且满足j f l ( ) r f ( t ) ，j 是合适维数的恒等矩阵 7 我们的目的是设计一个控制器( c o n t r o l l e r ) ，使闭环系统的输出y ( t ) 跟踪一给定的 参考模型( r e f e r e n c em o d e l ) 的输出，从而满足跟踪性能要求 图1 ：网络跟踪控制系统 假设参考信号y r ( t ) 由下式给出 删= 州。) ( 3 2 ) 西( ) = g x ，( t ) + r ( t ) 其中y r ( t ) 和y ( t ) 的维数相同；x r ( t ) ，r ( t ) r r ，分别为参考状态和能量有界参考输入； 0 和厅是合适维数的系统矩阵；并且假设岛( f ) 和z ( ) 都是可直接观测到的，它们的测 量值通过一个信号包传递 在图1 中，7 - ( ) 0 是从传感器( s e n s o r ) 到控制器的时滞，p ( t ) 0 是从控制器到 执行器( a c t u a t o r ) 的时滞【2 8 】中，用一个马尔可夫链来模拟这些网络时滞马尔可夫 链的模态定义为不同的网络负荷状态对每一个马尔可夫链的模态，相关时滞假设为时变 的，且上界为一个已知常数依【2 8 】中同样的标准，我们使用两个马尔可夫过程 ，7 ，( ) ) 8 和 啦( t ) ，分别模拟7 ( ) 和p ( t ) 并且假设 7 7 l ( ) ) 是个连续时间，离散状态的马尔可 夫过程，在有限集s = 1 ，2 ，s 上取值，转移概率矩阵为 r 只：p r ，7 l ( + ) ：j l ，7 1 ( 幻：i ) ： b + 。 i 歹 ( 3 3 ) i1 + a i i a + o ( ) i = 歹 这里，k 0 是从模态i 到模态j ( i 歹) 的转移概率，h = 一；：l j b 啦( f ) ) 在 w = 1 ，2 ，s ) 上取值，转移概率矩阵为 r 恳：只 啦( + ) ：f l 叼2 ( ) ：七) ： 7 r 斛+ 。( z x ) 后。 ( 3 4 ) l1 + 7 k 七+ d ( ) 七= o 其中，7 1 k l 0 是从模态k 到模态l ( k f ) 的转移概率，且7 r k k = 一鍪l ，l 入埘其中， a 0 ，且l i m + oo ( a ) a = 0 对于马尔可夫过程的每一个模态，相关时滞设为时变的，但在本文中我们假设上界和 下界为一个已知常数，如0 几( i ) 7 - ( tt ) 7 + ( i ) ，0 风( 七) p ( 七，f ) 矿( 七) 进而 假设马尔可夫过程的模态或者网络负荷状态条件是可由控制器和传感器达到的传感器 发送网络负荷状态的模态和测量数据到控制器，并认为这些假设都是合理的控制器和传 感器是事件驱动的 则可把控制输入可以表示为 u ( t ) = k l ( 7 7 l ( ，) ，叼2 ( ) ) z ( f 一7 - ( 7 7 l ( ) ，t ) 一，( 7 7 2 ( ，) ，) )， 【3 5 ) + k _ 2 ( ? 7 1 ( t ) ，叼2 ( ) ) z ，( 一7 ( 叼l ( t ) ，t ) 一p ( 啦( ) ，) ) 其中，k l ( 7 7 1 ( ) ，叩2 ( ) ) 和k 2 ( 卵l ( t ) ，叩2 ( ) ) 是待定的模态依赖的控制增益 把( 3 5 ) 代入( 3 1 ) 中可得， 圣( ) = ( a + 以) z ( ) + ( b + b ) 【k 1 ( 町1 ( ) ，叼2 ( f ) ) z ( 一r ( r , ( o ，) 一p ( 叼2 ( ) ，) ) + 鲍( 7 7 1 ( ) ，7 7 2 ( ) ) z ，( 一7 - ( 7 7 l ( ) ，t ) 一p ( 啦( ) ，) ) 】+ e o a ( t ) 【3 6 ) y ( t ) = c z ( t ) + b i t q ( m ( o ，叼2 ( t ) ) z ( 一下( 7 7 l ( ) ，t ) 一p ( 7 7 2 ( ) ，t ) ) + 尺2 ( 7 7 l ( ) ，啦( ) ) z ，( 一7 - ( 7 7 1 ( ) ，t ) 一p ( 啦( ) ，) ) 】 9 再由( 3 2 ) 和( 3 6 ) 可得增广闭环系统为 ( ( ) = ( a + a ) e 0 ) + ( b + a b ) k ( r h ( t ) ，7 7 2 ( ) ) ( ( 一7 ( 叩1 ( t ) ，t ) 一p ( ? 7 2 ( t ) ，) ) + e t ，( t ) e ( t ) = c ( ( ) + d ( 一下( 7 7 l ( ) ，t ) 一j d ( 7 7 2 ( ) ，) ) ( 3 7 ) 其中， 1 若存在函数v c 2 1 ( 舯8 w 【一疋，。】；r + ) ，对所有的( ( ( ) ，? 7 l ( ) ，7 7 2 ( ) ，t ) r ”s w 【一疋，( 2 0 】满足 c , zl l ( t ) 1 1 2 y ( ( ( ) ，r l ( t ) ，啦( ) ，t ) q 2 i i c ( t ) 1 1 2 ( 3 8 ) 且对t 0 ，有 e 删蛳m a x ( 。j w a v ( ( ( 帅1 ( 。) ，删，) 】一妒引删龇m a x 【。) w v ( ( t ) ，椰) ，啦( 州 ( 3 9 ) 其中( = ( ( ) ：t 一2 x ) 满足 e 乙。( d g 豫。) w y ( ( ( ) ，7 7 l ( ) ，7 7 2 ( ) ：f ) 】 0 ，矩阵y ( i ，k ) ，正数p l 洲侥刖风训尻训e l 刚e 2 刖5 3 e 4 让 和e 弛，使下面的不等式对所有的i 8 和后w 成立 t ( i ，k )( 木) t( 奉) r ( 宰) r e 1 q ( i ，k ) + e e y ( i ，k ) - - s i k i ( 宰) t ( ：# ) t s t ( i ，k ) 0一q 1 ( 事) r z t ( i ，后) 0 0 一q 2 0 ( 3 1 3 ) felq“蠢荟y。后)!吾二兰蓍蔓 0 ( 3 1 4 ) 0 ( 3 1 5 ) 0 ( 3 1 6 ) 0 ( 3 1 7 ) 0 ( 3 1 8 ) 0 ( 3 1 9 ) 其中， t ( i ，k ) = q ( i ，k ) a 丁+ a q ( i ，k ) + y t ( i ，k ) b r + b y ( i ，k ) + ( 丁+ + p + ) ( p l 诰+ 3 仍让) q ( i ，k ) + e i k h h t + a i i q ( i ，k ) + l r k k q ( i ，k ) f ( i ，尼) = q ( i ，k ) a 丁+ a q ( i ，七) + y 丁( i ，k ) b t + b y ( i ，后) + ( 丁+ + j d ) ( 3 尻皓+ 尻诀+ 如；。+ 岛。) q ( i ，七) + e i k h h r + a i i q ( i ，k ) + 7 r k 七q ( i ，k ) 1 2 尸尸尸坐呐”墨 广尸型协里呐 ，l ”筹黑 s ( i ，七) - 【厕( 泔一缸面( ，七) 佤葫( 槲厕( 虱k ) l z c i ，七) = f 而q ( i ，k ) 矿葡面q ( i ，七) 狮i 丽q ( i ，k ) 币瓦q ( i ，七) 】 q l = d i a g q ( 1 ，七) ，q ( i 一1 ，后) ，q ( i + 1 ，后) ，q ( s ，七) 】 q 2 = d i a g q ( i ，1 ) ，q ( i ，k 一1 ) ，q ( i ，七+ 1 ) ，q ( i ，伽) p ( i ，k ) = q - 1 ( i ，后) ，m + m = e ， l + l = k t ( b + a b ) t p ( i ，k ) + d r d + d t c 这里的府和三满足下面假设 假设3 4 厨三 = h f ( o 忍e 4 其中，日，岛，目是已知的合适维数的实常数矩阵，f ( t ) 是含有l e b e s g u e 可测元素的未 知矩阵函数，并且满足f ( ) t f ( t ) j r ，是合适维数的恒等矩阵 则称系统( 3 7 ) 通过控制器( 3 5 ) 对所有满足0 几( i ) + 办( 惫) 下( i ，t ) + p ( k ，t ) 广( i ) + 矿( 后) 的r ( i ：t ) 和p ( k ，t ) 达到输出跟踪性能7 其中，k ( i ，七) = y ( i ，k ) q _ 1 ( t k ) 证明：在本文中，我们假设第个控制信号达到物理装置前u ( t ) = 0 如果7 h ( f ) = i ，并 且叩2 ( ) = k ，则可以把k ( y l ( t ) ，? 7 2 ( ) ) 表示为k ( i ，k ) 在下文中，记k ( i ，k ) = k ，7 - ( i ，) + p ( k ，t ) = x ( t ) 在这里，选择随机l y a p u n o v 函数为 y ( ( ( ) ，叩1 ( ) ，啦( ) ，t ) = ( r ( ) p ( 7 7 1 ( ) ，啦( ) ) ( ( t )( 3 2 0 ) 其中，p ( r 1 ( ) ，仡( ) ) 是正定对称矩阵 从而有 0 1 1i l ( ( t ) 1 1 2 y ( ( ( ) ，7 7 1 ( ) ，0 2 ( t ) ，t ) q 2 | | ( ( ) 0 2 ( 3 2 1 ) 其中， q l = 入m i 。( p ( 7 7 l ( ) ，啦( ) ) ) ，o t 2 = 入m 。( p ( m ( t ) ：7 7 2 ( t ) ) ) ，显然，( 3 8 ) 式成立 对每个r h ( t ) = i s ，啦( ) = k w ，有 ( ( 一( 7 - ( i ，t ) + p ( k ，) ) ) = ( ) 一 ( + p ) 硼 j - ( r c i ，t ) + p 七，”， 】3 = ( ( ) 一 【( a + a ) ( ( + 0 ) + ( b + a b ) k c i ，知) ( ( 一( r ( i ，t ) + p ( k ，t ) ) + 0 ) - ，一( r ( i ，) + p ( 七，t ) ) + e u ( t + e ) d o ( 3 2 2 ) 首先证明v ( t ) = 0 时，闭环系统( 3 7 ) 是带马尔可夫跳的随机稳定的由于在文献 【18 】中，已经有了类似系统( 3 7 ) 的带有马尔可夫跳的随机稳定性的证明，在这里，为了 方便阅读以及证明跟踪要求的第二个条件的需要，我们对系统( 3 7 ) 是带马尔可夫跳的随 机稳定性再给出个简单证明 由( 3 2 2 ) ，u ( t ) = 0 时。闭环系统( 3 7 ) 可写为 ( ( ) = 【a + a + ( b + b ) k ( i ，后) 】 ( ) 广o 一( b + a b ) k ( i ，k ) 【( a + a ) ( ( + 0 )( 3 2 3 ) ，一( r c i ，t ) + p ，) ) + ( b + a b ) k ( i ，后) ( ( 一( 7 ( i ，t ) + p ( k ，) ) + e ) d e 由( 3 1 1 ) ，可得 a y ( ( ( ) ，0 1 ( 0 ，7 7 2 ( t ) ，t ) = t ( ) p ( i ，后) ( ( ) + ( ( ) p ( i ，后) t ( ) + a 巧( t ( ) 尸( j ，七) ( ( ) + 7 嗡( r ( ) 尸( i ，f ) ( ( ) j = l z = l = ( r ( t ) 【( a + z x a ) t p ( i ，k ) + p ( i ，克) ( a + a ) + k t ( b + b ) t p ( i ，k ) + 尸( i ，后) ( b + z x u ) k + b ，) ( i ，歹) + 7 r k t p ( i ：f ) m ) j = 1 l = 1 ，o 一2 ( t ( ) 尸0 ，七) ( b + z x b ) k ( a + z x a ) i ( t + 0 ) ，- x ( t ) + ( b + z x b ) k ( ( t x ( ) + o ) l d e 由第二章中的引理2 2 ，通过计算，可得如下不等式； 1 y ( ( ( ) ，? 7 l ( ，) ，啦( ) ，t ) s ( t ( ) 【( a + a ) t p ( i ，k ) + p ( i ，七) ( a + a ) + k r ( b + b ) t p ( i ，k ) 菩 + p ( i ，七) ( 口+ a b ) k + 九j p ( j ，尼) + 丌斛p ( i ，f ) 】( ( ) j = l 1 = 1 】4 ( 3 2 4 ) + x ( ) 【气：( t ( ) p ( 1 ，七) ( b + a b ) k ( a + a a ) p 一1 ( i ，七) ( a + a a ) t g r ( s + a b ) r p ( i ，七) ( ( ) 】 + 压：( t p ( i ，忌) ( b + a b ) k ( b + a b ) k p 一1 ( ，忌) k t ( b + a b ) t k t ( b + b ) t 尸( i ，动( ( 纠 ( 3 2 5 ) + 厦；。e t o + o ) p ( i ，后) ( ( t + 0 ) + 岛址( t ( t x ( t ) + 8 ) p ( i ，七) ( ( t x ( t ) + 口) 】 = ( t ( ) a f 知( x ( ) ，6 ) ( ( ) + x ( ) 3 1 让( t ( + o ) p ( i ，尼) ( ( + 0 ) + 尾砖t ( 一x ( ) + o ) p ( i ，七) ( ( 一x ( ) + 0 ) 一( t ( t ) ( f l l ；。+ 阮；。) 6 尸( i ，后) ( ( ) 】 其中，m i k ( ) 定义为 m i k ( x ( t ) ，5 ) = ( a + a a ) t p ( i ，k ) + p ( i ，七) ( a + a a ) + k r ( b + a b ) t p ( i ，k ) + p ( i ，七) ( b + a b ) k + e a o p ( j ，七) + 他z 尸( i ，z ) j = l 1 - - - - 1 + ) ( ( ) f l l 云1 p ( i ，七) ( b + a b ) k ( a + a a ) p 一1 ( z ，k ) ( a + a a ) t k t ( b + z x b ) r p ( i ，七) + f l 乏p ( i ，七) ( b + a b ) k ( b + a b ) k p 一1 ( i ，k ) k t ( b + a b ) t k t ( b + a b ) t p ( i ，k ) + ( 历伽+ 忍让) 5 p ( i ，七) 】 ( 3 2 6 ) 注意，x ( ) = r ( i ，t ) + p ( k ，t ) 的上界为7 ( i ) + 矿( 七) 故可得，朋诹( x ( ) ，5 ) m ( 7 ( i ) + p + ( 七) ，6 ) 如果( 3 1 4 ) 和( 3 1 5 ) 成立，由引理2 3 和s c h u r 补性质，可得 ( a + a a ) p 一1 ( i ，后) ( a + a a ) r 角请p 一1 ( i ，k ) ( 3 2 7 ) ( b + a b ) k p 一1 ( i ，k ) k t ( b + a b ) t 阮执p 一1 ( i ，k )( 3 2 8 ) 由( 3 2 7 ) 和( 3 2 8 ) ，m i k ( t ( i ) + 矿( 七) ，5 ) 变为 ( a + a a ) r p ( i ，k ) + p ( i ，后) ( a + a a ) + k t ( b + b ) t p ( i ，k ) + p ( i ，七) ( b + a b ) k 1 5 + ) q jp ( j ，七) + e 7 r k z p ( i ，z ) j = l 1 = 1 + 2 0 - + ( i ) 十矿( 七) ) p ( i ，七) ( b + a b ) k p 一1 ( i ，k ) k t ( b + b ) t p ( i ，k ) + ( 7 - 。( i ) + 矿( 七) ) 洒塘+ 伤谤) s p ( i ，k ) ( a + a ) t p ( i ，k ) 十p ( i ，尼) ( a + a a ) + k t ( b + a b ) t p ( i ，惫) + p ( i ，七) ( b + a b ) k + a i jp ( j ，尼) + e 7 r k t p ( i ，z ) j = l1 = 1 + 2 ( r + ( i ) + 矿( 后) ) 尾墙p ( i ，k ) + ( 7 - + ( i ) + 矿( 后) ) ( 风吨+ 屁谴) s p ( i ，k ) ( 3 2 9 ) 因此，如果( 3 1 3 ) 成立，易得，对6 = 1 ，有m i 七( r 。( i ) + 矿( 后) ) 1 ，使得a 4 i k ( r ( i ) + 矿( 七) ，5 ) 0 仍成立 因此， a y ( ( ( ) ，叩1 ( ) ，7 2 ( ) ，t ) 一a ( t ( ) e ( ) + ( 7 _ + ( i ) + j d ( 后) ) 【角砖( t ( + e ) p ( i ，七) ( ( + p )， ( 3 3 0 ) 忍仙( r ( 一x ( t ) + o ) p ( i ，七) ( ( 一x ( t ) + 口) 一( 卢1 弛+ 侥珏) 6 0 ，再由( 3 2 1 ) ，可得 e l m ( t ) 嚣慧眯w a y ( ( ( ) ，7 7 1 ( ) ，7 7 2 ( ) ，) 一芝e 叶坤) 罟譬t ) w y ( ( ( ) ，叩1 ( ) ，叩2 ( ) ，) 】 ( 3 3 2 ) 所以( 3 9 ) 成立 这意味着系统( 3 7 ) 在( ) = 0 时，是带马尔可夫跳的随机稳定的 下面证明系统( 3 7 ) 达到上k 跟踪要求的第二个条件成立 1 6 ( ) 0 时，由( 3 2 2 ) 式，闭环系统( 3 7 ) 可写为 ( ( t ) = 陋+ a + ( b + a b ) k ( i ，后) 】( ( ) ，0 一( b + a b ) k ( i ，k ) 【( a + a ) ( + 0 )( 3 3 3 ) ，一( 1 ( ，t ) + p ( 膏，d ) + ( b + b ) k ( i ，七) ( ( t 一( r ( t ，t ) + p ( k ，) ) + 0 ) + e u ( t + e ) d o + e u ( t ) 同样由( 3 1 1 ) 可得，v ( t ) 0 时， a y ( ( ) ，0 1 ( 0 ，r n ( t ) ，t ) 童叫 = e t ( ) p ( i ，后) ( ( ) + ( ( ) p ( i ，七) t ( ) + a 巧 t ( ) p o ，尼) ( ( ) + 7 r k l ( t ( ) p ( i ，o f f ( t ) j = l l = l = 丁( ) ( a + a a ) t p ( i ，k ) + p ( i ，忌) ( a + a ) + k 丁( b + a b ) r p ( i ，k ) 8伽 + 尸( i ，七) ( b + b ) k + a i j p ( i ，歹) + e t r k f p ( i ，f ) 】( ( ) j = 1 l = l ，0 2 ( t ( ) p ( i ，七) ( b + a b ) k ( a + z x a k ( t + 0 ) + ( b + z x u ) k f ( t x ( t ) + 0 ) + e u ( t + 伊) ) d 口+ 2 u t ( ) e r p ( ( ) 下面我们记a y ( ( ( ) ，叩1 ( t ) ，啦( ) ，t ) = y ( t ) 考虑 罗= 1 0 。阮州p ) - 7 2 u t ( 州口) 坶 设在零初始条件下，有v ( o ) = 0 和y ( 。) 0 ，由此可得 ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) 莎= 【e t ( ) e ( ) 一 7 2 z ，丁( ) ( ) + v ( t ) d t v ( o o ) 0 ， ( 3 3 6 ) ， 、， s 【e t ( ) e ( t ) 一, 7 2 t ( ) ( ) + v ( t ) d t 下面，我们考虑e t ( ) e ( t ) 一，y 2 沪( ) ( ) + v ( t ) 由( 3 7 ) ，e ( ) = c ( ( ) + d ( ( 一7 _ ( 7 7 1 ( ) ，t ) 一p ( 砚( ) ，) ) ，再由( 3 3 4 ) 式，把相 关式子代入。可得： 1 7 ，( ) e ( t ) 一f ，( ) z ，( ) + 矿( ) = ( t ( ) ( c + d ) t ( c + d ) ( ( ) 一(