（应用数学专业论文）组合网格法及其在焊接数值模拟中的应用.pdfVIP

中文摘要 本文讨论的组合网格法( c o m p o s i t eg r i dm e t h o d ，c g m ) 是在结合已有的有限元 数值方法优点的基础上得到的一种新的算法格式，其实质上是一种改进的f a c 方法。 本文主要由两个部分构成，即基于有限元程序自动生成系统( f e p g ) 的组合网格法和 组合网格法在焊接数值模拟中的应用。 首先介绍了对工程和科学计算中经常出现的局部奇异问题的一种新的算法基 于f e p g 的组合网格法，并对其算法以及在f e p g 中的实现进行了详细的讨论。组合 网格法采用两套网格求解，在整个求解区域采用较粗网格，并且不考虑奇异的影响，而 在奇异附近区域采用较细的网格，考虑奇异影响。整体粗网格求解和局部细网格求解反 复迭代，进而求得最终结果。组合网格法适应于非规则网格，即粗细网格皆可独立生 成，彼此互不制约，同时能真正地用于工程实际问题。 接下来详细地讨论了c g m 在焊接问题数值模拟中的应用。通过对激光焊接和搅拌 摩擦焊接的模拟，分别给出c g m 在二维和三维坐标中细网格静止以及相对移动情形的 应用。模拟的结果与一般有限元方法比较，由于网格数、节点数的减少，计算时间和系 统资源的耗费大为缩减。数值算例和工程中的实际应用表明，这些方法和软件是成功 的。 统 关键词：组合网格法，有限元，激光焊接，搅拌摩擦焊接，有限元程序自动生成系 i 中文文摘 科学计算特别是高性能、大规模科学计算越来越成为当今世界推动科学技术发展的 强大动力，科学研究和工程实际中对求解问题规模的要求也不断扩大。在工程和科学计 算中，许多大规模的，非常复杂的偏微分方程的数值求解，已经不能仅靠计算机硬件的 发展，必须依靠高效率的计算方法来提高计算能力，而计算方法又是科学计算的核心， 提高计算效率是数值计算的最终目的。 本文对工程和科学计算中经常出现的局部奇异问题提出了一种新的算法：基 于f e p g 的组合网格法c g m ，并给出该方法在焊接数值模拟中的应用。 本文由两个部分构成，共分为五章：第一部分介绍了有限元的基本数学理论，组合 网格法的算法格式等，是关于组合网格法的数学理论基础，包括第一、二两章。第二部 分主要介绍了组合网格法在焊接数值模拟中的应用问题，由第三、四、五章构成。 第一章介绍有限元方法的数学理论基础，包括s o b o l e v 空间理论、椭圆型方程边值 问题以及解的存在唯一性。 第二章，对本文数值实验所采用的数值模拟软件f e p g ( 有限元程序自动生成系 统) 以及基于f e p g 的有限元语言进行了简要的介绍，并且介绍了组合网格法的基本思 想、算法细节、计算流程以及该方法的f e p g 软件实现。 组合网格法采用两套网格求解，在整个求解区域采用较粗网格，并且不考虑奇异的 影响，而在奇异附近区域采用较细的网格，考虑奇异影响。两套网格都在各自区域上单 独剖分，互不影响，在细网格的边界上，引入插值矩阵d ，使粗细两套有限元空间的基 函数之间的能量积分变成为同一有限元空间的基函数之间的积分。整体粗网格求解和局 部细网格求解反复迭代，求得最终结果。c g m 适应于非规则网格，粗细网格皆可独立 生成，彼此互不制约。 组合网格法的设计是以f e p g 的基本框架为基础的。根据组合网格法地算法设计 和f e p g 的框架，组合网格法系统主要分为如下几个部分： 前处理；单元子程序；总刚和荷载计算；粗细网迭代求解；后处理及显示。 其算法格式如下： 步1 ：( 初始化) 置键= 0 ，鹋= 0 ，死= 0 ； 步2 ：计算俨+ 1 鼬，满足： ( l c 口n + 1 一五，雷) q = ( 厶也2 一五，雷) q ，一( ，呼一疗，否) q ，v 可鼬； i i i 福建师范大学陈文平硕士学位论文 步3 ：计算乱2 + 1 瓯和嵋+ 1 鼠，分别满足： 并篡ae 咖s h 嘶 嚣i 竺j ； ( l c 嵋+ 1 一五，雷) n ，一( l f u + 1 一办，面) q ，； 步5 ：( 收敛性判断) 若达到收敛( i i 口卅1 一俨i i s ，g 为给定精度) ，则计算结 j 口c 瓦0 t + 胪u v t = v ( k v t ) + 口 卜甓+ 施v 如+ v p = v 似v 牡) + 万 【丫t = o 在求解n a v i e r - s t o k e s 方程组时，采用算子分裂法( o p e r a t o rs p l i t t i n gm e t h o d ，o s m ) 如m 加褊唧- 3 一c 8 产刁j 这里p 为材料密度，c 为比热容，知为热传导系数，t 为温度，t 为时间，2 为笛 卡儿坐标系中的位置向量，缸= u ( z ，亡) 为速度向量，p = p ( 2 ，舌) 为流体压力，q 为热 源，肛为粘性系数，为外力，白为热流分布集中系数，= 素，风为热源开口半 径，日为热源熔池深度，q 为热源功率。 中文文摘 第四章中对搅拌摩擦焊接进行数值模拟，这是一种与激光焊接不同的焊接方式，可 以在无需达到熔点的情况下将金属薄片连接在一起。取焊件的尺寸为2 0 0 1 5 0 x 3 m m ， 焊头的转速为1 6 0 0r e v m i n ，焊头的移动速度为3 0 0m m m 伽。 热传导控制方程为： 肛警= v ( a v t ) + q 焊件与环境的对流换热边界条件满足n e u m a n n 条件： 一a 丽0 7 = k ( ? 一t o ) 热源处理上把由柱形肩具摩擦所产生的热部分作为面热源q ，由搅拌探针摩擦所产 生的热部分作为体热源q l ： q = , f f w r ，q l = k o 其中p 为焊件的材料密度，c 为比热容，入为热传导系数，h c 为温度t 的方程，7 = o 9 7 ，u 为焊头的转速，冗为点到柱形肩具中心的距离，= ( t ) 为温度的函数，k 为 比例系数。 第五章，结论与展望。 v a b s t r a c t c o m p o s i t eg r i dm e t h o d ( c g m ) i sd e v l o p e df r o me x i s t i n gn u m e r i c a lf i n i t ee l e m e n t m e t h o d s ，i ti sa ni m p r o v e df a gm e t h o de s s e n t i a l l y t h i 8p a p e rc o n s i s t so ft w op a r t s ：o n e r e s e a r c h e sm a i n l yo nt h ec o m p o s i t eg r i dm e t h o db a s e do nf e p g ，t h eo t h e rs t u d i e st h e a p p l i c a t i o no fc g m o i ln u m e r i c a ls i m u l a t i o no fw e l d i n g f i r s t l y , w ep r e s e n tan e wm e t h o d ：c o m p o s i t eg r i dm e t h o db a s e do nf e p g f o rf i n i t e e l e m e n tp r o b l e m sw i t hl o c a ls i n g u l a r i t yw h i c ho f t e no c c u r si ne n g i n e e r i n ga n ds c i e n t i f i c c o m p u t a t i o n w ed i s c u s si t sa l g o r i t h m sa n ds o f t w a r ei m p l e m e n t a t i o ni nd e t a i l 。c o m p o s i t e g r i dm e t h o du s e sac o a r s ea n df i n em e s hf o rt h eg l o b a la r e aa n dl o c a ls i n g u l a ra r e ar e s p e o - t i v e l y t h ee f f e c to fs i n g u l a r i t yi st a k e ni n t oc o n s i d e r e di nt h el o c a la r e a ，n o ti nt h eg l o b a l a r e a i ts o l v e st h ec o a r s ea n df i n em e s hp r o b l e m si t e r a t i v e l ya n dc a no b t a i nas o l u t i o n w i t ht h es a m ea c c u r a c y , b u tw i t hv e r ys m a l lc o m p u t a t i o n a n dt h em e s hc a nb ei r r e g u l a r ， s ot h i sm e t h o dc a nb eu s e dt os o l v et h ee n g i n e e r i n gp r a c t i c a lp r o b l e m s i nt h ef o l l o w i n g ，w ed i s c u s st h ea p p f i c a t i o no fc g mi nn u m e r i c a ls i m u l a t i o no fw e l d - i n g b ys i m u l a t et h el a s e rw e l d i n ga n df r i c t i o ns t i rw e l d i n g ，t h ea p p l i c a t i o no fc g m w i t h m o t i o n l e s so rr e l a t i v em o v eo fl o c a lf i n eg r i di n2 da n d3 dm o d e li sg i v e n ，t h es i m u l a t e r e s u l ti sc o m p a r e dw i t ht h a to ft h eg e n e r a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d f o rt h er e d u c t i o no fg r i d n u m b e ra n dn o d en u m b e r ，s y s t e mr e s o u r c ea n dc a l c u l a t et i m es a v e dg r e a t l y n u m e r i c a l e x a m p l e sa n dp r a c t i c a l i t ya p p l i c a t i o n si ne n g i n e e r i n gi n d i c a t et h i sm e t h o da n ds o f t w a r e a r es u c c e s s f u l k e yw o r d s ：c o m p o s i t eg r i dm e t h o d ，f i n i t ee l e m e n t ，l a s e rb e a mw e l d i n g ，f r i c t i o n s t i rw e l d i n g ，f e p g i i 福建师范大学硕士学位论文独创性和使用授权声明 本人( 姓名) 陈文平，学号2 q q 鱼q 鱼昼! ，专业应用数学所呈交的 论文( 论文题目：组合网格法及其在焊接数值模拟中的应用) 是本人在 导师指导下，独立进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除论文 中已特别标明引用和致谢的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 、 经发表或撰写过的研究成果。对本论文的研究工作做出贡献的个人或集 体，均已在论文中作了明确说明并表示谢意，由此产生的一切法律结果均 由本人承担。 本人完全了解福建师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：福建 师范大学有权保留学位论文( 含纸质版和电子版) ，并允许论文被查阅和 借阅；本人授权福建师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文，并按国家有关规定， ? 向有关部门或机构( 如国家图书馆、中国科学技术信息研究所等) 送交学 位论文( 含纸质版和电子版) 。 ( 保密的学位论文在解密后亦遵守本声明) 学位论文作者签名：储、支彳 签字日期：2 d 夕厂秽月阳日 指导教师签名：多侈芬瓦 签字日期：1 年厂删日 绪论 组合网格法背景 在科学工程的实际计算中，计算的区域往往比较复杂。例如在焊接的热力学问题 中，由于加热的区域尺寸只有几十厘米、十几厘米，甚至有的只有几毫米宽，而整个计 算模型的尺寸是上百米；如果在整体中考虑有限元计算，那么整体有限元的网格剖分将 十分困难，而且即使能剖分网格，也会造成节点过多、计算的精度大为降低或者根本无 法进行计算等问题。 类似的奇异问题还有：地质结构的断层问题；油藏工程中注水驱油问题；热力学中 不连续传热系数问题；电动机气隙的极薄导致解在气隙周围的变化很快；变压器薄钢板 的涡流分析等问题。 近年来出现了很多改进奇异问题计算精度的方法，例如采用非拟一致网格替代拟一 致网格：用无限元或奇异元替代一般有限元；用局部网格细分代替整体网格细分。在工 程应用中，局部网格细分最受欢迎，原因是很多科学和工程问题中，往往关注的焦点是 解在某些关键区域的特性，要求在这些关键位置上达到比整体区域更可靠的数值结果。 这除了在构造物理模型时，局部区域数据应当比其它地方更精密外，加强这些关键区域 离散和求解精度，又不因这种局部化现象而使计算量急剧增加是非常重要的。 现在一般采用的是局部加密的非规则网格求解方法一局部网格加密法，即对整个求 解区域进行非结构化网格划分，并使得奇异所在的局部区域网格尺寸相对减小。 由于采用了局部加密技术，只需在解的梯度变化大的区域进行加密，而在其它区域 使用尺寸相对较大的网格，从而可以用适当的计算量来获得所需精度的解，所以此方法 一直被工程界广泛使用，现在研究得很热的自适应处理就是以局部加密为其主要组成部 分。 虽然用部网格加密法能较好地解决带有局部特性( 如奇性) 的有限元问题，但是这 一方法的适用性是要满足以下条件的： ( 1 ) 由于非结构化( 或非规则性) ，要求整个区域的网格质量很好； ( 2 ) 由于要使得网格质量高以及整个网格的单元数( 或节点数) 不至于过多，要 求网格的尺寸过渡非常光滑。 二维网格的生成能够很好地满足这两个条件，因此对于二维局部奇异问题，工程计 1 福建师范大学陈文平硕士学位论文 算中都采用局部网格加密法。在三维情形下，由于非结构化网格的自动生成没有二维情 形成熟，即使是四面体网格的生成，如果区域复杂，也会出现单元质量差、单元尺寸过 渡不光滑、网格构造失败等现象，而六面体网格至今还没有有效的方法来生成具有局部 加密特性的网格，而且有效地局部化经常与可靠计算相冲突。 为了解决以上问题，一方面研究网格自动生成的学者不断地研究出新的网格生成方 法，另一方面，计算数学家们则致力于研究新的计算方法例如多重网格自适应技术、快 速自适应网格法等方法来处理这一类问题。正是在这样的背景下，快速自适应组合网格 方法( f a s ta d a p t i v ec o m p o s i t eg r i dm e t h o d ，简称f a c ) 应运而生。 f a c 方法最早由m c c o r m i c k 于1 9 8 4 年提出【1 】，1 9 8 6 年m c c o r m i c k 和t h o m a s 推 广于椭圆型问题及其它计算区域踢，同年h a r t 和m c c o r m i c k 又发展了异步观点f 3 】，提 出异步快速自适应组合网格( a f a c ) 使各精细水平网方程可以同时甚至混乱执行求解 过程。在1 9 8 8 年，m c c o r m i c k 对f a c 作了全新区域分解算法解释【4 】，使f a c 收敛理论 被归结于p l l i o n s 的s c h w a r z 方法投影观点。m c c o r m i c k 还借助于子空间交角概念， 使f a c 收敛理论有了清楚的几何解释。 f a c 既是离散方法，又是求解方法【5 】。其思想是设计多套网格，借助于快速算法 在规则网格上有效地求出局部解，最终在非规则网格上用规则网格方法求出满意的离 散近似。由于无论离散和求解在规则网格上都要比在不规则网格上要容易得多，。这使 得l a c 成为一种相当有效的解决方法。 然而由于f a c 要求规则网格，在实际工程问题中区域的复杂性往往使得规则网格 无法得到，即使整体网格已经为规则网格，而局部区域的复杂性又会造成局部规则网 格很难得到。f a c 的计算格式又因为是建立在网格嵌套的基础之上，如果无法做到嵌 套，那么几乎所有的计算都很难进行。这些限制使得f a c 的应用有很大的局限性， 因此实际应用中，大部分工程人员使用的是整体局部方法( g l o b a l - l o c a lm e t h o d ，简 称g l m ) f 6 7 】，然而这一方法的效果又远不及f a c 。 组合网格法( c o m p o s i t eg r i dm e t h o d ，简称c g m ) 是把g l m 和f a c 结合起来 的新算法，f a c 方法在对想要得到真解的位置进行局部网格加密处理，并从初始解开 始，反复交替地在粗细网格间进行误差校正。c g m 继承了f a c 的这一思想，同时又 通过引入插值矩阵克服了f a c 要求粗细网格嵌套的限制。组合网格法综合了两者的优 点，其具有以下优点： 一、网格生成更加灵活，各子区域离散可以彼此独立进行； 2 绪论 二、可以根据需要对子区域进行网格加密； 三、允许将各子区域不同的变分离散形式耦合求解，如有限元法和谱方法； 四、处理带时间项的瞬态问题时，由于网格彼此独立，易于实现网格的相对移动， 避免在每一时间步建立新网格； 五、适合处理多场耦合，整体和局部的算子可以不相同； 六、程序实现简单，适应于并行计算。 本文讨论的组合网格算法即是粗细网格分别采用不同算子的方法，并使用组合网格 法对焊接过程进行了模拟。 3 第一章有限元方法基本理论 1 1 引言 有限单元的思想最早是由c o u r a n t 于1 9 4 3 年提出的。到了2 0 世纪5 0 年代， 由于工程分析的需要，有限元方法最先在复杂的航空结构分析中得到应用，而有限 元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 这个名称则由c l o u g h 于1 9 6 0 年在其著作中首先提出 的【8 j 。2 0 世纪6 0 年代初，中国科学院计算数学与科学工程计算研究所( 其前身为中国 科学院计算中心) 的冯康先生独立于西方学者提出了有限元方法的基本思想和框架，他 的基于变分原理的差分格式【9 】一文奠定了有限元方法的理论基础。几十年来，以变 分原理为基础建立起来的有限元法，因其理论依据的普遍性，不仅广泛地被应用于各种 结构工程问题，而且作为一种声誉很高的数值分析方法，已被普遍推广并成功地用来解 决其他工程科技领域的实际问题，例如热传导、固体力学、流体力学、弹性力学、工程 电磁场问题等等。 有限元方法是一种求解偏微分方程的数值方法，本章主要介绍有限元的一些基本理 论，包括有限元空间的定义及其性质，弱解及有限元数值解存在唯一性的基本定理。 1 2s o b o l e v 空间 有限元方法的基础是变分原理，为保证偏微分方程数值解的正确性，要求偏微分方 程的边值的提法是正确的，也就是要求有限元解满足存在性、唯一性和稳定性( 适定 性) 。有限元能够作为古典变分方法的革新与发展，采用分片多项式插值函数类作为其 子空间是个关键。 下面首先阐述s o b o l e v 空间【l o 】的定义及一些基本性质。 1 2 1 汐( q ) 空间 设q 是舻中一个区域，p 是正实数，定义函数空间： z ( a ) 全 ，ee ( 叭加p d x 0 ，i = 1 ，m ，鼽= l ，则有 | ，m i 如i i f l l lp 1 l i 厶0 加 ，n 3 s c h w a x z 不等式： 当p = q = 2 时，h s l d e r 不等式为 l f g d x i i f i l l = l l 夕i i 肛 ，n 4 m i n k o w s k i 不等式： 1 p o o ，f ，夕驴( q ) ，贝0 i i ，+ 夕| i p ( o ) j i f i l l ，( 哟+ 1 1 9 i i p ( q ) 1 2 2 广义导数和s o b o l e v 空间 令q 形，舒( q ) 表示q 中具有紧支集的无穷次可微函数( c 。函数) 的集 合 1 1 ，1 6 】： c 矿( q ) 垒 ，g ，s u p p fc cq ) 。 6 第一章有限元方法基本理论 令( q ) = 0 ，使得口0 ，钌) a l l v l l 2 ，讹v 。 其中”0 表示由y 的内积( ，) 所对应的范数。又设f ( v ) 是y 上的有界线性泛 函，那么，变分方程 n ( u ，u ) = f ( ) ，v v v 存在唯一解t v ，且有估计式 1 1 u 1 1 云i i f l l 其中i i | i 表示y 的对偶空间的范数，即i i f i i ，= s u u y p 三帝萨 1 4 有限元方法基础 椭圆型偏微分方程有限元方法的基础建立在弱形式、区域分解与经典g a l e r k i n 方 法三者之上。有限元方法可以认为是g a l e r k i n 方法的特殊情形，不同之处在于经典 的g a l e r k i n 方法使用光滑函数作为试探函数，而有限元方法使用的是分片多项式作为试 探函数。有限元方法比差分法更容易处理复杂的边界问题，由于剖分灵活，又继承了差 分法稀疏矩阵的优点，有限元方法与经典的g a l e r k i n 方法相比较，是目前工程领域中应 用最广泛的数值模拟方法。 8 第一章有限元方法基本理论 1 4 1r i t z - g a l e r k i n 方法 1 y 椭圆性：如果y 上双线性泛函a ( ，) 满足： 称d ( ，) 是v 椭圆的。 2 r i t z - g a l e r k i n 方法【1 4 】：考虑椭圆型方程： ，n l 一马( a i i d i u ) + d u = ，在q 中 li d - - - - 1 n a q d t u v l = ，在r l 上 l 幻- 1 iu = 0在r o 上 刍，y 0 使口( 仳，u ) ，yi i u 0 移，贝q ( 1 4 1 ) 的弱解。 构造函数空间v = u h 1 ) ：i r o = o ) ，构造双线性形式 a c u m = 上( 荨叼皿u 功 + 妣) 如 c 1 4 2 ， 称口( t ，u ) 为v 椭圆的，如果矩阵( 凸嵇) 是对称一致正定的，a 厶( q ) 且d 0 。 由分部积分可知： 方程( 1 4 1 ) 等价于求u v ，满足 口( u ， ) = 上如出+ z 。夕u d s ，( u ) = f y v d x + 七。g v d s 是v 上的连续线性泛函。 r i t z g a l e r k i n 方法是在v 上寻求一族有限维子空间t ，i i o 满足 v h 。cv h 。cv 当h t k( 1 4 3 ) 与之相应的近似解扩则满足 a ( u h ，扩) = ，( 矿) ，v v ( 1 4 4 ) 由于是有限维的，解( 1 4 4 ) 等价于求解代数方程组。在一定条件下u 存在且 唯一，而且当h 一0 时，矿收敛于真解乱 1 5 ，1 9 1 。 9 福建师范大学陈文平硕士学位论文 1 4 2 有限元空间 有限元定义【1 8 】 有限元指的是一个集合( e ，只) ，这里ec 舻是具有非空开核的闭集，w ( e ) 是e 上的某个函数空间，w + ( e ) 为w ( e ) 的共轭空间，e 是w ( e ) 的有限维子空间，协，1 n 是e 的基函数，称为的自由度，p 是w ( e ) 的维子空间，它有一个 基p i ，1 i n ，关于 慨) 磐l 构成双正交系 忱幻) = 翰( 1 4 5 ) 即p p ，皆郁= 慨0 切t 。 称( 曰，p ) 为l a g r a n g e 有限元，如果存在a iee ，使得协被定义为仇：p _ p ( n i ) 。反之，若至少有一个出现偏导数时就称为h e r m i t e 元。 有限元空间【9 】( 线性) 设q 是辟中有界多角形区域，对其进行三角剖分：记为了 = e ) ，孬= ue ，h = m a x ，h e 为三角形e 的外接圆直径。如果q 是光滑区域，则令q j l = 7 e e j a ue ，即q 被多角形q ，i 逼近。对剖分矿加以限制：设e l 和e 2 是歹 中不同的两个 单元，则e 1ne 2 为空集或有公共顶点或边。令 = s ( q ) = 【u c ：御i 。p ( e ) ，v e 矿) 称为q 上分片线性连续函数空间，简称为线性有限元空间。且有 s ( q ) ch 1 ( q ) ；醋= s h ，v l a a = o ) c 硪( q ) 。 1 0 ( 1 4 6 ) 第二章组合网格法( c g m ) 2 1引言 本章介绍的是基于f e p g 的组合网格法，首先简要介绍了f e p g 、基于f e p g 的 有限元语言。 2 2 有限元程序自动生成系统( f e p g ) 有限元方法的原理是微分方程弱解形式( 即力学的虚位移原理) 1 1 6 - 1 8 ，是当今求解 偏微分方程的最有效的数值方法。有限元程序自动生成系统( f i n i t ee l e m e n tp r o g r a m g e n e r a t o r ，f e p g ) 1 2 4 - 2 6 采用了三项软件技术：自动生成技术、组件化技术及公式库 技术，可以将用户应用有限元语言编写的微分方程表达式和算法文件编译成f o r t r a n 源 代码，供有限元软件开发和科学与工程计算之用。 2 2 1 基于f e p g 的有限元语言 f e p g 系统规定了一种统一的描述性语言，用来描述有限元问题，称之为有限元 ( 描述) 语言。这种语言使用户能准确地按照f e p g 系统的要求给出所要求解的偏微分 方程及其采用的求解算法，它非常接近有限元书籍叙述有限元方法和有限元问题时所采 用的专业表述语言幽。 f e p g 系统把这种有限元语言分为两大部分：一部分称为微分方程描述文件，描述 微分方程表达式；另一部分描述求解偏微分方程的有限元算法，即描述一个非线性偏微 分方程如何线性化，依赖时间的问题如何对时间进行离散，并给出计算流程和迭代的控 制。 对于第二部分，f e p g 系统提供了两种表达方式： 第一种方式要求用户填写两类文件，第一种类型文件给出线性代数方程组的系数矩 阵和右端项表达式，以及迭代步的控制内容，称为算法描述文件。第二种类型文件给出 有限元计算程序的流程，称为命令流文件。这种方式较适合单一场问题的求解，适用于 线性和非线性、稳态和非稳态任意多自由度( 即任意多偏微分方程) 的有限元问题。 第二种方式主要是针对多场耦合文件的问题。我们通过填写一个以g c n 为扩展名 的文件，给出每个场的单场信息、各个场之间的耦合关系和求解顺序等。 关于以上提到的几种类型文件的具体填写可参阅文献 2 4 ，2 5 】。 1 1 福建师范大学陈文平硕士学位论文 2 2 2f e p g 基本框架 f e p g 采用组件化程序设计技术与软件自动生成技术相结合的思想，将有限元计 算程序分解为若干个元件程序 2 7 ，2 s 。这些元件程序每一个都是完整的f p r t r a n 源程 序，可以单独进行编译、链接和运行，完成各自独立的功能。f e p g 系统把所要执行的 元件程序按照一定的先后顺序以规定的命令流格式写在一个文件中，由f e p g 系统自动 生成相应的批命令文件，然后运行这个批命令文件，由操作系统解释执行即可，各元件 程序之间的通信通过磁盘文件的读写完成。 f e p g 系统生成的有限元计算程序由s t a r t 、b f t 、s o l v 以及e 、u 五个元件程 序组成，其中e 和u 两个元件程序由系统根据用户给出的微分方程表达式自动生成， 其余三个元件程序由系统给出，不随表达式的变动而变动。以下简要说明这五个元件程 序的基本功能。 s t a r t 元件：该元件程序给出每个节点的各个自由度与将要形成的代数方程组的 方程号的对应关系以及解的初值。 b f t 元件：该元件程序的主要功能是对瞬态问题给出每一时刻的边值，即指定节点 位移和载荷，以及对时间的更新、生成保存计算结果的批命令文件“p o s t b a t ”。 e 元件程序；此元件程序用于计算单元刚度矩阵，单元质量矩阵，单元阻尼矩阵和 单元载荷等，并把他们由节点各自由度表示转换成由代数方程组的变量表示，同时处理 边界条件，并形成代数方程组的右端项。 s o l v 求解器：求解器用于迭加形成总体刚度矩阵以及求解线性代数方程组。 u 元件程序：u 元件程序用于把求解器求出的变量值转换回到节点各自由度的位移 以及其它后处理计算。 2 2 3 与其它有限元程序的比较 最近2 0 多年出现了很多功能强大的通用有限元商用软件，如n a s t r a n 、p a t r a n 、 a d i n a 、a b a q u s 、a n s y s 等软件。表2 1 是对a n s y s 等应用软件与f e p g 系统的 详细对比【2 9 ，3 0 】。 1 2 第二章组合网格法( c g m ) 表2 1 ：a n s y s 等应用软件与f e p g 系统的对比 旦旦里望竺呈篁望呈q 盟坐些塾皇兰塑旦! ! 璺壁i 旦里璺垡堕堕望 a n s y s 、a d i n a 等通用有限元软件 f e p g f e p g 系统通过内存动态分配，可以最大限度地利用内存资源。由于f e p g 系统 按需要生成程序，容易得到高精度的计算结果，相对于本文所使用的国产有限元计算软 件有限元程序自动生成系统( f e p g ) 而言，通用有限元软件并不通用，只能求解 很少的一部分有限元问题。而f e p g 采用了软件自动生成技术与组件化程序设计方法， 可以由计算机自动产生f o r t r a n 程序，突破了目前有限元软件只适用于特定领域和 特定问题的限制。 2 3 分片多项式的形函数 有限元方法的基本思想是将总体求解域上的场函数的弱形式积分看成是由子域( 单 元) 的弱形式积分所构成。有限元利用自然坐标建立起单元的插值函数，用单元节点的 插值形式表示场函数：再利用数值积分计算出单元的弱形式积分；通过单元集成，形成 以节点场函数值为未知量的代数方程组，求解该代数方程组即得求解域上场函数的近似 解。 因为不同阶次幂函数的多项式具有便于运算和易于满足收敛性要求的优点，有 1 3 福建师范大学陈文平硕士学位论文 限元方法中几乎全部采用这种单元插值函数的形式。以下结合有限元中经常使用 的l a g r a m g e 插值函数讨论二维单元插值函数的构造【2 4 3 1 】。一维和三维单元插值函数的 构造见附录部分。 2 3 1 二维单元 如图2 _ 1 所示，对每个方向上有两个节点的4 节点矩形单元，利用一维l a g - r a n g e 单 元的插值函数，构造第f + 1 列j + 1 行节点t 的插值函数胍，考虑自然坐标，田两个 方向的l a g r a a g e 多项式： m 沪麓 蛐) 2 石q 7 - - 石w m 4 聋 l：2 1 图2 1 ：4 节点矩形单元 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 其中，j = 0 ，l ，k ，m j ，对应于j + 1 列，+ 1 行上的插值函数表示为 m = m j = ：，( 专) 2 j ( 叼) 代入岛= w o = - 1 ，矗= m = 1 ，得到： l = 2 0 “忙器而1 - - 7 7 1 = 等哥= 掣 2 = j 0 2 0 ( 栌麓蒜= 等百7 - 1 = 掣 3 = 2 0 ：o ( 忙器而7 - - q t o = 等型- - 2 = 掣 l _ f 0 ：0 ( 忙戳蒜= 哥型- 2 = 掣 1 4 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 ，3 7 ) 第二章组合网格法( c g m ) 由有限元语言表示为 s h a p l l - - - - u l = ( 1 - ) 2 木( 1 - r y ) 2 u 2 = ( 1 + ) 2 木( 1 一r y ) 2 u 3 = ( 1 - + d 【) 2 木( 1 + r y ) 2 u 4 = ( 1 - = ) 2 木( 1 + r y ) 2 构造三角形单元时引入面积坐标的概念。如图2 - 2 ，三角形中任一点p 与其三个顶 点相连形成三个子三角形。 图2 2 ：三角形面积坐标 以原三角形的三边所对的角码来命名这3 个子三角形的面积，即巧m 面 积为a ，a p m i 面积为如，p 巧面积为。p 点的位置可由3 个比值来确定， 即尸( 厶，l j ，k ) ，其中 厶= 鲁，岛= 百a j ，k = 鲁 a 是三角形面积，因此有a + 如+ a m = a ，称厶，岛，k 为面积坐标。显然有 己+ 岛+ l m = 1 ( 2 3 8 ) 3 个面积坐标中只有2 个是独立的。由于三角形的面积坐标与该三角形的具体形状以及 在总体坐标中的位置无关，因此它是三角形的一种自然坐标。 如图2 - 3 所示，通过面积坐标用l a g r a n g e 插值构造3 节点三角形的插值函数。 1 5 福建师范大学陈文平硕士学位论文 图2 3 ：面积坐标下3 节点三角形单元 3 节点三角形单元形函数m 可表示为 = 娶1 孤f ) ( 丽l 1 , l 2 , l s ) ( 2 3 q 乃( l l ，l 2 ，l 3 ) 是通过除i 节点以外的所有节点的直线方程乃( l 1 ，l 2 ，l 3 ) = 0 的左端 项。乃( l 1 i ，l 2 1 ，l s l ) 表示歹边所对应的t 节点的面积坐标厶的值，于是有、 旭= 娶1 孺f ( i ) ( 再l 1 , l 2 函, l 3 ) = 鲁乩 ( 2 3 加) 由有限元语言，3 节点三角形插值函数如下 s h a p u 2 u l = r x u 2 ：r y u 3 = ( 1 一r x - r y ) 其中u 为未知函数，u 1 ，u 2 ，u 3 为未知函数在三个节点的值，r x ，i t 表示面积坐标。 2 3 2等参单元 使用较少的规则形状的单元来离散几何形状比较复杂的求解区域往往很困难，因此 需要采用适当的方法将规则形状的单元转化为边界为曲线或曲面的相应单元，有限元方 法中普遍采用的是等参变换方法。采用等参变换的单元称为等参元。 1 6 第二章组合网格法( c g m ) 为了满足对一般形状求解区域进行空间离散化的要求，将局部( 自然) 坐标中几何 形状规则的单元转换成总体坐标中几何形状扭曲的单元，建立如下的坐标变换 m i 或，i l l 1 如 l 3 ( 2 3 1 1 ) 为了建立前面所述的变换，将坐标( 2 3 1 1 ) 表示成插值函数的形式 mm z = 川甄，= 吖执 ( 2 3 1 2 ) i = lt = 1 m 为用以进行坐标变换的单元节点数，戤，玑是这些节点在总体坐标内的坐标值，川为 用局部坐标表示的插值函数。式( 2 3 1 2 ) 和( 2 3 1 1 ) 在本质上是相同的。如果坐标变换 和函数插值采用相同的节点，并且采用相同的插值函数，即而= n ，联= m ，则称这 种变换为等参变换。 有限元语言对求解区域采用等参元进行离散，在g e s 文件的t r a n 信息段中给出 坐标变换的表示，二维3 节点三角形单元相应的坐标变换为 t r a n x 2 x o ) = r x x ( 2 ) = 巧 x ( 3 ) = ( 1 一r x - r y ) y = y ( 1 ) = r x y ( 2 ) = r y y ( 3 ) = ( 1 - r x - r y ) 其中r x ，r y 为面积坐标。 为建立总体区域下求解的方程，对各个单元进行体积内或面积内的积分，二维情形 中，等参单元坐标变换的j a c o b i 矩阵应为 j = 裂= ( 2 3 1 3 ) 州一* 州百m等：l 戤 飘 州一西州百m：ig汹 福建师范大学陈文平硕士学位论文 ( 2 3 1 4 ) 雾) = j 一1 雾) c 2 3 1 5 ， 拈2 + ( 引胆悃却 协3 m ， 当自然坐标采用面积( 体积) 坐标时，要注意面积坐标或体积坐标不是完全独立的，对 警：盟一盟(2319)ol一= lz jy 哭io l a 、_ 一7 磐：豢一塑(2320)ol一= iz 1z l j i a 叼a l 23 、7 2 4 常用网格剖分技术 1 8 、_、 玑 驰 ； 妮 研 观 ，j-。-一 纵一必嗷一却 州一必州一却州页州百 i l 第二章组合网格法( c g m ) 2 4 1 整体局部法 整体局部法是工程界在精度要求不高的情况下常采用的一种方法。 整体局部法的实质是：首先在粗网格上求得一整体解，用该解在细网边界的插值作 为细网格问题的边值，然后再求解这一给定边值问题，得到局部区域精度被改善的解。 整体局部法不要求粗细网嵌套，且易于实现，由于整体局部法采用插值边界条件，且只 是简单地粗细网求解一次，没有迭代，所以它的解得精度不是很高f 3 3 】。 2 4 2 局部网格加密 局部加密在绪论中已有介绍，由于该方法在三维情形效果不理想，为了解决问题， 一方面研究网格自动生成的学者不断地研究出新的网格生成方法，另一方面，计算数学 家们则致力于研究新的计算方法例如多重网格自适应技术，快速自适应网格法等来处理 这一类问题。 2 4 3 快速自适应组合网格法( f a c ) f a c 主要思想是设计多套网格，借助于快速算法在规则网格上求出局部解，最终在 非规则网格上用规则网格方法求出满意的离散近似，既是离散方法，又是求解方法。因 为在规则网格上无论是离散还是求解都比在不规则网格要容易得多，这使得f a c 成为 很有效的方法【5 ，3 6 1 。 由于f a c 的高效性是以“嵌套 和“结构化或规则 的网格为条件的。工程实际 中许多问题是很难满足这两个条件。 2 5 基于f e p g 的组合网格法 2 5 1 基本思想 组合网格法( c g m ) 是在结合这些有限元数值方法优点的基础上得到的一种新的算 法格式，它可以使用非规则网格，也不要求网格嵌套，能有效地用于解决工程实际问 题。组合网格法的实质是一种改进的f a c 方法。f a c 方法在对想要得到真解的位置进 行局部网格加密处理，并从初始解开始，反复交替地在粗细网格问进行误差校正，直至 收敛。c g m 继承了f a c 的这一思想，同时又通过引入插值矩阵克服了f a c 要求粗细 网格嵌套的限制。 1 9 福建师范大学陈文平硕士学位论文 2 5 2 算法格式 为叙述方便，考虑简单的椭圆型奇次边值问题： l 厶一丸饥眈， ( 2 讪 i l c u = ，i nq ，v l r = 乱i r ， 其中q 为一多角形区域，r 为q 和q ，的交线( 面) ，工。，l 1 分别为q 。，q ，上的椭圆 微分算子。 对q 和q ，分别进行网格剖分，得到粗网格码和细网格靠( t h 比功网格尺寸 小很多) ，码和a 不一定是规则网格，并有相应的有限元空间翰和瓯，如图2 4 所 示。 圃乙 图2 4 ：组合网格模型 c o m p o s i