（理论物理专业论文）一维量子导线中双杂质模型的电子输运性质的研究.pdf

浙汀师范大学硕十学能论文 摘要 本沦文对含双杂质的一维量子导线的电子输运问题做了较系统的研究，并 得出了一些重要的结论，对量子器件的设计提供了重要的理论指导。 首先，我们介绍了这个含双杂质的一维量子导线模型，井借助于一系列能 量参数来表征这个模型的特征，这些参数分别为：链中主原子和杂质原子的在 位能，杂质与两端链间的耦合强度，链中主原子间和两杂质问的耦合强度。基 于这个模型的特点，采用了单通道散射理论，而且在紧束缚近似下，采用了转 移矩阵法，从而求得了该模型的几个重要物理量的解析解：束缚态，透射系数 和态密度的变化量。 其次，为了能更好地理解这种含双杂质的维最子链的输运性质，我们先 回顾了下更简单的申杂质模型的输运性质。然后，我们对杂质与两端的耦合 对称的双杂质模犁进行了详细的研究，先对双杂质模犁细分为对称双杂质模犁 ( 两杂质的在位能相等) 和反对称双杂质模型( 两杂质的在位能相反) ，我们 对两模型都作了以下几方面的研究：束缚态，透射系数，态密度变化量随杂质 问耦合强度和杂质一链间耦台强度的变化情况，承点讨论了束缚态和透射系数 最人值之问的密切联系，态密度的变化量与透射系数之间的联系。其中，束缚 态和态密度的变化量的研究主要是为了更好的理解透射系数的变化过程，从而 对模型的输运性质有更好的认识。具体的研究结果表明，双杂质模型的某些结 果与单杂质模型差异很大，如束缚态与透射系数最大值间的联系。根据透射系 数最大值随杂质一链间耦合强度变化过程中出现的一些急剧跳变结构，我们提 出了一种新的设计量子开关的机理。这也是本论文的最重要的部分。 最后，我们对所作的研究进行了总结，得出了一些重要的结论，并对分子 器件的设计提出了一点构想。 关键词：双杂质模型；电了输运；束缚态；透射系数；态密度；分- 了器件 浙汀师范太学硕士学位论空 a b s t r a c t i nt h i sw o r kw et a k ead e t a i li n v e s t i g a t i o no nt h ee l e c t r o n i ct r a n s m i s s i o np r o p e r - t i e so fao n e d i m e n s i o n a lm e t a l l i cc h a i nw i t ht w oi m p u r i t i e se m b e d d e dc o m p a c t l yi n i t s o m ei m p o r t a n tc o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e d ，w h i c ha r ev a l u a b l ei nd e s i g n i n gq u a n t u m d e v i c e s f i r s t ，w ed e s c r i b et h e o n e d i m e n s i o n a lq u a n t u mm e t a l l i cc h a i nw i t ht w o i m p u r i t i e s e m b e d d e dc o m p a c t l yi ni te m p l o y i n gas e to fe n e r g yp a r a m e t e r s t h e ya r et h es i t e e n e r g yo fh o s ta t o m sa n di m p u r i t i e s ，i n t e r - c o u p l i n gb e t w e e n t h et w oi m p u r i t ya t o m s ， i m p u r i t y - l e a dc o u p l i n gr e s p e c t i v e l y b a s e do ns i n g l e - c h a n n e ls c a t t e r i n gt h e o r y , s o m e i m p o r t a n tp h y s i c a lq u a n t i t i e sa r ea n a l y t i c a l l yc a l c u l a t e dv i at h et i g h t - b i n d i n gm o d e l w i t ht h eh e l po ft h et r a n s f e r - m a t r i xt e c h n i q u e ，b o u n ds t a t e s ，t r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n t a n dd i f f e r e n t i a ld e n s i t yo f s t a t e sa r ei n c l u d e d n e x t ，w er e v i e wt h ec o n c l u s i o n so ft h es i n g l e i m p u r i t ym o d e lt ou n d e r s t a n dt h e d o u b l e i m p u r i t ym o d e lb e t t e r t h e n ，t h ed o u b l e i m p u r i t ym o d e li ss t u d i e di nd e t a i l w ec o n s i d e rs e p a r a t e l yt w oc a s e s ，n a m e l y , t h es y m m e t r i cd o u b l e i m p u r i t ym o d e la n d t h ea n t i s y m m e t r i c d o u b l e i m p u r i t ym o d e l w i t ht h es i t ee n e r g yo f t w oi m p u r i t i e sw h i c h a r ee q u a la n do p p o s i t er e s p e c t i v e l y w ei n v e s t i g a t et h ef o l l o w i n ga s p e c t si nt h et w o c a s e s ：t h ed e p e n d e n c eo nt h ee l e c t r o n i ct r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n to ft h es i t ee n e r g ya n d t h ei n t e r - c o u p l i n ga n d i m p u d 哆一l e a dc o u p l i n g a r e a n a l y z e d i nd e t a i l t h eb o u n ds t a t e s a n dd i f f e r e n t i a ld e n s i t yo f s t a t e sa r ea l s od i s c u s s e di no r d e rt oh e l pi nt h e u n d e r s t a n d i n g o ft h et r a n s m i s s i o nc o e 币c i e n tv a r i a t i o n s ，b a s e do nn u m e r i c a lr e s u l t sw ef o u n ds o m e i n t e r e s t i n gp h y s i c a lp r o p e r t i e sf o rt h et w oi m p u r i t i e sp r o b l e m ，s o m eo f w h i c ha r ev e r y d i f f e r e n tf r o mt h o s eo fo n e i m p u r i t yp r o b l e mu n d e r s t o o db e f o r e f o re x a m p l e ，t h e r e l a t i o nb e t w e e nt r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n ta n db a n ds t a t e s w ea l s of o u n dt h a tt h e a b r u p t c h a n g ei nt r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n tm a y o c c u rb yi n c r e a s i n gt h ei m p u r i t y l e a dc o u p l i n g t h i sc h a r a c t e r i s t i ch a sa p p e a l i n ga p p l i c a t i o np o t e n t i a li nd e s i g n i n gd e v i c e s ，s u c ha s m o l e c u l a rs w i t c h t h i sp a r ti st h em o s t i m p o r t a n ti nt h i sp a p e r f i n a l l y ，w es u m m a r y t h ew h o l ew o r k ，a n do b t a i ns o m e i m p o r t a n tc o n c l u s i o n s i n a d d i t i o na ni d e ai nd e s i g n i n gq u a n t u md e v i c e si sp r o p o s e d k e yw o r d s ：d o u b l e - i m p u r ；e l e c t r o n i ct r a n s p o r t ；b o u n ds t a t e s ；t r a n s m i s s i o nc o e f - 一i j 浙江师范大学硕士学位沦文 f i c i e n t ；d e n s i t yo fs t a t e s ；m o l e c u l a rd e v i c e i i t 浙江师范大学硕士学位论文 第一章前言 半个多世纪以来，随着计算机基本单元( 晶体管) 的越来越小，计算机的 集成度不断提高，其计算功能日益强大。然而，到了七十年代后，计算机的发 展逐渐变得缓慢了。随着集成度的提高，芯片中的传统半导体器件的尺寸不断 地缩小，研究表明当尺寸小到1 0 0 纳米及以下时，这种传统的半导体器件不但 很难制作，成本又高，而且会受到量子力学定律的束缚将不能很好地工作。因 而，在不久的将来就要达到极限，这种状况严重阻碍了计算机的发展。 为将电路元件进一步缩小，甚至希望达到纳米尺度，研究人员开始探索 传统半导体器件的替代物。早在7 0 年代初，a v i r a m 和r a t h e r 就提出了分子器件 的设想，并丌始研究具有电子开关性质的单个分子器件，可以说最先提出了 关于分子整流的理论，从此拉开了分子器件时代的帷幕。在开始阶段，在分 子器件这方面的研究由r 设备和技术条件不够丽困难重重，直n 8 0 年代后， 随着扫描隧道显微镜( s t m ) 和原子力显微镜( a f m ) 的发明，加上分子自组装技 术的成熟，使得在原子尺度上设计器件成为可能”3 。“”，这大人促进了分子 器件研究的发展。8 0 年代后期和9 0 年代，对分子器件的研究掀起了热潮。一 些实验小组对大量分子的电导率进行了实验测量8 “。“”1 。经过科研工作者的 大量研究，被认为最具备将来能够替代传统半导体器件材料的有这么几类：碳 纳米管”4 ”“1 ”1 ，某些有机分子，如，单个苯分子”类聚苯分子m 2 ”。1 ， 富勒烯”2 ”及其它，对这些材料的导电性及其它性质进行了理论分析和实验 测量。而且，尝试了将一些有机分子设计成分子导线。”。”2 。”1 ，分子器件， 由分子组成的电路”1 同时也得到了很多鼓舞人心的成果。如，美国哈佛大 学f l , j c l i e b e r 等人9 1 ”1 用交叉的纳米线( n a n o w i r e ) 做成了二极管和场效应晶体 管( f e t ) 。荷兰台尔福( d e l f t ) 大学的c 。d e k k e r 等”用纳米碳管制各f e t 。美国贝 尔实验室的鲍哲南等”用有机分子制备f e t 。 然而，现在虽然在材料方面有某些突破，但距实用化还相差很远，通过科 研人员的努力，虽然某些分子已经能够初步表现出丁f 关，存储和整流等基本功 能，但扶优良的性能来说，比如开关材科要求的擦写次数，存储材料要求写入 速度等都还没能达到高指标。所以，专家提醒肿，要解决这些问题还必须加强 基础研究。当器件的尺寸小到纳米量级，电子的输运性质更多地表现出量子 特性。在理论上对于分子导线的研究尤其引起了科研工作者的兴趣，为了能 更清楚地理解在分子导线中的量子输运问题，被普遍采用的一种分子导线模 浙汀师范大学磺士学位论文 型是两端是金属导体( 或电极) 而中间连接一个分子或分子链和原子链的这 样一种结构”8 ”1 4 “1 。并运用不同的理论方法来研究，如，j o c h i m 等人甩“弹性 散射量子化学”法来研究x e 原子链”2 和有机分子链”，n dl a n g 等用密度泛 函理论研究过理想的一维原子链夹在电极间的输运问题”1 ，又用第一性原理 来计算过分子器件中的输运问题”。d a t t a 等人也曾用格林函数法9 “和第一性原 理研究过类似问题，最近k e n j ih i r o s e 等人又用密度泛函理论和转移矩阵法来 研究铝原予链的输运问题”。人们还研究了含有有限个杂质的一维链的输运性 质，p s a u t e t c j o a c h i m 采用散射理论和转移矩阵法研究了含单个杂质的一维链 的输运问题”。对单杂质问题作了详尽的分析，r a e n g b s h ，s ，g d a v i s o n 等采用 同样的方法对烯烃链中含一个杂质的情况作了分析”1 ，接着他们又用基于李普 曼一斯温格( l i p p m a r m s c h w i n g e r ) 方程的k o s t e r - s l a t e r ( k s ) 方法对含有两个杂 质的链的输运问题作了研究”，但是，他们只讨论了透射系数幅值随杂质与两 端链间耦合和杂质间耦合强度的变化情况，而未考虑其它方面，如束缚态如何 随两个耦合参数的变化，束缚态的数口与透射系数的幅值间是否存在联系等， 而这些问题在单个杂质的研究中作了比较详尽的讨论。我们认为r a e n g l i s h ，s g d a v i s o n 等的对两个杂质情况的研究还不够详尽，因此。本文，我们将采用 散射理论和转移矩阵法对双杂质链模型作进一步的研究，希望能弄清楚透射系 数幅值与束缚态之间的联系。这种一维链的结构模型虽然简单，但是从简单的 模型出发去揭示一些物理本质足很有意义的。从九十年代中期开始至今，又有 一些研究小组从这个模型出发依据f r i e d e s 札mr u l e 讨论一些相位与束缚态之间 的联系卧”。 木论文主要对含有双杂质的量予导线中的电子输运性质做了一些研究。我 们在一条理想原子链中放八两个杂质原子，具体研究整个一维体系的电导性。 对于这个维输运问题，普遍采用的理论是研究介观输运问题的l a n d a u e r 理 论。因为整个输运过程可看成一个电子从链的一端运动到另一端的过程中遇到 一个杂质势垒的问题，从本质上看，是一个单电予散射问题。对于这个简单的 模型，我们采用了种简便的方法：从散射矩阵出发，推出跟整个电子的输运 密切联系的转移矩阵，然后用转移矩阵法求出体系的电导率等重要的物理 量，并详细地讨论了束缚态数日随耦合参数的变化情况，以及束缚态数目与透 射系数幅值间的一些联系，根据这种联系提出了一种设计分子开关的新的物理 机制。根据这个思想，本论文的内容分如下凡个部分：在第二章中，我们介绍 了所选择的这个含双杂质的模型，及具体研究这个模型输运性质的一些基本理 2 浙江师范大学硕士学位论文 沦和方法。并应用这种方法计算出模型的束缚态，透射系数及与透射系数密切 相关的态密度。为了更好地理解双杂质模型的输运性质及检验我们所用方法的 正确性，我们在第三章中，首先调节相关的参数，使得模型变成单杂质模型， 并对该模型进行研究，便于跟双杂质模型进行比较。在第四章中，我们开始详 细地研究双杂质模型。具体讨论了束缚态，透射系数幅值，和态密度随杂质一 链问及两杂质问耦合参数的变化情况，并重点讨论了束缚态数目与透射系数幅 值之间的联系，而且将所得结果与单杂质作比较。最后，在第五章中，我们对 我们的工作作了小结。对这种模型的潜在应用价值提出了一些设想。 浙江师范大学硕士学位论文 2 1 模型 第二章模型与方法 目前，人们感兴趣的一种简单模型就是一维无限长的原子链结构，在这 种原子链巾加入若干个杂质原子可以改变整个体系的输运性质。早在八t 年 代，e s a u t e t 和c j o a c h i m 研究了在一维无限长链中放入一个杂质原子厉整个体系 的输运性质。到了九十年代中期，z l m i s k o v i c 和r a e n g l i s h 等人又研究了在 该链中放入两个杂质原子厉体系的一些性质，在他们的研究中，主要重点放在 两个杂质相连和不相连两种情况下，仅考虑了透射系数随杂质原子与两端链的 耦合强度的变化情况。而对该模型的其它一些重要物理性质末作研究，因而， 我们将更系统地来讨论这种杂质模型的输运性质。 一一一ho 4。3 隔2 t谁含双杂质的无限长链的模型图 我们选用的模型是含两个相连杂质原子的无限长链的输运性质，如 图2 1 所示，黑的小圈代表两端半无限长的原子链，中间的两条短线代表两 个杂质原子，整个体系的性质由一组参数( “1 ，0 ) 2 ，e ，札，坛，o ，忍) 决定，如 图2 1 所示，u l ，u 。分别代表两个杂质原了的在位能，e 代表链中主原了的在位 能一t l 和t r 表示杂质原子与两端链r l l 原子间的耦台强度，o l 代表两个杂质间的 耦合强度，h 则表示两端链中原子间的耦合强度。具体考虑杂质原子的在位能、 杂质原子间耦合强弱、杂质原子与两端链问的耦合强弱以及体系对称性这几方 面因素对体系输运性质的影响，很详尽地讨论了这个体系的输运性质。对于这 种简单的模型的研究是很有意义的目前。分子器件的研究不断深入，其中分 子导线足很重要的组成部分，所以，从简单的模型出发研究其性质，对于一些 复杂的更接近于实际的分子导线的研制将是很有启发的。 i 。等 。 t 叫 吨 浙江师范大学硕士学位论文 2 2 散射矩阵和转移矩阵 在一维无限长的堆原子链中放入两个不同的原子，而且，让这两个原子相 邻。对于这样的一维体系，我们来研究它的输运性质。我们把这么一个问题看 成一个一维散射问题，并借助于联系着入射波和透射波的散射矩阵s ( e 1 来得出 该体系的一些重要性质。比如，一个重要的量就是透射系数，根据朗道理论， 通过透射系数可以得到体系在低电压下的电导率。 对于这个一维问题，其散射矩阵可以通过一种简便的途径来求解，这一途 径就是转移矩阵法，从两个矩阵的定义可以看出散射矩阵和转移矩阵之间紧密 联系，可以通过求解转移矩阵从而得到散射矩阵。而且，该问题的转移矩阵将 能得到解析解。卜面，首先来看散射矩阵和转移矩阵的联系。 图2 2入射波经过杂质原子后发生散射的示意图 如图22 所示，a 和d 分别表示从左边半无限长的链中和右边半无限长的链 中入射到中间杂质原子的入射波，c 和b 则代表相应入射波透过杂质原予后的出 射波。则散射矩阵定义为： b c = s ( e ) a d ( 2 1 ) 在这个问题中，为了能满足流守恒，我们要求s ( e ) 是么正的。 即，s ( e ) s + ( e ) = l 。而这一条件，在我们所考虑的这个体系，我们采用紧 束缚模型，而且只考虑一维弹性散射过程，所以流守恒是很容易满足的”1 。f 参 见a 1 车兰b 浙汀师范大学颂士学位论文 转移矩阵的定义如下： 叫e ， 根据散射矩阵和转移矩阵的定义，我们可以方便地找山它们间的联系 ( 2 2 ) s l l ( e ) = t , i ( e ) 一丑2 ( e ) 了磊1 ( e ) t 2 1 ( e ) s 。, 2 ( e ：2 罂殇1 ( 吲、 ( 2 3 ) s 2 l ( e ) = 一殇1 ( e ) t 2 1 ( e ) 、 s ：2 ( e ) = 巧1 ( e ) 可见，一旦确定t t ( e ) 矩阵，散射矩阵s ( e ) 也就确定了。 根据散射矩阵的定义，我们可以用透射系数和反射系数来表示散射矩 阵s ( e ) ： 踯，= ( ；) 亿。， 其中，玳衰从左边到右边的透射系数( 于表示从右边到左边的透射系数) ，计 表从左边到右边的反射系数( r 7 表示从右边到左边的反射系数) 。 我i l i o n 道只有能量在体系费米能附近的电子对电导有贡献，因而，我们引 进一个有效透射系数t e l l 来表征，其定义为 。，= _ 0 0t(e)_丽of00 雠。，= t ( e ) 一百而】d e v 一 ( 2 5 ) 其中，f ( e ，卢，r ) = ( e ( 一“) 肚e 7 + 1 ) 一1 是费米分布函数，是体系的费米能 级，r 是体系的温度。 2 3 转移矩阵法 在我们研究的这个一维模型t ，选择两个相邻的原子上的波函数的幅值定 义一个新的矢量( 可以用一个2 1 维矩阵表示) ，则对整条链来说，就有无数 个这种矢量了，而这些矢量间都存在着联系，把这种联系形象地定义为传播 子，而这些传播子又由几个能量参数决定( 如各个原子的在位能，相邻原子间的 浙江师范大学硕士学位论文 耦合能) 。这样，只要给定一个初始矢量，则其它矢量就可以通过这个初始矢量 和一系列传播子来获得。这种方法就称为转移矩阵法。下面具体介绍这种方 法： 若考虑紧束缚近似，体系的哈密顿量为 h = u l i s 0 1 ) ( s 0 1 f + l 比 s 0 2 s 0 2 i +e 1 8 。) ( 8 。i * o o 。n 0 + 屯( i s1 ) ( s 0 1 i + s d l ) ( s 一1 1 ) + t r ( i s 0 2 ) ( 8 1 i + l s l ) s 0 2 f ) + n ( | s 0 1 ) ( s 。2 j + 1 8 0 2 ) ( s 0 1 i ) + ( ) ( + t i + k 1 ) ( s 。i ) p o 。、n 一1 o ( 2 6 ) 可见体系的哈密顿量由一组能量参数( u ，e ，屯，t r ，o ， ) 决定，如图2 1 所 示u 代表杂质原子的在位能，e 代表原来链中原子的在位能，t l 和垴表示杂质 原子与两端链中原子间的耦合强度，a 代表两个杂质问的耦合强度。h 则表示两 端链中原子间的耦合强度。 将对应于上述哈密顿量的体系波函数用紧束缚基矢表示： l ( e ) ) = c k i s 。) t n 其本征方程为 打i 皿) = e f 皿) 用( 品l 左乘本征方程，可得到一组关于g 的方程组： ( 2 7 ) ( 2 ，8 ) ( k 一1 + 扣一目) g k + h c n + l = 0 ，( n 1 ) h c _ 2 + ( e e ) c _ i + t l c 0 1 = 0 ， t l c _ i + ( u l e ) c o l 十a c b 2 = 0 ，( 2 9 ) o 岛1 + ( w 2 一e ) c 0 2 + t r a = 0 ， t a 岛2 + ( e e ) c 1 + h c 2 = 0 ， 浙江师范大学硕士学位论文 下面定义一个新的矢量r ，用2 1 维矩阵表示如下 r n =( 2 1 0 ) 有了矢量r 后，我们就可以定义传播子了，我们这样来定义的，r 。+ 。= r ( e ) r 。，对于n 2 的传播子矢一样的，所以又可以令p 忆( e ) = p ( e ) 。这样我们就把体系的所有传播子写出来了，表示如下 挈一11 以司2 【；o j 2 一e - e h 1 凡陋卜l 。1 l o t l j r 量= n r 1 ( e ) = l o 【 l 郴，= 等 ( 2 1 1 ) 在这么一个传播过程中，初始条1 ， ：和边界条件的选择就特别重要了。在这里， 我们要求矢量r 。的模i f k 当趋向于无穷时是收敛的。对于每个能量e ，矢 量r 。是由两个任意的参数线性组合而成。若以中的任何一个，比如说 以r 一1 为初始条件，则r l 由两个任意参数线性组合而成，其它的r 。就可以通过 上面所说传播过程得到了。还有一个与哈密顿能量本征值f 相对应的子矢量空 间的维数问题，该维数依赖于边界条件。当引禹于连续谱时，该维数等于2 ； 当蜀属于分立谱时，该维数为1 。若r 一1 已知，则 ( 2 1 2 ) 。咭。列 警。 ，l = l ) 目 ，【2昂 一 他 m 叫 n o s n a 0 ，即f e e l 2 1 h i ，这时尸( 目) 的本征值是实数，通过求解， 我们发现两个本征值a l 和a 2 满足如卜关系：a 1 a 2 = 1 ，因而a l i 1 ，从 式( 2 1 6 ) 有训。= 一( r 1 。4 - 1 删一l ，对于n - 1 ，若要满足i i r 。在n 趋向于负无穷 时收敛，则一定有w l = 0 。同理，从式( 2 1 6 ) 可知，当n 趋向去正无穷时，一 定有u 2 = 0 。从式( 2 ，1 7 ) 我们知道v 2 和v 1 i g t _ k - i _ m ( e ) 联系着。当钳一1 = o 时， 由u 2 = m 1 1 ( f ) 一l ，若要存在非零解，必须满足尬l 旧) = 0 。对应于m 1 = o 的 那些能量值都落在周期性体系的能带的禁带一九所以，在这个能量区间里，所 对应的态时局域在杂质原子中，对于输运没有贡献。 区间i i ，a 1 。 。a + 6 一c 一；= o f 2 3 0 ) 1_ilj y z，j 一 0 b d 浙江师范大学硕士学位论文 将( 2 ，1 9 ) 式代入( 2 3 0 ) 式得： q ( 。一d ) + 2 ( b c ) = 一s 9 n ( q ) ( q 2 4 ) 1 2 ( o + d ) ( 2 3 1 ) 到这里，求解束缚态的能量就相当于求解( 23 1 ) 式巾q 的实数解了。 2 4 2 透射系数的计算 根据l a n d a u e r 理论9 ”，一个量予器件的电导率与电了从器件的一端隧穿到 另端的透射几率密切相关，对于一个两端电子器件，假设自旋简并。则器件 的电导与透射几率存在如下关系：g = ( 2 e 2 h ) t ，其中，2 e 2 是一个常最，t 是 对麻于费米能附近的透射几率。在我们研究的这个模型- i t ，我们能得到透射 系数关予能量的一个分布，我们记为t ( e ) 。我们借助于散射矩阵法来求解， 这一方法在第二章已经详细介绍了，下面我们具体讨论体系的透射系数。根 据( 2 3 ) 式和( 2 4 ) 式，知，= 驴= 南，根据疋2 = m 2 2 e “。可知，t = 阿习1 ，a 下 面训算 如2 。 由( 2 1 8 ) ，( 22 8 1 ，22 0 和22 1 式，可得： 2 = - a + 可a c = - a 广b + a 2 d ( 2 3 2 ) 其中，由23 节中分析，存能景区间i i 里，传播矩阵的本征值a 是复数，因 为 o b l q 2 4 2 o ，透射系数的最值始终 为1 了。p s a u t e t 和c j o a c h i m 他们认为，当y 比较小时，加入的杂质与链的耦合 较弱，此时会在连续谱中形成一个反键态( a n t i b o n d i n gs t a t e ) 。所以电子能通 过共振隧穿透过杂质到链的另一端。随着y 的增大，这个反键态分离出连续谱 而形成了束缚态，因而透射系数就降低了，当】，进一步增大时，杂质与链的耦 合很强了，所以形成一个成键态( b o n d i n gs t a t e ) ，因而电子又可以发生共振隧 穿了，透射系数也再次达到1 。若与束缚态分布图联系起来，可以得到这样的结 论，当束缚态数目为1 时，透射系数最值小于1 ；当束缚态数目为2 时，透射系数 最值达到1 。 ( 3 ) 在上面这种情形中，让两端耦合不对称，用参数z 来表征，z 表示杂质 原子与右边链的耦合强度与左边耦合强度的比值。我们通过计算得，它的输运 性质如图3 5 所示：3 5 图中菱形代表z = 1 的对称情形，实线表示z = 2 ，圆形 图3 5 单杂质模型透射系数在不同的对称度下随能量的变化。图中符号的说明：菱 形线( z = 1 ) 一实线( z = 2 ) ，圆形( z = 3 ) ，正方形线( z = 4 ) 十字形线 ( z = 1 0 ) 表示z = 3 ，正方形表示z = 4 ，十字形表示z = 1 0 的不对称情形。很显然，在 不对称时，透射系数明显小于对称时，而且，随着不对称性的增大，透射系数 越来越小，在谱内也逐渐展宽。 一2 0 一 浙江师范大学硕士学位论文 3 3 单杂质模型的态密度 同样，我们简化双杂质模型为单杂质模型，即选择参数k = 0 ，z = a y 。 我们通过调节参数来看体系态密度的变化情况。先来看杂质原子与两端的耦合 强度对称的情况，态密度的变化，如图3 6 所示，通过计算，我们发现在两端耦 4 4 t2 3 t 。一，八。 一 d - 0 0 ， a j o e 一1 b 1 v 一 i 、 l 一、 p - i _ 5 _ 7 o 9 1 - 1 g 1 图3 6单杂质模型的态密度变化量在不同的杂质一链间耦合强度f 在带中的分布 合不对称时，态密度的变化情况与对称时类似，都是随着耦合的增强，连续谱 中的态密度从一个峰，逐渐展宽为典型的一维耖型态密度分布，当y “0 , 7 时 一带边出现正的分布，而另一带边则是负的分布。最后，当y “1 5 时，正的 分布这边也转为负的分布，一整个就是倒的u 型态密度分布。对称情况与不对 称情况所不同的是出现各个阶段的具体的y 值不一样。从态的数目来分析，这 一整个过程其实是这样的：当放入一个杂质原子而且该杂质与两端耦合较 弱时，体系连续谱中就多出了1 一个局域态，随羞耦合增强，这个局域态被甩 到了连续谱的外面，这样谱中总的态数目就相当于没变，再进一步增强时， 连续谱中又甩出了一个态，这样谱中态的数目就少了一个，态数目的变化就 是一1 了。这与束缚态分析中，随着耦合的增强，出现束缚态的结果是一致的， 当y 0 7 时，出现正的分立的能级，当y 1 4 5 时，出现负的分立的能级。在 态密度变化中就变成了负的分布了。 _ 2 l 一 浙江师范大学硕士学位论文 第四章双杂质一维体系的输运性质 4 1 双杂质模型的束缚态 对于含有两个杂质原子的一维体系，我们称两杂质在位能相等的模型为对称 模型；相反的模型为反对称模型。下面我们分别对对称模型( 墨= 1 ，x 2 = 1 ) 和 反对称模型( x l = 1 ，x 2 = 一1 ) 两种情况来分析： 4 1 1 对称模型的束缚态 选择参数：x x = 1 ，捣= 1 ，z = 1 ，这时候，体系在0 1 和0 2 两位置上有两个 杂质原子，而且，两个杂质的在位能是一样的，都在连续谱里面，我们选 择杂质间的耦合参数由弱到强分别为w = 0 4 ，0 8 ，1 2 ，1 6 ，将这四种情况代 入( 2 3 1 ) 式，通过数值计算，我们得到图4 1 ， 累4 1 对称模型中束缚态在不同的杂质问耦合强度下随杂质一链间耦合强度的变化关 我们首先来看当杂质间耦合比较弱时，如4 1 ( 口) 图，随着杂质一链间耦 合强度y 逐渐增大，束缚态的数目也逐个的增加。直到四个束缚态出现为 止。通过数值计算我们得到：当y “0 8 时在连续谱之上出现第一个束缚 态，当y “1 2 5 时在连续谱之上出现第二个束缚态，随着y 迸一步增大， 当y 1 6 5 时。在连续谐之下出现第三个束缚态，当y 1 , 9 时在连续谱之下 出现第四个束缚态。之后，对于较大的y ，束缚态数目为4 个。从式( 2 3 1 ) 也可 一2 2 浙江师范大学硕士学位论文 图4 2对称模型中束缚态随在位能和杂质链间耦合强度的变化关系 知，束缚态数目由方程中q 的阶数决定，在这里n 4 。接着我们看从( o ) 图 到f d ) 图，随着杂质原子间的耦合的增强束缚态数目变化的总体趋势差不多， 都是依次增加。但是也存在差异，若将每幅图中的四条线从上往下依次标记为 线( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) ，则，随着w 的增大，线( 1 ) 和( 4 ) 逐渐往负1 方向移动，而线 线( 2 ) 和( 3 ) 逐渐往正y 方向移动。到了( d ) 图中，当y = o u , t 就存在一个束缚态。 这一系列变化在图4 2 中也非常清楚。图4 2 是该模型束缚态数目随在位能和杂 质一链闯耦合系数的一个分布图，四幅图中的带箭头的虚线对应的是在位能参 数为x = l 时，束缚态数目随耦合参数y 的变化情况，与图4 1 是一致的。具体 我们来分析一下，图中的四条线是束缚态出现与消失的分界线，对于一个给 定的x ，在y 方向，每经过一条线，束缚态数目就增加一个，如图4 2 中的( b ) 图 所示。而且，沿着正y 方向，经过这四条线时，体系的透射系数有时将发生眺 变，这一点将在下面“双杂质模型的透射系数”中详细分析。我们可以发现很 明显的几个特征，各圈中的曲线都关于x = o 对称，下面简要证明一下这个特 征，将体系的哈密顿最日一一日，目将基矢作变换i n ) 一( 一1 ) “i n ) ，则在这种 对称操作下，+ 期；9 c 映射到一x 了。+ x 情况对应的束缚态能量岛与一x 情况的 束缚态能级一甄相对应。所以对于束缚态数目分布区关于x = 0 是对称的。 在x = o 处对应的两个交点是两个二重简并态，当在位能不为零后，简并就被 消除了。还有一个有趣的变化就是，锄= 0 的区域随着w 的增加逐渐变小，这 点是容易理解的，先假设杂质与链间的耦合小到可以忽略，那么两个杂质态 由于它们之间有耦合，随着辊合强度w 的增大，两杂质态的能级必将互掘分离 一2 3 一 鼙整 浙江师范大学硕士学位论文 ( 参见附录b ) 。因此，对于给定的在位能和有限的y 时，两杂质态互相分离， 直到跳出体系的连续谱中为止。所以越大，= o 的区域就越小，即束缚态 越容易出现。将四条曲线分成单调上升和下降的两组，我们考虑下降的两组 线，如图( d ) 所示，线( 1 ) 和( 2 ) ，随着w 的增大，互相分离。这是因为。对于双 杂质对称模型，给定的个在位能，随着w 的增大一个杂质态能级是向正带边 移动，而另一个能级则是向能带的中心移动的，所以，两条曲线不断分离。而 且，与图4 1 相对照可知，下降的这组曲线对应于正的能级上升的曲线对应于 负的能级。 4 1 2 反对称模型的束缚态 选择参数：x 1 = 1 ，x 2 = 一1 ，z = 1 ，这时候，体系在0 1 和0 2 两位置上有两个 杂质原子的在位能都在连续谱内，但是不相等，分别在1 和一1 处。通过数值计 算，我们得到图4 t 3 ， 望妻3 反对称模型中束缚态在不同的杂质问耦台强度下随杂质一链间藕合强度的变化 7 c m 该反对称模型中束缚态能级随杂质一链问耦合强度系数的变化图与对称 模型相应的图4 1 相比较发现很大的不同就是，在上带边之上的两条曲线与在 下带边之下的两条曲线成对出现，随着杂质间耦合的增强，最上面和最下面 的两条曲线y 正方向移动，中间两条曲线则向正y 方向移动。这些性质也可以 从束缚态数目分布图4 4 看出j 该图与对称模型中对应的圈很大的不同就是， 在对称模型中x = 0 处的二重简并在x 不等于零时就分离了。而在反对称模型 一2 4 浙江师范大学硕士学位论文 圈4 4反对称模型中束缚态髓在位能和杂质一链间耦合强度的变化关系 中，这种简并并不会在x 为非零时分离。对这一特点，我们给出简单证明， 因为，杂质1 和杂质2 的在位能分别是：x l = 1 ，磁= - 1 ，所以，在这里，我 们设基矢的形式为l n p ) ，( n 代表眦口n 托u e ，p 代i l p o s i t i v e ) ，首先，我们做跟对 称情形一样的对称操作，即。将体系的哈密顿量日一一日，且将基矢作变 换l n p ) 一( 一1 ) n i 扎p ) ，在这个对称操作的基础上，根据反对称模型的特点( 满足 镜面反射对称) ，我们再做一个镜面反射对称操作，则与能量为一露8 的束缚态 对应的还有一个能量为e b 的束缚态，这样就有了二重简并了。我们再来看这四 幅图，跟对称模型很类似，随着w 的增大，m = 0 的区域逐渐缩小。即说明， 对于给定的在位能，在，比较小时，较大更容易出现束缚态。各图中上下两 条曲线随着w 的增大互相分离，上下两条曲线对应两对柬缚态，这跟对称模型 也是类似的，但是本质却有所不同。在对称模型里，线1 和线2 互相分离，对应 的是一个杂质态向上带边移动，该束缚态比较容易出现，而另一个杂质态则是 向带中心移动，随着进一步增大还会越过带中心向负带边移动，所以，这个 束缚态就比较难出现。而在反对称模型中，两个杂质的在位能分别在对称的位 置上x 1 = l ，x 2 = 一l ，所以，随着w 的增大，它们分别向正负带边移动，同时 跳出连续谱形成束缚态，所以，从图4 4 也很容易看出，这一对束缚态比较容易 形成，而另一对束缚态的出现随黄彬的增大就越难出现了，但从图4 3 可看出， 增大y ，会使第二对束缚态出现。 2 5 浙江师范大学硕士学位论文 4 2 双杂质模型的透射系数 我们分析了单杂质的模型的透射系数，我们再来看看双杂质模型。双杂质 模型相对就比较复杂，可调参数比单杂质模型多，下面。我们具体来分析调节 各种参数，该模型的输运性质的变化情况