（基础数学专业论文）时滞捕食系统的动力学行为及行波解.pdf

兰州大学2007 届硕士学位论文 摘要 捕食食饵模型是描述客观世界的重要工具之一，其动力学行为非常丰富，对其进行 研究对于理解现实世界具有重要的指导意义本文主要研究了具有时滞的捕食者食饵 系统的动力学行为 首先假设只有成年捕食者具有捕食能力和生育繁殖能力，并且与食饵之间的关系可 以用h o n i n g 型功能反应函数表示，得到了一类捕食者食饵模型利用线性化方法和 构造合适的l y a p u n o v 函数的方法研究了系统平衡点的局部稳定性和全局稳定性，又利 用无穷维系统上的持久性理论讨论了系统的一致持久性问题 由于四季更替，日夜交替等现象导致了自然界中很多事物的演化过程具有明显的周 期性。因此本文还考虑了一类具有周期系数的捕食食饵模型的动力学行为。在系统解的 正性和有界性的基础上，利用g a i n e s 和m a w h i n 的重合度理论，得到了系统正周期解的 存在性条件 本文最后考虑了一个具有扩散和时滞的捕食食饵系统的行波解首先将其抽象为 一个反应扩散方程组，运用上下解方法和s c h a u d e r 8 不动点定理将行波解的存在性转化 为求一对易于构造的上下解的存在性，并将所得的结果应用到时滞的l o t k a - v o l t e r r a 捕 食食饵系统中，得到了存在连接( 0 ，0 ) 和共存平衡点( k t ，如) 的行波解这些结果表明， 对于杂食性动物。当它们的扩散能力比食饵强时，捕食者和食饵很容易共存， 关键词：捕食一食饵系统，阶段结构，时滞，稳定性，持久性，周期解，行波解 1 兰州大学2007 届硕士学位论文 a b s t r a c t p r e d a t o r - p r e ym o d e l sa r e o n eo ft h em o s ti m p o r t a n tt o o l si nd e s c r i b i n gt h er e a lw o r l d ， w h i c hh a sp l e n t i f u ld y n a m i c s t h em a i ng o a lo ft h et h e s i si st oc o n s i d e rt h ed y n a m i c so f p r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hd e l a y s u n d e rt h ea s s u m p t i o n so ft h a to n l yt h em a t u r ep r e d a t o ri n d i v i d u a l sh a v er e p r o d u c - t i o na b i l i t ya n dc 眦c a p t u r et h ep r e yw i t hh o l l i n gm r e s p o n s ef u n c t i o n w ed e r i v eah o l l i n g m p r e d a t o r - p r e y6 y 8 t e m t h e nt h es t a b i l i t y , p e r s i s t e n c eo ft h es y s t e ma r ec o n s i d e r e d s i n c et h ea l t e r n a t i o np h e n o m e n ao fs e a s o n s ，d a ya n dn i g h t ，m a n ye v o l u t i o np r o c e s s h a v et h ep e r i o d i cc h a r a c t e r i z a t i o n t h u sw ea l s oc o n s i d e rt h ec o r r e s p o n d i n gp e r i o d i c m o d e lo ft h a 七i nc h a p t e r2 t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i c8 0 l u t i o no ft h es y s t e mi s o b t a i n e du s i n gg a i n e sa n dm a w h i nc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r y f i n a l l y , t h et r a v e l l i n gw a v es o l u t i o no far e a c t i o n - d i f f u s i o ns y s t e mw i t hd e l a y si s c o n s i d e r e d t ot h i sa i m ，w et r a n s f o r mt h ee x i s t e u c eo ft r a v e l l i n gw a v es o l u t i o nt ot h e e x i s t e n c eo fap a i ro fu p p e r - l o w e rs o l u t i o n sb yt h es c h a u d e r 8f i x e dp o i n tt h e o r e m t o i l l u s t r a t eo u ra b s t r a c tt h e o r y , w ee s t a b l i s ht h ee x i s t e n c eo ft r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n so fa l o t k a - v o l t e r r ap r e d a t o r - p r e ys y s t e m sw i t hd e l a y s w h i c hi m p l i e st h a tt h es y s t e mi se a s y t og e tt h ec o e x i s t e n c es t a t ei ft h ep r e d a t o rh a ss t r o n g e rd i i f n s i v i t yt h a nt h a to fp r e y k e y - w o r d s ：p r e d a t o r - p r e ys y s t e m ，s t a g es t r u c t u r e ，d e l a y s ，s t a b i l i t y , p e r s i s t e n c e ， p e r i o d i cs o l u t i o n ，t r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n 2 兰州大学硕士学位论文 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行研究所取 得的成果学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果、数据、观点等，均已明 确注明出处除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表 或撰写过的科研成果对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 以明确方式标明 本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名：堡蛆鱼日期：至盈：羔 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州大学 本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定，同意学校保存或向国家有 关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何 复制手段保存和汇编本学位论文本人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接 相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学 保密论文在解密后应遵守此规定 论文作者签名：皇翅叠： 导师签名 名彳，司 日期：丝受：s 第一章引言 1 1 问题的历史背景 种群动力学主要研究的是种群个体数量和结构的变化规律为此，首先应建立种群的 动力学模型，在确定性模型中，其通常表现为一离散的或连续的方程( 组) 人们在研究种群时主要考虑种群随时间的变化规律随着时间的推移，种群是持续生 存还是走向死亡? 种群是否具有平衡态，平衡态是否稳定? 掌握了这些规律，就可以知道 如何实施人工干预来对种群进行保护，开发和利用因而，研究种群的动力学行为是非常 有意义的而通过建立数学模型，这些问题常常被转化为方程解的一致持久性，周期解的 存在性以及解的渐近稳定性等问题 对于单种群模型，1 8 3 8 年，p f y e r h a l s t 提出了著名的l o g i s t i c 方程 竺d t = i x ( 1 一掣) ， ( 1 1 ) 其中常数r 0 称为内禀增长率，它是种群个体平均出生率与平均死亡率之差，反映了物 种内在的特性，后 0 表示环境容纳量，表征了环境对个体的容纳量关于更多的背景与 模型，见4 1 在现实生活中，时滞是一个不容忽视的现象例如，人们在淋浴时，总是把水调的时 冷时热，这是因为调节后的水通过控制开关流到人身上的时间，与在调节时人身的感觉有 一段时滞所致；经济学中的价值法则的作用，也是由于生产与消费之间的时滞造成的；工 程中由反馈回路所控制的系统，如果时滞过长，就会造成大幅度的振荡等因此，为了更 真实的反映自然，应将时滞引入到所考虑的模型中【1 4 ，2 0 】 最早把时滞引入种群生态学的是生态学家w r i g h t 。他所讨论的方程是具有离散时滞 的l o g i s t i c 方程 警- r z ( 1 _ 竿) ， ( 1 2 ) 其中r ，七和r 均为正常数，时滞r 表示物种从出生到成熟的时间之后，很多学者都对这 一模型进行了研究，发现时滞下会影响种群的动力学行为如在m a y ( 1 9 7 8 ) 【2 8 中指出， 当阿 e 一1 时，z = 七是方程( 1 2 ) 稳定的指数衰减平衡点，当e 一1 0 时的种群动力学行为并得出了非常漂亮的结果的时候， 阶段结构的种群模型才进入实质性阶段在【1 】中，作者考虑了下面的模型 j ( t ) = a x m ( t ) 一r x ( t ) 一a e 1 7 。0 7 - ) t r，。、 i 靠( t ) = a e 一”而。o r ) 一j 吼嚷( t ) t r 其中鼢，霉。分别表示未成年和成年的生物种群密度，常数时滞下 0 是指从出生到成年 的时间，r 0 表示未成年种群的死亡率，卢 0 表示成年种群的种内竞争率更多的有关 阶段结构种群模型的结果，可以参考【2 7 ，3 2 】 但是，在自然界中，所有的生物都不可能是单独存在的，人们感兴趣的往往是多个种 群互相作用的结果如何1 4 3 1 ，于是出现了很多描述多物种种群动力学的模型，从两种群相 互作用的效果来看，两物种之问的相互关系大致可以归纳为以下四种；竞争，合作，寄生 与寄主以及捕食食饵关系，其中，捕食食饵系统是一种非常重要的生物数学模型各 种不同的捕食食饵模型被人们广泛的研究并得到了很多很好的结果( 见【2 ，4 ，5 ，1 0 ，1 8 ， 3 0 ，3 9 ，4 0 ，4 1 ，4 8 ，5 0 ，5 l ，5 2 ，5 5 】等) 对于捕食食饵系统考虑阶段结构，主要是把种群分为成年和未成年两个阶段 3 9 ， 5 0 ，5 1 ，5 2 1 在具体模型中，如果将食饵分为两个阶段，假设捕食者只捕获成年食饵或只 捕获未成年食饵，而只有成年食饵具有繁殖能力，则可得到食饵具有阶段结构的捕食者 食饵模型特别地，x u 等在1 5 0 1 考虑了如下模型， f 掣= 咖( 幻一r l z l ( t ) 砘，( t ) 学地m m 磙沪端 ( 1 t ) 【警刮州一r + 揣) 其中，$ l ，勋，y 分别表示在t 时刻未成年食饵，成年食饵和捕食者的种群密度，n ，r 分别 表示幼年食饵和捕食者的死亡率，b 表示幼年食饵到成年食饵的转化率，鲁表示捕食者 2 兰州大学2007 届硕士学位论文 的营养转换率常数作者得出了系统一致持久性和非永久持久性的充分条件并利用构造 l y a p u n o v 函数的方法得到了非负平衡点的全局渐进稳定性 如果假设捕食者分为成年和未成年两个阶段，只有成年捕食者具有捕食能力和生育 繁殖能力，未成年捕食者既不能捕获食饵，也不具有繁殖能力，则可得到捕食者具有阶段 结构的捕食者食饵模型特别地，w a n g 3 9 1 研究了下面的模型， f 掣= r u l ( t ) ( 1 - 警) 一丽l r u l 蕊c t ) v a 厕( t ) 型= 型u l ( t 堂- - f ) 型+ 一蝴) ( 1 5 ) l 一”7 ”一7 【幽=卫糟赫,k2u2一(t而-r)。dt k l u l ( t k 2 nl-d巧jul(t丽-r)va(t-r)dtk l u l ( tk 2 u 2 ( t 一洲力 l) +)h u l 0 一r ) + 肠t 2 ( t r ) h 了”虬吖 其中“l ，t 2 ，t 3 分别代表在时刻t 食饵，成年捕食者和未成年捕食者的种群密度也表示 未成年捕食者的死亡率，下是从未成年捕食者到成年捕食者所需要的时间，e - d j r 是未成 年捕食者变为成年捕食者的转化率 上述所考虑的模型中出现的系数都是常数，但是在实际情形下，由于季节的变化，食 物的供应以及物种自身的一些状态等原因，模型中的参数会随着时间的推移而产生波动， 正如c u s h i n g 3 1 指出，考虑周期生态参数或扰动的模型是必要和重要的，他们可能是很 自然的这就要求结合实际情况来考虑带有生态参数周期性或者生态参数波动的时滞周 期模型根据不同的背景，许多具有周期性质的捕食者食饵模型被建立例如f 6 ，2 3 特别地，x u 5 1 l 等考虑了下面带有周期系数的时滞捕食食饵系统： 啪) 铋( r ，( t ) _ 钆删一茄等群) + d 1 ( 础) 咄) 。：( t ) = 现( t ) ( 您( t ) 一o 2 2 ( t ) z 2 c t ) ) + d 2 ( t ) l ( f ) 一勋( t ) ) 舭) 刮x 龇l ( t ) ) y 2 + ( t 丽) 一饥( 掣j ，、 ln 一丁) e j 暑r 1 1 ( | ) 山磊玎考i ：i ：j ；! ；! ： i 莲兰可 【抛( t ) = a 一下) e 一。暑- n ( s ) d a 鬲再嚣等云三一他( t ) 抛( t ) ( 1 6 ) 这里戤 0 ，i = 1 ，2 表示在i 块中的食饵密度，食饵在这两个斑块中可以相互扩t t ，d l ，d 2 是其扩散率，玑2 表示未成年捕食者和成年捕食者在t 时刻的密度，时滞r 0 指捕食 者从出生到成熟所经历的时间，假设只有成年捕食者能够捕食食饵作者讨论了该系统 解的一致持久性和非永久持久性，利用g a i n e s 和m a w h i n 的重合度理论的延拓定理，得 到了在某些条件下该系统的正u 。周期解的存在性结果 3 兰州大学2007 届硕士学位论文 显然，上述模型都是在平均向量场中考虑的模型，都是假设生物种群在空间的分布是 均匀的然而，在实际中，生物种群的分布是不可能均匀的，这就要求将空间变量考虑进 具体的模型中从而得到更接近现实的模型从建模的角度看，考虑空间因素是模型精确 化的一条重要途径【7 】反应扩散方程( 组) 的出现，就很好的刻画了这一类模型 在物理，化学，生物等众多领域，许多模型都可以归结为反应扩散方程( 组) 的初值问 题或初边值问题形如t ( $ ，t ) = 毋 + c t ) 的行波解是反应扩散方程的一类很重要的解 在实际应用中，它可以很好的表现为自然界中的振荡现象以及扰动以有限速度传播现象 例如：在物理学中，行波解通常描述了一个平衡点到另一个平衡点的转移过程等；在传染 病模型的研究中，行波解表示一种传染源以常数波速在空间的传播，如果我们证明了该传 染病以最小波速传播那么在实际传染病的防治中，只要人们离开传染源的速度比行波解 的最小波速大点，就不会被感染上该传染病见【1 8 】，因此研究反应扩散系统的行波解具 有很重要的意义 对行波解的研究最早可追溯到1 9 3 7 年f i s h e r 的工作f 8 1 和同年k o l m o g o r o v 等人 的工作【1 9 1 ，早期对行波解的研究一直是以双曲型方程为模型，直到7 0 年代，人们才对 抛物型方程行波解的研究加以重视，并取得了很多成就对行波解的研究主要有以下几 种方法：( 1 ) 相平面技术，参阅叶其孝、李正元【5 3 】及其参考文献，( 2 ) c o n l e y 指标，参见 g a r d n e rf 9 ，1 0 等，( 3 ) 奇异扰动法( 渐进分析法) ，参见y p w u 4 6 ，4 7 1 等，( 4 ) 打靶法， 参见d u n b a r s ，h u a n g 1 6 1 等 对于时滞反应扩散方程行波解的研究，s c h a a f 3 3 1 是先驱工作者之一，他应用相平面 技术，抛物型时滞微分方程的最大值原理和时滞微分方程的一般理论等方法，系统地研究 了含单个离散时滞的标量反应扩散方程行波解的存在性和唯一性x z o u 和j w u 5 6 】 研究了具有单个离散时滞和“拟单调性”的方程组他们先将无界区域截断，再通过取极 限的方法，建立了时滞反应扩散方程组波前解的存在性理论j w u 和x z o u 3 7 运用单 调迭代格式和上下解技术，进一步研究了更为广泛的具有一般有限时滞的反应扩散方程 组波前解的存在性，其中，反应项具有“拟单调性”和“弱拟单调性”j w u 和x z o u 3 1 7 】 建立的主要定理被应用到各种时滞系统中，并取得了很多成就( 见 1 2 ，3 6 ，5 7 】等) 最 近，马世旺【2 5 1 沿着1 3 7 】的思路，但放弃了迭代的单调性，考虑了反应项具有“拟单调 性”的情形，他在适当选取并赋予指数衰减范数的b a u a c h 空间b 。( r ，印) 的子集中，将 s c h a u d e r 不动点定理应用到【3 7 】中所定义的积分算予上，证明了波前解的存在性 对于捕食食饵系统行波解的存在性研究的人很多，例如d u n d a r 5 ，g a r d n e r 9 ，1 0 1 等及其相应的参考文献，但是由于扩散的捕食食饵系统的特殊性，反应扩散方程的很多 性质都不适用，例如比较原理，这就要求寻找新的方法来解决这一问题 4 兰州大学2007 届硕士学位论文 1 2 研究的问题及主要结果 考虑具有阶段结构的捕食一食饵系统的动力学行为，已经有很多很好的结果，可以参 见3 0 ，3 9 ，4 0 ，4 8 ，5 0 ，5 1 ，5 2 】等文献及其参考的文献他们考虑了食饵或捕食者具有阶段 结构的捕食食饵模型，并且通过定性分析讨论了食饵或捕食者阶段结构对于捕食食饵 系统模型的动力学行为的影响以及时滞对捕食食饵系统全局动力学的影响w a n gf 4 2 以及x i a o 和c h e n 4 9 1 考虑了捕食者具有阶段结构的捕食食饵模型，其中捕食者和食 饵之阋是h o l l i n gi i 型功能反应函数，在他们的文章中，分别讨论了系统的有界性，持久 性，轨道渐进稳定的周期解的存在性以及利用构造l y a p u n o v 函数的方法得到了正平衡 点的全局稳定性，但是，他们都忽略了时滞的作用众所周知。时滞对于演化模型来讲是 不可避免的，因此在种群模型中引入时滞是模型精确化的重要途径之一受模型( 1 2 ) 的 启发本文将对食饵引入时滞同时对于捕食者与食饵之闯的作用关系，h o l l i n g 型功 能反应函数所能反映的仅仅是无脊椎软体动物的作用效果而对予高等脊椎动物，捕食者 和食饵之间的关系是h o l l i n g 型的，但是对具有h o u i n g 型功能反应函数的阶段结构 的捕食者食饵模型的动力学行为的研究尚未见报道因此本文将首先考虑这个问题，假 设捕食者具有阶段结构并且成年捕食者与食饵之间的作用是h o l l i n gi u 型的，就得到了下 面的方程组 巨 ( 1 7 ) 其中，u ( t ) 表示食饵的密度，t ，( t ) ，w ( t ) 分别表示未成年和成年的捕食者的密度，口，b ，c ，d ，f g ，k 1 均为正常数，时滞r 是非负常数对于模型( 1 7 ) ，本文研究了t 0 时系统解的正 性和有界性，并运用无穷维系统的持久性理论考虑了系统的持久性，最后利用线性化方法 并结合l y a p u n o v 函数得到了系统非负平衡点的局部稳定性和全局稳定性结果 在现实世界中，由于季节的变化，食物的供应以及物种自身的一些状态等原因，物种 的成长，死亡等现象都表现出一定的周期性为此，本文还考虑了模型( 1 7 ) 对应的周期 系统的动力学行为，特别是其正周期解的存在性，运用的主要工具是g a i n e s 和m a w h i n 的重合度理论的延拓定理周期解的存在性表明，处于周期环境中的个体。其演化规律也 会随环境出现周期性循环 如前所述，上述两个模型都是所谓的平均向量场模型，由于非平均向量场模型的重要 性，本文还将研究一类用时滞反应扩散方程组所刻画的捕食者食饵模型的动力学行为 5 嗍 一1 _ 1 一 r 一 吖 卜班 t 0 呲严 一一一 矿瓦 一蝴一一 兰州大学2007 届硕士学位论文 特别的，共存态对于捕食者食饵系统来讲是最为关键的，因此着重考虑与其共存平衡态 有关的性质我们知道，行波解对于描述系统的长时间行为是非常有效的工具，因此这里 将研究与共存平衡态有关的行波解的存在性对于具有时滞的反应扩散方程组得行波解。 x z o u 和j w s 6 l 讨论了反应项具有“拟单调性”的情况，j w u 和x z o u 3 7 讨论 了反应项具有“拟单调性”和“弱拟单调性”的有限时滞的反应扩散系统，其结果被应用 到很多时滞系统中，参见【1 2 ，3 6 ，5 7 】等但是，在实际问题中，许多模型的反应项既不满 足“拟单调性”，也不满足“弱拟单调性”，因此已有的结果不能被直接应用针对这种 情况，h u a n g 和z o u 1 7 中，讨论了反应项具有“部分拟单调性”的情形在他们的文章 中，引用交互迭代格式【2 9 ，5 3 l ，利用s c h a u d e r 不动点定理和上下解方法，建立了行波解 的存在性定理，但是我们发现在他们的文章中给出的假设条件( a 2 ) 并不总是满足，特别 地，其所讨论的区间不是一般的捕食者食饵系统的正不变集，因此，其理论上所需的行 波解有界性很难保证为此，本文适当的修正了其中的“部分拟单调条件”，并去掉了条 件( a 2 ) 的限制，然后运用s c h a u d e r 不动点定理结合上下解考虑了一类抽象时滞反应扩 散方程组得行波解作为应用，考虑了下面的捕食者食饵系统 ，丹 i 素“b ，”= d t + f l u i a l u ( x ，t ) 一6 l t ， ，t n ) 】，、 wl 1 石j i 云钉( 马t ) = 也t ，+ r 2 u 【l + o 屹u ( x ，t 一忍) 一b 2 v ( = ，t ) 】 、v 其参数意义见本文第四章运用本文所得结果，证明了当波速c m 缸2 、，佤f - ，2 寸儡万) 时，存在连接平衡点( 0 ，0 ) 和共存平衡点( k 1 ，k 2 ) 的行波解结论表明，对于捕食者食饵系 统，当捕食者具有比食饵更快的扩散能力的时候，系统很容易达到共存平衡态，而且两种 群互相作用的滞后量对于平衡态的稳定性以及行波解的持久性影响不明显 6 第二章具有年龄结构的时滞捕食系统的动力学行为 2 1 引言 在本章中，将考虑捕食者具有阶段结构的常系数时滞捕食食饵模型在已有的结果 中，既有对食饵分为两个阶段的情况，如【5 0 】等，也有对捕食者分为两个阶段的情况，如 【3 9 】等但是对于捕食者具有阶段结构，两种群之间的作用是h o l l i n gm 型的时滞系统捕 食系统到目前为止尚未被研究过受w a n g 4 2 以及y n x i a o 和l s c h e n 4 9 1 的启 发，在本章中，将考虑具有阶段结构的捕食。食饵模型考虑到食饵的妊娠，成长等都需 要时间，在模型中又引入了常数时滞f 首先做如下假设： ( 1 ) 假设只有成年捕食者捕食具有捕食能力和繁殖能力，捕食者和食饵之间的关系满足 h o l l i n gm 型功能反应函数，即成年捕食者的捕食率为i 睾磊，由食饵转化为捕食者的 营养转化率( 或者称为幼年捕食者的出生率) 为篇，由于被捕获的食饵不可能完全 被转化为捕食者所需的能量，故0 0 ，妒( o ) 0 ，圣= ( ( p ) ，妒( p ) ，妒( 口) ) g ( 卜l o 】，舻) 易知系统( 2 1 ) 有三个非负常数平衡点： ( 1 )系统有平凡平衡点岛= ( 0 ，0 ，0 ) ； 7 兰州大学2007 届硕士学位论文 ( 2 ) ( 3 ) 露= 系统有半平凡平衡点岛= ( 兰，0 ，0 ) ； 当a 2 k d k l c ( k 1 + f ) ( 6 2 + ) 时，系统存在正甲衡点玛= ( 面，面，面) ，其中 t g ( a - b 1 2 ) ( 1 d 8 2 ) 舻虹掣肌d u c m 系统解得正性和有界性结论，在此基础上，利用无穷维系 统的一致持久性理论考虑( 2 1 ) 的一致持久性，最后，通过线性化方法和构造l y a p u n o v 函数的方法讨论了平衡解的局部稳定性和全局稳定性 2 2 解的正性和有界性 为了得到系统( 2 1 ) 的持久性，我们首先考虑系统( 2 1 ) 的正性和有界性 定理2 1 系统( 2 1 ) 满足初始条件( 2 2 ) 的所有解( “( t ) ，v c t ) ，, o c t ) ) 对所有的t 0 均 为正 证明假设( t ( f ) ， ( t ) ，t ，( ) 是( 2 1 ) 的解，并且该解满足初始条件( 2 2 ) 当w ( t ) 0 时， 当w ( t ) 0 时 螋l岫=而kdu2dt 1 坤) o ， i ，( t ) ；o + 础“”1 d w ( t ) f ：k l v ( t ) o ，d t j 。；o 因为t ，( o ) ，w ( o ) 0 ，所以对所有t 0 ，都有v ( t ) 0 ，切( t ) 0 对系统( 2 , 1 ) 的第一个式子，经过直接计算可得 仙( 幻= 1 n ( 。) + 以一6 z 牡。一下) d s - d z r i i 塞b ( s ) d s ， 所以，对所有t 0 ，都有t ( t ) 0 ， 因此，对所有t 0 ，系统( 2 1 ) 的解( t ( t ) ， ( t ) ，t ，( t ) ) 0 证毕 i i 定理2 2 存在m 0 ，t 0 使得对于系统( 2 1 ) 满足初始条件( 2 2 ) 的所有正解 ( t ( t ) ，t ，( t ) ， w c t ) ) ，当t t 时，有( t ( t ) ，t j ( t ) ，t t ，( t ) ) 0 ，使得u ( t ) e ”：= 尬，t t 令p ( t ) = t ( t ) + t ，( t ) + 叫( t ) ，并记盹= r a m f , g ) 有 户( t ) = 吐。) + j i l 。( t ) + ；面( t ) = 础) _ 蛳m ) + 知) _ 知) c t ) 一6 让( t ) “( t - - 7 ) 一竽( t ，( t ) + 埘( t j ) 口t ( ) 一警( ”( t ) + 加( t ) ) 所以。 p ( t ) 4 - m 2 e ( t ) 以+ m 2 ) u ( t ) ( o + ) 尬， 因此 p ( t ) p ( o ) e 一尬+ 学( 1 - e - 胁 l i r a s 。u p p ( 惦学2 ：= 飓，l + w 记m = m a x 尬，尬 ，则当t t 时，( t ( t ) ，t ，( t ) ，钟( t ) ) ( m ，m ，m ) 证毕 - 2 3 解的一致持久性 为方便叙述，我们先给出无穷维系统的持久性理论【1 5 】 令x 是完备距离空间，假设x = x ou a x o ，a x o 是x o 的边界，且x o r l a x o = 9 又假设t ( t ) 是x 上的c o 半群，并且满足 僻! 纛 协s ， 令而( t ) = t c t ) l o x ，乃( f ) = t ( t ) l o x * ，a a 是关于t s ( t ) 的全局吸引予 引理2 1 【j 研假设t ( t ) 满足( 2 3 ) ，并且 ( 1 ) 存在t o 0 ，当t 如时，使得t ( t ) 是紧的； ( 2 ) t ( t ) 在x 中是点耗散的j 兰州大学2007 届硕士学位论文 ( 3 ) 毛= 屿山埘( t ) 是孤立的，并且有非循环覆盖庇，其中麝= 以， 毛，m 。j ( 4 ) l i j 。( m ) f 3 x o = 口，尬庇 则t ( t ) 是一致持久的 定理2 3 若盯互3 ，且( ；) 2 丽i f g ( i k l 夏+ 石f 干) 可，则系统( 2 1 ) 是持久的 证明设( t ( f ) ，t ，( t ) ，1 | ，( t ) 是系统( 2 1 ) 的正解 定义 q2j ( 妒l ，忱，怫) g ( 【一l0 】，碡) ，妒1 ( 三o ，口- r ，o 】) ， ( 2 4 ) 仍= ( 妒l ，仰，伽) c ( - r ，o j ，霹) ，忱( p ) = 协( p ) 兰o ，秽卜丁，o 】 ，( 2 5 ) 取a 伊= q u q ，c o = z n t c ( - , - , 0 ，霹) ，显然，a 伊和c 帕都是正不变集由此可得引 理2 1 的( 1 ) ，( 2 ) 条件 在a 伊上，存在两个常数平衡解昂( o ，0 ，o ) ，且( ；，0 ，o ) ，因此，若( 让，q 伽) 是起始 于q 的解，则t ，( t ) = ( 一七1 + f ) ， ( f ) = t ，( o ) e 一似z + 卢，所以，当t 一+ o o 时，口( t ) 一 o ，协( t ) 一o ；若( t ，钞，伽) 是起始于q 的解，则由【3 8 】，当口f ；时，t ( t ) 一；，t 一+ o o ， 显然，e o ( o ，0 ，0 ) 是孤立不变的 。 。 下面我们证明( 日) nc o = 织矿( 易) n 伊= 口，由于第一个等式的证明是简单的。 我们现在只证明第二个假设结论不成立，则系统( 2 1 ) 存在一个正解( 面( t ) ，矛( t ) ，西( t ) ) ， 使得 ( 豇( t ) ，矛( t ) ，西( t ) ) 一( ；，0 ，o ) ，t 。o o ， 选择s 0 充分小，使得 ( 和2 茄， 令t o 0 充分大，使得；一s 0 充分小，使得 2 f l g ( 南l + f ) ( 铲- i - c o ) 时，系统存在正平衡点易= ( 面，哥，面) ，其中， 1 1 等 p一 l 膏 七一 兰州大学2007 届硕士学位论文 t = 面：坐篁攀，西：坠型譬塑 疗1dtc托 2 4 1 平衡点的局部稳定性 将系统( 2 1 ) 线性化，可得其线性化系统为 引。 一阮一面2 而d u w 殍 2 k d u w ( 14 - c 舻) 2 o ，也00 、 + e 咖i oo o i oo o o - k x f h u ( t - r ) ) ， 定理2 4 系统( 2 1 ) 的平衡点e o = ( o ，0 ，0 ) 是不稳定的 u ( t ) v c t ) w ( t ) ( i ；) 一( i 一七f 三) = ( a 三aa + 二0 毛 fa 呈g ) ， 所以，特征方程为( a 一( a + 七l - i - f ) q - i - g ) = 0 ， 则有a l = 口 0 ，a 2 = ( 七1 + f ) 0 ， a 3 = - g 0 ， 由此可得系统( 2 1 ) 的平衡点e o ( o ，0 ，0 ) 是不稳定的证毕 _ 定理2 5 当0 鲁时，系统( 2 1 ) 的平衡点 历( ；，o ，0 ) 是不稳定的 掰丽舻丽以掰觥一以 兰州大学2 007 届硕士学位论文 证明系统( 2 1 ) 在e l ( b ，0 ，0 ) 处的特征矩阵为 ( | ；) 一卜- 毒卜 = 一打割 ( a + 0 e 。7 ) ( a 岫+ f ) ( a + g ) 一器( a + 咖) = 。， 因此，其特征根为a l = 一一1 ”， 九=m t + f + g ) + m + f + g ) 。一4 g ( f ) 一而d k k l a 2 朝 砖：竺= 型坐芸竺丛 根据条件可得当g ( 七1 + f ) 万d k 而k l a 2 时，冗以2 0 ，觑a 3 。；g ( k l + f ) 0 ，r e a 3 0 下面我们考虑a = 一一a r 的情形： 令a = z + i y ，贝z + i y = - - 1 ：1 e 一( 。+ 咖，所以，有 当z = 0 时 石= 一口e 一”e o e y r y 。a , e 一”s i n y r - - g c o s y r = 0 ， 可= o b i l l r ， ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 兰州大学2007 届硕士学位论文 记 a ：羔：1 ( k l + r f ) g ，a 2 ：者骗， ( | ；”节如争咖- b 豆o0 ) = ( ：- 2 一k 口f f j + a 2 施+ 2 也面+ 6 弛一打兰：h + f 三圣笔) ， + 2 k k l 面a 1 a 2 一后七1 a l 似一o + 掘+ 2 a 2 面+ 阮e 一打) d 2 1 - = ( 七- + f + g ) + 萼车暑一o j ， 玩z = 施+ h + g ) ， d 3 = 2 g ( k lf + ：f - = ) i ( a 广- - 一b f i ) = 2 g ( 惫1 + f ) a 徊， i 十甜 淼七a t h 吒姑泄 卜 4f丌i 羝耘 j j 群膨豢 嘴一撕 戮一 篇鬻篓：淼狮一妊 兰州大学2007 届硕士学位论文 其中 = a s + a 2 妒+ 口l a + a o ， 0 2 = “+ f + 瓴一a + z d “+ 2 a 1 t l ， 0 1 = ( g + f + k d ( 一口+ 2 阮+ 2 a 2 面) ， a o = 2 k b l a l a 2 面， 显然，当b a 0 ，a o 0 ，并且 a l a 2 。a o = ( g + f + 忌1 ) ( 一口+ 2 扼+ 2 a s o ) ( o + f + k l o + 2 6 面+ 2 a 2 面) 一2 k k l a l a 2 西 = ( g + f + 七- ) 2 - a + 2 阮+ 兰笋车i 竽】 + ( 七t + f + g ) 【- a + 2 b 豇+ 萼三暑】2 2 g ( k l + f ) 蒜 ( g + f 柏) 2 【一+ 2 施q 2 ( a + - 彬b 豇) 1 2 c ( k l + f ) 蒜 f ( g + f + h ) 2 一v ( k l + 刚- a + 2 b 豇+ 2 1 ( a + - 匝2 施) ，i o 由r o u t h h u r w i t z 准则可知，a 3 + 0 2 舻+ a l a + a o = 0 的根均有负实部定理得证i 令f ( 可) = ip ( i y ) 1 2 一iq ( 掣) 1 2 = ( y s d 2 1 y ) 2 + ( d s d l l 护) 2 一( d 1 2 护) 2 一( d 2 2 ) 2 = 暑，6 + ( d 毳一2 d 2 1 一d 2 2 ) 矿+ ( d 刍一2 d s d l l 一d 乞) 童，2 + d ；， d l 一2 d 2 1 一d 2 2 = ( k l + f + g + 阮+ 2 a 2 面一口) 2 2 ( k 1 + f + g ) + 丽2 ( a - b 4 2 ) 一口】一6 2 铲 = ( k 1 + f + g ) 2 + ( 掘+ 2 a 2 西一口) 2 6 2 铲 = ( k l + f + g ) 2 + ( 2 a 2 0 一o ) 2 + 2 b f i ( 2 a 2 面一口) ：= 三 d ；1 2 d a d l l d 刍= ( k l + f + g ) 2 陆+ 2 a 2 西一0 】2 4 g ( k l + f ) a 2 面 兰州大学2007 届硕士学位论文 ( 虹+ f + g + 掘+ 2 如面一口) 一6 2 铲( f + 照+ g ) 2 = ( k l + f + g ) 2 ( 2 a 2 西一a ) ( 2 a 2 西一o + 2 b f i ) 一4 g ( h + f ) a 2 t o ( k 1 _ + f + g + 施+ 2 a 2 t o 一口) ：= r ， 当l o ，r 0 时，显然f ( y ) = 0 没有正根因此，由引理2 4 1 2 0 ，我们可以得到结论 定理2 7 当掘 0 ，则系统( 2 1 ) 的平衡点易( 面，哥，面) 是稳 定的 注2 1 根据马知恩【碉可知对于任一以( 2 1 3 ) 为特征方程的时滞系统，如果当7 = 0 时 相应的平衡位置是稳定的，则妯存在足够大的亍，使得当丁 亍时，此平衡点变为不稳定 z 4 2 半衡赢朋芏局楫疋任 在本小节中，我们将给出平衡点的全局稳定性的充分条件所用的方法是构造适当的 l y a p u n o v 函数为叙述方便起见，我t c j i a ( t ) = r 警刍，伽= ； 定理2 8 当a 2 d k k l g ( 兢+ f ) ( 6 2 + ) 时，系统( 2 1 ) 的平衡点晶( ：，o ，o ) 稳定 证明在毋( ；，o ，o ) 处，考虑函数 脚 咖( 等萨a s + 1 ；半坝