（机械设计及理论专业论文）桁架结构的分析与优化.pdf

中文摘要 本文以桁架结构为研究对象，运用有限元分析和数学规划方法，从理论分 析、算法、程序设计等三个方面对结构的分析、优化两个问题予以研究。 理论分析方面：以虚功原理为理论基础，建立了桁架结构的有限元分析的 数学模型；运用数学规划中的库恩塔克条件建立了求解应力约束优化问题的满 应力准则；运用虚功原理将位移与应力表达为统一的形式，完成了应力约束与 位移约束的线性化，并以此为基础建立了二次规划子问题；运用w o l f e 对偶理 论建立了二次规划子问题的对偶规划问题，并利用库恩塔克条件将其转化为线 性互补问题。 算法方面：以“简化”为指导思想，论述了静力学、动力学问题的求解方 法以及优化问题的优化算法；以对称矩阵l d l l 分解为基础，结合刚度矩阵的稀 疏性，推导得到了变带宽l d l l 分解算法和稀疏三角阵的回代算法：运用线性变 换将动力学问题转化为求解单变量微分方程的问题；从新的角度描述了求解线 性互补问题的l e m k e 算法；论述了针对桁架结构优化的序列二次规划算法。 程序设计方面：从表达矩阵所需的信息入手，从新的角度论述计算机中矩 阵的存储方法，并详细描述了完全存储方法以及稀疏存储中的一维变带宽压缩 存储方法；以有限元理论分析为基础，利用一个下标对应数组同时完成了边界 条件的处理以及一维变带宽整体刚度矩阵的叠加两个问题的具体实施方法的论 述；依据文中的算法，编制了桁架结构的有限元分析程序和优化设计程序。 关键词：桁架，有限元，优化设计，序列二次规划 a b s t r a c t i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ea n a l y s i sa n do p t i m i z a t i o np r o b l e m so ft r u s ss t r u c t u r e sa le s t u d i e db a s e do nf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i s ( f e a ) a n dm a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g ( m p ) m e t h o d s ，i na s p e c t so f t h e o r e t i c a la n a l y s i s ，a l g o r i t h m sa n dp r o g r a m m i n g i nt h ea s p e c to ft h e o r e t i c a la n a l y s i s ：af e am a t h e m a t i c a lm o d e lo ft h et r u s s s t r u c t u r ei sf o r m u l a t e do nt h eb a s i so ft h ep r i n c i p l eo fv i r t u a lw o r k u s i n gt h e k u h n t u c k e r ( k dc o n d i t i o no f m p , f u l ls t r e s sd e s i g n ( f s d ) c r i t e r i o ni se s t a b l i s h e d f o rs t r e s sc o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e m so ft r u s ss t r u c t u r e s a p p l y i n gp r i n c i p l e o fv i r t u a lw o r kd i s p l a c e m e n ta n ds t r e s sa r ee x p r e s s e di nau n i f i e df o r ma n d l i n e a r i z a t i o no fc o n s t r a i n t s ，i n c l u d i n gs t r e s sa n dd i s p l a c e m e n t ，i sc o m p l e t e d u s i n g i ta sab a s e ，aq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ( q p ) p r o b l e mi se s t a b l i s h e d b a s e do nw o l f e t y p ed u a l i t yt h e o r ya n dk - tc o n d i t i o n , ad u a lp r o b l e mo ft h eq pp r o b l e mi s c o n s t r u c t e da n dt h e nc o n v e r t e dt oal i n e a rc o m p l e m e n t a r i t yp r o b l e m ( l c p ) i nt h ea s p e c to fa l g o r i t h m ：g u i d i n gb ys i m p l i f i c a t i o n ，s o l v i n gm e t h o d sf o rs t a t i ca n d d y n a m i cp r o b l e m sa n da l g o r i t h m sf o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m sa les t u d i e d b a s e do n 、 t h el d l ld e c o m p o s i t i o no fs y m m e t r i cm a t r i xa n ds p a r s i t yo fs t i f f n e s sm a t r i x , a v a r i a b l e b a n dl d l la l g o r i t h mi so b t a i n e d w i t hal i n e a rt r a n s f o r m a t i o n ，d y n a m i c p r o b l e mi sc o n v e r t e di n t os o l v i n gs o m es i n g l ev a r i a b l ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s l e m k ea l g o r i t h mi sd e s c r i b e df r o man e wp e r s p e c t i v e as e q u e n t i a lq u a d r a t i c p r o g r a m m i n g ( s q p ) a l g o r i t h mi se s t a b l i s h e df o rt r u s so p t i m i z a t i o n i nt h ea s p e c to fp r o g r a m m i n g ：s t a r t i n gf r o mt h en e c e s s a r yi n f o r m a t i o nt oe x p r e s sa m a t r i x ，t h em e t h o d st os t o r eam a t r i xa r ed i s c u s s e df r o man e wv i e wa n df u l ls t o r a g e m e t h o da n do n e - d i m e n s i o n a lv a r i a b l e - b a n di ns p a r s es t o r a g em e t h o d sa l ed e s c r i b e d i nd e t a i l s u s i n ga l li n d e x m a p p i n ga r r a y , b a n d a r yc o n d i t i o n sa n do v e r a l ls t i f f n e s s m a t r i xs u p e r p o s i t i o na r ec o m p l e t e ds i m u l t a n e o u s l y f i n a l l y , a c c o r d i n gt oa l g r i t h m s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，p r o g r a m sf o rf e aa n do p t i m i z a t i o no ft r u s s s t r u c t u r e sa l e a c c o m p l i s h e d k e y w o r d ：t r u s s ，f e a ，o p t i m i z a t i o n ，s q p 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得 的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨注叁鲎或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 靴做储繇到彳，秒签字眺唧年，月哆日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫盗盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤洼盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学 校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：钊者，材 签字吼唧年，月2 j 7 日 月易罗日 | 才1 、- 布 年 口，、厂 讶c 1 名 期 签 日 师 字 导 签 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 古代木构建筑，而今2 0 0 8 北京钢结构“鸟巢；大到跨度为数百米的场馆， 小到周期性桁架微结构非匀质材料的基胞；外太空飞行器的大型可展天线1 2 j ， 地面上跨越江河的桥梁，桁架结构随处可见。 桁架结构在工程领域中有着广泛的应用。近年来，空间结构发展迅速p 4 声j ， 其中凡是由拉压杆件构成的结构均可归属于桁架范畴。大型空间结构，如建筑 中覆盖几万平米的大型网架，均要求一次性设计成功，不容许有任何疏漏：另 外此类结构的用钢量巨大，甚至数以万吨计，如“鸟巢”用钢量达4 2 万吨。 鉴于此，一方面要研究桁架结构分析方法，分析其承载能力、抗震性能等，使 其更加安全可靠；另一方面要研究桁架结构的优化设计方法，寻找高可靠性与 低消耗之间的最佳契合点，使其结构更加合理，也使有限的资源物尽其用。 1 2 结构分析方法概述 1 2 1 有限元法 目前，结构分析方法首推有限元法。有限元方法，自2 0 世纪中叶m a r t i n ， t u n e r ，c l o u g h 等人提出了的基本思想和方法，经过i 蓍# b z i e n k i e w i c z t 6 。，t a y l o r l o j ， 鹫津久一郎7 1 ，国内冯剧矧、钱令希、钱伟长 8 , 9 1 、胡海昌等众多前辈的研究， 至今已经发展为理论基础严密、应用范围广泛的分析方法。从现代的观点来看， 有限元法是在索伯列夫函数空间中求解微分方程的弱解的数值方法，以变分原 理作为其理论基础【1 0 1 。由于结构分析最终归结为求解固体力学控制微分方程的 边值问题( 静力学) 或初边值问题( 动力学) ，有限元法非常适合处理此类问题， 并且当之无愧地处于垄断地位。 1 2 2 无网格法 无网格法f 川是近年来兴起的一种数值方法，在大变形、塑性变形、碰撞乃 至破坏等极端情况下的结构分析中，似乎比有限元法更有前途。有限元法的成 功依赖于结构的单元分割，然而，正因如此，在一些极端情况下，单元发生极 度畸变，使得计算误差极大甚至无法进行。无网格法抛却单元概念，只保留节 第一章绪论 点，使其不受变形大小影响。目前，无网格法尚处于初步发展阶段，远不及有 限元法成熟，还无法与之匹敌，但在某些领域已经显示出无比的优越性。 1 2 3 分析软件 结构分析需要进行大规模科学计算，计算机功不可没，大型有限元分析软 件将有限元法的威力发挥地淋漓尽致。目前，流行的商用有限元分析软件主要 有n a s t r a n 、a d i n a 、a n s y s 等。虽然，不同的软件各有所长，但其基于的 分析理论基本相同，软件的发展依赖于分析理论的发展和计算方法的研究。有 些软件中开始融入无网格分析方法，如a n s y sa u t o d y n 软件中采用了无网 格法中的s p h ( s m o o t hp a r t i c l eh y d r o d y n a m i c s ) 方法l l2 j 求解大变形、冲击、碰 撞、爆炸等问题。 1 3 结构优化设计概述 伴随电子计算机的出现，迅速崛起的除了计算力学中的有限元法之外，还 有计算数学中的数学规划方法。二者交融之处，现代结构优化设计方法于此诞 生，并迅速应用于航空、航天、船舶、桥梁、汽车、机械、水利、建筑等众多 工程领域。 1 3 1 设计层次 结构优化设计问题均可描述为如下标准的数学规划问趔1 3 1 ： m i n f ( x ) s j c i ( x ) = 0 ( f e ) e ( x ) 0 ( f ，) x r ” ( 1 1 ) 其中厂( 柚为目标函数，e 为约束函数，e 为等式约束指标集，为不等式 约束指标集，x 为设计变量，r ”为定义在实数域r 上的刀维空间。根据建模时 考虑的因素不同，结构优化设计可分为若干层次：根据设计变量的类型，结构 优化设计可分为尺寸优化，形状优化，拓扑优化等三个层次i l4 j ；根据选取的目 标函数以及给定的约束条件不同，结构优化设计可分为静力学优化和动力学优 化两个层次。对于低层次的研究进展较快，理论也较为成熟；对于较高设计层 次的研究，进展则相对缓慢。之所以如此，一是随优化层次的提高，通常说来， 需要的理论深度会逐渐增加，优化的难度也随之增大；再者就是，工程实践的 2 第一章绪论 需求层次也有一个逐渐提高的过程，现实需求的推动力不可忽视。目前，研究 重点已经逐步由尺寸优化转向形状优化和拓扑优化i m 体1 ，由静力学优化转向动 力学优化【l 引。虽然如此，关于较低设计层次的研究并未停止，一方面现实之中， 此类需求依然很多，并且要求的设计规模越来越大：另一方面，所谓层次只是 人为的划分，实践之中，各种层次往往交织在一起，无法分割；再者，优化问 题具有统一的数学模型，各种优化层次的优化方法可以相互借鉴。 1 3 2 设计方法 结构优化设计的研究主要分为两方面：建模与求解。求解方法主要分为准 则法【2 5 1 、数学规划【2 6 1 、遗传算法【2 4 1 等三类。准则法出现最早，也是大规模结 构优化设计中应用最多的一类方法，其优点在于收敛迅速较快，迭代次数与求 解问题的规模关系不大；数学规划方法理论严谨、适用广泛，而且可与力学概 念恰当融合，其求解效率毫不逊色于准则法；遗传算法似乎是三者之中适用范 围最广的一种方法，而且其算法依概率收敛于全局最优解，如果结构分析的计 算量不大，此类方法最具竞争力。由于结构优化问题复杂，一种方法的优化效 果有限，若将多种方法( 如遗传算法与准则法) 恰当组合，发挥其各自长处， 可能获得较好的优化算法【2 4 1 。 软件在优化设计领域不可或缺，大型分析软件如n a s t r a n 、a n s y s 等都 具有一定的优化能力，只是与其优异的分析性能相比，其优化功能相形见绌。 目前，结构优化软件有大连理工大学研制的j i f e x ，德国f e d e s i g n 公司的 无参结构优化设计软件t o s c a 等。 1 3 3 桁架结构 自米歇尔桁架理论开始，桁架优化理论便在结构优化设计理论中占据了重 要地位，见证了结构优化设计的整个发展历程。除了具有实践应用价值外，从 理论研究的角度看，桁架结构可以说是结构优化设计领域的“小白鼠”，它为结 构优化设计提供了一个很好的研究对象：结构形式简洁，分析相对容易，便于 研究的深入开展；尺寸、形状、拓扑等优化设计的层次可以明确地分开，便于 集中精力对某一层次做深入研究；鉴于离散体与连续体之间的密切关系，桁架 优化设计方法具有推广至连续体优化之中的潜力，而且连续体优化问题也往往 借助微观结构转化为离散体优化问题；随着对连续体优化设计研究的深入，可 以发现许多连续体拓扑优化的结果与桁架结构极为相似。因而，许多方法都要 在此类结构上初试牛刀。最近，控制理论已经开始融入桁架结构优化之中，关 于所谓“智能桁架”的研究已经展开i 玎j 。 第一章绪论 1 4 本文主要内容 本文以桁架结构作为研究对象，以有限元法和数学规划方法为工具，系统 地研究桁架结构的分析以及优化设计方法，其主要内容如下： 1 建立静、动力学问题的数学模型 2 研究静、动力学问题的求解方法 3 编制有限元分析程序 4 运用满应力准则优化具有应力约束的桁架结构 5 运用序列二次规划方法优化具有位移约束的桁架结构 6 编制优化设计程序 7 用编制的程序对实际工程项目中的桁架结构予以分析、优化 4 第二章桁架结构的有限元分析 2 1 理论基础 第二章桁架结构的有限元分析 空间弹性体q ，其边界为r ，r 分为位移已知的边界r 。与载荷已知的边界 r ，。在体积力f 与边界载荷p 作用下，q 内具有应力场o r 、应变场占、位移场n 。 对于任意容许位移钿以及对应的应变魔，由虚功原理1 7 ，4 0 1 可知： l 魔7 c r d f 一l 钿，一f 翮7 p d f = 0 ( 2 - 1 ) 其中加在r 。上满足8 u = 0 。将q 分割为疗个单元q 。 = l ，2 ，帕，q 。的边界为 r ，式( 2 1 ) 可改写为： ( l 麽7 盯d q ls u r 饼q l 钿7 p 订) = 0 ( 2 2 ) 由于虚功原理与坐标系的选取无关，因而，式( 2 2 ) 中对每一个单元q 。积分时， 不同的单元可以选取不同的坐标系，我们称其为单元坐标系。与之对应，式( 2 1 ) 积分时，在q 上定义的坐标系称为整体坐标系。将单元q 。内的位移场用简单函 数近似，即： e l 盯n a 。 ( 2 3 ) 其中，n 为已知函数，称为形函数；a 。为单元饼的位移控制参数。如果确定了 a ，便可确定甜中任意一点的位移值。同理，令q 的位移控制参数为a ，且 a 。= t 。a ( 2 4 ) 其中，r 为变换矩阵。在线弹性、小变形前提下，应力与应变、应变与位移之 间分别满足 口=d6。占=au(2-5) 其中，d 为材料的刚度系数矩阵，a 为微分算子阵。将式( 2 - 3 ) 、( 2 4 ) 、( 2 5 ) 代 入( 2 2 ) ，整理后可得： 幽7 ( k a f ) = 0 ( 2 - 6 ) 其中k ：y r 7 k 。r ，k 。：fs r d s d f ，s ：a n _ _ jj d * f 2 ；( r ( l 矿f d f l + l n r p 订) ) k 称为整体刚度矩阵，k 。为单元刚度矩阵，由其表达式可知：若d 对称，则 5 第二章桁架结构的有限元分析 二者皆为对称矩阵。f 称为广义力阵。由于，式( 2 - 6 ) 中6 a 任意，则可知 k a - f = 0 ( 2 - 7 ) 于是，求解q 内位移场i i 便归结为求解方程( 2 - 7 ) 中的a 。 2 2 单元分析 2 2 1 单元刚度矩阵 对于桁架结构而言，它具有天然的单元分割，每一个杆件便可作为一个单 元，杆件交汇之处称为桁架的节点。杆件上任意一点可以由一个坐标，来描述， 因而，桁架单元为一维单元。任意一个单元甜含有两个节点，坐标分别为、 ，则单元内任意一点的坐标可表示为： x 。( 善) = l ( 孝) + 2 ( 孝) ，孝卜l ，l 】( 2 8 ) 其中，孝为参数，g x 。( 一1 ) = ，r ( 1 ) = 。m ( 孝) 与2 ( 善) 为坐标插值形函数， 且 11 l ( 孝) = 寺( 1 一孝) ，2 ( 孝) = 去( 1 + 孝) ( 2 9 ) 二二 单元两个节点的位移分别为听，“；。选取听、作为单元的位移控制参数，并 且位移插值与坐标插值选取相同的形函数，则单元内任意一点的位移为： 。( 孝) = m ( 孝) 甜；+ 2 ( 孝) 砰，孝【一l ，l 】( 2 - l o ) 由式( 2 3 ) 可知，对于桁架单元，n = ( l ( 善) ，2 ( 孝) ) ，a 。= ( ，) 。一维单元的 应力与应变、应变与位移的关系分别为 矿= e z ， 幽。 弘万 其中，e 为材料的弹性模量。由式( 2 5 ) 可知 d = e d a = = d r 。 ( 2 - 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) 由式( 2 8 ) 与( 2 - 9 ) 可知 等= 1 2 ( 一i ) = 兰2 ( 2 - 1 3 ) d 芒 l 、 其中，上为单元的长度。由式( 2 6 ) q hs 表达式以及( 2 - 9 ) 、( 2 1 2 ) 、( 2 1 3 ) ，可知 s = ( 昙懒丢吣，) = ( - _ ，lz 1 ) 弘 6 令单元的截面面积为彳，则体积微元饱可表示为 d q = 膨= 等蟛( 2 - 1 5 ) 将( 2 1 2 ) 、( 2 1 4 ) 、( 2 1 5 ) 代入( 2 6 ) 的单元刚度矩阵表达式，可得： k r ：f j - i 2 2 2 坐标变换 l l 工 e ( 一圭圭) 争= 譬( 二。 ( 2 - 1 6 ) 取单元内任意向量v ，其在单元坐标系以及整体坐标系下的表达形式分别 v _ 矿! 。(2q7) 其中，i c 为单元坐标系的单位基向量，矿为v 在单元坐标系下的坐标；( i ，i ) ，i ：) 为总体坐标系的单位正交基，( 叱，_ ，匕) 为v 在整体坐标系下的坐标。向量为几 何实体，与所选的坐标系无关，则 v e i 。= 匕i ，+ v y i j ，+ 吃i ： ( 2 - 1 8 ) 式( 2 1 8 ) 两侧同时与i 。作内积，可得： 矿= 匕，。+ v y m 。+ 匕矿= ，。r v c - 1 9 ) 其中，。= ( ，。，肌e , b e ) 7 为i 。在总体坐标系下的方向余弦。 式( 2 - 4 ) 中a 取为 a = ： ( 2 2 0 ) 其中u ，o ：1 ，2 ，功为节点f 在总体坐标系下的位移向量。令单元q 的两个节点 分别对应节点f 与节点_ ，则由式( 2 一1 9 ) 可知： = ，“u ， = ，“1 1 ， ( 2 2 1 ) 由式( 2 4 ) 与( 2 2 1 ) 可知： r 娃) 弘2 2 ， 。t ；。j t c 为2 刀的分块矩阵，每个子阵为l x 3 的矩阵，并且除去t ：与t ；，之外，其余子 7 第二章桁架结构的有限元分析 矩阵均为0 阵。其中t ：= t ；j = ，“。 2 3 静力学问题 k ：e r kr = r 。= l ；ii ( 2 - 2 3 ) 俺。厶1 。 。k 。盂二j r 。为t ? 的分块矩阵，每个子阵为3 3 的矩阵，并且除去正：、0k - - 。一、丘之 盂：= = 一；= 一正；j = e a 1 。，。r ( 2 - 2 4 ) 8 u r f d f 2 + f 钿7 p a r = o + 8 u r p 。= 妇7 p ( 2 - 2 5 ) 其中p ，为作用于节点i 的集中载荷。与式( 2 6 ) 对比可知 = p 2 6 ， 2 4 动力学问题 由达朗贝尔原理可知：体积力之中包含运动产生的惯性力l ，且 l = 一州 ( 2 2 7 ) 其中p 为物质的密度，西为加速度场。将惯性载荷分离出来，考虑其对广义力 阵的贡献匕，由式( 2 - 6 ) 可知： l = ( r ，ln r l d q ) ( 2 - 2 8 ) 由式( 2 - 3 ) 与( 2 4 ) 可知 第二章桁架结构的有限元分析 豇i 盯n i l 。= n t 。i i ( 2 2 9 ) 将式( 2 2 7 ) 与( 2 2 9 ) 代x ( 2 2 8 ) 可得： 匕= - m i i( 2 - 3 0 ) m = r 7 m 2 r ，m 。= lp n 7 n d q ( 2 3 1 ) 一tz 其中，m 称为整体质量矩阵，m 。为单元质量矩阵。将式( 2 3 0 ) 代a ( 2 7 ) ，整理 可得： m i i + k a = f ( 2 - 3 2 ) 式( 2 - 3 2 ) 中的f 已经不包含惯性力的贡献。将式( 2 9 ) - t ：( 2 1 5 ) 代入式( 2 3 1 ) ，可得 桁架结构的单元质量矩阵： 肌丝6 ( 詈三) p 3 3 ， il 2j 、7 效仿式( 2 - 2 3 ) ，可知整体质量矩阵为： m = r 7 m 。r = 丽。 ( 2 - 3 4 ) 其中，晚8 与式( 2 2 3 ) 中r 8 具有相同的分块形式、相同的0 元素的分布。觑。的 四个非0 子矩阵分别为： 晔面= 等以“，面；= 面；= 譬川盯 ( 2 - 3 5 ) 至此，桁架结构的整体质量矩阵m 已经确定，结合静力学分析得到的整体刚度 矩阵k 以及广义力阵f ，则动力学模型建立完毕。 2 5 边界处理 边界r 分为r 。与r ，两部分，其中r 。上的位移已知，载荷未知。因而，结 构离散之后与r 。对应的位移控制参数已知，而相应的广义力未知。从而，a 以 及f 可分别对应的分为已知与未知两部分，重新排列其元素，将已知量与未知 量分开。对应a 与f 的排列顺序，将m 与k 的元素也重新排列，并做相应分割。 则，式( 2 3 2 ) 可改写为： ( m m ：l i 。肌m 控1 2 八、l ( a i i ：l + ( 薹：k 2 2 ) 、, a 2 ) = ( 乏) c 2 3 回 其中，a 。、e 未知，a ：、e 已知。将式( 2 3 6 ) 改写为如下两式： 9 第二章桁架结构的有限元分析 m l l 五l + k l l a l = e m 1 2 主i 2 一k 1 2 a 2 ( 2 3 7 ) e = m 2 l 主i l + k 2 l a l + m 2 2 五2 + k 2 2 a 2 ( 2 3 8 ) 由式( 2 3 7 ) 口- j 求解a 。，将a ，代入( 2 - 3 8 ) 口- j 求解f 2 。若边界r 。固定，即a ：= 0 ，式 ( 2 - 3 7 ) n f i 简化为 m l l 萄l + k l l a l = l i( 2 3 9 ) 对于静力学问题，式( 2 3 9 ) 中惯性项为0 ，静力学方程化为 k i l - l a = e( 2 - 4 0 ) 求解结构的动力学与静力学问题转化为求解式( 2 - 3 9 ) 与( 2 4 0 ) 。桁架结构边 界条件可按照上述过程做相应处理，不再赘述。 1 0 第三章有限元的求解方法及程序实现 第三章有限元的求解方法及程序实现 3 1 静力学求解 由式( 2 - 4 0 ) 可知，应用有限元法求解结构静力学问题最终归结为求解形如 a x = b ( 3 - 1 ) 的线性方程组，其中a 为对称正定矩阵，b 为已知向量，x 为待求向量。( 注： 本章中的符号，除特殊说明外，只具有数学意义。) 矩阵a 可分解为如下形式： a = l d f f ( 3 - 2 ) 其中l 为单位下三角阵，d 为对角阵。则，式( 3 1 ) 可改写为 l d l 7 x = b ( 3 3 ) 由式( 3 - 3 ) g 知，求解方程( 3 一1 ) 可转化为求解下列方程： ly=b l d z = y ( 3 - 4 ) r x = z f ， 依次求解式( 3 - 4 ) q ，的三个方程便可求得x 。由于矩阵l 与d 的形式与a 相比要 简单许多，因而，虽然需要求解三个方程，但其求解难度却大大降低。现在的 问题是如何将矩阵a 分解为式( 3 - 2 ) 中的形式。 3 1 1l d l 。分解 = 乇如 ( 3 - 5 ) 岛： 1 i 三二，吒： ；三；c36，i 岛= = ， 吒= 二， ，一 ( 3 6 【毛 j 一 。 第三章有限元的求解方法及程序实现 ， - - e 或0( i j ) ( 3 - 7 ) k = i 将式( 3 7 ) 简单整理之后，可得： i - 1 屯巧= 嘞一喀& ( j i ) ( 3 8 ) k ：l i - i 码= 一瑶破 ( j = 力( 3 - 9 ) k ：l 按行优先顺序扫描a 的下三角部分( 含对角线元素) ，由式( 3 8 ) 与( 3 9 ) 可 以顺次求解出厶与z 。从而，可以得到如下矩阵a 的l d l t 分解算法：( 算法3 1 ) 3 1 2 矩阵的稀疏性 疡ri = lt o 刀 力，j = 1t oi - i 岛= ( 一薹k 畋k ，嘭 e n d 喀= 一坛哝 由式( 2 - 2 3 ) 与( 2 2 4 ) 可知，在有限元分析中，只有两个节点共同归属于同一 个单元时，刚度矩阵中与这两个节点相对应的元素才不为0 。通常一个单元包 含的节点数目有限，一个节点归属的单元数目也有限，因而刚度矩阵中非0 元 素的数目有限。与之对应，式( 3 1 ) 中的系数矩阵a 将体现出明显的稀疏特性。 由于存在大量的0 元素，如果将a 处理为满阵，则方程( 3 1 ) 的求解过程中将进 行大量与0 元素相关的运算，而这些运算中有很大一部分是多余的。如果能够 充分利用a 的稀疏性，尽量避免多余的运算，则可使计算效率得到提高，对于 大规模问题尤为明显。 由式( 3 - 8 ) 可知，如果矩阵a 第l f 彳：亍的前k ( 七 ，密度p = 7 8 6 0 k g m 3 ，弹性 模量e = 2 0 1 x 1 0 1 1 p a 。网架结构水平放置，上弦的2 ，6 ，7 ，l l ，2 5 5 ，2 5 9 ，2 6 0 ，2 6 4 等 8 个节点固定。结构承受6 0 0 k n 垂直载荷，载荷均分于下弦节点上，即每个下 弦节点承受4 9 5 8 6 8 n 垂直向下的载荷。我们考虑两个问题：1 ) 不计自重；2 ) 考虑自重。计算两个问题的最大应力( 包括最大拉应力与最大压应力) ，最大节 点位移( 仅考虑沿坐标轴x ，y ，z 三个方向的位移值，工轴方向由l 号节点指向 1 2 号节点，y 轴方向由l 号节点指向2 5 4 号节点，z 轴垂直向上) 。 图3 1 空间网架结构 本文的分析程序的计算结果如下： 问题l ： 最大拉应力：1 8 2 1 6 5 e + 0 0 8 ，3 6 3 号单元 最大压应力：9 3 9 4 9 3 e + 0 0 7 ，4 1 5 号单元 最大节点位移：0 0 7 2 3 0 5 1 ，1 3 2 号节点，z 向 问题2 ： 最大拉应力：2 2 6 0 4 7 e + 0 0 8 ，3 6 3 号单元 2 l 第三章有限元的求解方法及程序实现 最大压应力：1 1 6 5 1 4 e + 0 0 8 ，4 1 5 号单元 最大节点位移：0 0 8 9 6 9 8 8 ，1 3 2 号节点，z 向 ( 注：以上结果中应力单位为p a ，位移单位为m 。) 由结果可知：受重力影响，杆件的内力以及节点的位移均有所增加。本文 中的例子，由于重力是均匀分布的，与载荷相比之下，重力较小，基本上不改 变载荷分布情形，最大应力与最大节点位移的位置没有改变。 ( 恕作者无法在图中指出1 3 2 号节点以及3 6 3 、4 1 5 号单元的具体位置) 第四章桁架的优化设计 4 1 问题描述 第四章桁架的优化设计 对于桁架结构的优化问题而言，可取结构的总重量为目标函数，杆件的应 力、节点的位移等作为约束条件，杆件的截面积为设计变量。考虑到在现实中， 一个结构可能有多种不同的受力状态( 每一种受力状态我们称其为一个工况) ， 并且为便于加工、制造，通常将桁架结构的所有杆件分为若干类，每一类杆件 具有相同的截面面积，共同由一个设计变量来控制。从而建立其优化问题的数 学模型为： r a i n w ( a ) = 成4 k = l s t 幺一匠( f = 1 ，2 ，m ；s = l ，2 ，) ( 4 1 ) 均巧( ，= 1 ，2 ，g ；s = l ，2 ，) 丞4 互：( 七= 1 ，2 ，刀) 其中形结构的总质量 4 第k 类杆件的截面积 互第k 类杆件的截面积上限 4 第k 类杆件的截面积下限 丘第元类杆件的总长度 级第k 类杆件的密度 矿杆件f 在第s 种工况时的应力值 最杆件珀勺许用拉应力 巴杆件f 的许用压应力 材：位移约束，在第s 种工况时的位移值 历。正向容许位移 材。反向容许位移 刀杆件截面种类数 历杆件的数目 ，工况数目 g 约束位移数目 注：约束位移规定了位移对应的节点以及位移的方向，位移的正、反是相 第四章桁架的优化设计 对于规定方向而言。( 本章符号自成体系，矩阵、向量、标量均采用斜体，使用 下标表示矩阵、向量的元素。结合上下文不会出现混淆，如出现符号重复使用 时，文中将对其含义给予说明。) 限于本文所涉及的研究内容，目标函数中未包 含制造、安装费用等不便与设计变量建立函数关系的成分，约束方程中尚未考 虑受压杆件的稳定性约束以及动态性能性能相关的诸多因素( 比如，固有频率 等) 。总体上说，式( 4 1 ) 属于静态优化问题。 4 2 应力约束问题 首先考虑问题( 4 1 ) 的一个简化问题，即仅有应力约束和尺寸上下限约束的 设计问题，将其写为式( 1 1 ) 的标准形式： m i n 形( 彳) = 以厶4 k = i s 1 云t o ：0 一一当0( 4 - 2 ) 4 4 0 4 4 0 ( f = 1 ，2 ，m ；s = l ，2 ，l ；k = 1 ，2 ，靠) 4 2 1 简化应力约束 由于应力与设计变量之间函数关系复杂，式( 4 2 ) 中以隐式形式表达应力约 束，且此约束为设计变量的非线性约束。问题“2 ) 属于非线性最优化问题，设 计变量的数目与约束的数目共同决定了此优化问题的规模。上文中，我们引进 杆件类，缩减设计变量的数目。同理，若能事先剔除一些冗余约束，无疑会进 一步减小优化问题的规模。建立一个恰当的数学模型，使其足以描述此优化问 题，而其求解规模又不无谓的大，这在结构优化设计中很重要，至少与问题的 求解同样重要。 对于杆件f ，在不同的工况下具有不同的应力，应力值有大有小，可能为 拉应力也可能为压应力，我们要求杆件i 在各种工况下均应满足其应力约束条 件；对于第k 类杆件，可能有众多的杆件归属于此类，不同的杆件具有不同的 应力，我们要求这些杆件均应满足第k 类杆件的应力约束条件。令杆件i 的应力 约束条件与其归属的杆件类的应力约束条件相同，若不同，将其单独划分为一 类杆件。至此，对于第k 类杆件，其应力约束条件为： gs 咙五o = 1 ，2 ，l ；i = l ，2 ，) ( 4 - 3 ) 2 4 第四章桁架的优化设计 其中，以表示归属于第七类杆件的第f 个杆在第s 种工况下的应力，为归属 于第七类的杆件的数目，且 = 聊 ( 4 4 ) k = l 式( 4 3 ) 等价于 吒一五，吼疵巳 ( 4 - 5 ) 其中，吒一、呱曲分别为第七类杆件的最大拉应力与最大压应力，且： 吼曲2 呼 o ，吒) ，吒一= m u a x o ，以 ( 4 - 6 ) 之所以在式( 4 6 ) 中含有“0 ”，是为了保证拉应力非负、压应力非正。 至此，我们将式( 4 2 ) 中2 m 1 个应力约束条件缩减为式( 4 - 5 ) 中所表达的2 刀个 约束方程，优化数学模型变为： 4 2 2 求解 m i n w ( a ) = 反如4 k = l s j 元一吒一0 吼n t n 一巴0( 4 7 ) 4 4 0 4 4 0 ( 七= 1 ，2 ，力 建立式( 4 7 ) 的l a g r a n g e 方程： l ( a ，五，胁y ，笮) = ( 么) 一 ( 瓦一吼一) 一触( 吒疵一g ) 捌 扣1 “8 ) 一( 互一4 ) 一仇( 4 4 ) k = lk = l 其中旯、y 、r