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基于可编程区分器思想的量子混合态无歧区分摘要 基于可编程区分器思想的量子混合态无歧区分 专业：计算机软件与理论 硕士生：甘宏锋 指导教师：邱道文教授 摘要 量子信息学是量子力学理论和计算机理论相结合而产生的一门新型交叉学 科。该学科以量子力学的基本原理为基础，研究量子信息处理相关方面内容， 包括量子计算和量子通信两大部分。而本文研究的量子信息状态区分理论是量 子信息学理论体系中重要的基础理论之一。研究量子状态的区分，除了能完善 量子信息的基础理论外，对于量子信息领域中相关其他方面的研究应用，如状 态的比较、状态的过滤、概率超密编码等也有着重要的现实意义。 本文针对量子状态区分中重要的一个方面量子混合态的无歧区分展开研 究，系统地阐述了量子混合态无歧区分的相关理论，包括量子混合态无歧区分 的相关概念和实现过程、量子混合态可无歧区分的相关条件、量子混合态无牧 区分成功概率的上界以及成功概率取得上界的相关情况等方面内容。在充分总 结前人研究成果的基础上，本文将可编程量子状态无歧区分器的思想推广到量 子混合态的无歧区分之上，并依此探求量子混合态无歧区分的成功概率。研究 证明了相对于最初提出的拥有两个程序寄存器和一个数据寄存器的可编程纯态 无歧区分器而言，是不存在类似的基于混合态的可编程无歧区分器的，但研究 发现可以利用可编程无歧区分器的思想研究量子混合态无歧区分的相关情况。 文章指出当利用可编程区分器思想区分两个混合态的失败概率达到下界时，在 大部分情况下利用可编程无歧区分器思想进行混合态区分的成功概率是比直接 对混合态进行无歧区分要优的。文章的最后总结了本文的主要结果并对相关方 面的进一步研究作了一定的展望。 关键词：量子信息量子混合态无歧区分可编程区分器p o v m 基于可编程区分器思想的量子混合态无歧区分a b s t r a c t u n a m b i g u o u sd i s c r i m i n a t i o nb e t w e e nm i x e dq u a n t u ms t a t e s b a s e do nt h ei d e ao f p r o g r a m m a b l ed i s c r i m i n a t o r m a j o r ：c o m p u t e rs o f t w a r ea n dt h e o r y n a m e ：h o n g f e n gg a n s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rd a o w e nq i u a b s t r a c t q u a n t u mi n f o r m a t i o ni s an e wc r 0 8 8s u b j e c tw h i c hc o m b i n e sq u a n t u m m e c h a n i c sa n dc o m p u t e rt h e o r y t h er e s e a r c ho ft h i ss u b j e c ti sh o wt od e a lw i t h q u a n t u m i n f o r m a t i o nb a s e do i l q u a n t u mm e c h a n i c s , w h i c h i n c l u d e s q u a n t u m c o m p u t a t i o na n dq u a n t u mc o m m u n i c a t i o n t h ed i s c r i m i n a t i o nt h e o r yo fq u a n t u m s t a t e sw h i c hw er e s e a r c h h e r ei so d eo f t h em o s ti m p o r t a n tb a s i ct h e o r i e si nq u a n t u m i n f o r m a t i o ns y s t e m a n dt h er e s e a r c ho fq u a n t u ms t a t e s d i s c r i m i n a t i o ni sa l s ov e r y i m p o r t a n tt os o m eo t h e ra p p l i c a t i o n si nq u a n t u mi n f o r m a t i o nf i e t d , s u c ha ss t a t e c o m p a r i n g ，s t a t ef i l t e r i n ga n d s oo n i nt h ep a p e r , w em a k eas y s t e m a t i ct h e o r e t i c a ls t u d ya b o r tt h eu n a m b i g u o u s d i s c r i m i n a t i o nb e t w e e nm i x e dq u a n t u ms t a t e s t h es y s t e m a t i ct h e o r e t i c a ls t u d y c o u l db ed i v i d e di n t of o u rp a r t s ，w h i c ha r et h ec o n c e p ta n di m p l e m e n to f u n a m b i g u o u sd i s c r i m i n a t i o nb c t w e c nm i x e dq u a n t u ms t a t e s , t h es u f f i c i e n ta n d n e c e s s a r yc o n d i t i o nu n d e rw h i c hm i x e dq u a n t u ms t a t e sc a nb eu n a m b i g u o u s l y d i s c r i m i n a t e d , t h eb o u n do fs u c c e s sp r o b a b i l i t ya n dh o wt og e tt h eb o u n do ft h e s u c c e s sp r o b a b i l i t yo fu n a m b i g u o u sd i s c r i m i n a t i o nb e t w e e nm i x e dq u a n t u ms t a t e s b a s e do nt h i ss t u d y , w e 仃yt ou p r o g r a m m a b l eq u a n t u ms t a t ed i s c r i m i n a t o rt o u n a m b i g u o u s i yd i s c r i m i n a t em i x e dq u a n t u ms t a t e s w ep r o v et h a ti td o e sn o te x i s t t h ep r o g r a n m l a b l em i x e dq u a n t u ms t a t eu n a m b i g u o u sd i s c r i m i n a t o rw h i c hh a st w o p r o g r a m g i s t e r sa n do n ed a t ar e g i s t e r b u tw ef m d t h a tw ec a nu s ct h ei d e ao f p r o g r a m m a b l ed i s c r i m i n a t o rt ou n a m b i g u o u s l yd i s c r i m i n a t em i x e dq u a n t u ms t a t e s t h er e s e a r c hs h o w st h a tb yu s i n gs u c h 锄i d e a , w h e nt h e 嗣珥c e s sp r o b a b i l i t yf o r d i s c r i m i n a t i o nr e a c h e st h eu p p e rb o u n d ，t h es u c c e s sp r o b a b i l i t yi sb e t t e rt h a nw h a t w ed on o tu t h ei d e at od o e x c e p tf o rs o l i l es p e c i a lc a s c s a tl a s t , w ec o n c l u d et h e p a p e rw i t ha s h o r ts u r o m a r ya n d g i v es o m ep r o s p e c t sf o rt h ef a r t h e rr e s e a r c h k e y w o r d s ：q u a n t u mi n f o r m a t i o n , m i x e dq u a n t u ms t a t e ，p r o g r a m m a b l eq u a n t u m s t a t ed i s c r i m i n a t o r , u n a m b i g u o u sd i s c r i m i n a t i o n , p o v m 基于可编程区分器思想的量子混合态无歧区分第1 章绪论 1 1 课题研究的背景 第1 章绪论 量子信息学是将量子力学理论和计算机理论结合起来而产生的一门新型交叉学 科。它是构筑在量子力学基础之上，利用微观粒子的量子力学原理来解决经典信息学 问题的一门新型信息学学科。量子信息是以量子态为信息的载体，而量子态具有经典 物理态没有的特殊性质，这使得量子信息理论具有经典信息无法比拟的优越性，因此， 量子信息学从诞生之日起，在短短二十年间得到了迅猛的发展，并随着研究的不断深 入，相关理论体系逐渐形成，量子信息学也日渐成为了一门独立的学科。 目前量子信息学的研究工作主要集中在量子信息基础理论、量子通信与量子计算 等相关领域，并且都得到了较为广泛深入的研究。首先，量子信息基础理论得到了不 断深入的探讨与完善，如量子纠缠、量子不可克隆、量子叠加性和相干性等【l 】量子信 息基础理论的完善，为信息的量子化，利用量子力学的特性研究信息论打下了扎实的 基础。而在量子通信方面，量子信息通信作为量子信息中研究较早的领域，其相关的 方面也得到了很大的发展，如利用量子纠缠的现象，量子超密编码【l 】可以实现只传送 一个量子位，而传输两个比特的量子信息；量子隐形传态【i 】可以实现不发送任何量子 位而把量子未知态传送过去；以量子不可克隆定理为基础的量子密钥分配 2 1 为绝对安 全的保密通讯提供了物理上的保证等。而在量子计算方面，在量子算法方面最具广泛 影响的有，如可以有效快速地进行大数因子分解的s h o r 算法【3 】；能够快速解决搜索n 项数据集问题的量子搜索算法g r o v e r 算法 4 1 等；而同时在量子计算的其他方面如量子 仿真、量子逻辑网络、经典的容错计算等【1 】都得到很大发展总之，量子信息由于自 身独特的优点以及近些年来不断取得的研究成果，已经引起了无论是学术界还是信息 产业界、各国政府部门等的广泛关注与重视，显示出了十分广阔的科学和技术发展前 景。 而本文所研究的量子状态的区分，是量子信息基础理论中最著名的理论之一，也 基于可编程区分器思想的量子混合态无歧区分第1 章绪论 是目前量子信息领域中研究的热点方向之一。量子状态的区分，是量子信息提取的根 本，由于量子信息本身特有的性质，使得量子状态的区分异于经典信息理论，因此量 子状态的区分显得尤为重要。研究量子状态的区分，除了能完善量子信息的基础理论 外，其在量子通信与量子计算领域中也有着广泛的应用，如概率超密编码【5 1 ，量子状 态的比较f 6 】和量子状态的过滤1 7 1 等等，因此研究量子状态的区分是具有重要的现实意 义的。 1 2 国内外研究动态 在国际上，由于量子信息的研究起步较早，而量子状态区分理论作为量子信息的 一个重要基础理论，其相关研究也较早得到了开展，目前对量子状态区分的研究可以 说到了一个比较成熟的阶段，各种情况下的区分都得到了较为深入的研究和分析，取 得了较为丰富的成果。而在国内，相对来说此方面的研究尚属起步阶段，而且这些研 究也多是建立在一些研究得较为成熟的理论基础之上的，能独自开创新的领域的较 少。总的而言，目前国内外对量子状态区分的研究，可以分为完全区分、有歧区分和 无歧区分三大部分，而每一部分又可细分为纯态与混合态两类区分： ( 1 ) 完全区分( r e l i a b l yd i s t i n g u i s h ) 【l 】。完全区分意思就是能以概率1 区分状态， 不会出现错误的精确的区分。在经典信息里面，一个经典比特只有0 或1 两个状态， 显然这两个状态是可以完全区分的。给定一个状态通过观测，我们就可以知道其是0 状态还是1 状态，如在实际中我们可以通过观测有无电压来实现区分。而这里状态0 和1 可以完全区分的根本原因是这两个状态是相互正交的。而在量子信息领域里面， 量子状态不单单包括0 和1 这两个状态，还包括了这两个状态的叠加态 l ) = 盯lo ) + 1 1 【1 1 ，其状态的个数是无穷多个的，因此对给定的量子状态是否也可 以完全区分呢? 答案是有类似的结论，给定的量子状态可以完全区分的充要条件是被 区分的量子状态必须是两两正交的【“，这结论对量子状态的纯态和混合态都是适用的， 而混合态能完全区分的充要条件是给定的状态必须是两两正交的结论则由y u a nf e n g 等1 给出。 ( 2 ) 有歧区分，一般是指允许出现最小错误的区分( m i n i m u m - e r r o rd i s c r i m i n a t i o n ) 【9 l 。有歧区分，顾名思义就是可能出现“歧义”的区分，即允许出现错误的以一定概 基于可编程区分器思想的量子混合态无歧区分第1 章绪论 率成功区分状态的区分，而这里的允许出现错误一般都指允许出现的最小错误的情 况。有歧区分主要应用于一些对区分精度要求不高情况下的状态区分，由于以最小错 误区分两个状态的方法及其成功概率早在1 9 7 6 年就由h e l s t r o m l 9 提出并证明，并且 h e l s t r o m 给出的方法较为完善，后人对此方面的研究并不是十分的丰富，基于此方面 的研究最近有如对一个纯态和一个混合态之间有歧区分最小出错概率的研究【i 明，有歧 区分的最佳方案的研究【i 线性相关状态集合之间的有歧区分【1 2 1 以及量子混合态有歧 区分和无歧区分之间的比较【1 3 1 等等。 ( 3 ) 无歧区分( u n a m b i g u o u s d i s c r i m i n a t i o n ) 1 4 1 无歧区分是相对有歧区分而言的， 无歧区分也是以一定概率成功区分状态的方法，但是是一种不会出现错误的区分。也 就是说如果能区分，那么结果一定是正确的，否则得不到任何结果，因此不会出现区 分错误的情况显然，完全区分是一种特殊的无歧区分由于完全区分的条件苛刻， 而有歧区分往往不能满足精度方面的要求，因此无歧区分引起了量子信息界很大的重 视，其研究的成果较为丰富，其中重要的一些成果包括c h e f l e s ”l 在1 9 9 8 年证明了量 子状态中纯态能无歧区分的充要条件是给定的状态之间必须是线性无关的，而y u a n f e n g 等【8 】则在最近给出了混合态可无歧区分的充要条件；在状态无歧区分成功概率方 面的探讨，d a o w e nq i u 给出了纯态无歧区分的最优成功概率【1 6 1 以及无歧区分纯态集 合的最优成功概率【l7 1 。同样对混合态的无歧区分而言，对于各种相关情况下无歧区分 较优或最优成功概率也得到了类似的一系列研究1 8 一9 , 2 0 | ，更多关于混合态无歧区分 方面的研究情况可参见本论文的第三章。而最近，在对未知状态无歧区分方面的研究， b e r g o u 和h i l l e r y 2 q 提出了可编程量子状态无歧区分器的新概念，从全新的角度对如 何无歧区分未知纯态做出了成功的探讨。而本文的研究也基于这方面的兴趣，试图将 可编程无歧区分器推广到量子混合态无歧区分的相关方面，力求在理论取得一定的突 破。 1 3 论文研究的主要内容、意义以及组织结构 1 3 1 论文研究的主要内容、意义 通过广泛阅读国内外相关文献，在对国内外研究动态进行分析基础之上，本文的 基于可编程区分器思想的量子混合态无歧区分第1 章绪论 研究内容主要是关于量子混合态的无歧区分。从1 2 节的分析不难看出量子状态区分 的相关问题已经得到了较为广泛和深入的研究，而其中量子混合态无歧区分相关方面 也不例外，然而通过分析可以发现，目前为止基于混合态无歧区分的研究大多都停留 在无歧区分本身的研究，主要集中于对无歧区分成功概率上下界以及取得上下界成立 的条件的探讨，而对于混合态无歧区分并没有提出其他较为新颖的方法，或者说并没 有尝试从其他角度去探讨量子混合态的无歧区分。 本文试图探讨基于可编程区分器思想的量子混合态无歧区分。可编程无歧区分器 的提出是一个较为创新的思想，它是通过结合程序寄存器和数据寄存器来完成状态的 区分的【2 “，这种区分器的优点是它能区分任意满足可无歧区分条件的状态，而这状态 可以是未知的，也可以是已知的，也即是只需要一组固定的测量就能区分任意满足可 无歧区分条件的量子状态，这显然是非常理想的成果。不过目前提出的可编程无歧区 分器都是基于纯态的，而量子状态是由量子纯态和混合态组成的，那么对于作为组成 量子状态重要的一部分一量子混合态而言，是否也存在和纯态相类似的性质呢? 是否 也存在基于混合态的可编程无歧区分器呢? 基于可编程无歧区分器本身的优点，因此 研究基于混合态的可编程无歧区分器显然是具有非常重要的意义的，本论文的研究便 是基于此方面展开。 1 3 2 论文的组织结构 本文由五个章节组成： 第1 章，叙述了本课题研究的基本背景，简要描述了量子信息论方面的基本情况 以及相关理论的研究进展，并对目前量子状态区分的相关研究内容进行了概述介绍， 从而提出本论文的研究内容、方法及其意义。最后阐述了本论文的研究工作以及论文 的结构安排； 第2 章，简要介绍了量子信息学中一些与本文有较大相关性的量子力学方面的基 础。首先简要介绍了量子力学的基本一量子力学的四个公理化假设和h i l b e r t 空间， 然后较为详细地介绍了与本文密切相关的几个概念理论，并对这相关概念做了必要的 解析，为后面章节的设计与研究提供理论基础； 第3 章，较为深入研究和分析了量子混合态无歧区分的相关情况，研究分析了量 子混合态无歧区分的相关概念和实现过程，量子混合态可无歧区分的充要条件，量子 基于可编程区分嚣思想的量子混合杏无歧区分第l 章绪论 混合态无歧区分成功概率的上界以及成功概率取得上界的相关情况等四个方面的内 容。本章的内容，尤其是对量子混合态无歧区分成功概率的上界以及取界问题的研究 分析，为后面研究打下了理论的基础以及提供了相关的理论依据； 第4 章，本章是论文的主要成果，在前一章讨论了量子混合态无歧区分相关情况 的基础上，结合可编程无歧区分器的思想，重新探讨了量子混合态无歧区分的相关情 况，分析证明了相对于最初提出的基于纯态的可编程无歧区分器而言，是不存在类似 基于混合态的可编程无歧区分器的。但我们研究发现可以利用可编程无歧区分器的思 想研究量子混合态的无歧区分。研究表明当利用可编程无歧区分器思想区分混合态的 失败概率达到下界时，在大部分情况下利用可编程无歧区分器思想进行混合态无歧区 分的成功概率是比直接对混合态进行无歧区分要优的。 第5 章，总结了本文的主要结果，并对量子混合态无歧区分相关方面的进一步研 究作了一定的展望。 1 4 本章小结 本章叙述了本课题研究的基本背景，简要描述了量子信息论方面的基本情况以及 相关理论的研究进展，并对目翦量子状态区分的相关研究内容进行了概述介绍，从而 提出本论文的研究内容、方法及其意义。最后阐述了本论文的研究工作以及论文的结 构安排。 基于可编程区分器思想的量- 了混合态无歧区分第2 章量子信息学的鼍子力学基础 第2 章量子信息学的量子力学基础 2 1 量子力学的形式体系 本小节简要介绍了量子力学形式体系中最基本的两方面内容：h i l b c r t 空间和量子 力学公理化假设。其中h i l b e r t 空间是建立量子力学的主要数学工具，而量子力学的 公理化假设是我们理解和应用量子力学的基础，整个量子力学都是建立在这些公理化 假设之上的。 2 1 1h i l b e r t 空间 内积( i n n e r - p r o d u c t ) ：内积是向量空间上的二元复数函到1 。内积定义为一种影 射，从向量空间v x v 到复数c 的函数( ，) 如果满足o t - - 个条件，则函数( ，) 为 内积，其中向量空间v 上的向量用d i r a e 符号表示，如l ( 1 ) ( ，) 对第二个自变量是线性的，即( i u ) ，a i q ) ) = 五( i u ) ，i q ) ) ； ( 2 ) ( i u ) ，| 妨) = ( i ) ，i u ) ) + ，其中+ 表示复共轭； ( 3 ) ( i d ， 吩) 0 ，当且仅当i 坊= 0 时取等号。 内积( i ，i 国) ) 在量子力学中一般记为( u l m ) 。 内积空间( i n n e r - p r o d u c ts p a c e ) ：一个定义了内积的向量空间称为内积空间川。 h i i b e r t 空间：一个完备的内积空间称为h i l b e r t 空间【1 1 。而在量子计算与量子信息 遇到的有限维复向量空间类中，h i l b e r t 空间与内积空间是完全一回事的，面无穷维 h i l b e r t 空间则在内积空间的基础上要求满足附加的一些限制，但由于我们在量子计 算和量子信息中一般都不会涉及到无限维空间的讨论，因此这里不考虑这种情况。 基于可编程区分嚣思想的量子混合态无歧区分 第2 章量子信息学的量子力学基础 2 1 2 量子力学的公理化假设 假设1 ( 状态空问) 【1 1 任一孤立物理系统都有一个称为系统空间状态的复内积向 量空间( 即h i l b e r t 空间) 与之联系，系统完全由状态向量所描述，这个向量是系统状 态空间的一个单位向量。 量子力学的这个假设目标是建立起量子力学适用的场合，即线性代数中我们熟知 的h i l b c r t 空间”。例如我们最基本的量子力学系统是量子比特，一个量子比特对应着 一个二维的状态空问。设1 0 ) 和1 1 ) 构成这个状态空间的一个标准正交基，则状态空间 中的任意状态向量可以写作1 l i 缈) = 口io ) + 1 1 ( 2 1 ) 其中口和是复数。而i y 为单位向量的必要条件，即缈i 缈) = l ，等价于 l 口f 2 + i p l 2 = 1 条件( u d u = l 常成为状态的归一条件。 显然，栉维的状态空间可以类推。一个捍维的状态向量可写成i 矿 = 2 q i f ) ， 其中 | 班i = o ，1 。刀一l ，为这刀维空间的一组基，啦为复数，缈i 妒) = l ，即= i q f = 1 假设2 ( 演化) 1 l 一个封闭量子系统的演化可以由一个酉交换来刻画。邸系统在时 刻 的状态i 缈 和系统在时刻f 2 的状态i y ，可以通过一个仅依赖于时间f l 和f 2 的酉算 子u 相联系： i 矿。) = u l y ( 2 2 ) 假设二描述了封闭量子系统的量子状态在两个不同时刻的关系，而这个假设还可 以由另一个更详细的版本。可以给出描述量子系统在连续时间上的演化。 假设2 封闭量子系统的演化由& 加占历哆g 秽方程描述 i h d 出l 弘 ) = h i w ( 2 3 ) 其中7 i 称为p l a n c k 常数，其值必须由实验确定。它的精确值对我们并不重要，实践中 常把因子7 2 的值放到h 中，而置危= 1 ，h 是称为封闭系统h a m i l t o n 量的固定h e r m i t e - 7 - 基于可编程区分器思想的景子混合态无歧区分第2 章量| 了信息学的馈子力学基础 算子。 假设3 ( 量子测量) 1 1 1 量子测量由一组测量算子 j j l 厶) 描述，这些算子作用在被测 量系统状态空间上，指标m 表示实验中可能的测量结果。若在测量前，量子系统的最 新状态是i ) ，则结果m 发生的可能性由 p ( m ) = ( 少i 蟛心i 缈) 给出。且测量后系统的状态为 丝! 咝 厄而丽 测量算子满足完备性方程， m秘。=i(2-6) 完备方程表达了概率之和为1 的事实： l = p ( 所) = ( y i m ：m mi)(2-7) 假设4 ( 复合系统) ”1 复合物理系统的状态空间是分物理系统状态空间的张量积， 若将分系统编号为1 到珂，系统i 的状态被置为l ，则整个系统的总状态为 i ) 圆圆i ) 。 2 2 与量子状态区分几个相关的概念和理论 2 2 1 密度算子与混合态 根据上面量子公理化假设一我们知道，一个确切已知得量子状态iy 就如2 - l 式 所示，而密度算子的提出则为描述状态不完全已知的量子系统提供了一条方便的途 径。设量子系统以概率只处于一组状态l 中的某一个，其中i 是一个指标，则称 b 1 彬 ) 为一个纯态的系综( e n s e m b l eo f p u r es m m ) ，系统的密度算子定义为1 1 p _ - - a1 (l(2-8) j 基于可编程区分嚣思想的量子混合态无歧区分 第2 章量子信息学的量予力学基础 其中显然p t = l i 而具有精确已知状态的量子系统我们称为处于纯态( p u r es t a t e ) ，这种情况下密度 算子就是p = 吵) 缈l ，否则p 处于混合态( m i x e ds t a t e ) ，称为是在p 的系综中不同纯 态的混合【1 1 。显然 只1 ) 可理解为混合态p 的概率分布，其中i 是纯态，只是系 统处于i 的概率，b - - i 。而我们判断状态是纯态还是混合态可以基于以下依据： i 纯态满足护( p 2 ) = l ，而混合态满足f r ( p 2 ) 的半 正定算子。于是算子集合e 可以确定不同测量结果的概率，算子e 称为与测量相联 系的p o v m 元，完整的集u e m 称为一个p o v m 测量。 2 2 4 保真度( f i d e l i t y ) 保真度( f i d e l i t y ) 是量子信息领域中一个重要的概念，表示状态在传输过程中保持 原来状态的程度，也即为表示两个量子态之间的相似( 或重叠) 程度。量子信息里保真 度的定义为1 1 ，( 岛，岛) ；狰( 、灯鬲岛石) ( 2 - 9 ) 其中岛和岛表示两个状态的密度矩阵，( 岛，见) 的取值在0 到i 之间。如果 ，( 岛，岛) = o 则表示两个状态n 和岛具有正交的支集，也可说状态传输过程中完全失 真；如果f ( p t ，见) = l 则表示a 和岛两个状态相同岛= 岛；一般情况下 0 和l ) 。 基于可编程区分嚣思想的量子混合态无歧区分第2 章量子信息学的量子力学基础 2 2 5 支集空间 对于任意n 个线性算子n ，岛，由n9o 0 0 9 岛这珂个线性算子的非零特征值对应的 特征向量所张成的h i l b e r t 空问，称为线性算子a ，成的支集空间嘲，本文采用符号 s u p p ( p a ，岛) 表示 2 2 6 柯西一施瓦兹( c a u c h y - s c h w a r z ) 不等式 柯西一施瓦兹( c a u c h y - s c h w a r z ) 不等式指的是对h i l b c r t 空间里面的两个任意向量 i y ) 和i 功，有以下不等式成立【i l ： 构造一组p o v m 元n 。，兀，兀。， 其中兀j = ，是h i l b e r t 空间h 中的单位算子。这里每一个p o v m 元兀，i = l ，露 s = o 对应着区分状态i ) ，而兀。则对应着得不到任何结果的情况。因为区分的结果必须 要求是无歧的，也即不会出错的，则有1 硼 ( i 兀，1 ) = 只磊 ( 3 一1 ) 其中f ，= 1 ，n ，磊表示当f = ，时，磊= l ，否则磊= o 。o i = l 同样地，对于混合态，我们有类似纯态的讨论。假设给量子系统以一定的概率处 于一组量子混合态n ，岛中的一个，其中量子系统处于状态n 的概率为r b ，而 基于可编程区分器思想的量子混合态无歧区分第3 章量子混合态无歧区分的研究分析 m 仍o ，仇= l 这里每一个岛都是h i i b c r t 空间h 里的一个混合态。为了区分量子系 捂l 统所处的状态，我们就可以根据这组已知的混合态角9o o - 9 岛构造一组p o v l v l 元 n 。，兀，兀，其中兀j = ，是h i l b e r t 空间h 中的单位算子。每一个p o v m 元 居0 n ，f = l ，一对应着识别岛，而1 1 0 则对应着得不到任何结果的情况。因为区分的结果 必须要求是无歧的，相对于纯态我们类似有嘲 t r ( p i 兀，) = a 西( 3 - 3 ) 其中，= 1 ，n 磊表示当f = ，时，磊= l ，否则磊= o o 和 i 相互正交，而这个结论显然可以推广到任意个纯态可完全区分的情况。而相对于 纯态而言，混合态是否也具有相关性质呢? 混合态可完全区分的充要条件又是什么 呢? 这方面的结论由y u a nf e n g 掣砌给出。 定理1 吲量子混合态n ，, 0 2 ，- - w 9 岛可完全区分当且仅当它们相互正交，即是 p , p j = 6 q 反。 定理1 的证明比较简单，详细证明过程可参见参考文献 8 】，这里不具体列举。从 定理l 的结论可以看出混合态可完全区分的充要条件和纯态可完全区分的条件是一样 的，都是只要状态之间相互正交就行。也就是说对于无歧区分的一个特殊情况一完全 区分而言，无论是纯态还是混合态其可完全区分的条件都是一样的，那么对无歧区分 而言，纯态和混合态可无歧区分的条件是否也一样呢? 关于纯态可无歧区分条件的探讨，由c h e f l e s t l 5 1 在1 9 9 7 年给出了证明，那就是纯 态能无歧区分的充分必要条件是所要区分的状态之间必须是线性无关的。否则是不能 无歧区分的。由于纯态的无歧区分条件在较早就得到了较为完善的研究，也被大家作 为一个基本原理得到了广泛地应用。那么现在我们探讨一下混合态可无歧区分的条 件，是不是混合态可无歧区分的充要条件也是和纯态可无歧区分的一样呢? 是不是混 合态可无歧区分的充要条件也是要区分的状态之间线性无关就可以了呢? 这方面的 问题直到最近才能到了比较全面详细的研究，主要的成果也是由y u a nf e n g 等在文献 【8 】中给出。 定理2 8 1 混合态p t ，岛，岛可无歧区分当且仅当对任意的i = l ，胛，有 s u p p ( s ) s u p p ( s ) ，这里s = a ，岛) ，s = s 钯，。 基于可编程区分嚣思想的量子混合态无歧区分第3 章量子混合态无歧区分的研究分析 从定理2 我们可以看到，混合态能无歧区分的条件是和纯态可无歧区分的条件的 不同的，其要求要比纯态的线性无关条件更强一些，这可以简单加以讨论嗍，设 s u p p ( s ) s u p p ( _ s ：) 对任l i = l ，n 成立，我们可以证明一是不能写成其他状态的线性 组合形式的用反证法r 如果存在满足只= 卢，影毋，设状态l 破 满足 l 谚) s u p p ( p 1 ) 但i 磊) l s u p p ( s i ) ，则有嘲 o 谚i p , i 谚) = 彰( 谚i p j l 谚) = o ( 3 - 5 ) j _ 这显然是矛盾的，因此有条件s u p l ，( $ ) s u p p ( s ；) 可以推出a ，兄，磊是线性无关的。 但反之则不然，即岛，见，岛线性无关不能推出s u p p 哂1 s u p p ) 的结论。这可举个 反例加以证明，假设p i 和p 2 是两个在2 维h i l b e r t 空间里不同的混合态，则很显然岛 和岛是线性无关的，s u p p ( p , ) = s u p p ( p , , p ：) = s u p p ( p , ) 。这显然可以推出，线性无关 的一组混合态不一定能无歧区分。 3 2 3 量子混合态无歧区分成功概率上界的讨论 讨论了量子混合态可无歧区分的充要条件，下面我们开始讨论分析量子混合态无 歧区分的成功概率，由于无歧区分的成功概率往往是小于1 的( 完全区分的概率为1 ) ， 因此讨论无歧区分的成功概率，使成功的概率尽可能的大( 即失败概率尽可能地小) ， 是具有十分重要意义的。因此这方面的研究得到了很大的重视，相关的研究成果也比 较丰富 首先，在混合态无歧区分成功概率方面的研究，r u d o l p h 等【吲的研究是具有较大 开创性的，其较早的研究中给出了关于两个量子混合态无歧区分成功概率的一个上 界，下面是其研究中得到的结果【1 9 1 尸一 l - 2 廊( 眦) i f 讹剃 悟 ( 3 6 ) i 【l 一，( 局，见) 2 】 o t h e r w i s e 其中p 一表示无歧区分成功的最大概率， 和仍表示量子系统分别取得混合态届和 岛的先前概率，k 表示j 和仍两者的最小值，即= m i n ( r l i ，瑰) ，表示仍和珑 基于可编程区分器思想的鬣了混合态无歧区分 第3 章量子混合态无歧区分的研究分析 两者的最大值，即= m a x ( z 1 ；，吼) 。f ( 局，岛) 表示两个混合态届和岛的保真度， f ( n ，岛) = 乃( 一岛一) 。为了和下文取界的比较，这里我们先把成功概率的上界 等价转换成失败概率q 的下界： q - l p 。 2 廊( m )i f 嘞州 中的一个，那么无歧区分失败概率的下界是 q ，用类似的方法证明了如果量子系统分别处于混合态 n ，岛，成的先前概率分别为，仍，仉，那么对量子系统可能处于的这些状态进行 无歧区分失败概率的下界是两： q ( 3 - 1 0 ) 基于可编程区分器思想的量子混合态无歧区分 第3 章量子混合态无歧区分的研究分析 其中，( 序，乃) 表示两个混合态口和岛的保真度，f ( 一，岛) = 乃( 、= 7 丽) 。i q w - 地我们可以等价地将其转换为无歧区分成功概率的上界，那么对于任意个混合态无歧 区分成功概率的上界就有： p “= t q 一三! ；i ；而 c 。一， 上述的讨论是针对任意个混合态而言的，那么特殊地我们可以假定状态的个数是2 ， 那么可以得到结果p 一茎1 2 碣仍f ( n ，岛) ，这显然是和前面3 - 6 以及3 - 9 式其中的 一个区间得到的结果相吻合的，而区别是由于在任意疗个状态里不易进行分区间讨 论。 然而，3 1 0 式只是任意个混合状态区分的失败概率的一个下界，不一定是最好的 界。为此，y u a nf e n g 等利用不等式性质以及极限无穷迫近的方法对任意个混合状态 区分失败概率的下界进行了进一步讨论，得到了一系列更优的界，如下式1 8 厂- 7 2 2 2 亏三三三三 q 、c i + c ：+ c 4 + ( 3 一1 2 ) 其中q = 仉仉f ( 尼，乃) 从，当3 - 1 2 式中g 的相加个数趋向无穷时，那么 f 吖 厂7 = = = = 三三三三 c l + c 2 + q + 就趋向失败概率o 的最优下界了，其具体证明过程可参见参考 文献【8 】。 总的而言对上面研究分析可以看到，对于混合态无歧区分成功概率的上界可以说 已经得到了比较充分的研究，并且取得了一系列出色的研究成果。而混合态作为量子 状态里面重要的一种，也是最复杂的一种，研究混合态的无歧区分是具有很重要的现 实意义的。本部分对前人在此方面的研究成果进行了较为深入的研究和分析，那么在 对混合态无歧区分成功概率上界进行了比较讨论后，自然想到那么既然说是成功概率 的上界，那么我们在实际操作中是否能取得其上界呢? 在什么情况下能达到最优的成 功概率呢? 下一小节将对这方面进行研究分析。 3 2 4 量子混合态无歧区分成功概率取界的讨论 相对于求界而言，讨论取界的问题往往需要的条件是更苛刻的，尤其是在状况比 较复杂的情况下。对于量子混合态无歧区分成功概率取界的讨论，可以说是比较困难 基于可编程区分嚣思想的量子混合态无歧区分第3 章量子混合态无歧区分的研究分析 的事情，因为其中涉及的参数以及各种限制较多，不过最近也不乏相关的研究，这里 对这些相关的研究做一个综合的分析讨论。 首先是对两个混合态无歧区分成功概率取界的讨论，最早试图对其探讨的是 h c r z o g 和b e r g o u 2 0 的相关研究，其研究是在r u d o l p h 1 9 l 对两个混合态无歧区分成功概 率上界研究( 即3 - 6 式) 的基础上进行的，主要探讨了3 _ 6 式取的界时的相关情况，包 括取得界时候要满足的条件以及取得界时所要构造的最优测量过程等，并举了相关应 用的例子，可以说整个研究是对r u d o l p h 研究的迸一步扩充。 然而，从上- d , 节的讨论我们已经知道r u d o l p h 1 9 1 对两个混合态无歧区分成功概 率上界的研究是没有r a y n a l 等阎给出的界严格的。因此h c r - g 和b c r g o u 对取晃的 研究显然也是不够具有代表性的，而r a y n a l 等在研究了两个混合态无歧区分成功概率 更严格的界的基础上，进一步给出了取得这些界时的相关情况，包括取得界时需要满 足的一些相关条件以及相关无歧区分过程，其主要结果如下： 假设量子系统分别以先前概率编和砚处于两个量子混合态岛和岛之一，如果 s u p p ( p , ) n s u p p ( 岛产 0 ) ，那么这两个量子状态无歧区分失败概率取得下界的充要条 件则2 2 】： 旷= 仉锱呻( 驯营 矿= 2 石和( a ，岛) 营 三量ftpt,p2j互二埔厝 和 i ) ，其先把这两个要区分的状态i ) 和i ) 分别赋给两个程序寄存器，而程序输入 的状态( 也即量子系统所处的状态) 则赋给数据寄存器，其中输入的状态保证是l 奶) 或 i 两个中的一个，而输入状态为i 或i ) 的概率分别用r l 和砚表示，显然有 玩+ r 2 = l 。区分器系统状态如图4 1 所示， 基于可绽程区分嚣思想的量子混合态无歧区分第4 章基于可编程区分器思想的量子混合态无歧区分 程序寄存嚣a程序寄存器b 数据寄存嚣c 田田圈 图4 - 1 而这里要说明的