N单元 选修4系列.docx

数学N单元选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲22N12016全国卷 选修41：几何证明选讲如图16所示，OAB是等腰三角形，AOB120.以O为圆心，OA为半径作圆(1)证明：直线AB与O相切；(2)点C，D在O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：ABCD.图1622证明：(1)设E是AB的中点，连接OE.因为OAOB，AOB120，所以OEAB，AOE60.在RtAOE中，OEAO，即O到直线AB的距离等于O的半径，所以直线AB与O相切(2)因为OA2OD，所以O不是A，B，C，D四点所在圆的圆心设O是A，B，C，D四点所在圆的圆心，作直线OO.由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O在线段AB的垂直平分线上，所以OOAB.同理可证，OOCD，所以ABCD.22N12016全国卷 选修41：几何证明选讲如图15，在正方形ABCD中，E，G分别在边DA，DC上(不与端点重合)，且DEDG，过D点作DFCE，垂足为F.(1)证明：B，C，G，F四点共圆；(2)若AB1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积图1522解：(1)证明：因为DFEC，所以DEFCDF，则有GDFDEFFCB，所以DGFCBF，由此可得DGFCBF.因此CGFCBF180，所以B，C，G，F四点共圆(2)由B，C，G，F四点共圆，CGCB知FGFB.连接GB.由G为RtDFC斜边CD的中点，知GFGC，故RtBCGRtBFG，因此，四边形BCGF的面积S是GCB面积SGCB的2倍，即S2SGCB21.22N12016全国卷 选修41：几何证明选讲如图16，O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点(1)若PFB2PCD，求PCD的大小；(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OGCD.图1622解：(1)连接PB，BC，则BFDPBABPD，PCDPCBBCD.因为，所以PBAPCB，又BPDBCD，所以BFDPCD.又PFBBFD180，PFB2PCD，所以3PCD180，因此PCD60.(2)证明：因为PCDBFD，所以EFDPCD180，由此知C，D，F，E四点共圆，其圆心既在CE的垂直平分线上，又在DF的垂直平分线上，故G就是过C，D，F，E四点的圆的圆心，所以G在CD的垂直平分线上又O也在CD的垂直平分线上，因此OGCD.21A.N12016江苏卷 选修41：几何证明选讲如图17，在ABC中，ABC90，BDAC，D为垂足，E是BC的中点，求证：EDCABD.图1721A.证明：在ADB和ABC中，因为ABC90，BDAC，A为公共角，所以ADBABC，于是ABDC.在RtBDC中，因为E是BC的中点，所以EDEC，从而EDCC，所以EDCABD.N2 选修4-2 矩阵21BN22016江苏卷 选修42：矩阵与变换已知矩阵A，矩阵B的逆矩阵B1，求矩阵AB.21B解：设B，则B1B，即，故解得所以B.因此，AB.N3 选修4-4 参数与参数方程23N32016全国卷 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a0)在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：4cos.(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；(2)直线C3的极坐标方程为0，其中0满足tan02，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.23解：(1)消去参数t得到C1的普通方程x2(y1)2a2.C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆将xcos，ysin代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为22sin1a20.(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组若0，则由方程组得16cos28sincos1a20，由已知tan2，可得16cos28sincos0，从而1a20，解得a1(舍去)或a1.当a1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上，所以a1.23N32016全国卷 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x6)2y225.(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|，求l的斜率23解：(1)由xcos，ysin可得圆C的极坐标方程212cos110.(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R)设A，B所对应的极径分别为1，2.将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos110，于是1212cos，1211.|AB|12|.由|AB|得cos2，则tan.所以l的斜率为或.23N32016全国卷 选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(为参数)以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为sin（）2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标23解：(1)C1的普通方程为y21，C2的直角坐标方程为xy40.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos，sin)因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d()的最小值，d()|sin（）2|，当且仅当2k(kZ)时，d()取得最小值，最小值为，此时点P的直角坐标为(，).21CN32016江苏卷 选修44：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(为参数)设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长21C解：椭圆C的普通方程为x21.将直线l的参数方程代入x21，得1t21，即7t216t0，解得t10，t2.所以AB|t1t2|.N4 选修4-5 不等式选讲24N42016全国卷 选修45：不等式选讲已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)在图17中画出yf(x)的图像；(2)求不等式|f(x)|1的解集图1724解：(1)f(x)则yf(x)的图像如图所示(2)由f(x)的表达式及图像知，当f(x)1时，x1或x3；当f(x)1时，x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3，f(x)1的解集为x或1x5.24N42016全国卷 选修45：不等式选讲已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集(1)求M；(2)证明：当a，bM时，|ab|1ab|.24解：(1)f(x)当x时，由f(x)2得2x1；当x时，f(x)2；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1(2)证明：由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，因此|ab