（运筹学与控制论专业论文）凸体的极值与稳定性问题.pdf

2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 摘要 本文隶属于b m n n - m i n k o w s k i 理论领域，该领域是近几十年来在国际上发展非常 迅速而重要的一个几何学分支本学位论文主要利用几何分析中的凸体理论，r a d o n 变换和解析不等式理论，研究了凸体的有关极值和稳定性向题 本文的研究工作主要分为三个方面 在经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论方面t 我们研究了凸体p 一宽度积分的性质，并获 得了凸体p 一宽度积分的b r u n n - m i n k o w a k i 型不等式和b l a s c h k e - s a n t a l 6 型不等式 推广和完善了e l u t w a k 建立的当p = 1 时凸体的宽度积分的性质 在对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论方面，我们引入星体弦长积分的概念，研究了其 性质并建立了有关星体弦长积分的不等式作为应用，首次给出了相交体的星对偶 的b m n n - m i n k o w s k i 型不等式 在凸体的稳定性方面我们主要研究了凸体的截面的性质如果两个凸体被过原 点的任意超平面所截得到的截面具有相等的平均弦长和相同的对偶s t e i n e r 点，则这 两个凸体是重合的我们并且得到它的一个稳定性版本 关键词凸体，星体，相交体，b 一投影体，k 一质心体。p 一宽度积分。弦 长积分，极对偶，星对偶，对偶s t o n e r 点，稳定性 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t t h j 8a r t i c l eb e l o n g st ot h eb r u u n - m i n k o w s k it h e o r y , w h i c hi sah i g h - s p e e dd e v e l - o p i n gg e o m e t r yb r a n c hd u r i n gt h ep a s ts e v e r a ld e c a d e s mt h e s i sd e a l sw i t h8 0 m e e x t r e m ep r o b l e m sa n ds t a b i l i t yp r o b l e m sf o rc o n v e xb o d i e sb yu s i n gt h e o r yo fg e o m e t r y a n a l y s i s ，r a d o nt r a n s f o r m a t i o n sa n da n a n l y s i si n e q u a l i t i e s t h er e s e a r c hw o r k so ft h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e ep a r t s i nt h ec l a s s i c a lb n m u - m i n k o w s k it h e o r y , w ed j 丑c l m st h ep r o p e r t i e so ft h ep - - w i d t h - i n t e g r a l so fc o n v e xb o d i e s w eo b t a i nt h eb r u n n - m i n k o w s k ia n db l u s c h k e - s a n t a l 6t y p ei n e q u a l i t i e so ft h ep - - w i d t h - i n t e g r a l so fc o i l v e xb o d i e s t h ec o n c l u s i o n s o ft h i sp a p e re x t e n dt h er e s u l t so fe l u t w a k i nt h ed u a lb r u n n - m i n k o w s l dt h e o r y , w ei n t r o d u c et h ec h o r d - i n t e g r a l so fs t a r b o d i e s ，a n de s t a b l i s hs o m ei n e q u a l i t i e sa n dp r o p o s i t i o n sf o rt h ec h o r d - i n t e g r a l so fs t a r b o d i e s a sa p p l i c a t i o n ，t h eb r u n n - m i n k o w s k ii n e q u a l i wf o rs t a rd u a l i t yo fi n t e r s e c t i o n b o d i 鹤i 8a b t a i n e d i nt h ea s p e c t so ft h es t a b i l i t yo fc o n v e xb o d i e s ，w em a i n l yr e s e a r c ht h ep r o p e r t i e s o fi n t e r s e c t i o no fc o n v e xb o d i e s ：i ft w oc o n v b o d i e sh a v et h ep r o p e r t yt h a tt h e i r i n t e r s e c t i o n sb ya n yh y p e r p l a n et h r o u g ht h eo r i g i nh a v et h e i n ea v e r a g ec h o r dl e n g t h a n dt h es a m ed u a ls t e i n e rp o i n t ，t h e nt h eb o d i e sa r ei d e n t i c a l a n dw eg e tas t r o n g e z s t d b n i t yv e r s i o no ft h i sr e s e t k e yw o r d s c o n v e xb o d y , s t a rb o d y , i n t e r s o c t i o nb o d y , l p - p r o j e c t i o nb o d y , 岛- c e n t r o i db o d y , p - w i d t h * i n t e g r a l s ，c h o r d - i n t e g r a l s ，p o l a rd u a l i t yo f c o n v e xb o d y , s t a r d u a l i t yo fs t a rh e d y , d u a ls t e i n e rp o i n t ，s t a b i l i t y 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除 了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同- - t 作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名，鸯厢缸 日期，- 7 乒艿 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论 文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名；彦甬红导师签名；竖菊杉日期z 文刁 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 l 第一章绪论 1 1 学科综述 凸体几何起源于1 9 世纪下半叶，h b r u n n 和h m i n k o w s k i 是两位杰出的奠基 者2 0 世纪3 0 年代，前苏联著名数学家a d a l e k s a n d r o v 以及t b o n n e s e n 和w f e n c h e l 引进凸体的混合表面积测度，使得凸体几何成为一个独立的数学分支 2 0 世纪7 0 年代，p e t t y 发现了各种各样新的等周不等式，其中不少结果在许多领域有 着广泛的应用2 0 世纪8 0 年代，以j e a nb o u r g a i n 和v i t a l im i l m a n 为代表的几何 分析学派，用现代泛函分析为工具研究凸体的度量性质，取得了突破性的进展，使得 一些经典的凸体几何难题得以解决，也使得对凸体理论的研究空前繁荣，成为现代 数学重要的主流方向之一，b o u r g a i n 也因此而得到f i e l d s 奖进入2 0 世纪9 0 年代 后，凸体几何的研究领域迅速扩大，研究对象从凸体扩大到星体1 9 9 6 年b e r k e l y 数学科研所( m s r i ) 将几何分析列为一个半年项目( 8h a l f - y e a rp r o g r a m ) ，项目结束 后出版了两本书l ”c o n v e xg e o m e t r i ca n a l y s i s 和”f l a v o r so fg e o m e t r y ，这两本 书，特别是后者列举了大量关于凸体的等周极值问题的研究结果，其引言中指出这 种研究将是近期数学研究的个十分重要的方面 凸体几何是以凸体或星体为主要研究对象的现代几何学的一个重要分支，它是 以微分几何，泛函分析，偏微分方程、点集拓扑为基础的现代几何学凸体几何可分 为组合理论和度量理论，组合理论【3 3 1 主要研究几何体的组合关系，讨论它们的面 数顶点数棱数等的数量关系度量理论主要研究几何体的度量性质，如几何体的 构形、体积、表面积、宽度、角度、投影等，其中最富有吸引力的是形形色色的应用 广泛的等周不等式f 1 , 8 ，6 2 凸体几何的度量理论与其它经典的数学分支紧密联系，相互交叉渗透，既有严 密的理论基础有具有广泛的应用前景，下面对凸体几何的度量理论中的一些主要的 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文2 研究方向傲一个概述 ( 1 ) 经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论 经典b r u n n - m i n k o w a k i 理论起源于1 8 8 7 年h e t m a n nb r u n n 的论文和h e r m a n n m i n k o w s k i 开创性工作的实质部分，1 9 3 4 年b o n n e s e n 和f e n c h e l 的著名论著收集了 已经出版的结果，r s c h n e i d e r 的专著【6 6 】是一部最近出版的极其优秀的参考书经 典b r u n n - m i n k o w s k i 理论是e u c h d e a n 空间中向量的m i n k o w s l 【i 线性组合和体积结 合的产物其精髓是混合体积的记号和基本的b r u n n - m i n k o w s k i 不等式混合体积的 记号由于满足一系列不等式，被广泛用于解决极值问题局部意义下的混合体积可产 生混合面积测度，均值积分，m i n k o w s k i 函数、表面积测度，曲率测度都是混合体积和 混合面积测度的特殊情形，它们与微分几何及积分几何密切相关b r u n n - m i n k o w s k i 不等式被认为是经典b r u n n - m i n k o w s k i 理论的基石，是征服各类涉及体积表面积， 宽度等度量关系难题的漂亮和强有力的工具b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的积分形式 常被称为p r e k o p a - l e i n d l e r 不等式一h 6 1 d e r 不等式的逆形式，在b r a s c a m p 和l i e b 的巨大努力下，b r u n n - m i n k o w s k i 不等式又可看成卷积范数的y o u n g 不等式的加强 形式的特殊情形，a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式是b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的一种最 强的形式，它与代致几何紧密联系，k h o v a n s k i i 和t e i s s i e r 独立地令人惊讶地发现 了a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式可与代数几何中的h o d g e 指标定理相联系，b o r e l l 容 积不等式也包含在b r u n n - m i n k o w s k i 不等式之中，它被用来解决容积的m i n k o w s k i 问题，m i l m a n 的逆向b r u n n - m i n k o w s k i 不等式是在b a n a c h 空间局部理论中的特 写形式，g a r d n e r 和g r o n c h i 的b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的离散形式与涉及离散等 周不等式的离散数学，组合理论和图论联系密切以b r u n n - m i n k o w s l d 不等式为中 心，环抱着一系列与之有关的仿射等周不等式，如p e t t y 投影不等式和z h a n g 的仿 射s o b o l e v 等周不等式b r u n n - m i n k o w s k i 不等式在球面，双曲空间m i n k o w s k i 空间，g a 啷空闻也有着不同的版本 经典对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论也可归为经典b m n n - m i n k o w s k i 理论，自1 9 7 5 年著名数学家l u t w a k 引入星体的对偶混合体积【4 1 l 的概念以来，便开创了经典对 偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论，它与由m i n k o w s k i b l a s c h k e a l e k s a n d r o v 等开创的 经典的凸体理论有着惊人的相似，其基本想法是。凸体。对应。星体。m i n k o w s k i 和。对应。m i n k o w s k i 径向和、。混合体积。对应。对偶混合体积。支撑函数 2 0 0 7 年上海大学硬士学位论文3 对应。径向函数。投影体。对应。截面体值得一提的是pr g o o d e y 【2 2 1 ，e l g r i n b e r g 2 3 ，h g r o e m e r 3 0 ，p m g r u b e r 3 2 l 等也在该领域作出了重要贡献 2 0 世纪8 0 年代，该理论空前繁荣，并解决了一系列长期未能取得进展的重要课题 【1 3 ，1 4 ，1 5 ，3 7 ，3 8 ，3 9 ，7 1 ，7 2 ( 2 ) k - b n m n - m i n k o w s k i 理论( 又称为b r u n n - m i n k o w s k i - f i r e y 理论) 岛- b r u n n - m i n k o w s l d 理论起源于f n y 1 2 l 于1 9 6 2 年定义的凸体的f i r e y 4 一 组合( 又称为f i r e y 线性组合) ，该理论的建立归功于著名数学家e l u t w a k 1 9 9 3 年， l u t w a k 在中把凸体的f i r e y 一组合引入到经典的b m n n - m i n k o w s k i 理论，提 出了岛一混合体积k 一混合均质积分和k 一混合表面积测度等概念，并建立了 相应的积分表达式从而把经典的b n m n - m i n k o w s l d 理论推广到k 一空间中进行研 究随后，l u t w a k 于1 9 9 6 年在 蝣| 中又把f i r e y 1 0 ，1 1 】于1 9 6 1 年定义的“一调和 径向组合引入到经典对偶b r u n n - m i n k o w s k i 理论，提出了4 一对偶混合体积、厶一 仿射表面积、如一几何表面积、岛一曲率映象等概念，不仅更加丰富了k b r u n n - m i n k o w s k i 理论，而且也标志着对偶k b r u n n - m i n k o w s k i 理论的形成在该理论研 究领域，国际上异常活跃的领军人物当数e l u t w a k ，d y a n g ，g y z h a n g ( 华裔数学 家张高勇教授) 及r j g a r d n e r 等著名数学家，他们先后引入了如一质心体f 5 6 1 0 一投影体【5 0 】新椭球【4 9 i ，0 - j o h n 椭球【5 5 1 ，易一截面体【1 7 】k 一带体 【5 3 】等概念，并系统地研究了岛- s o b o l e v 不等式【5 2 】，b 一仿射等周不等式【5 0 】 0 - m i n k o w s k i 问题【5 3 】如一子空间中的体积不等式【5 4 】等问题特别令人惊讶 的是新椭球的概念被应用到信息科学中【5 l ，3 4 3 此外，还有众多数学家也在该领域作 出了突出贡献【6 ，7 ，1 6 ，1 7 ，2 4 ，3 4 ，3 6 ，4 s 最近1 0 多年来，- b n m u - m i n k o w s l d 理论得 到飞速发展，已成为当今国际上几何分析的热点研究领域之一 ( 3 ) b a n a c h 空间的局部理论 b a n a c h 空间的局部理论它是凸体几何与泛函分析结合的最引人注目的产物，这 被认为是现代国际数学研究的主流方向之一此研究方向源于2 0 世纪a d o l fh u r w i t z 的工作，h u r w i t z 于1 9 0 1 年发表了关于平面区域等周不等式的f o u r i e r 级数的证法， 并在后继的论文中运用球面调和分析对3 - 维空间的凸体证明了类似的不等式，随后， h m i n k o w s k i 用球面调和分析的方法证明了3 - 维常宽凸体的有趣特征，由此开辟了 运用分析和球面调和研究几何的方法，此方法具有很强的生命力，j e a nb o u r g a i n 和 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 4 v i t a l im i l m a n 是该方向的代表人物，他们开创了凸渐近理论的研究，在凸体逼近研 究中获得了大量深刻的结果【5 9 ，】，他们合作的一篇关于凸体的逆b l a s c h k e - s a n t a l o 不等式的著名论文【5 】5 是b o u r g a i n 接受f i e l d s 奖引用的第一论文p i s i e r 6 3 等在该 领域也作出了创见性的贡献 ( 4 ) 几何断层学( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) 几何断层学是凸体几何与医学c t 及体视学，几何刺探等的交叉学科，它研究 如何从几何对象的低维信息( 如投影信息、截面信息，x _ 射线信息等) 重构该几何对 象或者对该对象的性质作出推断在1 9 6 1 年，p c h a m m e r 教授在美国数学会上 提出了这样一个问题- 平面上的一个凸体最少能被几张x _ 射线图片确定? 大约2 0 年后，r j g a r d n e r ，k j f a l c o n e r ，p c m c m u l l e n ，a v o l c i c 等一大批数学家积极 投入到这个问题的研究，并且获得了确切的答案【6 7 】平面上的个凸体能被4 个 方向上的x - 射线完全确定，只要这4 个方向不是某个仿射正多边形边的方向集的子 集当今世界上对几何断层学的研究可分为两大群体，其一是以r j g a r d n e r ，a v o l c i c 等为代表的完全理论研究者，他们获得了一大批令人羡慕的成果，1 9 9 5 年， r j g a r d n e r 教授综合了这方面的所有成果，撰写了专著lg e o m e t r i ct o m o g r a p h y i 其二是由于几何断层学有很强的实际应用背景，以m i t 大学计算机与电子工程 系的a l a nw i i l 8 蚵为代表的应用研究者，自8 0 年代以来，一直致力于计算机图形与 模式识别研究，实现了几何断层学在计算机上的应用此外，几何断层学在医学体 视学、几何刺探等方面都得到了很好的应用 ( 5 ) 积分几何方法在凸体几何与几何概率研究中的应用 积分几何渊源于几何概率，由于w b l a s c h k e 为代表的h a m b u r g 几何学派的系 统的工作，在2 0 世纪3 0 年代积分几何正式成为独立的数学分支，当然s t a n t a l 6 在 积分几何领域中也是无可争辩的主将积分几何的研究与几何概率问题始终紧密相 关，因此，积分几何的方法在凸体几何与几何概率的研究中具有十分重要的作用， 该领域的研究愈来愈受到国际数学界的重视，欧美等国均有一批高水平的数学家从 事该领域的研究 2 0 世纪4 0 年代，陈省身【9 1 教授和a w e i l 教授将局部紧群上的 不变测度的观念纳入积分几何，从而形成齐性空i 司理论结构的积分几何，对这门学 科的进一步发展作出了极为卓越的贡献吴大任是我国最早从事积分几何方面研究 的数学家之一，他第一个对椭圆空间的积分几何作系统的研究，获得了运动基本公 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 5 式等重要结果。他证明了关于欧氏平面和空间中的凸体弦幂积分的一系列不等式， 并由此导出一些关于几何概率和几何中值不等式任德麟在积分几何随机几何和 凸体论的研究中取得了丰硕成果【6 4 ，6 5 ，积分几何学引论是我国目前唯一积分 几何专著。同时被国际同行广泛引用 ( 6 ) 有限点集和特殊凸体的几何不等式的研究 几何体的度量性质嵌入问题以及相关的几何不等式和几何极值问题一直是凸 体几何研究的一个充满活力的方向我国著名数学家吴文俊的研究工作涉及到数学 的诸多领域，在多年的研究中取得了丰硕成果，他曾因在2 0 世纪5 0 年代圆满地解决 了复合形在欧氏几何嵌入这一凸体几何难题而举世瞩目，享誉世界著名数学家杨 路教授及张景中院士不断推出刨见，做出了系统的、创造的成就，他们于2 0 世纪8 0 年代在单形不等式与极值问题、初等图形的嵌入问题等方面作出了开创性的工作， 其独创的证明不等式或涉及不等式的几何定理的非常强有力的方法，至今仍被国际 同行广泛引用，影响深远瞰，6 9 ，7 0 ，7 3 】宗传明【7 5 】在凸体几何和离散几何中的球堆 积与密码方面有着突出贡献，得到了国际学术界的重视和高度评价 1 2 研究的问题与成果 本学位论文主要利用几何分析中的凸体理论，l ：h d o n 变换和解析不等式理论， 研究了凸体的有关极值和稳定性同题 本文将采用如下记号设瓦”是n 维欧氏空间l p 中的凸体( 有非空内点的紧凸 集) 的集合， 嚣和j 0 分别表示i p 中包含原点为内点的凸体集合和关于原点对称 的凸体集合记佑为l p 中星体( 关于原点) 的集合在i p 中，几何体的n 维体 积用v ( k ) 表示，l 一次均质积分和i 一次对偶均质积分分别用暇( ) a = 0 ，1 ，竹) 和彤( k ) o 是任意实数) 表示，标准单位球b 的n 维体积用表示，并用伊- 1 表 示i p 中的单位球面凸体的p 一宽度积分用昂，t ( k ) 表示对岛一空间中的几何 体，分别用i i p k 和r p k 表示凸体k 的“一投影体和k 一质心体 ( 1 )对于凸体p 一宽度积分的研究 根据l u t w a k 引进的凸体的宽度积分的概念【4 2 】，我们更为广泛地研究了凸体p 一 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 6 宽度积分的性质，获得了凸体p 一宽度积分的b r u n n - m i n k o w s l d 型不等式和b l a s c h k e - s a n t a l 6 型不等式并利用这些性质与不等式获得了k 一投影俸，岛一质心体及其 极体的b r u n n - m i n k o w s k i 型不等式，推广和完善了e l u t w a k 建立的当p = 1 时凸体 的宽度积分的性质 定理1 2 1 设k ，l 肛，则当i t i 时 岛似+ ，工) 忐岛，i ( k ) 忐+ b p ，i ( l ) 南， ( 1 2 2 ) 等号成立当且进当k 和l 有类似的尹宽度 定理1 2 2 若k 舻，则当i n 时 昂，i ( 耳) ( 舻) 2 ， ( 1 2 3 ) 当n i 2 n 时，不等号反向等号成立当丑仅当k 为一个中心在原点的球 说明以上内容形成的论文已被国内数学杂志鬈数学杂志录用 ( 2 ) 关于星体的弦长积分的研究 我们引入了星体的弦长积分的概念，它是凸体的宽度积分的对偶形式运用经 典b r u n n - m i n k o w s k i 理论的基本理论知识，建立了星体的弦长积分的循环不等式和 b n m n - m i n k o w s l d 型不等式 定理1 2 4 设l 佑，i j 0 ，则均质 积分毗( ) 满足 m ( a k ) = w i ( k ) ( 2 1 5 ) 注上述混合表面积测度( k ，) 与文【1 3 ，6 6 1 中的记法不同，为了便于书写公 式( 2 1 4 ) ，这里采用了与l u t w a k 在文【4 6 】中的记法根据记法( 2 1 3 ) ，我们即知 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 1 s 0 ( k ，) 表示k 驴的表面积测度s ( k ，) ；晶一l ( ，) 就是驴- 1 上的通常l e b e s g u e 测度 由公式( 2 1 4 ) ，我们容易得到 ( k ) = 五1j c n 一。h ( k ，t ) 掘( ，u ) = y ( k ) ( 2 1 6 ) 2 1 3 径向函数与星体的径向m i n k o w s k i 组合 一个j p 中非空紧子集称为星体，如果对于其每个内点p ，则线段【d p ) = 知： 0 a 0 ，使得对所有 的t 铲一，有b ( k ，“) = 舳( l ) ，则称两个凸体和工具有类似的宽度【4 2 】下列 结果将被用到，若，l i ，则 b ( k + l ，t ) = b ( k ) + b ( l ，t ) ( 2 1 1 1 ) l u t w a k 4 2 】深入地研究了宽度积分，并且定义了宽度积分t 设k ，ie r ，则 b i ( k ) = ：厶一，肾( u ) d s ( u ) ， ( 2 1 1 2 ) 其中d s ( u ) 表示9 - 1 在t i 的面积微元 特别，我们有， ( i ) b t ( b ) = ，对所有的i r ； ( i i ) 若k 舻，则有鼠( k ) = 易见宽度积分b i ：”- ，r 是一个正的、连续的、一i ) 次齐次的映射，且关 于刚体运动是不变的【4 2 】另外，当 n ，它关于集的包含关系是单调有界的 4 2 】 我们用 ( k ，t ) = ；i _ i l ( k ，u ) 一+ h ( k ，一t ) 1 ， ( 2 1 1 3 ) 表示凸体耳在t 方向的p 一宽度 若对于k ，l 舻，存在一个常数a 0 ，使得对所有的“俨，有b a k ，u ) = a ( 工，) ，则称两个凸体k 和l 具有类似的p 一宽度 2 1 6f i r e yp - 线性组合 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 3 对于p 1 ，k ，l c i ， 0 ，f i r e y p 一组合k b s l 的支撑函数被定义为【4 6 】 结合( 2 1 1 3 ) 式则有 h ( k + p 5 l ，) p = h ( k ，) p + z h ( l ，) ( 2 1 1 4 ) b p ( k + p l ，牡) = b p ( k ，u ) + 6 p ( 厶“) ， ( 2 1 1 5 ) l u t w a k 在文阳】中有下面的结论将被用到z 若k ，l j 嚣，p 1 ，则有 品( + p l ，) = 昂( ，u ) + s ( 厶t ) ( 2 1 1 6 ) 其中昂( ，t i ) 表示凸体的岛一表面积测度 2 1 7 调和b l a s c h k ep - 线性组合 对于p 2 1 ，k ，l 嵋，星体k 和l 的调和b l a s c h k ep - 线性组合tk - t r p l 脚】 首先定义 0 1 ( 州= i 1 厶一。 v ( k ) - l p ( k ，u ) ”却+ y ( 工) p ( l ，u ) ，却1 ”，d s ( u ) ( 2 1 1 7 ) 星体k l 佑的径向函数被定义为 一1 p ( k 午，l ，) 帅= y ( ) 一1 p ( k ，) “+ y ( l ) 一1 p ( l ，) “却 ( 2 1 1 8 ) 由( 2 1 1 7 ) ，( 2 1 1 8 ) 和体积的极坐标公式可以得到f = v ( k - t - p l ) 故从( 2 1 1 8 ) 可得 错= 笔茅+ 锗( 2 1 1 9 ，y ( 耳午，l )y ( )y ( l ) 7 2 1 s 4 一投影体 若k 穑，则凸体k 的如一投影体i l p 的概念由l u t w a k ，d y a n g 和g y z h a n g ( 张 高勇) 在文【5 6 l 中提出t 对于彤中的每一个k i 瑶和实数p 1 ，凸体k 的如一 投影体珥k 的支撑函数被定义为，对任意的t s l ， ，i ( i l p ( k ) ， ) p = n w n l c n _ 2 , p 厂8 一：j t l ，t ，i v d 昂( k ，t ，) ( 2 1 2 0 ) 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 4 其中 ，2 瓦= = = = = ， s ( ，u ) 表示凸体k 的k 一表面积测度显然由定义( 2 1 2 0 ) 知，k 的如一 投影体玛k 是个关于原点对称的凸体由( 2 1 1 6 ) 式( 2 1 2 0 ) 式易得 h ( 1 i p ( k + p l ) ，t 1 ) p 2 去厶一。l 嗥+ ，l ，口) = 而若厶_ l i 刊蝎( k ，a ) + 而击厶口刮喝( 舢) = = ，l ( i 】- k ，“) + ( i i p l ，u ) ( 2 1 2 1 ) 2 1 9 b 一质心体 若k 瞎，则星体的岛一质心体r p k 的概念由l u 铆a k ，d y a u g 和g y z h a , n g ( 张 高勇) 在文【5 0 】中提出t 对于j p 中的每一个k 佑和实数p 1 ，星体的岛一 质心体r p k 是一个凸体，它的支撑函数被定义为对任意的l g , s ，i ， 其中 体 ( “) = 丽1 上h z i 出， ( 2 1 2 2 ) 一 ，- 一r v 郇2 瓦i 石 显然由定义( 2 1 2 2 ) 知t 星体k 的岛一质心体r p 耳是个关于原点对称的凸 利用体积的极坐标公式，( 2 1 2 2 ) 可以被写为t ( ”) = 研而1 ：丽i 厶一。i u 叫肛( ”) ( 2 1 2 3 ) 则由( 2 1 1 9 ) 和( 2 1 2 3 ) ，我们有 唯( 铂( u ) = 而而1 面丽厶一。m j p p k t - p c ( ”) “押咖 = 吃k ( u ) + h f - , l ( - ) 2 1 1 0j e n s e n 不等式 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 5 若p 0 ，p 是个集合x 上的有限b o r e l 测度，是集x 上的非负p 一可积函 数，则，的p 次平均 矗，定义为， ，= 石两1 上m ) 舡( z ) ” ( 2 1 2 5 ) 关于，的p 次平均m p f ，有如下著名的j e n s e n 不等式，如果p q 且m , f 存在，则 m p t s m q | 等号成立当且仅当，是一个常数或p = 口 2 2 凸体p 一宽度积分的性质 ( 2 1 2 6 ) 定义设k j ，则k 的p 一宽度积分定义为， 剐k ) = 元1 厶一。矿( k ，u ) d s ( u ) ( 2 删 注取p = 1 时，p 一宽度积分即为l u t w a k 在文【4 2 j 定义的宽度积分 由凸体p 一宽度积分的定义知对于固定的i ，则p 一宽度积分是一个映射 b 胪尼 下面我们先研究一下p 一宽度积分的一些性质t ( i ) 岛，i ( b ) = ，对所有的i r ，n ( ) = 对所有的k 舻； ( i i ) ( 正的n - i 阶映射) t 若c 0 ，则b ，d c k ) = 矿。且缸( 耳) ； ( i i i ) ( 连续性) tb - ( ) 是一个关于的连续函数； ( i v ) ( 单调性) 若，则b p ( 彤) b ， t ( )( i n ) ； ( 、，) 若k 舻，则 岛t n l ( ) i 一l ( k ) ， ( 2 2 2 ) 等号成立当且仅当p = 1 或k 关于原点中心对称 2 0 0 7 年上海大学硕士学位论文 1 6 证明- 由m i n k o w s k i 积分不等式得 f h n - l ( k p = 豫j 矗一；( ku ) ，i 。u 、。p = ：岳一t 皓( ，l ( k ，) p + h ( k ，一) p ) 】；d s ( u ) ) ， 【：岛一- ，i u ) d s ( u ) p = - 一1 ( k ) p 所以 王k 。1 1 一l ( ) 等号成立当且仅当p = 1 或k 关于原点中l - 对称 l u t w a k 利用h s l d e r 积分不等式证明了凸体宽度积分满足循环不等式