（运筹学与控制论专业论文）复杂系统的同步与控制.pdf

摘要 摘要 自然界和人类社会中广泛存在着复杂系统，而复杂系统可通过各种各样的网 络来描述。随着计算机、互联网和高科技等科学技术的迅猛发展，网络的研究引 起了国内外不同学科的高度重视。 2 0 世纪末，复杂网络的研究受到自然科学与工程各个领域研究者越来越多的 关注，成为近年来研究的一个热点。复杂网络是具有复杂拓扑结构和动力学行为 的大规模网络。复杂动态网络系统的同步行为是自然界和工程技术领域中一种常 见的现象。近几年来，复杂动态网络的同步研究问题已经取得了迅速发展。另外， 由于多自主体系统的广泛应用以及合作与协调控制问题的深入研究，多自主体的 一致性和群集问题的研究发展迅速，无论在理论上还是在应用上都取得了丰硕的 成果。本文研究了复杂动态网络的同步问题，多自主体的一致性和群集问题。本 文的主要创新研究内容有： 1 研究了复杂动态网络的自适应同步问题。首先设计了自适应控制器，使一 类时延不确定复杂动态网络实现同步，进一步研究了当网络节点的动力系统含有 未知参数时的自适应同步问题。 2 提出了一种具有异质节点的复杂动态网络模型。在这种模型中网络节点的 动力系统可以是不同的，对该模型的同步控制问题进行了研究。 3 研究了时延复杂动态网络的同步问题。设计了一个主动控制器控制一些时 延复杂动态网络实现同步。另外，给出了一种使时延动态网络达到全局同步的判 定方法，该方法不需要线性化。 4 研究了具有主动领导者( l e a d e r ) 和有向拓扑结构的多自主体的一致性( c o n s e n s u s ) 。分别对不带时延和具有时延的多自主体模型进行了研究。通过对自主体 设计局部控制器和对l e a d e r 的状态进行观测，得出当网络具有全局可达的节点时， 自主体可以跟踪上l e a d e r 的一些条件。还研究了高维l e a d e r 下的有时延多自主体系 统的一致性。 5 研究了保持连通性的多自主体的群集( f l o c k i n g ) i n - j 题。对具有虚拟l e a d e r 的 群集行为进行了研究，多自主体的速度可以跟踪上l e a d e r 的速度，自主体之间可以 避免碰撞。另外还提出了一种新的群集控制规则，该规则的自主体之间具有非线 摘要 性内部耦合关系。本章的规则只要求网络初始时刻是连通的，而不是假设在整个 过程中连通。 关键词：复杂网络；同步；时延系统；自适应控制；多自主体；一致性。 a b s t r a c t a b s t r a c t c o m p l e xs y s t e m sw i d e l ye x i s ti nt h en a t u r ea n do u rs o c i e t y c o m p l e xs y s t e m s c a nb ed e s c r i b e db yv a r i o u sn e t w o r k s t h er e s e a r c h e so fn e t w o r k e d s y s t e m sh a v e b e e n g r e a t l ye n a b l e db yt h er e c e n td e v e l o p m e n t so fp o w e r f u lc o n t r o lt e c h n i q u e s ，a d v a n c e m e n t si nc o m p u t a t i o na n dc o m m u n i c a t i o nc a p a b i l i t i e s c o m p l e xn e t w o r k sh a v ea t t r a c t e dm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n sf r o mv a r i o u sf i e l d s o fs c i e n c ea n de n g i n e e r i n gi nt h ee n do f2 0 地c e n t u r y c o m p l e xn e t w o r k sa l el a r g e s c a l en e t w o r k sw i t hc o m p l e xt o p o l o g i c a ls t r u c t u r e sa n dd y n a m i c a lb e h a v i o r s s y n - c h r o n i z a t i o ni nc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k sc a nw e l le x p l a i nm a n yn a t u r a la n d e n g i n e e r i n gp h e n o m e n a i nr e c e n ty e a r s ，r e s e a r c h e so ft h es y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e xn e t w o r k sh a v eg a i n e dr a p i dd e v e l o p m e n t i nr e c e n ty e a r s ，w i t ha p p l i c a t i o n so f m u l t i a g e n t s y s t e m sa n dr e s e a r c h e so fc o o p e r a t ec o n t r o l ，r e s e a r c h e so fc o n s e n s u sa n df l o c k i n go f m u l t i a g e n t sh a v e b e e nd e v e l o p e dr a p i d l y s i g n i f i c a n t l yt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a lr e s u l t s h a v eb e e na c h i e v e d s y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e xn e t w o r k s ，c o n s e n s u sa n d f l o c k i n go f m u l t i a g e n t sh a v e b e e nr e s e a r c h e di nt h i sd i s s e r t a t i o n t h em a i nc o n t e n ta n dc o n t r i b u t i o no ft l l i sd i s s e r t a t i o na res u m m 撕z e da sf o l l o w s ： i a d a p t i v es y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k si ss t u d i e d w ed e s i g na na d a p t i v ec o n t r o l l e rw h i c hc a nm a k ea nu n c e r t a i nc o m p l e xd e l a y e dd y n a m i c a l n e t w o r k ss y n c h r o n i z e w ea l s or e s e a r c ht h es y n c h r o n i z a t i o no fac o m p l e xd y n a m i c a l n e t w o r k sw i t hu n k n o w np a r a m e t e r s 2 an e wc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k sm o d e li si n t r o d u c e d ，i nw h i c ht h en o d e so f t h en e t w o r k sa r eh e t e r o g e n e o u s t h en o d e so ft h en e t w o r k sh a v ed i f f e r e n td y n a m i c s ， t h es y n c h r o n i z a t i o no fs u c hm o d e li ss t u d i e d 3 s y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e xd e l a y e dd y n a m i c a ln e t w o r k si ss t u d i e d w eu s e a c t i v ec o n t r o l l e rt om a k ec o m p l e xd e l a y e dn e t w o r k ss y n c h r o n i z a t i o n t h eg l o b a ls y n c h r o n i z a t i o no fc o m p l e xd y n a m i c a ln e t w o r k sw i t ht i m ed e l a y si sa l s os t u d i e d t h i s a p p r o a c hd o e sn o tu s el i n e a r i z a t i o n 4 c o n s e n s u sw i t ha na c t i v el e a d e ra n dd i r e c t e dt o p o l o g yi ss t u d i e d t w od i f f e r e n t 1 1 1 a b s t r a c t m o d e l sw i t ha n dw i t h o u tc o u p l i n gt i m ed e l a y sa r ep r e s e n t e d i ft h ei n t e r c o n n e c t i o n g r a p hi sg l o b a l l yr e a c h a b l e ，t h em u l t ia g e n tc a np a c kt h el e a d e ru s i n gt h el o c a lc o n t r o l l e ra n dn e i g h b o r - b a s e ds t a t e e s t i m a t i o n w ea l s oi n v e s t i g a t ec o n s e n s u so fm u l t i a g e n tw i t hh i g h tl e a d e r 5 h o c k i n gw h i l ep r e s e r v i n gn e t w o r kc o n n e c t i v i t yi sr e s e a r c h e d f l o c k i n go f m u l t i 。a g e n t sw i t hav i r t u a ll e a d e ri ss t u d i e d t h eg r o u pc a nt r a c kt h el e a d e ra n dc o l l i s i o na v o i d a n c ea m o n gn e i g h b o n n ga g e n t si se n s u r e d m o r e o v e r , f l o c k i n gw i t hn o n l i n e a ri n n e r - c o u p l i n gf u n c t i o ni sa l s os t u d i e d t h er e s u l t sa l ea c h i e v e du n d e rt h e a s s u m p t i o nt h a tt h ei n i t i a ln e t w o r ki sc o n n e c t e d k e y w o r d s ：c o m p l e xn e t w o r k s ；s y n c h r o n i z a t i o n ；t i m ed e l a ys y s t e m ；a d a p t i v ec o n - t r o l ；m u l t i a g e n t s ；c o n s e n s u s 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：席匍亚金 砂寥年l 阳弘日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：爿纫正垒 ， 例年j1 月扣日 第一章绪论 第一章绪论 1 1引言 复杂网络的研究近年来受到科学和工程各个领域研究人员的广泛关注，已经 成为近年来的一个研究热点 1 1 0 。网络是由许多节点( n o d e ) 与连接两个节点之 间的边( e d g e ) 组成的，其中节点用来代表真实系统中不同的个体，而边则用来表 示个体间的关系，往往是两个节点之间具有某种特定的关系则连一条边，反之则 不连边，有边相连的两个节点被看作是相邻的。复杂网络是由海量的节点数和复 杂的连接拓扑结构构成。毫无疑问，现实世界中很多系统都可以用复杂网络来表 示。例如，万维网( w w w ) 是由网页作为节点、链接作为边的网络；i n t e r n e t 是 由路由器或域作为节点、相互连接作为边的网络；食物链网是由各种生物作为节 点、相互之间的食物关系作为边的网络；社会网是以人为节点、其社会关系作为 边的网络。 复杂动态网络的特点之一就是，不仅网络中节点具有非线性和复杂性，而且 网络的连接结构和时空演化更是错综复杂，其中，复杂动态网络的同步行为及其 控制方法研究是近年来很受关注的一个研究领域【11 】。实验表明在物理、化学、生 物等领域中都存在大量的同步现象。在很多工程问题，如保密通讯、图象处理以 及调和振子的产生中，混沌同步已被发现是有实际应用价值的。而对复杂网络的 同步能力和同步速度的研究直接关系到网络的稳定性和网络的传输效率等实际问 题，具有十分重要的学术价值和研究意义。本文首先研究了复杂动态网络的同步 问题。 近年来，鸟群、鱼群及其它群体动物的集体行为引起了不同领域科研人员越 来越多的兴趣。多自主体系统的集体行为广泛存在于生物、物理、控制、社会经 济和一些人工系统中，从计算机图形专家的模拟到生物学家、物理学家提出模型， 再到数学家、系统控制专家进行建模与控制，科研人员都试图建立理论模型来解 释和揭示鱼群、鸟群及其它群体动物在没有集中控制的情形下如何达到飞行或游 行方向的一致，进而理解各种各样的群体行为。随着工业科技的发展，在某些危 险环境下，多自主体系统继而取代原来传统的单个自主体，由于其灵活性和抗干 第一章绪论 扰性都有所提高，多自主体系统被越来越广泛地应用，人们期望通过模拟群集生 物体之间相互协调合作的现象来控制实际多自主体系统，以达到期望的目标，比 如：群机器人，无人驾驶飞行器，自治海底探矿船和高速公路系统等的控制。多 自主体的一致性( c o n s e n s u s ) 和群集( f l o c k i n g ) 行为是目前多自主体集体行为研究的 一个焦点。所以本文还选择了多自主体的一致性和群集行为进行了研究。 复杂动态网络的同步、多自主体的一致性和多自主体的群集问题是本文研究 的重点。下面第二节到第四节就这三个方面结合前人工作进行简要介绍。 1 2 复杂网络 一个世纪以来，人们都是用e u c l i d e a n 网格来描述物理的或者非物理的( 经济 的、社会的、生物的) 系统和过程。在上个世纪六十年代，e r d 6 s 和r 6 n y 提出了 随机图模型( e r 模型) 来描述复杂网络的拓扑结构【1 2 - 1 4 】，这在图论理论中是一 个重大的突破。但是现实世界中，网络的拓扑结构总会是既非完全固定，也非完 全随机的。尽管e r 模型在复杂网络的研究中统治了近半个世纪，但还是不能准 确地描述现实网络的特征。近年来，随着高性能计算机和大规模数据库的飞速发 展，使人们有能力在对各种不同类型网络的数据分析的基础上，揭示复杂动态网 络的一些共有的特征和性质，从而激起了人们以理论、仿真和实际数据验证三种 手段研究复杂网络的兴趣。这样一些新的介于固定网络和完全随机网络的网络模 型被提出来研究。w a t t s 和s t r o g a t z 提出了小世界网络模型 2 】。小世界网络模型像 固定网络一样有低的聚集系数，和随机网络一样具有小的平均最短路径。它是介 于固定网络和完全随机网络的一个过渡网络。b a r ：i b a s i 和a l b e r t 提出了一种名为 无标度的网络模型【3 ，1 5 1 。认为网络规模的不断增加和新增加的节点的边有偏好 的连接是网络具有无标度特性的根本原因。非常有趣的是，现实世界中的复杂网 络常常既是小世界的又是无标度的，它们大多数具有如下5 个特征： ( 1 ) 网络的大规模性和行为的统计性 网络的节点数可以成百上千万，甚至更多，大规模性的网络行为具有统计特 性。 ( 2 ) 节点动力学行为的复杂性 各个节点本身可以是个非线性系统( 可以由离散的和连续的微分方程描述) ， 具有分岔和混沌等非线性动力学行为。 ( 3 ) 网络连接的稀疏性 2 第一章绪论 一个有个节点的具有全局耦合结构的网络的连接数目为o ( n 2 ) ，而实际大 型网络的连接数目通常为o ( n ) 。 ( 4 ) 连接结构的复杂性 网络连接结构既非完全规则，也非完全随机，但却具有其内在的组织规律。 ( 5 ) 网络的时空演化的复杂性 复杂网络具有空间和时间的演化复杂性，展示出丰富的复杂行为，特别是网 络节点之间的不同类型的同步化运动( 包括出现周期、非周期( 混沌) 和阵发行 为等运动) 。 1 2 1 复杂网络的特征量 描述网络结构特点的特征量包括平均距离( a v e r a g ed i s t a n c e ) 、簇系数( c l u s t e r i n g c o e f f i c i e n t ) 、度分布( d e g r e ed i s t r i b u t i o n ) 、介数( b e t w e e n n e s s ) 等，下面介绍它们的定 义。 ( 1 ) 平均路径长度 在网络中，节点i 和节点j 之间最短路径的边数定义为该节点对的最短距 离矾；。平均路径长度定义为任意两个节点之间的最短距离的平均值，即 k 揣 ( 1 ) 当网络是非全连通的时候，这个定义就会出问题( 无限大) 。避开的办法是只定义 网络的最大连通部分之上。另一种不同的定义是调和平均 一= 翥甓 2 ， ( 2 ) 度和度分布 一个节点最简单，可靠也是最重要的特性就是它的度。节点i 的度为节点i 连 接的边的总数目。所有节点i 的度的平均值称为网络的平均度，记为 。网 络中节点的度分布用分布函数p ( k ) 来表示，其含义为一个任意选择的节点恰好 有k 条边的概率，也等于网络中度数为七的节点的个数占网络节点总个数的比值。 根据不同类型的度分布，可以把网络分为均匀网络( h o m o g n e u o sn e t w o r k ) 和 非均匀网络( i n h o m o g e n e o u sn e t w o r k ) 或异质网络( h e t e r o g e n e o u sn e t w o r k ) 。均 匀网络包括规则网络、完全随机网络、小世界网络等，这类网络的度分布近似 3 第一章绪论 于p o i s s o n 分布，其形状在远离峰值 处呈指数下降( 见图1 1 ( a ) ) 。而许多实 际网络属于异质网络，其度分布服从幂律形式p ( k ) 一k 一7 ，也称为无标度( s c a l e f r e e ) 分布，7 称为幂指数( 见图1 1 ( b ) ) 。具有幂律度分布的网络中节点的度没有 明显的特征长度，因此也称为无标度网络。在一个度分布为具有适当幂指数( 通 常为2 ，y 3 ) 的幂律形式的大规模无标度网络中，绝大部分的节点的度相对很 低，但存在少量的度相对很高的节点，称为网络的“h u b ”节点。 图1 1 两种度分布的对比。( a ) p o i s s o n 分布；( b ) 幂律分布( 对数坐标系) ( 3 ) n 络的聚集系数 如果一个网络节点有数个直接的邻居节点，那么这些邻居节点之间有可能也 是紧邻的。聚集系数用于描述这种可能性的程度，实际表达了网络连接的聚集程 度。 假设网络中的一个节点i 与其它个节点相连，这个节点就称为节点i 的 邻居。显然，这k 个节点之间最多可能有( 觑一1 ) 2 条边。将这个节点之间实 际存在的边数e 和总的可能的边数陬一1 ) 2 之比定义为节点i 的聚集系数g ， 即 g = 纛 m 3 ， ( 4 ) 介数 4 第一章绪论 介数反映了某节点在网络中的重要性。令节点i 和节点，之间的最短路径 的条数为c ( i ，j ) ，这两个节点之间经过节点k 的最短路径条数记为c k ( z ，歹) 。比 值g 七( i ，j ) = g ( z ，j ) c ( t ，j ) 描述了节点在节点i 和j 之间重要程度。节点尼的介 数定义为所有节点对的g k ( i ，j ) 的总和 舻若枷) = 丢粼 ( 1 4 ) 当然，描述网络结构的特征量还有很多，这里就不一一介绍。 1 2 2 复杂网络的模型 ( 1 ) 规则网络 规则网络一般包括全局耦合网络、最近邻耦合网络、星形耦合网络。 在一个全局耦合网络中，任意两个节点之间都有边直接相连。在具有相同节 点数的所有网络中，全局耦合网络具有最小的平均路径长度l 。= 1 和最大的聚 集系数g 。= 1 。 最近邻耦合网络中的每个节点只和它最近邻的k ( k 为偶数) 个节点有边相连， 具有周期性的边界条件。 星形耦合网络有一个中心节点，其它一1 个节点都只与这个中心节点连接。 固0 心。谚 ni 彻的 图1 2 几种常见的规则网络。( a ) 全局耦网络；( b ) 最近邻耦合网络；( c ) 星形耦合网络 ( 2 ) 随机网络 e r 网络中有数目固定的个节点，任意一对节点以概靴连接，最后得到札条 边。如果这个节点完全连接形成连通图则p = 1 ，如果p = 0 ，个节点相互独 立。当连接概率在0 l 之间时，网络中的边数佗= p n ( n 一1 ) 2 ；平均度 = 2 n n = p ( n 一1 ) p ；平均路径长度l 一2 礼( ) z 佗( ) ；聚集系数c = p ； 当很大时，节点度分布近似为泊松分布p ( k ) e - 七后! 。 5 第一章绪论 ( 3 ) 小世界网络 前面己经提到，规则网络有比较大的聚集系数，但随着网络规模的增大，它 的平均路径却很长；而随机网络虽然有比较短的平均路径，其聚集系数又很小。 因此这两类网络模型都不能再现真实网络的一些重要特征，毕竟大部分实际网络 既不是完全规则的也不是完全随机的。 1 9 9 8 年w a t t s 和s t r o g a t z 提出了小世界模型( w s ) 【2 。w s 模型构造过程如下：初 始于一个具有个节点，度为k 的最近邻耦合网络，以概率p 重新随机连接每条 边的其中一端节点，这个过程中不能自身连接和重复连接。通过调节矽的值可以 控制从完全规则最近邻网络 = o ) 至t j 完全随机网络( p = 1 ) 的过渡( 见图1 3 ) 。 静 图1 3w s 4 , 世界网络 w s , j , 世界模型的构造算法中的随机化过程可能会破坏网络的连通性而出现 孤立的集团。后来n e w m a n 和w a t t s 提出了一个改进的模型 1 6 】，虽0 n w d , 世界模型： 在原有的最近邻耦合网络模型的基础上，以概靴在不相连的节点之间添加一条 边。n w j 世界模型实际上是规则网络和随机网络的叠加，p = o x 于应于原来的最 近邻耦合网络，p = 1 对应于全局耦合网络，如图1 4 所示。 o 囝 随机化加边 i i i | l l l l l l l i l u r r 图1 4n w j 、世界网络 6 第一章绪论 ( 4 ) 无标度网络 小世界网络和随机网络的一个共同的特征就是网络的节点度分布可近似为p o i s s o n 分布，属于均匀网络或指数网络。但随着对大量实际复杂网络的研究发现， 许多复杂网络包括i n t e r n e t 、w w w 等网络的连接度分布函数具有幂律形式。由于 这种网络的节点连接度没有明显的特征长度，故称为无标度网络( 见图1 5 ) 。 为解释幂律分布产生的机理，b a r a b 6 s i 和a l b e r t 提出了无标度网络的如下的一 个构造算法 3 1 ： 1 ) 生长：初始网络有m o 个节点，每次增加一个新节点，并且连接到m 个己存在的 节点上，这里m m o 。 2 ) 优先粘贴：选择连接的概率与节点度成正比，即 n ( 舻轰 图1 5 无标度网络。左：网络连接的形象示意；右：度分布是双对数坐标内的一条直线，也就 是幂律分布 1 3 复杂网络同步及其稳定性分析概述 自从1 7 世纪h u y g e n s 发现两个弱连接的钟摆在相位上的同步【1 7 】以来，大量 的同步现象被观察和研究，如萤火虫闪烁的一致性；当精彩的报告结束后，观众 的掌声起初是凌乱的，但经过几秒之后，大家会用共同的节奏鼓掌：管弦乐队小 提琴的统一；心脏频率和呼吸、运动频率的一致性；以及激光发生器的同步性等 7 一 f o 舻 第一章绪论 等。当然同步现象有时也可能是有害的，例如成千上万的人们同时过桥引起桥体 振动；i n t e r n e t 上路由器周期性发送路由信息引发网络通信堵塞。 复杂动态网络的时空演化会产生各种复杂动态行为，其中复杂网络的动力学 分析及其同步控制方法研究在复杂网络系统的研究中占有非常重要的位置。目前 复杂网络的同步主要分为两种研究：一是从动力学行为出发研究同步性能给出同 步条件；二是从网络结构出发，判断同步性能提高同步指标。本文主要研究复杂 网络的动力学行为。 一个系统中的子系统并非孤立于其他子系统之外，而事实上，同盟之间有相 互影响、相互连接和相互耦合。这种连接可能很弱，但正是子系统间的连接，使 得各子系统可根据其它系统的状态来调整自己的状态，从而实现同步。因此，相 互连接正是同步产生最本质的原因 1 8 】。人们在已有针对小规模规则网络同步研 究的基础上 1 9 - 2 3 】，分析研究了小世界网络和无标度网络中的同步问题 2 4 _ 3 0 】， 发现诸多相同节点构成的连续时间耗散耦合动态网络的同步性能由节点的动力学 函数以及节点之间的内部耦合函数决定。如果内部耦合函数是线性函数，则网络 同步的稳定性由节点动力学函数、内部耦合矩阵、耦合强度以及网络的耦合矩阵 决定。在此基础上，人们进一步研究了具有时变、时延的复杂网络的同步 3 1 - 3 6 。 下面简单介绍有关复杂动态网络同步稳定性的基本判据。 1 3 1 连续时间耦合网络同步稳定性分析 考虑个相同节点构成的连续时间耗散耦合动态网络，其中第i 个节点的状态 为： n 晚= f ( x 1 ) + c a i j h ( x j ) ， i = 1 ，n( 1 5 ) j = 1 其中如= ( 。m 。涵，x i n ) ? r n 是节点i 的状态变量，f ：r n 一形是连续可 微的函数，常数c 0 为网络的耦合强度；h ：船_ 础为内部耦合函数。a = ( a i j ) r 胍n 表示网络的耦合矩阵，满足耗散耦合条件墨1a i j = 0 。 如果当t 一+ o 。有 x l ( t ) = x 2 ( t ) = = z u ( t ) = s ( t ) ( 1 6 ) 就称动态网络( 1 6 ) 达到完全( 渐近) 同步。同步状态8 ( t ) r n 为单个孤立节点的 解，即满足( t ) = ，( s ( t ) ) 。这里s ( t ) 可以是孤立节点的平衡点、周期轨道、或者混 沌吸引子。 8 第一章绪论 p e c o r a 和c a r r o l l 研究了动态网络( 1 5 ) 同步的稳定性问题，提出了用主稳定性 函数方法确定动态网络同步的稳定性 3 7 ，3 8 。下面介绍主稳定性函数的定义及其 使用方法。 将动态网络方程( 1 5 ) 在同步状态s ( ) 附近线性化，得到 其中是节点z 在s ( t ) 上的变分，d f ( s ) 和d h ( s ) 分别是，( s ) 和日( s ) 关于s 的雅克 比( j a c o b i a n ) 矩阵。令= ( 1 ，2 ，氨) ，则( 1 7 ) 重写为： 毒= d ，( s ) + c d h ( s ) a r ，i = 1 ，n( 1 8 ) 根据约当规范型理论，上式的稳定性由a 的特征值入七决定。设其对应的特征向量 为讯，则上式等价于 饥= f d f ( s ) + c a k d h ( s ) r l k ，k = 2 ，n( 1 9 ) 判断同步流形稳定的一个常用判据是要求方程( 1 9 ) 的横截李亚普诺夫指数全为负 值 1 9 ，3 7 。 令c a k = o + i ( 采用复数是因为考虑矩阵a 为非对称时特征值可能为复数) ， 带入方程( 1 9 ) 得 y = d f ( s ) + ( o + i l ? ) d h ( s ) y ，k = 2 ，n( 1 1 0 ) 计算最大李亚普诺夫指数三。一随q 和的变化关系，就是主稳定函数( m a s t e r s t a b i l i t yf u n c t i o n ) j 3 7 - 3 9 。 如果网络是无权无向连通的，由于耦合矩阵是对称半正定的，那么耦合矩阵 的特征根为实数，且可以记为0 = a 1 a 2 a 3 a 。此时主稳定方程( 1 1 0 ) n - f f j 写为 1 7 = 【d f ( s ) + a d h ( s ) y( 1 11 ) 对应的主稳定函数l 僦z 是实数。的函数，其中a = c a k 。把使得主稳定函数l m 为 负的实数口的取值范围s 称为动态网络( 1 5 ) 的同步化区域，它是由孤立节点的动力 学函数厂和内部耦合函数日确定，k o c a r e v 3 9 等人把同步化区域分为：s ：o ：s ： 0 7 0 1 = 白0 日d u 0 触 c+ 曲， d = 已 第一章绪论 ( p - ，) ；s = ( p 1 ，口1 ) ，其中o t l ，历 0 。如果耦合强调与耦合矩阵的每个负的特征 值之积都属于同步化区域，即 c h s ， 那么同步流形( 1 6 ) 是渐近稳定的。 最近，汪小帆和陈关荣 2 7 2 9 】提出了一种一致动态网络模型。并研究了该模 型的同步与控制问题。考虑个相同节点构成的连续时间耗散耦合动态网络，其 中第i 个节点的状态为： 觑= f ( x t ) + c n i j f x j ， i = 1 ， ( 1 1 2 ) j = l 其中r 为内部耦合矩阵为对角阵，r = d i a 9 ( 7 l ， 7 2 ，) r n 黼，如果= 1 ，= 0 ，歹i ，表示两个耦合节点之间仅通过第i 个状态变量线性耦合；既，厂的 定义同上。 网络的耦合矩阵a 的定义如下：若节in = 节n j ( t j ) 之间有连接，则q 巧= = 1 ；否则= 0 j = 0 ，对角元为 这里觑为节点的度数。 令0 = 入1 入2 入3 a 为耦合矩阵a 的特征值，如果 c i d a 2( 1 1 4 ) 那么同步状态( 1 6 ) 指数稳定 3 0 1 ，其中孑是由孤立节点的动力系统决定的一个常 数。a 2 的值越小，其绝对值l 入2 l 的值越大，这表明( 1 1 2 ) 可以在一个很小的耦合 强度下同步。因此，在特定的耦合方式下，耦合矩阵a 的第二大特征值表征了网 络( 1 1 2 ) 的同步能力。 陈关荣等人还研究了连续时间时变耦合网络的同步稳定性问题 3 1 ，3 2 1 ，具体 模型如下： n 础) = ，( 兢( t ) ) + c 。q ( t ) f ( t ) x s ( t ) ， i = 1 ， ( 1 1 5 ) j = 1 1 0 劲 一 = 一 一 = 一u o 一 一 = 啦 第一章绪论 这里r ( t ) 是时刻网络的内部耦合矩阵，a ( t ) = ( a o ( t ) ) g x n 是时刻网络的耦合 连接矩阵。这里( ) 的定义如下：若t 时刻从节点i 到节点歹0 i ) 之间存在着连 接，则时刻耦合强度。玎( t ) o ；否则，时刻的耦合强度a o ( t ) = o ( j i ) 。耦合结 构矩阵a ( t ) 的对角元素定义为： n “( t ) = 一( ) ，i = 1 ，2 ，n j = l ，j i 目前研究同步问题一般假设网络中所有节点的动力学系统完全相同，而节点 具有不同动力学系统的同步问题很少被研究。本文在第三章提出了一种具有异质 节点的复杂动态网络模型，该模型中网络节点的动力系统可以是不同的。 1 3 2 连续时间时延耦合网络同步稳定性分析 现实世界中，由于切换速率的有限性的和子系统间的物理距离，常常导致信 号的传输出现时延，也就是说，每个节点收到的邻居节点的信号常常是一段时间 之前的，故必须考虑当出现耦合时延时，系统的同步稳定性。时延复杂动态网络 的同步已经成为复杂动态网络研究的一个热点【4 叫3 】。 李春光和陈关荣提出了一种带时延的复杂动态网络模型 3 5 。该模型的动态 方程为： 也= 他 ) + c 叼吻( 一7 - ) ， i = 1 ，( 1 1 6 ) j = l 其中丁是耦合时延。 在文献【3 5 】中给出了下面两个关于时延复杂动态网络同步的判定定理。 定理1 1 如果存在两个正定矩阵，p ，q 0 ，使得 r 姑c f 搿p 毋q 0 ，动态网络( 1 1 6 ) 的同步状态( 1 6 ) 渐近稳定。其 d p j ( t ) 是，( s ) 在s ( 亡) 上的雅克比矩阵，入j v 是耦合结构矩阵a 的最小特征值。 定理1 2 假设一个定常时延7 【0 ，h i ，h 0 ，q 0 ，x ，y 和z 使得 - p j ( t ) + j t ( t ) p + y t + y + q l k i c f 丁p y r lh z j ( t )a i c p 嚣f - r y h j t ( t ) z 0 m 1 8 ， 一q 。 那么对于任意给定的时延7 - 【0 ，h i ，动态网络( 1 1 6 ) 的同步状态( 1 6 ) 渐近稳定。 在李春光和陈关荣提出的时延复杂动态网络模型( 1 1 6 ) 中，时延7 - 都是相同的。 在 4 2 1 中，李常品等提出了一般的时延动态网络模型，并研究了它们的同步稳定 性，其模型如下： 觑= ，( 观) + c 墨lq 巧r ( 勺1 一丁1 ) ，勺2 ( t 一见) ，巧n ( 一) ) t ( 1 1 9 ) = ，( 戤) + c 羔。a i 3 f 丽 祁 娩= ， i ) + c 墨1b i j r ( x j l ( t 一勺1 ) ，z j 2 ( 一乃2 ) ，巧。( t r j n ) ) r = m t ) + c 墨。幻r 承i 可 其中 霸f 可= ( 巧。 丁) ，锄 一丁) ) t ， 夏恧两= ( x j l ( 一乃1 ) ，x j n ( t 一乃n ) ) t 而f ，c ，x i ( i = 1 ，) ，a ，如前面几章定义。 在 4 3 1 e 0 ，李常品等研究了具有非线性内部耦合函数的时延动态网络模型： 兢= f ( x t ) + c 。巧夕( 丽) j = 1 疵= f ( x t ) + c 9 ( 丽f 可) ( 1 2 2 ) f 1 2 3 ) 其中9 是内部耦合函数，它是连续可微的。 关于时延复杂动态网络的同步问题还有一些非常深入的结果【4 4 4 7 】，这里就 不再一一介绍。 1 2 2 r 一 巧 g u 0 岗 c + z ， | | z 第一章绪论 1 3 3 复杂动态网络的自适应同步 由于复杂动态网络的连接结构和时空演化的复杂性，网络的耦合关系和耦 合函数往往是事先不知道的。些学者着手研究复杂动态网络的自适应同步问 题 4 8 - 5 l 】。 在文献 4 9 1 中，周进等研究了一种不确定非线性耗散耦合动态网络的自适应 同步问题，他们研究的模型如下 圣i = ，( z i ，t ) + i ( z 1 ( 亡) ，z 2 ( 亡) ，x n ( t ) ) + z t i ( 1 2 4 ) 其c x i = ( x i l ，x i 2 ，x i n ) t r n ，1 i 是节点i 的状态变量，f ：1 pxr + _ 酽是光滑的非线性函数，圣= f ( x ，t ) 是节点的动力系统，h i ：舻r + _ 月”是不 确定的光滑的非线性耗散耦合函数，札t t p 是控制输入，控制耦合满足 h i ( s ，8 ，8 ) + u i = 0 其中s 满足= y ( 8 ，) 。 他们设计了如下自适应控制器 u i = 一也e i ，1 i n( 1 2 5 ) 参数估计算法为 也= k i e r e t = k i l e t | | 2 1 i n ( 1 2 6 ) 其中( 1 i n ) 是正的常数，e f = ( 戤一s ) ( 在本文中的所有i | tf i 都为e u c l i d e a n 范 数) 。使用这个控制器，可以使动态网络( 1 2 4 ) 达到局部甚至全局同步。 周进等还对一般复杂动态网络的自适应牵制控制问题进行了研究 5 2 1 ，通过 对网络设计自适应控制器解决了下面两个问题：当网络结构和耦合强度固定时， 需要牵制控制多少节点可以使网络实现同步；当网络结构和牵制节点数固定时， 需要多大的耦合强度才能使网络达到同步。 本文在第二章研究了时延不确定非线性耗散耦合动态网络的自适应同步问 题。 1 3 第一章绪论 1 4 多自主体一致性和群集行为 近年来，多自主体系统群体行为的研究引起了广泛关注 5 3 - - 6 8 。下面是几个 典型的群体现象( 1 ) 当大雁群从一地迁徙到另一地点时，它们会排成整齐的人字 型队伍，而这种队形可自动调整以躲避敌人或超越障碍等。( 2 ) 鱼群及野生动物 群在觅食或逃避天敌时，它们的行动如同一个有机体。例如鹿群在逃避老虎时，它 们不是作鸟兽散，而是形成一个合理的队形。某一只鹿可能根本就没有看到老虎， 它只是根据附近鹿的奔跑形式来决定自己的行动方式。( 3 ) 蜜蜂在筑巢时，并无 设计蓝图，也没有“工程师”监督指导，但蜂巢却具有结构强度最优的性质。( 4 ) 蚁群能在居住地与食物之间形成一条“高速公路”，当路上出现障碍时，它们会设 法绕过，并在不同路径中选优；当环境变化时，它们会重新选优。蚁群间的信息 交流和优化，是群集行为的一个极具代表性的例子。 这类系统有一个显著的特点，即自主体间的相互作用遵循某种局部规则，也 就是说每个自主体只与在某种意义下跟它邻近的自主体相联系。在没有中心控制 和全局信息交流的情况下，仅靠自主体的局部相互作用，系统作为一个整体能够 自发的产生各种“宏观”行为，如同步，环状漩涡等。尽管更为简单，这种“宏观” 行为的出现与更加复杂的系统里的涌现现象有一定的相似性。正是由于这种简单 性，使对群体行为的计算机建模仿真和理论分析更加方便。这些仿真和分析的结 果也可以为揭示更复杂的涌现现象提供一些启示。因此，来自各个不同领域的专 家从不同方面对多自个体系统的群体行为