（应用数学专业论文）非线性动力系统的混沌控制与同步的研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 近年来，混沌控制与同步的研究得到了蓬勃的发展，并迅速成为 混沌研究领域的重点。本文围绕非线性动力系统的混沌控制和混沌同 步等问题进行了深入的研究与探讨，主要包括以下几个方面的内容： 1 在混沌控制方面，本文对一类非线性动力系统的脉冲控制问题进行 了深入的研究。2 在混沌同步方面，该文对一类非线性动力系统的 混沌同步问题进行了深入地探讨。3 本文根据稳定流形的理论，提 出了一种新的控制和同步的方法，称之为稳定流形基本方法。这种方 法以稳定流形理论为基础，通过设计一个合适的控制器使控制目标能 够在控制的情况下到达一个稳定流形上，混沌系统将引至期望目标， 则混沌得以控制。通过对三玉系统进行控制和同步发现所提出的方法 不仅是可行的而且是有效的。以上设计方法系统地解决了一类非线性 系统的混沌控制和混沌同步问题，所有结论基于l y a p u n o v 稳定性理 论给出了证明，并通过数值模拟验证其有效性。 关键字：混沌控制，混沌同步，李雅普诺夫函数，混沌吸引子， 脉冲控制，稳定性 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t c h a o sc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o nh a v eb e e ni n t e n s i v e l ys t u d i e di nr e c e n ty e a r s ， a n dt h e yh a v eb e c o m eah o tt o p i ci nt h er e s e a r c hf i e l do fc h a o s t h et h e s i sm a i n l y f o c u s e so nt h ec h a o sc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o no fn o n l i n e a rs y s t e m t h em a i n c o n t e n ti sd e p i c t e da sf o l l o w s ： f i r s t l y ，t h ep a p e rd i s c u s s e dt h ei m p u l s i v ec o n t r o lo fak i n d o fn o n l i n e a r d y n a m i cs y s t e m s e c o n d l y ，t h ep a p e rd i s c u s s e dt h ep r o b l e mo fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o na b o u ta s o r to fn o n l i n e a rd y n a m i cs y s t e m f i n a l l y , an e w m e t h o do fc h a o sc o n t r o la n ds y n c h r o n i z a t i o ni sp r o p o s e di nt h i s p a p e r , t h i sa p p r o a c hi sb a s e d0 nt h es t a b l em a n i f o l dt h e o r y , t h ec h a o t i cs y s t e mw i l l b ec o n t r o l l e da n ds y n c h r o n i z e di fi ti sg u i d e dt h ed e s i r e dt a r g e tb yd e s i g n i n ga s u i t a b l ec o n t r o l l e nt h ee f f e c t i v e n e s so f t h em e t h o di st e s t e db y l u s y s t e m a sa b o v e ，t h ep r o p o s e ds c h e m e sh a v es y s t e m a t i c a l l ys o l v e dc h a o sc o n t r o la n d c h a o ss y n c h r o n i z a t i o np r o b l e m sf o rac l a s so fn o n l i n e a rs y s t e m s a l lc o n c l u s i o n s h a v eb e e np r o v e no nt h eb a s i so fl y a p u n o vs t a b i l i t yt h e o r ya n dv a l i d a t e dv i at h e c o m p u t e rs i m u l a t i o ne x a m p l e s k e y w o r d s ：c h a o sc o n t r o l ，c h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ，l y a p u n o vf u n c t i o n s c h a o sa t t r a c t o r s ，i m p u l s i v ec o n t r o l ，s t a b i l i t y i i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学位保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或部分内容编入有关数据库 进行检索t 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在 年解密后适用本授权书。 不保密囹。 学位论文作者签名：并 7 孑白 1 删一j 年j 月识日 指导教师虢佃主长 7 岁年t 月谚日 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 埠吵插 1 日期：r 年月落日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 混沌理论的产生与发展 混沌是非线性动力系统所特有的一种运动形式，它广泛地存在于自然界及 人类社会，诸如物理、化学、生物学、地质学，以及社会科学等各种科学领域它 是在一个确定论系统中出现的一种类似不规则的、内在的随机性运动，展示了 事物的复杂性。混沌揭示了有序与无序的统一、确定性与随机性的统一，具有 内在的规律性和普适性，内部包含着丰富的信息资源及可开发应用的潜能。它 被认为是继相对论、量子力学之后，2 0 世纪在科学领域中人类认识世界和改造 世界的最富有创造性的第三次革命。在2 0 世纪6 0 年代，美国气象学家l o r e n z 在研究大气时发现，当选取一定参数的时候，一个由确定的三阶常微分方程组 描述的大气对流模型，变得不可预测了，这就是有趣的“蝴蝶效应”。这种现象 表面上看是随机的，不可预测的，而事实上却是按照严格的而且是易于表述的 规则运动着。蝴蝶效应正是混沌的本质特性一对初值的敏感依赖性的形象体现。 混沌运动由于是确定性非线性系统所特有的复杂运动形态，因而有着自己独特 的特征，主要有：有界性、遍历性、内随机性、分维性、标度性、普适性、统 计特征和正的l y a p u n o v 指数以及连续功率谱等。对混沌系统而言，正的 u y a p u n o v 指数表明轨线在每个局部都是不稳定的，相邻轨道按指数分离。但是 由吸引子的有界性，轨道不能分离到无限远处，所以混沌轨道只能在一个局限 区域内反复折叠，但又永远互不相交形成了混沌吸引子的特殊结构。由于表 征混沌行为的主要特征量是l y a p u n o v 指数五，因而它刻画了混沌系统对初始条 件的高度敏感性。通常，低维时间系统只有一个五大于零，而高维的时间空间 系统中。一般存在一个以上正的l y a p u n o v 指数五，。因此，从混沌的类型上，可 以分为四大类：第一类时间混沌，只存在与时间演化有关的混沌；第二类空间 混沌，只存在与空间位置变化有关的混沌：第三类时空混沌，同时在时间和空 间上都呈现混沌，还可以包括生物体内产生的功能混沌在内；第四类超混沌， 存在一个以上正的l y a p u n o v 指数 的混沌行为。 江苏大学硕士学位论文 由于混沌的奇异特性，特别是对初始条件极其微小变化的高度敏感性及不稳 定性，所谓“差之毫厘，失之千里”的缘故，使得混沌控制举步维艰，它曾被 认为是不可预测的、不可控制的，因此，人们在生产、实验中都尽量避免混沌 的出现。但在1 9 9 0 年，混沌控制及混沌同步同时取得了突破性进展。混沌控制 是由美国m a r y l a n d 大学的三位物理学家e o t t ，c g r e b o g i ，j a y o r k e 从理论上 提出了参数小微扰方法( 简称o g y 方法) ，同年，w l d i t t o 和r r o y 等很快利 用o g y 方法首次在一个物理系统中，即对磁弹性体混沌系统实现了周期1 的 稳定控制。混沌同步则是由美国海军实验室的科学家l m p e c o r a 和t l c a r r o l l 开创，他们在实验电子线路上首先应用驱动一响应方法实现了混沌同步。随后， 混沌控制和混沌同步的研究得到了蓬勃发展，这一方向迅速成为混沌研究领域 的重要热点。其间。人们提出了许多混沌控制和混沌同步的方法，这大大推进 了各方面的应用研究，诸如在物理学、数学、电子学、保密通讯、密码学、激 光、化学、生物、医学和工程技术等众多领域，显示了极大的应用潜力，并很 快与高新技术发展联系起来，展现了诱人的应用前景。作为自然科学研究成果 的最终目的还是为人类服务，因而总是离不开成功的应用。 由于混沌运动具有初值敏感性和长时间发展趋势的不可预见性，混沌控制 就成为混沌应用的关键环节。1 9 8 9 年a h u b l e r 发表了控制混沌的第一篇文章； 1 9 9 0 年o t t 、g r e b o g i 和y o r k e 提出的o g y 方法控制混沌；紧接着d i t t o 和r o y 完成了控制混沌的实验。近十多年来，人们提出了各种控制混沌的方法，如： o g y 方法、偶然正比反馈技术( o c c a s i o n a lp r o p o r t i o n a lf e e d b a c k ，简称o p f 技 术) 、自适应控制、线性反馈控制、自适应反馈控制等方法。并在光学、等离子 体、化学反应、流体、电子回路、人工神经网络、生物系统等大量实验和应用 中得到验证。目前，人们对混沌控制的广义认识是：人为并有效地影响混沌系 统，使之发展到实践需要的状态。这包括：( 1 ) 混沌运动有害时，成功地抑制 混沌：( 2 ) 混沌有用时，产生所需要的具有某些特定性质的混沌运动，甚至产 生出特定的混沌轨道：( 3 ) 当系统处于混沌状态时，通过控制产生出人们需要 的各种输出。总之，尽可能利用混沌运动自身的各种特性来达到控制目的，是 所有混沌控制的共同特点。因此，混沌控制的主要目的是消除已有的混沌运动， 或降低混沌运动的程度。 江苏大学硕士学位论文 混沌运动由于其初值敏感性( 即相邻轨道之间距离随时间的指数发散) ，使得 它与信息过程有极紧密的联系。这种指数发散一方面使任何在混沌吸引子上可 区分的分布在t 寸o o 后变得不可区分，这导致了信息的丧失。但另一方面又使 有限测量精度下不可区分的不同点变得可以区分，从而产生了信息。混沌运动 过程就是源源不断的信息产生和持续不断的信息消失的过程，测量精度的提高 不会改变这一过程的基本特点。这样，混沌运动在信息处理中必然占有极重要 的位置。当前混沌应用的一个重要方向就是利用这一初值敏感带来的不可预见 性和内在随机性，实现混沌加密通信。当然，并不是任何混沌系统都能用来进 行混沌通信，人们必须通过混沌控制产生出与给定的混沌序列同步的混沌轨道。 这样一来，混沌同步问题就成为混沌控制的极重要的部分。自然界存在着大量 的同步现象，人们对同步的研究最早可追溯到钟摆的发明者惠更斯。但是，发 现混沌同步从理论上则到1 9 8 3 年y a m a d a 和f u j i s a k a ，1 9 8 4 年g a p o n o v 、 g r e k h o v 、r a b i n o v i c h 和s t a r o b i n e t s ，他们分别提出耦合混沌系统的同步；从实 验上证明了混沌同步却是1 9 9 0 年初的事情，p e c o r a 和c a r r o l 在电子学线路的专 门设计的实验中实现了两个系统的混沌同步。这一实验发现立即引起了广泛关 注，特别是他们提出的驱动一响应同步方法，发展了混沌同步的几何特性，设 计了实现混沌同步秘密通讯的电路方案，显示出混沌同步的巨大应用前景，立 即激起了混沌同步应用研究的热潮。 从总体上说，混沌同步实际上属于混沌控制的范畴，只是它的控制目标是 非周期轨道即混沌态而已。因此，混沌控制与混沌同步可以用统一的描述形式。 考虑两个非线性系统： 系统a x = f ( t ，x ) 系统by = g ( r ，y ) + a ( x ，y ) ( 1 1 ) 其中f ( 1 a ，x ) 和g ( r ，y ) 是两个非线性函数，y c r ”是n 维向量，g ( x ，y ) c r 是m 维控制函数，m n ，在混沌恒等同步中g ( r ，y ) = f ( u ，x ) ，两个系统的参 数= y ，而在广义同步中g ( r ，y ) 与f ( i a ，x ) 不同。不论何种情形，应使两个a 、 b 系统在g 系统作用下，它们的变量差经过适当控制时间( 理论上r 呻0 0 ) 后 江苏大学硕士学位论文 趋于零，即 ；i m l l x y 1 1 = 0 ( 1 2 ) 对于规定目标为稳定混沌系统中某个所期望的不稳定周期轨道( u p o ) ，则系统 b 描述了混沌控制，即b 系统为受控系统；对于规定目标为混沌系统中的混沌 态，则系统a 一系统b 描述了混沌同步，a 称为驱动系统，b 称为响应系统， 混沌同步就是实现b 系统与a 系统的混沌态的同步( 完全重构) 或某种函数关 系( 广义混沌同步) 。显然，混沌控制和混沌同步只不过是实现不同的控制目标， 并且用控制器g 来分别实现控制目标，0 可以是线性或非线性的变量反馈控制、 外部周期驱动力和随机噪声等多种类型的控制器。我们可进一步把上述问题转 换为研究a 、b 两个系统的误差动力学方程，即： e = g ( r ，y ) 一f ( u ，z ) + a ( x ，y ) ( 1 3 ) 这里e 是系统的一个平衡点，g 为控制器，当达到混沌控制或混沌同步后，反 馈控制函数g 将趋向于零( 但对非反馈控制，g 不达到零) ，误差动力学系统( 1 3 ) 达到渐进稳定，即r 斗o o ，e _ 0 。由于控制函数g 随不同控制方法有不同的形 式，所以方程组( 1 1 ) ( 1 3 ) 都能统一地描述混沌的控制与同步。 1 2 混沌应用研究的现状与展望 人们不仅要了解混沌，而且更重要的是驾驭混沌，为人类服务。所谓“驾 驭”就是对混沌进行控制、反控制和同步，以达到既定的目标。混沌控制的目 标是根据实际要求，对混沌系统中存在的不稳定的周期轨道( u p o ) 、平衡点及 恒定态实现稳定控制。近十年来，混沌控制与混沌同步的研究得到了蓬勃的发 展，并迅速成为混沌研究领域的重要热点。目前，人们提出了许多控制混沌的 方法，有些是把传统的系统控制和工程控制方法用到混沌控制中来，有些是基 于混沌运动的特点而特有的控制手段。总的来说，可以分为反馈控制和非反馈 控制两大类。一般地说，反馈控制多以原系统的固有态( 这些态在非控制系统 中是不稳定的) 为控制的目标态，故反馈控制可以保留系统原有的动力学性质， 并且只需要较小的控制信号。例如：o g y 法、o p f 技术、连续变量反馈、延迟 江苏大学硕士学位论文 反馈等等。而非反馈控制的基本特点是其控制信号不受系统变量实际变化的影 响，这就完全避免了对系统变量数据的持续采集和响应。例如：传输一迁移控 制法和外部噪声控制法等。 无论是利用混沌还是抑制混，我们都以某一固定点或某一周期轨道作为控 制的目标。在利用混沌时，就是把系统参数调到混沌参数上，以便有丰富的周 期轨道可供选择，但控制目的还是要实现适合实际需要的规则态，最后总把混 沌轨道作为要避免的对象予以消除。但混沌态并不总是有害的状态，一些具有 某些特定性质的混沌序列有时是人们所需要的，这就要求将系统驱动到人们要 求的混沌轨道上去，这就产生了混沌同步的问题。到目前为止，混沌应用研究得 最深入、最广泛的方向，是混沌序列及同步混沌在信息通信中的应用，人们提 出了许多混沌同步的方法。例如：驱动一响应( d r ) 方法，或称完全代替( c r ) 方法( 包括各种变型的驱动一响应方法，例如：部分替代、偶然替代和混沌替 代) ；扩散耦合方法，可分为单向耦合与多向耦合等不同情形：反馈同步方法； 自适应同步方法：外部噪声驱动方法；等等。 由于混沌控制和同步不仅在保密通信、信息处理等领域，而且在生物医学 等方面，都具有巨大的应用潜力和发展前景，目前已经提出了许多实现混沌控 制和同步的一些可能应用方案，主要是通过电子线路、激光系统、神经网络和 计算机系统等来实现。同时，由于超混沌比混沌在上述应用中更具优越性，所 以人们正在不断探索超混沌控制与同步的有效方法。总之，充分利用混沌的固 有特性，在混沌系统可控制和同步的基础上开发其应用的潜力，这是在混沌研 究中重要而又具有长远意义的课题。 在理论和实验研究不断取得进展的同时，人们也正在不断开拓新的应用领 域。众多的控制和利用混沌的例子：对混沌激光器、混沌二极管电路实现了控 制；在通信、生理学、化学反应工程等方面不断地产生了新的技术构想，并有 希望很快地成为现实。更深信地说，人的思维与活动实际上是有控制的混沌活 动，其意义与规律远没有被人们认识并利用。我们有理由相信，控制和利用混 沌的前景必定是十分广阔和无比美好的。 江苏大学硕士学位论文 1 3 本文研究的方法和主要工作 自混沌理论在2 0 世纪6 0 年代出现以来，混沌控制与同步一直是其研究的 中心课题，目前对于混沌控制与同步的研究已经遍及许多学科领域，成为富有 挑战性的研究课题之一。本课题研究的主要内容是：非线性复杂动力系统的混 沌控制与同步。本文基于著名的l y a p u n o v 稳定性理论，以计算机为工具，以教 学实验为手段，对一类非线性动力系统的混沌控制与同步进行了一系列的探索 与研究。本文共分六章，主要研究成果反映在第三、四、五章，论文内容安排 如下： 第一章为绪论。论述了本文选题的背景和研究的意义，在此基础上回顾了 混沌的历史发展进程，通过大量的参考文献对混沌的研究现状，混沌控制的研 究进展以及混沌同步的研究现状进行综述，进而给出本文的研究内容及章节安 排。 第二章为混沌控制与同步的一些主要基本理论。在参考大量文献的基础上， 给出了当前比较流行的几个关于混沌的数学定义，系统地阐述了混沌运动的主 要特征，重点地介绍了混沌控制和同步的主要研究方法，以及与混沌控制和同 步有关的一些基本概念和主要理论，从而形成较为完整的理论体系，为第三、 四、五章的应用研究提供了理论依据。 第三章研究了一类非线性动力系统的混沌控制。关于混沌系统的控制方法， 目前已有很多种方法。有线性控制也有非线性控制。脉冲控制方法是已提出的 许多方法中的一种，它能够控制许多复杂动力系统中的混沌行为。本文提出了 指数稳定和非线性脉冲系统的渐进稳定的一般准则来保证脉冲控制是全局渐进 稳定的，我们将以刚体运动系统和r u c k l i d g e 系统为例来说明此方法的应用，数 值模拟将进一步验证所采用的方法的有效性。 第四章研究了一类可分解动力系统的混沌同步。关于混沌系统的同步控制， 目前已提出了很多的方法。有线性反馈同步也有非线性反馈同步，本文通过对 混沌系统设计合适的控制器( 有线性反馈形式也有非线性反馈形式) 并借助于 李雅普诺夫函数来判断受控混沌系统的稳定性，使得所给动力系统和外输入信 号能够达到同步。针对一类可分解混沌动力系统的完全同步问题，提出了一个 6 江苏大学硕士学位论文 构造混沌同步系统的新方法。这种方法以线性系统的稳定准则为基础，通过对 系统做适当的分离，当系统的雅可比矩阵的所有特征值全为负实数时，便可实 现新系统和原系统的完全同步。通过与传统的混沌同步方法相比较，本文提出 的方法由于不需要计算李雅普诺夫指数，因而显得将更加简单，有效。我们并 以a r n ed e h l ih a l v o r s e n s 循环对称系统和m o o r e s p i e g e l 系统为例加以说 明。通过数值模拟证实了所提出的方法的可行性和有效性。 第五章研究了一类混沌系统的控制与同步问题。在讨论动力系统的混沌控 制与同步中，提出一种新的控制和同步的方法一稳定流形控制理论。这种方法 以稳定流形理论为基础，通过设计合适的控制器使控制目标能够在控制的情况 下到达稳定流形上，将混沌系统引至目标轨道，则混沌得以控制和同步。通过 对l “系统进行控制和同步发现所提出的方法不仅是可行的而且是有效的。上述 设计方法系统地解决了一类非线性系统的混沌控制与同步问题，根据l y a p u n o v 函数判别微分方程的稳定性方法，从理论上论证了所提出的方法的合理性和有 效性，数值模拟也验证达到了很好的控制与同步效果。 最后第六章概括和总结了本论文的工作，说明了作者在完成本论文工作中 的创新点，同时展望了今后与本课题有关的研究内容和方向。 江苏大学硕士学位论文 第二章混沌与混沌控制的基本理论 2 1混沌 2 1 1 混沌的定义 所谓混沌，粗略地说是一种在确定性系统中所出现的类似随机而无规则运 动的动力学行为。由于混沌系统的奇异性和复杂性至今尚未被人们彻底了解， 因此至今混沌还没有一个统一的定义。目前，已有的定义是从不同的侧面反应 了混沌运动的性质。数学上常用的定义包括：离散动力系统( 映射) 的l i y o r k e 意义下的混沌( 高维空间中有相应的m a r o t t o 定理) 、d e v a n e y 意义下的混沌和连 续动力系统( 流) 的s m a l e 马蹄意义下的混沌。下面我们将简单介绍这几种意义下的混沌 定义。 ( 1 ) l i - y o r k e 的混沌定义 l i y o r k e 定义是影响较大的混沌的数学定义，它是从区间映射出发进行定 义的，该定义可描述如下。 l i y o e k e 定理：设f ( x ) 是陋，b 上的连续映射，若f ( x ) 有3 周期点，则对 任何正整数押，f ( x ) 有n 周期点。 混沌定义( l i y o e k e ) ：区间i 上的连续自映射f ( x ) ，如果满足下面条件， 便可确定它有混沌现象： 1 ) 厂的周期点的周期无上界； 2 ) 闭区间，上存在不可数子集s ，满足 ( i ) 对任意x ，y s ，x y 时， l i m s u p “ ) - f “( j ，) l 0 ( i i ) 对任意x ，y s ， l i m s u p f ”( x ) 一，“( y ) 卜0 江苏大学硕士学位论文 ( i i i ) 对任意x s 和，的任意周期点y ，有 l i m s u p l f ”( x ) 一厂“( y ) 1 o 根据上述定理和定义，对闭区间，上的连续函数f ( x ) ，如果存在一个周期 为3 的周期点时，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。该 定义准确刻画了混沌运动的几个重要特征： 1 ) 在可数无穷多个稳定的周期轨道； 2 ) 在不可数无穷多个稳定的非周期轨道； 3 ) 少存在一个不稳定的非周期轨道。 ( 2 ) m e i n i k o v 的混沌定义 在二维系统中，最具开创性的研究是s m a l e 马蹄理论。马蹄映射f 定义于 平面区域d 上，f ( d ) cd ，其中d 由一单位正方形s 和两边各一个半圆构成。 映射规则是不断把s 纵向压缩( 压缩比小于以) ，同时横向拉伸( 拉伸比大于 2 ) ，再弯曲成马蹄形后放回d 中。马蹄映射的不变集是两个c a n t o r 集之交，映 射在这个不变集上里混沌态。因此，如果在系统吸引子中发现了马蹄，就意味 着系统具有混沌。 m e l n i k o v 对混沌的描述概括起来可描述为：如果存在稳定流形和不稳定流 形并且这两种流形横截相交。则必存在混沌。m e l n i k o v 给出了稳定流形和不稳 定流形横截相交的方法，但这种方法只适合于近可积h a m i l t o n 系统。 ( 3 ) d e v a n e y 的混沌定义 在拓扑意义下，混沌定义( d e v a n e y ) 为：设y 是一度量空间，映射f ：v 一矿 如果满足下面3 个条件，便称，在y 上是混沌的。 1 ) 对初值敏感依赖。存在占 0 ，对任意的占 0 和任意的ze v ，在x 的， 领域内存在y 和自然数h ，使得d ( f “( x ) ，f “( y ” 占。 2 ) 扑传递性。对v 上的任意对开集z ，y ，存在k 0 ，f 2 ( x ) n y 庐( 如 一映射具有稠轨道，则它是拓扑传递的) 。 江苏大学硕士学位论文 3 ) f 的周期点集在v 中稠密。 2 1 2 混沌运动的基本特征 混沌运动是一种不稳定有限定常运动，即为全局压缩和局部不稳定的运动， 或除了平衡、周期和准周期以外的有限定常运动。这个定义指出了混沌运动的 两个主要特征：不稳定性( 该性质可用l y a p u n o v 指数精确刻画) 和有限性。混 沌运动是确定性非线性系统所特有的复杂运动形式，出现在某些耗散系统、不 可积h a m i l t o n 保守系统和非线性离散映射系统中。与其他复杂现象相区别，混 沌运动有着自己独特的特征，主要有： ( 1 ) 有界性。混沌运动是有界的，它的运动轨迹始终局限于一个确定的区域， 这个区域称为混沌吸引域。无论混沌系统内部多么不稳定，它的轨线都不会走 出混沌吸引域。从整体来说，混沌系统是稳定的。 ( 2 ) 遍历性。混沌运动在其混沌吸引域内是各态历经的，即在有限时间内混 沌轨道经过混沌区域内的每一个状态点。 ( 3 ) 内随机性。一定条件下，如果系统的某个状态可能出现，也可能不出 现，该系统被认为具有随机性。一般来说，当系统受到外界干扰时才产生这种 随机性，一个完全确定的系统( 能用确定的微分方程表示) ，在不受外界干扰的 情况下。其运动状态也是确定的，即是可以预测的。不受外界干扰的混沌系统 虽然能用确定的微分方程表示，但其运动状态却具有某些“随机”性，即混沌系 统内部自发产生这种随机性。混沌的随机性和一般随机性是有很大区别的，混 沌的内随机性实际就是它的不可预测性，对初值的敏感性造就了它的这一性质。 同时也说明混沌是局部不稳定的。 ( 4 ) 分维性。是指混沌的运动轨迹在相空间中的行为特征。混沌系统在相 空间中的运动轨线，在某个有限区域内经过无限次折叠，而分数维正好可以表 示这种无限次折叠。分维性表示混沌运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越 分越细表现为无限次的自相似结构。 ( 5 ) 标度性。是指混沌运动是无序中的有序态。只要数值或实验设备精度 足够高，总可以在小尺度的混沌区内看到其中有序的运动样式。 ( 6 ) 普适性。所谓普适性是指不同系统在趋向混沌态时所表现出来的某些 1 0 江苏大学硕士学位论文 共同特征，它不依具体的系统方程或参数而变。普适性时混沌内在规律性的一 种体现。 ( 7 ) 统计特征，正的l y a p u n o v 指数及连续功率谱等。u y a p u n o v 指数是对非 线性映射产生的运动轨道相互趋近或分离的整体效果进行的定量刻画。对 l y a p u n o v 指数下面我们将进行详细讨论。 2 1 3 李雅普诺夫指数 混沌最重要的一个特征量是李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 指数，它是用来刻画 混沌行为对初始条件的高度敏感性。混沌系统由相空间的不规则轨道奇怪吸引 子来描述，奇怪吸引子的一个明显特征就是吸引子邻近点的指数离析。为了定 量地刻画混沌系统相邻的两点相互分离的快慢，a i 1 3 弓i t tl y a p u n o v 指数。例 如，对一维映射 x = f ( x 。) ( 2 1 ) 假定初始点为，它的一个相邻的点为+ 蠡。，经过次n 迭代后，它们之间 的距离为 耻伊+ h ) 卜华瓯 ( 2 2 ) 初始点是相互分离还是靠拢由下列条件来决定：当i 矧 1 时，两点经迭代后分 开；当l 警i 0 可以作为混沌行为的判据。而z = 0 对应稳定边界，初始误差不放大 也不缩小；五 0 时，应有x ( t ) h ；当f o o 时，x ( t ) g ， 即g 是吸引子；此外 3 ) 当x 。e h 时，有x o 的敏感性( 当初值误差为无穷小量时，它的像的 误差随，按指数增长) ，即g 是混沌吸引子； 4 ) 对v y g ，应有x ( f ) 使d c y x ( r ) 】寸0 ，而混沌吸引子不应分成两个。 混沌吸引子是轨道不稳定和耗散系统容积收缩两种系统内在性质同时发生 的现象，轨道不稳定性使轨道局部分离；而耗散性使相空间收缩到低维的曲面 上，它表现为结构“紊乱”的吸引子。它有以下几个重要特征： 1 ) 初始条件有非常敏感的依赖性。在初始时刻从这个混沌吸引子上任何两 个非常接近的点出发的两条运动轨道，最终必然会以指数的形式互相分离。定 量地说，它必然存在正的l y a p u n o v 指数。又由于它是吸引子，它也必然有负的 l y a p u n o v 指数。 2 ) 它的功率谱是一个宽谱。此时系统中已被激发出无穷多个特征频率。 3 ) 系统中存在马蹄。马蹄的存在意味着双曲不动点的存在，也就意味不稳 定流形的存在。 4 ) 它具有非常奇特的拓扑结构和几何形式。它是具有无穷多层次自相似结 构的、几何维数是非整数的一个集合体。 江苏大学硕士学位论文 2 2 混沌控制 控制和利用混沌是当前自然科学基础研究的热点问题之一，对这个问题的 研究具有重要的理论和实际意义。控制混沌的主要目标是消除已有的混沌运动， 或降低混沌运动的程度。 22 1 混沌控制的定义 定义2 3 考虑一个非线性系统：x = f ( x ，f ) + u 其中x = ( x ，x ：，x 。) ，f = ( e ，r ，只) ，u 为控制函数。假设当u = 0 时， 系统是混沌的。当输入合适的控制器u 使得系统能够从混沌态到达稳定态，则 系统得以控制。当控制器为线性函数的形式时，此时的混沌控制称为线性变量 反馈控制；当控制器为非线性函数的形式时，此时的混沌控制称为非线性控制。 一般来说，混沌控制可分为线性控制和非线性控制两大类型。线性控制法如： 参数( 变量) 微扰法、变量反馈法、相互耦合法等，非线性控制法如：最小能 量法、传输一迁移法、自适应法、噪声控制法等。诸多的混沌控制的方法的共 同物理机制是：通过一定的控制措施，将原来混沌系统所特有正的李雅普诺夫 指数变为负值，从而实现不稳定到稳定的转交。在众多的混沌控制的方法中， o g y 方法是第一种比较有效地控制混沌运动地方法。下面简单介绍这方法的 思想。 2 2 20 g y 控制方法简介 自从e o t t 、c g r e b o g i 和j a y o r k e 提出了著名的o g y 方法以来，它被认 为是混沌控制的开端，使人们认识到混沌并非不可控，而且在有时候混沌控制 有它自身的许多优点，为混沌电路控制、保密通讯、光学系统控制、流体等问 题的研究开辟了道路。下面我们就简单介绍o g y 控制方法的原理。 o g y 方法，又称参数微扰法。它是第一种比较有效控制混沌运动的方法， 该方法的基本思想是：先由相空间重构方法确定吸引子中嵌入的各种不稳定周 期轨道，选择其中之一作为控制目标；等待混沌运动游荡到该周期轨道附近时 对系统某一控制参数进行小摄动，将混沌运动稳定在该周期轨道上。 下面以一个二维离散的混沌系统来说明o g y 方法的实现过程： 1 4 江苏大学硕士学位论文 x = f ( x 。，p ) ( 2 7 ) 其中p 是系统参数；x r ”是系统状态。控制参数p 可以在p 。附近变化，假设 令p 。= 0 ，当参数p 从p 。变化到p 时，不动点从_ ( 风) 变到x f ( p ) ： g ：竺型i 。隧盟二兰掣( 2 8 ) 印l 。p 在不动点x ，( 0 ) 附近对( 2 1 ) 式所描述的混沌系统线性化( 参数p 也很小) ，则 得到一个映射 z 。+ i x f ( p ) = m i x 。一x ，( p ) ( 2 9 ) m 是2 2 的j a e o b i 矩阵，用和0 代表m 的不稳定和稳定特征值， 川 1 a 在系统模型不知道的情况下，可以通过实验数据来确定 x ，( p ) ，m ，g ，_ 和。m e 。= 0 e ，m e ，= e ，e 。和e ，是m 的不稳定和稳定的单 位特征向量，只和e 代表与之正交的向量，即e 。e = e s 只= 1 ， 层。只= e ，e = 0 。式( 2 9 ) 可改写为： x 。+ 1 一x ，( p d ) = e 。e + r , e ，f 】【x 。一x f ( p o ) ( 2 1 0 ) 由式( 2 2 ) ，可将上式改写为： x = p g + 工，( 0 ) + ( e 。只+ e ，c ) ( x 。一p g x ，( 0 ) ) ( p 在。附近变化) 通过p 的扰动使_ + 。落在不动点z ，( 0 ) 附近的稳定流形上，即e x 。= 0 ， 口：! ! 二垒墨! ：皇业垒墨：蔓( 2 1 1 ) ，= 二- - - - - - - - - - - 一 j 也一1 ) 产。g 因为p 与x 。有关，每步迭代要计算p ，控制由调节p 的值来实现，使混沌系统 的状态稳定到不动点z ，( o ) 。为使式( 2 2 ) 成立，需i p i p ， 令p = 0 ，这时系统再次进入混沌运动状态。由混沌运动的遍历性，系统的状态 将再次回到x f ( o ) 的邻域，控制系统又重新启动。可以看出，o g y 方法是一种 江苏大学硕士学位论文 在理论和实验上都较为成熟的控制方案。o g y 方法真正从混沌本身去控制混 沌，它充分利用了混沌本身的运动特性，不但能够抑制混沌，而且能够使控制 目标在不同的周期轨道之间灵活切换。自o g y 方法提出以后，人们相继提出 了各种混沌控制的方法，使得混沌控制得到巨大的发展。 2 3 混沌同步 混沌控制的最终目的是抑制或消灭混沌，然而混沌并不总是有害的，在一 些实际问题中，混沌态本身就是有用的运动形式，另外混沌运动由于其初值敏 感性，混沌同步的研究就成为一些学科的重要问题。 2 3 1 混沌同步的定义 定义2 4 考虑两个系统，一个混沌系统为： 克= f ( x ，f ) ( 2 1 2 ) 该系统可以称为驱动系统，或者在通讯中称为发射系统。另一个混沌系统为： y = f 7 ( y ，f ) + g ( 2 1 3 ) 其中g 为任意一个控制器，通常称该系统为响应系统，或者在通讯中称为接收 系统。这里f 为时间，矢量x ，y r “，它们分别具有n 维分量( x 。，x2 ，x 。) 和 ( y ，y 2 ，乩) 。上面两个系统可以是完全相同的( f ( x ，f ) = f7 ( y ，f ) ) ，也可以 是不同的，但是它们的初始条件都不相同。如果两个系统通过控制器g 的某种 方式联系，令x ( t ；t o ，蜀) 和r ( t ；t o ，y 0 ) 分别为( 2 1 2 ) 和( 2 1 3 ) 的解，并满足 函数光滑条件，当存在r ”的一个子集d ( t 。) 时，适得初值z 。，k d ( t 。) ，当 r _ 0 0 时，若存在： s ；! i m l x ( f ；t 。，扎) 一y ( t ；t o , r o l l l - - 0 ( 2 1 4 ) 则称响应系统( 2 1 3 ) 与驱动系统( 2 1 2 ) 达到同步。显然，控制器g 起关键作 用，人们可以设计各种不同类型的控制器g ，于是就有各种同步的方法a 以上 同步定义不仅适于混沌同步，也可适于非混沌同步，并且既适用于自治系统的 同步，又适用于非自治系统的同步，还可以推广到超混沌同步和时空混沌同步。 1 6 江苏大学硕士学位论文 2 3 2p c 同步法 p c 同步法是p e c o r a 和c a r r o l l 在1 9 9 0 年首先提出的一种混沌同步方法，即 驱动一响应同步法，又称替换同步法。这种方法的基本思想是用个混沌系统 的输出作为信号去驱动另一个混沌系统来实现这两个混沌系统的同步。其基本 原理如下： 设混沌系统为n 维复合动力系统u = f ( u ) ，将其分解为2 个子系统： v = z ( 矿，渺( 2 1 5 ) 【w = ( v ，w ) 其中v 为驱动子系统，矽为响应子系统。现在以v 作为驱动信号，复制一个与 响应子系统完全相同的系统作为响应系统： w = l ( v ，7 ) ( 2 1 6 ) 如果系统( 2 1 5 ) 与( 2 1 6 ) 有完全相同的初始条件，它们之间能够保持一 种同步。现在问题的关键是：当两个系统从不同的初始值出发或响应系统受到 一定的扰动时，响应系统还是不是一个稳定的系统呢? 如果响应系统是稳定的， 那么不管响应系统的轨道从何处出发，它总是收敛于同一条轨道上，这条轨道 与驱动系统响应分量的轨道是一致的即f _ + o 。时，阿= l 陟一w 川_ 0 ，此时 驱动系统与响应系统达到了稳定的同步状态。 下面我们从运动变分问题来考虑响应系统稳定性的条件，则 = a ( v ，w7 ) 一 ( 矿，) = d w 2 ( v ，w7 ) a w + o ( v ，矽) ( 2 1 7 ) 其中d i ，为响应系统的雅可比行列式；o ( w ，矿) 为高阶无穷小项。当a w 很小时， 则有： 形= d ，2 ( v ，w7 ) ( 2 ，1 8 ) 在上式中用z 代替，并且z ( 0 ) 为单位矩阵，则上式可改写为： a z = d ( v ，w7 ) z ( 2 1 9 ) 通常称( 2 1 9 ) 的解为传输矩阵或基础矩阵解，z ( t ) 将决定在任意特殊方向上 江苏大学硕士学位论文 对于轨道的微扰是膨胀( 增长) 还是收缩( 缩小) 。当f - - o o 时，对具体的驱动 轨道( v ，) ，z ( t ) 可以用来确定响应系统的l y a p u n o v 指数。如果响应系统所有 l y a p u n o v 指数的值为负，则响应系统7 的轨道是渐进稳定的，即同步是稳定 的。显然条件l y a p u n o v 指数为负是响应系统稳定的一个必要条件，同时也是一 个充分条件。 稳定性判据定理 ；设非线性系统 x = a ( o x + o ( x ，r ) ( 2 2 0 ) 对所有的r 有0 ( o ，) = 0 ，如果满足下列3 个条件： ( 1 ) l i m 幽；o 对t - - 致成立； p i _ + ox ( 2 ) a ( t 1 对所有，有界； ( 3 ) 线性系统x = a ( t ) x 的零解是一致渐进稳定的。 则式( 2 2 0 ) 的零解是一致渐进稳定的。 这个定理保证了使轨道7 收敛于的初始条件存在一个非空集。总之，对于 驱动一响应方法，只有当响应系统的所有条件l y a p u n o v 指数都为负时，才能达 到驱动系统与响应系统的同步。即 = l i m l w w 训= o 江苏大学硕士学位论文 3 1 引言 第三章一类混沌系统的脉冲控制 由于混沌的奇异特性，特别是“蝴蝶效应”，长期以来混沌被认为是不可控 的、不可靠的，因而被视为无法驾驭的怪物，在应用及工程领域中曾一度被回 避。直到1 9 9 0 年混沌控制和同步才取得了突破性进展：美国三位物理学家o t t 、 g r e b o g i 和y o r k e 从理论上提出了参数微扰方法( 即o g y 方法) 控制混沌，使 混沌控制引起世界性的广泛关注；混沌同步则是由美国海军实验室的科学家 p e c o r a 和c a r r o l l 开创，他们在实验电子线路上首先应用驱动一响应方法实现了 混沌同步。这些先驱性的工作，立即激起了混沌控制与同步的研究热潮，理论 和实验应用研究蓬勃发展。迄今已提出许多混沌控制与混沌同步的方法，推进 了各方面的应用研究，诸如在物理学、数学、电子学、保密通讯、激光、化学、 生物、医学和工程技术等众多领域，显示了极大的应用潜力，并与高科技联系 起来，展现了诱人的应用前景。 3 2 混沌系统脉冲控制原理 一般混沌系统可表示如下形式 x = a x + 妒0 ，x ) ( 3 1 ) 这里r r + = 岛，+ 。o ) ( “0 ) ，妒( r ，x ) ：r + r ”叶r ”是连续的，x r ”是状态变 量，x = 冬。 设有一离散集合矗，) 满足如下形式： a t f l t 2 f ， r ，“ t o 。设 g 。( x ( r ，) ) = 缸k = ：x ( f ，+ ) 一x ( f 。一) ( 3 2 ) 这里x ( r ，+ ) = l i 啦x