（应用数学专业论文）一类二元合金等温固化模型平衡态的混合边值问题.pdf

摘要 本文研究一类二元合金等温固化模型平衡态的混合边值问题。 i 一矿= f 1 ( 纠+ c f 2 ( ) d i v ( d 1 舻( ) v 句c ) = 矾- d i v ；( d 2 箦( c 1 兰娑。 i nn i nn o i lr ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 这里c 表示金属的相对浓度，表示金属的状态参数，当金属为固态时等于0 ， 当金属为液态时等于1 ，嘉表示庐在边界处的外法向导数 本文考虑非退化的情况，证明了非退化情况下解的存在唯一性，给出了解的 l 。估计，并且证明了关于解的极值原理文章主要分为三个部分。在第一部分中， 首先利用截断的方法将原问题正则化，得到一个关于正则化问题的解映射，证明 了解映射是紧连续映射，然后通过s c h a u d e r 不动点定理得到正则化问题的解最后 对正则化问题的解作l * 估计( 这里的估计过程与具体的截断无关) 。从而证明了 正则化问题的解就是原问题的解在第二部分中，利用解的存在性的有关结论，证 明了原问题解的唯一性在第三部分中，结合模型的物理意义，证明了关于原问题 解的极值原理 关键词t 混合边值问题；非退化；s c h a u d e r 不动点定理；工* 估计； s o b o l e v 嵌入定理；极值原理 中图分类号：0 1 7 5 2 6 a b s t r a c t a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e rw es t u d yt h em i x e d b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi nt h ee q u i l i b r i u m s t a t eo fap h a s e - f i e l dm o d e lf o rt h ei s o t h e r m a ls o l i d i f i c a t i o np r o c e s so fab i n a r ya 1 1 0 弘t h e e q u a t i o n so ft h ep r o b l e mr e a d ： l 一2 = f l ( 纠+ c 而( 毋) i nn d i v ( d 1 ( ) v e ) = - d i v ( d 2 ( c ，妒) v 咖) i nn i = 如，c ；匈o n r d ；器= 器= 0 o nr n ( 1 1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) t h ep a r a m e t e rea c c o u n t sf o rt h er e l a t i v ed e n s i t yo ft h ea d l o y t h ep a r a m e t e r 妒a c c o t m t sf o rt h e s o l i d i f i c a t i o ns t a t eo ft h ea l l o ya n di se q u a lt o0i nt h es o l i dp h a s ea n de q u a l s1i nt h el i q m d p h a s e w ei n v e s t i g a t et h en o n - d e g e n e r a t ec a s eo ft h ep r o b l e m ，p r o v et h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o n u n d e ral e s t i m a t e ，a n dg i v eam a x i m a lp r i n c i p a lt ot h ep r o b l e m t h i sp a p e ri so r g a n i z e d i nt h ef o l l o w i n gw a y ：i ns e c t i o n1w em a k ear e g u l a r i z a t i o no ft h ep r o b l e mb yac u t - o f fm e t h o d f i r s t a n dp r o v et h ee x i s t e n c eo ft h es o l u t i o no ft h er e g l d a r i = z e dp r o b l e mw i t ht h ef i x e dp o i n t t h e o r e m ，t h e nw ep r o v et h es o l u t i o no ft h er e g u l a r i z e dp r o b l e mi sm s os o l u t i o no ft h eo r i g i a l p r o b l e ma f t e ra ne s t i m a t e i ns e c t i o n2 , w ep r o v et h eu n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nf o rt h en o n - d e g e n e r a t ec a s eo ft h ep r o b l e m f i n a l l y , i ns e c t i o n3w ee s t a b l i s ham a x i m u mp r i n c i p l eu n d e r e x t r aa s s u m p t i o n so nt h en o n - l i n e a rt e r m s k e y w o r d s ：m i x e d - b o t m d a r yp r o b l e m ；n o n - d e g e n e r a t e ；s h a n d e rf i x e dp o i n tt h e o r e m ；工” e s t i m a t e ；s o b o l e ve m b e d d i n gt h e o r e m ；m a x i m u mp f i n d p l e 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示了谢意 二，关于学位论文使用授权的说明 签名，二銎乏圣日期：旦幽z 东南大学、中国科学技术信息研究所，国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印缩印或其他复制手段保存论文本人电 子文档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文 被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊 登) 授权东南大学研究生院办理 签名：珏师签名： e l 期： 第一章绪论 1 1 模型的推导 相位场模型通常用于描述带有热效应的物质传播过程，在这种模型下一般将 会出现关于相位和温度的非线性抛物方程组二元合金的等温固化过程也可以用 相位场模型来描述，方程组的推导过程大致如下( 参见文献 1 】) z 考虑在区域ncr o ( d 3 ) 中由金属a ，b 所组成的合金，为了描述合金的固化过 程，一方面，用c = c ( z ，t ) 表示b 相对于合金混合物的相对浓度，函数c = c ( x ，t ) 的值 始终在0 和1 之间；另一方面，为了描述合金的固化过程，引入参数函数= 妒( 甄) ， 也就是所谓相位场函数，当合金为固体时咖等于0 ，当合金为液态时西等于1 ，西 在0 到1 之间连续地变动 假设整个合金固化过程中温度t 保持不变，这里的温度值t 为固定在金属的 熔点磁和瑶之间的某个常值 为了用热力学理论来描述整个合金的等温固化过程。引入g i n z b u r g l a n d a u 自 由能量函数，记为自由能量浓度，这里的，由c 和共同确定 利用热能守恒原理和质量守恒法则，得到关于，c 的方程组( 参见文献【1 】) a 甏= 抛一丽o f i nn ( 1 ) o _ 出c = m v ( m v 瓦o f ) i nn ( 2 ) 其中，a 为正常数，m = 盯( c 鳓是正值函数 自由能量浓度，包含了两种金属元素各自的能量浓度f a , f 县，再结合金属元素 自身的集中所消耗的能量( 即加上一个关于合金混合过程的能量项) ； ，( zc ，纠= ( 1 一c ) f a ( e 纠+ e f b ( 鳓+ 等【( 1 一c ) l n ( 1 一c ) + c l n c 这里r 表示b o l z m a n 常数，表示m o l a r 容量 根据热力学原理，可以得到，a ，产的基本形式，比如，当t 不等于碟和豫 时，的表达式就是关于妒的至少5 次方的函数这样就可以得到 磊2 f 1 ( ) + 啦( )( 3 ) v 筹一踟删+ 嚣南v c ( 4 ) 其中f 1 ，尼为关于妒的函数且当= 0 ，1 时等于0 结合方程( 1 ) 和( 3 ) ，得到 n 等= 矿庐+ f 1 ( 纠+ 啦( 毋) i nn ( 5 ) 1 另外，方程( 2 ) 中函数m 的形式可以写为 m ( c ，庐) = 鲁d ，( ) c ( 1 一c ) 这里d 1 是连续增函数，且d i ( o ) 0 ，d 1 ( 1 ) 0 分别是固态和液态扩散系数 d l 具有正的上下界，即d s d 1 0 ( a 2 ) f 1 ，f 2 a ( r ) 为l i p s c h i t z 有界函数 ( a 3 ) d 1 c ( z ) 为l i p s c h i t z 有界函数，且d 1 满足非退化条件， 0 3 为常数( 见引理2 7 的证明) 5 壅堕查堂堡圭耋堡篁塞苎三塞矍堡些堡堡堡塑童童堡 6 在上述条件下，我们先给出本章的主要结果， 定理2 。1 ：设条件( a 1 ) 一c a 5 ) 成立，并且易满足下面的结构性假设t 存在常数 m 0 ，使得 而( s ) 8 m 那么问题( i i ) 一( 1 3 ) 存在解； ( 妒，c ) ( 日1 ( n ) nl 。( n ) ) 2 定理2 2 ：设条件1 ) 一( a 5 ) 成立，并且s 充分大( 见第三节引理2 4 的证明) ， 那么问题( 1 1 ) 一( 1 , 3 ) 存在解t ( ，c ) ( - 1 ( n ) n l 。( n ) ) 2 2 3 定理2 1 ，2 2 的证明 定理2 1 ，2 2 的证明过程可以分为以下几步t 首先利用截断方法将原问题正则化，得到一个关于正则化问题的解映射，证 明解映射是紧连续映射，然后通过s h a u d e r 不动点定理得到正则化问题的解，最后 对正则化问题的解作二* 估计( 这里的估计过程与具体的截断无关) ，从而证明正 则化问题的解就是原问题的解 作截断函数 昭k 鳓篱 对给定的正数七，考虑正则化问题， i e 2 a 4 , = 毋( ) + 易( 咖) i nn ( 1 4 ) d i v ( d 1 ( 纠v c ) = - d i v ( d 2 ( c ，纠v 妒) i nn ( 1 5 ) l 妒= 如，c = c oo n y d ；箬= 嘉= 0 o nr n ( 1 6 ) 下面利用s c h a u d e r 不动点定理证明问题( l 4 ) 一( 1 6 ) 解的存在性定义解映射 雪：哆，力一( 欢c ) e 其中集合 e 皇惭，7 ) ：惭，7 ) 怯( n ) t o l - - e 2 a = f 1 ( 孑) - t - 磊足( 西) 7 i nn d i v ( d l ( ) v c ) = 一d i v ( d 2 ( 5 , 妒) v 妒) i nn 【庐= ；1 0 ，c = 匈o n r d ；鐾= 器= 0 0 n1 1 ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 奎查奎堂堡主堂堡垒苎 苎三塞矍堡丝旦! 堡塑童童堡：一7 引理2 1 ：( l a x m i l g r a m 定理) 设a ，口) 是日( 实h i l b e r t 空间) 上的有界强制 双线性型，则对任意的，存在唯一的t 4 ，使得对任意的口，成立 并且有估计式 口( t ，”) = i iu i i h 知川日 证明；参见文献【4 】 引理2 2 ：设条件( a 1 ) 一( a 5 ) 成立，那么方程( 1 7 ) ，( 1 9 ) 存在唯一解妒如+ 日3 ( n u t ) ，且解映射( 声，i ) e 一咖是连续映射t 如果 ( 痧，孑) 一( 西，功i n 驴( n ) 那么 矿一i n 1 ( n )一o o ) 其中妒是方程( 1 7 ) ，( 1 9 ) 中以痧代替手得到的解 证明：根据关于f l ，易的假设( a 2 ) ，对给定的( 孑，习e ，由l a x m i l g r a m 定理， 存在唯一的如+ 丑3 ( n u r ) ，满足方程 一2 曲= f 1 ( 孑) + 磊足( 孑) 同样对于( j ；l ，矛) e ，存在唯一的妒如+ 础( n u r ) ，满足方程 一p 护= f 1 ( 痧) + 鼋尼( 痧) ( 1 1 0 ) 将( 1 7 ) 和( 1 1 0 ) 两式相减，两边再同时乘以妒一妒，经过分部积分得到； 户上i v ( 妒一删2 如= 上 f 1 ( 痧) 一f 1 ( 鳓( 矿一纠如 + 曛见( 痧) 一磊最( 声) 1 ( 矿一妒) 如 因为f 1 ，毋都是l i p s c h i t z 的，且l 霞l ，l e v i ，所以 1 1 ( 矿一毋) 忆2 ，n c ( j | ( 痧一刃i i o ，2 ，n + l l ( 霞一磊) 2 ，n ) 一0 一o 。) 引理2 3 ：设条件( a 1 ) 一( a 5 ) 成立，那么方程( 1 8 ) ，( 1 9 ) 存在唯一解c 印+ 础( n u r ) ，且解映射( 西，功e c 是连续映射：如果 ( 痧，孑) 一( 声，动i n l 2 ) 东南大学硕士学位论文第- - 章 非退化问题解的存在性8 那么 矿_ ci n h l ( n ) _ o o ) 其中矿是方程( 1 8 ) ，( 1 9 ) 中以西代替e 得到的解 证明，定义双线性型 ， a ( c ，) = d i ( ) v c v c d x j n 根据关于d 1 的假设条件( a 3 ) ，双线性型a ( c ，西) 满足： n ( c ，) i d 10c1 1 1 , 5 ，n l i 妒1 1 1 , 5 ，n l 口( c ，c ) i e 00c 幢2 o 所以d ( c ，纠为强制双线性型，利用l a x m i l g r a m 定理，方程( 1 8 ) ，( 1 9 ) 存在唯一 解c 匈+ 嘲( n u r ) 再由引理2 1 的结论并利用类似方法可以证明解映射的连续性 根据上面两个引理，可以得到如下结论t 定理2 3 ：设条件1 ) 一( a 5 ) 成立，那么正则化问题( 1 4 ) 一( 1 6 ) 存在解( ，c ) ( ；5 0 ，匈) + ( 丑3 ( n u r ) ) 2 证明：由引理2 1 和引理2 2 ，解映射 霍：( 每，习e 一( ，c ) ( h 1 ( n ) ) 2 是紧连续映射根据s c h a u d e r 不动点定理，正则化问题( 1 4 ) - ( 1 6 ) 存在解 ( 九c ) ( 如，c o ) + ( h i ( n u r n ) ) 2 为了证明正则化问题( 1 4 ) 一( 1 6 ) 的解就是原问题( 1 1 ) 一( 1 - 3 ) 的解，需要建立解 ( 破c ) 的l * 估计，而建立解的二。估计需要下面的两个引理： 引理2 4 ：设条件1 ) 一( 舶) 成立，并且尼满足下面的结构性假设( 记为条件 【1 】) t 存在常数m 0 ，使得 兄( 8 ) 8 m 那么对正则化问题( 1 4 ) 一( 1 6 ) 的解( 以c ) ，存在常数c 0 ( 与k 无关) ，使( 妒，c ) 满足 估计 0 妒忆2 ，n ；j ic 眠2 ，n c 证明；因为p 一如) f d - - - = ( c c o ) r 。= 0 ，在方程( 1 5 ) 中以c c d 为试验函数，分 部积分，得到。 d 1 ( ) v c v ( c 一匈) 如：一fd 2 ( c ，) v v ( c - c o ) d ：r j nj n 即 d 1 ( ) l v c l 2 如、 j n = 上。，( ) v c v c 0 如一上d 2 ( c ，妨v v ( c c d ) 缸 = f n d ( 纠v c v 匈如一上d 2 ( c ) v v c 如+ f n d 。( c ，妒) v j i v c o d 甾 根据d l ，d 2 的有界性，并利用初等不等式i 曲i s 0 2 + 笔，得到。 s o f n i v c l 2 如詈上f v c l 2 如+ 臼( 嘲上i v 卯如+ c 2 ( e o ) 8v c 惦, 2 , n - - c ( i 】v 妒l | 3 2 。n + 1 ) 由p o i n e a r e 不等式，得到， 0c i i o ，2 ，n i ic c oi i o ，2 ，n + 0c 0i i o ，2 ，n c ( a ) 0v ( c c o ) l i o ，2 ，n + 0c ol i o ，2 ，n g ( n ) ( 0v e0 0 ，2 ，n + 0v e oi i o ，2 ，n ) + 0c ol l o ，2 ，n 臼( 0 v 咖幅，2 o + 1 ) + c 2 另一方面，在方程( 1 4 ) 中以一如为试验函数，得到： 根据关于f l ，f 2 的假设， s 2 上v - v ( 一如) 如 f 1 ( 西) 一i ；6 0 ) 如+ 尼( 妒) c k 一如) 如 j nj n 利用h 6 1 d e r 不等式，得到。 ( 1 1 2 ) ，上i v 卯d 比 0 ( 与k 无关) ，使( 矗c ) 满足估计 j j 妒1 ，2 ，o ； c i h ，2 n s c 证明：因为渺一如) b = ( c c d ) j r 口= 0 在方程( 1 5 ) 中以c c o 为试验函数，分部积分，得到， 上。，( 毋) v c v ( c 一句) 如= 一上d 2 ( c ，纠v v ( c c 0 ) 如 即 d 1 ( l v c l 2 d x ，n = 上。( 妒) v c v c 0 如一上d 2 ( c ，妒) v 妒v ( c c 0 ) 出 = a d ( ) v c v c o 如一上。( c ，) v v 础+ 上d 2 ( c ，庐) v 妒v 印如 根据d 1 ，d 2 的有界性，并利用初等不等式m j ss n 2 + 箬，得到， e 。上v 砰如e 。f n l v c f 2 如十a 。) 上f v 卯出+ q 。) 0v cl | 若2 ，n e ( 0v 州3 ，2 ，n + 1 ) ( 1 1 4 ) 塞查查耋堡主堂竺丝塞 苎三塞 矍堡丝旦堑墅竺童壅篁一1 1 由p o i n c a r e 不等式，得到； i ic l i o ，2 ，o 0c c 0 i i o ，2 ，n + l | 匈i i o ，2 ，n c ( n ) 0v ( c c o ) l t o 2 ，n + j lc oi i o ，2 ，n sg ( q ) ( 0v ci i o ，2 ，n + 0v c oi i o ，2 ，n ) + 0c oi i o ，2 ，n sc l ( i v f 臣2 n + 1 ) + c ( 1 1 5 ) 另一方面，在方程( 1 4 ) 中以庐一如为试验函数，得到。 ，v r v p 一如) 如 = f 1 ( ) 够一如) 如+ f 2 ( 妒) 渺一如) 如 j a j f l 根据关于f 1 ，f 2 的假设，利用h s l d e r 不等式，得到； ，上l v 毋1 2 d x 岛时，令e 2 一岛= a 0 ，得到： a0v 1 1 3 2 n c 1 + q0v i l o ，2 ，n( 1 1 7 ) 令i i v 1 1 0 , 2 , a - 6z 0 ，上式变为， 舻c 1 + q 。 考虑函数 g ( z ) 垒蛔2 一鼢+ 岛声) 则，( o ) ：一a 0 ( 与 无关) 。使 i l 妒忆2 ，n 洲c 忆2 ，n s c 为了证明解的l o o 估计，首先给出一个引理， 引理2 6 ：假设边界加c 1 ，5 ( o 0 ，使得 易( 8 ) s m 那么对正则化问题( 1 4 ) 一( 1 6 ) 的解( ，c ) ，存在常数c 0 ( 与k 无关) ，使得： l i 西l l o ，o 。，f l ；i i c l l o ，。n c 证明；根据引理2 4 ，吼h 1 ( n ) 一l 6 ( n ) ，所以方程( 1 4 ) 的右端项 f 1 ( ) + e k f 2 ( 咖) l p ( n ) ，3 配) 】； 所以有 s o ，| v ( c 一研) + 1 2 出sc m e a s ( c 甄) 一 j i l 由s o b o l e v 嵌入定理得到日t l 6 ，所以对鲍 甄，有。 m e a s ( c 鲍) 】 ( 恐一硒) 口【m e ( c 硒) 一 因为p 3 ，所以q = 盎 1 所以根据s t a m p a c c h i a 引理，存在常数虿，使得c ( z ) 虿 同理用( 一c m ) + ( 这里蝇= 一i n f r 。c o ) 作为试验函数乘以方程( 1 5 ) 的两 端，在n 上积分，得到， ， 印| v ( 一c 一尬) + 1 2 d z d n ， sc i v 曲v ( - c 一尬) + i 如 ，i ， c v p 0v ( - c m 1 ) + 1 1 0 , 2 m e a s ( - c 尬) 一 根据s t a m p a c c h i a 引理，存在常数q 使得c ( $ ) q 因为c ( 茹) l 。( n ) ，设1 到；6 0 。，r d ，用 一1 ) + 作为试验函数乘以方程( 1 4 ) 的两端，在n 上积分，得到； ， ，| v 一1 ) + 1 2 如 j n ， c p 一1 ) + g | | 一1 ) + f 1 1 , 2 【m e a s 渺 1 ) 】 d 设r 2 使日l q 上，那么对n 2 n 1 ，有； m e a s ( 2 ) 】；( 2 一n 1 ) c m 似 1 ) 】i 因为5 1 ，所以根据s t a m p a c c h i a 引理，存在常数_ 使得( 霉) 虿类似地存在常数 q ，使得( 茹) 旦从而定理结论得证，存在常数c 0 ( 与k 无关) ，使得： j n i o ，* ，d ；j i c l l o ，。，n c 引理2 8 ：设条件1 ) 一似5 ) 成立，并且充分大( 见引理2 5 ) ，那么对正则化 问题( 1 4 ) 一( 1 6 ) 的解( j i ，c ) ，存在常数c 0 ( 与k 无关) ，使得t 0 f o ，。，n ；c f o 。，n g 证明：证明与引理2 7 相同 定理2 4 设条件( a 1 ) 一( a 5 ) 成立，并且尼满足下面的结构性假设：存在常数 m 0 ，使得 f 2 ( s ) 8 m 那么正则化问题( 1 4 ) 一( 1 6 ) 的解( 庐，c ) 满足； c ) ( h 1 ( i 1 上p ( n ) ) 2 证明：由引理2 4 和引理2 7 ，定理即证 定理2 5 ：设条件似1 ) 一( a 5 ) 成立，并且s 充分大( 见引理2 5 ) ，那么正则化 问题( 1 4 ) 一( 1 6 ) 的解( ，c ) 满足t ( ，c ) ( h 1 ( n ) nl o o ( n ) ) 2 东南大学硕士学位论文 第= 章非退化问题解的存在性 1 4 证明：由引理2 5 和引理2 8 ，定理即证 因为只要得到解的l o 。估计，正则化问题( 1 4 ) 一( 1 6 ) 的解( ，c ) 即为原问题 ( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解所以根据定理2 4 和定理2 5 ，本章的主要结果定理2 1 ，定理2 2 得证 第三章非退化问题解的唯一性 本章在第二章解的存在性的基础上。证明了非退化问题解的唯一性t 定理3 1 ：在定理2 1 ，定理2 2 的假设条件下，问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 存在唯一解， ( 妒，c ) ( h 1 ( n ) f - il 。( n ) ) 2 证明：由定理2 1 和定理2 2 ，问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 存在解 ( 妒，c ) ( h 1 ( f 1 ) nl 。( n ) ) 2 和引理( 2 3 ) 类似，定义双线性型 n ) = z d 1 ( 札) r e 毗 根据关于d 1 的假设条件( a 3 ) ，双线性型n ( c ，) 满足； i 口( c ，t ) i d ai i c1 1 1 , 2 ，0 0 1 1 1 , 2 ，n o ( c ，c ) i 印0c 幢2 ，n 所以口( c ，“) 为强制双线性型，利用l a x m i l g r a m 定理，方程( 1 1 ) 的解是唯一 的 同样地，定义双线性型 w 一) - ，上陟v v d z 那么a ( 屯 ) 也是强制双线性型，所以利用l a x m i l g r a m 定理，方程( 1 2 ) 的解也是 唯一的 从而定理得证 设， 第四章极值原理 我们在和文献 2 1 类似的条件下，证明关于非退化平衡态问题的一个极值原理 结合模型的物理意义，对问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 中的非线性项f 1 ，毋，d 2 给出如下假 ( 也) f 1 兰易暑0 i n ( - o o ，0 】u 【1 ，+ o o ) ( a t ) d 2 ( ，r ) 毫0 i n ( - o o ，o 】u 【1 ，+ o o ) 定理4 1 ：在定理2 1 ，定理2 2 的假设条件下，设( 山) ，7 ) 成立，并且边界值 1 , o ，c o 满足条件， 0 如0 ) ，印( z ) 1n e 0 1 1 i d 那么问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 存在解c ) 旧1 ( n ) n 上* ( n ) ) 2 ，并且满足 0 妒( z ) ，c ( 。) s 1 t t e i n n 证明t 由定理2 1 和定理2 2 ，问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 存在解 ( 也c ) ( 日1 ( n ) nl 。( 0 ) ) 2 令一= m a x ( 一庐，o ) ，因为 0 如( ，c o ( z ) 1a e o n r d 所以 庐一2c - - = 0o e 0 1 1 r d 在( 1 1 ) 中以一为试验函数，分部积分，得到， ，上j v 咖叩d x = 五【f 1 ( 妒) + c f 2 ( 训一d x 0 2 0 ) 在( 1 2 ) 中以c 一为试验函数，分部积分，得到； 上d 1 ( 庐) l v c - 1 2 d x 一d 2 ( c ，卯v c - d x j n ( 1 2 1 ) j n 将上面两式相加，结合关于非线性项蜀，易，d 2 的假设条件( a 5 ) ，( a 6 ) ，得到； s 2 上l v 叩d x + 上d t ( 删v c 1 2 出= 。 结合边界条件一= c - = 0 o n r d ，得到： 西一= c 一= 0n e i n n 东南大学硕士学位论文第四章撮值原理1 7 类似地，在方程( 1 3 ) 和( 1 4 ) 中分别以p 一1 ) + 和( c 一1 ) + 为试验函数得到； ( 妒一1 ) + = ( c 一1 ) + = 0 口e i n n 由上面的等式即证定理结论 0 扛) ，c ( 功1 o e - i n o 第五章有待进一步研究的问题 下面是我有待进一步研究的问题； 在第二章中，为了证明解的存在性，由于方程组本身形式比较复杂，对非线性 项f 2 和系数s 加了比较强的条件考虑减弱这些条件，或者改变假设条件陋1 卜 a s 】 来证明解的存在性 在第三章证明了非退化解的唯一性的基础上，考虑对退化问题的解作和退化 项d 1 无关的估计，进而证明退化情形下解的存在性 结合文献 2 】和【3 】，考虑证明瞬时解的渐近性质 东南大学硕士学位论文 致谢 从本文的选题、文献的收集到论文的写作以及最终定稿，无不倾注着管平老 师的心血和汗水在我两年半的研究生学习和生活期间，管老师不仅在学习上给 以悉心指导和谆谆教诲，而且在生活上也给以无微不至的关怀在此，谨向我的导 师致以崇高的敬意和衷心的感谢l 感谢东南大学数学系的悉心培养，感谢数学系的全体领导和老师这两年多来 给予的诸多帮助和关心祝愿他们工作顺利、家庭幸福! 感谢我的师兄吴斌，我的舍友周影辉、陆志峰、曹春正这两年多来对我的关心 和帮助! 和他们在一起的那些美好的时光以及他们对我的关爱，都将使我终生难 忘 借此机会向我的父母表达我深深的谢意! 二十多年来，他们几乎把自己所有 的爱都倾注在我的身上；二十多年来，他们一直对我的学习充满信心和希望；今 天，我把此文献给他们，并祝愿他们身体永远健康! 壅曼奎堂堡圭堂堡垒圣 2 0 参考文献 1 ：j a w a r r e n w j b o e t t i n g e r p r e d i c t i o no fd e n d r i t i cg r o w t ha n dm i c r c e e g r e g a t i o np a t t e r n s i nab i n a r ya l l o yu s i n gt h ep h a s e - f i e l dm o d e l a c t a m e t a l l m a t e r ，4 3 ( 2 ) ( 1 9 9 5 ) ：6 8 9 - 7 0 3 2 ：j r a p p a z j f s c h e i d e x i s t e n c eo fs o l u t i o n st oap h a s e - f i e l dm o d e lf o rt h ei s o t h e r m a l s o l i d i f i c a t i o np r o c e s so fb i n a r ya l l o y s ，m a t h m e t h o d sa p p l s d 2 3 ( 6 ) ( 2 0 0 0 ) ：4 9 1 5 1 3 3 ：j f s c h e i d g l o b a ls o l u t i o n st oad e g e n e r a t es o l u t a lp h a s e - f i e l dm o d e lf o rt h es o l i d i f i c a t i o n o fab i n a r ya l l o y n o n a n a l 5 ( 2 0 0 4 ) ：2 0 7 - 2 1 7 4 ：王元明，管平编著线性偏微分方程引论东南大学出版社，2 0 0 2 5 ：g i o v a n n im a r i a t r o i a n i e l l o e l l i p t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n do b s t a c l ep r o b l e m s p l e n u m p r e s s ，n e wy o r k ，1 9 8 7 ：1 7 9 6 ：l a t t r e n c o t p h w e a ks o l u t i o n st oap h a s e - f i e l dm o d e lw i t hn o n - c o n s t a n tt h e r m a lc o n d u c - t i v i t y q u a r t a p p l m a t h4 ( 1 9 9 7 ) ：7 3 9 - 7 6 0 7 ：d k e s s l e r ，0 k r u g e r ，j 1 h p p a z ，j f s c h e i d p h a s e - f i e l dm o d e lf o rt h ei s o t h e r m a ls o l i d i f i c a t i o no fab i n a r ya l l o y c o m p u ta s s i s t e dm c c h e n g s c i 7 ( 2 0 0 0 ) ：2 7 9 - 2 8 8 8 ：i n g e n u i ng a s s e r ，a n s g a rj u n g e l t h eq u a n t u mh y d r o d y n a m i cm o d e lf o rs e m i c o n d u c t o r si n t h e r m a le q u i l i b r i u m z a n g e wm a t hp h y s 4 8 ( 1 9 9 7 ) ：4 5 - 5 9 9 ：a n s g a rj u n g e l as t e a d y - s t a t eq u a n t u me u l e r - p o i e s o ns y s t e mf o rp o t e n t i a lf l o w s c o m m n m a t hp h y s 1 9 4 ( 1 9 9 8 ) ：4 6 3 - 4 7 9 1 0 ：m t ，g y ia n da n s g a rj u n g e l aq u a n t u mr e g u l a r i z a t i o no fo n e - d i m e n s i o n a lh y d r o d y n a m i c m o d e lf o rs e m i c o n d u c t o r s a d vd i f fe q s 2 0 0 0 ，5 ：7 7 3 - 8 0 0 1 1 ：b z h a n ga n dj j e r