（计算机软件与理论专业论文）直觉模糊集的融合和蕴涵算子的研究.pdf

一。、卜、l 、 、 摘要 本文的研究主要来源于河南省重点科技攻关项目( n o 0 9 2 1 0 2 2 1 0 1 4 9 ) “基于区间结 气构的柔性化控制模型及其系统研究”和河南省教育厅自然科学研究计划项目 尸( n o 2 0 0 9 8 5 2 0 0 1 5 ) “区问值f u z z y 逻辑的代数结构”。 模糊集理论是由美国计算机和自动控制理论专家l a g a d e h 教授在1 9 6 5 年创立的， 是处理信息系统中知识不完善、不准确问题的基础理论，是模拟人类分类机制中模糊性 的一种数学工具，已经成为一个较为完善的数学分支，并广泛应用于气象、农业、环境、 能源、医学、军事、经济管理等各个领域。 直觉模糊集是由k a t a n a s s o v 于1 9 8 6 年提出的，是对z a d e h 的经典模糊集理论进 行拓展。它增加了非隶属度函数，能细腻地描述和刻画客观事物模糊现象，更好地反映 客观世界的模糊性本质。因而直觉模糊集的研究引起众多学者的关注，成为研究的热点。 因此，对其进行研究具有重要的理论价值和现实意义。 粗糙集是p a w l a k 于1 9 8 2 年提出的，是一种在信息系统中处理不精确、不完备、不 确定知识的有效数学工具。p a w l a k 粗糙集的推广是粗糙集研究的一个重要课题。粗糙集 理论和其它理论的融合研究，成为新的研究课题。 本文从模糊集和直觉模糊集基础理论入手，对直觉模糊集的融合和蕴涵算子进行了 研究，主要研究工作如下： 介绍了区间值、直觉模糊集、模糊蕴涵算子等有关概念，并讨论了直觉模糊集的 一些性质。 将粗糙集和区间值直觉模糊集融合起来进行研究，提出了一种新的区间值直觉模 ，- _ 糊集模型，并对它的运算性质做了较深入地研究。 一 在直觉模糊集上，分别定义了两种新的蕴涵算子伪s 蕴涵和月蕴涵，且详细 证明了这两种蕴涵算子边界条件、正则性、单调性等重要性质。 ：将直觉模糊集上伪s 蕴涵拓展到区间值领域进行研究，定义了区阳j 值直觉模糊伪 s 蕴涵，证明了该蕴涵算子的边界条件、正则性、单调性等一系列重要性质。 以上这些研究将为直觉模糊逻辑体系的建立奠定了理论基础，具有重要的理论价 算子，直觉模糊蕴涵算子，区间值直觉 - 一 徭 j a bs t r a c t t l l i sd i s s e 觚i o nc o m 伪舶mm e k e ys c i e n t i f i c 觚d 酬h n o l o g i c a lp 啊e c to f h e n a np 湖i n c et r e s e a r c h 伽f l 砷l ec o n t r o lm o d e l 觚di t ss 肚m b 硒e d 0 ni n t e 删s t r u c t u r e ”( n o 0 9 2 1 0 2 2 1 0 1 4 9 ) 觚d 龇n 删 1 铷屺君他s e a r c hp r o j e c t so fe d u c a t i o nd e p a r t m e mo fh e n a np r o v i n c e ”1 1 1 e a l g e b r a l cs 们l c t l i 他o f i n t e r v a l 。v a l u e df u z z yl o g i c ”( n o 2 0 0 9 8 5 2 0 0 15 ) f u 珂吣h e 哪p 呻s e db ya m 鲥啪c o m p u t e ra n da u t o m a t i cc o n 仃0 lm e o 叮e x p a n z a d e hi i ll9 6 5 i s 蝴砒帅d e a lw i t hi m p r e c i s ea n di n c o m p l e t e n e s so fk n o w l e d g e i ni 响眦戤i 啦m 髓da 姗舭m a t i c a l 伽lt os i m u l a t et h e 蛐筠i i l h 啪啪c l 黜i f i c a t i m e c h 枷s i l l 砘习恤唧l l a sb e c o ma 他i a l i v e l y m p l 咖b 啪c h0 fm a t h e m a t i c s ，a n dh a sb e e n w i d e l yu s e di n m 哟o r o l o 既a 鲥c u l t m e e n v i r o n m e n t , e n e r g y , m e d i c i n e ，m i l i t a r y , e c o n o m i cm a n a g e m e n t , e t c i n t u i t i o n i s t i cf u z z ys e tt h e o r y , p r o p o s e db ya t a n a s s o vi n 19 8 6 ，i sa ne x p a i l s i o no f 廿l ez a d e h ，sc l 雒s i c 呻眺n 锄d e l i c a t e l yd e p i c tt h ef u z z i n e s so fo b j e c t i v et h i n g s ，a n db e t t e r 陀f l e e tt h ea m b i g u i t vo f o b j e c t i v ew o r l db ya d d i n gn o n 。m e m b e r s h i pf u n c t i o n i n t u i t i o n i s t i cf u z z ys e t sh a sc a u s e dm 锄ys c h o l 鹕， 舭n t i o n 觚db e c o m 部ah o t t o p i c ，s oi t ss t u d yh a si m p o r t a n tt h e o r e t i c a la n d p r a c t i c a ls i g n i f i c a l l c e r 0 u g hs p r o p 0 5 e db yp a w l a ki n19 8 2 ，i sa p o w e r f u lm a t h e m a t i c a lt o o lf o rd e a l i n gw i t hi m p r e c i s e ， m c e n a i 咄沁o m p l 啪a n dv a g u ek n o w l e d g ei ni n f o r m a t i o ns y s t e m t h ep r o m o t i o no fp a w l a l ( ，sr o u g i ls e t 1 s 锄i m p o r t a n r e s e a r c hs u b j e c t s i m u l t a n e o u s l y , c o m b i n gr o u g hs e tt h e o r yw i t ho t h e rt 1 1 e o r i e sb e c o m e sa n e wr e s e a r c hp r o j e c t 1 nt h i sd i s s e 僦i o i l ，o nt h eb a s i so ff u z z ys e t sa n d i n t u i t i o n i s t i cf u z z ys e tt h e 哪w es n j d yt h e a m a l g a m a t i o na n di m p l i c a t i o no p e r a t o r so fi n t u i t i o n i s t i cf u z z ys e t s t h ei 曲o v a t i o na n dm a i nr e s u l t sa 舱 s u m m a r i z e da sf o l l o w s ： f i r s t l y , s o m er e l a t e dc o n c e p t so ft h ei n t e r v a l - v a l u e di n t u i t i o n i s t i c f u z z ys e t sa n dt h ei m p l i c a t i o n o p e r a t o ro f f u z z ys e t sa r ei n t r o d u c e d ，p r o p e r t i e so f t h ei n t u i t i o n i s t i cf u z z ys e t s 锄ed i s c u s s e d s e c o n d l y , b yc o m b i n i n gr o u g hs e tw i t hi n t e r v a l v a l u e di n t u i t i o n i s t i cf u z z ys e t , an e w i n t e r v a j - v a l u e d f i l z 纠i n t u i t i o n i s t i es e tm o d e li sp r e s e n t s ，a n dp r o p e r t i e so ft h i sm o d e l 淝d e e p l y s t u d i e d t h i r d l y , t w on e wi m p l i c a t i o no p e r a t o r sa r ed e f i n e db a s e do ni n t u i t i o n i s t i c 昀s e t s ，w h i c h 躺r i i i 产 k 声 目录 摘要i a b s n t a c t i i i 目录v 第一章绪论1 1 1 直觉模糊集理论及其研究现状1 1 2 本文的研究目的及意义3 1 3 本文主要内容及其重点3 1 4 论文的组织结构4 1 5 小结5 第二章基础理论知识。7 2 1 区间值的概念及其运算7 2 1 1 区间值的概念7 2 1 2 区间值的运算7 2 1 3 区间值的序关系9 2 2 直觉模糊集的概念及其性质。l l 2 2 1 直觉模糊集1 1 2 2 2 直觉模糊集的性质1 2 2 2 3 直觉模糊关系1 3 2 3 一般模糊集蕴涵算子1 3 2 4 、l ；1 5 第三章一种新的区间值直觉模糊集：1 7 3 1 基本概念1 7 3 2 一种新的区间值直觉模糊集模型1 9 3 2 1 区间值粗糙直觉模糊集模型的构造1 9 3 2 2 区间值粗糙直觉模糊集的性质2 0 v ：1 7 ：1 9 ：z 9 ：1 9 ：；( ) ：；：! i ： ：2 3 ：! ：；6 ：；6 3 f ； z i ：! 4 3 4 3 4 8 4 9 4 9 4 9 ：51 ! ；! ； ! ；7 5 9 ! ；9 0 7 产 、 i 一 厶 声 第一章绪论 第一章绪论 1 1 直觉模糊集理论及其研究现状 模糊集理论是由美国计算机和自动控制理论专家l a z a d e h 教授在1 9 6 5 年创立的i 。 它是研究信息系统中知识不完善、不准确问题的理论，它着眼子集合的模糊性，是模拟 人类分类机制中模糊性的一种数学工具。所谓模糊性主要是指客观事物的差异在过渡时 呈现的亦此亦彼性，用隶属函数来表示，并用精确的数学语言对模糊性进行描述。该理 论用模糊集合f f u z z ys e t s ，f s ) 来刻画模糊现象或模糊概念，所谓模糊现象和模糊概念就 是没有严格的界限划分的、不确定的、很难用精确的尺度来刻画的现象和概念。在实际 应用中，模糊集合理论通过应用隶属函数为处理那些不能由概率理论和二值逻辑的经典 方法来处理的复杂现象提供了一个系统的框架。目前，模糊集理论已经成为一个较为完 善的数学分支，并广泛应用于气象、农业、环境、能源、医学、军事、经济管理等各个 领域。 随着模糊集理论的发展，许多学者对其进行了扩展。比较重要的扩展有： ( 1 ) 对模糊集模型进行推广，形成了直觉模糊集合理论。很多学者对模糊集进行了 扩展研究，比较重要的有：m i z u m o t oa n dt a n a k a 于1 9 7 6 在z a d e h 提出的f u z z y 集的基 础上，提出了i i 型f u z z y 集【2 1 。1 9 7 5 年，s a m b u c 将隶属度的值扩展到区间，提出了区 间值f u z z y 集1 3 j 。1 9 6 7 年，g o g u e n 将格的概念引用到模糊集中，提出了l 型f u z z y 集 川。a t a n a s s o v 在1 9 8 6 年对模糊集理论进行了拓展，提出了直觉模糊集( i n t u i t i o n i s t i c f u z z ys e t s ，i f s ) 理论t 5 1 。 a t a n a s s o v 直觉模糊集合是对z a d e h 模糊集理论最有影响的一种扩充和发展，它通 过增加了一个新的属性参数非隶属函数，进而可以描述“非此非彼 的“模糊概 念”，更加细腻地刻画了客观世界的模糊性本质【6 】，因而引起更多学者的研究和关注， 并应用于多属性模糊决策【6 2 】、决策控制f 6 3 1 、聚类分析等。目前，对直觉模糊理论的研 究，一般的研究都集中在点值模糊集和模糊关系上。例如：直觉模糊集截集、分解定 理、表现定理【7 】，直觉模糊集运算性质【8 】，模糊数模糊集【9 1 等。而在实际的信息系统中 用点值来描述客观世界的概念常常会丢失一些比较有用的信息，而用区间值则相对比 卫 厶 ， l 第一章绪论 要我们进行深入研究。 ( 3 ) 对蕴涵算子进行研究。蕴涵算子在逻辑学中起着非常重要的作用。因为不同的 蕴涵算子可以构造成不同的逻辑体系。蕴涵算子是逻辑推理的关键，也是逻辑研究的重 点和难点。因此，自从模糊集理论诞生以来，对模糊集逻辑算子也引起很多学者的关注。 国外很多学者对蕴涵算子进行了研究。比较著名的是法国著名的学者d u b o i s 与p r a d e 提出 了关于蕴涵算子的l o 个条件，即为d p 条件【3 4 1 。我国著名学者张文修教授、王国俊教授、 吴望名教授、裴道武教授、深入研究了模糊蕴涵，并且都取得了可喜成就【2 2 2 3 2 4 , 2 5 1 。目 前对直觉模糊集和区间直觉模糊集蕴涵算子的研究，主要对其简单蕴涵算子的性质及其 基础理论研究，而对其蕴涵算子则有待于进一步研究。直觉模糊逻辑算子作为模糊逻辑 算子的直觉化扩展，由于直觉模糊集受其隶属度和非隶属度条件的约束，它的算子所具 有的性质也不同于普通模糊逻辑算子。进行直觉模糊蕴涵算子构造及其应用的研究，对 建立直觉模糊逻辑体系具有重要理论价值，且在模糊决策系统中具有重要的实际应用， 例如：模糊推理、模糊信息融合、及决策控制等方面。 综合上述，对直觉模糊集的融合和蕴涵算子的研究，具有重要理论价值和现实意义。 1 2 本文的研究目的及意义 研究目的： 本文研究目的是从区间值直觉模糊集的基础理论入手，对区间值直觉模糊集蕴涵算 子研究，最终建立起区间值直觉模糊逻辑体系。 研究意义： 本文在区间值直觉模糊集上，提出了一种新的区间值粗糙直觉模糊集模型，对其性 质进行了讨论。在直觉模糊集上，定义了两种新的蕴涵算子，讨论其性质，并将其中一 种扩展到区间值上进行研究。这些研究对区间值直觉模糊直觉模糊逻辑体系的建立及其 推理奠定了理论基础，具有重要的意义。 1 3 本文主要内容及其重点 本文研究内容是从区间值直觉模糊集的基础理论入手，对区间值直觉模糊集的融合 和蕴涵算子进行了研究，提出了一种新的区间值粗糙直觉模糊集模型，对其性质进行了 讨论。又在直觉模糊集上，定义了两种蕴涵算子，并将其中一种扩展到区间值上进行研 究，详细讨论了它们的一些性质。这对区间值直觉模糊推理具有重要的意义。其具体研 直觉模糊集的融合和蕴涵算子的研究 究内容主要如下： ( 1 ) 介绍了区间值、直觉模糊集、模糊蕴涵算子等有关概念，并讨论了直觉模糊集 的一些性质。 ( 2 ) 在一般区间值直觉模糊集基础上，将粗糙集和区间值直觉模糊集融合起来进行 研究，提出了一种新的区间值直觉模糊集模型，并给出该模型的运算性质，且将这些运 算性质做了详细讨论。 ( 3 ) 在直觉模糊集上和新的序关系下，分别定义了两种新的蕴涵算子伪s 蕴涵 和尺蕴涵，且对这两种蕴涵算子边界条件、正则性、单调性等重要性质进行了详细证明。 ( 4 ) 将所定义的新的直觉模糊集伪s 蕴涵算子拓展到区间值领域进行研究，定义了 区间值直觉模糊伪s 蕴涵，证明了该蕴涵算子的边界条件、正则性、单调性等一系列重 要性质。 研究的重点和难点： 在第四章中，我们在直觉模糊的基础上，构造了两种不同的直觉模糊蕴涵算子，并 将第一种蕴涵算子扩展到区间上，提出区间值直觉模糊蕴涵算子。在区间值直觉模糊集 中，由于所用到的序既包含包含序，又包含知识序，研究起来相对比较繁琐、复杂，特 别是对其性质的进行讨论。 1 4 论文的组织结构 本文的组织安排如下： 第一章绪论 本章主要介绍了直觉模糊集理论的发展过程、研究现状以及区间值模糊理论逻辑的 发展状况，着重介绍了模糊集理论的扩展研究粗糙集与模糊集的结合、蕴涵算子等， 进而引出了本文的研究内容，最后介绍本文的研究目的和意义。 第二章区间值直觉模糊的基础知识 论述了与本文研究内容相关的基础知识，包括区间值的基本概念、运算、序关系和 直觉模糊集的概念、性质以及常见的模糊蕴涵算子。这些概念为第三章、第四章区间值 粗糙直觉模糊集和直觉模糊集蕴涵算子的研究提供了理论基础。 第三章基于粗糙的区间值直觉模糊集性质 将粗糙集与区间值直觉模糊理论相结合，构造了基于相似关系的区间值直粗糙觉模 4 ， b ? 第一章绪论 糊集模型，并对该模型的不同性质进行了讨论，特别是关于补的性质。 第四章直觉模糊蕴涵 在本章中首先了给出了直觉模糊蕴含算子研究的意义和一般的蕴涵算子应当满足 的条件- d p 条件，以及直觉模糊集和区间值直觉模糊中常见的几种蕴涵算子，然后 分别在第2 节和第3 节定义了直觉模糊伪s 蕴涵和r 蕴涵，讨论了这两种蕴涵的边界条 件、正则性、单调性等性质，以及他们满足d p 条件的情况。在第4 节中，将直觉模糊 伪s 蕴涵扩展到区间值上，证明了该蕴涵算子的边界条件、正则性、单调性等性质。 第五章结论与展望 总结了本文研究主要成果和创新点，指出了需要进一步研究的方向。 1 5 小结 本章首先概述了直觉模糊理论的研究现状，然后介绍了本文的研究目的、意义、主 要研究内容及其结构安排。 t 、 第二章基础理论知识 第二章基础理论知识 区间值直觉模糊集是直觉模糊集的扩展。本章首先介绍了区间值的基本概念及其运 算，其次，介绍了直觉模糊集的基本概念，讨论了它的一些基本性质及直觉模糊关系。 然后，介绍了蕴涵算子的定义以及一些常见的蕴涵算子。这些为深入研究区间值直觉模 糊集合及其直觉模糊模糊蕴涵算子提供理论基础。 2 1 区间值的概念及其运算 简要回顾一下区问值的基本概念及其运算： 2 1 1 区间值的概念 定义2 1 1 设7 = 0 ，1 】= a - = 【口l ，口2 】io q 口：1 ) 是所有包含在【0 ，1 】中的闭区间 簇，则万= 【口l ，9 2 】是一个区间值。 注：我们常常也称万= h ，g ：】是一个区间数，区间值和区间数在实际的应用中一般 都简称为“区间i i ox e f a j 数万= 口，9 2 】在g = g ：下变成一个数，因此，可以把数作为区间 数的一种特殊形式。 2 1 2 区间值的运算 ( 1 ) 区间值的算术运算 令万= h ，口2 】和6 = 【6 l ，6 2 】是两个x e f 日- 值，其中，口。9 26 l 6 2 且当口i - - g ：，6 i = 6 2 时， 它们都变成为一实数。 区间值加、减、数乘、乘的运算规定如下： 区间数加法运算 e + b = q + 6 l ，9 2 + 6 2 】， 区间数减法运算 万一b = 口l 一6 i ，a 2 6 2 】， 区间数乘法运算 7 换律和结合律，但是不满足 第二章基础理论知识 ( 7 ) 1 ( 万v 6 ) = 1 【口一v 6 - ，a + v 6 + 】 = 【l 一( a 2v a o ，l 一( 口lv6 i ) 】 = 【( 1 一a , ) a 0 6 2 ) ，( 1 一a 1 ) a ( 1 2 j i ) 】 = 【l 一咆，l a , a p 一6 2 ，l 一岛】 = 1 万人1 i 同理可得，- ，( a a 弱= - - , a v - ，b 注：一般说来，i o ，l 】上的运算v ，a 以及1 不满足k l e e n e 律，即对于石，万z o ，l 】， 则 ( 万v _ 1 万) v ( i 八1 万) = 万v 万， ( 万v 1 万) 八( 万 ，万) = b - a - b - 。 一般不成立例如万= 【o ，寻】，万= 【吉，上】时， ( v l a ) v ( b 八一6 ) = 【，l 】v 【上，吉】= 【专，l 】万v 1 万， ( a v - , a ) a ( b 6 ) = 【 ，l 】八睦，专】= 【 ，上】b ，6 。 2 1 3 区间值的序关系 序关系对直觉模糊集及其蕴涵算子的研究有重要作用，因序关系的不同而构造不同 的逻辑体系。所以，我们给出区间值的序关系，并讨论其性质。 定义2 1 2 口6 1 对于v 万，万了，万= 【口1 ，口2 】，万= 【6 l ，6 2 】，称万和万等价，当且仅当口，= 6 i 且 a 2 = 6 2 ，记作石= 万。 在i 0 ，l 】上定义两种区间偏序关系，它们分别是定义2 1 3 和2 1 4 。 定义2 1 3 口6 1 对于v 万，万7 ，石= 【口l ，a 2 ，万= 【岛，如】，设【万，万】0 ，1 】。如果万冬i ，则 记万5 i 万 显然，以下的( i ) - - ( i i i ) 成立。 ( i ) 万= 【a ，口+ 】墨lb = 阻，以】6 口一且q 以 ( i i ) ! 。具有自反性，反对称性及传递性，因此是，【o ，l 】上的偏序关系。偏序集 ( i 0 ，l 】，。) 的最大元 o ，l 】，但无最小元。 ( i i i ) 分别记( 万五 艇 s ( i 0 ，l 】，5 i ) ( 其中，对每个五人，万a = 【口9 ，】) 的上确界、 9 直觉模糊集的融合和蕴涵算子的研究 下确界为s u p l 万m ，i n f , 豕舢，则 五e 知 s u p l 万= 【孵疋舢，s u pa + ( a ) 】 2 c a e a 毒e 一般说来，i 蝎万a 不存在，但当s u p a ( ) _ 名e ( z o ，l 】，5 2 ) 的上确界、下确界为s u p 2 万( 舢，i n f 2 万( 舶，则 s u p 2 万五= 【s u p 口舢，s u p a + ( a ) 】( 2 1 。1 ) 1 9 l 嘎e a 石= 【璁芙以m ，i n 叭fa + ( x ) 】 ( 2 - l - 2 ) 注： 式( 2 1 2 卜弋2 1 4 ) 的证明。 这里给出式( 2 一1 1 ) 的证明，其他各式同样可证。显然， 万五= 【，】5 2 【s u p 口舢，s u p a + ( 丑】( v ae a ) ( 2 1 3 ) 另一方面，设万= 【c ，q 】是满足 ，- - 。 定义2 2 3 幽1 令r = ( 五，恐) i + x 2 l ，x i ，恐) 【o ，l 】 ，且有( 五，而) r ( m ，儿) 直觉模糊集的融合和蕴涵算子的研究 而朋a x 2 儿，v ( 五，屯) ，( 乃，儿) c 则称( r ，r ) 为完备格。 因此，论域u 上的i f s ( 彳) 营彳：u 寸r ：西寸( 心( x ) ，以( x ) ) ，v x e u ，为简便起县， 用x ( x ) = ( 纨( x ) ，以( x ) ) 来表示直觉模糊集。 么= ( x ，以( x ) ，以( x ) ) ，x ( x ) r ，g k 的o f = ( o ，1 ) ，1 r - ( 1 ，0 ) 定义2 2 4 1 2 9 直觉模糊集上常数的定义如下： ( 动) = 口，) i x e u 其中，口，p e o ，1 】且口+ 1 在直觉模糊集中，全集1 u = u = ( 加) = 似1 ，0 ) i x 叫，空集g = ( 西) = 伍1 ，o ) j x 研。 定义2 2 5 直觉模糊的最大值和最小值如下： o = ( o ，1 ) ，1 = ( 1 ，0 ) 2 2 2 直觉模糊集的性质 直觉模糊集和模糊集合【3 0 】一样，直觉模糊集也具有以下八大性质： ( 1 ) 幂等律aua = a ，an a = a ； ( 2 ) 交换律a u b = b ua ，a nb = b n a ； ( 3 ) 结合律( a u b ) u c = a u ( b u c ) ； ( 4 ) 分配律 彳n ( b u c ) = ( 彳n 曰) u ( 彳n c ) ； ( 5 ) 吸收律( a n b ) u b = b ； ( 6 ) 复原律( a c ) = 彳； ( 7 ) 两极律彳u1 = 1 ，an l = a ，auo = a ，ano = 0 ； ( 8 ) 对偶律( 彳ub ) = a 。n b 。； 证明：按照直觉模糊集的定义，( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 显然成立。 下面对其他几条性质进行证明： ( 4 ) 彳n ( b u c ) = ( 心( x ) ( 鳓( x ) v 心( x ) ) ，乃( 力v ( 以( x ) 疋( x ) ) ) = ( ( 鳓( x ) 鲍( x ) ) v ( 儿o ) 段? ( x ) ) ，( 以( x ) v 厶( x ) ) ( 一( x ) v o ) ) ) = ( a n b ) u ( 彳n c ) 鼍 声 ， 第二章基础理论知识 ( 5 ) ( a c l b ) u b = ( ( 以( 功 心( 功) v 心( 石) ，( 乃( 工) v 厶( x ) ) 屯( z ) ) = ( 心( x ) ，如( x ) ) = b ( 6 ) ( 彳。) = ( ( 以o ) ，a _ o ) ) ) = ( 儿 ) ， o ) ) = 彳 ( 7 ) 1 u a = ( 1 v a a ( x ) ，o a ( z ) ) = ( 1 ，o ) = 1 ， 同理a 0 1 = a ，x u o = a ，x o o = 0 ( 8 ) ( a t j b ) 。= ( 九( x ) 如( x ) ，以( 工) 儿( z ) ) = 彳n 曰 2 2 3 直觉模糊关系 定义2 2 6 【5 1 ( 直觉模糊关系) 设x 和】，是普通、有限、非空论域。定义在直积空间 x y 上的直觉模糊子集r 称为从x 到】，之间的二元直觉模糊关系。记为： r = ( 心( 工，y ) ，厶似y ) ) jx x ，y y ) 其中心 x xy _ f o ，l l n 丸：x x g 专【o ，1 】满足条件 o 心( 工，j ，) + 五( x , y ) 1 v ( x ，y ) x xy 。 i f s ( x x 】，) 表示工y 上二元直觉模糊关系的全体。 2 3 一般模糊集蕴涵算子 给出蕴涵算子的基本概念和常用的模糊蕴涵算子 定义2 3 1 3 1 1 记，= 【o ，1 】，映射兀j ，j 朋尔为三角模，若干满足下列条件： ( 1 ) 两极律r ( o ，0 ) = o ，t o ，1 ) = 1 ； ( 2 ) 交换律 r ( a ，6 ) = r ( 6 ，口) ，口，b ，； ( 3 ) 结合律r ( r ( a ，6 ) ，c ) = 丁( 口，t ( b ，c ) ) ，口，b ，ce i ； ( 4 ) 单调律 口c ，b d r ( a ，6 ) r ( c ，d ) ，口，b ，c ，de i 。 此外，若三角模r 满足r ( 口，1 ) = 口时，称为模；若三角模s 满足丁( 口，0 ) - a 时， 称为模，丁模和s 模统称为三角模。 定义2 3 2 2 2 1 映射秒：【o ，1 1 【o ，1 1 - - 0 ，1 】称为模糊蕴涵算子，如果满足条件： 1 03 a ，b e 0 ，1 】使口劬= 1 。 融合和蕴涵算子的研究 蕴涵) ，若它还满足： ，1 3 ) 还远远不够，这是里再列出如下的几个约束 1 5 ) 若b b ，贝i j a o b a o b 。 1 6 0 8 b = l 。 1 7 ) 1 0 b = b 。 1 8 ) a o b b 。 1 9 ) a o a = 1 。 p l o ) a o ( b o c ) = b o ( a o c ) 。 1 1 1 ) a o b = 1 当且仅当口b 。 1 1 2 ) a o b = ( 1 - b ) o ( 1 - a ) 。 1 1 3 ) o 毛e o ，1 x o ，l 】上连续。 1 1 4 ) 若a 0 ，贝0a 0 0 1 ；若口 l ，贝0l o a 规定序及运算如下： ( 1 ) a 冬b 铮j 一( x ) 豆一( x ) ，互+ ( x ) 面+ ( x ) ，4 一( x ) 垦一( x ) ，4 + ( x ) 垦+ ( x ) ； ( 2 ) a = b 铮a b ，a2b ； ( 3 ) ( x ) = ( ( x ) ，4 + ( z ) 】，防( x ) ，j + ( 石) 】) ； ( 4 ) ( 4 u b ) ( 力= ( j 一( x ) v 秀一( z ) ，矛( x ) v 矿( x ) ， 4 一( x ) 星一( 曲，4 + ( x ) 彰( x ) ) ； ( 5 ) n b ) ( 功= ( p ( 戈) 万一( 工) ，彳+ ( z ) 百+ ( x ) ，防o ) vb 一( 石) ，4 + ( x ) vb + ( x ) ) 。 定义3 1 3 区间直觉模糊的最大值和最小值分别为： 石= ( 【o ，o 】，【1 ，l 】) ，v - ( 1 ，l 】，【o ，o 】) 1 7 直觉模糊集的融合和蕴涵算子的研究 定义3 1 4 设尺是论域u 上的一个等价关系，称二元组( u ，尺) 为p a w l a k 近似空间。 定义3 1 5 【3 9 】设尺是论域u 上的等价关系，对于集合彳u ，哩( x ) ，页( x ) ) 称为x 在近似空间( u ，r ) 上的一个粗糙近似，其中 墨x = u 】，u rl 】r x ) ， 麟= n y 叫尺i 】，n r ) 。 分别称它们为x 的r 下近似集和尺上近似集。 下近似、上近似也可以用下面的等式表达： 些= z ui 【x 】矗sx ) ， r x = x ul 【x 】矗n x ) 。 其中 x 】矗表示元素x 对应的等价类，合b n r ( x ) = 麟一鲋称为x 的r 边界域； p o s 异( x ) = _ r x 称为x 的r 的正域；n e g 异( x ) = u - r 3 c 称为石的r 负域。显然， 肷= p o s 置( x ) u b n r ( x ) 。 定理3 1 1 4 0 1 设( u ，r ) 为p a w l a k 近似空间，则近似算子显和r 有如下性质： ( 1 ) 必互石麟； ( 2 ) 髟= 劂= ，= r u = u ； ( 3 ) r ( x u y ) = 肘u r l ，； ( 4 ) 星( x n y ) = 基石n 斟； ( 5 ) x yj 丛； ( 6 ) 彳y jr x 冬r y ； ( 7 ) 星( x u y ) 2 星z u 掣； ( 8 ) r ( x n d 麟n 心； ( 9 ) 星( z ) 一r x ； ( 1 0 ) r ( x ) 一型； ( 1 1 ) 墨( 丛) = r ( 丛) = 丛； ( 1 2 ) 尺( 麟) = 叁( 肘) = r x 。 第三章基础粗糙的区间值直觉模糊集 3 2 一种新的区间值直觉模糊集模型 3 2 1 区间值粗糙直觉模糊集模型的构造 对于