（应用数学专业论文）二阶微分方程的振动性理论研究(1).pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 二阶微分方程的振动性理论研究 摘要 伴随着科学技术日新月异的发展，在数学、物理学、化学、生物学等学科 领域，一方面实际问题中不断涌现出大量的非线性问题需要人们去深入研究， 另一方面近几十年来的非线性微分方程问题有了巨大的发展，其丰富的理论和 先进的方法日渐成熟本文所研究的二阶微分方程的振动性理论是微分方程理 论中的一个重要分支，它具有深刻的物理背景和数学模型，这一理论在应用数 学中得到了迅速的发展和广泛的重视 本文主要利用推广的黎卡提变换及积分平均技术，对几类二阶微分方程的 振动性进行了进一步的研究，得到了一些新的成果 根据内容本文分为以下三章： 第一章概述了本文研究的主要问题， 第二章研究了具有阻尼项的二阶微分方程的振动性 本章中，其中解，解的振动性我们这样定义： 定义l 称z ：t 1 ) _ ( 一o 。，+ 。) ，l2t o 是方程的解，如果z ( ) 满足方 程，其中t ，1 ) 定义2 称方程的解z ( t ) 是振动的如果它有任意大的零点，否则称为非振 动的 首先我们研究了方程 ( o o ) z 0 ) ) 7 + p 0 ) z ( t ) 十口0 ) ，( 岔( t ) ) g ( z o ) ) = 0 ，t2 o( 1 ) 解的振动性，其中： ( 风) n ( t ) g 1 ( ，o 。) ；( o ，o 。) ) ； ( )函数口：o 。) _ f o ，。) 是连续的，且在 t ，。) 上不恒为零，t t o ； ( 日3 ) p g ( 。) ，r ) ； ( 函)函数g ：r - 兄连续，且对于。o ，9 ( z ) “ o ； 曲阜师范大学硕士学位论文 ，；鬻。南渺瑚s 计陋) p 一拟s ) 倒s ，专瓣， d s ) 阿褊， 定理2 1 3 令条件( 日1 ) 一( 凰) 和( 风) 成立，圣( t ，s ，r ) 如( 2 ) 所定义 存在正的，非减的函数口0 1 ( ，。) ) 使得对r o o ，有 ( 4 ) 若 ；黑，z 。毗叩掘“叫s m 卟m ，s ，小器蛳 + ；鬻叩，州2 卜。， 则方程( 1 ) 是振动的 定理2 1 4 令条件( 凰) 一( 日4 ) 和( 凰) 成立，。( t ) a 1 ( ，。) ；( o ，1 ) 】 则方程( 1 ) 是振动的如果对于。 j ，幻，有 篡辫氅_ 削s ，等蒜竽， d s ) 两赢丽， 旧 定理2 1 4 假设条件( 凰) 一( 凰) 和( 矾) 成立，n ( t ) g 1 ( 。) ；( o ，l 】) ， ，t 辫讣2 托叩m s 脚一阻 r ) - 扣叩，”) 2 ) 奶。 则方程( 1 ) 是振动的 定理2 1 5 令条件( 凰) 一( 风) 和( 玩) 成立，o ( ) 口1 ( 。) ；( o ，1 ) ，则 方程( 1 ) 是振动的如果对于a ，r f o ，有 1 l l 竺 b 丽鹳 凹俐 曲阜师范大学硕士学位论文 定理2 1 6 令条件( 凰) 一( 凰) 和( 凰) 成立，n ( g 1 ( o 。) ；( o ，1 】) ，则 方程( 1 ) 是振动的如果对于。 ，任意的r 如，有 同时我们研究了另一类更为普遍的具有阻尼项的二阶微分方程 ( r ( t ) 七1 ( z ( t ) ，z ( t ) ) ) 7 + p ( t ) 乜( 。o ) ，。( t ) ) 7 ( t ) 十g ( ) ，( z ( t ) ) = o ，t o o o ，( 9 ) 的解的区间振动性，其中： ( i ) 函数r ：o 。) _ ( o ，o 。) 是连续可微的，t o o ； ( i i ) p ：o 。) _ r 连续，对o o ，o o o ，p ( ) 三o ； ( i i i ) 口：。o ) _ 兄连续，对t o o ，o o o ，q ( t ) o ； ( i v ) ，：冗- r 连续且满足，( z ) $ k ，其中k 为正常数，。o ； ( v ) 女l ：r 2 叶r 2 连续可微且满足 ( u ，”) o h ( u ， ) ，其中。为正常数， r o ) ，“_ r ； ( v i ) k 2 ：r 2 _ 譬连续，且与的符号相同，其中”r o ) ，u 置 ( v i i ) 对于。o ，g 1 r ，r 且。，( z ) o ，存在，( 。) ，z r 和八。) 卢 o 一0 其主要结果如下： 引理f 3 3 ，引理1 假设条件( i ) 一( v i ) 成立若z ( ) 是方程( 9 ) 的非振动 解，则对任意t ，。( ) ( t ) o 定理2 2 1 假设条件( i ) ( v i ) 满足，若存在函数p g 1 ( o 。) ，( o ，。) ) 使得对于日x 和充分大的孔t o ，存在a b ，c ，t 0 曼n 。， 注： 在本文中，我们要求函数p ( ) 是非负的，q ( t ) 是严格正的尽管在 应用中我们经常碰到阻尼项是正的情况，但是我们也希望考虑阻尼项是非正和 变号的情况则在引理的证明中，用非正的p ( t ) 来代替非负的p ( 幻，条件( v i ) 中的女2 ( “， ) 满足： 女2 ( u ，u ) 的符号与u 相反，口置 o ，r 即司 在这一章的最后，我们研究了一类同时具有阻尼项和强迫项的二阶微分方 程： 一( ) 。( t ) ) + p ( ) z 0 ) + q ( t ) ，( z ( t ) ) 9 ( z ( t ) ) = e ( ) ，t o( 1 8 ) 的解的区间振动性，其中： 1 ) r ( t ) e 1 ( 【o ，。) ；( o ，。) ) ； ( a 2 ) 函数e ( t ) ，p ( t ) ，g ( t ) g ( 【o ，o 。) ；r ) ； ( a 3 ) 函数g ：兄_ r 连续，9 ( $ ) p o ，其中z o ； ( a 4 ) ，a 1 ( r ；r ) ，z ，( $ ) 0 ( z 0 ) ； ( 如) 函数，p 1 ( r ；r ) 连续，( 。) o ，其中z o ； ( a 6 ) 函数，a 1 ( r i 连续，( z ) 屈硒 o ，其中$ o 其主要结果如下： 定理2 3 1 假设条件( 1 ) 一( a 5 ) 成立若对于? t o ，存在t s 1 t ls s 2 t 2 使得当t s 1 ，刈时e ( t ) o ，t 5 2 ，嘲时e ( t ) o 令d ( & ，如) = u 曲阜师范大学硕士学位论文 e l b ，。 ：( 曲不恒为零，u ( 乱) = u ( 也) = o ，i = 1 ，2 若存在u d ( s i ，赴) 和一 个正的，非减的函数妒g 1 ( o 。) ) 使得 眦以咖p 一掣阳旷掣+ 貉吣，m 扎， 江l ，2 ，则方程( 1 8 ) 是振动的 注：若令p ；o ，( 。) i l ，则可得到w o n g 【3 2 】中的定理 定理2 3 2 假设条件( a 1 ) 一( 山) 和( a 6 ) 成立若对于t o ，存在 ts s l o 是一个始 终为的正函数，r ( t ) ，o 。) 是正连续微分函数使得r ( t ) t ，r 协) o ，t t o ，l i 蛾一丁( t ) = o 。，g ( ( 一o 。，+ o 。) ，( 一o o ，+ 。o ) ) ，9 g ( ( 一o 。，+ o 。) ；【o ，o 。) ) ， ，( z ) 肛k o ，g ( 。) c o ，其中z o ，k 和c 均为常数 对于方程( 2 1 ) 的解的区间振动性的研究，我们得到了以下结果； 定理3 1 1 设存在一个正的，非减的函数p ( t ) c 1 ( 。) ) 使得对日x ， 充分大的晶 如，存在递增的，互异的，正的数列 o 。) ， 6 n ) ，( c 扎 ，蜀。 o ，其中o ； ( i v ) 妒g ( r ，r ) ，妒( g ) o ，其中g o ； ( v ) r ( ) 。o ) ，是正的连续微分函数使得r 俅) o ，其中t t o 1 i o t _ 十。r ( t ) = 。，t ( t ) 帅挑 成立设存在一个正函数p ( t ) g 1 ( p o ，。) ) 使得对于。j茜16!：!j：!；靼。， 则方程( 2 6 ) 是振动的 注：在许多文章中，对二阶时滞微分方程振动性定理的研究都使用了本论 文第二章第二节中使用的函数日= 日( t ，s ) 及正的，非减的函数p e 1 ( ，。) ) ： 而且许多结论在不限制( f ) 的情况下不一定成立而在上述定理的证明中， 使用了新的函数“a 1 8 ，6 】，“( t ) 三2 h6 】，t ( o ) = “( 6 ) = o ，陋，6 c 。) ，同时 在证明过程中采用了极值原理，使得最后的结果对p 的符号不再需要限制， 由此更显出本定理的重要性 关键词：振动；区间振动；阻尼项；强迫项；积分平均；黎卡提 变换 1 x 堂皇塑薹盔堂亟主堂鱼堡塞 s t u d i e so no s c i l l a t i o no fs e c o n d o r d e r d i 珏e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t w i t ht h er a p i dd e v 色l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n 0 1 0 9 y ，a l ls o r t so fn o n 一 l i n e a rd r o b i e m sh a v ed e r i v e df r o mm a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ，c h e m i s t r 弘b i o l o g y a n ds oo n o nt 1 1 eo n eh a n d ，m a n yn o n l i n e a rp r o b l e m sc o m ef o r t ha 1 1k i n d s o fa p p l i e ds u b j e c tw h i c ha 主t r a c t sm a n ys c h o 【a r st os t u d yt h e m o nt h eo t h e r h a n d ，g r e a tc h a n g e so fn o n l i n e a rd i 丑b r e n t i “e q u a t i o n sh a v et a k e np l a c ei ns e v e r a ld e c a d e1 ，e a r s i t sp o w e r f u la n df r u i t f h lt h e o r e t i c a lt o o l sa n da d 、吼n c e d m e t h o d sh a v eb e c o m er i p es t e pb ys t e p t h et h e o r yo fn o r m a id i h b r e n t i a le q u a t i o ni so n eo fi m p o r t a n tb r a n c h e s o fd i 圩色r e n t i a le q u a t i o n s i nt h e 矗e l do fm o d e r na p p l i e dm a 七h e m a t i c s ，i th a s m a d ec o n s i d e r a b l eh e a d w a yi nr e c e n ty e a r s b e c a u s ea l lt h es t r u c t u r eo fi t s e m e r g e r l c eh a sd e e pp h y s i c a ib a c k f o u n da n dr e a l i s t i cm a t h e m a t i c a lm o d e l t h ep r e s e tp a p e re m p l o y sag e n e r a l i z e df u c c a t it r a n s f o r m a t i o na n d i n t e g r a la v e r a g et e c h n i q u et oi n v e s t i g a t et h eo s c i l l a t l o nc r i t e r i aa n d i n t e r v 甜o s c n 一 1 a t i o nc r i t e r i ao fs o m ek i n do fs e c o n d o r d e rd i f 琵r e n t i a le q u a t i o n st h eo b t a i n e d r e s u l t sg e n e r a l i z e da n di m p r o e ds o m ek n o w no s c i l l a t i o nc r i t e r i a ， t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，p r e f a c e w ei n t r o d u c et h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h eo s c i l l a t i o no fd i h b r e n t i a le q u a t i o n sw i t h ( 1 a m p i n g i nt h i sc h a p t e r ，w eg i v et h ef 0 u o w i n gd e 丘n i t i o n s ： d e b n i t i o n1 af u n c t i o nz ：蜘_ ( 一。o ，+ o o ) ，t l t oi sc a l l e da s o l u t i o no fe q ( 1 ) i fz ( t ) s a t i s f i e se q ( 1 ) f o ra l lt 【t o ，t 1 ) d e f i n i t i o n2 as 0 1 u t i o nz ( t ) o fe q ( 1 ) i sc a h e do s c i l l a t o r yi fi th a s a r b i t r a r i l yl a r g ez e r o st o t h e r w i s ei ti sc a l l e dn o n o s c i l l a 土o r y 曲阜师范大学硕士学位论文 l i m s u p ( 5 ) 西2 ( t ，s ，r ) g ( s ) p o ( s ) u ( s ) 圣：( t ，s ，r ) 一舞吣 卅；鬻蚧，r 件 t h e ne q ( 1 ) i so s c i l l a t o r y t h e o r e m2 1 4 l e ta s s u m p t i o n s ( h 2 ) 一( 月1 ) a n d ( 。) h o i d ，。0 ) g 1 ( ( o ，o 。) ；( o ，l ”，西( ，s ，r ) b ed e i i n e db y ( 2 ) i ff o re v e r yr 如，w eh a e t i 絮p z 2 卜，叩m 掘一阻s 川书腆 r ) 2 ) d t h e ne q ( 1 ) i so s c i l l a t o r y t h e o r e m2 1 5l e ta s s u m p t i o n s ( 。) 一( 日j ) a n d ( 日6 ) h o l d o ( t ) e 1 ( t o ，。) ；( o ，1 ) ，e q ( 1 ) i so s c i l l a t o r yp r o v i d e dt h a tf o rs o m eq 丢， a n df o re v e r yr 如 - i 罂p 击协瑚严脚s 卜拟s ) + 4 p ( s ) 等群) d s ) 面赢丽 g 1 ( 扣。，。o ) ；( o ，1 】) ，e q ( 1 ) i s 。s c i l l a t 。r yp r 。v i d e dt h a tf o rs 。m e 。 ，柚d 甍嚣簿警+ a p ( s ) ! 二；：瓣) d s ) i i ；i ：j 褊。 a tt h es 枷et i m e ，w es t u d yt h ei n t e r v a lo s c i l l a t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( r o ) l ( 。( ) ，一( z ) ) ) 7 + 芦( t ) 2 ( 。( ) ，z ( t ) ) 一( t ) + g ( ) ，( 。( t ) ) = o ，t 如 o ，( 9 ) 堕皇塑蕉盔兰塑主堂焦垒壅 w h e r e ( a 1 ) r ( t ) e 1 ( t o ，o 。) ；( o ，。) ) ； ( a 2 ) t h ef u n c t i o ne ( t ) ，p ( ) ，口( t ) c r ( f t o ，。) ；r ) ( a 3 ) t h ef u n c t i o ng ：咒ri s c o n t i n u o u sa n d 目( z ) p of o rz 0 ； ( a 4 ) ，g 1 ( 冗；r ) a n dz ，0 ) 0 ( z o ) ； ( a 5 ) t h ef u n c t i o n ，c 1 ( 兄；r ) i sc o n t i n u o u sa n d ，7 扛) j r of o rz o ； ( a 6 ) t h e f u n c t i o n ，g 1 ( r ；r ) i sc o n t i n u o u sa n d ，( 。) z k o of o r z o w es t a t et h em a l nr e s u l t sa s1 0 l l o w s ： t h e o r e m2 3 1l e ta s s u m p t i o n s ( a 1 ) 一( a 5 ) h o l d s u p p o s e 七h a tf o ra n y 丁t o ，t h e r ee x l s tts5 l t 1ss 2 叫1 9 ) f o ri = 1 ，2 ，t h e ne v e r ys o l u t i o no f ( 1 8 ) i so s c i l l a t o r y r j e m a r k ： i fp 三o ，( 石) 三l ，w ec a ng e tt h et h e o r e mi nw o n g 【3 2 t h e o r e m2 3 2l e ta s s u m p t i o n s ( a 1 ) 一( a 4 ) a n d ( a 6 ) h 0 1 d s u p p o s e t h a tf o ra n yr t o ，t h e r ee x i s t 丁茎s l oi sa ne v e n t u a l l yp 0 8 i t i 、，ef h n c t i o n ，丁( t ) i s ap o s i t i v ec o n t i n u o u s l yd i f 糙r e n t i a b l ef u n c t i o n o n 【t o ，) s u c h t h a tr ( t ) 曼f ，r ( t ) o ，t o ，1 i m 。r ( t ) = 。， e ( ( 一。，+ o o ) ，( 一。，+ 。) ) ，9 c ( ( 一o 。，+ 。) ； o ，。) ) ，( z ) 。兰耳 o ，9 ( z ) g of o rz o ，w h e r eka n dc a r ec o n s t a n t s w eo b t a i n e dt h ef o l l o w i n gr e s u l t so fe q ( 2 1 ) ： t h e o r e m3 1 1a s s u m e 也a tt h e r ee x i s t sap o s i t i v e ，n o n d e c r e a s i n gf u n c t i o np ( t ) g 1 ( ，。o ) ) s u c ht h a tf o r8 0 m e 日xa n df o re a c hs u 瓶c i e n t i y l a r g e 蜀如，t h e r ee 妇s ti n c r e a s i n gd i v e r g e n ts e q u e n c eo fp o s i t i v en u m b e r s o 。) ， 6 。) ， ) w i t h 蜀茎 c n 6 。s u c ht h a t 杀可e 耶，训脚( s ) 如+ 取南。“眠班e 小州s + 赤f 竺坐等魁 ( 2 2 ) t h e ne q ( 2 1 ) i so s c i l l a t o r y t h e o r e m3 1 2a s s u m et h a tf o re a c hs u m c i e n t l yl a r g e 丁。t h e r e e x i s tn ，6 兄s u c ht h a t 丁 1 ，t h e f o l l o w i n gt w oi n e q u a l i t i e sh o l d ： 1 1 罂p 击 踯) 一硎) 】1 k e g ( s ) 者与 ( 2 4 ) 1r #、2 l ，絮p 嘉z 。吲牡那胪洲s ) d 毛 ( 2 5 ) a tt h es a m et i m e ，w es t u d yt h ei n t e r v a lo s c i l l a t i o no fa n o t h e rk i n do f s e c o n do r d e rn o n i l n e a rd e i a yd i h 色r e n t i a le q u a t i o n s ( r ) 妒( 9 ( t ) ) 可( ) ) + q ( 亡) ，皓( r 0 ) ) ) = o ，t t o o ，( 2 6 ) w h e r e ( i ) r ( ) g ( 【o ，。) ，兄+ ) ； ( i i ) q e ( 【t o ，。) ) ，q ( ) o ； ( 量i i ) ，e 1 ( r ，r ) a n df ，( ) of o r ”o ； ( i v ) 妒g ( 兄，兄) a n d 妒( g ) o f o r o ； ( v ) r ( t ) i sap o s i t i v ec o n t i n u o u s l yd i f f 毛r e n t i a lf u n c t i o no n t o s u c ht h a tr 7 ( t ) 0f o rt t oa n d1 i m o 。r ( ) = ，7 - ( ) o ； ( 耽) 函数，c | 1 ( 兄，兄) 连续，且对于z o ，( 。) 耳 o ； 第一章绪论 ( 风)函数，e 1 ( r ，r ) 连续，且对于z o ，( z ) z j o 我们主要是利用引进的函数庐( t ，s ，r ) ： ( 六毛r ) = 。一s ) 。( s r 尸，n ，p ；是常数，r 。 ( 1 2 ) 来研究( 1 1 ) 的振动性 随后，我们研究了一类更为普遍的具有阻尼项的二阶微分方程 ( r ( t ) l ( z ( t ) ，z 7 ( t ) ) ) 7 + p ( t ) 也( z ( t ) ，z 7 0 ) ) 茁( t ) + q ( t ) ，( z ( ) ) = o ，t 三t o o ， ( 1 、3 ) 的解的区间振动性其中 ( i ) 函数r ： t o ，。) _ ( o ，。) 是连续可微的，t o o ； ( i i ) p ： t o ，。) _ r 连续，对t t o ，t o o ，p ( t ) o ； ( i i i ) g ： t o ，。o ) _ r 连续，对t t o ，t o o ，口( t ) o ； ( i v ) _ 厂：月_ 兄连续且满足，( z ) 肛耳，其中k 为正常数，z o ； ( v ) 1 ：r 2 。兄2 连续可微且满足砰( 札，w ) 曼o u 女1 ( “， ) ，其中血为正常数， r o ，u 最 ( v i ) 2 ：r 2 _ + r 2 连续，且与口的符号相同，其中u r o ，u r ； ( v i i ) 对于。o ，c 1 【r ，r l 且z ，( z ) o ，存在，( 茁) ，z r 和 ，( 茁) p 0 0 最后，我们研究了一类同时具有阻尼项和强迫项的二阶微分方程 ( r ( t ) z ( ) ) 7 + p ( ) z 7 0 ) + q ( t ) ，( z ( t ) ) 9 ( 茁( t ) ) = e ( t ) ，t2t o ( 1 4 ) 解的区间振动性，其中 ( a ) r ( ) e 1 ( 。o ) j ( o ，。) ) ； ( 也) 函数e ( ) ，p ( t ) ，q ( z ) g ( t o ，o 。) ；r ) ； ( a 3 ) 函数g ：r - r 连续，9 ( z ) 肛 o ，其中茁o ； 曲阜师范大学硕士学位论文 ( a 4 ) ，g 1 ( r ；兄) ，z ，扛) o ( z o ) ； ( 凡) 函数，e 1 ( r ；r ) 连续，( 石) k o ，其中z o ； ( a 6 ) 函数，c 1 ( r ；妫连续，( z ) 。j ，0 o ，其中z o 。 得到了具有阻尼项的二阶微分方程振动性标准同时举例说明了其应用 在本章中，我们总是这样定义方程的解： 称茁：t 1 ) _ ( 一。，+ o 。) ，t l t o 是方程的解，如果z ( t ) 满足方程，其 中 t o ，t 1 ) 称方程的解z ( t ) 是振动的如果它有任意大的零点，否则称为非振动的 第三章中，我们首先研究了一类二阶非线性时滞微分方程 ( r ( t ) 。7 ( t ) ) + q ( t ) ，( z ( r ( t ) ) ) g ( z ( t ) ) = o ，t t 。 o ，( 1 5 ) 的区间振动性，其中q ( t ) 是t o o 上的正连续函数，r o 是一个始终 为的正函数，1 - ( t ) ，o 。) 是正连续微分函数使得7 - ( ) so ，r 讹) o ，t t o ，1 i m t _ + 。f ( t ) = 。，e ( ( 一o 。，+ 。) ，( 一o 。，+ ) ) ，9 e ( ( 一。，+ o o ) ；【o o 。) ) ，( z ) 肛k o ，9 ( z ) 芝g o ，其中z o ，k 和c 均为常数， 然后又研究了二阶非线性时滞微分方程 p ( t ) 妒b ( t ) ) ( t ) ) + q o ) ，( ( 丁0 ) ) ) = o ，2 如o ，( 1 6 ) 的区间振动性，其中 ( i ) r ( t ) e ( t o ，o 。) ，r + ) ； ( i i ) g g ( p 。，o 。) ) ，g ( f ) 之o ； ( i i i ) ，e 1 ( 兄，r ) ，可，( g ) o ，其中o ； ( i v ) 妒c ( r ，r ) ，妒( 可) o ，其中f o ； ( v )r ( ) 。) ，是正的连续微分函数使得7 也) o ，其中2t 。， l i m t _ 。7 - ( t ) = o o ，r ( f ) o ； ( 风j 函数，口1 ( r ，五) 连续，当z 0 时，( z ) 三盯 o ； ( 风) 函数，伊( r ，兄) 连续，当。o 时，( z ) 肛 o 称z ：岛) _ ( 一o 。，+ 。) ：t l 三如是方程( 2 1 1 ) 的解，如果z ( t ) 满足 方程( 2 1 1 ) ，其中t ，如) 称方程( 2 1 1 ) 的解z ( c ) 是振动的如果它有任意大的零点，否则称为非振 动的 方程( 2 ，11 ) 和它的特殊形式 方程( 2 11 ) 和它的特殊形式 z ”+ 叮( t ) ，( z ) = 0 ，t t o 卫“+ q ( z ) 。= 0 ， t 芒0 5 第二章二阶具有阻尼项微分方程解的振动性 。”+ p ( t ) z 7 + 口( t ) ，( z ) = o ，t2t o 的振动和非振动准则已经被许多学者 1 9 研究过，这些准则中有许多都包含 系数的积分，而且这些结果都是以l i ms u p ：- + 。 = 十。的形式给出在本文 中，我们给出了一些新的振动准则，形式变为l i m s u p h o 。 】 常数 首先，我们定义一个新的函数圣( t ，s ，r ) ： 1 蕾( ，s ，r ) = ( t s ) 。( s r ) 4 ，q ，卢 去是常数，r t o( 2 12 ) o 2 1 2 主要结果 当，( z ) 单调时，我们可以得到以下结论： 定理2 1 1 假设条件( 皿) 一( 魄) 成立，圣( t ，s ，r ) 如( 2 1 2 ) 中定义 若存在一个正的，非减的函数u g 1 ( 。) ) 使得对任意r t o z i 鬻p z 。似) 毗 ) g ( 咖一掣卜， ) 一器皑 ) + ；器叩，州2 卜。， ， 则方程( 2 1 1 ) 是振动的 证明： 若不然，方程( 21 1 ) 是非振动的，贝i 对于充分大的t ，z ( ) o ，t r 珀令 u 一。心) 蒜舵妣 则u ( t ) 满足r i c c a t i 方程 协) + 器u 2 + 鬻坤) 州m m 圳卜鬻螂) _ 0 吲o ( 2 1 4 ) 6 曲阜师范大学硕士学位论文 u ) + 志以讣嚣婶m 鳓沪器婶) ； 是常数，r t o ，从而使得所得结论与前人不同 定理2 1 - 1 + 假设条件( 马) 一( 风) 成立，o ( ) g 1 ( o 。) ；( o ，1 ) ，垂( f ，s ，r ) 如( 2 ，1 2 ) 中定义若对于任意r o 1 1 霉8 u p 西2 ( ，s ，r ) g ( 5 ) p 一去雕( t ，s ，r ) 扣( s ) 西( ，s ，r ) 】2 o t _ o 。j r nz 。 则方程( 2 1 ，1 ) 是振动的 证明： 与定理2 1 1 的证明相似，选择 ( t ) 三1 即可 以下的几个定理均可以由定理2 1 1 。推出 定理2 l 2 假设条件( 爿2 ) 一( 月5 ) 成立，n ( t ) c 1 ( 【t o ，。) ；( o ，1 】) ，则方 程( 2 1 1 ) 是振动的如果对于o ，任意的r 如 ，；篇p 南 z ( t 叫2 ( s _ r ) 2 。阳s ) p 一；s ) 州s ，等蒜等) h 两赢莉 证明：在定理2 - 1 1 中令圣( t ，s ，r ) = ( f s ) ( s r ) 。，n 若不然，方程( 2 1 1 ) 是非振动的，则对于充分大的t ，z ( t ) 0 ，其中 r “ 8 第二章二阶具有阻尼项微分方程解的振动性 m ) 等瑞等) 两靠丽 与假设矛盾，故结论成立证毕 定理2 1 3 假设条件( 上如) 一( 凰) 成立，o ( t ) c 1 ( ，。) ；( o ，1 ) ，则方 程( 2 1 1 ) 是振动的如果对于n ，任意的r 如 t i 絮p 南 ，( s - 炉( t - s ) 2 “b 咖；( p 2 ( s ) 制s ) 常辫) d s ) 面舔厕 证明：在定理2 1 1 中令西( t ，s ir ) = ( 一s ) 。( s r ) ，。 5 若不然，方程( 2 1 ，1 ) 是振动的，则对于充分大的t ，z ( t ) o ，其中t t 之如 与定理2 1 2 的证明相似，可以得到 fc 一一严陋，p 一洳s 小，警幕等) 卜 p t t 艮一s ) 8 一o o s ) ”1 ( s 一，) 2 玉 j r 。 2 面蒜( 卜t ) 2 0 + 1 则有 t i 罂p 南 肚_ s ) 2c 卜t 严b 咖一扣 州s ) 警瓣) d s ) 面靠丽， 与假设矛盾，故结论成立证毕 当，( 。) 不单调时，我们可以得到如下定理： 1 0 妒 一p 厂厶南 p 躲 到 得 曲阜师范大学硕士学位论文 定理2 1 4 假设条件( 皿) 一( 凰) 和( 凰) 成立，垂( t ，s ，r ) 如( 21 2 ) 中 定义若存在一个正的，非减的函数口e 1 ( ，。) ) 使得对任意的r t o 有 1 i 熙9 ， ”( s ) 垂2 ( 如，r ) q ( s ) 凰卢 畦器叩焉叫2 ) d s 。 器吣，r ) 则方程( 2 1 1 ) 是振动的 证明： 若不然，方程( 2 1 1 ) 是非振动的，则对任意大的t ，。( ) o ，其 中t t t o 定义 u _ 0 ( 咖( f ) 鬻，t 独 则u ( t ) 满足r i c