勾股定理的逆定理.doc

勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理(学习目标)1. 掌握勾股定理的逆定理及其应用理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系2. 能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.3. 能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.(要点梳理)(高清课堂 勾股定理逆定理 知识要点)要点一、勾股定理的逆定理如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.要点二、如何判定一个三角形是否是直角三角形（1） 首先确定最大边（如）.（2） 验证与是否具有相等关系.若，则ABC是C=90的直角三角形；若，则ABC不是直角三角形.要点诠释：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边.要点三、互逆命题如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为互逆命题.如果把其中一个叫原命题，则另一个叫做它的逆命题.要点诠释：原命题正确，逆命题未必正确；原命题不正确，其逆命题也不一定错误；正确的命题我们称为真命题，错误的命题我们称它为假命题.要点四、勾股数满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： 3、4、5； 5、12、13；8、15、17；7、24、25；9、40、41如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.要点诠释：（1）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （2）（是自然数）是直角三角形的三条边长； （3） （是自然数）是直角三角形的三条边长；(典型例题)类型一、原命题与逆命题1、写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）同位角相等，两直角平行； （2）如果，那么；（3）等腰三角形两底角相等； （4）全等三角形的对应角相等 （5）对顶角相等（6）线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等(思路点拨)写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将其交换位置，判断一个命题为真命题要经过证明，是假命题只需举出反例说明即可(答案与解析)解：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等，它是真命题（2）逆命题是：如果，那么，它是假命题（3）逆命题是：有两个角相等的三角形是等腰三角形，它是真命题（4）逆命题是：对应角相等的两个三角形全等，它是假命题（5）逆命题是：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，它是假命题（6）逆命题是：到线段两个端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上，它是真命题(总结升华)写一个命题的逆命题的关键是分清它的题设和结论，然后将题设和结论交换位置，写出它的逆命题，可以借助“如果那么”分清题设和结论每一个命题都有逆命题，其中有真命题，也有假命题举一反三：(变式)下列定理中，有逆定理的个数是（ ）有两边相等的三角形是等腰三角形；若三角形三边满足，则该三角形是直角三角形；全等三角形对应角相等；若，则A1个 B2个 C3个 D4个(答案)B；提示：的逆命题是：等腰三角形有两边相等，是真命题；的逆命题是：若三角形是直角三角形，则三边满足（为斜边）；但对应角相等的两个三角形不一定全等；若，与不一定相等，所以、的逆命题是假命题，不可能是定理类型二、勾股定理逆定理的应用2、如图所示，四边形ABCD中，ABAD，AB2，AD，CD3，BC5，求ADC的度数(答案与解析)解： ABAD， A90，在RtABD中， BD4， ，可知ADB30，在BDC中， ， BDC90， ADCADB+BDC30+90120(总结升华)利用勾股定理的逆定理时，条件是三角形的三边长，结论是直角三角形，即由边的条件得到角的结论，所以在几何题中需要进行边角的转换时要联想勾股定理的逆定理 举一反三：(变式1)ABC三边满足，则ABC是（ ）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形(答案)D；提示：由题意，因为，所以ABC为直角三角形.(变式2)如图所示，在ABC中，已知ACB90，ACBC，P是ABC内一点，且PA3，PB1，PCCD2，CDCP，求BPC的度数(答案)解：连接BD CDCP，且CDCP2， CPD为等腰直角三角形，即CPD45 ACP+BCPBCP+BCD90， ACPBCD CACB， CAPCBD(SAS)， DBPA3在RtCPD中，又 PB1，则 ， ， DPB为直角三角形，且DPB90， CPBCPD+DPB45+901353、如图所示，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点B，与轴交于点A，直线与轴交于点C，同时也过点A请判断两直线有怎样的位置关系，并说明理由(思路点拨)判断两直线的位置关系，可转化为判断ABC的形状要判断ABC的形状，需先求出其三边的长，而由直线的解析式易求出线段AO，BO，CO的长，再根据勾股定理可求得AB，AC的长(答案与解析)解： 直线与轴交于点B， 当时， 点B的坐标为(-1，0) 直线与轴交于点A，, 当时， 点A的坐标为(0，3) AO3，BO1在RtABO中，由勾股定理，得 直线与轴交于点C， 当0时，9， 点C的坐标为(9，0)在RtACO中，由勾股定理，得又 BCBO+CO10， ， ABC为直角三角形， ABAC(总结升华)在平面直角坐标系内判断一个三角形的形状，可考虑勾股定理的逆定理另外，在平面直角坐标系中，只要知道两点的坐标，便可求出线段的长度类型三、勾股定理逆定理的实际应用4、如图所示，MN以左为我国领海，以右为公海，上午9时50分我国缉私艇A发现在其正东方向有一走私艇C并以每小时13海里的速度偷偷向我国领海开来，便立即通知距其5海里，并在MN线上巡逻的缉私艇B密切注意，并告知A和C两艇的距离是13海里，缉私艇B测得C与其距离为12海里，若走私艇C的速度不变，最早在什么时间进入我国海域？(答案与解析)解： ， ABC为直角三角形 ABC90又BDAC，可设CD， 得，解得 0.85(h)51(分)所以走私艇最早在10时41分进入我国领海(总结升华)（1）本题用勾股定理作相等关系列方程解决问题，（2）用勾股定理的逆定理判定直角三角形，为勾股定理的运用提供了条件(巩固练习)一.选择题1.（2012广西）已知三组数据：2，3，4；3，4，5；1，2分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（）A B C D2. 下列三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三个内角之比为561 B. 一边上的中线等于这一边的一半C.三边之长为20、21、29 D. 三边之比为1.5 : 2 : 3 3.列命题中，不正确的是（ ）A. 三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形；B. 三边之比为1: :2的三角形是直角三角形；C. 三个角的度数之比为1:2:2的三角形是直角三角形；D. 三边之比为:2的三角形是直角三角形.4. 如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）ACD、EF、GH BAB、EF、GH CAB、CF、EF DGH、AB、CD5五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）6. 为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高，下列说法：能组成一个三角形 能组成三角形能组成直角三角形 能组成直角三角形其中正确结论的个数是（ ）A1 B2 C3 D4二.填空题7若ABC中，则B_.8如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC是_三角形9若一个三角形的三边长分别为1、8(其中为正整数)，则以、为边的三角形的面积为_10ABC的两边分别为5，12，另一边为奇数，且是3的倍数，则应为_，此三角形为_11有两根木条，长分别为60和80，现再截一根木条做一个钝角三角形，则第三根木条（钝角所对的边）长度的取值范围_.12. 如果线段能组成一个直角三角形，那么_组成直角三角形.(“能”或“不能”).三.解答题13已知是ABC的三边，且，试判断三角形的形状14观察下列各式：，你有没有发现其中的规律?请用含的代数式表示此规律并证明，再根据规律写出接下来的式子15.在等边ABC内有一点P，已知PA=3，PB=4，PC=5.现将APB绕A点逆时针旋转60，使P点到达Q点，连PQ，猜想PQC的形状，并论证你的猜想.(答案与解析)一.选择题1.(答案)D；(解析)根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断2.(答案)D；(解析)D选项不满足勾股定理的逆定理.3.(答案)C；(解析)度数之比为1:2:2，则三角形内角分别为36：72：724.(答案)B；(解析)，所以这三条线段能构成直角三角形.5.(答案)C；(解析).6.(答案)C；(解析)因为，两边之和等于第三边，故不能组成一个三角形，错误；因为，所以能组成三角形，正确；因为，所以，即，正确；因为，所以正确.二.填空题7(答案)90；(解析)由题意，所以B=90.8(答案)直角；(解析)=13，=52，=65，所以.9.(答案)24；(解析)79，8 10(答案)13；直角三角形；(解析)717.11.(答案)100140；(解析)因为60，80,100构成直角三角形，则钝角三角形的最长边应该大于1