（计算机应用技术专业论文）基于混合方法的柔性材料建模的研究与实现.pdf

摘要 摘要 i 柔性材料的大量应用，以及虚拟现实技术的蓬勃发展，迫切要求我们能对柔 性物体，特别是布料等，和人紧密相关的柔性物体，在计算机上进行模拟。服装 加工前就知道着装效果，对服装领域有着极为重要的作用。模拟穿着衣服的人以 及放在台子上的衣料，并且将它和计算机辅助设计联系起来，已经得到了越来越多 的研究a 本文通过对柔性材料的建模及算法的研究，为人体模型及人体着装的进 一步研究做出了积极而有效的贡献，得到了陕西省自然科学基金( 0 0 0 x 0 0 2 ) 的支 持。 布料模型通常分为三种( 1 ) 几何模型( 2 ) 物理模型( 3 ) 混合模型。几何模型具有建 模速度快的优点，但是不能产生精确的动态效果。物理模型可得到精确的动态效 果，但比较耗时。目前的混合模型可以在几何和物理模型的基础上，在较短时间 内达到动态的建模效果，但没有考虑到各个运动状态的连续型。因此，本文针对 上述问题，从布料的组成，编织结构，受力情况，环境作用出发，充分考虑到布 料的几何、物理( 其中包括受力，能量) 特性，并在此基础上对放置在桌面上的布料 进行受力分析，运动分析、和能量分析。在此基础上进行实验，建模，并提出了 一种自动的三角网格剖分算法，以及新的冲突检测算法。通过这项工作，基本解 决了上述模型实时性差的问题。在微机上实现了对桌布的动态模拟，减少了运算 时阳j 。达到了动念模拟的精确性和实时性的统一。 关键词：模拟实弦，柔& 7 拟 4 刊 a b s t r a c t a b s t r a c t w i t ht h es l a t h e ra p p l i c a t i o no ff l e x i b l eo b j e c t ，a n dt h ep r o s p e r o u sd e v e l o p m e n to f t e c h n i q u eo fv i r t u a lr e a l i t y , i ti si m p o r t a n tt om o d e l i n gf o rt h ef l e x i b l eo b j e c to nt h e c o m p u t e r s ，e s p e c i a l l yt h ec l o t ht h a th a sc l o s er e l a t i o nw i t hp e o p l e i tw o u l dh a v eg r e a t e f f e c tf o rt h ec l o t h i n gf i e l di fw ek n o wt h ea p p e a r a n c eb e f o r et h ec l o t hw a sm a d e s o ，i t h a sp r o f o u n da n dl a s t i n gm e a n i n gf o rf l e x i b l ea n d c l o t h i n gi n d u s t r yt om o l d i n gt h ec l o t h p u t t e do nt h ep e o p l eo ro n t h ed e s kb yc o m p u t e r s t h i sp a p e rm a k e sg r e a tc o n t r i b u t i o n t ot h ef u r t h e rr e s e a r c ho ff l e x i b l eo b j e c t st h r o u g hm o d e l i n gt h ef l e x i b l em a t e r i a l t h em o d e lo f s i m u l a t i n gc l o t hu s u a l l yh a st h r e ek i n d s ( 1 ) g e o m e t r i cm o d e l ( 2 ) p h y s i c a lm o d e l ( 3 ) h y b r i dm o d e l t h eg e o m e t r i ch a st h ea d v a n t a g eo f f a s t e rm o d e l i n g ， b u ti th a r dt oa t t a i nt h ep r e c i s i o np a t t e mw h i c hi no r d e rt oa d dd y n a m i ce f f e c t t h e p h y s i c a lm o d e lc a ng e td y n a m i ce f f e c t ，b u ti t w o u l dc o n s u m eg r e a tt i m e t h ep r e s e n t h y b r i dm o d e l c o u l da t t a i nt h ed y n a m i ce f f e c ti ns h o r t e rt i m e ，b u ti td o e sn o tc o n s i d e rt h e s e r i e so fd i f f e r e n tm o t i v es t a t e s t os o l v et h ea b o v ep r o b l e m s ，t h i sp a p e rs t a t e df r o mt h e c o m p o s i t e s ，f a b r i c i tc o n s i d e r s t h ep r o p e r t i e ss u c ha sg e o m e t r i c ，p h y s i c a la n de n e r g yo f t h ec l o t h ，s u f f i c i e n t l y o nt h i sb a s i s ，i ta n a l y s i s ，a n dm o d e lt h ec l o t ho nad e s k t h r o u g h t h i sw o r k ，t h ep r o b l e mo fr e a lt i m ei sm a i n l ys o l v e di nc o m p u t e r an e wa l g o r i t h mf o r t h ea d a p t i v et r i a n g u l a t i o no fc u r v e ds u r f a c ea n dan e w a l g o r i t h mf o rt h ec o l l i s i o n d e t e c t i n ga n dd e a l i n gw i t ha r ep u t t e df o r w a r d t h e s ea l g o r i t h m sd e c r e a s e t h ec o n s u m e d t i m ei nt r i a n g u l a t i o n - c u r v e ds u r f a c e a d v a n c eu n i o no f p r e c i s i o na n dt e a lt i m e k e y w o r d ：s i m u l a t i o n ，r e a lt i m e ，f l e x i b l e ，m o d e l 第一章绪论 第一章绪论 1 1 概述 近些年来，柔性材料已经大量应用于人们的同常生产、生活中。布料作为柔 性材料的一种，得到了广泛的应用，成为人们生产、生活中必不可少的一种重要 物质。随着服装工业、计算机技术、虚拟现实技术的飞速发展，三维动画的广泛 应用，使得传统的设计模式已经不能适应现代和未来的发展，需要有一种新设计模 式的出现。因此各种计算机辅助设计软件应运而生。为了使现代的设计软件更加 适合不同领域的需要，就必须对服装、布料进行各种不同的模型分析，建立。布 料等柔性物体本身比刚性物体难于建模，但随着在算法和图形硬件方面的提高， 现在已经可以在微机上对布料等柔性材料进行相对精确的建模。布料及其它柔性 材料的建模，已经在计算机图形、图像领域得到了相当的重视，必将对社会的发 展产生深远的影响。 1 1 1 布料模拟的基本特点 目前，要给予布料建模方法的一个统一描述是非常困难的，这种困难是由建 模的方式、特点，以及建模的环境决定的。从布料的运动来考虑，它作为一种柔 性材料，不仅受到像刚性物体一样的重力、阻力、摩擦力、弹力等作用，而且由 于自身的特性，例如：黏滞性、易变形性、运动的不确定性，都使得柔性材料比 刚性材料更难于进行建模。对于布料本身来说，不同布料间的区别很大。呢料相 列+ 于丝织品就具有较大的密度，较小的透风性。因此相对就比较容易进行建模。 从和布料相互作用的环境来看，不仅存在着布料和桌椅等刚性物体的相互作用， 还存在着布料和布料之间、布料和人体之间以及柔性物体与柔性物体之间的相互 作用。例如，当布料受到风吹动时，它就产生相应的运动，该运动还受到风在布 料表面的作用力、布料本身以及布料所处环境的影响。例如，当一个人穿着一件 宽松衣服运动时，衣服所产生的褶皱间会发生相互冲突碰撞，这些冲突碰撞都受 到环境的影响。这都加大了对布料进行建模的难度。 由于布料的本身特点，传统的对运动状态的获取方法不能对布料的运动模拟 发挥作用。传统的对刚体运动的捕获是用一些传感器安置在物体的一些特征点上， 通过从传感器得到的数据来得到物体的运动。对于布料来说，如果希望得到布料 运动的逼真效果，除了对传感器本身的精密性、细微程度及大小要求很高外，对 传感器数量的要求也是不可想象的，而数量的增加会大大的损害布料的本身特点。 !基于混合方法的柔性材料建模的研究与实现 针对不同应用领域的特点，模拟方法也随之不同。 1 1 2 布料建模的基本方法 针对布料的特点和不同的模拟目的，对布料的建模方法可以归纳成三种：几 何方法、物理方法和混合方法。 几何方法不考虑布料的物理特性。集中于考虑外观，将布料的形态特别是折 痕和皱痕，通过几何方程表现出来，几何方法要求用户的介入和参与。目前主要 是通过将布料表示成由点组成的网格，通过在悬挂点和约束点之间放置悬链线，并 不断调整悬链线的位置来模仿布料的大致几何形态。然后根据实际需要( 见第2 章) ，通过对悬链线和约束点之间构成的三角形的不断细分，达到所要求的效果。 物理方法主要考虑布料的质量、摩擦系数和弹性系数等物理特征。将布料表 示成三角网格或者是矩形网格。布料的质量均匀分布在网格的交叉点( 结点) 上。 布料上每点的受力和能量通过与之互相作用的相邻点的状态来计算。物理方法 主要用于得到布料、服装等柔性物体的运动状态。由于模拟的相似程度不同，具 体的实现方法也不尽相同( 见第3 章) 。 在实际采用物理方法进行模拟的过程中，布料的运动状态是通过对各个网格 结点的受力、运动方程表示出来的。对方程进行求解，得到各点的位置、线速度、 线加速度、角速度，以及角加速度等。因此虽然能够得到布料的运动状态，但由 于网格结点的数量较大，相应的需要求解的方程数量也就较多，这就造成计算时 问冗长，实时性较差。为了克服这一不足之处，r u d o m i n i i 】、k u n i i 【2 j 、和t a i l l e f e r l 3 】 提出了混合方法模拟柔性材料的理论基础。混合方法将几何方法、物理方法结合 起来，先用几何方法得到布料或服装的初始状态、最后状态及中间的一些状态， 然后采用物理方法进行分析得到不同阶段的运动状态。由于已经知道中间的一些 状态，方程增加了约束，求解的时间显著减少。 随着计算机运算速度的不断提高，图形硬件的日新月异，各种算法的不断提 出，对布料等柔性物体进行模拟的技术已经得到了迅猛发展，但实际的建模方法 主要是上述的几种方法。 1 2柔性物体模拟的发展现状 对布料等柔性进行模拟的历史并不长，二十年以前的动态模拟都是针对刚性 材料的。近些年来，由于计算机这一学科在软，硬件方面的巨大进步，使得对柔 性材料进行模拟成为可能。 目前对柔性材料的模拟包括：对布料的模拟，如飘扬的旗帜，桌布；对服装 第一章绪论 的模拟，如服装模特的着装；以及对人体这一特殊柔性物质的模拟，如行走或跑 动中的人体、面部五官的变化等。以下总结了不同研究小组在不同领域的工作。 为了提供一个可以迅速产生服装图形、图像的动画工具，n g l 4 】 5 1 在几何建模 的基础上提出了一种建模方法，它将人体的皮肤层及其上面覆盖的服装层紧密结 合起来。这两层具有一系列截面，每一层截面上设置有相同的参考点。当人体运 动时，皮肤要产生相应变形，带动皮肤层上的参考点移动。通过皮肤层上的参考 点，可以计算出服装层参考点的相对位置。从而得到运动时的着装效果。 f e y n m a n 一1 运用物理建模方法对拉 图1 1 布料的阿格表示 伸的布料进行模拟。用二维的网格表示 三维空间的布料( 图1 1 所示) 。注意到 物理学中关于物体稳定时的状态特性： 即当物体达到平衡时它所具有的能量处 于最小。f e y n m a n 运用弹性原理将每一 网格结点的能量分解成：弹性能量、弯 曲能量、和重力势能。每一网格结点的能量和它周围的八个点相关。通过运用梯 度法得到每一网格结点具有最小能量时的位置，即布料的平衡状态。 几何方法也有自身的局限性，即没有把柔性材料的运动考虑进去。k u n i i 7 1 提 出了一种混合方法。这种方法将布料表示成相互问具有弹力的网格( 见图1 2 a 所 示) 。同时定义了弹力势能，弯曲势能这两种能量( 见图1 2 b ，图1 2c 所示) 。 圈菡书蛳8 布料的形状是通过梯度法得到能量的最小值而描绘出的。随后，将这些得到的 特性( 的位置、特征类型以及特征点的等高线) 作为模拟的初始条件。然后，把 得到的位于布料表面的点的特性进行归类，最后在这些点问构造褶皱表点面。用 一个正弦曲线建立这个表面： 邝) ：x s i n ( 竿s ) ( 1 1 1 ) l 其中，x 是常量，不同质地的布料x 不同，五是弯曲的长度，s 是长度参数( 0 5 s 茎旯) r ( s 、是点s 的垂直位移。当褶皱增加时，能量最小原理需要再一次得到运用。 下面给出一个表格( 表1 1 ) ，可以通过它来了解柔性材料建模的发展、分类和 基于混合方法的柔性材料建模的研究与实现 特点。 表1 1 柔性材料建模的分类比较 建模方法方法提出者应用的技术计算时间参数 儿何方法 a g u i 多边形法快弯曲的角度、极限 h i n d s三维交互、插补快和物体问的j l n 余量 n g 映射快变化的参数 物理方法f e y n m a n能量最小化方快弹性、弯曲、重力系 法、多网格法数 1 3 r e e n能量最小化方 较慢阻尼力、弹性、弯曲、 法、牛顿动力学重力系数 定理 能量最小化方弯曲、剪切、拉仲、 o k a b e法、弹性力学一般重力系数 牛顿动力学定质量、刚度、阻尼、 p r o v o t理、欧拉公式较慢粘滞系数 混合方法r u d o m i n凸壳、变形模型一般物体的形状、变形参 数 k u n i i能量最小化方一般质量、刚度、特征点 法、曲线放置的位置 1 。3 柔性物体模拟存在的问题 通过对柔性材料建模方法及现状的了解，可以看出不同方法的优缺点。几何 方法建模速度快，但不能得到动态的建模效果。物理方法可以得到满意的动态效 果，但建模速度较慢。混合方法利用几何、物理方法的优点，具有既能得到动态 的建模效果，建模速度又相对较快。但它和物理方法一样也具有一定的实现难度。 由于物理方法的位置、速度、加速度等求解都是建立在牛顿动力学定律通过一组 欧拉方程进行的。方程的许多参数很难既快又准确的得到，这样就给建模带来了 一定的不确定性。 获得薄而差别细微的织物的运动状态，一直是纺织工程师和服装设计师们十 分渴望的一件事。实际上这已经超出了传统意义上的三维模拟技术。m a u r i z i o v e c h i o n e ( m o d a c a d 公司的首席执行官) 认为多边形和基于n u r b s ( 非均匀有理 b 样条曲线) 的建模技术倾向于生成整体上光滑的曲面，这些曲面并不适合像布料 等柔性材料。布料是一种无固定形状的表面，其形状和下面的物体结构相一致。 但又不象收缩性薄膜那样。因此它不适合于用传统的建模方法进行模拟。 布料是一种柔性材料，具有非线性的特点。大部分用到弹性原理进行建模的 物理方法或混合方法，只考虑布料的宏观特性，因此不能准确地描述布料。实际 第一章绪论 上表示布料的每一个纹理是相当困难，也是不现实的。服装制造和纺织工程师需 要对布料有一个精确的描述。而服装设计师和动画设计者则需要一个模型可以迅 速地得到结果。 如何得到一个可以满足两种需要的折中方法，是一个尚待解决的问题。 1 4 柔性物体模拟的发展方向 柔性材料建模的几何、物理、混合方法实际上都是针对不同的应用所提出的。 在现实中，需要一种能够在任何情况下对柔性材料进行模拟的统一模型，从悬挂 的布料、服装到包裹在复杂物体上的布料等进行模拟。目前的大部分方法在一种 情况下可能合适，但在同等条件下不能处理其它情况。这种局限性在现实生活中 给我们带来了极大的不便。 纺织工程师研究布料模型强调得到精确的模型和方法以便能够测量布料的属 性。布料的整体形状对于他们来说，并没有太大的意义。布料是一种复杂的物质， 精确、迅速地描述它还需要相当长时间的研究。目前在服装视觉方面，缺乏让服 装设计师输入他们要求的技术。建模方法应该能让服装设计师在设计过程中使他 们的思想得以在计算机屏幕上呈现出来。这样的话，服装制造周期将大大的减少。 所有这些都是今后需要解决的，并且由于布料这种物质的复杂性，需要不同领域 的研究者进行合作才能完成这一前景广阔的任务。 1 5 柔性物体模拟的背景 随着科学技术的不断提高，计算机的软件和硬件都得到了迅猛的发展和提高， 对布料的建模逐步地成为可能，并开始走出实验室。八十年代末，许多学者运用 几何、物理、混合三种技术对柔性物体进行了大量的研究。总体来说：几何技术 不考虑服装的物理特性，只采用相应的几何变形来模拟服装，其特点是运算速度 快，但难以描述服装的内在特性，模拟的效果比较差；物理技术对对服装进行三 角、网格或结点划分，然后对服装进行能量、受力分析，该方法能较真实地模拟 柔性物体的特性，但运算速度较慢；混合技术综合了几何技术和物理技术的优点， 通常采用几何技术确定服装的粗略外形，然后使用物理技术处理其结构。由于物 理技术不但能够反映柔性物体的外形特征，而且能对柔性物体的内部结构进行深 入分析，可得到比较真实的模拟效果，因此，在进一步的研究过程中，该技术逐 渐成为研究柔性物体的主流。著名学者c f e y n m a n l 8 l 、d t e r z o p o u l o s i 、d e b r e e n 【l o 等人先后提出了柔性物体的能量、力学等典型模型，奠定了人们运用物理技术对 柔性物体进行研究的模型基础。随着柔性材料的广泛应用和计算机业的迅猛发展， 基于混合方法的柔性材料建模的研究与实现 世界范围内关于对柔性材料进行建模的研究和开发也日益增多。就目前来说，国 内这一方面的研究还基本处于空白，鉴于这一形势，为了紧跟国际的发展，以及 陕西省的实际需要，陕西省将柔性材料的建模以及与之相关的服装的计算机辅助 设计这一专题的研究和产品开发下达到本课题组。 本文的工作就是围绕这一专题开展的。 1 6 本文的工作 本课题组现在处于开题阶段。本人的工作主要是通过对国外的相关问题和技 术及研究现状的学习和研究，在此基础上结合国内以及本课题组的实际情况，对 柔性材料进行分析和研究。本文主要完成了以下工作： ( 1 ) 对处于展台上的布料进行分析、研究，对原有的混合建模方法进行改进， 并建立模型。 ( 2 ) 对柔性材料模拟的难点问题三角剖分、冲突检测、自检测等问题做 了进一步研究。 ( 3 ) 提出一种新的三角网格自动剖分算法。 ( 4 ) 提出冲突检测和处理的新方法。 ( 5 ) 在微型计算机上实现模拟演示，对演示数据进行分析研究，并验证模型 的实际可行性。 其中，( 2 ) 、( 3 ) 、( 4 ) 是本文的工作重点部分。 通过对柔性材料建模及算法的研究，为人体模型及人体着装的进一步研究做 出了积极而有效的贡献，本文得到了陕西省自然科学基金( 0 0 0 x 0 0 2 ) 的支持。 第二章儿何模型的建立 第二章几何模型的建立 2 1 几何模型的理论基础 在计算机领域，计算机图形技术是一个重要的分支。随着计算机的大量普及， 以及应用的日益广泛。计算机图形技术也得到了迅猛的发展。装潢、建筑、 c a d c a m 、甚至于医学等方面都大量的应用到计算机图形学这一理论。 在柔性材料建模这一方面，尤其是几何模型的建立，和图形学理论有着紧密 的联系。三角网格的划分、曲面的平滑、曲线和曲面的消隐、光照模型的建立等 都是建立在计算机图形学理论基础之上的。 w e i l 】等人在计算机图形学理论基础之上，为柔性材料建模的几何方法提出 图2 i 布料的悬链线模拟 了自己的理论。w e i l 将几何学运用到计算机图形学 的服装可视化领域。他将布料表示成一系列的网格 结点，并且通过在悬挂点或约束点之间放置悬链线 来模拟布料的大致形状( 如图2 1 所示) 。悬链线是 指一条悬挂着、有重量绳索的自然形状。它具有以 下形式： y = a c o s ( x a ) 壁匿霜 图2 2 曲面日勺阿格细分 其中，a 是比例因子，由于建模 材料的不同而不同。在这一阶段， w e i l 通过不断地放置悬链线描述 悬挂着的布料的大致形状。为了得 到更加精确的形状。w e i l 将由悬链 线形成的曲面用三角形网格进行 细分( 如图2 2 所示) 。新的悬链线将在这些进行细分的三角形之间放置。通过使 用样条曲线使布料的表面看起来更加光滑。为了增加折痕、皱纹等逼真效果，在 平滑曲面上设置非均匀有理b 样条曲线。 2 2 传统的三角网格剖分 由物体表面三维空间点集，通过三角划分的方法重新建立物体表面是计算几 何的一个基本问题，它实际上是在物体表面进行三角形剖分。目f j 在计算机三维 重建领域、计算机数字图像处理、复杂物体的模拟、动态模拟方面有着广泛的应 !基于混合方法的柔性材料建模的研究与实现 ， _ f 。 近年来，随着应用的不断增加，曲面三角网格生成算法不断涌现，大致可以 分为映射法和自动网格生成法两类。映射法是在参数域上利用平面网格生成技术 进行剖分，然后将参数域上的网格结点映射到实空间，并保持参数域上的网格结 点的连接关系从而得到曲面的三角剖分。 1 算法 现有算法的具体步骤：第一步：找到一个内环点p o 作为起点，生成起始边p o 图2 3 阿格生成示意图 p l 使得p op l 不和环边及约束边相交，且距离 最短( 如图2 3 所示) 。 第二步：以该边为基边向右扩展，找到一个可 见点p 2 ，使得p op 2 ，p op l 不和环边及约束 边相交，从而形成一个封闭的三角形区域。 第三步：以该三角形区域中的非环边，且未被 扩展过的s h e l l 边( 指当前形成的封闭三角形区 域的边界) 为基边，重复第二步，直至所有的 s h e l l 边都被处理完。此时三角形区域即为参数 的有效区域。在此过程中，要保证s h e l l 边生成的每个三角形都在平面的有效区域 内。 2 缺点 该方法将参数域上的网格结点映射到实空间，并保持参数域上网格结点的连 接关系，从而得到曲面的三角网格剖分。但它无法保证所生成的网格在空间的形 杰。 2 3 一种新的三角网格剖分方法 本文提出的算法对传统的映射法进行了改进，采用基于三角网格的自适应剖 分方法，根据柔性材料建模的具体特性，提出一种新的自动剖分算法，简化了数 据结构，使得映射法能处理较为复杂的三维平面。自适应割分算法通过相邻三角 形的法向量夹角来估算对应的曲面片的夹角，减少了计算量，从而提高了算法效 率，并使三角形网格密度随曲率均匀变化，最后，通过合并、删除冗余三角形进 行网格优化，保证了网格剖分的合理性。 1 定义 定义1 平面三角剖分：对于平面上给定的一个多边形连通区域内的点集，通 过连接两点增加边，用不重叠的三角划分原区域，并且满足下列条件( 1 ) 一( 6 ) ， 称为平面三角剖分。 第一二章几何模型的建立 ( 1 ) 三角形顶点是连通区域里的点。 ( 2 ) 任意三角形内不包括其它结点。 ( 3 ) 任意三角形两两不内交。 ( 4 ) 所有三角形区域都在有效区域内。 ( 5 ) 所有三角形区域的并集为有效区域。 ( 6 ) 每条约束边属于两个三角形，每条环边( 内外环) 属于且只属于 一个三角形。 条件( i ) ，( 2 ) ，( 3 ) ，( 5 ) 保证划分的正确性。条件( 4 ) ，( 6 ) 保证三角形剖 分的有效性，即满足约束条件。 定义2 带特征约束条件的三角剖分：在初始多边形( 需要进行剖分的部分) 连通区域内的点集中，加上若干约束条件( 如：多边形内存在的封闭环，即孔洞； 或由内点构成的互不相交的约束边等) ，称为带特征约束条件的三角剖分。 定义3 可见性：平面区域内，如果有a ，b 两点间的线段不被区域中的其它 边分割，则称a 对于b 是可见的l ”j 。 2 柔性材料三角剖分的特点 在对布料这种柔性材料进行建模时，首先要考虑的问题就是如何剖分布料这 种柔性曲面的问题。对布料进行剖分相对于其它物体有以下几个特点： 布料是一种柔性材料，在运动中每部分的位置都在改变，部分间的相对位置 也在不断地变化，其每一处的位置具有运动的不可知性。 对布料进行建模的过程中，布料上的弯曲和褶皱是由于光线的反射程度不同 而使人们感知的。反射光的强弱是由光线的入射角和曲面片的法向量夹角决 定的，央角越小则反射光线的强度越大。而褶皱和弯曲在视觉上的产生是由 于相邻曲面片的法向量之间存在夹角而造成的。如果相邻法向量的夹角过 大，则会在视觉效果上造成反射光的强弱反差太大，看起来不真实。因此判 定布料三角剖分是否合理的一个很重要指标就是：使相邻面片的法向量夹角 满足一定的精度要求( 法向量夹角越小，精度越高，本文中设定夹角不大于 2 0 度) 。 当布料悬置于空中时，没有一个可用来对布料形状进行逼近的固态物体。 3 步骤及算法 处于静态的布料的三角剖分 本文针对布料的特点，对布料进行剖分时，首先将布料在二维平面内进行参 数域的三角剖分。 塑基丁混合方法的柔性材料建模的研究与实现 口囫 ( 8 ，【b ， 图2 4 布料的平面剖分 将布料在平面上均匀剖分成正方形网格。网格的大小依据布料的尺寸和质 地而定( 如图2 4 ( a ) 所示) 。将每一网格结点的坐标值存入数组a 中。 沿对角线将f 方形网格进一步细分成三角形网格( 如图2 4 ( b ) 所示) 。将每一 个三角网格的坐标值按网格的排列顺序存入数组b 中。 在参数域中对布料进行三角网格剖分后，将参数域上的网格结点映射到实 空间，并保持参数域上网格结点的连接关系，从而得到曲面的三角网格剖 分。 当布料映射到三维空间后，布料处于不断的运动中直到达到平衡状态为止， 这时由于布料各结点的相对位置不断发生变化，布料运动前的结点划分将 不能很好的将布料的状态表达准确。这时需要对在原有的三角剖分基础上， 根据布料结点的相对变化，对布料进行不断的重新剖分。 处于运动状态三角网格的自适应剖分 自动网格生成法一般是采用基于四边形的细分方法【1 2 l 。在曲面上根据曲面的 弯曲度递归地将原曲面细分成小曲面片，直到曲面片的剖分满足精度要求为止。 然后再将四边形网格直接转化成三角网格。该方法能控制网格密度，其空间形态 较好，但如果相邻的网格差距太大，使得曲面网格间可能出现裂缝( 相邻网格相 互分离) 。 对参数域进行三角划分后，将结点映射到空间中，便得到了初始的曲面粗网 格。对粗网格进行自适应细分就是要进一步细分网格，使网格在一定的误差范围 内满足逼近精度要求。曲面网格的自适应细分分为细分标准和细分规则两部分， 在本文中细分标准用来控制细分过程；细分规则用来递归细分网格。 i 曲率标准 细分标准一般用曲面的最大曲率来表示，直接求解曲面上的最大曲率计算量 较大，本文为了更好的达到实时性的模拟效果，对曲率进行估算。根据估算的结 果求出所需要进行进一步剖分的三角网格。 i i 细分规则 生成曲面的初始三角形网格后，为了满足曲面的精度要求，需要对其生成的 每个三角形网格进行曲率检测。对不满足容许误差的三角形进行细分，并同时修 改相关三角形的邻接关系，直到所有三角形都满足容许误差要求为止。 具体的细分过程： 第二章几何模型的建立 将三角网格的三维坐标值依次存入数组c 中， 以每一个网格结点为对象对布料的运动进行分析，并 d 在每一时间间隔内计算相邻网格的小三角面片的法 向量n l 和n 2 ( 如图2 5 所示) 。 n ，= b cx b a( 2 1 ) 一 n ，= a d c d( 2 2 ) 图2 5 法向量示意图 2 b c = c ( x ，y ，z ) 一b ( x ，y ，z ) ( 2 3 ) 求得法向量n l 、n 2 后，求n l 、n 2 之问的夹角( 如图2 6 所示) ，如果 夹角中超过了最大允许的夹角u ，则进行插补，细分三角网格，直到满足夹角的 要求为止。 o ：蝴i n ( 幽) ( 2 4 ) i ，i ：f + l i ， k i 丽瓦= h ( x ) l ( y ) 1 ( z ) j ( 2 - 5 ) l n 2 ( x ) n 2 ( y ) n 2 ( z ) i 针对本算法的应用范围，不用考虑布料存在中间的孔洞这一问题。所有三角 形的顶点都在同一连通区域内，满足定义1 条件的第l 条。在三角形内不存在其 它结点，且三角形两两不内交，满足定义1 条件中的第2 、3 条。布料由三角形组 成，即所有剖分的三角形都处于布料中，满足定义1 条件中的第4 、5 条。对于每 条约束边来说，只属于两个三角形，满足定义1 条件的第6 条。因此，算法满足 定义1 。由于应用范围确定，定义2 、3 不用在本算法中考虑。由以上知道算法满 足定义要求。 5 算法的优点 在对曲面进行网格剖分的算法中，若直接采用映射法，则无法保证生成网格 的质量，用自适应网格直接对原曲面进行分割时，根据曲面的特征将曲面分割成 旦基于混合方法的柔性材料建模的研究与实现 一系列的可映射子区域，再用映射法对分割后的曲面进行网格划分。但处理复杂 的剪裁曲面时自动化程度低。如果用基于四边形的自动网格生成法直接对参数域 进行划分，则可能产生裂缝问题。 本文采用基于三角形的自适应网格生成法对映射法进行了改进，使之能处理 复杂的曲面，尤其适合动态曲面的网格剖分，提高了算法效率，并且根据相邻三 角形顶点的法矢量之间的夹角判断相邻曲面片的夹角的大小，并通过这种估算方 法和细分规则使网格密度随曲面的弯曲程度而相应变化，在保持曲面外观的情况 下，提高了网格的质量，减少了剖分时间，使模拟的实时性得到了保证。 经过对布料几何模型的建立，可以得到布料的初始状态。自适应三角剖分算 法的提出，对处于运动状态布料的表面，有了一个较好的处理方法。 第三章物理模型的建立 第三章物理模型的建立 由于本文是对处于运动中的布料进行建模。因此不但需要得到布料的初始状 态，还必须对布料在不同时刻的运动状态进行分析。这就需要通过对布料在不同 时间的受力、应力分析，对其建立物理模型。 3 1 物理模型的产生 基于物理模型的布料动态模拟，已经有超过二十年的历史。最开始， 纬向 图3 1 布料的结点表示 t e r z o p o u l o s 1 3 1 、f l e i s c h e r l l 4 1 为了正 确的刻画布料在变形时的表面特征， 用动力学原理和有限元方法来处理 这一问题。在这以后，c a r i g n a n ”】、 v o l i n o 16 1 、b r e e n 17 1 、e b e r h a r d t 1 8 j 等 都对这问题进行了深入的研究。物 理模型通常分为：基于能量的物理建 模技术、基于受力的物理建模技术两 类。它们的共同点是：将布料表示成 三角形或矩形网格，布料的质量均匀分布在网格结点处( 如图3 1 ( a ) 所示) 。一个 结点能量、受力的计算与其周围的其它相邻的结点相关( 如图3 1 ( b ) 所示) 。周围 结点的形式，由于建模具体技术的不同而不同。基于能量的技术通过一系列的方 程组，计算整块布料的能量，并且通过移动结点，使整块布料的能量达到最小， 以决定布料的形状。基于受力的物理模型通过将结点的受力表示成一系列的微分 方程，并且通过数值积分，得到这些结点在每一时刻的位置。一般情况下，基于能 量的物理模型用来进行静态模拟，而基于受力分析的物理模型用来产生动态的模 拟效果。 3 2 布料的受力分析 本文通过对布料的受力、应力分析，描述布料的运动状态，对其在每一问隔 内的状态进行较为细致的模拟。这一章主要论述对布料进行受力分析，得到布料 的运动状态。 ( 1 ) 整块布料的离散化 旦基于混合方法的柔性材料建模的研究与实现 为了对布料进行受力分析，一个首先需要解决的问题是：布料作为一整块材 料，如何将它离散化以便对其进行受力和运动分析。 根据现实中布料的内部结构特征( 如图3 1 所示) ，将布料表示成由经向纹理 和纬向纹理组成的网格。布料的质量均匀分布在这些网格的结点上。结点之间的 边表示布料的纹理本身。一块真实的布料在实际中的水平方向和垂直方向可能存 在结构上的差异。在纺织工业中，纹理的方向叫做经、纬。这些差异很容易用矩 形网格来表示。因为每一个结点有两个垂直方向、两个水平方向的相邻结点，这 些结点可以用不同的方式来处理。这里需要进行解释和说明的是并不是织物的每 一条纹理都用一条由两个结点相连的边来模拟。相反为了简化模型，和减少计算 量，每一条边都表示了一系列的纹理。 ( 2 ) 布料结点的受力分析 将布料离散化后，通过对其结点的受力分析，从而得到整块布料的受力情况。 根据牛顿第二定律： 屹，( f ，) + e 。( i ，j ) = m a ( i ，)( 3 - 1 ) 其中，m 是结点p ( i j ) 的质量，由于布料质量是均匀分布的，而且建模的方式是将 向料的质量均匀分布到结点上，因此m = m n ，m 是布料的质量，其大小等于布 料的密度乘以尺寸。n 是网格结点的总数量； a ( i j ) 是结点p ( i j ) 的加速度； f 。x t ( i j ) 是结点p ( i j ) 受到的外力： e 。( i j ) 是结点e ( i j ) 受到的内力；( 如图3 2 所示) 可以看出布料受力的分类。 ： m 。f t i r f r ic t i o z 、 p m 川， f m l l 】m 。 r o u o n k 。c t i o 。 f e l s t i c i t 7 、t 、f f t c u e n r v s a i l t u e r e e l a e s l t i s c t i i t c y i t ， f , i s c o , i t r = = = 竹 结点的受力可以分成内力、外力两大类。其中内力包括 弹力； 名么 第三章物理模型的建立 黏性力； 其中，弹力包括： 拉伸造成的弹力； 剪切造成的弹力； 黏性力分为： 拉伸造成的黏性力； 弯曲造成的黏性力、剪切造成的黏性力； 结点受到的外力包括三种： 重力： 阻尼力； 冲突力： 风力包括空气的黏性力和空气的摩擦力。 1 内力分析 弹力 定义：由于结点间的距离偏离了正常距离( 包括经向和纬向的距离) ，一个结 点将被周围结点吸引或排斥，所产生的力称作弹力。 最初对结点产生影响的是布料纹理的收缩或扩张。其产生原因是：当存在方 向相反的力作用在布料上时，两个结点之间的长度偏离了j 下常距离。因此在建模 中首先确定布料的经向( 纵向) 距离( d w a r p ) 和纬向( 横向) 距离( d w e f i ) 。布 料的结点之间的弹力由虎克定律得到： r t e ( 兰- 1 ) “ ( 3 - 2 ) 其中，r t 是结点间拉伸后所受到的弹力； lp 只f 表示结点间的最短距离； d 椰，d 。的选择取决于结点之间的位置； k e 表示弹性系数，由于布料质地的不同而取值不同； n 为几何系数；当结点之间的距离增加的较大时则需要更大的几何系数； n 的取值符合虎克定律：当拉伸超过一定距离时，弹力随拉伸长度的增长成几何 增长，而在开始拉伸时仅仅是线性增长。为了简化计算，一般情况下，取值为n = 5 ，这样既能去掉过大的弹力，又能在较小的拉伸范围内有足够的拉伸空间。 剪切力 定义：一个结点p 如果和它的两个相邻结点p i ，pi + l 在受力情况下形成的角 度偏离了受力前的角度，那么p ，p 。+ l 将相对于p 移动，直到三点恢复原先的角 度为止，引起其角度恢复的力称为剪切力( 如图3 3 ( a ) 所示) 。 兰基丁混合方法的柔性材料建模的研究与实现 产生原因：在布料中，剪切力的产生是由于相交于一个结点的经向纹理和纬 向纹理之间的央角偏离了直角。布料产生的剪切力与布料受到的弹力不相关。因 为结点之问的长度并没有发生改变。 冷p 。 ( a ) p i + 1 留日，i 龠i + 1 ( b ) 图3 3 剪切力示意图 为了补偿剪切力，必须移动和p 结点相关的两个结点p 。、p ，+ 1 。在一般情况 下有两种方法可以进行选择。一种方法( 图3 _ 3 ( a ) 所示) 是：沿着向量口，b 移 动p 。、p ，使么p i pp 为直角，使用这种方法，p i 、p 、p h 始终处于由p 。 p p 形成的平面内。 另一种方法( 如图3 3 ( b ) 所示) 是：p 、p 沿着它们的连线相向而行。 在这种情况下，布料不会出现无法控制的情况，因为结点p i 、pm 始终在形成直 角的位置附近振荡。 因为在对布料的建模过程中是通过微小的时间间隔，用离散的方法表示出连 续的运动效果来，所以有必要寻找一种新方法，使得剪切角在经过一些时间间隔 后，恰好为直角。 本文根据实际情况，对于这个问题的处理采用一种新方法。沿着向量v 移动结 点使得经过若干时间间隔后，相交于此结点的经向纹理和纬向纹理之间的夹角恢 复成直角。根据剪切角的定义，向量y 的模r 决定于a ( 么p i p p h ) 偏离直角的程 度。 a = a r c o s 导丢善 ( 3 3 ) a | | b 、 。 r s = k s o ( 3 - 4 ) 其中，k s 是剪切系数，由材料本身决定。 图3 4 弯曲力示意图弯曲力 第二章物理模型的建立 定义：一个结点如果和它的两个位于同一直线，且分别位于它两侧的结点由 于受力后不共线，就会产生弯曲力( 如图3 4 所示) 。 产生原因：弯曲力的形成是由于结点被拉出由此结点和相邻结点所确定的平 面而产生的。如果一块前i 料被弯曲，它的表面将形成柱状表面。为了简化模型， 只考虑位置相对的结点( 如p 。、p + 2 ) ，因为邻接点不会展开成为一个平面。当p ， pp m , 1 8 0 0 时，由于布料的弯曲，将会产生一个冲量。取一个垂直于a p 。pp m 的 _ + 向量v 。 即v 口= 0 ( 3 - 5 ) 一一 v b = 0 ( 3 - 6 ) 通过上面两个公式可以确定向量的方向：一般情况下，向量大小的确定需要 利用三角函数，但是因为它和垂直于p 。p m 所在的直线的向量pp 的大小有关， 所以为了简化问题，认为结点之间的纹理长度保持不变( 在计算拉伸力的时候已 经考虑过这一问题) ，p 和p 、p ，、p 。+ 2 形成菱形，这样保证了对角线互相垂直。 令 _ + l ? 矿。= ipp ( 3 - 7 ) 则弯曲应力：r b = k bv( 3 - 8 ) 其中，k b 为弯曲系数，和材料有关。 2 外力分析 布料所受到的外力包括；重力、风力( 阻力) 、冲突力。一块布料上的自然褶 皱的产生是由于布料受到了像重力、风力、冲突力等的作用。例如运动的布料碰 到一个物体、人体以及布料在风中飘舞等。 重力 由于物体受到重力，而重力给物体一个冲量，其方向和重力方向相同。大小 等于速度的微分。即a _ d v d t 。 阻力 在每一时间间隔内，作用在每一个结点的冲量y 都在发生不停的变化。这种变 化是周围的结点和外力的作用的结果。冲量的大小和方向是作用在该结点上的所 有冲量的合成，作用在结点的上一个时刻的冲量也会对下一时刻的冲量产生影响。 某一结点的冲量方向的突然改变很有可能是该结点碰到了阻碍，这种影响会引起 长期效果。本文为了减少这种影响以便能减少计算量，通过给每一个冲量乘以阻 尼系数k d ，k d 的取值不仅取决于布料本身特性，而且取决于周围的环境，包括空 气阻尼等。当阻尼系数较大时，结点到达平衡状态的时间会很长，但它会直接到 基于混合方法的柔性材料建模的研究与实现 达平衡状态，而不会在平衡状态附近产生振荡。当阻尼系数较小时，结点将会在 平衡位置附近，以平衡位置为中心产生振荡。 冲突 在用物理方法对布料的运动进行模拟时会出现两种冲突：布料和其它刚体之 问的冲突；布料本身之间的冲突。在本文所研究的课题中，布料和刚体所接触的 部分为桌面，两者之间接触表面为光滑的平面，它们之间的冲突可以忽略不计。 因此只需考虑布料与布料之间的冲突。 3 3 冲突检测 本文，由于只考虑布料与布料之问的冲突，所以不对布料与刚体之间的冲突 进行分析。处理布料与布料之间的冲突相对于处理布料与刚体之间的冲突来说较 为困难。冲突检测特别是布料与布料之间的冲突检测，通常是进行布料模拟的瓶 颈，因为其中包含着许多几何测试，这些测试用于找出哪些单元发生了冲突。 在本文进行的布料模拟中，由于包