（基础数学专业论文）均值有界变差条件在fourier分析中的若干应用.pdf

一一删一炒黜 本人郑重声明：我恪守学术道德，崇尚严谨学风。所呈交的学位论文，是本人在导师 的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已明确注明和引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写过的作品及成果的内容。论文为本人亲自撰 写，我对所写的内容负责，并完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：匆涉 日期：勿年岁肖，；日 有关 大学 或扫 本学 学位论文作者签名： f t 期：切p 年弓 指导教 日期： 浙江理工大学硕士学位论文 摘要 基础数学包含三个分支：代数学、几何学和分析学。分析是三个分支中最后发展起 来的学科，是为了克服代数和几何的分离状态，将它们结合起来，用于描述运动的学 科，是现代数学的开端，是计算数学和应用数学的基础。 当人们开始研究分析学中的级数论时，发现对级数进行精确的计算几乎是不可能 的，但是级数，特别是能对函数空间构成基的级数具有计算上无可置疑、无可替代的 重要性，如众所周知，t a y l o r 级数、f o u r i e r 级数和小波在理论和实践中，在科学和技 术上对整体发展和应用产生过或依然正在产生着巨大的作用，其中，f o u r i e r 级数在工 程技术上的大量重要应用构成了现代技术的强大基础。 为了有效地对f o u r i e r 级数进行近似计算，首先必须研究其收敛性，这个课题有长 久的历史，从1 9 世纪起，研究f o u r i e r 级数及其由其构成的各种工具( 求和方法、算子 等) 的各种收敛性，形成了数学分析中一个吸引包括许多著名数学家在内的学者研究 的一条热烈但困难的主流。其中，在三角级数( f o u r i e r 级数) 一致收敛性和平均收敛性 问题中人们一直关, t , f o u d e r 系数的单调递减条件最终的推广，这类研究及相关讨论， 开始于英国c h a u n d y - j o u i f e l 9 1 6 年的工作 8 并1 1 y o u n 9 1 9 1 3 年的工作【4 4 】( 参见z y g m u n d 【4 9 1 ) ，产生了大量优秀的工作。 周颂平和其合作者一起，从2 0 0 3 年开始研究这个课题，最终证明t ( s ez h o u p z h o u y uf 4 7 1 ) ：这个方向一个最终的推广是他们提出的m v b v 条件( 均值有界变差条 件) ，而且这个条件不能再减弱。 本文选择进行f o u r i e r 分析有关收敛性课题及其相关方面的研究正是基于它在理论 上有重要意义，而最近现代构造性方法的完善又使解决某些以前认为困难的问题有了 相当大的可能。因此，我们继续研究应用m v b v 条件对三角级数一些重要经典结果的 推广。全文共分五章，首先应用m v b v 条件对一个重要的三角不等式和一个重要渐近 等式进行推广，然后研究经典的可积性问题，最后考虑了m v b v 条件在强逼近及其相 关嵌入定理中的应用。 第一章：引论 本章回顾了三角级数或f o u r i e r 级数收敛性问题的历史，给出了本文中所涉及的常 用符号和定义，阐述了系数数列单调性条件的发展及各数列集合问的关系。 第二章：m v b v 条件在一个重要三角不等式中的应用 本章对一个重要的三角不等式s u pf 警f 3 万进行了推广，证明了：若c = n 1i k = l l ( g 墨o m v b v s ，g 有- n g k ，n = 1 ，2 ，假设自然数列 n m ) 满足三老 i 如果舰耦= a ，则 o oo o ，( z ) = g e 饥z a u ( n q ) e 伽z ，zj 0 n=o，i=1 第四章：m v b v 条件在函数可积性中的应用 本章研究经典可积性问题。设夕( z ) = 是la ns i nn x ，f ( x ) = 墨la nc o sr t x ，我们 证明了以下经典定理的推广：设 o n m v b v s 那么，对于o q 2 ， 对于0 0 f l ， 但是，当q = o 时对于正弦级数，却有不尽相同的意外情形发生，即：当 n n ) 0 0 m v b v s 时，g ( x ) l 2 丌今n - l a n 0 ，7 0 ，u 是一个连续性模函数，a n 为满足条件a 2 n a 几的 正数列。如果 k w p ( 1 l n ) n 叫p a m s 成x y _ ，则有 w r 彤n v b v s ch ( a ，p ，r ，w ) i i n 0 一a n 脚 兮 丌 l 口 zz 9 1 ， = m 。 t h e n d o ra n yz w eh a v e 0 0 j = l n j + t - 1 f 仉s i n k x k = n j k i ( c ) a f i n a l l y , w er e m a r kt h a tm v b v c o n d i t i o nc a n n o tb ew e a k e n e da n yf u r t h e rt og u a r - a n t e et h ea b o v ei n e q u a l i t y c h a p t e rt h r e e ：a p p l i c a t i o n o fm v b vc o n d i t i o ni nac l a s s i c a la s y m p t o t i cr e s u l t t h i sc h a p t e rg e n e r a l i z e sac l a s s i c a la s y m p t o t i cr e s u l tf o rs o m et r i g o n o m e t r i c s e r i e s w ep r o v e ：l e tc = g ) 甚o m v b v sb e 口c o m p l e xs e q u e n c e ，叫( ) 括t h em o d u l u so f c o n t i n u i t yi n 【o ，o o ) s a t i s f y i n g t 1 - 学d u = o ( 删， 矿g 叫( n 一1 ) a a s 佗- 0 0 ，t h e n 口sz - 0 z 。掣拈。c 删 c h a p t e rf o u r ：a p p l i c a t i o n o fm v b vc o n d i t i o ni nl 1i n t e g r a b i l i t y i nt h i sc h a p t e r ，t h ec l a s s i c a li n t e g r a b i l i t yi ss t u d i e d l e t g ( x ) = o o a ns i n n x ，m ) = a n c o s 强 n = l n = 1 v zn 一 n 麒 a 茁n 矿g 脚 i i z ， 一 _ 浙江理工大学硕士学位论文 t h eg e n e r a l i z a t i o no ft h ef o l l o w i n gc l a s s i c a lt h e o r e m si sp r o v e d ：a s s u m et h a t a n ) m v b v s t h e n 扣r0 口 2 ， f d r0 q 1 ， g ( x ) l x q f ( w ) w 土 o o l 2 可甘矿“o n o o ； n = l k f 咒。- 1 n n o 。 j 二 n = 1 h o w e v e r , f o rs i n es e r i e si nt h ec a s e 口= 0 ，t h e r ei sad i f f e r e n ts t o r y , i e ，a s s u m e 0 0 t h a t a n ) m v b v s ，t h e ni f g ( x ) 己2 霄，z c 彬h a v e 佗- 1 口n ( 3 0 o nt h eo t h e rh a n d , t h e r e n = l 0 0 f sas e q u e n c e a n ) m v b v s s u c ht h a t n - i o n o ，r 0 ，ui s 口m o d u l u so fc o n t i n u i t y , ( a n ) b e ap o s i t i v es e q u e n c e s 口f 趣膨i ，喀a 2 n a n 矿 a n p ( 1 佗) 佗一r p a m s ，t h e n 7 蟛n c m v b v s ch ( a ，p ，叫) o v e r a l l ，m a n y c l a s s i c a lr e s u l t sc o n s t r u c t e dt h es u p p o r t so ft h ew h o l ef o u r i e ra n a l y s i ss y s t e m w es e l e c ts o m e v a l u a b l ea n ds o l v a b l ep r o b l e m st oa p p l ym v b vc o n d i t i o n f o rg e n e r a l i z a t i o na n dt h u sm a k eac o n t r i b u t i o nf o rt h ec o m p l e t e n e s so ft h es y s t e m k e yw o r d s ： m e a nv a l u eb o u n d e d v a r i a t i o n ，m o n o t o n i c i t y , f o u r i e r s e r i e s ，c o n v e r g e n c e v i 浙江理工大学硕士学位论文 摘要 a b s t r a c t 1引 1 1 1 2 1 3 1 4 目录 论 综述 常用符号和定义 单调数列集合及其各种推广 1 3 1 定义 1 3 2 历史发展过程 1 3 3 数列集合间的关系 1 3 4经典收敛定理的推广 论文的结构 2m v b v 条件在一个重要三角不等式中的应用 2 1引言 2 2定理2 1 的证明 2 3 最后注记 3m v b v 条件在一个重要渐近等式中的应用 3 1引言 3 2引理和证明 4m v b v 条件在函数可积性中的应用 4 1 引言 4 2 加权可积性一 4 3 正弦级数的可积性 5m v b v 条件在强逼近及其相关嵌入定理中的应用 5 1 引言 5 2引理和证明 参考文献 i i v 1 1 2 3 3 5 5 6 6 7 7 8 9 1 1 2 5 5 5 9 4 4 6 1 r 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 浙江理工大学硕士学位论文 一一 致谢 攻读学位期间的研究成果 v i i i 3 6 3 7 浙江理工大学硕士学位论文 1 1综述 第1 章引论 基础数学包含三个分支：代数学、几何学和分析学分析是三个分支中最后发 展起来的学科，是为了克服代数和几何的分离状态，将它们结合起来，用于描述 运动的学科，是现代数学的开端，是计算数学和应用数学的基础 数学作为一门科学，具有四要素：数学起源于逻辑推理，从定义( 包括公理、 原理等源流性知识基础) 出发，演绎出性质( 包括运算、推理) ，使计算成为可能和 可行，最终应用于数学和其它科学技术分支。在分析学系统中，任何其它方向都可 看作是极限论的应用 当人们开始研究级数论时，发现对级数进行精确的计算几乎是不可能的，但 是级数，特别是能对函数空间构成基的级数具有计算上无可置疑、无可替代的重 要性，如众所周知，t a y l o r 级数、f o u r i e r 级数和小波在理论和实践中，在科学和 技术上对整体发展和应用产生过或依然正在产生着巨大的作用，其中，f o u r i e r 级 数在工程技术上的大量重要应用构成了现代技术的强大基础 为了有效地对f o u r i e r 级数进行近似计算，首先必须研究其收敛性，这个课 题有长久的历史，从1 9 世纪起，研究f o u r i e r 级数及其由其构成的各种工具( 求 和方法、算子等) 的各种收敛性，形成了数学分析中一个吸引包括许多著名 数学家在内的学者研究的一条热烈但困难的主流其中，在三角级数( f o u r i e r 级 数) 一致收敛性和平均收敛性问题中人们一直关一o , f o u r i e r 系数的单调递减条 件最终的推广，这类研究及相关讨论，开始于英 c h a u n d y - j o l l i f e l 9 1 6 $ 的工 作【8 】和1 u n 9 1 9 1 3 年的工作 4 4 ( 参见z y g m u n d 【4 9 1 ) ，产生了大量优秀的工作我 们于此简单地列举一些历史上和现代在这个研究方向作出过贡献的数学家， 他们的工作包括：c h a u n d y - j o l l i f f e 【8 】、y o u n g 【4 4 、k o l m o g o r o v 【1 2 1 、s h a h 【2 8 、k o n y u s h k o v 【1 4 1 、a s k e y 【1 】、b r a y s t a n o j e v i c 【7 1 、s t a n o j e v i c 2 9 - 3 1 1 、b e l o v 1 3 】、n u r c o m b e 【2 6 、x i e z h o u 【4 0 4 2 、k o n o v i c h 【1 3 、l e i n d l e r 【2 1 2 3 】、m a z h a r 【2 5 1 、t e l y a k o v s k i i 【3 2 3 3 ，3 5 3 6 】、l e z h o u 【1 5 ，18 1 9 】、t i k h o n o v 【3 9 】、y u z h o u 【4 5 、s p z h o u e z h o u y u 【4 7 周颂平和其合作者一起，从2 0 0 3 年开始研究这个课题，最终证明了( s p z h o u e z h o u y u 【4 7 1 ) ：这个方向一个最终的推广是他们提出的m v b v 条件( 均值有界变 1 浙江理工大学硕士学位论文 差条件) ，而且这个条件不能再减弱这个成果构成了他们获得2 0 0 6 年浙江省科学 技术奖一等奖的第一( 科学) 发现点 这方面的详细进展我们将在本章第三节中叙述 本文选择进, 行f o u r i e r 分析有关收敛性课题及其相关方面的研究正是基于它在 理论上有重要意义，而最近现代构造性方法的完善又使解决某些以前认为困难的 问题有了相当大的可能因此，我们继续研究应用m v b v 条件对三角级数一些重要 经典结果的推广 本文起始，我仃 先给出常用的符号、定义及有关数学关系 1 2常用符号和定义 设岛丌为所有实值或复值的具有2 7 r 周期的连续函数，( z ) 所组成的空间，并赋予 范数 l l f l l = 一。m a 窭x 。i f ( m ) l ，一o 。 z o 满足以下性质： 0 = u ( 0 ) 0 ，定义其卢阶光滑性模为 枷，= 腮陪矿f ( x + ( f l - v ) h ) ” 其中 ( ) = 绁型掣，钌1 ； 口! 一 2 1 u = 0 浙江理工大学硕士学位论文 当卢是一个自然数忌时，u 忌( 厂，t ) 就是通常忌阶光滑模 贯穿全文，我们总使用m 或者m ( z ) 来表示一个正常数或者一个仅依赖于z 的 正常数，其值在不同的场合未必相同但有时在特定的章节，为了区别常数的需 要，我们也使用不同的符号，例如k ，尬，m 2 ，m + 等去表示它们 1 3单调数列集合及其各种推广 1 3 1定义 单调递减数列的定义是周知的：如果正 y d a = 口n ) 器l 对于所有死= 1 ，2 ，总成立a n a n + 1 ，则称这个数列是单调递减的，记作a m s ( m s ： m o n o t o n es e q u e n c e s ) 数列 o n ) 罂1 称为是拟单调的，是指如果正数列 o n ) 墨1 对于某一q 0 ， 数列 1 ；有l i ms u p 裂浮 此 时，记a r q m s ( r q m s ：r e g u l a l y v a r y i n gq u a s i m o n o t o n es e q u e n c e s ) 如果正的趋于零的数y i j a n ) 黯1 对所有自然数礼满足 o o。o i o 七一a k + l = ：l o 七l 冬m ( a ) a n ， k = nk = n 则称数天j l j a 为”剩余有界变差数列”，简记为a r b v s ( r b v s ：r e s tb o u n d e d v a r i a t i o ns e q u e n c e s ) 如果正数列 n 珏) 黯1 对所有自然数佗满足 2 n i q 刈m ( a ) a n ， k = n 则称数列a 为”分组有界变差数列”，简记为a g b v s ( g b v s ：g r o u pb o u n d e d v a r i a t i o ns e q u e n c e s ) 3 浙江理工大学硕士学位论文 如果正数y , j a n ) 罂1 对所有自然数礼满足 l a a k l m ( a ) ( 口n + a 2 n ) ， 则称数列a 为”非单边有界变差数列，简记为a n b v s ( n b v s ：n o n o n e s i d e d b o u n d e dv a r i a t i o ns e q u e n c e s ) 如果正数列 n n ) 丞l 对所有自然数亿和某个入2 满足 墨酬掣型 k = n “ k = n , x 】 其中纠表示不超过z 的整数，则称数列a 为均值有界变差数列”，简记为a m v b v s ( m v b v s ：m e a nv a l u eb o u n d e dv a r i a t i o ns e q u e n c e s ) 在复空间中，我们可以定义相应的概念 复数列 l ，则对任意的z 均有 薹匿t s i nkx卜kak=nj l ti ， 歹= li l 此地k 为绝对正常数 1 e i n d l e rf 2 1 定理4 1 考虑使此更具有一般性，建立了 定理l 设c = g ) 黯l r b v s 为一列正数列满足 n g k ，钆= 1 ，2 ，( 2 2 ) 若自然数歹, j f n ，n ) 满足( 2 1 ) ，则对任意的z 均有 o o i 仡j + 1 - 1i i g s i nk z j k 1 ( c ) a ， j = 1l k ：n j i 此地1 ( c ) 为仅与数列c 有关的正常数 l e z h o u 【1 6 在l e i n d l e r 的基础上，进一步将此不等式推广为 定理l z l 设正数列 g ) 是1 g b v s 满f f ：( 2 2 ) ，若自然数列 满 足( 2 1 ) ，则对于任何z 我们有 2 2定理2 1f l j 证明 o o j = l k xk i ( c ) a z ：0 或者z ：7 r 的情形显然是不需要证明的现设z ( 0 ，7 r ) ，依次选择仡与主使 之满足者z几十l 我们知道 写 i ：= 应用a b e l 变换可以看出 因而 ，等 i = 佗i + 1 因为尼以k ，则有 竹j + 1 一l f l 一， k = n i c ks i nk x i + n j + t 1 r z 二一 k - - n j n 瓯s i n k x k = n i n 瓯s i nk x + 瓯s i nk x c k k x k = n i k n x k 7 1 q p 0 ， - t - i - - 2 瓯圭s i n 歹z + c n i + 。- 1m 誊1s i n 歹z k = 互n1 瓯j = n + l s i n 歹计 j = 募n 18 i 哆 + 十l o o + j = t + 1 = ：1 1 + 如 1 仇i + g t + t - - ll 8 f ，唧董2i a c 七i k = n j + 一。、) 豳 瓯 薹吼 n 一 1 n 丌一竹 触 等芦 一 一 尘z 一 z尼ns 口脚 瓯 芝慨 讲 + z后 n吼瓯 一一 n 七 knm 参跏 唧 0 一 升 g +拓n吼 七矶 瓯 一川 七 讲 芷z + 誊一 n 七 注意到由他gsk 有g 。0 ，n 。o 。，我们得到 c n i + t - - i =妻仇 o ol 伉i 0 0 i g i = 仇l 伉i i k = n + l l k = n i + 1 1 忌2 n 首先估计j 1 从定理的条件可以推出 l 墨一2 a * o o 2 j + t ni x g i i l 墨一 等华蓦万1 七= a - 1 2 i 瓯 o 1、，t 1 、1，t ：乏l l 七 ，2 a + m ( c ) k 暑1 【訾l 一1 s 了下萏虿吲暑2 圳一k ，2 a + m ( c ，a ) k 二_ 一 一 z n 】 r 二 j 厶= 02 j 2 a + m ( c ，a ) k 关于如，类似的讨论可以得到 o o 瓯一l i 伉l i 仅i ， k = n j + t - i 七2 n i 这样 如_ 2 a * o o 量2 l + i n jl 瓯l zj = i + ll = 0k = 2 t 札i 等m ( a 熹1 曼= 0 赤州 a 著2 t n j 11 = 01 2 ，瓯 一 z 、 。j = i +二。7 j 岛= 【入一l n j l 等邺膨熹e 2 - 磊- m - , 。a 毒2 t n j ? ，乏1 11 = 0 2n i z 、。 j = i +j 詹= 【入一l 1 “ 等郴kj = 妻i1 三n j 量刍 一 z + l = 0 二。 2 a z m ( c k 熹_ 1 1n i z f = i + ，定理2 1 中的三角不等式不成立 证明s e z h o u e z h o u - y u 4 7 1 构造t 以下的数列 g ) ：取s 1 i 0 ，因而对于 所蓟1 有岛i 0 取佗1 = 1 ，佗2 = i 0 ，以及对歹= 2 ，3 ，+ l = 2 篾1 唧2 】q 置 仇= 1 ，1 k 4 0 对而2 以及忌= 1 ，2 ，2 【鹾1 n 2 ，】一1 ，则定义 2 了厩1 磊1 ，若4 七m ( 4 后+ 2 ) 。丽1 示1 ，若( 4 尼+ 2 ) 佗歹m | 三印m 统j i 拟、 即定理2 1 的结论此时不能成立进一步，这个构造过程意味着对于这个数 列 g ) 以及 仡m ) 不等式( 2 2 ) 与( 2 1 ) 都是成立的 1 0 浙江理工大学硕士学位论文 第3 章m v b v 条件在一个重要渐近等式中的应用 3 1引言 对于一类三角级数的渐近和，推j - - t h a r d y 【9 】，【1 0 】的经典结果，n u r c o m b e f 2 7 1 得到如下结论： 定理n 设0 q 0 的充要条 件是 9 ( 。) = o n s i nn x a c o s 毒q 丌r ( 1 一q ) z ”1 n = 1 。 或者 ，( z ) = o n c o s ? , x a s i n 去口7 r r ( 1 一q ) z 沪1 ， 这里若。骧a ( x ) b ( x ) = 1 ，则表示成a ( z ) b ( z ) x i e z h o u 4 1 推广了定理n 并说明定n n 的充分性并不总是对带有o 一正则变化 拟单调系数的三角级数成立，然而另一方面其必要性却可得到加强 x i e z h o u 的结论详细叙述如下： 定理x z 设 g ) 黯。是一d i e n 变化拟单调复数列，u ( ) 是【o ，) 的连续性模 函数且满足 t ，1w s u ) d u = o ( 删， ( 3 1 ) z 掣妣- 0 ( 删， ( 3 2 ) 如果熙耦= a ，则 厂( z ) = g e 饥z a u ( 礼- 1 ) e 伽。， z 一0 l e z h o u 【1 7 】对 g ) n o o ：o 的要求适当减弱，：i 芏g b v 条件下建立建立了如下定 理： 定理 件( 3 1 ) 和 本章 定理 件( 3 1 ) 和 3 2 引 为了 ；j t 1 3 1 ( b o r w e i n z h o u 【6 ，l e m m a6 2 1 ) 设u ( ) 是一个满足( 3 2 ) 的连续性模， 则存在一个常数0 舰 0 不失一般性，假设z 0 写 ，( z ) ：a 量 )e讥z+f，+n(gau(n-1u(n-1 c o ) ) e i n z 、) 他) = a 善1) e 讥z + ( + n = l ( g a u ( ) ) e 。舭夕礼= + ( e 协茹一aw ( n 一1 ) e m $ n = n - f 1 n = n + l = ：i i + 1 2 + 1 3 + 1 4 。 1 2 浙江理工大学硕士学位论文 这里我们取= 【1 ( z ) 】，其中k 】是不超过z 的最大整数由于g u ( 佗_ 1 ) 。 a ，no0 0 ，存在一个0 使得对所有礼 n o 成立 这样得到了 i c n a w ( n 一1 ) l 2 u ( 佗一1 ) ， +(主兰+砉、ig一，-2 i c o la w ( n j ，i l e 协$ i n = l n o 1 + l + i i g 一 协$ 手 使用u ( z ) 的第一个等价条件，获得 三n 吣_ 1 ) m 1 警砒m 州_ 1 ) 注意到由( 3 2 ) 也有u ( z ) 肛- o o ，z _ o + ，我们推得 l 2 i m n o + m e 2 n w ( n 一1 ) m e x 一1 u ( z ) 其次，我们估计3 f l j a b e l 变换和条件c m v b v s ，得到 1 3 l ： 0 0 七= n + l 0 0 忘= n + 1 m x 一1 k 瓯 = 1 i 萤v = l 懈l + - i 隆1 伽lill =i i 瓯i + m x 一1i c n + l l o o m x 一1 f 瓯i + m x 一1i p + 1 l j = o2 i n 0 因为u ( 礼- 1 ) 是递减的，我们就可以以类似更容易的方式处理厶，得到 4 i m ( c ，a ) e 0 x - 1 u ( z ) 综合所有上面的估计，最终得出 l ，( z ) 一a 薹e 。w ( n - 1 ) e 讥$ i 冬m ( e o + ) 二一l u ( z ) i 厂( z ) 一e 讥$ i 冬 + ) z 一1 u ( z ) in = 1l 最后，从引理3 2 推出当z _ 0 时有 m l = 幽n - 1 ) 沙茹l m o 眢 = i u ( n 。) e 叫等 j n = li 定理3 1 证毕 1 4 浙江理工大学硕士学位论文 第4 章 m v b v 条件在函数可积- 胜中的应用 4 1引言 本章中我们使用如下记号： 在经典分析中，一个重要的问题是：应该对系数 n n ) 加上怎样的合适条件， 才能保证- 厂( z ) 和9 ( z ) 的可积性? 很早以前，b o a s 【4 j ，h e y w o o d 【1 1 】就证明了以下的定理： 定理b h 设a 礼0 那么，对于0 a 2 ， 对于0 0 情形下的完整的推广，而在q = 0 时，却有不 尽相同的意外情况发生 4 2 加权可积性 在本节，我们建立如下的结果： 1 5 znsoc n 0 脚 = z ， zn ns n o 1 = z g n 口 一口 佗 1 兮 丌2 l q z z 9 n 0 一q 儿 脚 兮 丌2 厶 口 z z ，j 浙江理工大学硕士学位论文 定理4 1 设 口n ) m v b v s 那么，对于o q 2 ， 对于0 q l ， 9 ( z ) z 口 n = l 遵循通常的证明思路，我们先建立以下的引理 引理4 1 设o q 2 ，a n ) m v b v s ，则有 z 丌z a i 夕( z ) i d z ( 4 1 ) ( 4 2 ) 证明假设z 南，磊) ，由不等式i s i nz i h 以及a b e l 变换不难推出 因此 l g ( z ) l 三 注意n o o z 2 ，直接计算可得 0 0 n i x cf 矿qf k a 七 一z 一 n = 1 a a k ( 半) q 臃+ 1 ) g ( x ) l d x ( 半) 口磊南昌忌。七 + 量c o ( 半) 计1 南曼 = ：1 1 + j 1 2 0 0 c f l = lk - - - - 1 n = l i k a k l 同时，因为 ) m v b v s ，对于充分大的礼，存在某个入2 使得 0 0 k = n l a a k l 0 02 j + l n j = ok = 2 j n ( 4 3 ) 觚薹o o 瓦1 1 七鬟，剐忌嘉n ，警n 胚c 薹瓦酬钆纠忌姜n 】警 1 6 n o 一 口 他 丌 l n 0 一口 r 1 兮 丌 l q z ， z ， 胁 半 十梳 n 黼 嚼 一 zdz 9 a z 盯 n o 一 口 佗 脚 d 一 一口 忌 胁 n o他 以及 i 证明此时与引理4 1 的证明的差别仅仅是 1 厂( z ) l 荟1 1 , 时半k 妻= n o 七+ 半 七= 1 a a k l ， 卜w 眺c 薹口n 争如， 我们可以对0 o t 0 ， a n ) m v b v s ，g l 2 丌，则有 o o ，1 7 r 三n a - l a n 卯上 x - a i g ( x ) l d x 证明显然，g l 2 霄，写 n n ) 为其f o u r i e r 系数置 晰= 尉伽亡= 一c o sk x ) = 1 7 n 0 一口 竹 瞄 c 2 ， g ( 南) = 2 喜 i a k 2褊之icsinz i 面而之i 由m v b v s 的定义，对于防2 k 佗成立 f 2 a n j 七= 1 ( 2 a ) 】 a n i a s sj + a k j = k 2 k j 唧i + a k 譬望吩恤 ，= i 后刈 等2 a n l 吩上i 。七，一n “ 一】 “k 于是 【2 a n 】 n a 饨c j = l n l ( 2 ) t ) 1 或者用另外的说法，结合( 4 5 ) ， 等罴，心g ( 南) i p , g + ( z ) = 厅i g ( t ) l d t ，从上面的估计我们获得了 引理4 2 证毕 r 量i , ：27 。o i - - i 呸c 曼n c l - i g ( 赢) f 志) n = 2 。l ，j c n , ，- i g 4 ( i 1 1 )一 n “= 2 、n c 互o o 叫f l r l n ( n - 1 ) x _ l _ a d z 伊( 磊) c n = 2 f i r i r ( n - 1 ) - 1 - v e f - * 掌p ) 如 = c 翳x - l - 口d x 蟋i g ( t ) l d t = c 蟋g ( t ) l d t ；茁。峭d x s c 黾t _ 日i g ( t ) l d t ( 4 5 ) 引理4 2 7 设o o t 1 ， a n ) 是一个非负数列，x - q ，( z ) l 2 丌，则有 c s o z - l ( z ) j d z 1 8 n 0 一q n 脚 浙江理工大学硕士学位论文 证明引理4 2 的证明方法并不能简单地应用到现在的情形，我们这里采用直接 的证明方法注意，这里的限制o a l 要比引理4 2 中更多，但那里的单调性限 制却可以取消容易得到此时厂l 2 丌，因而 o n ) 是，的f o u r i e r 系数这样 曼p - n k ：要苎p - f of ( z ) c 。sk x d x = ；2 删z ) ( 挈1 c 砒z 卜 = 昙暑0 0 臃洲z ) ( 差, 1 k a - lc o s k x ) d x ， 或者说 薹尼铲1 。七；2 五o o 圳 , 。l 州n ，i m ，il 薹胪_ 1c o s 妇卜 对于z 防( 礼+ 1 ) ，丌n 】，我们计算得到 i 扩1c o s k z l 扩1 c n 口， i ， i 一二一 如通常使用a b e l 变换有 f 尼a - 1c o sk x | c x 。矿_ 1 c n q z l 一 隈 墨 coo帅r丌nka-1ak+ 1 ) i f ( x ) l n q d x c j 丌伽+ 1 ) i a c j f 丌n ( n n + 1 ) i f ( x ) l x _ a d x 引理4 2 7 因而得证 c 厝i f ( x ) l x d x 定理4 1 的证明 结合引理4 1 矛1 1 4 2 ，我们即获得所求不等式( 4 1 ) ，而结合引理4 1 7 和4 2 7 可得 到( 4 2 ) 4 3正弦级数的可积性 推广定理b h 的最困难部分是正弦级数当q = 0 时的情形实际上，这时候，有 出乎人们意料的结论出现 1 9 以及 丘= 等+ 端+ + nl 芷- 咒j a 2 k + 1 - 2 2 k + i 一2 + l = 黠+ 器+ + 由m v b v s 的定义，我们看到 因而 ( 0 2 一a 2 k + 1 ) a 2 k + z i 2 k + 1 1 + ( 口2 k + 2 一z 2 k + 3 ) + + ( 0 2 k + l 一2 一n 2 k + l 1 ) l a a j l j = 2 a 2 1 等。， 。j = 2 k a j 如七嘶。+ 等( 2 笺1 旷j 笺，圹歹篓。) ， 这就对于舰2 屉l 2 得到了 坯+ 等隰咿j 篓。) 2 0 这就是 n 2 坛m 七= n o 七= r 0 k = n o嘶+ 毫等噍予+ j 篓才 n 2 m + 1 + m 4 一z _ ， 七= n o 2 n 0 1 j z 2 n o 一2 因为从9 ( z ) l 2 丌推出口n _ 0 ，礼_ ，我们有 其中喻 式推出 掣+ ， n 珐疏+ 警，珐奉珐疏+ 等， k = n o k - = n o = m + 厶j 2 ：n 0 2 - - 。1 一。孚是一个仅依赖于o 的正常数令_ o o ，从上面的估计 同时，我们可算得 o o o o 珐2 m + 珐+ 1 + 喻 ( 4 6 ) 七= n o k = n o 小州z = 三0 0 鲁( 1 一s 州= 2 结合( 4 6 ) ，有 曼c 知2 k c 冬ct g ( x ) d xs t i g ( x ) l d x ， 露+ l + c 瑰厶厶 ， k = o 。” 这就是所需要求得的结果 引理4 4 存在一个数列 o n ) m v b v s 使得 成立，但是正弦级数 q 一歹 炒一 竺 + 脚 2 i | l 一1 竺一 旦轨 脚 丝忍 龇 n o 一 仡 脚 znn n 口 l 殂 = z 9 不属于空间l 2 丌 证明置n 1 = l ，n 2 = 1 0 ，以及 + l = 2 q 2 ，j = 2 ，3 ， 将n l ，a n 21 取成任意给定的正数，对t - j 2 ，令 以这样的方式我们定义了一个正弦级数 其中，( z ) 仅在级数收敛的z 处定义 容易证明 o n ) m v b v s 同时， n k + l i r 生： j i j = n k j 于是考虑到 ) 的定义， 写 我们知道 因而 而对于j 3 ， o , n s i n 几z ( 警竽一业) = s u dm a x n 为一