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教学资料范本2020版微点教程高考人教A版文科数学一轮复习文档：第一章 第一节集 合 含答案编 辑：_时 间：_ 集合与常用逻辑用语第一节集合20xx考纲考题考情1集合的含义与表示方法(1)集合的含义：研究对象叫做元素，一些元素组成的总体叫做集合。集合中元素的性质：确定性、无序性、互异性。(2)元素与集合的关系：属于，记为；不属于，记为。(3)集合的表示方法：列举法、描述法和图示法。(4)常用数集的记法：自然数集N，正整数集N*或N，整数集Z，有理数集Q，实数集R。2集合间的基本关系3.集合的基本运算1集合元素的三个特性确定性、无序性、互异性。2集合的子集个数若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n1个，真子集有2n1个。3注意空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解。 4集合的运算性质(1)并集的性质：AA；AAA；ABBA；ABABA。(2)交集的性质：A；AAA；ABBA；ABAAB。(3)补集的性质：A(A)U；A(A)；(A)A。(AB)(A)(B)；(AB)(A)(B)。 一、走进教材1(必修1P12A组T5改编)若集合PxN|x，a2，则()AaP BaPCaPDaP解析因为a2不是自然数，而集合P是不大于的自然数构成的集合，所以aP。故选D。答案D2(必修1P12B组T1改编)已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，则集合MN的子集的个数为_。解析由已知得MN0,1,2,3,4,5，所以MN的子集有2664(个)。答案64二、走近高考3(20xx全国卷)已知集合A0,2，B 2，1,0,1,2，则AB()A0,2B1,2C0D2，1,0,1,2解析根据集合交集中元素的特征，可以求得AB0,2。故选A。答案A4(20xx全国卷)已知集合Ax|x10，B0,1,2，则AB()A0B1C1,2D0,1,2解析因为Ax|x10x|x1，B0,1,2，所以AB1,2。故选C。答案C5(20xx全国卷)已知集合A(x，y)|x2y21，B(x，y)|yx，则AB中元素的个数为()A3B2 C1D0解析联立方程组解得或所以交点坐标分别是，。故选B。解析：集合A表示单位圆上的点的集合，集合B表示直线yx上的点的集合，根据图象容易判断有两个交点，故选B。答案B三、走出误区微提醒：忽视集合的互异性致使出错；分类讨论不全面导致漏解。6已知集合A1,3，B1，m，若BA，则m_。解析因为BA，所以m3或m，即m3或m0或m1，根据集合元素的互异性可知，m1，所以m0或3。答案0或37已知集合Mx|xa0，Nx|ax10，若MNN，则实数a的值是_。解析易得Ma。因为MNN，所以NM，所以N或NM，所以a0或a1。答案0或1或1考点一 集合的含义及表示【例1】(1)已知集合A1,2,4，则集合B(x，y)|xA，yA中元素的个数为()A3B6C8D9(2)设集合A4,2a1，a2，B9，a5,1a，且A，B中有唯一的公共元素9，则实数a的值为_。解析(1)集合B中元素有(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共9个。故选D。(2)因为集合A，B中有唯一的公共元素9，所以9A。若2a19，即a5，此时A4，9,25，B9,0，4，则集合A，B中有两个公共元素4,9，与已知矛盾，舍去。若a29，则a3，当a3时，A4,9,5，B2，2,9，B中有两个元素均为2，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；当a3时，A4，7,9，B9，8,4，符合题意。综上所述，a3。答案(1)D(2)31研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义。2利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性。 【变式训练】(1)(20xx湖北天门等三地联考)设集合A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，则M中元素的个数为()A3B4 C5D6(2)若集合Aa3,2a1，a24，且3A，则实数a_。解析(1)a1,2,3，b4,5，则M5,6,7,8，即M中元素的个数为4。故选B。(2)若a33，则a0，此时集合A中含有元素3，1，4，满足题意；若2a13，则a1，此时集合A中的三个元素为4，3，3，不满足集合中元素的互异性；若a243，则a1，当a1时，集合A中的三个元素为2,1，3，满足题意；当a1时，不符合题意。综上可知，a0或a1。答案(1)B(2)0或1考点一 集合的含义及表示【例2】(1)已知集合Ax|x22x30，xN*，则集合A的真子集的个数为()A7B8 C15 D16(2)已知集合Ax|2x5，Bx|m1x2m1，若BA，则实数m的取值范围为_。解析(1)Ax|1x3，xN*1,2,3，其真子集有：，1，2，3，1,2，1,3，2,3，共7个。或因为集合A中有3个元素，所以其真子集的个数为2317(个)。(2)因为BA，所以若B，则2m1m1，此时m2。若B，则解得2m3。由、可得，符合题意的实数m的取值范围为m3。答案(1)A(2)(，3【互动探究】本例(2)中的集合A改为Ax|x5，如何求解？解析因为BA，所以当B时，即2m1m1时，m4。综上可知，实数m的取值范围为(，2)(4，)。答案(，2)(4，)1空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解。2已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题。 【变式训练】(1)(20xx湖北省部分重点中学联考)已知集合Mx|y，xR，Nx|xm2，mM，则集合M，N的关系是()AMNBNMCMRNDNRM(2)(20xx市调研)已知集合M0,1，则满足条件MNM的集合N的个数为()A1B2 C3D4解析(1)依题意知，Mx|y，xRx|1x1，Nx|xm2，mMx|0x1，所以NM。故选B。(2)由MNM，得NM。又M中有2个元素，故其子集的个数为224，所以集合N的个数为4。故选D。答案(1)B(2)D考点三 集合的运算微点小专题方向1：集合的基本运算【例3】(20xx天津高考)设集合A1,2,3,4，B1,0,2,3，CxR|1x2，则(AB)C()A1,1B0,1C1,0,1D2,3,4解析由题意得，AB1,0,1,2,3,4，又CxR|1x2，所以(AB)C1,0,1。故选C。答案C集合的运算要注意数形结合，特别是数轴，Venn图等。 方向2：利用集合运算求参数【例4】(1)(20xx南昌二中模拟)已知集合Ax|y，Bx|axa1，若ABA，则实数a的取值范围为()A(，32，)B1,2C2,1D2，)(2)集合A0,2，a，B1，a2，若AB0,1,2,4,16，则a的值为()A0B1 C2D4解析(1)集合Ax|yx|2x2，因为ABA，则BA，所以有所以2a1。故选C。(2)由题意可得a，a24,16，所以a4。故选D。答案(1)C(2)D参数问题要注意分类讨论和等价转化。 方向3：集合的新定义问题【例5】已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则AB中元素的个数为()A77 B49 C45 D30解析如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”，集合AB显然是集合(x，y)|x|3，|y|3，x，yZ中除去四个点(3，3)，(3,3)，(3，3)，(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，则集合AB表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”所有圆点“”，共45个。故AB中元素的个数为45。故选C。答案C解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：紧扣新定义。首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中；用好集合的性质。解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素。 【题点对应练】1(方向1)设集合Mx|x4，集合Nx|x22x0，则下列关系中正确的是()AMNMBM(N)MCN(M)RDMNM解析因为Mx|x4，Nx|0x2，所以MNx|x4M，A正确；MRM，B错误；N(M)x|0x2x|x4R，C错误；MNx|0x0，集合Bx|x22ax10，a0，若AB中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是()A BCD(1，)解析Ax|x22x30x|x1或x0)，f(0)10，根据对称性可知若AB中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有即所以即a。故选B。答案B3(方向3)设P，Q为两个非空实数集合，定义集合PQz|zab，aP，bQ，若P1,0,1，Q2，2，则集合PQ中元素的个数是()A2 B3 C4 D5解析当a0时，无论b取何值，zab0；当a1，b2时，z；当a1，b2时，z；当a1，b2时，z；当a1，b2时，z。故PQ，该集合中共有3个元素。故选B。答案B1(配合例1使用)设集合A0,1,2,3，Bx|xA,1xA，则集合B中元素的个数为()A1B2 C3D4解析若xB，则xA，故x只可能是0，1，2，3，当0B时，101A；当1B时，1(1)2A；当2B时，1(2)3A；当3B时，1(3)4A，所以B3，故集合B中元素的个数为1。故选A。答案A2(配合例1使用)若集合AxR|ax2ax10中只有一个元素，则a()A4B2C0D0或4解析由题意知方程ax2ax10只有一个实数解。当a0时，方程无实数解；当a0时，a24a0，解得a4(a0不合题意舍去)。故选A。答案A3(配合例4使用)已知集合Ax|ylg(xx2)，Bx|x2cx0，若AB，则实数c的取值范围为()A(0,1B1，)C(0,1)D(1，)解析解法一：由题意知，Ax|ylg(xx2)x|xx20x|0x1，Bx|x2cx0x|0x0x|0x1，取c1，得Bx|0x1，则AB成立，可排除C，D；取c2，得Bx|0x2，则AB成立，可排除A。故选B。答案B4(配合例5使用)定义集合A，若对于任意a，bA，有abA且abA，则称集合A为闭集合。给出如下三个结论：集合A4，2,0,2,4为闭集合；集合Bn|n3k，kZ为闭集合；若集合A1，A2为闭集合，则A1A2为闭集合。其中正确结论的序号是_。解析中，4(2)6不属于A，所以不正确；中，设n1，n2B，n13k1，n23k2，k1，k2Z，则n1n2B，n1n2B，所以正确；对于，令A1n|n5k，kZ，A2n|n2k，kZ，则A1，A2为闭集合，但A1A2不是闭集合，所以不正确。答案不明代表元素、忽视端点、遗忘空集致误集合是高中数学中最基本的概念之一，在历年高考中，集合问题常以选择题或填空题的形式出现，主要考查集合的相关概念、集合间的基本关系、集合的基本运算等，但在平时的学习中，学生往往不能深刻理解这些知识，导致考场上出现各式各样的错误。一、因忽视代表元素而致误【典例1】设Py|yx2，xR，Qy|y2|x|，xR，求PQ。【错解】由解得或所以PQ(1,1)，(1,1)。【剖析】上述解法混淆了集合的代表元素，本题中两个集合中的代表元素是y，而不是点的坐标。【正解】因为Py|yx2，xRy|y0，Qy|y2|x|，xRy|y2，所以PQy|y0y|y2y|0y2。【变式训练1】已知集合M(x，y)|yx21，xR，N(x，y)|yx1，xR，则MN_。解析解方程组得或从而可知MN(0,1)，(1,2)。答案(0,1)，(1,2)二、因忽视区间端点而致误【典例2】已知集合Ax|2x3，集合Bx|axa4，若AB，求实数a的取值范围。【错解】因为Ax|2x3，Bx|axa4，要使AB，需满足a43，即a3，所以实数a的取值范围是(，2)(3，)。【剖析】上述解法的错误原因是忽视了集合Ax|2x3的两个端点值2和3，事实上，当a3时，Bx|3x7，满足AB。当a42即a2时，Bx|2x2，满足AB。【正解】因为Ax|2x3，Bx|ax3或x3，Tx|axa8，若STR，则实数a的取值范围是_。解析要使STR，只需解得5a3。答案5，3三、因忽视空集的特殊性而致误【典例3】已知集合Ax|x23x20，Bx|x2axa10，Cx|x2mx20，且ABA，ACC，求实数a及m的取值范围。【错解】由题意得，A1,2，B1，a1。由ABA知BA，所以a12，从而a3。由ACC知CA，设方程x2mx20的两根分别为x1，x2，则x1x22。由A1,2知CA，从而mx1x23。【剖析】上述解法存在两个方面的错误：一是忽略了集合B中方程有两等根的情况；二是忽视了C的情况。【正解】由题意得，A1,2，