（基础数学专业论文）un1上的n李代数结构.pdf

d i s s e r t a t i o no fm a s t e rc a n d i d a t ei n2 010 u n i v e r s i t yc o d e ：1 0 2 6 9 s t u d e n ti d ：51 0 7 0 6 0 1 0 4 2 e a s tc h i n an o r m a lu n i v e r si t y 儿一l i ea l g e b r a 瓤( 以，1 ) d e p a r t m e n t ： s p e c i a l i t y ： r e s e a r c hd i r e c t i o n ： s u p e r v i s o r ： c a n d i d a t e ： d e p a r t m e n t o fm a t h e m a t i cs p u r em a t h e m a t i c s l i et h e o r y a s s o p r o f l i nl e i x uc h u a n b o c o m p l e t e d i nm a y , 2 010 8 舢刁4川3 4眦7 郑重声明：本人呈交的学位论文瓤m ，1 ) 上的，1 李代数结构，是在华东 师范大学攻读砸博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的 研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示 谢意。 师指导 作者签名： l l j l l 。扣| 9 砗 艮) 黾 华东师范大学学位论文著作权使用声明 本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构 如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入 华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士 学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩 印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文幸， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( i ) 2 不保密，适用上述授权。 导师签名缘l 银本人签名 幽| 。年j - 只；o i i i i i “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究牛申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 徐传博硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称 单位备注 王建磐教授华东师范大学主席 胡乃红教授华东师范大学 芮和兵 教授华东师范大学 摘要 自从1 9 8 5 年f i l i p p o v 首次引入n 李代数以来，n 一李代数已经被广泛研究 在这篇文章中，我们在除幂代数瓤( n ，1 ) 上定义j ，n 李代数结构，并在特征为 p 3 的域f 上，研究了该n 一李代数的生成元组和导子代数，以及在它上面构造 了一类幂零子代数 关键词：n 一李代数，幂零子代数，导子 a b s t r a c t m u c hm o r ei n t e r e s th a sb e e ns h o w ni nt h es t u d yo fn l i ea l g e b r a ss i n c e1 9 8 5 ， w h e nf i l i p p o vf i r s ti n t r o d u c e dt h ec o n c e p t i nt h i sp a p e r , w ed e f i n ean e wn - l i e a l g e b r a so nad i v i d e dp o w e ra l g e b r a9 j ( n ，1 ) o v e raf i e l d fw i t hc h a rf2p 3 w e d e t e r m i n et h eg e n e r a t o r sa n da 1 1d e r i v a t i o n so f 瓤伽，1 ) a sn - l i ea l g e b r a s m e a n w h i l e ， w ea l s oc o n s t r u c t ac l a s so fn i l p o t e n ts u b a l g e b r a so f9 a ( n ，1 ) a sn - l i ea l g e b r a s k e y w o r d s ：n l i ea l g e b r a s ，n i l p o t e n ts u b a l g e b r a s ，d e r i v a t i o n s 目录 1引言 1 1 1 研究背景 1 1 2 基本概念和定理2 2 ，z 李代数g ( n )6 2 19 a ( n ，1 ) 上的n 一李代数结构6 2 2 9 1 ( n ，1 ) 上的。类幂零予代数 1 0 2 3 瓤( 刀，1 ) 的导予代数 1 4 附录4 0 参考文献4 l 后记4 3 1 引言 1 1 研究背景 李代数是1 9 世纪挪威数学家m s 李在创立李群时首次引进的一个数学概念， 它是一类非常重要的非结合代数在1 9 世纪末2 0 的前叶，李代数的理论得到了长 足的发展和完善其中法国数学家e c a r t a n 于1 8 9 4 年给出了变数和参变数在复数 域中的全部单拿代数的一。个完全分类；他和德国数学家k i l l i n g 都发现，单李代数总 共可分为4 个类型和5 个例外代数，e c a r t a n 还构造出了这些例外代数，他和德国 另一一位数学家w e y l 用表示理论来研究李代数随着理论的完善，李代数在数学以及 古典力学和量了力学中的地位日益上升，特别是到了2 0 世纪8 0 年代，它不仅被理 解为群论问题线性化的工具，而且还成为有限群理论及线性代数中许多重要问题的 来源毫无疑问，它已经成为一个重要的数学分支( 参见【l 】) 1 9 6 0 年k u r o s h 在他的文章【2 】中引入了一类具有多个多元线性运算的q 代 数另外他在文章【3 】中讨论了一类具有反对称性的q 代数，这类代数就包含李代 数我们知道在一个结合代数上若定义换位运算【x ，纠= x y y x 所得到的代数就是 一个李代数类似于李代数，在参考文献【3 】中，作者在。个结合q 代数上构造了这 类具有反对称性的q 代数1 9 8 5 年f i l i p p o v 在他的文章【4 】中首次引入刀一牟代数的 概念它是一类只含有一个刀元线性运算的反对称的q 代数2 ) ，并满足广- 义j a c o b i 恒等式： 、1 ( ( x l ，( x i ，y 2 ， ，而) f - l 当n = 2 时，它就是一个李代数另外在他的这篇文章中，f i l i p p o v 给出了咒李代 数的第一个例子，并且引进了n 李代数单纯性和可解性的概念以及给出了n + 1 维n 李代数的分类定理近年来，很多学者对n 李代数的研究做了不懈的努力 k a s y m o v 在他的文章【5 ，6 ，7 ，8 】中引进了幂零n 李代数的概念并证明了类似于 李代数的e n g e l 定理p o z h i d a e v 在他的文章 9 ，1 0 】中研究了无限维咒李代数的情 况m i c h a e lp e r e t z i a nw i l l i a m s 则在j a c o b i a n ，1 李代数上构造了一类幂零n 子代数 结构( 参见【1 1 】) 我国学者白瑞蒲，孟道骥等人对咒李代数也做过很多的研究他们 讨论了九李代数的分解及唯一性，n 一李代数的f r a t t i n i 子代数的性质，疗李代数的中 心扩张，n + 1 维，1 李代数的导子代数以及一些低维，1 李代数的分类等问题( 参见 【1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 】) 因为运算的多元性，对一般的，1 李代数的研究比李代数的研 究要困难得多例如，单李代数中著名的j a c o b s o n 定理就不能平移到，1 李代数中所 以对，1 李代数的结构的刻画还远远没有达到完善的程度因此，我们需要在有限乃 至无限维李代数上引进更多结构性概念和例子来帮助我们对它的理解故本文就在 1 2 基本概念和定理 此背景下，以李代数为基础，将关于李代数的导了的研究方法以及m i c h a e lp e r e t z i a n w i l l i a m s 在他的文章【l1 】中对一类幂零九拿代数构造的方法应用到特征为p 3 域f 上的以李代数瓤( ，l ，1 ) 的导子以及幂零子代数上去，并获得了一些结果 本文结构如下：第一章介绍，1 李代数和除幂代数的一些基本概念和性质；第二 章给出除幂代数9 a ( n ，1 ) 作为，1 李代数时的生成元组，并构造了一类幂零予代数结 构以及具体给出了它的导子代数 1 2 基本概念和定理 本节我们先回顾一下。些基本概念和结果，它们都是标准的( 参见【4 ，5 ，11 ，1 2 】) 定义1 1n 李代数l 是域f 上具有玎元线性运算【，】的句量空胤且对任意 而，y j l ( 1 fs 刀，2 j 咒) ，有以下两等式成立? 【工l ，而，即，而】= 0 ，当x i = x j ，i j 时 【k i ，x i ，而】，y 2 ，h 】= x l ，【x i ，y 2 ，】，而】 1 f - i 例1 假设a 为+ 1 ) 维实欧氏空间e l e 2 ，e 肿l 为它的一组j 下交基对任 意工1 ，恐，而a ，x i = 而1 e 1 + + x i , n + l e n + i ( 扛1 ，2 ，咒) ，定义： x l ，x 2 ，】= 并记a 州= ( i t ，【，】) 命题i ia 斛l 是一个n 李代魏 x l ne l 恐e 2 砀+ 1 2 x n + l i ne n + l 例2 假设a 为交换结合f - 代数对a 上任意给定导子d l ，见，如果n 功= 功d j ，i , j = 1 ，以，那么对任意的x i ，而a ，定义： h l ，而，而】= d e t ( d i x j ) l ：i x l 观，而】，v 而l ，i = 1 ，2 ， f = i 则称d 为l 的导子l 上所有导子构成的集合记为d e r f ( l ) 特别地，在l 上可定义一个右乘变换：，帕) ( 神= i x ，y 2 ，】，v 五娩，m 厶则r o ：，肌) 是己上的一个导予，称为l 的内导了l 上所有内导7 构成的集合记为 a d f l ( 参看【4 】) 定义1 3 如果j 是n 李代数的线性子空胤并且对任意x l ，x n l 有 h i ，砣，而】，成立，则称j 为l 的子代数 定义1 4 如果，是，l 一李代数l 的线性子空觑并且对任意工l ，y 2 ，厶有 【工l ，妮，】，成立，则称j 为的理想 定义1 5 设l 是，1 李代魏我们称 z ( d = 协likl ，l 】- 0 为l 的中心显然z ( l 、为l 的理想 定义1 6 设是，1 李代戴则的理想序列 l 满足 l 12 驴2 驴2 。 其中 l 1 = 厶上，= 【l ，厶，脚，f n 如果存在s 1 ，满足l s = 0 ，则称是幂零的此时记c l ( d 为l 的幂零指标即为 l m 0 的最大自然数m 定义1 7 设g 是a b e l 群l 是域f 上的n 一李代数l 的g 阶化是l 的一族子空间 ( 岛) g e g ，使得l = 0 k 且【岛k 】k l + + 鼬( v g l 秭g ) ，则称l 是g 一阶 g e g 化n 李代数 下面我们回忆一下除幂代数9 i ( n ，f ) 以及瓤( 以，1 ) 的定义及其基本性质： 3 1 2 基本概念和定理 设域f 的特征p 0 ，嘎，f ) 是以j c ( a 1 ) ( 口l = 0 l l ，a 1 2 ，口l 。) ) 为基张成的 域f 上的向量空间它是一个交换的结合代数对任意的x ( b n ) ，| 如瓤( n ，f ) ，规定 删蚴= 如x 籼蝴， 其中： 代b l 幻) = 1 i = l 代如f ) ”慨- ，h 瓶m 另外，规定= 1 因此 【霉；口c 口t ，口i ) ( 乏；f l ( a z ) x l 【a 2 ) ) = ；l 。+ a 2 = b 口c 口，卢c 口：，( 三) ) f 瓤( 咒，1 ) 是以弘l ( a l = ( a l l ，a 1 2 ，a l n ) ，0 a l f p 一1 ，i = 1 ，n ) 为基张 成的域f 上的向量空间，它是除幂代数瓤( ，l ，f ) 的子代数对于任意的，x ( a 2 ) 瓤( 甩，1 ) ( 其中口l = ( a l l ，a l n ) ，a 2 = ( a 2 i ，口2 h ) ) ，如果a a 肖对任意的i = 1 ，2 ，n 成立，则我们记a l a 2 或a 2 a 1 当对每个i = 1 ，2 ，有a = a 2 f 时， 我们就说a l = 口2 若b l + b 2 茹( p 一1 ，p 1 ) ，则- 6 2 k ( “扫+ 。b 2 、，x c ”6 2 ) - 0 定义1 8 设d 为除幂代数9 i ( n ，1 ) 上的线性变挽若对任意，水9 i ( n ，1 ) ，有 d ( x ( a ) ，砚) = ( d 4 t ) 口2 + 4 t d ( 2 ) ， 则称d 为除幂代数q k n ，1 、) 的导子我们记所有这样的导子的集合为d e r l , ( 瓤( n ，1 n 特别地记d f 为瓤( ，l ，1 ) 的导子，它满足 d i x ( a l k 弘i 吲，岛= 螂1 ，o ，o ) ，汪l 2 ，1 i - 1 个 如果a l 芝句，则d f 4 1 ) = n - e d = 0 下面我们规定除幂代数瓤仍，1 ) 上元素的次数： 对任意的元1 瓤仍，1 ) ，a l = ( a l ，a l 。) ，称l a l l _ n 口l f 为除幂代数嘎( 丹，1 ) 中元x ( a 1 ) 的次数 若设( 以，1 ) 是9 a ( n ，1 ) 的所有m 次元生成的子空间( m = 0 ，l ，2 ，n ( p 1 ) ) ， 则嘎( ，l ，1 ) = o 呗川( 以，1 ) 是一个压阶化结合代数 m = o 同样地，对任意的- 瓤( ，l ，f ) ，口i = ( 口i l ，口l ) ，称l a l i = 莞口l f 为除幂代数 9 j ( n ，f ) 中元扣t ) 的次数，并记9 2 m ( n ，f ) 为除幂代数吸( 力，f ) 中所有m 次元所生成的 子空间 4 1 2 基本概念和定理 最后，我们再来回忆一下w i t t 代数w ( n ，1 ) 和哈密尔顿代数h ( 2 ，1 ) 的定义： 令 w ，1 ) = d d e r f ( 9 1 ( n , 1 ) ) id ( 4 ) = ，4 q d ( 一曲) ，v o 口“) ， f = i 这里晶= ( p 一1 ，p 1 ) n ，l ，则w ( n ，1 ) 叫做除幂代数嘎( 刀，1 ) 的特殊导- 了代数， 又叫w i t t 代数 定义映射d n ：9 i ( 2 ，1 ) 一w ( 2 ，1 ) ，满足 d n = d i ( f ) d 2 一d 2 ( f ) d l ，v f 9 i ( 2 ，1 ) ， 并记线性映射d 日的象集为盯( 2 ，1 ) 令h ( 2 ，1 ) = 盯( 2 ，1 ) 1 ) = 【( 2 ，1 ) ，( 2 ，1 ) 1 ，我 们称h ( 2 ，1 ) 为哈密尔顿代数事实上，哈密尔顿代数h ( 2 ，1 ) 和( 2 ，1 ) 都是w ( 2 ，1 ) 的予代数 5 2 ，z 一李代数够( ，z ) 在本章中，我们研究特征p ( p 3 ) 的域f 上的除幂代数a ( n ，1 ) 作为n 一李代数 的结构首先确定它的生成元组，然后在它上面构造一个幂零的予代数最后，我们 再来研究它的导子代数 2 1 瓤( ，l ，1 ) 上的n 李代数结构 对，f 2 ，厶9 i ( n ，1 ) ，定义括号运算如下： 昕，正，五】：= d e t ( d i f j ) l l 。， 则根据命题1 2 知瓤( n ，1 ) 关于括号运算构成一个n 一李代数我们用g ( n ) 来表示这 个n 李代数 我们容易得到以下一些结论： 命题2 1 咒李代数c 3 ( n ) 的中，心z ( 够( ，1 ) ) = f i , v r ： v o t ( a ) x t 口z ( 够( 九) ) ，a t ( a ) f ，那么对任意f - l ，2 ，n ，有 ，产，口( 以) ，扣，删= 口( 口) ) - 0 ， 所以在a ( a ) 0 时，有一日) = 0 ，即a 芝6 i 从而a = 0 ，) = l ，口( 以) | 口) = a ( o ) f ， 即z ( 侈( 以) ) f 反之，由d i f = 0 以及c 3 ( n ) 上括号运算的定义知田，缪( ，1 ) ，缪( 甩) 】= 0 成立， 所以f z 皤( 甩) ) 综上知命题成立，即z ( 缪( n ) ) = f 注：在n = 2 时，令l = 多( 2 ) z ( 爹( 2 ) ) ，则l = 盯( 2 ，1 ) ，而【厶l 】= h ( 2 ，1 ) 在本文的余下部分我们均假定疗李代数g ( n ) 中的n 3 引理2 2f j 7 j 咄，侈( ，1 ) 其中a i = ( 口f l ，口加) ，i = 1 ，2 ，啊如果存在工有 口l + + a n j 一1 p ，贝z f 【t ，嘞】= 0 r 2 j v ，0 f j l 日t ，| 。k - 曩一- 够( n ) ( 0 f ；i _ ，p 一1 ，0 l ，聆 ，歹= 1 ，n 1 ) ，记f = f 0 l ，则有 【少，x ( t q 8 q ) ，k l l 】gp 扣) 6 的，1 李代数结构 证明：( 1 ) 根据除幂代数9 a ( n ，1 ) 以及括号运算的定义即可得到 ( 2 ) 令a l = ( 口l l ，a l n ) ，则在【，| 灯i 自i ) ，k - - 】0 时，有 【，i q ) ，一k - 一i 】= 口口l 嘞+ ( t i t 一1 硫+ “k i 一1 h i ， 这里 k ，i l ，厶一l l = 1 ，2 ，玎l ，口f 因为a l k l p 一2 ，所以 【们，x ( t qs i , ) ，x ( t i n _ ! e i n i ) 】垡f 定理2 3 | 8 ，水) ，( p 1 碡i ，( 产1 衙) ，| ( 矿1 k ) 以及“) 构成 以李代数g ( n ) 的一组生成元 特别地我们有以下子空间的分解： 驮，1 ) = 胁。f | “， 这罩我们记( s ) 如为曲疗李代数g ( n ) 的7 集s 所生成的子代魏 证明：记多铆) 7 = ，| “一，| ( p 1 蛔) ，| ( 产1 k ) 胁，并且在文章的余下部分 我们都用 伽 其次证明：( 弘- ) 够( ，1 ) l0 h i 侈( ，1 ) 对v 1 ) ( x ( a 1 ) 侈( ，1 ) 10sk l i 疗q 1 ) ) ，口l = ( 口l l ，a 1 2 ，a l n ) ，存在 f i l ，l ，有a l isp 一2 不妨记a l lsp 一2 如果对所有f = l ，2 ，n ，有a “1 ，则 x ( a 1 ) = 二一【( a l l + 1 ) e l + 兜+ 斗岛) ，| 口1 2 8 2 ) ，口l h 】 1 1 2 。c t l n 又因为 ( 口i l + 1 k l + 宠扣塥) = 二 x ( ( a l l + 1 ) e ，| 卅锄) ，| 幻) ，| 锄】， a l i + i 7 疆( ，z ，1 ) 上的疗李代数结构 汁锄) _ 争撕) ，锄) ，见均) ，圳，| 】， 旬+ 句) = s ，一2 句) ，2 蹦，j ：佃) ，岛】，( 2 1 ) 所以弘- 缪( ，1 ) 如果在a l = 0 l l ，口l 一) 中存在等于0 的分量，则我们不妨设a 1 1 = = a l ，= 0 ，a l j 1 ( ，1 ，r j 以) ，则由 | “1 ) = 二一【司+ 跏- + 。+ 岛) ，晚) ，白) ，一口i ，+ i 鼽，口i 一岛】， “1 r + l g i n 1 + “i + 件勘) = 【拈，| 见) ，矗) ，2 岛】， 同样可得少- 侈( n ) 综上知( 口i ) c 3 ( n ) 10 i a l i 以p 1 ) ) 够( 甩) 最后证明：一蟊诺缪( n ) 假设| 矗够) ，则我们可设 疗一ln 晶= 口t ，锄) 刚，嘞) 】+ z f l i x ( e ，) + 竹一( p l 岫) ， ( 2 2 ) a l 。，a nf - lj = l 这里弘，嘞c 3 ( n ) 在4 ，嘞】0 时，如果a a 。中至少有一个小 nn 于等于q 一2 ) 8 i ，不妨设a l5 ( p 一2 ) 8 i ，并记 i = lf - l 我们有 根据j a c o b i 恒等式知 z o r ( b f ) ，岛= 【知+ 1 两，x ( a 2 ) ，扣】 历 扣j = x ( ( a l l + 1 ) e 1 ) ，水i n + l k 】 【，扣】：【瞳4 1 1 + 1 沁，( + 1 k 】，”，一“】 = 【蛐+ 1 玲，【( 知+ l h ) ，”，扣】，x a - 一+ l h 】 i = l = 口( 阢) 【| ( 矧+ 1 两) ，| ”，( + l k 】， f = l 籼 则由引理2 2 知，上式右边和式中的每一项瞳( a l l + i ) 8 ，| ，( 口一1 h 】葛 p 水) ，所以( 2 2 ) 式右边所对应的项口( n l ) 沙，扣】+ n - ! 届扣+ a l ，口 i = l 8 瓤( _ r z ，1 ) 上的，1 李代数结构 刀 m 尸1 岫) 是形如) 元素的组合，其中每个a n ( p - 1 ) + 1 时 有够) k 至- - i j 曼- = l 伽2 0 此时 【，吮，】，z i n ， 综上知l ( n ) 是，l 一李代数g ( n ) 的幂零予代数 定理2 7 厅李代数g ( n ) 上幂零+ 了代数l ( n ) 的导代数 = 0 1 ( n ) 2 = o 多( ，1 ) f _ ( 弘多( 九) | n l a l ， f f j 拒厶 这挈t = n 2 2 n ，s = n ( p 1 ) ( n 一1 ) 一九 证明：由定理2 3 和定理2 6 的证明过程知： ，( ，z ) 2 ( | 。锣( ，z ) i 甩i 口i 下面证明： 4 侈( ，z ) i 疗l a l ，l q 1 ) ) j ( 刀) 2 v 弘i ) ( 参( ，1 ) i 聆l a l ，a l = ( a l i ，a 1 2 ，a l 。) ，则必存在 i 1 ，2 ，n l ，有a l f p 一2 不失一般性，我们可以设 a l l2 = a l r = 0 ，a 1 ，+ l2 = a l s = 1 ， 2sa l ，什l ，a l i p 一2 ，a l f + 12 = a l n5 p 一1 ( t 1 ) n 因为h al = a l l r t 所以我们可以如下来定义一组向量： i = l 当n f r 以一j 时，令 f b i = 句+ e n 一“i ，b j = 勉，坑= ( 口l k + 1 ) 取， i b t = a l t e r ， 1 i 厂r + 1 j s ，s + 1 k n 一厂，1 1 一r + 1 l n ， 则l b f l 2 ( 1 is 以) ，所以弘1 ) = a x t 6 ，0 “】取，1 ) 2 ( 口o ) 当， 疗一t 时，不妨设疗一t = r q + 彳( o q r 1 ) ，令 b i = s i + z e n 一伊- f + l + 岛一中f ，坟= 取+ ll 岛一肭l ，b t = 2 e l ， j = o o 户 2 2 瓤( 刀，1 ) 上的一类幂零了代数 b m = ( a l 肌+ 1 ) ，b m p 1 ) ， l f q ，彳+ lsk 厂 r + 1 z s ，s + 1sm f ，f + l ，n ， 则同样有l b ，i 2 ( 1 f ，1 ) ，从而少1 ) = 口7 f x t b i ) ，| “】j ( ，1 ) 2 ( 口0 ) 当，疗一s 时，我们考虑 岛+ i ，8 仆l ，白，白，岛， 、_ i _ l _ 、，- _ 一、_ _ 。、，i _ 、_ - _ _ _ _ 一 ( 口i 。+ i 1 ) 个( a l ，- 1 ) 个( a l 。- d 个 这( a o 1 ) 个向量因为l a l l = a l i ，l ，所以( a l j 1 ) 之r 不妨设r 一1 = i - s + i i = 1 j = s “ l l ( a l j 一1 ) + ，( 1 ，a l ，一1 ) ，令 j - - - - $ + i b l = s l + s ，+ l ，b ，1 - s r - l + s l ，b ，= 毋+ ( 以l ，一l 一，) 句+ ( a i j - - 1 ) s j ， j = l + i b k = 2 e k ( r + 1 k 甩) ， 此时亦有i b f l 2 ( 1 f ，z ) ，从而t ) = a ”【| 6 1 ) ，“】j ( ，1 ) 2 ( 0 ) 综上知弘t ) ，( ，1 ) 2 ，所以( 弘) 多( ，2 ) 10 蚓 n ( p 1 ) ) ，( 咒) 2 ，故定理成立 下面我们来看一个上面第三种情况，即r 咒一s 时的具体例子： 例： 设p = 5 ，n = 6 ，】产t ) = | 旬+ 锄+ 3 岛j 够( 6 ) ，则】p - ) j r ( g ( 6 ) i6 i 口i 另一方面，令 b l28 1 + s 5 ，b 2 = 6 2 + e 6 ，b 328 3 + 岛，b 422 * 4 ，b s = 2 e 5 ，b 622 6 6 我们有以下式子成立 扣) ：争一蛐】 因为对i = 1 ，2 ，6 有i b i l 2 ，所以舻，( 6 ) 因此弘- ，( 6 ) 2 在上面的讨论中，如果我们取n = 3 ，即瓤( 3 ，1 ) 作为3 李代数g ( 3 ) 时，则有以下 几个结论： 推论2 8 对于3 一李代数g ( 3 ) 的幂零子代数j ( 3 ) ，我们有 耶) 2 = 0 缪( 3 ) 产( 多( 3 ) i3 l a i 3 _ i 6 p - 9 f ，3 1 2 2 2 钡( ，z ，1 ) 上的。类幂零子代数 定理2 91 ( 3 ) 的理想序列 “3 ) “= o莎( 3 ) f = ( 口缪( 3 ) im + 1 l a l ( m 3 ) 2 m i i 6 p 9 i e l 3 证明：假设1 ( 3 ) m 一1 = ( 4 够( 3 ) im l a l ( m 3 ) 已经成立，则对任意 五，( 3 ) 肿1 ，2 5 ，五，( 3 ) ，我们不妨设乃侈( 以) ou = l ，2 ，3 ) ，则有 2 m 一3 i l 6 p 一9 ，1 如6 p 一9 ，1si 3 6 p 一9 ， 从而i l + i 2 + i 3 2 m 一1 又因为 昕，正，五】g ( n ) i 。+ i 2 + i 3 ， 而根据推论2 4 我们知哳，正，2 5 1 0 时，有i l + i 2 + i 3 6 p 一9 ，所以 2 m 一1 i l + i 2 + i 3 6 p 一9 ， 即 昕，五，五】 0缪( 3 ) f = | 4 eg ( 3 ) i ，l + l l a i 3 ( p - 1 ) ) 2 r a - 15 i 6 p - 9 i e l 3 综上我们可得 i ( 3 ) m ( x ( a 够( 3 ) im + 1 i 口i 下面我们对m 用归纳法证明：( x t , o 莎( 3 ) lm + l 川 j ( 3 ) 朋 对m = 2 时结论已经成立假设结论对m ( m 2 ) 已经成立，即 ( 少) 缪( 3 ) im + l l a l ，( 3 ) 胍 则对任意x ( a 1 ) ( x t , o 缪( 3 ) im + 2 训 3 ( p 1 ) ) ，因为 ( 水) 够( 3 ) im + 2 l a l g ( 侈( 3 ) im + l l a l 3 ( p - 1 ) ) 从3 ) m ， 所以x o o “3 ) m ，故可设 弘l = 矗一，艘】， i 这里对每个i 有i b , l m ，峨i 2 ，峨l 2 如果对每个i 有1 日i m + 1 ，则 一6 ) ，( 3 ) m ，从而x ( a - ) i ( 3 ) m + 1 成立否则若有i 使峨i = m 则在t i 0 时，因为 1 3 2 3 瓤( ，l ，1 ) 上的导子代数 l a l l = ( i b i , i 1 ) + ( i b ：, l 1 ) + ( i b ；l 1 ) m + 2 ，所以峨i ，t b l t 中至少有一个大于2 不妨 设峨i 3 ，则由归纳假设知x t y , ) ，( 3 ) 2 ，从而可设 川= t i x 耻4 ，x ( w a ，妙】= 洲，以一，砖砌】 i i ，j = 枷以以艘】，“) ，砌+ f j 【砖一，以艘】，妫 i ji 。j + 如【o ) ，| ) ，【| ) ，6 ) ，| 呸】 t j 因为元州) ，州) ，呸】在够( n ) 中的次数都大于等于( 咖一1 ) + ( 2 一1 ) + ( 2 一1 ) ) ) 一 1 ) 一n = ( m + 1 ) 一1 ) 一九，所以i x ( d ) ，一q ) ，| 呸】i ( 3 ) m ，从而有i ，( 3 ) m + 1 成立 因此由归纳法知 ( 口参( 3 ) im + 2 l a l 3 ( p 一1 ) ) 1 ( 3 ) m + 1 对m 0 恒成立 综上知j ( 3 ) “=o够( 3 ) 产( 弘缪( 3 ) lm + 1 l a l 3 ( p 一1 ) ) ( ，l 3 ) 成 2 m - l _ i 2 时，d x ( 2 e j ) = 0 当j = 2 时，d x ( 2 8 0 f 我们在( 2 5 ) 式中取t = 2 ，则由( 2 5 ) ，( 2 6 ) ，( 2 7 ) 式可得 蹦硒) = 0 ，v f = 1 ，2 ，1 综上，我们知道对s 2 时，有 d f = 0 ，j d 扣) = 0 ，d x ( 拓o = 0 ，v f = 1 ，2 ，n 类似于定理2 1 2 的证明，应用归纳法以及( 2 5 ) ，( 2 6 ) ，( 2 7 ) 式，我们容易得到 d x ( 目) = 0 ，0 p 一1 ，1 f 以， 1 7 2 3 瓤( 咒，1 ) 上的导了代数 从而根据定理2 3 的证明过程，我们得到 d = o v f 烈以) 另外，我们再对( 2 8 ) 式两边作用d ，可得功( d | “) = 0 ( 1 j sn ) 因为 胁莎) 伽一l 砌( 沪i 卜咖，f = 够( 刀) 叫， 所以当j n ( p 一1 ) 时，d x t 6 ) = 0 ，从而d = 0 ，即 d e r f ( g ( n ) ) 一“舯1 ) = 0 当j = n ( p 1 ) 时，d x t 6 , ) f 则对任意给定的口f ，设j d | 以) = 口，如果口= 0 ，则 d = 0 如果口0 ，则 三耐m ：f o ，v 圳删， 口il ，a l = 晶， 所以由引理2 1 3 知丢d = d - n ( 产i ) ，即d = 以。( p - 1 ) 因此 d e r f ( g ( n ) ) 一n ( p 1 ) ( n 1 ) = 轧，( p 1 ) 注：我们知道以一李代数缪( 以) 上的内导子都是尺( 一峨，扣，) ( | 嘶侈( n ) ，2 f 九) 形式的线性组合，而在 尺( 一口2 ) 。加，) 加= 瞳6 ，x ( a ”，口一】0 ，如g ( n ) i 时，有 口厶，j 如，扣】尹研) ( 一i x i b l l + 胁| + + h ) - n 又因为 1 6 l l + i 口2 i + + i i t z i b l i 一1 ， 所以在d e r f ( g ( n ) ) 一s ( n - 1 1 ( s 2 ) 中不存在n 一李代数q ( n ) 上的非零内导子因此 以咿1 ) 是n 一李代数g ( n ) 上的外导子 下面我们将给出n 李代数g ( n ) 的一类导子： 首先我们定义 d q ( f ) ：= ( d j f ) d i 一( d i ，) d j ，v f 侈( ，1 ) ，v 1 i j n 事实上，在保证磅，研缪( 行) 的前提下，可以取f 瓤，f ) 我们有以下 结论成立 1 8 2 3 瓤( ，l ，1 ) 上的导予代数 引理2 1 5 对任意的厂嘎( ，l ，1 d ，若磅，q 毋( ，1 ) ( 1 f j 疗) ，则d i j ( j o d e 印( 缪( n ) ) 证明：根据对称性，我们只要验证d 1 2 d e r f ( 缪( n ) ) 即可 对任意的g l ，9 2 ，踟够( ，1 ) ，有 珧确m 以力 荟i s s n 瓴湖妇p ) ) 、j ，h 7 喝i七= l 、f ”，厶 ， =n二sgn(fl)dl鼢(dkd2(f)id l ( g 棚眦k ) ) t i 。nk = l ， + i t 量 喜唧( f l f ，l 龇i ) ( 蚴蚺( 妙毗厶) )，、七= l ， 一i量喜ssn瓴湖-鼢晒鼢一)l，、七= l ， 一i喜sgn(fl一)dl(g。(dl姚鼢一见)l i r 、t = l ， = 如 一k = lt ；量s g n ( f l 访玩 归2 魄卜一慨d 1 u 归2 慵j 卜一以增u j n e d 一 七= 1 七2 觑, ；，量s s n m 即 ；互唧 ，如) 。( g j i ) 。1 ( g 缸) 协( g “) ) ( i l ，i 一) 。( g i l ) 。2 ( g j 2 ) 。2 ( g “) 。( g 。) = 。， 劭】= 踟】， 即1 2 d e r f 预帕) 证毕 b l 推论2 1 6 设，瓤，+ 2 ，f ) 以及d f ，