（基础数学专业论文）dirichlet空间上的toeplitz算子.pdf

i 、_，y d i r i c h l e t 空间上i 驹t o e p l i t z 算子 摘要 函数空间上的算子理论是泛函分析学科研究的重要分支之一本篇硕士论文 主要研究d i r i c h l e t 空间玩和l a r g e rd i r i c h l c t 空间d 以及单位多圆盘d ni - d i r i c h l e t 空! 间d 上的t o e p l i t z 算子着重考虑t o e p l i t z ；算子的本性交换，自伴性，正规性，乘积有 限和的紧性以及紧性等性质 第一章主要介绍d i d c h l e t 空间和d i d c h l e t 空间上的t c c p l i t z 算子等相关背景知 识，并给出一些基本概念及符号最后说明本篇论文的研究内容和意义 第二章研究, t o e p l i t z 算子的乘积，证明了两个调和符号的t o e p l i t z ：算子乘 积乃乃是一个t 0 e p l i t z 算子死的紧扰动当且仅当，夕一九的b e r c z i i l 变换在边界为零 第三章研究 d i d c h l e t 空间仇上以1 ，( 其定义详见第二章) 函数为符号 f 拘t o e p l i t z ：算子的自伴性和正规性等基本代数性质，证明了瓦自伴当且仅当仳是实 值常数，并部分解决了瓦的正规性问题 第四章研究：l a r g e rd i r i c h l e t 3 e 间d 上t o e p l i t z _ 算子乘积的有限和的紧性，证明 t t o e p l i t z 算子乘积有限和是紧的当且仅当对应的符号函数的乘积有限和在单位 开圆盘的边界上为零 第五章研究单位多圆盘d n 上d i r i c h l e t 空间上以测度为符号的t a e p l i t z 算子的 有界性和紧性，证明了有界符号f l 勺t o e p l i t z l 算子是紧算子 关键词：s o b o l c v 空间；d i r i c h l e t 空间；l a r g e r d i r i c h l e t 空间；b e r e z i n 变换；t o e p l i t z 算 子：本性交换 t 4 j 甘 ， ，、 d ， t o e p l i t zo p e r a t o r so n t h ed i r i c h l e ts p a c e a b s t r a c t t h eo p e r a t o rt h e o r yo nf u n c t i o ns p a c e si so n eo ft h es i g n i f i c a n tb r a n c hi nf u n c t i o n a la n a l y s i s i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l ys t u d yt h et o e p l i t zo p e r a t o r so nt h e d i r i c h l e ts p a c ea n dt h el a r g e rd i r i c h l e ts p a c ea n dt h ed i r i c h l e ts p a c eo fu n i tp o l y d i s k ， a n df o c u so ne s s e n t i a lc o m m u t a t i v i t y , s e l fa d j o i n t n e s s ，n o r m a l i t y , t h ec o m p a c t n e s so f f i n i t es u m so f t o e p l i t zp r o d u c t sa n dt h ec o m p a c t n e s so ft o e p l i t zo p e r a t o r i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c es o m er e l a t e db a c k g r o u n d sa b o u tt h ed i r i c h l e ts p a c e a n dt h et o e p l i t zo p e r a t o ro ni t ，a n dg i v es o m eb a s i cd e f i n i t i o n sa n ds y m b o l s f i n a l l y w ei n t r o d u c eo u rr e s e a r c hc o n t e n t i nc h a p t e r2 ，w ec h a r a c t e r i z et h ep r o d u c t so ft w ot o e p l i t zo p e r a t o r so nt h el a r g e r d i r i c h l e ts p a c eo ft h eu n i td i s k ，w ep r o v et h a tt h ep r o d u c t so ft w ot o e p l i t zo p e r a - t o r s 乃，乃w i t ht h es y m b o l so f h a r m o n i cf u n c t i o n si sc o m p a c tp e r t u r b a t i o no fa n o t h e r t o e p l i t zo p e r a t o r s 死i f a n do n l yi ft h eb e r e z i nt r a n s f o r mo ff g hi sz c r oo no d i nc h a p t e r3 ，w ec h a r a c t e r i z et h es e l fa d j o i n t n e s sa n dn o r m a l i t yo ft o c p l i t zo p 。 e r a t o r sw i t ht h es y m b o lo fw l , ( i t sd e f i n i t i o ni sg i v e ni nc h a p t e r3 ) o nt h ed i r i c h l e t s p a c eo ft h eu n i td i s k w ep r o v et h a t 冗i ss e l f - a d j o i n ti fa n do n l yi fu i sar e a lc o n s t a n t f u n c t i o n ，s o l v et h en o r m a l i t yo f 死p a r t l y i nc h a p t e r4 ，w ec h a r a c t e r i z et h ec o m p a c t n e s so ff i n i t es u m so ft o e p l i t zp r o d u c t s o nt h el a r g e rd i r i c h l c ts p a c eo ft h eu n i td i s k w ep r o v et h a tt h ef i n i t es u m so ft o e p l i t z p r o d u c t si sc o m p a c ti fa n do n l yi ft h ef i n i t es u m so fs y m b o lf u n c t i o n si sz e r oo no d i nc h a p t e r5 ，w ec h a r a c t e r i z et h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s so ft o e p l i t zo p e r - a t o rw i t ht h es y m b o lo fm e a s u r eo nt h ed i r i c h l e ts p a c eo fu n i tp o l y d i s k w ep r o v et h a t t h et o e p l i t zo p e r a t o r sw i t hb o u n d e ds y m o l si sc o m p a c t k e yw o r d s ：s o b o l e vs p a c e ；d i r i c h l e ts p a c e ；l a r g e rd i r i c h l e ts p a c e ；b e r e z i n t r a n s f o r m ；t o e p l i t zo p e r a t o r ；e s s e n t i a l l yc o m m u t e i t ， ， 目录 摘要 i a b s t r a c t 目录v 1 绪论1 1 1 研究背景概述 1 1 2 基本概念及符号2 1 3 研究内容及意义5 2 d i r i c h l e t 空间d 上本性交换的t o e p l i t z 算子 7 2 1引言与主要结果7 2 2 预备引理7 2 3 定理证明9 3d i r i c h l e t 空间仇上t o e p l i t z 算子的自伴性和正规性1 4 3 1 引言与主要结果1 4 3 2 预备引理1 4 3 3 定理证明1 9 4 d i r i c h l e t 空间d 上t o e p l i t z 算子乘积有限和的紧性2 2 4 1 引言与主要结果2 2 4 2 预备引理2 2 4 3 定理证明2 3 5d 1 = d i r i c h l e t 空间上的t o e p l i t z 算子的有界性和紧性2 6 5 1 引言与主要结果2 6 5 2 预备引理2 7 5 3 预备引理2 8 5 4 定理证明3 0 参考文献3 1 致谢3 4 攻读学位期间的研究成果3 5 浙江师范大学学位论文独创性声明3 6 学位论文使用授权声明- 3 6 学位论文诚信承诺书3 7 v 1 1 研究背景概述 1绪论 泛函分析是现代数学的一个重要分支，是古典分析的推广，它综合运用了函 数论、几何学和代数学的方法研究无穷维空间上的分析问题函数空间上的算子 理论是泛函分析的重要组成部分它在群上调和分析、概率论、计算数学、连续 介质力学、物理方程、量子物理学等学科有着广泛的应用t o e p l i t z 算子则是函 数空间上一类非常重要的算子，它与算子代数、复分析、函数论、指标理论等学 科有着密不可分的联系 数学家对t o e p l i t z 算子的研究迄今已有将近1 0 0 年的历史t o e p l i t z 算子的研究 开始于上个世纪初( 1 9 1 1 年) 德国数学家t o e p l i t z t l l 对z 2 ( z ) 和z 2 ( z + ) 上i 妇t o e p l i t z 矩 阵定义的t o e p l i t z 算子的研究t 0 e p l i t z 矩阵是指在任何一条平行于主对角线的 直线上，矩阵元素皆相同的双向无穷矩阵或单向无穷矩阵在上个世纪五十年 代，h a r t m a n 和w i n t n e r t 2 3 对t o e p l i t z 矩阵的谱进行了广泛而深入的研究，得到解 析t o e p l i t z 算子的谱，谱包含定理，谱连通定理等重要结果在上个世纪六十年 代，b r o w n 和h a l m o s 4 1 研究了经典h a r d y 空间h 2 ( t ) 上t o e p l i t z 算子的代数性质众 多数学家研究t o e p l i t z 矩阵和t o e p l i t z 算子的同时，对与t o e p l i t z 矩阵有着紧密联系 的f 2 ( z ) 和f 2 ( z + ) 上由h a n k e l 矩阵定义的h a n k e l 算子也进行了研究h a n k e l 矩阵是 指在任何一条平行于次对角线的直线上，矩阵元素皆相同的双向无穷矩阵或单向 无穷矩阵关于h a n k e l 算子的经典结论可见【5 】后来，d o u g l a s t 6 】开创性地运用了 代数学的方法研究t o e p l i t z 算子，使得对t o e p l i t z 算子和h a n k e i 算子的研究进入了 一个崭新的时代 数学家除了研究经典h a r d y 空间h 2 ( t ) 上的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子之外， 由于实际问题的需要，对b e r g m a n 空间，d i r i c h l e t 空间。f o c k 空间上的t o e p l i t z 算子 和h a n k e l 算子也进行了广泛而深入的研究可见【7 1 2 所研究函数的定义域也 由复平面c 上的单位圆周面扩展至复平面上的单位开圆盘d ，复平面c ，单位多圆 1 1 绪论 盘d n ，单位球b n ，拟凸域甚至有界对称域等另一方面，函数空间的测度也由经 典h a r d y 空间h 2 ( - i ) 上的弧长测度推广至b e r g m a n 空间、d i r i c h l e t 空间上的面积 测度 我们看到同一问题在不同空间上有着相似的地方，也存在诸多的差异比 如在经典h a r d y 空间何2 ( ) 上不存在非零的紧算子，而在b e r g m a n 空间l ：上，存在 大量非零的紧t o e p l i t z 算子在经典h a r d y 空间俨( t ) 上有界的t o e p l i t z 算子只能 由l ( t ) 上的符号诱导，而在b e r g m a n 空间上，存在着大量的无界符号诱导的有界 t o e p l i t z 算子 与此同时，我们也注意到单复变函数论与多复变函数论存在许多重大差异， 可见【1 3 - 1 6 】比如著名的c o r o n a h - 题，c a r l e s o nl 【1 7 q i e 明了d 在h ( d ) 的极大理 想空间m 中是稠密的，而在高维情形下仍是个公开问题算子性质强烈地依赖于 它所在的解析区域，因而单变量和多变量函数空间上的算子理论将有很大差异 t o e p l i t z 算子理论还有许多基本问题没有解决，它们的解决除了依赖于函数 空间及其所在区域边界几何性质外，还依赖于b a n a c h ( 七数，c 代数，代数拓扑等 方法的丰富和发展 1 2 基本概念及符号 记c 表示复平面，d ，分别表示复平面c 上的单位开圆盘和单位圆周，d a 表 示单位开圆盘d 上正规化的l e b e s g u e 澳1 度l 2 ( - ) 表示单位圆周上平方可积函数 构成的空间经典h a r d y 空间日2 ( ) 可表示为： 2 ( ) = ，l 2 ( ) ：去z 孙，( e 徊) e 协。枷= 。，n = l ，2 ， b e r g m a n 空间层( d ) 可表示为： l ：( d ) = h ( d ) nl 2 ( d ，d a ) ， 其中( d ) 表示单位开圆盘d 上的解析函数全体，l 2 ( d ) 表示单位开圆盘d 上在正 规化l e b e s g u e 测度下的平方可积函数全体 2 1 1 绪论 s o b o l e v 空i o - w 1 , 2 ( d ) 是单位开圆盘d 上具有范数 l i ，i l = l ，d a l 2 + ( i 甏1 2 + i 譬1 2 ) d a ) 曩 o o 的函数，构成的空间定义1 , 2 ( d ) 上的内积如下 萨f f d a f 卅( 忡o s - 护万差习弘 则在上述内积下，w 1 , 2 ( d ) 是一个h i l b e r t 空间 在本文的前四章中( ，) ，( ，) 2 分别表示w 1 ，2 ( d ) 和己2 ( d ，d a ) 上的内积，与此 相对应，1 1 i i 和”1 1 2 分别表示w 1 ，2 ( d ) 和l 2 ( d ，拍) 上的范数 d i r i c h l e t 空间口为1 ，2 ( d ) 中全体解析函数组成的闭子空间因此，它是一 个h i l b e r t 空间，其内积为 ( 夕) = f f d a f y d 以+ 差囊以 d 上的每个点赋值都是移上的有界线性泛函因此，对每一个z d ，存在唯 一的函数忌d ，具有如下的再生性质 f ( z ) = ( 正r z ) ，v f d 熟知兄( 叫) = 1 + l o g 南，称之为口上的再生核函数 设q 为w 1 ，2 ( d ) 到d 上的正交投影，对妒w 1 ，2 ( d ) ，q 可表示为如下的积分算 q 妒( z ) = 01 0 t n , i 1 0 同理可得， ( o l 竹+ 旁，尹) = o l + ( 竹旁，尹) = n l 村，l 扎2 z l + j + n - l z _ 1 d a ( z ) = o 1 ol ol o 刍 令凡表示在w 1 , 2 ( d ) 中的闭包，a 表示凡+ c 则由上可知，山，矾和_ 0 彼 此正交，其中_ 0 = 7 ：f d o ) 因此，单位开圆盘d 上任一以z ，乏为自变量的多 项式p ( z ，乏) 可以唯一地分解为如下形式： p ( z ，乏) = a l + j ，f 钉旁+ c + 吣n + o 。万， j 一ll 0 n 0n 0 其中歹，2 ，n f l j p ( z ，乏) 决定，取值于整数集的有限子集，且满足n l 幻，l = 0 1 0 由【2 7 】可知，以z ，乏为自变量的多项式p ( z ，乏) 在w 1 , 2 ( d ) 中稠密因此，s o b o l e v 空 间w 1 , 2 ( d ) 有如下的直和分解 w 1 ，2 ( d ) = 4e ：9 0o - 0 1 6 3 d i r i c h l e t 空f - - d o i t o e p l i t z 算子的自伴性和正规性 因此对w l , o o ( d ) ，如果不考虑常数项的差异，可以唯一的表示为p o + ，+ 虿，其* p o a o ，f ，夕是单位开圆盘d 上的解析函数为了便于说明，本章中的 解析函数，夕的泰勒展开式统一记为 ，= 0 0 + 0 1 z + t z 2 2 2 + + n t l 矿+ = n 七， k = 0 夕= 6 0 + b l z + 6 2 2 2 + + 6 n 扩+ = 巩z 七 引理3 2 1 【2 6 】设m ，n 为正整数，则 f 0 q ( 尹扩) = 【z 铲m m n ， m 7 1 , 引理3 2 2 【2 8 1 设w l , o o ( d ) ，i i j a oc a o 引理3 2 3 设f = p o + ，+ 虿w l , o o ( d ) ，其中p o a o ，夕是单位开圆盘di - _ 的解析函数如果兀是正规算子，则 ， 子f n + 1 1 i 引2 ：子堂i o 1 圣( n + 1 ) 蚶2 萎而 n = ln = i i i e n y j ：由于瓦是正规算子，对，d o ，有 ( + ，十虿( n + ，+ 蚕( ，) ) = ( 臻+ ，+ 虿( n 碾+ ，+ 虿( ，) ) 特别地，令f = z 1 ) o ，有 ( + ，+ 虿( 名) ，+ ，+ 叠( z ) ) = ( 7 ；0 十，+ 虿( 名) ，瑶+ ，十虿( z ) ) 1 7 3 d i r i c h l e t 空 问7 9 0 _ k t o e p l i t z 算子的自伴性和正规性 经过计算，得到： 7 k + ，+ ( z ) ( 叫) = w f ( w ) + b o w ， + ，+ 虿( z ) ( 叫) = ( 瑶+ ，+ 虿( z ) ，凡) = ( z ，( p o + f + 歹) 凡) = ( 名，p o 凡) + ( 1 ，凡+ ，或+ 歹或) 2 由于凡z ) w 1 ，( d ) ，由引理3 2 2 得到p o 凡a o ，所以( z ，p o 凡) = 0 由于，凡是常数项为零的解析函数，( 1 ，7 凡) 2 = 0 因此 + ，+ 虿( z ) ( 叫) = ( 1 ，心) 2 + ( 1 ，- 。r ) 2 由上可得， b n z n ) 矿+ 1 扩d a ( z ) ( + ，+ 蚕( z ) ，+ ，+ 虿( z ) ) = ( z f ( z ) + b o z ，z y ( z ) + 6 0 名) 0 0 ( 口。+ 瓦+ ( 礼+ 1 ) n n 矿，知+ 瓦+ ( n + 1 ) a n 矿) 2 7 1 - - - - 1 = l a o + 瓦1 2 + ( 礼+ 1 ) 1 0 吼1 2 ， n = 1 ( + ，+ 雪( z ) ，+ ，+ 虿( z ) ) = ( 诹+ 6 0 z + n = 1 n = 1 熹1 丽m + 薹熹1 ， = ( 面+ b o + e b n z n , 印+ 瓦+ n = 1 1 8 n = l b n z “) 2 3 d i r i c h l e t 空问：d o i - t o c p l i t z 算子的臼伴性和正规性 因此 3 3 定理证明 = 1 瓦 6 + b o l 2 + ；| = l ，。l b 。1 2 r 耋”1 ) i 口n 1 2 删i b n l 2 f 定理3 i 1 的证明：如果+ ，正规，由引理3 2 3 ，a n = 0 ，几= 1 ，2 ，因 l l t p o + ，4 同理，如果+ 7 正规，由引理3 2 3 ，n n = 0 ，佗= 1 ，2 ，因此p o + 7 a 如果+ ，+ 7 正规，由引理3 2 3 ， 耋( 删n n i2 。脚l a - 1 2 r 因此口，i = 0 ，n = 1 ，2 ，n 8 p p o + ，+ 7 a 由引理3 2 3 ，反之显然 定理3 1 2 的证明：假设咒= 先假设u 是解析函数，由于e = r ，得到 冗玩= 玩，v a d ， 冗b ( z ) = ( 冗玩，r ：) = ( e ，t | 忌) = ( u 兄，既) = ( u r ：) ，( 0 ) ， 马b ( 名) = q ( _ 历) ( z ) = u ( 口) 乜( z ) 由于丽= e o ( z ) ，丽= 凡( z ) 因此， u 7 ( n ) r a ( z ) = 0 1 9 ( 3 3 1 ) 3 d i r i c h l e t 空间一l ：t o e p l i t z 算子的臼伴性和正规性 在( 3 3 1 ) 两边对变量z 求导，得到u 三0 ，因而u 为常数 下面证明当仳w 1 , o o 也成立由咒= r ，得到 + ，+ 耍( z ) ( 硼) = + 7 + 9 ( z ) ( 叫) = ( 面+ 6 0 ) 叫+ 蔫 ( _ + b o ) w + b n 叫州 因此，k = 0 ，佗= 1 ，2 ，所以札= p o + ，+ 丽由前段结论，可见仳a 反之，如果仳4 ，= 马显然成立 定理3 1 3 的证明：由于冗是自伴算子，对厂d o ，露，= 瓦，当，= z 时， 焉帅( 州叫) = ( 面+ 咖+ 三o o 而b 1 ， ( 3 3 2 ) + ，+ 蚕( z ) ( 叫) = ( n 。+ 瓦) 叫+ n 。w 叶1 n = 1 比较( 3 3 2 ) 和( 3 3 3 ) 的系数，得到 当，= z 2 时， ( 3 3 3 ) 丽+ 6 0 = 口0 + 瓦；禹= 口n b = 1 ，2 ，) ( 3 3 4 ) 瑶+ ，+ 虿( z 2 ) ( 叫) = 勋+ ( 面+ 6 0 ) 冉三o o 莉2 b 2 ， + ，+ 虿( z 2 ) ( 叫) = b l w + ( a o + 瓦) 伽2 + 口。w 川 比较( 3 3 5 ) 和( 3 3 6 ) 的系数，得到 ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) 面+ 6 0 = 知+ 一b o ；2 - a 7 = 瓦；丽2 b , = 口n ( n = 1 , 2 , - - - ) ( 3 3 7 ) 3 d i r i c h l e t 空间d o h t o e p l i t z 算子的f j 伴性和正规性 由( 3 3 4 ) 和( 3 3 7 ) ，得到且n + l = 鹈，礼= l ，2 ，所以o n = k = o ，礼= 1 ，2 ， 因此钍= p o + a o4 - 瓦显然，a o + 丽r 即仳凡+ r 反之，当牡a o + r ，瓦是自伴算子 2 1 4d i r i c h l e t 空f o - di - t o e p l i t z 算子乘积有限和的紧性 4 1 引言与主要结果 本章研究t l a r g e rd i r i c h l e t 空i h - d & t o e p l i t z 算子乘积有限和的紧性a x l e r s 和z h e n gd 2 2 1 得至l j b e r g m a n 空间l ：上t 0 e p l i t z 算子的有限乘积的有限和是紧 的当且仅当它的b e r e z i n 变换在边界上趋于零l e ey 2 3 得到t j 、d i r i c h l e t 空 间口o 1 - t o e p l i t z 算子乘积的有限和是紧的当且仅当它的符号函数的乘积的有 限和在边界上为零我们在开单位圆盘d 一卜的l a r g e rd i r i c h l e t 空间d 上考虑该问 题，主要结论为： 定理4 1 1 设讹，忱( i = 1 ，) 是q 中的调和函数则下列条件等价： ( 1 ) 咒。瓦。是紧的 i = 1 ( 2 ) u i _ 1 3 i 在o d 上为零 i = 1 定理4 1 2 设u ，仇0 = 1 ，) 是q 中的调和函数，a s 则下列条件等价： ( 1 ) 乃+ 瓦l 。是紧的 i = 1 ( 2 ) 入+ u i o i 在o d & 为零 4 2 预备引理 在证明定理之前，我们先陈述一些将要用到的符号和相关背景 令表示具有如下形式的函数构成的集合： a = u n u i 2 以，其中乱巧是q 中的调和函数 设t l = f + 歹， = h + i 是q 中的调和函数，由计算得 b 【弓磊弓二】= f h + f - k + b 晦叫+ 办( 4 2 1 ) 2