线性方程组求解习题课.doc

线性方程组求解习题课一、给定方程组试考察用Jacobi迭代法和Seidel迭代法求解的收敛性。解：对Jacobi迭代法，迭代矩阵为因为，得特征值得 ，由定理知Jacobi迭代法发散。对Seidel迭代法，迭代矩阵为=显然，其特征值为故，由定理知Seidel迭代法收敛。二、设线性方程组，。证明：解线性方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法同时收敛或不收敛。证明：，故，得。，得。注意到由定理Jacobi和Seidel迭代法同时收敛或不收敛。三、对于，若用迭代公式，k=0，1，2，取什么实数范围内的可使迭代收敛？解：迭代公式可写成迭代矩阵为。易求出A的特征值为1和4，故有B的特征值为和。所以要收敛，由定理有。所以时迭代收敛。取什么值可使收敛最快？四、设A是n阶非奇异阵，B为n阶奇异阵，试证：其中，是矩阵的算子范数。证明：因为Cond(A)= ，所以本题不等式的证明可转化为证明 存在显然。注意到为引入向量证明矩阵范数，考虑矩阵B对应的齐次方程组Bx=0。因为B是奇异阵，存在非零向量y满足By=0，用左乘得，有两边取范数有因为，得而所以有,证毕。五、 设，A非奇异，对线性方程组有块Jacobi迭代法试给出其矩阵迭代格式和块Seidel迭代格式。解：Jacobi迭代公式可写成故有块Jacobi迭代矩阵格式为块Seidel 六、用列主元与全主元方法解方程组解：1、列主元法进行计算过程：回代得到解：2、使用全主元法过程：回代得到解：七、设是对称正定矩阵，经过高斯消元法一步后，约化为，其中，证明：（1）A的所有对角元素；（2）是对称正定阵证明：（1）因A对称正定，故其中为第个单位向量（2）由A的对称性及消元公式得故也对称又，其中 显然非奇异，从而对任意的，有由A的正定性，有正定。又，而0，故正定。八、给定线性方程组其中且系数矩阵是非奇异的。试根据其系数矩阵稀疏性的特点给出一个求解算法。并指出所给算法的乘除法和加减法的运算次数。分析：根据方程组的特点先用消元法将其化为两对角方程组，然后再用回代法求解。解：1.依次先消去第n行非对角元素化为上三角矩阵记第一次消元：记，将第一行乘加到第行，并记消去了第一列的，原来的第二次消元：记 将第二行乘加到第行，并记消去了第二列的，原来的类似做法直到第次消元：记将第行乘加到第行，并记经过以上次消元得同解得两对角方程组为用回代可以求解。最后算法为：（1）（2）对依次计算，（3）（4）（II）乘除法（5n-4） 加减法3(n-1）给定线性方程组其中且系数矩阵是非奇异的。试根据其系数矩阵稀疏性的特点给出一个求解算法。并指出所给算法的乘除法和加减法的运算次数。分析：根据方程组的特点先用消元法将其化为两对角方程组，然后再用回代法求解。解：1.依次先消去第n行非对角元素化为上三角矩阵记第一次消元：记，将第一行乘加到第行，并记消去了第一列的，原来的第二次消元：记 将第二行乘加到第行，并记类似做法直到第次消元：记将第行乘加到第行，并记经过以上次消元得同