证明三角形全等的思路归纳.doc

.证明三角形全等的思路归纳三角形全等的识别方法是三角形一章的重点内容，在具体应用三角形全等的识别方法时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，弄清已具备了那些条件，从中找出已知条件和所要说明的结论之间的内在联系，从而选择适当的说明方法。现将其思路归纳如下：一、 已知有两角对应相等时的思路：思路一、找出夹边相等，用（ASA）例1如图1，在ABC中，MNAC，垂足为N，且MN平分AMC，ABM的周长为9cm,AN=2cm,求ABC的周长。解析：只要求出CM和AC的长即得ABC的周长，而AMNCMN可实现这一目的。因为MN平分AMC，所以AMN=CMN，因为MNAC，所以AMNA=CMNC=900，这样有两角对应相等，再找出它的夹边对应相等（MN为公共边）即可。在AMN和CMN中，所以AMNCMN（ASA）所以AC=NC，AM=CM（全等三角形的对应角相等），AN=2cm,所以AC=2AN=4 cm，而ABM的周长为9cm,所以ABC的周长为9+4=13 cm。思路二、找出任意一组角的对边对应相等，用（AAS）：例2如图2，在在ABC中，B=C，说明AB=AC析解：作BAC的平分线AD，交BC于D，由BAD=CAD，B=C，再找出B和 C 的对边AD=AD，得ABDACD（AAS），所以AB=AC。二、 已知两组对应边相等时的思路：思路一、找夹角相等，用（SAS）例3已知如图3，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，试说明BD=CE。析解：已知AB=AC，AD=AE，若BD=CE ，则ABDACE，结合BAC=DAE易得两已知边的夹角BAD=CAE，于是，建立了已知与结论的联系，应用（SAS）可说明ABDACE，于是BD=CE。思路二、找第三边相等，用（SSS）例4如图4，是一个风筝模型的框架，由DE=DF，EH=FH，就说明DEH=DFH。试用你所学的知识说明理由。解析：由于已知DE=DF，EH=FH，连结DH，这是两三角形的公共边，于是，在DEH和DFH中， 所以DEHDFH（SSS），所以DEH=DFH（全等三角形的对应角相等）。思路三、有一组对应角是直角，用（HL）例5如图5，两根长为12m的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两根木桩到旗杆底部的距离相等吗？请说明理由。析解：两根木桩到旗杆底部的距离是否相等，也就是看OB与OC是否相等，OB、OC分别在RtABO和RtACO中,由于所以RtABORtACO(HL),所以OB=OC.三、 有一边及其一邻角对应相等时的思路：思路一、找夹等角的另一边对应相等，用（SAS）。图6例6如图6，AE=AF，AEF=AFE，BE=CF，说明AB=AC。析解：找到夹等角的另一对边。因为BE=CF，所以BE+EF=CF+EF，即BF=CE。在ABF和ACE中， 所以ABFACE（SAS），所以AB=AC。思路二、找任一角相等，用（AAS或ASA）例7如图7，O是AB的中点，A=B，AOC与BOD全等吗？为什么？解析：本题已知A=B，又O是AB的中点，因此OA=OB，再找任一角相等，由于本题还隐含了对顶角，AOC=BOD，于是根据（ASA）可得AOC与BOD全等。四、 有一边及其对角对应相等时的思路。有一边及其对角对应相等时的思路是任找一组角对应相等，用（AAS）。例8如图8，在AFD和BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下面四个论断：AD=CB，AE=CF，B=D，ADBC。请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。析解：本题为一道开放型题目，其中如果已知AE=CF，B=D，ADBC。试说明AD=CB。就是一个已知一边及其对角对应相等的问题。因为AE=CF，所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE，这是比较明显的。另外，因为ADBC，所以A=C，找到这对对应角相等，则AFDBEC，即AD=CB。21如图，ABC中，AD是CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：C=2B证明：延长AC到E ，使AE=AC 连接 ED AB=AC+CD CD=CE可得B=ECDE为等腰ACB=2B22（6分）如图，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DEAC于E，BFAC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M（1）求证：MB=MD，ME=MF（2）当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由 （1）连接BE，DFDEAC于E，BFAC于F，DEC=BFA=90，DEBF，在RtDEC和RtBFA中，AF=CE，AB=CD，RtDECRtBFA（HL），DE=BF四边形BEDF是平行四边形MB=MD，ME=MF；（2）连接BE，DFDEAC于E，BFAC于F，DEC=BFA=90，DEBF，在RtDEC和RtBFA中，AF=CE，AB=CD，RtDECRtBFA（HL），DE=BF四边形BEDF是平行四边形MB=MD，ME=MF23已知：如图，DCAB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：AEDEBC（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除EBC外，请再写出两个与AED的面积相等的三角形（直接写出结果，不要求证明）：证明：DCABCDEAEDDEDE，DCAEAEDEDCE为AB中点AEBEBEDCDCABDCEBECCECEEBCEDCAEDEBC24（7分）如图，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F求证：BD=2CE证明：CEB=CAB=90ABCE四点共元AB E=CB EAE=CEECA=EAC 取线段BD的中点G，连接AG，则：AG=BG=DGGAB=ABG而：ECA=GBA (同弧上的圆周角相等）ECA=EAC=GBA=GAB而：AC=ABAECAGBEC=BG=DGBE=2CE25、如图：DF=CE，AD=BC，D=C。求证：AEDBFC。证明：DF=CE，DF-EF=CE-EF，即DE=CF，在AED和BFC中， AD=BC， D=C ，DE=CF AEDBFC（SAS） 26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BECF，BE=CF。求证：AM是ABC的中线。证明：BECFE=CFM，EBM=FCMBE=CFBEMCFMBM=CMAM是ABC的中线. 27、（10分）如图：在ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BDAC。ABD和BCD的三条边都相等ABD=BCDADB=CDADB=CDB=90BDAC28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。求证：BF=CF证明：在ABD与ACD中AB=ACBD=DCAD=ADABDACDADB=ADCBDF=FDC在BDF与FDC中BD=DCBDF=FDC，DF=DFFBDFCDBF=FC29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证：AF=DE。证明：AB=DCAE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FBABE=CDFDCB=ABFAB=DC BF=CEABF=CDEAF=DE30.公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中ABCD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BECF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.证明：连接EFABCDB=CM是BC中点BM=CM在BEM和CFM中BE=CFB=CBM=CMBEMCFM（SAS）CF=BE31已知：点A、F、E、C在同一条直线上， AFCE，BEDF，BEDF求证：ABECDFAF=CE,FE=EF.AE=CF.DF/BE,AEB=CFD（两直线平行，内错角相等）BE=DF：ABECDF（SAS） 32.已知：如图所示，ABAD，BCDC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AEAF。 DBCcAFE连接BD；AB=AD BC=DADB=ABD CDB=ABD;两角相加，ADC=ABC；BC=DC EF是中点DE=BF；AB=AD DE=BFADC=ABCAE=AF。33如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，1=2，3=4，求证: 5=6 证明：在ADC，ABC中AC=AC，BAC=DAC，BCA=DCAADCABC（两角加一边）AB=AD，BC=CD在DEC与BEC中BCA=DCA，CE=CE，BC=CDDECBEC（两边夹一角）DEC=BEC34已知ABDE，BCEF，D，C在AF上，且ADCF，求证：ABCDEF证明：AD=DFAC=DFAB/DEA=EDF又BC/EFF=BCAABCDEF（ASA） 35已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CDACBDEF证明：BDACBDC=90CEABBEC=90BDC=BEC=90AB=ACDCB=EBCBC=BCRtBDCRtBEC（AAS)BE=CD36、 如图，在ABC中，AD为BAC的平分线，DEAB于E，DFAC于F。求证：DE=DFAEBDCF证明：AD是BAC的平分线EAD=FADDEAB，DFACBFD=CFD=90AED与AFD=90在AED与AFD中EAD=FADAD=ADAED=AFDAEDAFD（AAS） AE=AF在AEO与AFO中 EAO=FAO AO=AOAE=AFAEOAFO（SAS）AOE=AOF=90ADEF37.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE若AB = 5 ,求AD 的长？DCBAE证明：ADABBAC=ADE又ACBC于C，DEAC于E根据三角形角度之和等于180度ABC=DAEBC=AE，ABCDAE（ASA）AD=AB=538如图：AB=AC，MEAB，MFAC，垂足分别为E、F，ME=MF。求证：MB=MC证明：AB=ACB=CMEAB，MFACBEM=CFM=90在BME和CMF中 B=C BEM=CFM=90 ME=MF BMECMF（AAS）MB=MC39.如图，给出五个等量关系： 请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明已知：AD=BC，DAB=CBA求证：DABCBA证明：AD=BC，DAB=CBA又AB=ABDABCBA39在ABC中，直线经过点，且于，于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时，求证： ；(2)当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.（1）ADC=ACB=BEC=90，CAD+ACD=90，BCE+CBE=90，ACD+BCE=90CAD=BCEAC=BC，ADCCEBADCCEB，CE=AD，CD=BEDE=CE+CD=AD+BE（2）ADC=CEB=ACB=90，ACD=CBE又AC=BC，ACDCBECE=AD，CD=BEDE=CECD=ADBE40如图所示，已知AEAB，AFAC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）ECBFAEBMCF（1）AEAB，AFAC，BAE=CAF=90，BAE+BAC=CAF+BAC，即EAC=BAF，在ABF和AEC中，AE=AB，EAC=BAF，AF=AC，ABFAEC（SAS），EC=BF；（2）如图，根据（1），ABFAEC，AEC=ABF，AEAB，BAE=90，AEC+ADE=90，ADE=BDM（对顶角相等），ABF+BDM=90，在BDM中，BMD=180-ABF-BDM=180-90=90，ECBF 41如图：BEAC，CFAB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AMAN。证明：（1）BEAC，CFABABM+BAC=90，ACN+BAC=90ABM=ACNBM=AC，CN=ABABMNACAM=AN（2）ABMNACBAM=NN+BAN=90BAM+BAN=90即MAN=90AMAN42如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEF证明：在ABF和CDE中,AB=DEA=DAF=CDABFCDE（边角边）FB=CE在四边形BCEF中FB=CEBC=EF四边形BCEF是平行四边形BCEF43如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由证明：在AB上取点N ,使得AN=AC CAE=EAN AE为公共,CAEEANANE=ACE又AC平行BDACE+BDE=180而ANE+ENB=180ENB=BDENBE=EBNBE为公共边EBNEBDBD=BNAB=AN+BN=AC+BD44、（10分） 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE求证:BECF证明：AD是ABC的中线 BD=CD DF=DE（已知） BDE=FDC BDEFDC 则EBD=FCD BECF（内错角相等，两直线平行）。 45、(10分)已知：如图，ABCD，DEAC，BFAC，E，F是垂足，求证：ADECBF证明：DEAC，BFACCED=AFB=90又AB=CD，BF=DERtABFRtCDE（HL）AF=CEBAF=DCEAB/CD46、(10分)如图，已知1=2，3=4，求证：A