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一、对极限定义的研究1、对中学极限定义的研究数列极限概念：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限的趋近于某个常数（即无限的接近于0），那么就说数列以为极限，或者说是数列的极限。函数极限概念：一般地，当自变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是，记作，也可记作当时，当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是，记作，也可记作当时， 一般地，当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋近于时，函数的极限是，记作，也可记作当时，.也叫做函数在点处的极限.2、对大学极限定义的研究数列极限的定义：设有数列和一个数。若对预先任意给定的不论怎样小的一个数，总存在自然数，只要当时，恒有成立，则称数为数列的极限。记作.我们也说无限趋近于，并写成.此时，称数列收敛.如果数列不存在极限，称数列发散.有关概念的几点说明：掌握极限概念的关键在于对正数二重性的理解. 的二重性是：一方面，必须具有任意性. 可以代表任意小的正数，只有这样才能保证描述数列无限地趋近.另一方面，必须具有相对固定性.在论证过程中，一旦给了，那么它是相对固定的，否则论证工作就无法进行.极限概念中的二重性，深刻反映了静与动，近似与精确，有限与无限的对立统一.因此，极限方法是人们从静认识动，从近似认识精确，从有限认识无限的一种数学方法. 自然数显然依赖于正数，一般地说，所给定的越小，应该越大，有时为了表示这种关系，就写成.另外，从极限定义可以看出，如果当时，成立，那么对任一个,当时，亦必然成立.函数的极限概念：设函数定义在区间上，且存在常数.如果对任意给定的，总存在正数，当时，恒有成立，则称为时函数的极限，记作或 .设函数定义在区间上，且存在常数.如果对任意给定的，总存在，时，恒有成立，则称为时函数的极限，记作或 .设函数定义在区间与上（其中），且存在常数.如果对任意给定的，总存在，当时，恒有成立，则称为时函数的极限，记作或 .设函数在点某邻域有定义（在点可能除外），并有数.如果对任意给定的，总存在，当时，恒有，则称数为函数在点的极限，记作或 上述函数极限的几点说明： 在极限定义中，要求是为了去掉的情形.因为函数当时，有没有极限，只与函数在点附近的取值状态有关而与函数在处的值没有必要联系，甚至在处有没有定义，都无关紧要. 显然，正数依赖于预先给定的；一般地说，给定的小，也应当随着取得更小.有时为了表示这种依赖关系，就写成.另外，从定义可看出，如果当时，恒有，那么对任一，当时， 成立. 从定义求极限时，通常需要加强不等式.为此，常常先限定自变量的变化范围：，由于我们考擦的是，当时，函数的变化趋势；所以，对点邻域之外，是怎样的，那是无关紧要的. 二元函数极限定义：设为定义在上的二元函数，为的一个聚点，是一个确定的实数。若对任给正数，总存在某正数，使得当时，都有,则称在上当时，以为极限，记作.在对于不至于产生误解时，也可以简单地写作.当分别用坐标表示时，也常写作二、对极限解题方法进行研究1、对中学极限解法的研究2、对大学极限解法的研究1 利用极限的四则运算的性质 这是很基础的极限思想 若两个函数在同一点的有极限，可以用此四则运算直接给出这两个函数在这点的和.差.积.商的极限值。 即 若 (I) (II)(III)若 B0 则： IV） （c为常数）上述性质对于 直接用代值法求极限，当所求函数在极限点不间断时，求其极限只需将该点值带入函数（即等于该点的函数值）例：求 解: =2 利用无穷小量性质法对于求两个函数的相乘类型的函数，特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质，我可以使用此方法，如果两函数f（x）.g（x）符合有以下条件：（I）(II) (M为正整数)则：例: 求 解: 由 而 故 原式 =拓展：对于无穷小量的另一种方法 如果我们可以得出（I）若： 则 (II) 若: 且 f(x)0 则 例: 求下列极限 解: 由 故 由 故 =3 约去零因式 对于函数极限的 不能直接求极限。那么可以通过一个小技巧就是对函数的分子 分母进行分解，约去零因式 这类型在求极限的过程中很常用和使用，如例题：求解:原式= = =这样就轻而易举的得出的函数极限值。4 利用两个重要的极限 对于这两个极限的使用勿用累赘。对号入座 直接使用。但我们经常使用的是它们的变形：例 求下列函数极限 重要公式3 求时的极限，通常“抓大头”的方法处理。所谓“抓大头”就是抓住关于的最高次数的项，而把其余的项略掉，例如：. 例题 解： 重要公式5 利用函数的连续性利用函数的连续性 对于要求简单函数在连续点的极限而言 只要能证明函数在这点连续 那么这点的极限值等于这点的函数值，较为简单。如果所求函数是复合函数，可以用换元法的原理，利用两次简单函数就可以得出复合函数的值。以例题分别进行解析：例：求下列函数的极限 （2） 套用公式 就能轻而易举求解了。6 利用罗比塔法则 首先给出罗比塔法则定理 罗比塔法则适用于未定式极限，即是是对型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。用罗比塔应该注意以下几点：1、 要注意条件，也就是说，在没有化为时不可求导。只有的未定式，才可能用法则，一次利用法则后得到的式子只要是，则可一直用下去；2、 应用罗比塔法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，为化简运算经常将法则与等价无穷小结合使用，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用罗比塔法则，否则会引起错误。4、 当 不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。5、 当时，极限式中含有，不能用法则，当 时，极限式中含有，不能用法则例： 求下列函数的极限 解：令f(x)= , g(x)= l, 由于但从而运用罗比塔法则两次后得到 由 故此例属于型，由罗比塔法则有：7利用泰勒公式泰勒公式很多 在此出去有代表性的公式： 注意展开式中的符号都有且 泰勒公式的使用时我们要灵活运用，学会变形或者简化题目 对解题有很大作用 当然 我们可能还会用到两种以上的公式才能得出极限值。 例如求 解: 利用泰勒公式，当 有于是 =8 利用拉格朗日中值定理 同样 先给出利用拉格朗日中值的定义若函数f满足如下条件： (I) f 在闭区间上连续 (II)f 在(a ,b)内可导则在(a ,b)内至少存在一点,使得此式变形可为: 例: 求 解:令 对它应用中值定理得即: 连续从而有: 9 利用定积分求极限 定积分是求极限也是一种重要方法。积分的本质含义是和式的极限，利用积分求解特定形式的极限问题，也是微积分学的一个重要方法。定理l：连