（通信与信息系统专业论文）扩展缩短crc码研究和crcrs、crcturbo的fpga硬件实现.pdf

摘要 本论文内容来源于某通信设备研制项目，该项目中的“c r c r s 译码器的设计” 要求采用r s 和扩展缩短c r c 码来实现。对于扩展缩短c r c 码使用多，但有关的 研究文献很少。由此，论文在原有c r c 码的基础上提出了扩展缩短码的新概念。 本文分别研究了扩展缩短c r c 码和非线性扩展缩短码。通过对扩展缩短c r c 码 的构造方法、最小距离、不可检错误概率、码重分布等进行理论分析和仿真，得 到了扩展缩短c r c 码的好码，并综合出普遍规律。 本文进一步构造了非线性扩展缩短码，研究了多种构造非线性码的方法，提出 四种构造非线性扩展缩短码的方法并理论分析和仿真比较这四种非线性码。扩展 缩短码的理论是原c r c 码理论的完善和补充。通过研究为g s m 系统提出了一种 新的选择标准。 在用硬件实现“c r c r s ”编译码器的过程中，比较两种c r c 快速算法的优 缺点并提出一种方法解决了c r c 模块与r s 模块之间数据流的控制问题；在用硬 件实现“c r c t u r b o ”编译码器过程中，介绍了几种实际中常用的t u r b o 码译码器 的实现方案。在综合考虑了t u r b o 译码效率和硬件实现的复杂度的基础上，设计 了一种高效的并行t u r b o 译码算法，并且给出了一种设计较为简单，适用于不同 并行译码算法的控制器结构。 关键词：扩展缩短0 r 0 码非线性扩展缩短码c r 0 - r s0 r c t u r b o 并行t u r b o 译码算法 a b s t r a c t t h ep a p e ri t e m sf r o map r o j e c to nd e v e l o p i n gc o m m u n i c a t i o nd e v i c e s t h e i m p l e m e n t a t i o no fc r c r sd e c o d e ri nt h ep r o j e c ta s k sf o ra na d o p t i o no fr sa n d e x t e n d e ds h o r t e n e dc r cc o d e s a l t h o u g he x t e n d e ds h o r t e n e dc r cc o d e sh a v eb e e n u s e de x t e n s i v e l y i nc o m m u n i c a t i 伽s y s t e m s t h er e l a t i v e d o c u m e n t s o n t h ee o d e s a r e l i t t l e t h u s ，o nt h eb a s i so ft h ec o m m o nc r cc o d e s ，t h ep a p e rb r i n g sf o r w a r dac o n c e p t o fe x t e n d e ds h o r t e n e dc r cc o d e s e x t e n d e ds h o r t e n e dc r cc o d e sa n dn o n l i n e a r e x t e n d e ds h o r t e n e dc o d e sa r es t u d i e di nt h ep a p e r t h r o u g ha p e r f o r m a n c ea n a l y s i sa n d s i m u l a t i o no ng e n e r a t e dm e t h o d s ，m a x i m u mm i n i m u md i s t a n c e ，u n d e t e c t e de r r o r p r o b a b i l i t i e s ，c o d ew e i g h td i s t r i b u t i o n ，g o o de x t e n d e ds h o r t e n e dc o d e sa r ed e t e r m i n e d a n dg e n e r a lr u l ei sc o n c l u d e d f u r t h e r l y ，t h ep a p e rg e n e r a t e sn o n l i n e a re x t e n d e ds h o r t e n e dc o d e s a f t e ras t u d yo f m a n yk i n d so fm e t h o d st og e n e r a t en o n l i n e a re x t e n d e ds h o r t e n e dc o d e s ，f o u rk i n d so f n o n l i n e a re x t e n d e ds h o r t e n e dc o d e sa r eg e n e r a t e d a l s ot h ef o u rk i n d so fm e t h o d sa r e a n a l y z e da n ds i m u l a t e d t h et h e o r yo f e x t e n d e ds h o r t e n e dc o d e si sac o m p l e m e n to f t h e t h e o r yo ft h ec o m m o nc r cc o d e s an e ws e l e c t i v es t a n d a r di sp r e s e n t e df o rg s m s y s t e m i nh a r d w a r ei m p l e m e n t a t i o no fc r c r s ，ac o m p a r i s o nb e t w e e nt h et w of a s tc r c c a l c u l a t i o n si sg i v e na n dam e a s u r et os o l v et h ed i f f i c u l t yi nc o n t r o lo fd a t as t r e a m b e t w e e nc r cm o d u l ea n dr sm o d u l ei s g i v e n i nh a r d w a r ei m p l e m e n t a t i o no f c r c t u r b o ，m a n yc o m m o n l yu s e dt u r b od e c o d e r sa r ei n t r o d u c e d o nac o m p r e h e n s i v e c o n s i d e r a t i o no ft h ec o d i n g - r a t ea n dc o m p l e x i t yo fh a r d w a r ei m p l e m e n t a t i o no ft u r b o d e c o d e r ，ah i g hc o d i n g r a t ep a r a l l e lt u r b od e c o d ea l g o r i t h mi sd e s i g n e da n dac o n t r o l l e r s t r u c t u r ea p p l i c a b l et od i f f e r e n td e c o d i n ga l g o r i t h m si sp r e s e n t e d k e y w o r d s ：e x t e n d e ds h o r t e n e dc r cc o d e n o n l i n e a re x t e n d e ds h o r t e n e dc o d e c r c - r sc r c t u r b o p a r a l l e lt u r b od e c o d ea l g o r i t h m 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的 内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包 含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处， 本人签名! 闺趑 本人愿承担一切相关责任。 日期加口叶- j 2 茨于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定： 研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大 学。本人保证毕业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍 然为西安电子科技大学。学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和 借阅论文：学校可以公布论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、 缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论文在解密后遵守此规定) 本人签名：厘趑 导师签名： 日期垒进：! ：兰 闩期型：( ：匕 第一章绪论 第一章绪论 本章介绍通信系统的香农信道编码定理与信道编码理论的发展过程，给出检错 码的分类，本论文来源和取得的结果以及本论文的安排。 1 1香农信道编码定理与信道编码理论的发展 通信的目的是要把信息及时可靠传送给对方，因此，要求一个通信系统传输信 息必须可靠、且有尽可能高的传输速率，在数字通信系统中可靠性与传输速率往 往是一对矛盾，若要求很高的传输速率，则必然使得每个数据码元所占的时间缩 短、波形变窄、能量减少，从而在受到干扰后产生错误的可能性增加，传送信息 的可靠性减低；若要求高可靠性，则传送信息的速率变慢。因此，如何合理地解 决可靠性与传输速率这一对矛盾，是正确设计一个通信系统关键问题之一。通信 理论本身也正是在解决这一对矛盾中不断发展起来的。 t 9 4 8 年香农( s h a n n o n ) 在他的开创性论文“通信的数学理论”“1 中首次阐明 了存在有干扰的信道中实现可靠通信的方法，提出了著名的有扰信道编码定理， 通过某种编码方法，使得随着码长的增加误码率达到任意小。该理论奠定了纠错 码的基础。 香农信道编码定理： ( 1 ) r c ，不存在有效的编码方法实现满足只要求的速率为r 的信息。香农证明 码长n 足够大时，随机选择的码有高概率为好码。 其中，c 是信道容量，r 是码率，高斯白噪声信道的信道容量c 的计算方法如式 d c 2 9 2 ( 1 + 萧( 研7 5 ) 式中，是信道所提供的带宽，r , - = e 。t 是信号功率，e 。是信号能量，是分组 信号的持续时间即信号宽度，b ：e 。w 是单位频带的信号功率，j v 。是单位频带 的噪声功率，只w n 。是信噪比。 香农对于通信州论的贡献具体表现。i ：( i ) 把仟何一个数字通信系统抽象为阁 扩琏璐缩矮c r c 玛靛簪 究囊c r c r s 、c r c - t u r b o 鹩f p g a 鹾箨实琏 1 1 豹基本框图；( 2 ) 成功她定义了信息量的概念；( 3 ) 肩发式地证明了几个编码定 理。图l + l 中的信源随梳产生信患，一般糟信患的统计特性来刻蕊信源：发射机 完成由信息变换为信号的功能，慰一个广义的编码器；出于有噪声源的存在，接 收信号会有不同稳度上的畸变，这种畸变楚由信邀的物理特性和噤声源的统计特 性确定的，一般用条 牛概率转移缀阵或条件概率密度来刻硒；接收机试图从接收 豳1 i 通信系统的组成 镶弩恢复摄稳鹃蘩愚，是一个广义豹译薅嚣；这个 砉诗豹售患最终送给了继寤。 香农还指出了任意给定信道都有一个固有的量，称之为信道容量。只要信息的传 输遮率甄予售道容篷，惑碍双我到一秘绽玛方法，健霉差锺狡率任意熟枣：反之， 如果信息的传输遮率超过信道容擞，则不存在这样的编码方法。这就是著名的信 遴缓羁定理。信道编码定理表鹱，售道容羹正努等于信息传输速窭豹上界。 我们以加高斯自噪声( a w g n ，a d d i t i v ew h i t eg a u s s i a nn o i s e ) 信道为例来说 弱楼道缡鼹定理。 设信息传输逮率为r 比 特售道，则单位比特所爝能 量为e o = p r 。记高斯噪声 的单边功率谱密度为甄，则 0 = 2 c r 2 ，s n r = 2 r 导。 容爨强线如图1 2 。从圈”l 。2 可以看出，疋n o 0 0d b 对，信道察量c 2 0 5 。香农 信道编码定理指出，存在速 率r = 0 5 的编码方案，只要 甄，。= 0 0 就可以达到可 黼t 嚣翟” ， 卜l 一一一l 影。+ 。：= ； 一 7 图1 ，2 理想a w g n 信道容量曲线 靠通信。所谓可靠通信一般是用误比特率b e r 来度量的。尽管实际的通信系统对 b e l t 的要求有差鬟，理论上可靠通信一般醣b e r 1 0 一1 0 。来衡麓。觚鹜1 2 还 可以看出，与不编码( r = 1 0 ) 的b p s k 调制相比较，香农信道编码定理指出了编 码爵以节省缝量达9 。6 d b 。如果采糟i 2 瀚编码，铡罐b p s t ( 信号在理论。l ! 二可班达 到0 2 d 1 3 。由于b p s k 在工程实现上简单，闲而当信息速率较低，例如( ，c 蔓o 5 比 特信道符学) ，采稽b p $ f f 调稻怒够了。 第一章绪论 香农编码定理以后汉明( h a m m i n g ) 、斯列宾( s l e p i a n ) 、普兰奇( p r a n g e ) 等学者、 专家，在5 0 年代初，根据香农的思想，给出了一系列设计好码和有效译码的方法。 纠错码越来越受到大家的重视，同时无论在理论上还是实际中都得到了飞速发展。 纠错码的主要发展过程大致分以下几个阶段。1 。 5 0 年代至6 0 年代初，主要研究各种有效的编、译码方法，奠定了线性分组码 的理论基础，提出了b c h 编码、译码方法以及卷积码的序列译码，给出了纠错码 的基本码限，还出版了纠错码的第一本专著。 6 0 年代至7 0 年代初，这是纠错码发展过程中最为活跃的时期，提出了如门限 译码、迭代译码、软判决译码和卷积码的v i t e r b i 译码等有效的编、译码方法； 同时注意到了纠错码实用化的问题，讨论了如码重量分布、译码错误概率和不可 检错误概率的计算、信道的模型化等与实用化有关的各种问题。 7 0 年代以来，纠错码在实际应用中得到了更大的发展，大规模集成电路和微 机的迅速发展，为纠错码的实用打下了坚实的物质基础。2 0 世纪7 0 年代末到2 0 世纪8 0 年代初，g u n g e r b o e c k 把编码与调制相结合提出了网格编码调制( t c m ， t r e l l i s - c o d e dm o d u l a t i o n ) 技术成为编码理论的又一重要里程碑。继t c m 之后， 1 9 9 3 年c b e r r o u ，a g l a v i e u x 和p t h i t i m a j s h i m a 发现的t u r b o 码是又一重 大突破。 1 2检错码的分类【5 】及循环冗余校验码r c r c ) 【6 】 检错码比较简单、易于实现以及检错能力强，在实际中应用比较广泛。检错 码利用抗干扰编码进行差错控制可采用反馈重传纠错( a r q ) 方式，前向纠错( f e c ) 方式和混合纠错( h e c ) 方式，其中a r q 方式的方法简单，容易实现，使用广泛。 这种方式是在发射端产生能检错的校验码，在接收端通过译码判断数据是否有错， 若有错，则接收端产生自动重发请求，请求发送器重新发送。最简单的流量控制 方法是停止一等待方式，即发端发送一帧数据后停下来，等待收端的响应信号，在 收端允许发送下一帧时才继续发送，否则接着等待。无论是差错控制还是流量控 制，它们的基础都是检错码，检错码的检错能力越强，差错控制和流量控制的效 果就越好。检错中常用的校验码有： 1 奇偶校验码，奇偶校验码能发现所有码字中的奇数个错误，该码由于构造简单、 容易实现，因此是一种最常用的基本检错码。虽然它并不理想，但是在信道干扰 不太严重、码长n 不太长的情况下仍然有用，特别是在计算机内部的数据传送和输 入输出设备中经常用到这种码，但是不能纠错，在大多数情况下，高速串行通信 传送数据的错误是多位并发的。这种情况下，奇偶校验码是无意义的。 2 水平冗余校验码，这类校验码能检验所有长度小于等于的突发错误，以及其 4扩展码缩短c r c 码的研究和c r c r s 、c r c t u r b o 的f p g a 硬件实现 它错误图样。 3 水平垂直冗余校验码，这类校验码可以发现长度k + l 或m + 1 的突发错误，以 及大量的其它错误图样，并能够根据某行某列校验关系均不满足的事实，来判断 该行该列交叉点上的码元错误，从而纠正一位错误。这类纠错码的纠错能力强， 在a r q 中用的较多。 4 一般来说，c r c 码能检测所有单个或两位错误、所有奇数个错误、所有小于或 等于所用多项式级数的并发错误。c r c 码可用于较大的数据块传送，在这几种校验 码中c r c 校验码使用最多。c r c 是网络 中被广泛采用的一种质量较高的检错 码，如在a t m 网中采用8 位的c r c 、h d l c 协议中采用1 6 位等；在局域网中，因 为c r c 可以有较少的冗余位，漏检率 低，从而可以有效地提高传输速度，因 此得到普遍使用：在以太网中采用3 2 位的c r c 校验码；还有用c r c 构造级联 码，c r c 和t u r b o 的联合使用等。实践 证明，c r c 校验法是一种强有力的检错 手段，在通信及计算机数据存储中得到 广泛的应用。检错码的分类如图1 3 所 示。 图中的实线框为常规检错码的分类 ，虚线框为本论文研究的检错码 图1 3 检错码的分类 1 3 论文的来源及研究的主要内容 本论文来源于某横向项目，为通信设备设计r s c r c 校验码编译码器。为了满 足该设备的码率和不可检错误概率的要求，使用循环冗余校验码( c r c ，c y c l i c r o d u n d a n c yc h e c k ) 作为检错码，事实上c r c 码的引入，有助于将错误的信息序列 及时剔除，进而达到纠正错误并提高通信质量的目的。常规意义上的c r c 码为缩 短码，缩短码的码长小于2 “一1 ( m 为检验位个数) ，它是由原汉明码缩短得到的。 关于c r c 码的校验性能，在许多文献中已经进行了详细的探讨【_ 7 】1 8 】、，并有固定 的公式和成熟的算法【9 j 1 0 l 。本人参加研制的通信设备中使用的c r c 码的码长大于 2 “一1 且冗余保持不变，它是由原汉明循环码扩展得到的，这类扩展得到的c r c 码，在通信设备中使用也很广泛。例如，在g s m 语音通信中，用于触发容错处理， 一个2 0 m s 的全速率语音帧的f e c ( 见表1 、表2 ) ，包括2 6 0 个比特，根掘对错误 的敏感程度分为三个等级，其中7 8 个对错误不敏感的比特不编码，5 0 个最重要的 l 七特用3 岫i tc r c 编码保护，其余的1 3 2 个比特后添船4 个已知比特。在这早， 第一章绪论 用到了c r c ( 5 3 ，5 0 ) 的冗余度为3 ，码长大于原循环码长度2 3 1 = 7 。本论文将 这种码长大于2 “一1 的码称为扩展缩短码，并把它分类为扩展缩短c r c 码和非线性 扩展缩短码，扩展缩短码有自己的特性。虽然对扩展缩短码使用的较多，但是对 扩展缩短码性能的研究在国内、外刊物上还未见到过报导。本论文对扩展缩短c r c 码和非线性扩展缩短码的最小距离、不可检错概率、码重分布等性能进行了理 论分析并通过m a t l a b s h i m u l i n k 仿真工具进行仿真。根据研究结果： 1 综合出了扩展缩短c r c 码的普遍规律，为g s m 系统提出了一种新的选择标准， 扩展缩短c r c 码理论是缩短c r c 码理论的完善和补充。 2 经过寻优得到的扩展缩短c r c 码的好码，已经用f p g a 实现，并成功地应用到 通信设备中，取得良好效果，这些好码可供其他需要扩展缩短c r c 码的人员使用。 3 给出非线性扩展缩短码c r c 一5 的仿真结果，总结出了非线性扩展缩短码的一般 规律。得到了菲线性扩展缩短码的好码，这些好码可供其他需要扩展缩短码的人 员使用： 4 在用硬件实现“c r c r s ”编译码器过程中，采用了并行c r c 算法并解决了c r c 模块与r s 模块之间数据流的控制问题；在硬件实现“c r c - t u r b o ”编译码器过程 中，在综合考虑了t u r b o 译码效率和硬件实现的复杂度的基础上，设计了一种高 效的并行t u r b o 译码算法，并且给出了一种设计较为简单，适用于不同并行译码 算法的控制器结构。 表1 1 一个2 0 m s 的全速率语音帧的f e c 7 8 f 原始数据 5 01 3 2 表1 2 一个2 0 m s 的全速率语音帧的f e c c r c31 3 27 8 l 添加 及尾比特5 04 1 4 完成的主要工作及内容安排 读硕士期间的科研工作如下： 1 在“c r c r s 编译码器的设计和f p g a 实现”项目中负责用r s 码和c r c 码编译码 器的设计和软硬件实现。 2 在“c r c t u r b o 编译码器设计和f p g a 实现”项目中负责t u r b o 码1 编译码器 的设计与硬件实现。 本文内容安排如下： 1 第一章中介绍道编码定理与信道编码的发展，论文题目来源及论文内容安排。 2 第二章中介绍了最小距离和) ；可检错误概率基本理论并从这两方丽划c r c 码的 打展码缩短c r c 码的研究和c r c r s 、c r c t u r b o 的f p g a 硬件实现 仿真方法进行了分析，并给出了c r c 一8 ，c r c 一1 6 ，c r c 一2 4 码仿真结果( 见附录) 。 3 第三章中从理论上分析了扩展缩短c r c 码的性能，给出了用m a t l a b s i m u l i n k 仿真的原理和方法：给出了扩展缩短码e r c 一5 ，c r c 一8 的仿真结果，并将扩展缩短 c r c 码的性能和常规的c r c 码的性能进行了比较，总结出了扩展缩短c r c 码的普遍 规律，这一部分内容写的论文已经被重庆邮电学院学报录用。 4 第四章中从理论上分析了非线性扩展缩短码的性能；给出了用m a t l a b 仿真的 原理和方法；给出5 - b i t 冗余非线性扩展缩短码的仿真结果，总结出了非线性扩 展缩短码的一般规律。这一部分写的内容已被无线通信技术录用。 5 第五章中介绍了“c r c r s ”该项目的系统结构、工作原理以及c r c 码的f p g a 硬件实现，总结了应用c r c 需要注意的问题。 6 第六章中介绍了“c r c t u r b o ”该项目的系统结构、工作原理，重点介绍了t u r b o 的f p g a 硬件实现，总结了应用t u r b o 需要注意的问题。 第二章基础理论和m a t l a b s i m u l i n k 仿真工具 第二章基本理论和m a t l a b sm u ln k 仿真工具 研究扩展缩短c r c 码的性能、非线性扩展缩短码的性能，以及它们与c r c 码 性能的比较，这几方面的内容，涉及面比较广。本章仅引用论文中用到的基本理 论和重要公式“1 ，并简单介绍了m a t l a b s i m u l i n k 仿真工具： 2 1 基本理论 2 1 1 线性与非线性码的重量分布。1 和不可检错误概率嘲 重量分布是指一个 n ，k ，d 】线性分组码或非线性码的码字重量分布情况，它不 仅是计算各种译码错误概率的主要依据之一，而且也是探索码结构的重要窗口， 通过它可以透彻了解码的内部关系。 1 马克威伦恒等式“” 设a ；是 n ，k ，d 分组码中重量为i 的码宇数目，则集合 厶，a l ，- ，4 。 称为该分 组码的重量分布。也可把码的重量分布a 。，a l - ，a 。写成如下形式的多项式 一( 互) = a 。+ 爿l x + a 2 工2 + + 4 。x ”= 年 ( 2 1 ) 式中，a ( x ) 为码的重量估值算子，简称为重量算子。设二进制h k 线性分组码及 其 n ，n k 对偶码的重量算子分别是 ( z ) = a i x 7 占( z ) = b ，x ( 2 2 ) i = oi = 0 则它们之间有如下关系 m ) _ 2 _ 气l 叫鲁) ( 2 - 3 ) 此式是马克威伦( m a c w i l l i a m s ) 恒等式。 对于q 进制【月，k 线性分组码，则有 4 ( x ) = g - ( n 一”( 1 + ( g 一1 ) x ) “日( 丁j ：；每) ( 2 4 ) 马克威伦恒等式在分析c r c 码和扩展c r c 码中起着重要作用，主要用于计算码 的重量分布和计算不可检错误概率。一旦对偶码的重量分布己知时，可以通过两 个马克威伦恒等式求原码的码重分布。 2 线性与非线性分组码通用的不可检错误概率公式【5 】 扩展缩短c r c 码的研究和c r c r s 、c r c t t u r b o 的f p g a 硬件实现 码字通过b s c 传输时，若因为干扰变成另一码字，但是检错器不能发现这种 类型的错误，就产生了不可检错误概率。所以码长为n ，有m 个码字，最小距离 为d 的( ”，m ，d ) 二进制分组码( 包括线性和非线性分组码) 的平均不可检错误概率为 = 弓4 ，g o 一见) ( 2 5 ) ，= li = 1 式中，p 。是b s c 的误码率，弓是第，个码字的概率，爿，是与第个码字距离为i 的 码字数。设4 ，( x ) = a 。+ a s ，l x + a j 2 工2 + + 爿，。x ” ，= 1 , 2 ，m 是( 月，m ，d ) 码中 第，个码字的距离分布多项式。本文在后面估计非线性扩展缩短码的不可检错误概 率时，参考此公式。 3 线性码的不可检错误概率嘲 若对码中所有码字，恒有4 ，( x ) = 4 ( 工) = a o + a l 工+ a 2 j 2 + + a x ”，则称此码 是不变距离分布码或同距离分布码。对线性码而言，由于码的封闭性，可知是同 距离分布码，且码的距离分布就等于码的重量分布。可知，对i n ，棚，d 】二进制线性 分组码的不可检错误概率，由式( 2 - 5 ) 可得 2 h = b 彳，p ：( 1 一p e ) ” ( 2 6 ) 若码字等概发送，则上式成为 = 4 p ：( 1 一p 。) ”i ( 2 7 ) 式中，a ，是 月，k ，d 】码的重量为i 的码字数，由于码的最小距离等于d ，所以 a 。= a ：一一a d i = 0 。根据m a c w i l l i a m s 恒等式，可以由对偶码的重量分布计算 【h ，d 码的不可检错误概率，公式如2 - 1 0 所示。 耻o - p 如。) ( 1 + 南p 醐卜尚( 1 + 芒p - 1 ( 2 - 8 ) i el p 。l 一。 【z 一8 j = 2 1 ”。曰( 1 2 p 。) 一0 一p 。) ” 式中，占( 1 2 p 。) = 垦( 1 2 p 。) i = 0 许多有关c r c 的文献“”“”、“，利用公式( 2 - 8 ) 分析c r c 码的性能。参考文 献 1 3 、 1 4 分别分析c r c 一8 ，c r c 一1 6 的性能。在分析c r c 一8 中考虑以下四种类 型的多项式： 0 ，n 。= h 。( f ) = 2 “1 “1 - 1 ，这里【工】指的是不超过x 的最大整数。 如果 n 。，那麽对所有玎有 n n 。，( ”， - r ) 的最小距离是2 h 2 。理论的证 明可参见文献啪1 。根据该理论，我们可以得到在一定的码长区间，相同冗余度条 件下，码的最小距离的下限。即如果( h 。，n 。一，) 的最小距离为2 t + 2 ，在( ，r 。) 区 间，所有码的最小距离至少为2 t + 2 。如表1 所示，我t 1 1 歹0 出了r = 5 ，8 ，1 6 ，2 4 ，3 2 的 码区间最小距离的下限。 最大最tr = 5r = 8f 1 6f 2 4f 3 2 小距离 d = 4 仁l 8 ：s n _ 1 24 12 3 9 雯一18 9 1 _ 2 ”一18 n q ”一18 _ n 5 2 ”一1 d = 6 仁_ 2n o nn o n 7 4 鱼畦王7 14 6 6 n 5 2 ”12 9 5 4 n _ 2 ”一1 d = 8卢3n o nn o nn o nn o n5 6 8 _ n 5 2 ”一i 从表l 中我们可以看到5 8 6 蔓订1 0 2 3 ，我们可以获得一个距离d = 8 ( t = 3 ) 的理帮 码，通过提取一个长为1 0 2 3 的，可检测3 个错误的b c h 码的子码。 2 3 m a t l a b s i m u l i n k 仿真工具 m a t l a b 是当前欧美国家很流行的一种科学计算软件，随着计算机技忙的发展， 信号分析、时间序列分析等，均要涉及到大量的数学问韪计算，美国的i l i ah w o k 公司推出了m a t l a b 软件，它易- 二掌握并可很方便的根据用户l ! 己盼清折进 扩；， 第二章基础理论和m a t l a b s i m u l i n k 仿真t 具 形成新的标准予程序，且运算效率极高。m a t l a b 的仿真工具s i m u l i n k m a t 【。a b 的 s i m u l i n k 子库是一个建模、分析各种物理和数学系统的软件。由于在w i n d o w s 界 面下工作，所以对通信系统建摸、编辑、绘制很方便。 论文的仿真用到以下模块：信号源、输出、离散系统库、线性系统库和非线 性系统库等。下面分别介绍： 1 信号源，程序提供了八种信号源：阶跃信号、正弦波信号、白噪声、时钟、常 值信号、文件、信号发生器等可直接使用。而信号发生器可产生正弦波、方波、 锯齿波、随机信号等。 2 信号输出，程序提供了三种输出方式，可将仿真结果通过三种方式之一如仿真 窗口、文件等形