清华理论力学课后答案7.pdf

1 第七章 质点动力学习题解答第七章 质点动力学习题解答 7-1 质量为 40 g 的小球M以初速度v v v v=8j j j j(m/s)从点A(0, 0, 0.3m)抛出后，受到沿i i i i方向恒 定的电磁力作用，其大小F= 0.8 kN，如图所示。求小球M到达xy平面点B时，点B的坐标 和小球的速度。 解解：取小球M为研究对象，小球所受到的主动力为 k k k ki i i iF F F FmgF R = 由质点运动微分方程 R Fm=r r r r ，写出投影式 Fxm= ，0=ym ，mgzm= 初始条件为 0 00 = =tt yx，3 . 0 0 = =t z； 0 00 = =tt zx，vy t = =0 解得质点的速度方程为 t m F x=，vy=，gtz= 质点的运动方程为 2 2 t m F x=，vty=，3 . 0 2 2 +=t g z 当0=z时，小球到达xy平面，由 03 . 0 2 2 =+=t g z 解得s247 . 0 1= t，于是小球到达xy平面时的各速度分量为 m/s 7 . 4948 1 1 = = t m F x tt ，m/s8 1 = = vy tt ，m/s425. 2 1 1 = = gtz tt . 各坐标为 m 2 . 612 2 2 1 1 = = t m F x tt ，m979 . 1 1 1 = = vty tt ， m137 . 2 3 . 0 2 2 1 1 =+= = t g z tt . 7-2 图示A，B两物体的质量分别为mA和mB，二者用一细绳连 接，此绳跨过一定滑轮，滑轮半径为r。运动开始时，两物体的高度 差为h，且mAmB，不计滑轮质量。求由静止释放后，两物体达到相 同高度时所需的时间。 解解：分别取 A 和 B 物体为研究对象，受力图如图示，列出动力学方 程 TAAAA FWxm= ， TBBBB FWxm= ， 式中gmW AA =，gmW BB =，根据题意，有 TBTA FF=， BA xx=， BA xx = 初始条件 0 0 = =t A x，hx t B = =0 ，0 0 = =t A x，0 0 = =t B x. 解以上初值问题，得 题 7-2 图 题 7-1 图 F F F F v v v v B A i i i i M O i z x y j j j j k k k k 题 7-2 受力图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 2 g mm mm x BA BA A + = ， () 2 2 gt mm mm x BA BA A + = g mm mm x BA BA B + = ， () hgt mm mm x BA BA B + + = 2 2 令 BA xx=，即 ()() hgt mm mm gt mm mm BA BA BA BA + + = + 22 22 解得当两物体达到相同高度时 () ()gmm hmm t BA BA + = . . . 7-3 质量为m的质点M受到引力F F F F= k2mr r r r的作用，其中k为常量，运动开始时，质点M 在轴x上，OM0=b，初速度v0与轴x的夹角为，如图所示。试求质点M的运动方程。 解解：取质点M为对象，列出质点运动微分方程： F F F F=rm ， 投影式为 xkx 2 = ，yky 2 = 初始条件：bx t = =0 ，0 0 = =t y； cos 0 0 vx t = = ，sin 0 0 vy t = = . 解上述初值问题，得质点M的运动方程 ktbkt k v xcossincos 0 +=，kt k v ysinsin 0 =. 7-4 图示套管A的质量为m， 受绳子牵引沿铅直杆向上滑动。 绳子的另一端绕过离杆距离 为l的滑轮B而缠在鼓轮上，当鼓轮转动时，其边缘上各点的速度大小为v0。如果滑轮尺寸略 去不计，试求绳子的拉力与距离x之间的关系。 解解：取套管A为研究对象，受力图如图示，先进行运动学分析. 将 22 xlAB+= 对时间求导，得 () 0 22 d d v xl xx AB t = + = 解出 0 22 v x xl x + =， 再对时间求导，并将上式代入，得 3 2 0 2 x vl x= . 在铅锤方向列出动力学方程 mgF xl l ma T + = 22 v v v v0 M0 F F F F M r r r r O i x y 题 7-3 图 题 7-4 图 题 7-2 受力图 mg g g g 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 3 其中xa =，于是绳子的拉力 T F与距离x之间的关系为 l xl x vl gmFT 22 3 2 0 2 + +=. 7-5 铅垂发射的火箭由一雷达跟踪，如图所示。当r= 10 000 m，= 60，rad/s02 . 0 =， 且 2 rad/s002 . 0 = 时，火箭的质量为 5 000 kg。求此时的喷射反推力F F F F。 解解：以火箭为研究对象，设坐标系如图示， sinry=，constcos=rx， 将上式对时间求导后，解得火箭的速度 cos r y= 再次对时间求导，并将上式代入，解得火箭的加速度 ry 2 2 cos cossin2 + = 在y方向列写动力学方程， mgFym= ， 喷射反推力F F F F为 ()gymF+= 将数据代入，求得此时的喷射反推力 kN56.387=F. 7-6 质量皆为m的两物块A，B以无重杆光滑铰接，置于光滑的水平及铅垂面上，如图所 示。当自由释放时，求此瞬时杆AB所受的力。 解解： 1） 取物块A为研究对象， AB 杆为二力杆 BAAB FF=， 受力图如图示，列出动力学方程 AAABA amFgm=sin，（a） 2）取物块 B 为研究对象， BBBA amF=cos，(b) 3）运动学分析 sin,coslylx AB = 对时间求二次导数，得 cos,sin lylx AB =； ()()sinsinsinsincoscoscoscoscoscoscoscossinsinsinsin 22 =+=lylx AB ， 在初瞬时，0= ，初加速度为 cos laA=，sin laB=(c) 由（a） 、(b) 、(c)三式解得 () g mm mm F BA BA AB 22 sincos2 2sin = 题 7-5 图 题 7-6 受力图 题 7-6 图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 4 据题意， BA mm=，初瞬时 120=，杆AB所受的力为 mgFAB 2 3 =. 7-7 质量为m的小球以水平速度v v v v0射入静水之中。如水对小球的阻力F F F F与小球速度v v v v的 方向相反，且与速度的大小成正比，即F F F F= v v v v，为阻尼系数。忽略水对小球的浮力，试分 析小球在重力和阻力作用下的运动。 解解：取小球为研究对象，列出动力学方程 g g g gF F F Fr r r rmm+= ， 投影式为 xxm =，mgyym+= 初始条件： 0 00 = =tt yx，0, 0 0 0 = =tt yvx. 解上述初值问题，得小球在重力和阻力作用下的运动方程为 = t m e mv x 1 0 ， = t m e gm t mg y 1 2 2 . 7-8 滑块M的质量为m，在半径为R的固定光滑圆环上滑动。圆环位于铅垂平面内。滑 块M上系有一弹性绳，它穿过圆环的点O固定于A。已知当滑块在点O时，绳的张力为零。 弹性绳每伸长 1 (cm)需力c(N)。开始时滑块在圆环的顶端点B，处在不稳定平衡状态，当它 受到微小扰动时， 沿圆环滑下，为绳的OM部分与水平线的夹角， 如图所示。 试求滑块M的下滑速度v与角的关系以及圆环的约束 力。 解解：取滑块M为研究对象，受力图如图示，列出切线和法线方向 的动力学方程， 2sincos Tt mgFma=，（a） 2cossin TN 2 mgFF R v m+=,(b) 式中， Ra2 t =，sin2 T cRF=.初始条件为 2 0 = =t ，0 0 = =t . 解此初值问题. 关系利用 d d = ，积分式（a） () += 2 0 d2sind2mgcRmR ， +=g m cR R 1 cos， 得滑块M的下滑速度v与角的关系 +=g m cR RRvcos22， （与 方向相反）. 题 7-7 图 滑块受力图 题 7-8 图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 5 从（b）式解得圆环的约束力 ()2coscos4sin2 22 N mgcRmgcRF+=. 7-9 作用有简谐激振力F F F F，并带有阻尼元件的弹簧质量系统如图所示。设质点的质量为m = 350 kg， 弹簧的刚度为k= 20 kN/m， 简谐激振力振幅的大小H= 100 N， 激振频率f= 2.5 Hz , 阻尼元件的阻尼系数c= 1600 Ns/m，试求系统受迫振动的振幅，受迫振动相位滞后激振力相 位角和受迫振动的方程。 解解：选取平衡位置为坐标原点，x轴垂直向下，i i i i为单位向量， 弹性恢复力i i i iF F F Fxk k =， 粘性阻尼力i i i iF F F Fxc c =， 简谐激振力i i i itHFsin= 质点运动微分方程的为 tHkxxcxmsin2=+ 化作标准形式 thxxnx n sin2 2 =+ 其中 m c n 2 =， m k n = 2 ， m H h=，f2=， 振幅为 () 22 2 22 4n h b n + = 受迫振动相位滞后激振力相位角的正切为 22 2 tan = n n 代入数据，得mm90 . 1 =b,rad50 . 0 =. 受迫振动的方程为 ()mm50 . 0 71.15sin90. 1=tx 7-10 质量为m的质点在水平面的上空受斥力的作用而处于悬浮状态，斥 力的大小与质点到这平面的距离成反比，比例系数为。求质点在平衡位置附 近作竖向微振动的运动微分方程。 解解：以质量为m的质点为研究对象，以斥力为零的水平面为坐标原点，斥力 为 x F =，受力图如图示，运动微分方程为 mg x xm= . 7-11 在图示振动系统中，已知：重物A的质量m= 1 kg， 两串联弹簧的刚度系数分别为k1=12 N/cm,k2= 4 N/cm，= 30，斜面摩擦不计，在弹簧没有变形时将重物A无初速地释 放，同时B端以= 1.5sin(10t) cm 沿斜面运动。试求重物A的 运动方程。 解解：取重物A为研究对象，串联弹簧的等效刚度系数k满足 习题 7-9 质点受力图 题 7-11 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 6 21 111 kkk += 解得N/cm3=k，g g g gF F F FF F F Fm e 建立与 B 固结的动坐标系yxB，坐标原点选在 A 的相对经平衡位置。牵连惯性力为 ()N10sin15 . 0 e tmmF= ， 列出相对运动动力学方程 ()()xktmmgxm+= st 10sin15 . 0 30sin ， 即 ()xtx=30010sin15 . 0 ， 通解为 ()()()m10sin105 . 7310cos310sin 4 ttBtAx += 根据初始条件：0, 0 00 = =tt xx，解得重物A的相对运 动方程 ()()mm10sin75. 0 3 . 17sin43 . 0 ttx+=. 7-12倾角为的楔块A的质量为mA，静止地置于光滑的 水平面上，物块B的质量为mB，放在楔块A的光滑斜面上， 如图所示。当无初速地释放物块B后，求楔块A与物块B之 间相互作用力的大小。 解解：1）取楔块A为研究对象，列出水平方向的动力学方程 sin eNA Fam= 2）取物块B为研究对象，物块B作合成运动，以楔块A 为动系。列出动力学方程 ()sincos erNB Faam=， cossin rNBB Fgmam=， 联立上面三式，并注意到 NN FF=，解得 () g mm m a BA B 2 e sin2 2sin + =， () g mm mm a BA BA 2 r sin sin + + =， 楔块A与物块B之间相互作用力的大小为 2 sin cos BA BA N mm gmm F + =. 7-13 质量为m的小环M套在弯成y=f(x)形状的光滑金属丝 上，金属丝通过坐标原点并绕竖直轴Oy以等角速度转动，如图 所示。如果要使小环在金属丝的任何位置都能处于相对平衡状态， 试求金属丝的形状以及平衡时金属丝对小环的作用力。 解解：以小环M为对象，光滑金属丝为动系，设k k k kj, j, j, j,i, i, i, i,为沿动系坐标 轴的单位向量，则 滑块受力图 题 7-12 图 物块A和 B 的受力图 题 7-13 图 课后答案网 w w w .k h d a w .c o m 7 相对速度：j j j ji i i iyxv += r ，牵连加速度：i i i ia a a a 2 e x=， 因相对平衡时0 r =v，所以科氏加速度0 c =a a a a.， 牵连惯性力： ee a a a aF F F Fm=，科氏惯性力：0 c =F F F F. 列出相对平衡方程 0 e =+ N mgF F F Fj j j